तृतीय। समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण
कक्षा: 11
पाठ के लिए प्रस्तुति
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पाठ का उद्देश्य:
- एक बहुपद को एक बहुपद से विभाजित करने और हॉर्नर की योजना के उपयोग में कौशल के विकास को बढ़ावा देने के लिए;
- स्प्रेडशीट्स में कौशल को समेकित करें OpenOffice.org Calc;
- नए ज्ञान की धारणा, समझ और प्राथमिक संस्मरण में छात्रों की गतिविधियों को व्यवस्थित करें;
- किसी समस्या की स्थिति को हल करते समय बेज़ाउट के प्रमेय का विश्लेषण और सिद्ध करें: क्या तीसरी डिग्री के बहुपद को कारकों में विघटित करना संभव है;
- उच्च कोटि के समीकरणों को हल करने के लिए बेज़ाउट प्रमेय के उपयोग पर विचार करें;
- तार्किक सोच, ध्यान, भाषण और स्वतंत्र रूप से काम करने की क्षमता के विकास को बढ़ावा देना।
पाठ प्रकार:नई सामग्री का परिचय।
उपकरण:मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, पाठ के लिए प्रस्तुति, कंप्यूटर क्लास।
"दिमाग को बेहतर बनाने के लिए, किसी को याद करने से ज्यादा तर्क करना चाहिए।"
डेसकार्टेस (1596 -1650)। फ्रांसीसी गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी, भाषाविद, दार्शनिक।
कक्षाओं के दौरान
मैं. आयोजन का समय
संयुक्त गतिविधियों में आज हमारा कार्य डेसकार्टेस (स्लाइड 1) के शब्दों की पुष्टि करना है। हमारे पाठ का विषय (स्लाइड 2) "बेज़ाउट का प्रमेय" इतना महत्वपूर्ण है कि इसका उपयोग यूएसई असाइनमेंट और विभिन्न ओलंपियाड में भी किया जाता है। बेज़ाउट प्रमेय उच्च डिग्री के समीकरणों वाले कई कार्यों के समाधान की सुविधा प्रदान करता है। दुर्भाग्य से, इसका अध्ययन केवल प्रोफ़ाइल स्तर पर किया जाता है।
द्वितीय. एक समस्या की स्थिति का उदय
इस पाठ में, हम सीखेंगे कि उच्च कोटि के समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, और हम स्वयं समाधान एल्गोरिथम प्राप्त करेंगे।
प्रश्न हल करें: एक्स 3 - 2x 2 - 6x + 4=0(स्लाइड 3)। एक समस्या उत्पन्न होती है: हम समझते हैं कि समीकरण के बाईं ओर उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक होगा, और चूंकि उत्पाद शून्य है, तो प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करें। ऐसा करने के लिए, आपको तीसरी डिग्री के बहुपद को कारकों में विघटित करने की आवश्यकता है। आख़िर कैसे?क्या हमारे मामले में समूह बनाना या सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर करना संभव है? (नहीं)।
तृतीय. बुनियादी ज्ञान का अद्यतन
याद करें कि बहुपद x 2 - 5x - 6 के गुणनखंड कैसे करें? (स्लाइड 4)।
(वर्ग ट्रिनोमियल को गुणनखंड करने के सूत्र के अनुसार:
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x-x 2), जहाँ x 1 और x 2 ट्रिनोमियल की जड़ें हैं)।
त्रिपद के मूल दो प्रकार से ज्ञात कीजिए। क्या?
(द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र और वीटा प्रमेय द्वारा)।
बोर्ड पर प्रत्येक समूह से एक छात्र को हल करें। बाकी छात्र अपनी नोटबुक में हैं। मिला: x 2 - 5x - 6 \u003d (x - 6) (x + 1)।
इसका मतलब यह है कि ट्रिनोमियल प्रत्येक द्विपद से विभाज्य है: x - 6 और x + 1।
हमारे ट्रिनोमियल के मुक्त पद पर ध्यान दें और इसके भाजक (±1, ±2, ±3, ±6) ज्ञात करें।
कौन से विभाजक ट्रिनोमियल की जड़ें हैं? (-1 और 6)
क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है? (त्रिपद की जड़ें मुक्त पद के विभाजक हैं)।
चतुर्थ. परिकल्पना
तो कौन सा एकपदी बहुपद के मूल ज्ञात करने में आपकी सहायता करेगा?
पी (एक्स) = एक्स 3 - 2x 2 - 6x + 4=0?
(स्वतंत्र सदस्य)।
इसके विभाजक लिखिए: ±1; ±2; ± 4।
प्रत्येक भाजक के लिए बहुपद का मान ज्ञात कीजिए। स्प्रेडशीट के साथ और सीधे:
समूह 1 नोटबुक में गणना करता है, दूसरा समूह OpenOffice.org Calc में कंप्यूटर का उपयोग करता है।
पी(1)= -3
पी(-1)=7
पी(2)=-8
पी(-2)=0
पी(4)=12
पी(-4)=-68
(स्प्रेडशीट्स में गणना करते समय, सेल बी 2 में, छात्र सूत्र दर्ज करते हैं: \u003d ए 1 ^ 3-2 * ए 1 ^ 2-6 * ए 1 + 4। ऑटो-पूर्ण मार्कर का उपयोग करके, वे के मान प्राप्त करते हैं पूरे स्तंभ में बहुपद)।
बहुपद का मूल कौन सा भाजक है? (-2)
इस प्रकार, विस्तार में कारकों में से एक x-(-2) = x + 2 होगा।
अन्य गुणक कैसे खोजें?
("एक कॉलम में" को एक द्विपद में विभाजित करें एक्स + 2)
आप और कैसे कर सकते हैं? (हॉर्नर की योजना के अनुसार)। (स्लाइड 5)
हॉर्नर की योजना क्या है? ( हॉर्नर की योजना एक बहुपद विभाजन एल्गोरिथम है जिसे विशेष मामले के लिए लिखा गया है जब विभाजक एक द्विपद है एक्स-ए).
हम विभाजन करते हैं: पहला समूह "एक स्तंभ में", दूसरा - हॉर्नर योजना के अनुसार।
बिना निशान के विभाजित।
आइए समीकरण पर वापस जाएं: x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=0
x 2 -2x+2=0 एक द्विघात समीकरण है। इसे हल करो:
डी 1 \u003d 4 - 2 \u003d 2; 
उत्तर:-2, .
क्या विभाजित करने पर शेष रह सकता है?इस प्रश्न का उत्तर हम बाद में देंगे। अब x = - 2 पर बहुपद का मान नाम दें। (मान शून्य है)।
कृपया ध्यान दें कि x = - 2 बहुपद का मूल है और बहुपद को x-(-2) से विभाजित करने का शेषफल 0 है।
विचार करें x=1 - समीकरण का मूल नहीं है।
आइए बहुपद को विभाजित करने का प्रयास करें एक्स 1. दूसरा समूह "एक कॉलम में" विभाजन करता है। पहले वाला, हॉर्नर की योजना के अनुसार, एक और पंक्ति के साथ तालिका को पूरक करता है।
तो, x 3 - 2x 2 - 6x + 4 \u003d (x - 1) ∙ (x 2 - x - 7) - 3।
ध्यान दें कि x=1 बहुपद का मूल नहीं है और बहुपद को (x-1) से विभाजित करने का शेष x=1 पर बहुपद के मान के बराबर है।
यहाँ बाकी के बारे में सवाल का जवाब है। हाँ, शेष x के मान के साथ निकला, जो बहुपद का मूल नहीं है।
आइए हॉर्नर की योजना को शेष स्थिर अवधि के विभाजकों के लिए जारी रखें। अब पहले समूह को कंप्यूटर पर और दूसरे को नोटबुक में गणना करने दें।
वी. अनुमान प्रमाण
(स्लाइड 6) आपने शेष के बारे में एक पैटर्न देखा। क्या? (शेष निकला, x के मान के साथ जो बहुपद का मूल नहीं है)।
और आइए इस नियमितता को एक सामान्य रूप में लिखें।
मान लीजिए कि P(x) एक बहुपद और एक संख्या है।
आइए कथन को सिद्ध करें: P(x) को (x - a) से भाग देने का शेषफल P(a) के बराबर है।
सबूत।शेषफल वाले P(x) को (x - a) से विभाजित करें।
हमें पी (एक्स) \u003d (एक्स - ए) क्यू (एक्स) + आर मिलता है; शेषफल की परिभाषा के अनुसार, बहुपद r या तो 0 के बराबर है या घात (x - a) से घात कम है, अर्थात 1 से कम। लेकिन बहुपद की डिग्री केवल 1 से कम है जब यह 0 के बराबर है, और इसलिए दोनों मामलों में आर वास्तव में एक संख्या है - शून्य या गैर-शून्य।
अब समानता P (x) \u003d (x - a) Q (x) + R मान x \u003d a में प्रतिस्थापित करते हुए, हम P (a) \u003d (a - a) Q (x) + R, P प्राप्त करते हैं (ए) \u003d आर , ताकि वास्तव में आर = पी(ए)।
इस पैटर्न को गणितज्ञ बेज़ाउट ने भी नोट किया था।
छात्र संदेश
(स्लाइड 7) एटिएन बेजाउट - फ्रांसीसी गणितज्ञ, पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य (1758 से), 31 मार्च, 1730 को नेमर्स में पैदा हुए थे और 27 सितंबर, 1783 को उनकी मृत्यु हो गई थी। 1763 से बेजाउट ने मिडशिपमैन स्कूल में गणित पढ़ाया और 1768 से रॉयल आर्टिलरी कोर में।
एटिएन बेज़ाउट के मुख्य कार्य उच्च बीजगणित से संबंधित हैं, वे बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए एक सिद्धांत के निर्माण के लिए समर्पित हैं।
रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के सिद्धांत में, उन्होंने निर्धारकों के सिद्धांत के उद्भव में योगदान दिया, उच्च डिग्री के समीकरणों की प्रणालियों से अज्ञात को खत्म करने के सिद्धांत को विकसित किया, प्रमेय को साबित किया (पहले मैकलॉरिन द्वारा तैयार किया गया) कि ऑर्डर एम के दो वक्र और n mn बिंदुओं से अधिक नहीं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
फ्रांस और विदेशों में, 1848 तक, 1764-69 में उनके द्वारा लिखित गणित में उनका छह-खंड का पाठ्यक्रम बहुत लोकप्रिय था।
बेज़ाउट ने अनिश्चित कारकों की विधि विकसित की। प्राथमिक बीजगणित में, इस पद्धति पर आधारित समीकरणों के निकाय को हल करने की विधि का नाम उनके नाम पर रखा गया है।
बेज़ाउट के काम का एक हिस्सा बाहरी प्राक्षेपिकी के लिए समर्पित है।
बीजगणित के मुख्य प्रमेयों में से एक का नाम वैज्ञानिक के नाम पर रखा गया है।
परिणाम
शेषफल क्या होना चाहिए ताकि बहुपद P (x) द्विपद (x - a) से पूरी तरह से विभाजित हो जाए? (0 के बराबर)।
हम बेज़ाउट के प्रमेय से एक परिणाम प्राप्त करते हैं: बहुपद P(x) को पूरी तरह से द्विपद (x - a) से विभाजित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि समानता P(a) = 0 संतुष्ट हो।
छठी. अध्ययन का आत्मसात
(स्लाइड 8) समीकरण को हल करें: एक्स 4 - एक्स 3 - 6x 2 - एक्स + 3 = 0.
बहुपद P (x) \u003d x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 की पूर्णांक जड़ें मुक्त पद की विभाजक होनी चाहिए, इसलिए ये संख्याएँ -1, 1, 3, -3 हो सकती हैं।
हम हॉर्नर स्कीम के अनुसार रूट का चयन करते हैं:
सातवीं. नतीजा: तो बेज़ाउट का प्रमेय हमें क्या देता है? (स्लाइड 9) Bezout की प्रमेय बहुपद की एक जड़ को खोजने के बाद, बहुपद की जड़ों की खोज करना संभव बनाती है, जिसकी डिग्री 1 कम है: यदि P(a) = 0, तो P(x) = (x - a) )Q(x), और यह समीकरण Q (x) = 0 को हल करने के लिए बनी हुई है। कभी-कभी इस तकनीक से - इसे डिग्री कम करना कहा जाता है - आप एक बहुपद की सभी जड़ें पा सकते हैं। |
पहले, एक बहुपद की अवधारणा को एकपदी के बीजगणितीय योग के रूप में परिभाषित किया गया था। यदि एक बहुपद के सभी समान एकपदी दिए गए हैं और चर की डिग्री के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किए गए हैं, तो परिणामी अंकन कहलाता है विहित अंकनबहुपद।
परिभाषा।रूप की अभिव्यक्ति
कहाँ एक्सकुछ चर है, वास्तविक संख्याएँ हैं, और , कहलाती हैं डिग्री बहुपद एन एक चर से एक्स . डिग्रीएक बहुपद अपने विहित संकेतन में एक चर की सबसे बड़ी डिग्री है। यदि चर बहुपद संकेतन में नहीं होता है, अर्थात बहुपद एक स्थिरांक के बराबर है, इसकी डिग्री को 0. के बराबर माना जाता है। बहुपद को अलग से माना जाना चाहिए। इस मामले में, यह माना जाता है कि इसकी डिग्री परिभाषित नहीं है।
उदाहरण।दूसरी डिग्री का बहुपद,
पांचवीं डिग्री बहुपद।
परिभाषा।दो बहुपद बराबरअगर और केवल अगर उनके पास समान शक्तियों के साथ विहित रूपों में समान गुणांक हैं।
परिभाषा. नंबर कहा जाता है बहुपद जड़, अगर इस नंबर को सेट करते समय इसके बजाय एक्सबहुपद का मान 0 होता है, अर्थात दूसरे शब्दों में, समीकरण का मूल होगा
इस प्रकार, एक बहुपद के सभी मूलों तथा एक परिमेय समीकरण के मूलों को ज्ञात करने का कार्य एक ही कार्य है।
ज्ञात एल्गोरिदम द्वारा पहली और दूसरी डिग्री के तर्कसंगत समीकरणों को हल किया जाता है। तीसरी और चौथी डिग्री (कार्डानो और फेरारी के सूत्र) के बहुपदों की जड़ें खोजने के सूत्र भी हैं, हालांकि, उनकी बोझिलता के कारण, उन्हें प्रारंभिक गणित के पाठ्यक्रम में शामिल नहीं किया गया है।
उच्च डिग्री के बहुपदों की जड़ों को खोजने का सामान्य विचार बहुपद का गुणनखंड करना और समीकरण को निम्न डिग्री समीकरणों के समतुल्य सेट के साथ बदलना है।
पिछले विषयों में, बहुपदों के गुणनखंडन के मुख्य तरीकों पर ध्यान दिया गया था: एक सामान्य गुणनखंड निकालना; समूहीकरण; संक्षिप्त गुणन सूत्र।
हालाँकि, समूहीकरण विधि प्रकृति में एल्गोरिथम नहीं है, इसलिए इसे बड़ी डिग्री के बहुपदों पर लागू करना मुश्किल है। आइए कुछ अतिरिक्त प्रमेयों और विधियों पर विचार करें जो उच्च कोटि के बहुपदों का गुणनखंड करना संभव बनाती हैं।
शेष के साथ विभाजन प्रमेय।बता दें कि बहुपद दिए गए हैं, और डिग्री 0 से अलग है, और डिग्री डिग्री से अधिक है। फिर ऐसे बहुपद हैं कि समानता
इसके अलावा, डिग्री से कम डिग्री को बहुपद कहा जाता है भाज्य, बहुपद डिवाइडर,बहुपद अधूरा निजी, और बहुपद शेष .
यदि भाग का शेषफल 0 हो, तो हम उसे कहते हैं बटा हुआपर पूरी तरह, जबकि समानता रूप लेती है:
एक बहुपद द्वारा एक बहुपद को विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म एक संख्या को एक स्तंभ या एक कोने से विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म के समान है। आइए हम एल्गोरिथम के चरणों का वर्णन करें।
लाभांश को एक पंक्ति में लिखें, चर की सभी शक्तियों सहित (जो गायब हैं, 0 के कारक के साथ लिखें)।
"कोने" में लाभांश लिखें, चर की सभी शक्तियों सहित।
अपूर्ण भागफल में पहला पद (मोनोमियल) ज्ञात करने के लिए, आपको भाजक के अग्रणी एकपदी को भाजक के अग्रणी एकपदी से विभाजित करना होगा।
भागफल के परिणामी पहले पद को पूरे भाजक से गुणा करें और परिणाम को भाज्य के अंतर्गत लिखें, और चर के समान अंशों को एक दूसरे के नीचे लिखें।
परिणामी उत्पाद को लाभांश से घटाएं।
एल्गोरिथ्म को परिणामी शेष पर लागू करें, बिंदु 1 से शुरू)।
एल्गोरिथ्म समाप्त हो जाता है जब परिणामी अंतर भाजक की डिग्री से कम होता है। यह शेष है।
उदाहरण. बहुपद को से विभाजित करें।
भाज्य और भाजक लिखिए
हम प्रक्रिया दोहराते हैं
डिग्री भाजक की डिग्री से कम है। तो यह शेष है। विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जाता है:
हॉर्नर की योजना।यदि विभाजक पहली डिग्री का बहुपद है, तो विभाजन प्रक्रिया को सरल बनाया जा सकता है। एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करने के लिए एल्गोरिथम पर विचार करें।
उदाहरण. हॉर्नर की योजना द्वारा बहुपद को विभाजित करें। इस मामले में ए=2. आइए हम एल्गोरिथम निष्पादन के परिणामों को चरण दर चरण लिखें।
इस प्रकार, हम विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखते हैं
टिप्पणी।यदि आपको एक द्विपद द्वारा विभाजित करने की आवश्यकता है
फिर यह तब रूप में परिवर्तित हो जाता है। इससे पता चलता है कि हार्नर योजना के अनुसार भाग देने पर हम प्राप्त करेंगे, तब प्राप्त को भाग देकर वांछित भागफल प्राप्त होगा। ए. बाकी वही रहता है।
बेजाउट की प्रमेय. बहुपद को विभाजित करने का शेषफल उस बिंदु पर बहुपद के मान के बराबर होता है एक्स = ए, अर्थात। . एक बहुपद बिना शेष के विभाज्य है यदि और केवल यदि एक्स = एबहुपद की जड़ है।
इस प्रकार, बहुपद का एक मूल ज्ञात करना ए , हम एक ऐसे कारक का चयन करके इसे गुणनखंडित कर सकते हैं जिसकी डिग्री एक डिग्री से कम है। आप इस गुणक को हॉर्नर योजना के अनुसार, या "कोने" से विभाजित करके पा सकते हैं।
मूल ज्ञात करने का प्रश्न या तो चयन द्वारा या बहुपद के परिमेय मूलों पर प्रमेय का उपयोग करके हल किया जाता है।
प्रमेय।चलो बहुपद 
पूर्णांक गुणांक हैं। यदि एक अलघुकरणीय भिन्न एक बहुपद का एक मूल है, तो उसका अंश पीमुक्त पद का विभाजक और भाजक है क्यूअग्रणी गुणांक का विभाजक है।
यह प्रमेय अंतर्निहित है तर्कसंगत जड़ों को खोजने के लिए एल्गोरिथमबहुपद (यदि कोई हो)।
साधारण भिन्नों के योग में एक बीजगणितीय भिन्न का अपघटन
परिभाषावह भिन्न जिसका अंश और हर बहुपद हो, कहलाती है बीजगणितीय अंश .
एक चर में बीजगणितीय अंशों पर विचार करें। सामान्य तौर पर, उन्हें निम्नानुसार लिखा जा सकता है: जहां अंश डिग्री का बहुपद है एन, भाजक डिग्री का बहुपद है क. यदि , तो भिन्न कहलाती है सही .
को सबसे सरल बीजगणितीय अंशउचित अंश दो प्रकार के होते हैं:
प्रमेय।किसी भी बीजगणितीय अंश को सरल बीजगणितीय अंशों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।
सरल अंशों के योग में एक बीजगणितीय अंश का विस्तार करने के लिए एल्गोरिथम।
- किसी दिए गए अंश के लिए, एक विस्तार लिखा जाता है जिसमें गुणांक अज्ञात माने जाते हैं;
- उसके बाद, समानता के दोनों भागों को एक सामान्य भाजक में घटा दिया जाता है और अंश में प्राप्त बहुपदों के गुणांकों को समान कर दिया जाता है।
- पवित्र लोहबान धारण करने वाली महिलाओं का दिन;
- जुनून-वाहक येवगेनी बोटकिन शहीद येवगेनी बोटकिन;
- पवित्र रैप: चुवाश "ओख्लोबीस्टिन" किशोरों को गायन के साथ प्यार और विनम्रता सिखाता है;
- डायोकेसन मिशनरी पाठ्यक्रम: प्रोटोडेकॉन ए के मिशनरी कार्य पर व्याख्यान;
- कैसे समझें कि स्कॉर्पियो को क्या पसंद है;
- दोस्तों के साथ ज़ोंबी सर्वनाश ऑनलाइन;
- खेल ऑनलाइन ज़ोंबी सर्वनाश खेलते हैं;
- फीफा गेम लॉन्च करने में समस्या;
भाजक का गुणनखंड करें।
उचित अंशों की संख्या और उनके भाजक का प्रकार निर्धारित करें।
समीकरण लिखिए, जिसके बाईं ओर मूल अंश है, दाईं ओर अनिश्चित गुणांक वाले साधारण अंशों का योग है।
दाहिनी ओर के भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ।
भिन्नों के अंशों में बहुपदों को समान करें। बहुपदों की समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करें और इसे अनिश्चित गुणांक ज्ञात करके हल करें।
बेजाउट की प्रमेय, इसकी स्पष्ट सादगी और प्रत्यक्षता के बावजूद, बहुपद सिद्धांत के बुनियादी प्रमेयों में से एक है। इस प्रमेय में, बहुपदों की बीजगणितीय विशेषताएँ (वे पूर्णांकों के रूप में बहुपदों के साथ काम करने की अनुमति देती हैं) उनकी कार्यात्मक विशेषताओं से जुड़ी होती हैं (जो बहुपदों को कार्यों के रूप में मानने की अनुमति देती हैं)।
बेजाउट की प्रमेयबताता है कि एक बहुपद को एक बहुपद से विभाजित करने का शेषफल है।
एक बहुपद के गुणांक एकता के साथ कुछ क्रमविनिमेय रिंग में होते हैं (उदाहरण के लिए, वास्तविक या जटिल संख्याओं के क्षेत्र में)।
बेज़ाउट का प्रमेय - प्रमाण।
बहुपद को शेषफल से विभाजित करना पी (एक्स)एक बहुपद के लिए (एक्स-ए):
इस तथ्य के आधार पर कि डिग्री (एक्स)< deg (x-a) = 1
डिग्री का एक बहुपद है जो शून्य से अधिक नहीं है। हम स्थानापन्न करते हैं, क्योंकि, हमें मिलता है 
.
लेकिन यह प्रमेय नहीं है जो सबसे महत्वपूर्ण है, बल्कि बेज़ाउट के प्रमेय का परिणाम है:
1. संख्या एक बहुपद की जड़ है पी (एक्स)अगर और केवल अगर पी (एक्स)शेष के बिना एक द्विपद में विभाजित करता है एक्स-ए.
इसके आधार पर - बहुपद की जड़ों का समुच्चय पी (एक्स)संबंधित समीकरण की जड़ों के सेट के समान है एक्स-ए.
2. बहुपद का मुक्त पद पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के किसी पूर्णांक मूल से विभाज्य होता है (जब अग्रणी गुणांक एक के बराबर होता है, तो सभी परिमेय मूल पूर्णांक होते हैं)।
3. मान लीजिए कि कम किए गए बहुपद का पूर्णांक मूल है पी (एक्स)पूर्णांक गुणांक के साथ। इसलिए, किसी भी पूर्णांक के लिए, संख्या से विभाज्य है।
Bezout की प्रमेय एक बहुपद की एक जड़ को खोजने के बाद, एक बहुपद की जड़ों को खोजने के लिए संभव बनाता है जिसकी डिग्री पहले से ही 1 कम है: यदि , तो यह बहुपद पी (एक्स)इस तरह दिखेगा:
Bezout के प्रमेय उदाहरण:
एक बहुपद को एक द्विपद से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
Bezout के प्रमेय समाधान के उदाहरण:
Bezout के प्रमेय के आधार पर, वांछित शेष बिंदु पर बहुपद के मान से मेल खाता है। फिर हम पाते हैं, इसके लिए हम अभिव्यक्ति में मान को बहुपद के बजाय प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं:
उत्तर: शेषफल = 5।
हॉर्नर की योजना।
हॉर्नर की योजना- यह बहुपदों का एक विभाजन एल्गोरिथम (हॉर्नर की योजना द्वारा विभाजन) है, एक विशेष मामले के लिए लिखा गया है, यदि भागफल एक द्विपद के बराबर है।
आइए इस एल्गोरिथम का निर्माण करें:
मान लेते हैं कि - विभाज्य
भागफल (इसकी डिग्री एक कम होने की संभावना है), आर- शेष (क्योंकि विभाजन एक बहुपद द्वारा किया जाता है 1डिग्री है, तो शेष की डिग्री एक कम होगी, अर्थात शून्य, इसलिए शेष एक स्थिर है)।
शेषफल के साथ विभाजन की परिभाषा के अनुसार पी (एक्स) = क्यू (एक्स) (एक्स-ए) + आर. बहुपद व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:
हम कोष्ठक खोलते हैं और गुणांक को समान शक्तियों के बराबर करते हैं, जिसके बाद हम भाज्य और भाजक के गुणांक के माध्यम से भागफल के गुणांक को व्यक्त करते हैं:
निम्नलिखित तालिका में गणनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है:
यह उन कक्षों को हाइलाइट करता है जिनकी सामग्री अगले चरण की गणना में शामिल होती है।
हॉर्नर की योजना के उदाहरण:
बहुपद को द्विपद से विभाजित करना आवश्यक है एक्स-2.
दो पंक्तियों वाली तालिका बनाएँ। पहली पंक्ति में हम अपने बहुपद के गुणांक लिखते हैं। दूसरी पंक्ति में, हम निम्नलिखित योजना के अनुसार अधूरे भागफल के गुणांक प्राप्त करेंगे: सबसे पहले, हम इस बहुपद के उच्चतम गुणांक को फिर से लिखते हैं, फिर, अगला गुणांक प्राप्त करने के लिए, हम पिछले गुणांक को गुणा करते हैं। ए = 2और बहुपद के संगत गुणांक के साथ जोड़ें एफ (एक्स). सबसे हालिया गुणांक शेष होगा, और पिछले सभी गुणांक अपूर्ण भागफल के गुणांक होंगे।
एक संख्या एक बहुपद की जड़ है अगर और केवल अगर यह विभाज्य है
चलो _ बहुपद की जड़ हो, यानी द्वारा विभाजित करें, जहां डिग्री डिग्री से कम है, जो बराबर है।इसलिए, डिग्री बराबर है, अर्थात। . साधन, । चूंकि, यह अंतिम समानता से आता है अर्थात .
इसके विपरीत, विभाजित करें, अर्थात। . तब।
परिणाम।एक बहुपद को से भाग देने पर शेषफल बराबर होता है।
प्रथम कोटि के बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं। बेज़ाउट की प्रमेय से पता चलता है कि एक बहुपद की जड़ों को खोजना प्रमुख गुणांक 1 के साथ इसके रैखिक विभाजकों को खोजने के बराबर है।
एक बहुपद को विभाजन-साथ-शेष एल्गोरिथम का उपयोग करके एक रैखिक बहुपद में विभाजित किया जा सकता है, लेकिन एक अधिक सुविधाजनक विभाजन है जिसे हॉर्नर की योजना के रूप में जाना जाता है।
चलो और कहाँ। अंतिम समानता के बाएँ और दाएँ भागों के साथ अज्ञात की समान शक्तियों पर गुणांक की तुलना करने पर, हमारे पास:
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किसी संख्या को बहुपद का गुणन मूल कहा जाता है यदि वह विभाजित होती है, लेकिन अब विभाजित नहीं होती है।
यह मानने के लिए कि संख्या बहुपद की जड़ होगी और क्या बहुलता, आप हॉर्नर की योजना का उपयोग कर सकते हैं। पहले तब से विभाजित किया जाता है, यदि शेष शून्य है, तो परिणामी भागफल को विभाजित किया जाता है, और इसी तरह। जब तक एक गैर-शून्य संतुलन प्राप्त नहीं हो जाता।
किसी बहुपद के अलग-अलग मूलों की संख्या उसकी घात से अधिक नहीं होती।
निम्नलिखित मुख्य प्रमेय का बहुत महत्व है।
मुख्य प्रमेय. गैर-शून्य डिग्री के संख्यात्मक गुणांक वाले किसी भी बहुपद का कम से कम एक मूल (शायद जटिल) होता है।
परिणाम। डिग्री के प्रत्येक बहुपद की डिग्री के रूप में सी (जटिल संख्याओं का सेट) में कई जड़ें होती हैं, प्रत्येक रूट को इसकी बहुलता के रूप में कई बार गिना जाता है।
जहां _ जड़ें, यानी। सेट सी में, प्रत्येक बहुपद रैखिक कारकों के उत्पाद में विघटित होता है। यदि समान कारकों को एक साथ रखा जाए, तो:
जहां पहले से ही अलग-अलग जड़ें, _ जड़ की बहुलता है।
यदि वास्तविक गुणांक वाले बहुपद का एक मूल है, तो संख्या भी एक मूल है
इसका मतलब यह है कि वास्तविक गुणांक वाले बहुपद के जोड़े में जटिल जड़ें होती हैं।
परिणाम।विषम डिग्री के वास्तविक गुणांक वाले बहुपद में वास्तविक जड़ों की विषम संख्या होती है।
चलो और जड़ें तब से विभाज्य है तथा लेकिन चूँकि और कोई सामान्य विभाजक नहीं है, तो यह उत्पाद द्वारा विभाज्य है।
कथन 2।वास्तविक डिग्री गुणांक वाला एक बहुपद हमेशा वास्तविक संख्याओं के सेट पर अपनी वास्तविक जड़ों के अनुरूप रैखिक बहुपदों के उत्पाद में विघटित होता है और संयुग्मित जटिल जड़ों की एक जोड़ी के अनुरूप दूसरी डिग्री बहुपद होता है।
परिमेय फलनों के समाकलों की गणना करते समय, हमें सरलतम अंशों के योग के रूप में परिमेय भिन्न के निरूपण की आवश्यकता होती है।
एक परिमेय भिन्न वह भिन्न है जहां और _ वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं, और एक बहुपद है। एक तर्कसंगत अंश को उचित कहा जाता है यदि अंश की डिग्री भाजक की डिग्री से कम हो। यदि एक परिमेय भिन्न नियमित नहीं है, तो बहुपदों के विभाजन के नियम के अनुसार अंश को भाजक से विभाजित करके, इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ और कुछ बहुपद हैं, और एक उचित परिमेय भिन्न है।
लेम्मा 1.यदि एक उचित तर्कसंगत अंश है, और संख्या बहुपद की बहुलता का वास्तविक मूल है, अर्थात और, फिर वास्तविक गुणांकों के साथ एक वास्तविक संख्या और एक बहुपद है, जहां एक उचित अंश भी है।
यह दिखाना आसान है कि परिणामी व्यंजक वास्तविक गुणांकों वाला एक परिमेय भिन्न है।
लेम्मा 2.यदि एक उचित परिमेय अंश है, और संख्या (और वास्तविक हैं) बहुपद की बहुलता का मूल है, अर्थात और, और यदि, तो वास्तविक संख्याएँ हैं और वास्तविक गुणांकों के साथ एक बहुपद ऐसा है जहाँ एक उचित अंश भी है।
फॉर्म के तर्कसंगत अंश, _ वास्तविक गुणांक वाले ट्रिनोमियल जिनकी वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं, उन्हें सरल (या प्राथमिक) अंश कहा जाता है।
प्रत्येक उचित परिमेय अंश विशिष्ट रूप से साधारण भिन्नों के योग के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
इस तरह के विस्तार को व्यावहारिक रूप से प्राप्त करने में, अनिश्चित गुणांक की तथाकथित विधि सुविधाजनक हो जाती है। इसमें निम्नलिखित शामिल हैं:
इसके अलावा, यदि बहुपद की घात बराबर है, तो अंश में, एक उभयनिष्ठ हर में कमी के बाद, घात का बहुपद प्राप्त होता है, अर्थात गुणांक के साथ बहुपद।
अज्ञात की संख्या भी बराबर है: .
इस प्रकार, अज्ञात के साथ समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है। इस प्रणाली के समाधान का अस्तित्व उपरोक्त प्रमेय से आता है।
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