تبدیلات هندسی نمودارهای توابع مثلثاتی. نمودارهای توابع مثلثاتی، تبدیل نمودارها

موضوع: تبدیل نمودارهای توابع مثلثاتی با مدول.

هدف: در نظر گرفتن به دست آوردن نمودارهای توابع مثلثاتی فرم

y= f(|x|) ;y = | f(ایکس)| .

منطق ریاضی و توجه را توسعه دهید.

در طول کلاس ها:

سازمان لحظه: اعلام موضوع، اهداف و مقاصد درس.

معلم: امروز باید یاد بگیریم که چگونه نمودار توابع بسازیم y = sin |x|; y = cos|x|

Y = |یک گناه x +b| ; Y = |Acos x +b| با استفاده از دانش ما در مورد تبدیل توابع ماورایی به شکل y = f(|x|) و y = |f(x)| . می پرسی "برای چیست؟" واقعیت این است که ویژگی‌های توابع در این مورد تغییر می‌کنند، اما همانطور که می‌دانید، این به بهترین نحو در نمودار دیده می‌شود.

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه این توابع با استفاده از تعریف نوشته می شوند

فرزندان: f(|x|) =

|f(x)| =

معلم: بنابراین، برای رسم تابع y =f(|x|)، اگر نمودار تابع مشخص باشد

y=f{ ایکس، باید آن قسمت از نمودار تابع y \u003d را در جای خود بگذاریدf(ایکس) که

مربوط به قسمت غیر منفی دامنه تابع y = استf(ایکس). منعکس کننده این است

بخش متقارن با محور y است، بخش دیگری از نمودار مربوط به آن را دریافت می کنیم

قسمت منفی حوزه تعریف

یعنی در نمودار به این صورت است: y = f (x)

(این گرافیک ها روی تخته ساخته شده اند. کودکان در دفترچه یادداشت)

حال بر این اساس نموداری از توابع y = sin |x|; Y = | گناه x | ; Y = |2 sinx + 2|

شکل 1. Y = گناه x

شکل 2. Y = گناه |x|

حالا بیایید توابع Y = |sin x | را رسم کنیم و Y = |2 گناه x + 2|

برای رسم تابع y = \f(ایکس)\, اگر نمودار تابع y \u003d شناخته شده باشدf(ایکس)، باید آن قسمت از آن را در جای خود رها کنیدf(ایکس) > در باره، و به صورت متقارن قسمت دیگر آن را نسبت به محور x نشان می دهد، جایی کهf(ایکس) < 0.

خلاصه درس جبر و شروع تحلیل پایه دهم

با موضوع: "تبدیل نمودارهای توابع مثلثاتی"

هدف درس: نظام مند کردن دانش در مورد موضوع "خواص و نمودارهای توابع مثلثاتی y \u003d sin (x) ، y \u003d cos (x)".

اهداف درس:

تکرار خواص توابع مثلثاتی y \u003d sin (x) ، y \u003d cos (x)؛
تکرار فرمول های کاهش؛
تبدیل نمودارهای توابع مثلثاتی.
توسعه توجه، حافظه، تفکر منطقی; برای فعال کردن فعالیت ذهنی، توانایی تجزیه و تحلیل، تعمیم و استدلال.
آموزش سخت کوشی، کوشش در دستیابی به هدف، علاقه به موضوع.

تجهیزات درسی:ICT

نوع درس: یادگیری جدید

در طول کلاس ها

قبل از درس، 2 دانش آموز روی تخته از تکالیف خود نمودار می سازند.

زمان سازماندهی:

سلام بچه ها!

امروز در درس نمودارهای توابع مثلثاتی y \u003d sin (x) ، y \u003d cos (x) را تبدیل می کنیم.

کار شفاهی:

بررسی تکالیف

حل پازل

یادگیری مطالب جدید

همه تبدیل های نمودارهای تابع جهانی هستند - آنها برای همه توابع، از جمله توابع مثلثاتی، مناسب هستند. در اینجا ما به یادآوری مختصری از تحولات اصلی نمودارها اکتفا می کنیم.

تبدیل نمودار توابع.

تابع y \u003d f (x) داده شده است. ساختن تمام نمودارها را از نمودار این تابع شروع می کنیم، سپس با آن اقداماتی را انجام می دهیم.

تابع

با برنامه چه باید کرد

y = f(x) + a

تمام نقاط نمودار اول را یک واحد بالاتر می بریم.

y = f(x) – a

تمام نقاط نمودار اول یک واحد به پایین کاهش می یابد.

y = f(x + a)

تمام نقاط نمودار اول را با یک واحد به سمت چپ منتقل می کنیم.

y = f (x - a)

تمام نقاط نمودار اول را با یک واحد به سمت راست منتقل می کنیم.

y = a*f(x)،a>1

صفرها را در جای خود ثابت می کنیم، نقاط بالایی را یک بار بالاتر می بریم، نقاط پایین را یک بار پایین می آوریم.

نمودار بالا و پایین "کشش" می شود، صفرها در جای خود باقی می مانند.

y = a*f(x)، a<1

ما صفرها را ثابت می کنیم، نقاط بالایی یک بار پایین می آیند، نقاط پایین تر یک بار بالا می روند. نمودار به محور x کوچک می شود.

y=-f(x)

نمودار اول را در مورد محور x آینه کنید.

y = f(ax)، a<1

نقطه ای را در محور y ثابت کنید. هر بخش در محور x یک بار افزایش می یابد. نمودار از محور y در جهات مختلف کشیده می شود.

y = f(ax)، a>1

نقطه ای را در محور ارتین ثابت کنید، هر قطعه در محور آبسیسا یک بار کاهش می یابد. نمودار در هر دو طرف به سمت محور y کوچک می شود.

y= | f(x)|

قسمت هایی از نمودار که در زیر محور آبسیسا قرار دارند آینه ای هستند. کل نمودار در نیمه صفحه بالایی قرار خواهد گرفت.

طرح های راه حل

1)y = گناه x + 2.

ما یک نمودار y \u003d sin x می سازیم. هر نقطه از نمودار را 2 واحد (صفر نیز) بالا می بریم.

2)y \u003d cos x - 3.

ما یک نمودار y \u003d cos x می سازیم. هر نقطه از نمودار را 3 واحد پایین می آوریم.

3)y = cos (x - /2)

ما یک نمودار y \u003d cos x می سازیم. همه نقاط n/2 را به سمت راست منتقل می کنیم.

4) y = 2 گناه x .

ما یک نمودار y \u003d sin x می سازیم. صفرها را در جای خود رها می کنیم، نقاط بالایی را 2 بار بالا می آوریم، پایین ترین ها را به همان میزان پایین می آوریم.

کار عملی ترسیم توابع مثلثاتی با استفاده از برنامه Advanced Grapher.

بیایید تابع y = -cos 3x + 2 را رسم کنیم.

بیایید تابع y \u003d cos x را رسم کنیم.
آن را در مورد محور x منعکس کنید.
این نمودار باید سه بار در امتداد محور x فشرده شود.
در نهایت، چنین نموداری باید سه واحد در امتداد محور y بلند شود.

y = 0.5 sinx.

y=0.2 cos x-2

y = 5 cos 0 0.5 x

y=-3sin(x+π).

2) اشتباه را پیدا کنید و آن را برطرف کنید.

V. مطالب تاریخی. پیام اویلر

لئونارد اویلر بزرگترین ریاضیدان قرن هجدهم است. در سوئیس به دنیا آمد. او سال‌ها در روسیه، عضو آکادمی سن پترزبورگ، زندگی و کار کرد.

چرا باید نام این دانشمند را بدانیم و به خاطر بسپاریم؟

در آغاز قرن هجدهم، مثلثات هنوز به اندازه کافی توسعه نیافته بود: هیچ نمادی وجود نداشت، فرمول ها با کلمات نوشته می شدند، جذب آنها دشوار بود، مسئله نشانه های توابع مثلثاتی در ربع های مختلف دایره نیز نامشخص بود. فقط زوایا یا کمان ها به عنوان آرگومان یک تابع مثلثاتی درک می شدند. فقط در آثار اویلر مثلثات ظاهری مدرن پیدا کرد. او بود که شروع به در نظر گرفتن تابع مثلثاتی یک عدد کرد، یعنی. این استدلال نه تنها به عنوان قوس یا درجه، بلکه به عنوان اعداد نیز درک شد. اویلر تمام فرمول‌های مثلثاتی را از چندین فرمول اصلی استنتاج کرد و مسئله نشانه‌های تابع مثلثاتی را در بخش‌های مختلف دایره ساده کرد. برای تعیین توابع مثلثاتی، او نمادهایی را معرفی کرد: sin x، cos x، tg x، ctg x.

در آستانه قرن 18، جهت جدیدی در توسعه مثلثات ظاهر شد - تحلیلی. اگر پیش از آن هدف اصلی مثلثات را حل مثلث ها می دانستند، اویلر مثلثات را علم توابع مثلثاتی می دانست. بخش اول: دکترین تابع بخشی از دکترین کلی توابع است که در تحلیل ریاضی مورد بررسی قرار می گیرد. بخش دوم: حل مثلث ها - فصل هندسه. چنین نوآوری هایی توسط اویلر انجام شد.

VI. تکرار

کار مستقل "افزودن فرمول".

VII. خلاصه درس:

1) امروز در درس چه چیز جدیدی یاد گرفتید؟

2) چه چیز دیگری می خواهید بدانید؟

3) درجه بندی

درس 24

09.07.2015 5528 0

هدف: رایج ترین تبدیل نمودارهای توابع مثلثاتی را در نظر بگیرید.

I. ارتباط موضوع و هدف درس

II. تکرار و تثبیت مطالب تحت پوشش

1. پاسخ به سوالات مربوط به تکالیف (تحلیل مسائل حل نشده).

2. نظارت بر جذب مواد (نظرسنجی کتبی).

انتخاب 1

گناه x.

2. دوره اصلی تابع را پیدا کنید:

3. تابع را رسم کنید

گزینه 2

1. ویژگی های اساسی و نمودار تابع y \u003d cos x.

2. دوره اصلی تابع را پیدا کنید:

3. تابع را رسم کنید

III. یادگیری مطالب جدید

تمام تبدیل نمودارهای تابع، که در فصل 1 به تفصیل شرح داده شده است، جهانی هستند - آنها برای همه توابع، از جمله توابع مثلثاتی، مناسب هستند. بنابراین توصیه می کنیم این موضوع را تکرار کنید. در اینجا ما به یادآوری مختصری از تحولات اصلی نمودارها اکتفا می کنیم.

1. برای رسم تابع y = f(x) + b لازم است نمودار تابع را به | منتقل کنیدب | واحدها در امتداد محور y - بالا در b > 0 و پایین در b< 0.

2. برای رسم نمودار تابع y = mf(x) (که در آن m > 0) لازم است نمودار تابع y = کشیده شود f(x) به m بار در امتداد محور y و برایمتر > 1 واقعاً در آن کشش وجود داردمتر بار، برای 0< m < 1 - сжатие в 1/ m раз.

3. برای رسم تابع y = f (x + a ) لازم است نمودار تابع را به | منتقل کنیدآ | واحدها در امتداد محور x - به سمت راست در a< 0 и влево при а > 0.

4. برای رسم تابع y = f(kx ) (جایی که k > 0) لازم است نمودار تابع y = فشرده شود f(x) به k بار در امتداد محور x و برایک > 1 واقعاً فشرده سازی در k بار وجود دارد، برای 0< ک < 1 – растяжение в 1/ k بار

5. برای رسم تابع y = - f(x ) به یک نمودار از تابع نیاز دارید y=f(x ) در مورد محور x منعکس کنید (این تبدیل یک مورد خاص از تبدیل 2 برای است m = -1).

6. برای رسم تابع y = f (-x) به یک نمودار از تابع نیاز دارید y=f(x ) برای بازتاب در مورد محور y (این تبدیل یک مورد خاص از تبدیل 4 برای است k = -1).

مثال 1

بیایید یک نمودار از تابع y \u003d بسازیم - cos 3 x + 2.

مطابق با قانون 5، ما به نمودار تابع y \u003d نیاز داریم cos x در مورد محور x منعکس کنید. طبق قانون 3، این نمودار باید سه بار در امتداد محور x فشرده شود. در نهایت، طبق قانون 1، چنین نموداری باید سه واحد در امتداد محور y افزایش یابد.

یادآوری قوانین تبدیل نمودارها با ماژول ها نیز مفید است.

1. برای رسم نمودار تابع y=| f (x)| لازم است بخشی از نمودار تابع y \u003d ذخیره شود f(x ) که y ≥ 0. آن قسمت از نمودار y = f(x )، برای کدام< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2. برای رسم تابع y = f (|x|) لازم است بخشی از نمودار تابع y \u003d ذخیره شود f(x ) که برای آن x ≥ 0 است. علاوه بر این، این قسمت باید به طور متقارن به سمت چپ نسبت به محور y منعکس شود.

3. معادله |y| را رسم کنید = f (x) لازم است بخشی از نمودار تابع y \u003d ذخیره شود f(x ) که y ≥ 0 است. علاوه بر این، این قسمت باید به طور متقارن به سمت پایین نسبت به محور x منعکس شود.

مثال 2

بیایید معادله |y| را رسم کنیم =گناه | x |.

بیایید یک نمودار از تابع y \u003d بسازیمگناه x برای x ≥ 0. طبق قانون 2، این نمودار نسبت به محور y به سمت چپ منعکس می شود. اجازه دهید بخش هایی از چنین نموداری را که y ≥ 0 برای آن ها نگه داریم. طبق قانون 3، این بخش ها به طور متقارن به سمت پایین نسبت به محور آبسیسا منعکس می شوند.

در موارد پیچیده تر، علائم ماژول باید افشا شود.

مثال 3

بیایید یک نمودار از یک تابع پیچیده y \u003d بسازیم cos(2x + |x|).

به یاد بیاورید که آرگومان تابع کسینوس تابعی از متغیر x است و بنابراین این تابع پیچیده است. بیایید علامت مدول را گسترش دهیم و به دست آوریم:برای دو بازه از این قبیل، یک نمودار از تابع می سازیم y(x ). ما در نظر می گیریم که برای x ≥ 0، نمودار تابع y \u003d cos 3 x از نمودار تابع y = به دست می آید cos x با ضریب 3 در امتداد محور x.

مثال 4

بیایید تابع را رسم کنیم

با استفاده از فرمول مربع تفاضل تابع را در فرم می نویسیمنمودار تابع از دو بخش تشکیل شده است. برای x > 0، لازم است تابع y \u003d 1 - رسم شود. cos ایکس. از نمودار تابع y = بدست می آید cos x انعکاس در مورد محور آبسیسا و یک جابجایی 1 واحدی به سمت بالا در امتداد محور ارتین.

برای x ≥ 0 تابع y = (ایکس -1)2 - 1. از نمودار تابع y \u003d به دست می آید x2 1 واحد به سمت راست در امتداد محور x و 1 واحد به بالا در امتداد محور y تغییر مکان داد.

IV. کنترل سوالات(نظرسنجی مقدماتی)

1. قوانین تبدیل نمودار توابع.

2. تبدیل نمودارها با ماژول ها.

V. وظیفه در درس

§ 13، شماره 2 (الف، ب); 3; 5 7 (ج، د)؛ 8 (الف، ب)؛ 9 (الف)؛ 10 (ب)؛ 11 (الف، ب)؛ 13 (ج، د)؛ 14; 17 (الف، ب)؛ 19 (ب)؛ 20 (الف، ج).

VI. مشق شب

§ 13، شماره 2 (ج، د); 4; 6; 7 (الف، ب)؛ 8 (ج، د)؛ 9 (ب)؛ 10 (الف)؛ 11 (ج، د)؛ 13 (الف، ب)؛ 15; 17 (ج، د)؛ 19 (الف)؛ 20 (ب، د).

VII. کار خلاقانه

نمودار تابع، معادلات، نابرابری ها را رسم کنید:

هشتم. جمع بندی درس

نمودارهای مثلثاتی کارکرد

تابع y = سینکس، خواص آن

تبدیل نمودارهای توابع مثلثاتی با ترجمه موازی
تبدیل نمودارهای توابع مثلثاتی با فشرده سازی و بسط

برای افراد کنجکاو…
نویسنده

نمودار تابع y= گناه x است سینوسی

y = گناه x

ویژگی های تابع :

D(y)=R2. دوره ای (T=2  )

3. فرد ( sin(-x)=-sin x) 4. تهی تابع:

y=0، sinx=0 در x =  n، n  ز

0 در x   (0+2  n ;  +2  n) , n  Z y در x   (-  +2  n ; 0+2  n)، n  Z0 عرض = " "

ویژگی های تابع y = گناه ایکس

y = گناه x

5. فواصل ثابت :

در 0 در ایکس   (0+2  n ;  +2  n ) ، n  ز

در در ایکس   ( -  +2  n ; 0+2  n)n  ز

ویژگی های تابع y= گناه x

6. فواصل یکنواختی :

تابع در فواصل زمانی افزایش می یابد

نوع:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  ز

ویژگی های تابع y= گناه x

فواصل یکنواخت:

تابع در فواصل زمانی کاهش می یابد

نوع:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  ز

ویژگی های تابع y = گناه x

ایکس دقیقه

ایکس حداکثر

7 . نقاط افراطی :

ایکس حداکثر =  / 2 +2  n , n  ز

ایکس متر که در = -  / 2 +2  n , n  ز

ویژگی های تابع y = گناه x

8 . محدوده ارزش ها :

E(y) =  -1;1 

تبدیل نمودار توابع مثلثاتی

نمودار تابع y = f(x +c) از نمودار تابع y = به دست می آید f(x) ترجمه موازی توسط واحدهای (-in) در امتداد محور x
نمودار تابع y = f(x )+a از نمودار تابع y = به دست می آید f(x) ترجمه موازی توسط (a) واحدها در امتداد محور y

طرح

توابع y = sin(x+  /4 )

y = گناه x

به خاطر آوردن

قوانین

طرح

امکانات: y=sin(x -  /6)

y=sin(x+  /4 )

طرح

امکانات:

y = گناه x + 

y=sin(x-  /6 )

y= گناه x + 

طرح

امکانات: y=sin (x +  /2)

به خاطر آوردن

قوانین

نمودار تابع y= cos x است موج کسینوس

sin(x+  /2)=cos x

لیست ویژگی ها

توابع y = cos x

با فشرده سازی و کشش

نمودار تابع y = ک f(x y= f(x) با کشش آن به ک بارها (زمانی که k1) در امتداد محور y
نمودار تابع y = k f (x ) از نمودار تابع به دست می آید y= f(x) با فشرده سازی آن در 1/k بارها (زمانی که 0 در امتداد محور y

با فشرده سازی و کشش

y=0.5sinx

به خاطر آوردن

قوانین

با فشرده سازی و کشش

نمودار تابع y = f(kx ) از نمودار تابع به دست می آید y= f(x) با فشرده سازی آن در ک بارها (زمانی که k1) در امتداد آبسیسا
نمودار تابع y = f(kx ) از نمودار تابع به دست می آید y= f(x) با کشش آن به 1/k بارها (زمانی که 0 در امتداد آبسیسا

با فشرده سازی و کشش

y=cos2x

y = cos 0.5x

به خاطر آوردن

قوانین

با فشرده سازی و کشش

نمودار توابع y = -f(kx ) و y=- f(x) از نمودارهای تابع به دست می آید y= f (kx) و y=kf(x) به ترتیب، با انعکاس آنها نسبت به محور x
سینوس یک تابع فرد است، بنابراین sin(-kx) = - sin(kx)

کسینوس یک تابع زوج است، بنابراین cos(-kx) = cos(kx)

با فشرده سازی و کشش

y= - 3سینکس

y=3sinx

به خاطر آوردن

قوانین

با فشرده سازی و کشش

y=-2cosx

به خاطر آوردن

قوانین

با فشرده سازی و کشش

نمودار تابع y= f (kx+b ) از نمودار تابع به دست می آید y= f(x) با انتقال موازی آن به (-V /k) واحدها در امتداد محور x و با کوچک شدن به ک بارها (زمانی که k1) یا کشش در 1/k بارها (زمانی که 0 در امتداد آبسیسا
f(x+b) = f(k(x+b/k))