نمادگرایی ژنتیکی، طراحی وظایف. زاویه بین خطوط متقاطع - تعریف، نمونه هایی از پیدا کردن نحوه تعیین خطوط متقاطع

در این مقاله ابتدا به تعریف زاویه بین خطوط متقاطع و ارائه یک تصویر گرافیکی می پردازیم. در مرحله بعد، به این سؤال پاسخ خواهیم داد: "اگر مختصات بردارهای جهت این خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص باشد، چگونه زاویه بین خطوط متقاطع را پیدا کنیم؟" در پایان، در هنگام حل مثال ها و مسائل، زاویه بین خطوط متقاطع را تمرین خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

زاویه بین خطوط مستقیم متقاطع - تعریف.

ما به تعیین زاویه بین خطوط مستقیم متقاطع به تدریج نزدیک خواهیم شد.

ابتدا تعریف خطوط اریب را یادآوری می کنیم: دو خط در فضای سه بعدی نامیده می شوند. آمیختگی، اگر در یک هواپیما دراز نکشند. از این تعریف به دست می آید که خطوط متقاطع همدیگر را قطع نمی کنند، موازی نیستند و علاوه بر این، منطبق نیستند، در غیر این صورت هر دو در یک صفحه معین قرار می گیرند.

اجازه دهید استدلال کمکی بیشتری ارائه دهیم.

بگذارید دو خط متقاطع a و b در فضای سه بعدی داده شود. بیایید خطوط مستقیم a 1 و b 1 را طوری بسازیم که به ترتیب با خطوط اریب a و b موازی باشند و از نقطه ای در فضای M 1 عبور کنند. بنابراین، دو خط متقاطع a 1 و b 1 به دست می آوریم. بگذارید زاویه بین خطوط متقاطع a 1 و b 1 برابر با زاویه باشد. حال بیایید خطوط a 2 و b 2 را به ترتیب موازی با خطوط اریب a و b بسازیم که از نقطه M 2 متفاوت از نقطه M 1 عبور می کنند. زاویه بین خطوط متقاطع a 2 و b 2 نیز برابر زاویه خواهد بود. این عبارت درست است، زیرا خطوط مستقیم a 1 و b 1 به ترتیب با خطوط مستقیم a 2 و b 2 منطبق خواهند شد، اگر انتقال موازی انجام شود، که در آن نقطه M 1 به نقطه M 2 حرکت می کند. بنابراین، اندازه گیری زاویه بین دو خط مستقیم که در نقطه M، به ترتیب موازی با خطوط متقاطع داده شده، قطع می شوند، به انتخاب نقطه M بستگی ندارد.

اکنون آماده هستیم تا زاویه بین خطوط متقاطع را تعریف کنیم.

تعریف.

زاویه بین خطوط متقاطعزاویه بین دو خط متقاطع است که به ترتیب با خطوط متقاطع داده شده موازی هستند.

از تعریف به دست می آید که زاویه بین خطوط متقاطع نیز به انتخاب نقطه M بستگی ندارد. بنابراین، به عنوان نقطه M می توانیم هر نقطه متعلق به یکی از خطوط متقاطع را در نظر بگیریم.

اجازه دهید تصویری از تعیین زاویه بین خطوط متقاطع ارائه دهیم.

پیدا کردن زاویه بین خطوط متقاطع.

از آنجایی که زاویه بین خطوط متقاطع از طریق زاویه بین خطوط متقاطع تعیین می شود، یافتن زاویه بین خطوط متقاطع به یافتن زاویه بین خطوط متقاطع مربوطه در فضای سه بعدی کاهش می یابد.

بدون شک روش های مورد مطالعه در درس هندسه در دبیرستان برای یافتن زاویه بین خطوط متقاطع مناسب است. یعنی با تکمیل ساخت و سازهای لازم، می توانید زاویه مورد نظر را با هر زاویه ای که از شرایط مشخص است، بر اساس برابری یا تشابه شکل ها وصل کنید، در برخی موارد کمک می کند. قضیه کسینوس، و گاهی منجر به نتیجه می شود تعریف سینوس، کسینوس و مماس یک زاویهراست گوشه.

با این حال، حل مشکل یافتن زاویه بین خطوط متقاطع با استفاده از روش مختصات بسیار راحت است. این دقیقاً همان چیزی است که ما در نظر خواهیم گرفت.

اجازه دهید Oxyz در فضای سه بعدی معرفی شود (البته در بسیاری از مشکلات باید خودتان وارد آن شوید).

بیایید وظیفه ای را برای خود تعیین کنیم: زاویه بین خطوط متقاطع a و b را پیدا کنیم که با برخی معادلات یک خط در فضا در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz مطابقت دارد.

حلش کنیم

بیایید یک نقطه دلخواه در فضای سه بعدی M را در نظر بگیریم و فرض کنیم که خطوط مستقیم a 1 و b 1 به ترتیب موازی با خطوط مستقیم a و b از آن عبور می کنند. سپس زاویه مورد نیاز بین خطوط متقاطع a و b طبق تعریف برابر با زاویه بین خطوط متقاطع a 1 و b 1 است.

بنابراین، ما فقط باید زاویه بین خطوط متقاطع a 1 و b 1 را پیدا کنیم. برای اعمال فرمول یافتن زاویه بین دو خط متقاطع در فضا، باید مختصات بردارهای جهت خطوط a 1 و b 1 را بدانیم.

چگونه می توانیم آنها را بدست آوریم؟ و خیلی ساده است. تعریف بردار جهت یک خط مستقیم به ما امکان می دهد ادعا کنیم که مجموعه بردارهای جهت خطوط موازی منطبق هستند. بنابراین، بردارهای جهت خطوط مستقیم a 1 و b 1 را می توان به عنوان بردار جهت در نظر گرفت و خطوط مستقیم a و b به ترتیب

بنابراین، زاویه بین دو خط مستقیم a و b متقاطع با فرمول محاسبه می شود
، جایی که و به ترتیب بردارهای جهت خطوط مستقیم a و b هستند.

فرمول برای یافتن کسینوس زاویه بین خطوط متقاطع a و b فرم دارند .

اگر کسینوس شناخته شده باشد به شما امکان می دهد سینوس زاویه بین خطوط متقاطع را پیدا کنید: .

باقی مانده است که راه حل های مثال ها را تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

زاویه بین خطوط متقاطع a و b را که در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz با معادلات تعریف شده اند، بیابید. و .

راه حل.

معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا به شما امکان می دهد بلافاصله مختصات بردار هدایت کننده این خط مستقیم را تعیین کنید - آنها با اعداد در مخرج کسرها داده می شوند، یعنی، . معادلات پارامتریک یک خط مستقیم در فضا همچنین امکان نوشتن فوری مختصات بردار جهت را فراهم می کند - آنها برابر با ضرایب جلوی پارامتر هستند، یعنی، - بردار مستقیم . بنابراین، ما تمام داده های لازم برای اعمال فرمولی را داریم که با آن زاویه بین خطوط متقاطع محاسبه می شود:

پاسخ:

زاویه بین خطوط متقاطع داده شده برابر است.

مثال.

سینوس و کسینوس زاویه بین خطوط متقاطع که لبه های AD و BC هرم ABCD روی آن قرار دارند را در صورتی که مختصات رئوس آن مشخص باشد، بیابید: .

راه حل.

بردارهای جهت خطوط تقاطع AD و BC بردارها و . بیایید مختصات آنها را به عنوان تفاوت بین مختصات متناظر نقاط پایانی و ابتدایی بردار محاسبه کنیم:

طبق فرمول ما می توانیم کسینوس زاویه بین خطوط عبور مشخص شده را محاسبه کنیم:

حال بیایید سینوس زاویه بین خطوط متقاطع را محاسبه کنیم:

نمادگرایی ژنتیکی

سمبولیسم فهرست و توضیحی از نام ها و اصطلاحات متعارف است که در هر شاخه ای از علم استفاده می شود.

پایه های نمادگرایی ژنتیکی توسط گرگور مندل، که از نمادگرایی الفبایی برای تعیین صفات استفاده می کرد، پی ریزی شد. صفات غالب با حروف بزرگ الفبای لاتین A، B، C و غیره، کاراکترهای مغلوب - با حروف کوچک - a، b، c و غیره تعیین شد. نمادگرایی تحت اللفظی، که توسط مندل پیشنهاد شده است، اساساً شکلی جبری برای بیان قوانین وراثت ویژگی ها است.

نماد زیر برای نشان دادن عبور استفاده می شود.

والدین با حرف لاتین P (والدین - والدین) مشخص می شوند، سپس ژنوتیپ آنها در کنار آنها نوشته می شود. جنسیت مونث با نماد ♂ (آینه زهره) و جنسیت مذکر با ♀ (سپر و نیزه مریخ) مشخص می شود. یک "x" بین والدین برای نشان دادن عبور قرار می گیرد. ژنوتیپ ماده در وهله اول و نر در رتبه دوم نوشته شده است.

نسل اول F نامگذاری شده است 1 (فیلی - کودکان)، نسل دوم - ف 2 و غیره. در نزدیکی نامگذاری ژنوتیپ های فرزندان وجود دارد.

واژه نامه اصطلاحات و مفاهیم اساسی

آلل ها (ژن های آللی)- اشکال مختلف یک ژن، ناشی از جهش و واقع در نقاط یکسان (محل) کروموزوم های همولوگ جفت.

علائم جایگزین- ویژگی های متضاد و متضاد متقابل.

گامت (از یونانی "gametes" "- همسر) یک سلول زایشی یک موجود گیاهی یا حیوانی است که حامل یک ژن از یک جفت آللی است. گامت ها همیشه ژن ها را به شکل "خالص" حمل می کنند، زیرا با تقسیم سلولی میوز تشکیل می شوند و حاوی یکی از یک جفت کروموزوم همولوگ هستند.

ژنرال (از یونانی "genos" "- تولد) بخشی از یک مولکول DNA است که اطلاعات مربوط به ساختار اولیه یک پروتئین خاص را حمل می کند.

ژن های آللی - ژن های جفتی که در نواحی یکسان کروموزوم های همولوگ قرار دارند.

ژنوتیپ - مجموعه ای از تمایلات (ژن) ارثی یک موجود زنده.

هتروزیگوت (از یونانی "heteros" "-دیگر و زیگوت) - زیگوتی که دو آلل متفاوت برای یک ژن معین دارد ( Aa, Bb).

هتروزیگوتبه افرادی گفته می شود که ژن های متفاوتی از والدین خود دریافت کرده اند. یک فرد هتروزیگوت در فرزندان خود برای این صفت جداسازی ایجاد می کند.

هموزیگوت (از یونانی "homos" "- یکسان و زیگوت) - زیگوتی که دارای آلل های یکسانی از یک ژن معین است (هر دو غالب یا هر دو مغلوب).

هموزیگوت به افرادی گفته می شود که از والدین خود تمایلات ارثی (ژن) یکسانی را برای یک صفت خاص دریافت کرده اند. یک فرد هموزیگوت در فرزندان خود شکاف ایجاد نمی کند.

کروموزوم های همولوگ(از یونانی "homos" "- یکسان) - کروموزوم های جفت، از نظر شکل، اندازه، مجموعه ای از ژن ها یکسان هستند. در یک سلول دیپلوئید، مجموعه کروموزوم ها همیشه جفت هستند: یک کروموزوم از یک جفت منشا مادری است، کروموزوم دوم منشاء پدری دارد.

هتروزیگوتبه افرادی گفته می شود که ژن های متفاوتی از والدین خود دریافت کرده اند. بنابراین، بر اساس ژنوتیپ، افراد می توانند هموزیگوت (AA یا aa) یا هتروزیگوت (Aa) باشند.

صفت غالب (ژن) – غالب، آشکار - با حروف بزرگ الفبای لاتین نشان داده شده است:الف، ب، ج و غیره

صفت مغلوب (ژن) – علامت سرکوب شده با حروف کوچک مربوط به الفبای لاتین نشان داده می شود:الف، ب ج و غیره

تجزیه و تحلیل عبور- تلاقی ارگانیسم مورد آزمایش با ارگانیسم دیگری که یک هموزیگوت مغلوب برای یک صفت معین است که تعیین ژنوتیپ فرد مورد آزمایش را ممکن می سازد.

تقاطع دو هیبریدی- تلاقی فرم هایی که در دو جفت ویژگی جایگزین با یکدیگر متفاوت هستند.

تقاطع تک هیبریدی- تلاقی فرم هایی که در یک جفت ویژگی جایگزین با یکدیگر متفاوت هستند.

خطوط تمیز - ارگانیسم هایی که برای یک یا چند صفت هموزیگوت هستند و تظاهراتی از یک صفت جایگزین را در فرزندان خود ایجاد نمی کنند.

سشوار نشانه است.

فنوتیپ - مجموع تمام علائم و خصوصیات خارجی یک موجود زنده قابل مشاهده و تجزیه و تحلیل.

الگوریتم حل مسائل ژنتیکی

سطح کار را با دقت بخوانید.
شرایط مشکل را به اختصار یادداشت کنید.
ژنوتیپ و فنوتیپ افراد تلاقی شده را ثبت کنید.
انواع گامت هایی را که توسط افراد متقابل تولید می شود، شناسایی و ثبت کنید.
ژنوتیپ ها و فنوتیپ های فرزندان حاصل از تلاقی را تعیین و ثبت کنید.
نتایج حاصل از عبور را تجزیه و تحلیل کنید. برای انجام این کار، تعداد طبقات فرزندان را بر اساس فنوتیپ و ژنوتیپ تعیین کنید و آنها را به صورت نسبت عددی یادداشت کنید.
پاسخ سوال را در مسئله یادداشت کنید.

(هنگام حل مسائل در مورد موضوعات خاص، ممکن است ترتیب مراحل تغییر کند و محتوای آنها اصلاح شود.)

قالب بندی وظایف

مرسوم است که ابتدا ژنوتیپ ماده و سپس نر (ورودی صحیح - ♀ААВВ x ♂аавв; ورودی نامعتبر- ♂ aavv x ♀AABB).
ژن های یک جفت آللی همیشه در کنار هم نوشته می شوند(ورود صحیح - ♀ААВВ؛ ورودی نادرست ♀ААВВ).
هنگام ثبت یک ژنوتیپ، حروف نشان دهنده صفات همیشه به ترتیب حروف الفبا نوشته می شوند، صرف نظر از اینکه کدام صفت - غالب یا مغلوب - را نشان می دهند (ورودی صحیح - ♀ааВВ;ورودی نادرست -♀ VVaa).
اگر فقط فنوتیپ یک فرد شناخته شده باشد، در هنگام ثبت ژنوتیپ آن، تنها ژن هایی که حضور آنها غیرقابل انکار است، نوشته می شود.ژنی که نمی تواند با فنوتیپ تعیین شود با علامت "_" مشخص می شود.(به عنوان مثال، اگر رنگ زرد (A) و شکل صاف (B) دانه‌های نخودفرنگی صفات غالب باشند و رنگ سبز (a) و شکل چروکیده (c) مغلوب باشند، ژنوتیپ فردی با دانه‌های چروکیده زرد است. به صورت زیر نوشته شده است: A_vv).
فنوتیپ همیشه در زیر ژنوتیپ نوشته می شود.
گامت ها با دور زدن آنها نوشته می شوند.(آ).
در افراد انواع گامت ها تعیین و ثبت می شود نه تعداد آنها

دوره استفاده می کند زبان هندسی، متشکل از نمادها و نمادهای پذیرفته شده در درس ریاضیات (به ویژه در دوره جدید هندسه در دبیرستان).

کل انواع نام ها و نمادها و همچنین ارتباط بین آنها را می توان به دو گروه تقسیم کرد:

گروه I - تعیین اشکال هندسی و روابط بین آنها.

گروه دوم نامگذاری عملیات منطقی که اساس نحوی زبان هندسی را تشکیل می دهد.

در زیر لیست کاملی از نمادهای ریاضی مورد استفاده در این دوره آورده شده است. توجه ویژه ای به نمادهایی است که برای نشان دادن پیش بینی اشکال هندسی استفاده می شود.

گروه I

نمادهایی که ارقام هندسی و روابط بین آنها را نشان می دهند

الف- تعیین اشکال هندسی

1. یک شکل هندسی تعیین شده است - F.

2. نقاط با حروف بزرگ الفبای لاتین یا اعداد عربی نشان داده می شوند:

الف، ب، ج، د، ...، ل، م، ن، ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. خطوطی که به طور دلخواه در رابطه با صفحات نمایش قرار گرفته اند با حروف کوچک الفبای لاتین مشخص می شوند:

الف، ب، ج، د، ...، ل، م، ن، ...

خطوط سطح مشخص شده اند: h - افقی. f- جلو.

از نمادهای زیر نیز برای خطوط مستقیم استفاده می شود:

(AB) - یک خط مستقیم که از نقاط A و B عبور می کند.

[AB) - پرتو با شروع در نقطه A.

[AB] - یک پاره خط مستقیم که با نقاط A و B محدود شده است.

4. سطوح با حروف کوچک الفبای یونانی مشخص می شوند:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

برای تأکید بر نحوه تعریف یک سطح، عناصر هندسی که توسط آنها تعریف می شود باید نشان داده شوند، به عنوان مثال:

α(a || b) - صفحه α با خطوط موازی a و b تعیین می شود.

β(d 1 d 2 gα) - سطح β توسط راهنماهای d 1 و d 2، ژنراتور g و صفحه موازی α تعیین می شود.

5. زوایای نشان داده شده است:

∠ABC - زاویه با راس در نقطه B، و همچنین ∠α°، ∠β°، ...، ∠φ°، ...

6. زاویه ای: مقدار (میزان اندازه گیری درجه) با علامتی که بالای زاویه قرار می گیرد نشان داده می شود:

بزرگی زاویه ABC؛

بزرگی زاویه φ.

یک زاویه قائمه با یک مربع با یک نقطه در داخل مشخص شده است

7. فواصل بین اشکال هندسی با دو بخش عمودی نشان داده می شود - ||.

مثلا:

|AB| - فاصله بین نقاط A و B (طول بخش AB)؛

|آآ| - فاصله از نقطه A تا خط a.

|Aα| - فاصله از نقطه A تا سطح α.

|ab| - فاصله بین خطوط a و b.

|αβ| فاصله بین سطوح α و β

8. برای صفحات طرح ریزی، نام گذاری های زیر پذیرفته می شود: π 1 و π 2، که در آن π 1 صفحه نمایش افقی است.

π 2 - صفحه پیش بینی جلویی.

هنگام جایگزینی صفحات طرح ریزی یا معرفی صفحات جدید، مورد دوم π 3، π 4 و غیره تعیین می شود.

9. محورهای طرح ریزی شده مشخص می شوند: x، y، z، که در آن x محور آبسیسا است. y - محور ترتیبی؛ z - محور اعمال.

نمودار خط مستقیم ثابت Monge با k نشان داده می شود.

10. پیش بینی نقاط، خطوط، سطوح، هر شکل هندسی با همان حروف (یا اعداد) مشابه اصلی نشان داده می شود، با اضافه کردن یک رونوشت مربوط به صفحه طرح ریزی که در آن به دست آمده است:

A، B، C، D، ...، L، M، N، برآمدگی افقی نقاط؛ A، B، C، D، ...، L، M " , N"، ... برآمدگی جلویی نقاط; a"، b"، c"، d"، ...، l، m"، n"، - برآمدگی افقی خطوط؛ a"، b"، c"، d"، ...، l"، m " , n " , ... برآمدگی جلوی خطوط; α»، β»، γ»، δ»،...،ζ»،η»، ν»،... برآمدگی های افقی سطوح؛ α، β، γ»، δ»،...،ζ " ,η",ν"،... برآمدگی های جلویی سطوح.

11. آثار صفحات (سطوح) با حروف مشابه افقی یا جلویی مشخص می شوند، با اضافه کردن زیرنویس 0α، تاکید می کنند که این خطوط در صفحه نمایش قرار دارند و متعلق به صفحه (سطح) α هستند.

بنابراین: h 0α - اثر افقی صفحه (سطح) α؛

f 0α - اثر جلویی هواپیما (سطح) α.

12. رد خطوط مستقیم (خطوط) با حروف بزرگ نشان داده می شود، که با آنها شروع می شود و کلماتی که نام (در رونویسی لاتین) صفحه نمایشی را که خط قطع می کند را مشخص می کند، با یک زیرنویس نشان دهنده وابستگی به خط.

به عنوان مثال: H a - اثر افقی یک خط مستقیم (خط) a;

ف الف - رد پیشانی خط مستقیم (خط) الف.

13. دنباله نقاط، خطوط (هر شکل) با زیرنویس های 1،2،3،...، n مشخص شده است:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1، α 2، α 3،...، α n;

Ф 1، Ф 2، Ф 3،...، Ф n، و غیره.

طرح کمکی یک نقطه، به دست آمده در نتیجه تبدیل برای به دست آوردن مقدار واقعی یک شکل هندسی، با همان حرف با زیرنویس 0 نشان داده می شود:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

پیش بینی های آکسونومتری

14. برجستگی های آکسونومتری نقاط، خطوط، سطوح با حروفی مشابه طبیعت با اضافه کردن یک بالانویس 0 نشان داده می شوند:

A 0، B 0، C 0، D 0، ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. پیش بینی های ثانویه با اضافه کردن یک بالانویس 1 نشان داده می شوند:

A 1 0، B 1 0، C 1 0، D 1 0، ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0، β 1 0، γ 1 0، δ 1 0، ...

برای سهولت خواندن نقاشی ها در کتاب درسی، هنگام طراحی مطالب گویا از چندین رنگ استفاده می شود که هر کدام معنای معنایی خاصی دارند: خطوط سیاه (نقاط) داده های اصلی را نشان می دهد. رنگ سبز برای خطوط سازه های گرافیکی کمکی استفاده می شود. خطوط قرمز (نقاط) نتایج ساخت و سازها یا آن دسته از عناصر هندسی را نشان می دهد که باید به آنها توجه ویژه ای شود.

ب. نمادهایی که روابط بین اشکال هندسی را نشان می دهند

شماره توسط منافذ	تعیین	محتوا	نمونه ای از نمادهای نمادین
1	≡	همخوانی داشتن	(AB)≡(CD) - خط مستقیمی که از نقاط A و B می گذرد، منطبق بر خطی است که از نقاط C و D می گذرد
2	≅	متجانس	∠ABC≅∠MNK - زاویه ABC با زاویه MNK همخوانی دارد
3	∼	مشابه	ΔАВС∼ΔMNK - مثلث های АВС و MNK مشابه هستند
4	\|\|	موازی	α\|\|β - صفحه α موازی با صفحه β است
5	⊥	عمود بر	a⊥b - خطوط مستقیم a و b عمود هستند
6		دورگه	c d - خطوط مستقیم c و d قطع می شوند
7		مماس ها	t l - خط t مماس بر خط l است. βα - صفحه β مماس بر سطح α
8	→	نمایش داده	F 1 → F 2 - شکل F 1 به شکل F 2 نگاشت شده است
9	اس	مرکز پروجکشن اگر مرکز پروجکشن نقطه نامناسبی باشد، سپس موقعیت آن با یک فلش نشان داده می شود، جهت نمایش را نشان می دهد	-
10	س	جهت پروجکشن	-
11	پ	طرح ریزی موازی	р s α طرح ریزی موازی - طرح ریزی موازی روی صفحه α در جهت s

ب. نماد نظری مجموعه ها

شماره توسط منافذ	تعیین	محتوا	نمونه ای از نمادهای نمادین	نمونه ای از نماد نمادین در هندسه
1	M، N	مجموعه ها	-	-
2	A,B,C,...	عناصر مجموعه	-	-
3	{ ... }	شامل...	Ф(A، B، C،...)	Ф(A، B، C،...) - شکل Ф شامل نقاط A، B، C، ...
4	∅	مجموعه تهی	L - ∅ - مجموعه L خالی است (شامل عناصر نیست)	-
5	∈	متعلق به، عنصر است	2∈N (که در آن N مجموعه اعداد طبیعی است) - عدد 2 متعلق به مجموعه N است	A ∈ a - نقطه A متعلق به خط a است (نقطه A در خط a قرار دارد)
6	⊂	شامل، شامل	N⊂M - مجموعه N بخشی (زیر مجموعه) از مجموعه است M از همه اعداد گویا	a⊂α - خط مستقیم a متعلق به صفحه α است (در این معنا فهمیده می شود: مجموعه نقاط خط a زیر مجموعه ای از نقاط صفحه α است)
7	∪	یک انجمن	C = A U B - مجموعه C ترکیبی از مجموعه ها است الف و ب؛ (1، 2. 3، 4.5) = (1،2،3)∪(4.5)	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - خط شکسته، ABCD است ترکیب بخش‌های [AB]، [BC]،
8	∩	تقاطع بسیاری	M=K∩L - مجموعه M محل تقاطع مجموعه های K و L است (شامل عناصری است که هم به مجموعه K و هم به مجموعه L تعلق دارند). M ∩ N = ∅ - محل تقاطع مجموعه های M و N مجموعه خالی است (مجموعه های M و N عناصر مشترکی ندارند)	a = α ∩ β - خط مستقیم a محل تقاطع است صفحات α و β a ∩ b = ∅ - خطوط مستقیم a و b قطع نمی شوند (نقاط مشترک ندارند)

نمادهای گروه دوم که عملیات منطقی را نشان می دهند

شماره توسط منافذ	تعیین	محتوا	نمونه ای از نمادهای نمادین
1	∧	ترکیب جملات؛ با حرف ربط "و" مطابقت دارد. یک جمله (p∧q) درست است اگر و فقط اگر p و q هر دو درست باشند	α∩β = (К:K∈α∧K∈β) محل تلاقی سطوح α و β مجموعه ای از نقاط (خط) است. متشکل از تمام نقاط K که هم به سطح α و هم به سطح β تعلق دارند
2	∨	تفکیک جملات؛ با حرف ربط "یا" مطابقت دارد. جمله (p∨q) درست زمانی که حداقل یکی از جملات p یا q درست باشد (یعنی p یا q یا هر دو).	-
3	⇒	استلزام یک نتیجه منطقی است. جمله p⇒q به این معنی است: "اگر p، پس q"	(a\|\|c∧b\|\|c)⇒a\|\|b. اگر دو خط با یک سوم موازی باشند، پس آنها با یکدیگر موازی هستند
4	⇔	جمله (p⇔q) به این معنا فهمیده می شود: «اگر p، پس q نیز اگر q، پس نیز p».	А∈α⇔А∈l⊂α. نقطه ای متعلق به یک صفحه است اگر به خطی متعلق به این صفحه تعلق داشته باشد. عبارت معکوس نیز صادق است: اگر نقطه ای متعلق به یک خط خاص باشد، متعلق به هواپیما است، سپس به خود هواپیما تعلق دارد
5	∀	کمیت کننده کلی می گوید: برای همه، برای همه، برای هر کسی. عبارت ∀(x)P(x) به این معنی است: "برای هر x: خاصیت P(x) برقرار است"	∀(ΔАВС)( = 180 درجه) برای هر (برای هر) مثلث، مجموع مقادیر زوایای آن در رئوس برابر با 180 درجه است
6	∃	کمیت وجودی می گوید: وجود دارد. عبارت ∃(x)P(x) به این معنی است: "یک x وجود دارد که دارای خاصیت P(x) است."	(∀α)(∃a). برای هر صفحه α یک خط مستقیم a وجود دارد که به صفحه α تعلق ندارد. و موازی با صفحه α
7	∃1	کمیت کننده یگانگی وجود، می گوید: تنها یکی وجود دارد (-i, -th)... عبارت ∃1(x)(Рх) به این معناست: «فقط یک (تنها یک) x وجود دارد، داشتن خاصیت Px"	(∀ A, B) (A≠B) (∃1a) (a∋A, B) برای هر دو نقطه مختلف A و B، یک خط مستقیم منحصر به فرد a وجود دارد، عبور از این نقاط
8	(Px)	نفی عبارت P(x)	ab(∃α)(α⊃a, b). اگر خطوط a و b همدیگر را قطع کنند، صفحه a وجود ندارد که آنها را شامل شود.
9	\	نفی علامت	≠ -قطعه [AB] برابر با قطعه .a?b نیست - خط a با خط b موازی نیست

شاید خواندن آن مفید باشد: