توابع ابتدایی پایه، خواص و نمودارهای آنها. بررسی توابع نمودار تابع ur

یک سیستم مختصات مستطیلی را روی صفحه انتخاب می کنیم و مقادیر آرگومان را روی محور آبسیسا رسم می کنیم. ایکسو در محور y - مقادیر تابع y = f(x).

نمودار تابع y = f(x)مجموعه تمام نقاط فراخوانی می شود که ابسیساها به دامنه تابع تعلق دارند و مختصات برابر مقادیر مربوط به تابع هستند.

به عبارت دیگر، نمودار تابع y \u003d f (x) مجموعه تمام نقاط صفحه، مختصات است. ایکس، درکه رابطه را ارضا می کند y = f(x).

روی انجیر 45 و 46 نمودار توابع هستند y = 2x + 1و y \u003d x 2 - 2x.

به بیان دقیق، باید بین نمودار یک تابع (تعریف ریاضی دقیق آن در بالا ذکر شد) و منحنی ترسیم شده تمایز قائل شد، که همیشه فقط یک طرح کمابیش دقیق از نمودار را ارائه می دهد (و حتی پس از آن، به عنوان یک قاعده، نه کل نمودار، بلکه فقط بخشی از آن که در قسمت های پایانی صفحه قرار دارد). با این حال، در آنچه در ادامه می‌آید، معمولاً به جای «طرح نمودار» به «نمودار» اشاره می‌کنیم.

با استفاده از نمودار، می توانید مقدار یک تابع را در یک نقطه پیدا کنید. یعنی اگر نکته x = aمتعلق به محدوده عملکرد است y = f(x)، سپس شماره را پیدا کنید f(a)(یعنی مقادیر تابع در نقطه x = a) باید این کار را انجام دهد. نیاز از طریق یک نقطه با آبسیسا x = aیک خط مستقیم موازی با محور y رسم کنید. این خط نمودار تابع را قطع خواهد کرد y = f(x)در یک نقطه؛ ترتیب این نقطه به موجب تعریف نمودار برابر خواهد بود f(a)(شکل 47).

به عنوان مثال، برای تابع f(x) = x 2 - 2xبا استفاده از نمودار (شکل 46) f(-1) = 3، f(0) = 0، f(1) = -l، f(2) = 0 و غیره را پیدا می کنیم.

نمودار تابع به صورت بصری رفتار و ویژگی های یک تابع را نشان می دهد. به عنوان مثال، از در نظر گرفتن شکل. 46 واضح است که تابع y \u003d x 2 - 2xزمانی که ارزش های مثبت می گیرد ایکس< 0 و در x > 2، منفی - در 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2xمی پذیرد در x = 1.

برای رسم یک تابع f(x)شما باید تمام نقاط هواپیما، مختصات را پیدا کنید ایکس,درکه معادله را برآورده می کنند y = f(x). در بیشتر موارد، این غیرممکن است، زیرا چنین نقاطی بی نهایت وجود دارد. بنابراین، نمودار تابع تقریباً - با دقت بیشتر یا کمتر نشان داده می شود. ساده ترین روش رسم چند نقطه ای است. این شامل این واقعیت است که برهان ایکستعداد محدودی از مقادیر را بدهید - مثلا x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k و جدولی بسازید که شامل مقادیر انتخاب شده تابع باشد.

جدول به شکل زیر است:

پس از گردآوری چنین جدولی، می‌توانیم چندین نقطه را در نمودار تابع مشخص کنیم y = f(x). سپس با اتصال این نقاط با یک خط صاف، نمای تقریبی از نمودار تابع به دست می آید y = f(x).

البته باید توجه داشت که روش رسم چند نقطه ای بسیار غیر قابل اعتماد است. در واقع، رفتار نمودار بین نقاط علامت گذاری شده و رفتار آن در خارج از بخش بین نقاط انتهایی گرفته شده ناشناخته باقی می ماند.

مثال 1. برای رسم یک تابع y = f(x)شخصی جدولی از مقادیر آرگومان و تابع را گردآوری کرد:

پنج نقطه مربوطه در شکل نشان داده شده است. 48.

بر اساس موقعیت این نقاط، او به این نتیجه رسید که نمودار تابع یک خط مستقیم است (در شکل 48 با یک خط نقطه نشان داده شده است). آیا می توان این نتیجه گیری را قابل اعتماد دانست؟ تا زمانی که ملاحظات اضافی برای حمایت از این نتیجه وجود نداشته باشد، به سختی می توان آن را قابل اعتماد در نظر گرفت. قابل اعتماد.

برای اثبات ادعای خود، تابع را در نظر بگیرید

محاسبات نشان می دهد که مقادیر این تابع در نقاط -2، -1، 0، 1، 2 فقط توسط جدول بالا توضیح داده شده است. با این حال، نمودار این تابع به هیچ وجه یک خط مستقیم نیست (در شکل 49 نشان داده شده است). مثال دیگر تابع است y = x + l + sinx;معانی آن نیز در جدول بالا توضیح داده شده است.

این مثال‌ها نشان می‌دهند که در شکل «خالص»، روش رسم چند نقطه‌ای قابل اعتماد نیست. بنابراین، برای رسم یک تابع داده شده، به عنوان یک قاعده، به صورت زیر عمل کنید. ابتدا خصوصیات این تابع بررسی می شود که با کمک آن می توان طرحی از نمودار ساخت. سپس با محاسبه مقادیر تابع در چندین نقطه (که انتخاب آنها به ویژگی های مجموعه تابع بستگی دارد)، نقاط مربوط به نمودار پیدا می شود. و در نهایت با استفاده از ویژگی های این تابع، منحنی از میان نقاط ساخته شده رسم می شود.

برخی از (ساده‌ترین و پرکاربردترین) ویژگی‌های توابع مورد استفاده برای یافتن طرحی از یک نمودار را بعداً در نظر خواهیم گرفت و اکنون برخی از روش‌های متداول برای ترسیم نمودارها را تحلیل خواهیم کرد.

نمودار تابع y = |f(x)|.

اغلب لازم است یک تابع رسم شود y = |f(x)|، کجا f(x) -عملکرد داده شده به یاد بیاورید که چگونه این کار انجام می شود. با تعریف قدر مطلق یک عدد می توان نوشت

این به این معنی است که نمودار تابع y=|f(x)|را می توان از نمودار، توابع به دست آورد y = f(x)به صورت زیر: تمام نقاط نمودار تابع y = f(x)، که دستورات آن غیر منفی است، باید بدون تغییر باقی بماند. بیشتر، به جای نقاط نمودار تابع y = f(x)با داشتن مختصات منفی، باید نقاط مربوط به نمودار تابع را ساخت y = -f(x)(یعنی بخشی از نمودار تابع
y = f(x)، که در زیر محور قرار دارد ایکس،باید به طور متقارن حول محور منعکس شود ایکس).

مثال 2یک تابع را ترسیم کنید y = |x|.

نمودار تابع را می گیریم y = x(شکل 50، الف) و بخشی از این نمودار زمانی که ایکس< 0 (در زیر محور خوابیده است ایکس) به طور متقارن حول محور منعکس می شود ایکس. در نتیجه نمودار تابع را بدست می آوریم y = |x|(شکل 50، ب).

مثال 3. یک تابع را ترسیم کنید y = |x 2 - 2x|.

ابتدا تابع را رسم می کنیم y = x 2 - 2x.نمودار این تابع یک سهمی است که شاخه های آن به سمت بالا هستند، قسمت بالای سهمی دارای مختصات (1; -1) است، نمودار آن محور آبسیسا را در نقاط 0 و 2 قطع می کند. در بازه (0؛ 2) ) تابع مقادیر منفی می گیرد، بنابراین این قسمت از نمودار به طور متقارن حول محور x منعکس می شود. شکل 51 نموداری از تابع را نشان می دهد y \u003d |x 2 -2x |، بر اساس نمودار تابع y = x 2 - 2x

نمودار تابع y = f(x) + g(x)

مشکل رسم تابع را در نظر بگیرید y = f(x) + g(x).اگر نمودار توابع داده شود y = f(x)و y = g(x).

توجه داشته باشید که دامنه تابع y = |f(x) + g(х)| مجموعه ای از تمام مقادیر x است که هر دو تابع y = f(x) و y = g(x) برای آنها تعریف شده است، یعنی این دامنه تعریف محل تلاقی دامنه های تعریف، توابع f(x) است. ) و g(x).

اجازه دهید نقاط (x 0، y 1) و (x 0, y 2) به ترتیب متعلق به نمودارهای تابع هستند y = f(x)و y = g(x)، یعنی y 1 \u003d f (x 0)، y 2 \u003d g (x 0).سپس نقطه (x0;. y1 + y2) متعلق به نمودار تابع است y = f(x) + g(x)(برای f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2)،. و هر نقطه از نمودار تابع y = f(x) + g(x)را می توان از این طریق به دست آورد. بنابراین، نمودار تابع y = f(x) + g(x)می توان از نمودارهای تابع بدست آورد y = f(x). و y = g(x)با جایگزین کردن هر نقطه ( x n، y 1) گرافیک تابع y = f(x)نقطه (x n، y 1 + y 2)،جایی که y 2 = g(x n، یعنی با جابجایی هر نقطه ( x n، y 1) نمودار تابع y = f(x)در امتداد محور دربا مقدار y 1 \u003d گرم (x n). در این مورد فقط چنین نکاتی در نظر گرفته می شود. ایکس n که هر دو تابع برای آن تعریف شده است y = f(x)و y = g(x).

این روش رسم نمودار تابع y = f(x) + g(x) به جمع نمودارهای توابع گفته می شود y = f(x)و y = g(x)

مثال 4. در شکل با روش جمع کردن نمودارها، نمودار تابع ساخته شده است
y = x + sinx.

هنگام ترسیم یک تابع y = x + sinxما فرض کردیم که f(x) = x،آ g(x) = sinx.برای ساخت نمودار تابع، نقاطی را با ابسیساهای -1.5π، -، -0.5، 0، 0.5،، 1.5، 2 انتخاب می کنیم. f(x) = x، g(x) = sinx، y = x + sinxما در نقاط انتخاب شده محاسبه می کنیم و نتایج را در جدول قرار می دهیم.

این مطالب روش شناختی فقط برای مرجع است و طیف گسترده ای از موضوعات را پوشش می دهد. این مقاله مروری بر نمودارهای توابع اصلی اصلی ارائه می دهد و مهمترین موضوع را در نظر می گیرد - چگونه به درستی و سریع یک نمودار بسازیم. در دوره تحصیل ریاضیات عالی بدون آگاهی از نمودارهای توابع ابتدایی ابتدایی دشوار خواهد بود، بنابراین بسیار مهم است که به یاد داشته باشید نمودارهای سهمی، هذلولی، سینوس، کسینوس و غیره چگونه به نظر می رسند. از مقادیر توابع همچنین در مورد برخی از ویژگی های توابع اصلی صحبت خواهیم کرد.

من تظاهر به کامل بودن و دقیق بودن علمی مواد نمی کنم، تاکید اول از همه بر روی تمرین خواهد بود - مواردی که با آنها در هر مبحثی از ریاضیات عالی باید به معنای واقعی کلمه در هر مرحله با آن روبرو شد. نمودار برای آدمک ها؟ شما می توانید اینطور بگویید.

با تقاضای عمومی خوانندگان فهرست مطالب قابل کلیک:

علاوه بر این، یک چکیده فوق العاده کوتاه در مورد این موضوع وجود دارد
- با مطالعه شش صفحه بر 16 نوع نمودار مسلط شوید!

جدی، شش، حتی من خودم تعجب کردم. این چکیده شامل گرافیک بهبود یافته است و با هزینه اسمی در دسترس است، نسخه آزمایشی آن قابل مشاهده است. چاپ فایل راحت است تا نمودارها همیشه در دسترس باشند. با تشکر برای حمایت از پروژه!

و بلافاصله شروع می کنیم:

چگونه محورهای مختصات را به درستی بسازیم؟

در عمل، آزمون‌ها تقریباً همیشه توسط دانش‌آموزان در دفترچه‌های جداگانه، ردیف‌شده در قفس، طراحی می‌شوند. چرا به علامت های شطرنجی نیاز دارید؟ پس از همه، کار، در اصل، می تواند بر روی ورق های A4 انجام شود. و قفس فقط برای طراحی با کیفیت و دقیق نقشه ها ضروری است.

هر رسم نمودار تابع با محورهای مختصات شروع می شود.

نقشه ها دو بعدی و سه بعدی هستند.

اجازه دهید ابتدا مورد دو بعدی را در نظر بگیریم سیستم مختصات دکارتی:

1) محورهای مختصات را ترسیم می کنیم. محور نامیده می شود محور x ، و محور محور y . ما همیشه سعی می کنیم آنها را ترسیم کنیم مرتب و کج نیست. همچنین پیکان ها نباید شبیه ریش پاپا کارلو باشند.

2) محورها را با حروف بزرگ "x" و "y" امضا می کنیم. امضای محورها را فراموش نکنید.

3) مقیاس را در امتداد محورها تنظیم کنید: صفر و دو یک را رسم کنید. هنگام ساخت یک نقاشی، راحت ترین و رایج ترین مقیاس این است: 1 واحد = 2 سلول (طراحی در سمت چپ) - در صورت امکان به آن بچسبید. با این حال، هر از گاهی اتفاق می افتد که نقاشی روی یک برگه نوت بوک قرار نمی گیرد - سپس مقیاس را کاهش می دهیم: 1 واحد = 1 سلول (نقاشی در سمت راست). به ندرت، اما این اتفاق می افتد که مقیاس نقاشی باید حتی بیشتر کاهش یابد (یا افزایش یابد).

از مسلسل خط خطی نکنید ... -5، -4، -3، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، ....زیرا هواپیمای مختصات یادبود دکارت نیست و دانش آموز کبوتر نیست. ما گذاشتیم صفرو دو واحد در امتداد محورها. گاهی بجایواحدها، "تشخیص" مقادیر دیگر، به عنوان مثال، "دو" در محور آبسیسا و "سه" در محور مختصات راحت است - و این سیستم (0، 2 و 3) همچنین شبکه مختصات را به طور منحصر به فرد تنظیم می کند.

بهتر است قبل از ترسیم نقشه، ابعاد تخمین زده شده را تخمین بزنید.. بنابراین، برای مثال، اگر کار مستلزم ترسیم مثلث با رئوس، , , باشد، کاملاً واضح است که مقیاس محبوب 1 واحد = 2 سلول کار نخواهد کرد. چرا؟ بیایید به این نکته نگاه کنیم - در اینجا باید پانزده سانتی متر به سمت پایین اندازه گیری کنید، و بدیهی است که نقاشی روی یک برگه نوت بوک قرار نمی گیرد (یا به سختی جا می شود). بنابراین، بلافاصله مقیاس کوچکتر 1 واحد = 1 سلول را انتخاب می کنیم.

به هر حال، حدود سانتی متر و سلول های نوت بوک. آیا این درست است که در 30 سلول نوت بوک 15 سانتی متر وجود دارد؟ با یک خط کش 15 سانتی متر را در دفترچه اندازه بگیرید. در اتحاد جماهیر شوروی، شاید این درست بود ... جالب است بدانید که اگر همین سانتی متر ها را به صورت افقی و عمودی اندازه گیری کنید، نتایج (در سلول ها) متفاوت خواهد بود! به بیان دقیق، نوت بوک های مدرن شطرنجی نیستند، بلکه مستطیلی هستند. ممکن است بیهوده به نظر برسد، اما کشیدن مثلاً یک دایره با قطب نما در چنین شرایطی بسیار ناخوشایند است. صادقانه بگویم، در چنین لحظاتی شما شروع به فکر کردن در مورد درستی رفیق استالین می کنید، که برای کار هک در تولید به اردوگاه ها فرستاده شده بود، نه به صنعت خودروسازی داخلی، سقوط هواپیماها یا انفجار نیروگاه ها.

صحبت از کیفیت، یا یک توصیه کوتاه در مورد لوازم التحریر. تا به امروز، بیشتر نوت‌بوک‌هایی که به فروش می‌رسند، بدون گفتن کلمات بد، کاملاً اجنه هستند. به این دلیل که خیس می شوند و نه تنها از قلم های ژل، بلکه از قلم های توپی نیز! روی کاغذ صرفه جویی کنید. برای طراحی آزمایشات، توصیه می کنم از نوت بوک های آسیاب خمیر و کاغذ Arkhangelsk (18 ورق، سلولی) یا Pyaterochka استفاده کنید، اگرچه گران تر است. توصیه می شود یک قلم ژله ای انتخاب کنید، حتی ارزان ترین ژل پرکننده چینی بسیار بهتر از قلم توپی است که کاغذ را لکه دار یا پاره می کند. تنها قلم توپ "رقابتی" در حافظه من اریش کراوز است. او واضح، زیبا و با ثبات می نویسد - یا با ساقه پر، یا تقریباً خالی.

علاوه بر این: دید یک سیستم مختصات مستطیلی از نگاه هندسه تحلیلی در مقاله پوشش داده شده است. وابستگی خطی (غیر) بردارها. مبنای برداری، اطلاعات دقیق در مورد یک چهارم مختصات را می توانید در پاراگراف دوم درس بیابید نابرابری های خطی.

کیس سه بعدی

اینجا هم تقریبا همینطوره

1) محورهای مختصات را رسم می کنیم. استاندارد: محور کاربردی - جهت به سمت بالا، محور - جهت به سمت راست، محور - به سمت پایین به سمت چپ موکدادر زاویه 45 درجه

2) محورها را امضا می کنیم.

3) مقیاس را در امتداد محورها تنظیم کنید. مقیاس در امتداد محور - دو برابر کمتر از مقیاس در امتداد محورهای دیگر. همچنین توجه داشته باشید که در نقاشی سمت راست، من از یک "سریف" غیر استاندارد در امتداد محور استفاده کردم (این امکان قبلاً در بالا ذکر شد). از نظر من، دقیق‌تر، سریع‌تر و از نظر زیبایی‌شناختی دلپذیرتر است - لازم نیست وسط سلول را زیر میکروسکوپ جستجو کنید و واحد را تا مبدأ "تجسم" کنید.

هنگام انجام دوباره طراحی سه بعدی - اولویت را به مقیاس بدهید
1 واحد = 2 سلول (طراحی در سمت چپ).

همه این قوانین برای چیست؟ قوانین برای شکستن وجود دارد. الان چیکار کنم. واقعیت این است که نقشه های بعدی مقاله توسط من در اکسل انجام خواهد شد و محورهای مختصات از نظر طراحی مناسب نادرست به نظر می رسند. من می‌توانم تمام نمودارها را با دست ترسیم کنم، اما ترسیم آنها واقعاً ترسناک است، زیرا اکسل تمایلی به ترسیم دقیق‌تر آنها ندارد.

نمودارها و ویژگی های اساسی توابع ابتدایی

تابع خطی با معادله به دست می آید. نمودار تابع خطی است مستقیم. برای ایجاد یک خط مستقیم، دانستن دو نقطه کافی است.

مثال 1

تابع را رسم کنید. بیایید دو نکته را پیدا کنیم. انتخاب صفر به عنوان یکی از نقاط سودمند است.

اگر پس از آن

نکته دیگری را در نظر می گیریم، مثلاً 1.

اگر پس از آن

هنگام تهیه وظایف، مختصات نقاط معمولاً در یک جدول خلاصه می شود:

و مقادیر خود به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس، ماشین حساب محاسبه می شوند.

دو نقطه پیدا شد، بیایید رسم کنیم:

هنگام طراحی یک نقاشی، ما همیشه گرافیک را امضا می کنیم.

یادآوری موارد خاص یک تابع خطی اضافی نخواهد بود:

توجه کنید که چگونه زیرنویس ها را قرار دادم، هنگام مطالعه نقاشی، امضاها نباید مبهم باشند. در این مورد، قرار دادن یک امضا در کنار نقطه تلاقی خطوط، یا در پایین سمت راست بین نمودارها بسیار نامطلوب بود.

1) تابع خطی شکل () تناسب مستقیم نامیده می شود. مثلا، . نمودار تناسب مستقیم همیشه از مبدا عبور می کند. بنابراین، ساخت یک خط مستقیم ساده شده است - کافی است فقط یک نقطه را پیدا کنید.

2) یک معادله شکل یک خط مستقیم را به موازات محور تعریف می کند، به ویژه، خود محور توسط معادله داده می شود. نمودار تابع بلافاصله و بدون یافتن هیچ نقطه ای ساخته می شود. یعنی ورودی باید به صورت زیر درک شود: "y همیشه برابر است با -4، برای هر مقدار x."

3) یک معادله شکل یک خط مستقیم را به موازات محور تعریف می کند، به ویژه، خود محور توسط معادله داده می شود. نمودار تابع نیز بلافاصله ساخته می شود. ورودی باید به صورت زیر درک شود: "x همیشه، برای هر مقدار y، برابر با 1 است."

برخی می پرسند خوب چرا کلاس ششم را به یاد می آورید؟! همینطور است، شاید همینطور باشد، فقط در طول سالهای تمرین با ده ها دانش آموز آشنا شدم که از کار ساختن نموداری مانند یا گیج شده بودند.

کشیدن یک خط مستقیم رایج ترین عمل در هنگام طراحی است.

خط مستقیم در درس هندسه تحلیلی به تفصیل مورد بحث قرار می گیرد و علاقه مندان می توانند به مقاله مراجعه کنند. معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.

نمودار تابع درجه دوم، نمودار تابع مکعبی، نمودار چند جمله ای

سهمی. نمودار یک تابع درجه دوم () سهمی است. مورد معروف را در نظر بگیرید:

بیایید برخی از ویژگی های تابع را به یاد بیاوریم.

بنابراین، حل معادله ما: - در این نقطه است که راس سهمی قرار دارد. چرایی چنین است را می توان از مقاله نظری مشتق و درس در مورد مادون تابع فهمید. در ضمن، مقدار مربوط به "y" را محاسبه می کنیم:

بنابراین راس در نقطه است

اکنون نقاط دیگری را می یابیم، در حالی که گستاخانه از تقارن سهمی استفاده می کنیم. لازم به ذکر است که تابع – یکنواخت نیست، اما، با این وجود، هیچ کس تقارن سهمی را لغو نکرد.

فکر می کنم از جدول نهایی مشخص شود که به چه ترتیب امتیازهای باقی مانده را پیدا کنید:

این الگوریتم ساخت و ساز را می توان به صورت مجازی یک «شاتل» یا اصل «پیش و عقب» با آنفیسا چخوا نامید.

بیایید یک نقاشی بکشیم:

از نمودارهای در نظر گرفته شده، ویژگی مفید دیگری به ذهن می رسد:

برای تابع درجه دوم () موارد زیر درست است:

اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند.

اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت پایین هدایت می شوند.

دانش عمیق منحنی را می توان در درس هایپربولا و سهمی بدست آورد.

سهمی مکعبی با تابع داده می شود. در اینجا یک نقاشی آشنا از مدرسه است:

ویژگی های اصلی تابع را فهرست می کنیم

نمودار تابع

یکی از شاخه های سهمی را نشان می دهد. بیایید یک نقاشی بکشیم:

ویژگی های اصلی تابع:

در این مورد، محور است مجانب عمودی برای نمودار هذلولی در .

این یک اشتباه بزرگ خواهد بود اگر هنگام ترسیم یک نقاشی، با سهل انگاری، اجازه دهید نمودار با مجانب قطع شود.

همچنین محدودیت های یک طرفه، به ما بگویید که یک هذلولی است از بالا محدود نمی شودو از پایین محدود نمی شود.

بیایید تابع را در بی‌نهایت بررسی کنیم: یعنی اگر در امتداد محور به سمت چپ (یا راست) به سمت بی‌نهایت حرکت کنیم، «بازی‌ها» یک مرحله باریک خواهند بود. بی نهایت نزدیکنزدیک به صفر، و بر این اساس، شاخه های هذلولی بی نهایت نزدیکبه محور نزدیک شوید

پس محور است مجانب افقی برای نمودار تابع، اگر "x" به مثبت یا منفی بی نهایت تمایل داشته باشد.

تابع است فرد، به این معنی که هذلولی نسبت به مبدا متقارن است. این واقعیت از نقاشی آشکار است، علاوه بر این، به راحتی می توان آن را به صورت تحلیلی تأیید کرد: .

نمودار تابعی از شکل () دو شاخه از هذلولی را نشان می دهد.

اگر، هذلولی در ربع مختصات اول و سوم قرار دارد(تصویر بالا را ببینید).

اگر، هذلولی در ربع مختصات دوم و چهارم قرار دارد.

تجزیه و تحلیل نظم مشخص شده محل سکونت هذلولی از نقطه نظر تبدیل های هندسی نمودارها دشوار نیست.

مثال 3

شاخه سمت راست هذلولی را بسازید

ما از روش ساخت نقطه ای استفاده می کنیم، در حالی که انتخاب مقادیر به گونه ای که کاملاً تقسیم شوند سودمند است:

بیایید یک نقاشی بکشیم:

ساختن شاخه سمت چپ هذلولی دشوار نخواهد بود، در اینجا عجیب بودن تابع به شما کمک می کند. به طور تقریبی، در جدول ساخت نقطه ای، ذهنی به هر عدد یک منهای اضافه کنید، نقاط مربوطه را قرار دهید و شاخه دوم را رسم کنید.

اطلاعات هندسی دقیق در مورد خط در نظر گرفته شده را می توان در مقاله Hyperbola and Parabola یافت.

نمودار یک تابع نمایی

در این پاراگراف، من بلافاصله تابع نمایی را در نظر خواهم گرفت، زیرا در مسائل ریاضیات بالاتر در 95٪ موارد این توان است که رخ می دهد.

یادآوری می کنم که - این یک عدد غیر منطقی است: ، هنگام ساختن یک نمودار لازم است که در واقع بدون تشریفات آن را می سازم. سه نکته احتمالا کافی است:

بیایید نمودار تابع را فعلا به حال خود بگذاریم، بعداً در مورد آن.

ویژگی های اصلی تابع:

اساساً، نمودارهای توابع یکسان به نظر می رسند و غیره.

باید بگویم که مورد دوم در عمل کمتر دیده می شود، اما اتفاق می افتد، بنابراین لازم دیدم آن را در این مقاله قرار دهم.

نمودار تابع لگاریتمی

تابعی را با لگاریتم طبیعی در نظر بگیرید.
بیایید یک خط کشی انجام دهیم:

اگر فراموش کردید لگاریتم چیست به کتاب های درسی مدرسه مراجعه کنید.

ویژگی های اصلی تابع:

دامنه:

محدوده مقادیر: .

عملکرد از بالا محدود نمی شود: ، هرچند به کندی، اما شاخه لگاریتم تا بی نهایت بالا می رود.
ما رفتار تابع نزدیک به صفر در سمت راست را بررسی می کنیم: . پس محور است مجانب عمودی برای نمودار تابعی که "x" در سمت راست به صفر گرایش دارد.

حتماً مقدار معمولی لگاریتم را بدانید و به خاطر بسپارید: .

اساساً، نمودار لگاریتم در پایه یکسان به نظر می رسد: , , (لگاریتم اعشاری به پایه 10) و غیره. در عین حال، هرچه پایه بزرگتر باشد، نمودار صاف تر خواهد بود.

ما این مورد را در نظر نخواهیم گرفت، چیزی که به یاد نمی‌آورم آخرین باری که نموداری با چنین مبنایی ساختم کی بود. بله، و به نظر می رسد لگاریتم مهمان بسیار نادری در مسائل ریاضیات عالی باشد.

در پایان پاراگراف، یک واقعیت دیگر را می گویم: تابع نمایی و تابع لگاریتمیدو تابع معکوس متقابل هستند. اگر به نمودار لگاریتم دقت کنید، می بینید که این همان توان است، فقط کمی متفاوت است.

نمودارهای توابع مثلثاتی

عذاب مثلثاتی چگونه در مدرسه شروع می شود؟ درست. از سینوس

بیایید تابع را رسم کنیم

این خط نامیده می شود سینوسی.

یادآوری می کنم که "پی" یک عدد غیر منطقی است: و در مثلثات در چشم ها خیره می شود.

ویژگی های اصلی تابع:

این تابع است دوره ایبا یک دوره چه مفهومی داره؟ بیایید به برش نگاه کنیم. در سمت چپ و راست آن، دقیقاً همان قطعه نمودار بی انتها تکرار می شود.

دامنه: یعنی برای هر مقدار "x" یک مقدار سینوسی وجود دارد.

محدوده مقادیر: . تابع است محدود: یعنی همه «بازی‌ها» به شدت در بخش قرار می‌گیرند.
این اتفاق نمی افتد: یا به عبارت دقیق تر، اتفاق می افتد، اما این معادلات راه حلی ندارند.

یک تابع خطی تابعی به شکل y=kx+b است که x یک متغیر مستقل است، k و b هر عددی هستند.
نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است.

1. برای رسم نمودار تابع،ما به مختصات دو نقطه متعلق به نمودار تابع نیاز داریم. برای پیدا کردن آنها، باید دو مقدار x بگیرید، آنها را در معادله تابع جایگزین کنید و مقادیر y مربوطه را از آنها محاسبه کنید.

برای مثال، برای رسم تابع y= x+2، راحت است که x=0 و x=3 را در نظر بگیریم، سپس مختصات این نقاط برابر با y=2 و y=3 خواهد بود. امتیاز A(0;2) و B(3;3) را بدست می آوریم. بیایید آنها را به هم وصل کنیم و نمودار تابع y= x+2 را بدست آوریم:

2. در فرمول y=kx+b عدد k را ضریب تناسب می نامند:
اگر k>0 باشد، تابع y=kx+b افزایش می یابد
اگر ک
ضریب b تغییر نمودار تابع را در امتداد محور OY نشان می دهد:
اگر b>0 باشد، نمودار تابع y=kx+b از نمودار تابع y=kx با جابجایی b واحد به بالا در امتداد محور OY به دست می آید.
اگر ب
شکل زیر نمودار توابع y=2x+3 را نشان می دهد. y= ½x+3; y=x+3

توجه داشته باشید که در تمام این توابع ضریب k بالای صفر،و توابع هستند افزایش می یابد.علاوه بر این، هر چه مقدار k بیشتر باشد، زاویه تمایل خط مستقیم به جهت مثبت محور OX بیشتر است.

در همه توابع b=3 - و می بینیم که همه نمودارها محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کنند.

حال نمودارهای توابع y=-2x+3 را در نظر بگیرید. y=- ½ x+3; y=-x+3

این بار در تمامی توابع ضریب k کمتر از صفرو ویژگی ها نزول کردن.ضریب b=3 و نمودارها مانند حالت قبل از محور OY در نقطه (0;3) عبور می کنند.

نمودار توابع y=2x+3 را در نظر بگیرید. y=2x; y=2x-3

حال در تمام معادلات توابع ضرایب k برابر با 2 است و سه خط موازی به دست آوردیم.

اما ضرایب b متفاوت است و این نمودارها محور OY را در نقاط مختلف قطع می کنند:
نمودار تابع y=2x+3 (b=3) از محور OY در نقطه (0;3) عبور می کند.
نمودار تابع y=2x (b=0) از محور OY در نقطه (0;0) - مبدا عبور می کند.
نمودار تابع y=2x-3 (b=-3) از محور OY در نقطه (0;-3) عبور می کند.

بنابراین، اگر نشانه های ضرایب k و b را بدانیم، بلافاصله می توانیم تصور کنیم که نمودار تابع y=kx+b چگونه است.
اگر k 0

اگر k>0 و b>0، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k>0 و b، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k=0، سپس تابع y=kx+b به تابع y=b تبدیل می شود و نمودار آن به شکل زیر است:

مختصات تمام نقاط نمودار تابع y=b برابر با b است اگر b=0، سپس نمودار تابع y=kx (نسبت مستقیم) از مبدأ عبور می کند:

3. به طور جداگانه نمودار معادله x=a را یادداشت می کنیم.نمودار این معادله یک خط مستقیم موازی با محور OY است که تمام نقاط آن دارای ابسیسا x=a هستند.

برای مثال نمودار معادله x=3 به شکل زیر است:
توجه!معادله x=a یک تابع نیست، زیرا یک مقدار آرگومان مربوط به مقادیر مختلف تابع است که با تعریف تابع مطابقت ندارد.

4. شرط موازی بودن دو خط:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 با نمودار تابع y=k 2 x+b 2 موازی است اگر k 1 =k 2

5. شرط عمود بودن دو خط مستقیم:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 بر نمودار تابع y=k 2 x+b 2 عمود است اگر k 1 *k 2 =-1 یا k 1 =-1/k 2

6. نقاط تلاقی نمودار تابع y=kx+b با محورهای مختصات.

با محور OY آبسیسا هر نقطه متعلق به محور OY برابر با صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OY، باید به جای x در معادله تابع، صفر را جایگزین کنید. y=b می گیریم. یعنی نقطه تقاطع با محور OY مختصات (0;b) دارد.

با محور x: ترتیب هر نقطه متعلق به محور x صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OX، باید به جای y در معادله تابع، صفر را جایگزین کنید. 0=kx+b می گیریم. بنابراین x=-b/k. یعنی نقطه تقاطع با محور OX دارای مختصاتی است (-b / k؛ 0):

یک تابع بسازید

ما خدماتی را برای ترسیم نمودارهای تابع به صورت آنلاین مورد توجه شما قرار می دهیم که تمام حقوق آن متعلق به شرکت است دسموس. برای وارد کردن توابع از ستون سمت چپ استفاده کنید. می توانید به صورت دستی یا با استفاده از صفحه کلید مجازی در پایین پنجره وارد شوید. برای بزرگ کردن پنجره نمودار، می توانید هم ستون سمت چپ و هم صفحه کلید مجازی را پنهان کنید.

مزایای نمودار آنلاین

نمایش بصری توابع معرفی شده
ساخت نمودارهای بسیار پیچیده
رسم نمودارهای تعریف شده ضمنی (مثلاً بیضی x^2/9+y^2/16=1)
امکان ذخیره نمودارها و دریافت لینک به آنها که در اینترنت در دسترس همه قرار می گیرد
کنترل مقیاس، رنگ خط
توانایی رسم نمودارها بر اساس نقاط، استفاده از ثابت ها
ساخت چندین نمودار از توابع به طور همزمان
رسم در مختصات قطبی (استفاده از r و θ(\theta))

با ما ساختن نمودارهایی با پیچیدگی های مختلف به صورت آنلاین آسان است. ساخت و ساز فورا انجام می شود. این سرویس برای یافتن نقاط تقاطع توابع، نمایش نمودارها برای انتقال بیشتر آنها به سند Word به عنوان تصاویری برای حل مسائل، برای تجزیه و تحلیل ویژگی های رفتاری نمودارهای تابع مورد تقاضا است. بهترین مرورگر برای کار با نمودار در این صفحه از سایت گوگل کروم است. هنگام استفاده از سایر مرورگرها، عملکرد صحیح تضمین نمی شود.

دانش آموزان مدرسه در همان ابتدای مطالعه جبر با وظیفه ساختن نمودار تابع مواجه می شوند و سال به سال به ساخت آن ادامه می دهند. از نمودار یک تابع خطی، که برای ساخت آن فقط دو نقطه را باید بدانید، شروع کنید، تا یک سهمی، که برای آن از قبل به 6 نقطه، یک هذلولی و یک سینوسی نیاز دارید. هر سال توابع پیچیده‌تر و پیچیده‌تر می‌شوند و دیگر نمی‌توان نمودارهای آن‌ها را براساس یک الگو رسم کرد، باید مطالعات پیچیده‌تری با استفاده از مشتقات و محدودیت‌ها انجام داد.

بیایید بفهمیم که چگونه نمودار یک تابع را پیدا کنیم؟ برای انجام این کار، بیایید با ساده ترین توابع که نمودارهای آنها توسط نقاط ساخته می شوند شروع کنیم و سپس طرحی برای ساخت توابع پیچیده تر در نظر بگیریم.

ترسیم یک تابع خطی

برای ساخت ساده ترین نمودارها از جدول مقادیر تابع استفاده می شود. نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. بیایید سعی کنیم نقاط نمودار تابع y=4x+5 را پیدا کنیم.

برای انجام این کار، دو مقدار دلخواه از متغیر x را می گیریم، آنها را یکی یکی در تابع جایگزین می کنیم، مقدار متغیر y را پیدا می کنیم و همه چیز را در جدول قرار می دهیم.
بیایید مقدار x=0 را در نظر بگیریم و آن را به جای x - 0 با تابع جایگزین کنیم. می‌گیریم: y=4*0+5، یعنی y=5 این مقدار را در جدول زیر 0 بنویسیم. به همین ترتیب، x= را بگیرید. 0، y=4*1+5، y=9 را دریافت می کنیم.
حال برای ساخت نمودار تابع باید این نقاط را در صفحه مختصات رسم کنید. سپس باید یک خط مستقیم بکشید.

ترسیم یک تابع درجه دوم

تابع درجه دوم تابعی به شکل y=ax 2 +bx +c است که x یک متغیر است، a,b,c اعداد هستند (a برابر با 0 نیست). به عنوان مثال: y=x 2، y=x 2 +5، y=(x-3) 2، y=2x 2 +3x+5.

برای ساخت ساده ترین تابع درجه دوم y=x 2 معمولاً 5-7 امتیاز می گیریم. بیایید مقادیر متغیر x را در نظر بگیریم: -2، -1، 0، 1، 2 و مقادیر y را به همان ترتیبی که هنگام ساخت اولین نمودار پیدا می کنیم، پیدا می کنیم.

نمودار تابع درجه دوم سهمی نامیده می شود. پس از ساخت نمودارهای تابع، دانش آموزان وظایف جدیدی در ارتباط با نمودار دارند.

مثال 1: اگر مختصات 9 باشد، ابسیسا نمودار تابع را پیدا کنید، نقطه y=x 2 را پیدا کنید. برای حل مسئله باید مقدار آن را به جای y به جای y در تابع 9 جایگزین کنید، 9=x 2 به دست می آوریم و این معادله را حل می کنیم. . x=3 و x=-3. این را می توان در نمودار تابع نیز مشاهده کرد.

بررسی یک تابع و ساخت نمودار آن

برای ترسیم توابع پیچیده تر، باید چندین مرحله را با هدف مطالعه آن انجام دهید. برای این شما نیاز دارید:

محدوده تابع را پیدا کنید. دامنه تمام مقادیری است که x می تواند بگیرد. از حوزه تعریف، باید آن نقاطی را که مخرج 0 یا عبارت رادیکال منفی می شود حذف کرد.
تابع زوج یا فرد را تنظیم کنید. به یاد بیاورید که زوج تابعی است که شرط f(-x)=f(x) را دارد. نمودار آن با توجه به Oy متقارن است. اگر تابعی با شرط f(-x)=-f(x) باشد فرد خواهد بود. در این حالت نمودار نسبت به مبدا متقارن است.
نقاط تقاطع را با محورهای مختصات پیدا کنید. برای یافتن آبسیسا نقطه تقاطع با محور x باید معادله f(x)=0 را حل کرد (مرتبط 0 است). برای یافتن مختصات نقطه تقاطع با محور Oy باید به جای متغیر x عدد 0 را در تابع جایگزین کرد (آبسیسا 0 است).
مجانب تابع را پیدا کنید. مجانب خطی است که نمودار به طور نامحدود به آن نزدیک می شود، اما هرگز از آن عبور نمی کند. بیایید بفهمیم که چگونه مجانب نمودار یک تابع را پیدا کنیم.
- مجانبی عمودی خط مستقیم به شکل x=a
- مجانب افقی - یک خط مستقیم به شکل y \u003d a
- مجانب مایل - خط مستقیم به شکل y=kx+b
نقاط انتهایی تابع، فواصل افزایش و کاهش تابع را بیابید. نقاط انتهایی تابع را پیدا کنید. برای انجام این کار، باید اولین مشتق را پیدا کنید و آن را با 0 برابر کنید. در این نقاط است که تابع می تواند از افزایش به کاهش تغییر کند. اجازه دهید علامت مشتق را در هر بازه تعیین کنیم. اگر مشتق مثبت باشد، نمودار تابع افزایش می یابد و اگر منفی باشد، کاهش می یابد.
نقاط عطف نمودار تابع، فواصل تحدب بالا و پایین را بیابید.

یافتن نقاط عطف اکنون ساده تر از همیشه است. فقط باید مشتق دوم را پیدا کنید، سپس آن را با صفر برابر کنید. بعد، علامت مشتق دوم را در هر بازه پیدا می کنیم. اگر مثبت باشد، نمودار تابع به سمت پایین محدب است، اگر منفی باشد - بالا.

شاید خواندن آن مفید باشد: