حجم مخروط کوچکتر. حجم مخروطی

برای یافتن حجم مخروط، لازم است ساختارهای اضافی ایجاد شود.

ما یک هرم n-ضلعی منظم می سازیم که در یک مخروط حک شده است و یک هرم n-گونال منظم را در اطراف این مخروط توصیف می کنیم.
یک هرم حکاکی شده در یک مخروط قرار دارد. از این نتیجه می شود که حجم آن از حجم مخروط بیشتر نیست.
هرم توصیف شده حاوی یک مخروط است، به این معنی که حجم آن کمتر از حجم مخروط نیست.

اجازه دهید دایره ای را در قاعده هرم محاطی بنویسیم.
اگر شعاع n-گون منظم محاط شده برابر با R باشد، شعاع دایره محاط شده در آن برابر خواهد بود با:


حجم هرم محاطی شده با فرمول محاسبه می شود:

جایی که S قاعده هرم است.

مساحت قاعده هرم محاطی کمتر از مساحت دایره موجود در آن نیست.
بنابراین، این بیانیه که حجم یک هرم حک شده در یک مخروط حداقل است درست.
بنابراین، می توان ادعا کرد که حجم مخروط حاوی این هرم بزرگتر یا مساوی با
V≥

اکنون دایره ای را در اطراف قاعده هرم شرح داده شده در اطراف مخروط توصیف می کنیم.
شعاع این دایره خواهد بود:

مساحت این دایره با فرمول محاسبه می شود:
قاعده هرم توصیف شده در دایره ای قرار دارد که اطراف آن محصور شده است. بنابراین مساحت قاعده هرم بیشتر از
بنابراین، این جمله که حجم هرم محصور شده دیگر درست نیست.
بنابراین، می توان ادعا کرد که حجم مخروط حاوی این هرم کمتر یا مساوی خواهد بود

دو نابرابری حاصل برای هر n برابر است. اگر پس از آن
سپس از نابرابری اول نتیجه می شود که V≥
از نابرابری دوم

اگر مثلث قائم الزاویه به دور یکی از پایه های آن بچرخد، جسم هندسی به دست می آید که مخروط چرخشی یا مخروط دایره ای راست در نظر گرفته می شود. مخروط توسط پایه و سطح جانبی محدود شده است. در پایه مخروط دایره ای وجود دارد که شعاع آن برابر با مقدار پایه دوم است. خط مستقیمی که از بالای مخروط به قاعده عمود کشیده شده است ارتفاع آن است. حجم یک مخروط با استفاده از چندین فرمول محاسبه می شود. روش اول شامل تعیین حجم یک مخروط زمانی است که ارتفاع و مساحت پایه آن مشخص است، طبق فرمول:

مساحت پایه با S نشان داده می شود.
ارتفاع مخروط از طریق H.

حجم مخروط به صورت حاصل ضرب ارتفاع مخروط ضربدر مساحت قاعده آن بر 3 محاسبه می شود.

با استفاده از ماشین حساب آنلاینشما می توانید به سرعت و به درستی حجم یک مخروط را با هر یک از روش های بالا محاسبه کنید.

محاسبه حجم یک مخروط از طریق مساحت پایه.

روش دوم محاسبه حجم مخروط را با مقدار شعاع آن طبق فرمول پیشنهاد می کند:


r شعاع مخروط است.
h ارتفاع است.

مقدار حجم مخروط برابر با یک سوم حاصل ضرب مجذور شعاع قاعده و ارتفاع و عدد پی برابر با 1415/3 ...

به مخروط ها و استوانه ها رسیدیم. علاوه بر مواردی که قبلاً منتشر شده اند، حدود نه مقاله وجود خواهد داشت، ما همه انواع وظایف را در نظر خواهیم گرفت. اگر در طول سال بانک بازکارهای جدید اضافه خواهد شد، البته در وبلاگ نیز قرار خواهد گرفت. در این مقاله چندین مثال در رابطه با محاسبه حجم ارائه شده است. دانستن فرمول حجم مخروط کافی نیست، اتفاقاً در اینجا آمده است:

ما میتوانیم بنویسیم:

همچنین باید درک کنید که چگونه حجم اجسام مشابه به هم مرتبط هستند. این برای فهمیدن است و نه فقط یادگیری فرمول. او اینجاست:



یعنی اگر ابعاد خطی جسم را k برابر افزایش (کاهش) کنیم، نسبت حجم جسم حاصل به حجم اصلی برابر با k 3 خواهد بود.

توجه داشته باشید! مهم نیست که حجم ها را چگونه تعریف می کنید:

واقعیت این است که در فرآیند حل مسائل هنگام در نظر گرفتن چنین اجسامی، برخی ممکن است با ضریب k اشتباه گرفته شوند. ممکن است این سوال پیش بیاید که برابر است با چیست؟

(بسته به مقدار مشخص شده در شرایط)

همه چیز بستگی به این دارد که به کدام طرف نگاه کنید. درک این موضوع مهم است! یک مثال را در نظر بگیرید - یک مکعب داده شده است، لبه مکعب دوم سه برابر بزرگتر است:

که در این موردضریب شباهت برابر با سه است (لبه سه برابر افزایش می یابد) به این معنی که نسبت به شکل زیر خواهد بود:

یعنی حجم مکعب (بزرگتر) حاصل 27 برابر بزرگتر خواهد بود.

می توانید از آن طرف نگاه کنید.

با توجه به یک مکعب، لبه مکعب دوم سه برابر کوچکتر است:

ضریب شباهت برابر با یک سوم (کاهش لبه به ضریب سه) است که به این معنی است که نسبت به شکل زیر خواهد بود:

یعنی حجم مکعب حاصل 27 برابر کوچکتر خواهد بود.

نتیجه! شاخص ها هنگام تعیین حجم ها مهم نیستند، مهم است که بدانیم اجسام چگونه نسبت به یکدیگر در نظر گرفته می شوند.

واضح است که:

- اگر بدنه اصلی افزایش یابد، ضریب بزرگتر از یک خواهد بود.

- اگر بدنه اصلی کاهش یابد، ضریب کمتر از یک خواهد بود.

در مورد نسبت حجم ها می توان موارد زیر را بیان کرد:

- اگر در مسئله حجم یک جسم بزرگتر را بر یک کوچکتر تقسیم کنیم، مکعب ضریب شباهت را بدست می آوریم و خود ضریب بزرگتر از یک می شود.

- اگر حجم یک جسم کوچکتر را بر یک بزرگتر تقسیم کنیم، مکعب ضریب تشابه را به دست می آوریم و خود ضریب کمتر از یک می شود.

مهم‌ترین چیزی که باید به خاطر داشته باشید این است که وقتی صحبت از VOLUME اجسام مشابه می‌شود، ضریب شباهت دارای درجه سوم است و نه مانند مناطق، درجه دوم.

یک نکته دیگر در رابطه با

این شرایط شامل چیزی به عنوان ژنراتیکس یک مخروط است. این قطعه ای است که بالای مخروط را با نقاط محیط پایه (که با حرف L در شکل نشان داده شده است) وصل می کند.

در اینجا شایان ذکر است که ما مشکلات را فقط با یک مخروط مستقیم (از این پس به سادگی مخروط) تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. مولدهای یک مخروط سمت راست برابر هستند.

وظایف را در نظر بگیرید:

72353. حجم مخروط 10 است. برشی از وسط ارتفاع به موازات قاعده مخروط کشیده می شود که قاعده مخروط کوچکتری با همان رأس است. حجم مخروط کوچکتر را پیدا کنید.

فوراً متذکر می شویم که مخروط های اصلی و کوتاه مشابه هستند و اگر مخروط بریده شده را نسبت به اصلی در نظر بگیریم، می توانیم بگوییم: مخروط کوچکتر شبیه به بزرگتر است با ضریب برابر یک ثانیه یا 0.5. ما میتوانیم بنویسیم:

می شد نوشت:

شما می توانید اینطور فکر کنید!

مخروط اصلی را نسبت به مخروط بریده شده در نظر بگیرید. می توان گفت که مخروط بزرگتر شبیه مخروط بریده شده با ضریب دو است، می نویسیم:

اکنون بدون استفاده از خواص شباهت به راه حل نگاه کنید.

حجم مخروط برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع آن است:

یک برآمدگی جانبی (نمای جانبی) با بخش مشخص شده را در نظر بگیرید:

اگر شعاع مخروط بزرگتر R باشد، ارتفاع آن H است. مقطع (پایه مخروط کوچکتر) از وسط ارتفاع می گذرد، بنابراین ارتفاع آن برابر H / 2 خواهد بود. و شعاع پایه R / 2 است، این از شباهت مثلث ها ناشی می شود.

بیایید حجم مخروط اصلی را بنویسیم:

حجم مخروط برش برابر با:

بنابراین راه حل های دقیقارائه شده است تا بتوانید ببینید چگونه می توانید استدلال بسازید. به هر طریقی عمل کنید - نکته اصلی این است که ماهیت تصمیم را درک کنید. بگذارید راهی که انتخاب می کنید منطقی نباشد، نتیجه مهم است (نتیجه صحیح).

جواب: 1.25

318145. در ظرفی به شکل مخروط، سطح مایع به نصف ارتفاع می رسد. حجم مایع 70 میلی لیتر است. چند میلی لیتر مایع باید اضافه کرد تا ظرف کاملا پر شود؟

این کار مشابه کار قبلی است. اگرچه ما در اینجا در مورد مایع صحبت می کنیم، اما اصل محلول یکسان است.

ما دو مخروط داریم - این خود رگ و مخروط "کوچک" (پر از مایع) است، آنها مشابه هستند. مشخص است که حجم اجسام مشابه به شرح زیر است:

مخروط اصلی (رگ) شبیه مخروط پر از مایع با ضریب 2 است، زیرا گفته می شود که سطح مایع به نصف ارتفاع می رسد. می توانید با جزئیات بیشتر بنویسید:

محاسبه می کنیم:

بنابراین، شما باید اضافه کنید:

جواب: 490

سایر مشکلات مایعات

74257. حجم V مخروطی را بیابید که ژنراتیکس آن 44 است و با زاویه 30 0 به صفحه قاعده متمایل است. پاسخ خود را V/Pi بدهید.

حجم مخروط:

ارتفاع مخروط را با خاصیت مثلث قائم الزاویه می یابیم.

پای مقابل زاویه 30 درجه برابر با نیمی از هیپوتنوز است. هیپوتنوز، در این مورد، ژنراتیکس مخروط است. بنابراین ارتفاع مخروط 22 است.

مربع شعاع پایه را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا می کنیم:

*ما به مربع شعاع نیاز داریم نه خود شعاع.

سپس حجم به صورت زیر خواهد بود:

کره ای که حجم آن 8π است در یک مکعب حک شده است. حجم مکعب را پیدا کنید.

راه حل

بگذارید یک طرف مکعب باشد. سپس حجم مکعب V = a 3 است.

از آنجایی که توپ در یک مکعب حک شده است، شعاع توپ برابر با نصف لبه مکعب است، یعنی R = a/2 (شکل را ببینید).

حجم توپ V w \u003d (4/3)πR 3 است و برابر با 8π است، بنابراین

(4/3)πR 3 = 8π،

و حجم مکعب V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48 است.

وظیفه B9 (مطالعه موردی 2015)

حجم مخروط 32 است. از وسط ارتفاع، مقطعی به موازات قاعده مخروط کشیده می شود که قاعده مخروط کوچکتری با همان راس است. حجم مخروط کوچکتر را پیدا کنید.

راه حل

حجم مخروط بزرگتر V k1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32 است.

حجم مخروط کوچکتر V k2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π است (OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .

یعنی حجم مخروط کوچکتر 8 برابر کوچکتر و برابر 4 است.

وظیفه B9 (مطالعه موردی 2015)

حجم مخروط 40 است. از وسط ارتفاع، مقطعی به موازات قاعده مخروط کشیده می شود که قاعده مخروط کوچکتری با همان راس است. حجم مخروط کوچکتر را پیدا کنید.

راه حل

از آنجایی که بخش از وسط ارتفاع مخروط کشیده می شود، پس AP = 1/2 AO و PK = 1/2 OB. یعنی ارتفاع و شعاع مخروط کوچکتر به ترتیب 2 برابر کمتر از ارتفاع و شعاع مخروط بزرگتر است.

حجم مخروط بزرگتر برابر است با V k1 \u003d (1/3) π (OB) 2 * AO \u003d 40.

حجم مخروط کوچکتر V k2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π است (OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .

در میان انواع اجسام هندسی، یکی از جالب ترین آنها مخروط است. با چرخاندن مثلث قائم الزاویه به دور یکی از پایه هایش به وجود می آید.

نحوه پیدا کردن حجم مخروط - مفاهیم اساسی

قبل از شروع محاسبه حجم مخروط، باید با مفاهیم اولیه آشنا شوید.

  • مخروط دایره ای - پایه چنین مخروطی یک دایره است. اگر قاعده بیضی، سهمی یا هذلولی باشد، به این شکل ها مخروط های بیضوی، سهمی یا هذلولی می گویند. شایان ذکر است که دو نوع مخروط آخر دارای حجم بی نهایت هستند.
  • مخروط بریده قسمتی از مخروط است که بین پایه و صفحه موازی با این پایه قرار دارد که بین بالا و پایه قرار دارد.
  • ارتفاع قطعه ای عمود بر پایه است که از بالا آزاد می شود.
  • ژنراتیکس مخروط قطعه ای است که مرز پایه و قسمت بالایی را به هم وصل می کند.

حجم مخروط

برای محاسبه حجم مخروط از فرمول V=1/3*S*H استفاده می شود که S مساحت پایه و H ارتفاع است. از آنجایی که قاعده مخروط یک دایره است، مساحت آن با فرمول S=nR^2 به دست می آید، که در آن n = 3.14، R شعاع دایره است.

موقعیتی وجود دارد که برخی از پارامترها ناشناخته هستند: ارتفاع، شعاع یا ژنراتیکس. در این مورد، ارزش توسل به قضیه فیثاغورث را دارد. بخش محوری مخروط یک مثلث متساوی الساقین است که از دو قسمت تشکیل شده است راست گوشه، که در آن l هیپوتانوس و H و R پاها هستند. سپس l=(H^2+R^2)^1/2.


حجم مخروط کوتاه شده

مخروط کوتاه شده مخروطی است که قسمت بالایی آن بریده شده است.


برای پیدا کردن حجم چنین مخروطی، به فرمول نیاز دارید:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2)،


که در آن n=3.14، r شعاع دایره مقطع، R شعاع پایه بزرگ، H ارتفاع است.

بخش محوری مخروط بریده شده خواهد بود ذوزنقه متساوی الساقین. بنابراین، اگر لازم است طول ژنراتیکس یک مخروط یا شعاع یکی از دایره ها را بیابید، ارزش دارد از فرمول هایی برای یافتن اضلاع و پایه های ذوزنقه استفاده کنید.

اگر ارتفاع مخروط 8 سانتی متر و شعاع پایه 3 سانتی متر باشد، حجم آن را بیابید.

داده شده: H=8 سانتی متر، R=3 سانتی متر.

ابتدا با استفاده از فرمول S=nR^2 مساحت پایه را پیدا کنید.

S=3.14*3^2=28.26cm^2

حال با استفاده از فرمول V=1/3*S*H حجم مخروط را پیدا می کنیم.

V=1/3*28.26*8=75.36cm^3


چهره های مخروطی شکل در همه جا یافت می شوند: مخروط های پارکینگ، برج های ساختمانی، سایه بان. بنابراین، دانستن چگونگی یافتن حجم یک مخروط گاهی اوقات می تواند هم در زندگی حرفه ای و هم در زندگی روزمره مفید باشد.



 

شاید خواندن آن مفید باشد: