نسبت cos راست گوشه. نظریه تفصیلی با مثال
دستورالعمل
روش 1. با استفاده از قضیه فیثاغورث. قضیه می‌گوید: مجذور هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع‌های پاها. نتیجه این است که هر یک از ضلع های یک مثلث قائم الزاویه را می توان با دانستن دو ضلع دیگر آن محاسبه کرد (شکل 2).
روش 2. از این واقعیت نتیجه می گیرد که میانه از زاویه راستبه هیپوتانوس، 3 مثلث مشابه در بین خود تشکیل می دهند (شکل 3). در این شکل مثلث های ABC، BCD و ACD شبیه هم هستند.
هیپوتنوس ضلعی است در مثلث قائم الزاویه که در مقابل زاویه 90 درجه قرار دارد. برای محاسبه طول آن کافی است طول یکی از پایه ها و مقدار یکی از زوایای تند مثلث را بدانیم.
دستورالعمل
با یک پایه شناخته شده و یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه، اندازه هیپوتنوز می تواند برابر با نسبت پا به کسینوس / سینوس این زاویه باشد، اگر این زاویه مخالف / مجاور آن باشد:
h = C1(یا C2)/sinα.
h = С1(یا С2)/cosα.
مثال: یک مثلث قائم الزاویه ABC با هیپوتانوز AB و زاویه قائمه C داده می شود. بگذارید زاویه B 60 درجه و زاویه A 30 درجه باشد.طول ساق BC 8 سانتی متر است.طول هیپوتانوس AB را پیدا کنید. برای این کار می توانید از یکی از روش های پیشنهادی بالا استفاده کنید:
AB=BC/cos60=8 سانتی متر.
AB = BC/sin30 = 8 سانتی متر.
هیپوتنوس ضلعی از مثلث قائم الزاویه است که در مقابل زاویه قائمه قرار دارد. این بلندترین ضلع مثلث قائم الزاویه است. می توانید آن را با استفاده از قضیه فیثاغورث یا با استفاده از فرمول های توابع مثلثاتی محاسبه کنید.
دستورالعمل
پاها به اضلاع مثلث قائم الزاویه مجاور با زاویه قائم گفته می شود. در شکل، پاها به صورت AB و BC مشخص شده اند. اجازه دهید طول هر دو پا داده شود. بیایید آنها را به عنوان |AB| نشان دهیم و |پیش از میلاد|. برای یافتن طول فرضیه |AC|، از قضیه فیثاغورث استفاده می کنیم. بر اساس این قضیه، مجموع مجذورات پاها برابر است با مجذور هیپوتانوس، یعنی. در نماد طراحی ما |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. از فرمول دریافت می کنیم که طول هیپوتنوز AC به صورت |AC| است = √(|AB|^2 + |BC|^2) .
یک مثال را در نظر بگیرید. طول پاها |AB| = 13، |پیش از میلاد| = 21. با قضیه فیثاغورث، دریافت می کنیم که |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. از شماره 610: |AC| = √610. با استفاده از جدول مربع های اعداد صحیح، متوجه می شویم که عدد 610 مربع کامل هیچ عدد صحیحی نیست. برای به دست آوردن مقدار نهایی طول هیپوتانوس، سعی می کنیم یک مربع کامل را از زیر علامت ریشه خارج کنیم. برای این کار عدد 610 را به فاکتورها تجزیه می کنیم. 610 = 2 * 5 * 61. طبق جدول اعداد اولمی بینیم که 61 یک عدد اول است. بنابراین کاهش بیشتر عدد √610 غیرممکن است. پاسخ نهایی را می گیریم |AC| = √610.
اگر مربع هیپوتانوس مثلاً 675 بود، √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. اگر چنین ریخته گری امکان پذیر است، یک بررسی معکوس انجام دهید - نتیجه را مربع کنید و با مقدار اصلی مقایسه کنید.
یکی از پاها و زاویه مجاور آن را به ما اطلاع دهید. برای قطعیت، ساق |AB| باشد و زاویه α. سپس می توانیم از فرمول کسینوس تابع مثلثاتی استفاده کنیم - کسینوس زاویه برابر است با نسبت پای مجاور به هیپوتانوس. آن ها در نماد ما cos α = |AB| / |AC|. از اینجا طول هیپوتانوس |AC| را بدست می آوریم = |AB| / cosα.
اگر بدانیم ساق |پیش از میلاد| و زاویه α، سپس از فرمول برای محاسبه سینوس زاویه استفاده می کنیم - سینوس زاویه برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتانوس: sin α = |BC| / |AC|. دریافتیم که طول هیپوتانوس به صورت |AC| است = |پیش از میلاد| / cosα.
برای وضوح، یک مثال را در نظر بگیرید. طول ساق |AB| را بگذارید = 15. و زاویه α = 60 درجه. ما |AC| = 15 / cos 60 درجه = 15 / 0.5 = 30.
در نظر بگیرید که چگونه می توانید نتیجه خود را با استفاده از قضیه فیثاغورث بررسی کنید. برای این کار باید طول پایه دوم |BC| را محاسبه کنیم. با استفاده از فرمول مماس زاویه tg α = |BC| / |AC|، به دست می آوریم |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60 درجه = 15 * √3. بعد، قضیه فیثاغورث را اعمال می کنیم، 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 بدست می آوریم. تأیید انجام شد.
پس از محاسبه هیپوتانوس، بررسی کنید که آیا مقدار حاصل قضیه فیثاغورث را برآورده می کند یا خیر.
منابع:
- جدول اعداد اول از 1 تا 10000
پاهادو ضلع کوتاه مثلث قائم الزاویه را که راس آن را تشکیل می دهند نام ببرید که مقدار آن 90 درجه است. ضلع سوم در چنین مثلثی هیپوتنوس نامیده می شود. همه این اضلاع و زوایای مثلث با روابط خاصی به هم مرتبط هستند که به شما امکان می دهد در صورت شناخته شدن چندین پارامتر دیگر، طول ساق را محاسبه کنید.
دستورالعمل
اگر طول دو ضلع دیگر (B و C) یک مثلث قائم الزاویه را بدانید، از قضیه فیثاغورث برای محاسبه طول پایه (A) استفاده کنید. این قضیه بیان می کند که مجموع طول پاها به مربع برابر است با مجذور هیپوتانوس. از این نتیجه می شود که طول هر یک از پایه ها برابر است با ریشه دوم اختلاف بین مربع های طول هایپوتنوز و پای دوم: A=√(C²-B²).
از تعریف تابع مثلثاتی مستقیم "سینوس" برای یک زاویه حاد استفاده کنید، اگر مقدار زاویه (α) مقابل پای محاسبه شده و طول هیپوتانوس (C) را می دانید. این تعریف بیان می کند که سینوس این است زاویه شناخته شدهبرابر با نسبت طول پای مورد نظر به طول هیپوتنوز است. این بدان معنی است که طول پای مورد نظر برابر است با حاصل ضرب طول هیپوتنوز و سینوس زاویه شناخته شده: A=C∗sin(α). برای همان مقادیر شناخته شده، می توانید از تعریف تابع cosecant استفاده کنید و طول مورد نظر را با تقسیم طول هیپوتانوس بر cosecant زاویه شناخته شده A=C/cosec(α) محاسبه کنید.
اگر علاوه بر طول هیپوتنوز (C)، مقدار زاویه تند (β) مجاور پای مورد نظر نیز مشخص باشد، از تعریف کسینوس تابع مثلثاتی مستقیم استفاده کنید. کسینوس این زاویه به عنوان نسبت طول پایه مورد نظر و هیپوتنوز تعریف می شود و از این نظر می توان نتیجه گرفت که طول ساق برابر است با حاصلضرب طول هیپوتانوس و کسینوس معلوم. زاویه: A=C∗cos(β). می توانید از تعریف تابع سکانس استفاده کنید و مقدار مورد نظر را با تقسیم طول هیپوتانوس بر سکنت زاویه شناخته شده A=C/sec(β) محاسبه کنید.
فرمول مورد نیاز را از یک تعریف مشابه برای مشتق مماس تابع مثلثاتی استخراج کنید، اگر علاوه بر مقدار زاویه تند (α) که در مقابل پایه مورد نظر (A) قرار دارد، طول پایه دوم (B) نیز باشد. شناخته شده. مماس زاویه مقابل پایه مورد نظر نسبت طول این پایه به طول پایه دوم است. این بدان معنی است که مقدار مورد نظر برابر با حاصل ضرب طول پایه شناخته شده و مماس زاویه شناخته شده خواهد بود: A=B∗tg(α). از همین مقادیر شناخته شده، فرمول دیگری را می توان با استفاده از تعریف تابع کوتانژانت به دست آورد. در این صورت برای محاسبه طول ساق، یافتن نسبت طول پایه شناخته شده به کوتانژانت زاویه شناخته شده ضروری خواهد بود: A=B/ctg(α).
ویدیو های مرتبط
کلمه "katet" از یونانی به روسی آمده است. در ترجمه دقیق به معنی شاقول یعنی عمود بر سطح زمین است. در ریاضیات به پاهایی گفته می شود که زاویه قائمه مثلث قائم الزاویه را تشکیل می دهند. ضلع مقابل این زاویه را هیپوتنوز می گویند. اصطلاح "پا" نیز در معماری و فناوری جوش استفاده می شود.
یک مثلث قائم الزاویه ACB رسم کنید. پاهای آن را a و b و هپوتنوس آن را c بزنید. تمام اضلاع و زوایای یک مثلث قائم الزاویه با روابط خاصی به هم متصل می شوند. نسبت پای مقابل یکی از زوایای حاد به هیپوتنوز را سینوس این زاویه می نامند. در این مثلث sinCAB=a/c. کسینوس نسبت به هیپوتنوز پای مجاور است، یعنی cosCAB=b/c. روابط معکوس را سکانس و متقاطع می نامند.
سکانت این زاویه با تقسیم هیپوتنوز بر پایه مجاور یعنی secCAB=c/b به دست می آید. معلوم می شود که متقابل کسینوس است، یعنی می توان آن را با فرمول secCAB=1/cosSAB بیان کرد.
کوسکانت برابر است با ضریب تقسیم هیپوتنوز بر پای مخالف و متقابل سینوس است. با استفاده از فرمول cosecCAB=1/sinCAB قابل محاسبه است
هر دو پا توسط مماس و کوتانژانت به هم متصل هستند. که در این موردمماس نسبت ضلع a به ضلع b خواهد بود، یعنی پای مقابل به سمت مجاور. این نسبت را می توان با فرمول tgCAB=a/b بیان کرد. بر این اساس، نسبت معکوس کوتانژانت خواهد بود: ctgCAB=b/a.
نسبت بین اندازه هایپوتنوس و هر دو پا توسط ریاضیدان یونان باستان فیثاغورث تعیین شد. قضیه ای که به نام او نامگذاری شده هنوز توسط مردم استفاده می شود. می گوید که مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها، یعنی c2 \u003d a2 + b2. بر این اساس، هر پا برابر با جذر اختلاف مربع های هیپوتنوز و پای دیگر خواهد بود. این فرمول را می توان به صورت b=√(c2-a2) نوشت.
طول پا را می توان از طریق روابطی که می شناسید نیز بیان کرد. طبق قضایای سینوس ها و کسینوس ها، ساق برابر حاصلضرب هیپوتنوس و یکی از این توابع است. همچنین می توان آن را بر حسب مماس یا کوتانژانت بیان کرد. به عنوان مثال، پایه a را می توان با فرمول a \u003d b * tan CAB پیدا کرد. دقیقاً به همین ترتیب، بسته به مماس یا کوتانژانت داده شده، پایه دوم تعیین می شود.
در معماری از اصطلاح "پا" نیز استفاده می شود. روی یک سرستون یونی اعمال می شود و نشان دهنده یک شاقول از وسط پشت آن است. یعنی در این حالت این عبارت عمود بر یک خط معین را نشان می دهد.
در فناوری جوش، مفهوم "جوش فیله پایه" وجود دارد. مانند موارد دیگر، این کمترین فاصله است. اینجا ما داریم صحبت می کنیمدر مورد شکاف بین یکی از قطعات جوش داده شده تا مرز درز واقع در سطح قسمت دیگر.
ویدیو های مرتبط
منابع:
- ساق و هیپوتنوز چیست
ویدیو های مرتبط
توجه داشته باشید
هنگام محاسبه اضلاع یک مثلث قائم الزاویه، آگاهی از ویژگی های آن می تواند بازی کند:
1) اگر پایه یک زاویه قائمه در مقابل زاویه 30 درجه قرار گیرد، آنگاه برابر است با نیمی از هیپوتنوز.
2) هیپوتنوز همیشه از هر یک از پاها بلندتر است.
3) اگر دایره ای به دور مثلث قائم الزاویه محصور شده باشد، مرکز آن باید در وسط هیپوتنوز قرار گیرد.
مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه توابع مثلثاتی و همچنین کاربرد آنها در عمل می پردازد. این ویژگی ها عبارتند از سینوسی، کسینوس، مماس و کوتانژانت.
سینوس است تابع مثلثاتی ، نسبت قدر پای مقابل به بزرگی هیپوتنوز.
سینوس در مثلثات
همانطور که در بالا ذکر شد، سینوس مستقیماً با مثلثات و توابع مثلثاتی مرتبط است. عملکرد آن توسط
- کمک به محاسبه زاویه، مشروط بر اینکه ابعاد اضلاع مثلث مشخص باشد.
- کمک به محاسبه اندازه ضلع مثلث، مشروط بر اینکه زاویه آن مشخص باشد.
باید به خاطر داشت که مقدار سینوس همیشه برای هر اندازه مثلث یکسان خواهد بود، زیرا سینوس یک اندازه گیری نیست، بلکه یک نسبت است.
در نتیجه، برای محاسبه نشدن این مقدار ثابت برای هر راه حل یک مسئله خاص، جداول مثلثاتی خاصی ایجاد شد. در آنها مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت قبلا محاسبه و ثابت شده است. معمولاً این جداول بر روی برگه کتب درسی جبر و هندسه آورده شده است. آنها همچنین می توانند در اینترنت پیدا شوند.
سینوس در هندسه
هندسه نیاز به تجسم دارد، بنابراین، برای درک در عمل، سینوس یک زاویه چیست، باید یک مثلث با زاویه قائمه رسم کنید.
فرض کنید اضلاع تشکیل دهنده یک زاویه قائمه نامگذاری شده اند الف، ج،زاویه مخالف ایکس.
معمولا طول اضلاع در وظایف نشان داده شده است. بیایید بگوییم a=3، b=4. در این مورد، نسبت تصویر شبیه ¾ خواهد بود. علاوه بر این، اگر اضلاع مثلث مجاور زاویه حاد را طولانی کنیم ایکس، سپس طرفین افزایش می یابد آو Vو هیپوتنوس ضلع سوم مثلث قائم الزاویه ای است که با قاعده زاویه قائمه ندارد. اکنون اضلاع مثلث را می توان به طور متفاوت نامید، به عنوان مثال: m، n، k.
با این اصلاح، قانون مثلثات عمل کرد: طول اضلاع مثلث تغییر کرد، اما نسبت آنها تغییر نکرد.
دانشمندان باستان متوجه این واقعیت شدند که اگر طول اضلاع یک مثلث را هر چند بار که دوست دارید و با حفظ مقدار زاویه x تغییر دهید، نسبت بین اضلاع آن همچنان بدون تغییر باقی می ماند. در مورد ما، طول اضلاع می تواند به صورت زیر تغییر کند: a/b \u003d ¾، زمانی که پهلو بلند شد آتا 6 سانتی متر و V- تا 8 سانتی متر دریافت می کنیم: m/n = 6/8 = 3/4.
نسبت اضلاع در یک مثلث قائم الزاویه از این نظر را می گویند:
- سینوس زاویه x نسبت پای مقابل به هیپوتنوز است: sinx = a/c.
- کسینوس زاویه x نسبت پای مجاور به هیپوتونوس است: cosx = w/s.
- مماس زاویه x نسبت پای مقابل به مجاور است: tgx \u003d a / b؛
- کوتانژانت زاویه x نسبت پای مجاور به طرف مقابل است: ctgx \u003d در / a.
ما مطالعه خود را در مورد مثلثات با مثلث قائم الزاویه شروع می کنیم. بیایید سینوس و کسینوس و همچنین مماس و کتانژانت یک زاویه حاد را تعریف کنیم. اینها اصول مثلثات هستند.
به یاد بیاورید که زاویه راستزاویه ای برابر است با . به عبارت دیگر، نیمی از گوشه باز شده.
گوشه ی تیز- کوچکتر .
زاویه مبهم- بزرگتر در رابطه با چنین زاویه ای، "بلانت" توهین نیست، بلکه یک اصطلاح ریاضی است :-)
بیایید یک مثلث قائم الزاویه رسم کنیم. معمولاً یک زاویه قائمه نشان داده می شود. توجه داشته باشید که طرف مقابل گوشه با همان حرف مشخص می شود، فقط کوچک است. بنابراین، سمتی که در مقابل زاویه قرار دارد نشان داده می شود.
یک زاویه با حرف یونانی مربوطه نشان داده می شود.
هیپوتنوئوسمثلث قائم الزاویه ضلعی است که در مقابل زاویه قائمه قرار دارد.
پاها- طرف مقابل گوشه های تیز.
پای مقابل گوشه نامیده می شود مقابل(نسبت به زاویه). پای دیگر که در یک طرف گوشه قرار دارد نامیده می شود مجاور.
سینوسیزاویه حاد در مثلث قائم الزاویه، نسبت پای مقابل به هیپوتنوز است:
کسینوسزاویه حاد در مثلث قائم الزاویه - نسبت پای مجاور به هیپوتنوز:
مماسزاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه - نسبت پای مخالف به مجاور:
یک تعریف دیگر (معادل): مماس یک زاویه تند نسبت سینوس یک زاویه به کسینوس آن است:
کوتانژانتزاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه - نسبت پای مجاور به مخالف (یا به طور معادل، نسبت کسینوس به سینوس):
به نسبت های اصلی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت توجه کنید که در زیر آورده شده است. آنها در حل مشکلات برای ما مفید خواهند بود.
بیایید برخی از آنها را ثابت کنیم.
1. مجموع زوایای هر مثلث برابر است با . به معنای، مجموع دو زاویه تند یک مثلث قائم الزاویه برابر است با .
2. از یک طرف به عنوان نسبت پای مقابل به هیپوتنوز. از طرف دیگر، از آنجایی که برای زاویه، پا مجاور خواهد بود.
ما آن را دریافت می کنیم 
. به عبارت دیگر، .
3. قضیه فیثاغورث را در نظر بگیرید: 
. بیایید هر دو قسمت را بر اساس تقسیم کنیم:
گرفتیم هویت مثلثاتی اولیه:
بنابراین، با دانستن سینوس یک زاویه، می‌توان کسینوس آن را پیدا کرد و بالعکس.
4. با تقسیم هر دو قسمت از هویت مثلثاتی اصلی، به دست می آوریم:
این بدان معنی است که اگر مماس یک زاویه تند به ما داده شود، می توانیم بلافاصله کسینوس آن را پیدا کنیم.
به همین ترتیب،
بسیار خوب، ما تعاریف و فرمول های نوشتاری داده ایم. اما چرا به سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت نیاز داریم؟
ما آن را میدانیم مجموع زوایای هر مثلث است.
ما می دانیم رابطه بین مهمانیراست گوشه. این قضیه فیثاغورث است: .
معلوم می شود که با دانستن دو زاویه در یک مثلث، می توانید زاویه سوم را پیدا کنید. با دانستن دو ضلع در یک مثلث قائم الزاویه، می توانید سومی را پیدا کنید. بنابراین، برای زوایا - نسبت آنها، برای اضلاع - مال خودشان. اما اگر در مثلث قائم الزاویه یک زاویه (به جز یک قائم الزاویه) و یک ضلع مشخص است، اما باید اضلاع دیگر را پیدا کنید، چه باید کرد؟
در ابتدا سینوس و کسینوس به دلیل نیاز به محاسبه مقادیر در مثلث قائم الزاویه به وجود آمدند. متوجه شدیم که اگر مقدار درجه اندازه گیری زوایای یک مثلث قائم الزاویه تغییر نکند، نسبت ابعاد، مهم نیست که این ضلع ها چقدر از نظر طول تغییر کنند، همیشه ثابت می ماند.اینگونه بود که مفاهیم سینوس و کسینوس معرفی شدند. سینوس یک زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه، نسبت پای مقابل به هیپوتنوز و کسینوس نسبت ساق مجاور به هیپوتنوز است.
قضایای کسینوس و سینوس
اما کسینوس و سینوس نه تنها در مثلث های قائم الزاویه قابل استفاده هستند. برای یافتن مقدار یک زاویه منفرد یا تند، ضلع هر مثلث، کافی است قضیه کسینوس و سینوس را اعمال کنیم.قضیه کسینوس کاملاً ساده است: "مربع یک ضلع مثلث برابر است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر منهای دو برابر حاصلضرب این ضلع ها به وسیله کسینوس زاویه بین آنها."
دو تفسیر از قضیه سینوس وجود دارد: کوچک و گسترده. به گزارش کوچک: «در مثلث، زاویه ها با اضلاع مقابل هم تناسب دارند». این قضیه اغلب به دلیل خاصیت دایره محصور در اطراف یک مثلث بسط می‌یابد: «در مثلث، زاویه‌ها با اضلاع مقابل هم تناسب دارند و نسبت آنها برابر است با قطر دایره محصور شده».
مشتقات
مشتق یک ابزار ریاضی است که نشان می دهد یک تابع با توجه به تغییر در آرگومانش چقدر سریع تغییر می کند. مشتقات در جبر، هندسه، اقتصاد و فیزیک، تعدادی از رشته های فنی استفاده می شود.هنگام حل مسائل، شما باید مقادیر جدولی مشتقات توابع مثلثاتی را بدانید: سینوس و کسینوس. مشتق سینوس کسینوس است و مشتق کسینوس سینوس است اما با علامت منفی.
کاربرد در ریاضیات
به خصوص اغلب از سینوس و کسینوس در حل مثلث قائم الزاویه و مسائل مربوط به آنها استفاده می شود.راحتی سینوس ها و کسینوس ها نیز در فناوری منعکس شده است. ارزیابی زوایا و اضلاع با استفاده از قضایای کسینوس و سینوسی، شکستن اشکال و اجسام پیچیده به مثلث های "ساده" آسان بود. مهندسان و معماران که اغلب با محاسبات نسبت‌های ابعادی و اندازه‌گیری‌های درجه سر و کار دارند، زمان و تلاش زیادی را صرف محاسبه کسینوس و سینوس زوایای غیر جدولی کردند.
سپس جداول بردیس به کمک آمدند که حاوی هزاران مقدار سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت از زوایای مختلف بود. که در زمان شورویبرخی از معلمان دانش آموزان خود را مجبور کردند که صفحات جداول بردیس را حفظ کنند.
در یک مثلث قائم الزاویه، به عنوان ساده ترین چند ضلعی، متخصصان مختلف دانش خود را در زمینه مثلثات در آن روزها تقویت کردند، زمانی که هیچ کس حتی این حوزه از ریاضیات را با آن کلمه نمی نامید. بنابراین، امروزه نمی توان به نویسنده ای اشاره کرد که در این شکل هندسی مسطح، الگوهایی را در نسبت طول اضلاع و بزرگی زاویه ها آشکار کرده است. چنین روابطی توابع مثلثاتی نامیده می شوند و به چندین گروه تقسیم می شوند که اصلی ترین آنها معمولاً توابع "مستقیم" در نظر گرفته می شوند. تنها دو تابع به این گروه اختصاص داده شده است که یکی از آنها سینوس است.
دستورالعمل
طبق تعریف، در مثلث قائم الزاویه یکی از زوایای آن برابر 90 درجه است و با توجه به اینکه مجموع زوایای آن در هندسه اقلیدسی باید برابر با 180 درجه باشد، دو زاویه دیگر تند هستند (یعنی کمتر از 90 درجه). ). قاعده مندی نسبت های دقیقاً این زوایا و طول ضلع ها توابع مثلثاتی را توصیف می کند.
تابعی که سینوس زاویه تند نامیده می شود، نسبت بین طول دو ضلع یک مثلث قائم الزاویه را تعیین می کند که یکی از آنها در مقابل این زاویه تند و دیگری مجاور آن و در مقابل زاویه قائمه قرار دارد. از آنجایی که ضلع مقابل زاویه قائمه در چنین مثلثی، هیپوتنوز نامیده می شود، و دو ضلع دیگر پاها هستند، تعریف تابع سینوس را می توان به عنوان نسبت بین طول های سمت مقابل و هیپوتنوز فرموله کرد.
علاوه بر چنین تعریف ساده ای از این تابع مثلثاتی، امروزه موارد پیچیده تری نیز وجود دارد: از طریق دایره در مختصات دکارتی، از طریق سری، از طریق حل معادلات دیفرانسیل و تابعی. این تابع پیوسته است، یعنی آرگومان های آن ("حوزه تعاریف") می تواند هر عددی باشد - از بی نهایت منفی تا بی نهایت مثبت. و حداکثر و حداقل مقادیر این تابع با محدوده -1 تا +1 محدود می شود - این "محدوده مقادیر آن" است. سینوس حداقل مقدار خود را در زاویه 270 درجه می گیرد که مربوط به 3/2 Pi است و حداکثر در 90 درجه (½ Pi) به دست می آید. مقادیر تابع در 0 درجه، 180 درجه، 360 درجه و غیره صفر می شود. از همه اینها نتیجه می شود که سینوس یک تابع تناوبی است و دوره آن برابر با 360 درجه یا دو برابر عدد Pi است.
برای محاسبات عملی مقادیر این تابع از یک آرگومان داده شده، می توانید از یک ماشین حساب استفاده کنید - اکثریت قریب به اتفاق آنها (از جمله ماشین حساب نرم افزاری داخلی سیستم عاملکامپیوتر شما) گزینه مربوطه را دارد.
ویدیو های مرتبط
دستورالعمل
زاویهدر یک مثلث قائم الزاویه، باید از تعریف کسینوس استفاده کنید و نسبت پای مجاور به هیپوتانوس را پیدا کنید:
cos = a/c، جایی که a طول ساق است، c طول هیپوتانوس است.
اگر نیاز به پیدا کردن کسینوس دارید زاویهدر یک مثلث دلخواه، لازم است از قضیه کسینوس استفاده شود:
اگر زاویه تند باشد: cos؟ = (a2 + b2 - c2)/(2ab);
اگر زاویه منفرد باشد: cos؟ = (c2 - a2 - b2)/(2ab)، که در آن a، b طول اضلاع مجاور گوشه است، c طول ضلع مقابل گوشه است.
اگر نیاز به پیدا کردن کسینوس دارید زاویهدر یک شکل هندسی دلخواه، تعیین مقدار ضروری است زاویهبر حسب درجه یا رادیان و کسینوس زاویهبا استفاده از یک ماشین حساب مهندسی، جداول Bradys یا هر برنامه ریاضی دیگری، اندازه آن را پیدا کنید.
کسینوستابع مثلثاتی اصلی زاویه است. توانایی تعیین کسینوس در جبر برداری هنگام تعیین پیش بینی بردارها بر روی محورهای مختلف مفید است.
دستورالعمل
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)
یک مثلث با اضلاع a، b، c به ترتیب برابر با 3، 4، 5 میلی متر وجود دارد.
پیدا کردن کسینوسزاویه محصور بین اضلاع بزرگ
اجازه دهید زاویه مقابل ضلع a را نشان دهیم، سپس طبق فرمول به دست آمده در بالا، داریم:
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8
پاسخ: 0.8.
اگر مثلث یک مثلث قائم الزاویه است، پس برای پیدا کردن کسینوسو کافی است طول هر دو ضلع زاویه را بدانیم ( کسینوسزاویه راست 0 است).
بگذارید یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع a، b، c وجود داشته باشد، که در آن c فرضیه فرضی است.
همه گزینه ها را در نظر بگیرید:
اگر طول ضلع a و b مشخص باشد cos را پیدا کنید (پایه های مثلث)
بیایید به علاوه از قضیه فیثاغورث استفاده کنیم:
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)
برای بررسی صحت فرمول به دست آمده، مقادیر مثال 1 را در آن جایگزین می کنیم، یعنی.
پس از انجام محاسبات ابتدایی، دریافت می کنیم:
به طور مشابه، وجود دارد کسینوسدر یک مستطیل مثلثدر موارد دیگر:
a و c شناخته شده (هیپوتنوز و پای مخالف)، cos را پیدا کنید؟
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.
با جایگزینی مقادیر a=3 و c=5 از مثال اول، دریافت می کنیم:
b و c شناخته شده اند (هیپوتنوز و ساق مجاور).
cos را پیدا کنید؟
پس از انجام تبدیل های مشابه (نشان داده شده در مثال های 2 و 3)، در این مورد به دست می آوریم کسینوس V مثلثبا استفاده از یک فرمول بسیار ساده محاسبه می شود:
سادگی فرمول مشتق شده به روشی ابتدایی توضیح داده شده است: در واقع، در مجاورت گوشه؟ ساق یک برآمدگی از هیپوتنوز است، بنابراین طول آن برابر است با طول هیپوتنوز ضرب در cos؟.
با جایگزینی مقادیر b=4 و c=5 از مثال اول، دریافت می کنیم:
بنابراین تمام فرمول های ما درست است.
نکته 5: نحوه پیدا کردن زاویه تند در مثلث قائم الزاویه
به طور مستقیم کربنیمثلث احتمالاً یکی از معروف ترین ها از نقطه نظر تاریخی است، شکل های هندسی. "شلوار" فیثاغورثی فقط می تواند با "اورکا!" ارشمیدس.
شما نیاز خواهید داشت
- - ترسیم مثلث؛
- - خط كش؛
- - نقاله
دستورالعمل
مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است. در یک مستطیل مثلثیک زاویه (راست) همیشه 90 درجه خواهد بود و بقیه حاد هستند، یعنی. هر کدام کمتر از 90 درجه برای تعیین زاویه در یک مستطیل مثلثصاف است، اضلاع مثلث را با خط کش اندازه بگیرید و بزرگ ترین را تعیین کنید. هیپوتنوز (AB) نامیده می شود و در مقابل زاویه قائمه (C) قرار دارد. دو ضلع باقیمانده یک زاویه قائمه تشکیل می دهند و پاها (AC, BC) نامیده می شوند.
هنگامی که مشخص کردید کدام زاویه تند است، می توانید زاویه را با نقاله اندازه گیری کنید یا با استفاده از فرمول های ریاضی آن را محاسبه کنید.
برای تعیین مقدار زاویه با استفاده از نقاله، بالای آن را (بیایید آن را با حرف A مشخص کنیم) با یک علامت خاص روی خط کش در مرکز نقاله تراز کنید، پایه AC باید با لبه بالایی آن منطبق باشد. روی قسمت نیم دایره نقاله نقطه ای را که هیپوتنوز AB از آن می گذرد علامت بزنید. مقدار در این نقطه با مقدار زاویه بر حسب درجه مطابقت دارد. اگر 2 مقدار روی نقاله نشان داده شده است، برای یک زاویه حاد باید یک کوچکتر، برای یک بلانت - یک بزرگتر انتخاب کنید.
مقدار حاصل را در جداول مرجع Bradis پیدا کنید و تعیین کنید که کدام زاویه با زاویه دریافتی مطابقت دارد مقدار عددی. مادربزرگ های ما از این روش استفاده می کردند.
امروزه کافی است یک ماشین حساب با عملکرد محاسبه فرمول های مثلثاتی بگیرید. به عنوان مثال، ماشین حساب داخلی ویندوز. برنامه "Calculator" را راه اندازی کنید، در منوی "View" مورد "مهندسی" را انتخاب کنید. سینوس زاویه مورد نظر را محاسبه کنید، برای مثال sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5
با کلیک بر روی دکمه INV در صفحه ماشین حساب، ماشین حساب را به حالت عملکرد معکوس تغییر دهید، سپس بر روی دکمه محاسبه تابع قوس الکتریکی (که به عنوان گناه تا درجه اول منهای روی نمایشگر مشخص شده است) کلیک کنید. کتیبه زیر در پنجره محاسبه ظاهر می شود: asind (0.5) = 30. زاویه مورد نظر 30 درجه است.
منابع:
- جداول بردیس (سینوس، کسینوس)
قضیه کسینوس در ریاضیات بیشتر زمانی استفاده می شود که لازم باشد ضلع سوم را با یک زاویه و دو ضلع پیدا کنیم. با این حال، گاهی اوقات شرایط مشکل برعکس تنظیم می شود: لازم است زاویه برای سه ضلع مشخص شود.
دستورالعمل
تصور کنید مثلثی به شما داده می شود که طول آن دو ضلع شناخته شده و مقدار یک زاویه است. تمام زوایای این مثلث با هم برابر نیستند و اضلاع آن نیز از نظر اندازه متفاوت هستند. زاویه γ در مقابل ضلع مثلث قرار دارد که به عنوان AB تعیین شده است که پایه این شکل است. از طریق این زاویه، و همچنین از طریق اضلاع باقی مانده AC و BC، می توانید آن ضلع مثلث را که ناشناخته است، با استفاده از قضیه کسینوس پیدا کنید و بر اساس آن فرمول زیر را استخراج کنید:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ، که در آن a=BC، b=AB، c=AC
قضیه کسینوس را در غیر این صورت قضیه فیثاغورث تعمیم یافته می نامند.
شاید خواندن آن مفید باشد:
- چه نقاط قوتی باید در رزومه ذکر شود؟;
- روش های تشخیص انگیزش شخصیت;
- زیردستان چه چیزی باید بدانند؟;
- بیان احساسات خود;
- ماتریس توزیع زمان (طبق گفته استفان کاوی);
- حل تعارضات در یک تیم نمونه هایی از نحوه حل تعارضات در یک تیم کاری;
- لیست قارچ های خوراکی جنگلی با عکس، نام و توضیحات;
- چوب ماهون به عنوان ماده;