რა განსხვავებაა პროგრესირებაში? როგორ მოვძებნოთ არითმეტიკული პროგრესია? არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითები ამონახსნით

ბევრს სმენია არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ, მაგრამ ყველამ კარგად არ იცის რა არის ეს. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ შესაბამის განმარტებას და ასევე განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მოვიყვანთ რამდენიმე მაგალითს.

მათემატიკური განმარტება

ასე რომ, თუ ჩვენ ვსაუბრობთ არითმეტიკულ ან ალგებრულ პროგრესიაზე (ეს ცნებები განსაზღვრავს ერთსა და იმავეს), მაშინ ეს ნიშნავს, რომ არსებობს რიცხვების სერია, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ კანონს: სერიებში ყოველი ორი მიმდებარე რიცხვი განსხვავდება ერთი და იგივე მნიშვნელობით. მათემატიკურად ეს ასე წერია:

აქ n ნიშნავს a n ელემენტის რაოდენობას მიმდევრობაში, ხოლო რიცხვი d არის პროგრესიის სხვაობა (მისი სახელი გამომდინარეობს წარმოდგენილი ფორმულიდან).

რას ნიშნავს d განსხვავების ცოდნა? იმის შესახებ, თუ რამდენად დაშორებულია მეზობელი ნომრები. თუმცა, d-ის ცოდნა აუცილებელი, მაგრამ არა საკმარისი პირობაა მთელი პროგრესიის დასადგენად (აღდგენისთვის). თქვენ უნდა იცოდეთ კიდევ ერთი რიცხვი, რომელიც შეიძლება იყოს განხილული სერიის აბსოლუტურად ნებისმიერი ელემენტი, მაგალითად, 4, a10, მაგრამ, როგორც წესი, გამოიყენება პირველი რიცხვი, ანუ 1.

პროგრესირების ელემენტების განსაზღვრის ფორმულები

ზოგადად, ზემოთ მოყვანილი ინფორმაცია უკვე საკმარისია კონკრეტული პრობლემების გადაჭრაზე გადასასვლელად. მიუხედავად ამისა, სანამ არითმეტიკული პროგრესია იქნება მოცემული და საჭირო იქნება მისი განსხვავების პოვნა, ჩვენ წარმოგიდგენთ რამდენიმე სასარგებლო ფორმულას, რითაც ხელს უწყობს პრობლემების გადაჭრის შემდგომ პროცესს.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ მიმდევრობის ნებისმიერი ელემენტი n ნომრით შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

მართლაც, ყველას შეუძლია შეამოწმოს ეს ფორმულა მარტივი ჩამოთვლით: თუ ჩავანაცვლებთ n = 1-ს, მაშინ მივიღებთ პირველ ელემენტს, თუ შევცვლით n = 2-ს, მაშინ გამონათქვამი იძლევა პირველი რიცხვისა და სხვაობის ჯამს და ა.შ.

მრავალი ამოცანის პირობა ისეა შედგენილი, რომ რიცხვების ცნობილი წყვილისთვის, რომელთა რიცხვებიც თანმიმდევრობითაა მოცემული, საჭიროა მთელი რიცხვების სერიის აღდგენა (იპოვეთ განსხვავება და პირველი ელემენტი). ახლა ჩვენ ამ პრობლემას ზოგადი გზით მოვაგვარებთ.

ასე რომ, დავუშვათ, რომ მოგვცეს ორი ელემენტი n და m რიცხვებით. ზემოთ მიღებული ფორმულის გამოყენებით შეგვიძლია შევადგინოთ ორი განტოლების სისტემა:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

უცნობი სიდიდეების საპოვნელად ვიყენებთ ასეთი სისტემის ამოხსნის ცნობილ მარტივ მეთოდს: წყვილად ვაკლებთ მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, ხოლო ტოლობა ძალაში რჩება. Ჩვენ გვაქვს:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

ამრიგად, ჩვენ აღმოვფხვრათ ერთი უცნობი (a 1). ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ საბოლოო გამოხატულება d-ის დასადგენად:

d = (a n - a m) / (n - m), სადაც n > m

ჩვენ მივიღეთ ძალიან მარტივი ფორმულა: იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ სხვაობა d პრობლემის პირობების შესაბამისად, საჭიროა მხოლოდ ავიღოთ თვით ელემენტებსა და მათ სერიულ ნომრებს შორის განსხვავებების თანაფარდობა. ყურადღება უნდა მიექცეს ერთ მნიშვნელოვან პუნქტს: განსხვავებები აღებულია "უფროს" და "უმცროს" წევრებს შორის, ანუ n\u003e m ("უფროსი" - ნიშნავს მიმდევრობის დასაწყისიდან უფრო შორს დგომას, მის აბსოლუტურ მნიშვნელობას შეუძლია. იყოს მეტ-ნაკლებად უფრო "ახალგაზრდა" ელემენტი).

პროგრესიის d სხვაობის გამოხატულება უნდა შეიცვალოს რომელიმე განტოლებაში პრობლემის ამოხსნის დასაწყისში, რათა მივიღოთ პირველი წევრის მნიშვნელობა.

კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების ჩვენს ეპოქაში, ბევრი სკოლის მოსწავლე ცდილობს იპოვნოს გადაწყვეტილებები მათი ამოცანების შესახებ ინტერნეტში, ამიტომ ხშირად ჩნდება ამ ტიპის კითხვები: იპოვნეთ არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება ინტერნეტში. ასეთი მოთხოვნის შემთხვევაში საძიებო სისტემა გამოაჩენს უამრავ ვებ გვერდს, რომლებზედაც გადასვლით მოგიწევთ მდგომარეობიდან ცნობილი მონაცემების შეყვანა (ეს შეიძლება იყოს პროგრესიის ორი წევრი, ან ზოგიერთი მათგანის ჯამი. ) და მყისიერად მიიღეთ პასუხი. მიუხედავად ამისა, პრობლემის გადაჭრისადმი ასეთი მიდგომა არაპროდუქტიულია მოსწავლის განვითარებისა და მისთვის დაკისრებული ამოცანის არსის გააზრების თვალსაზრისით.

გამოსავალი ფორმულების გამოყენების გარეშე

მოდით გადავჭრათ პირველი პრობლემა, მაშინ როდესაც ჩვენ არ გამოვიყენებთ ზემოთ ჩამოთვლილ ფორმულებს. მიეცით რიგის ელემენტები: a6 = 3, a9 = 18. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

ცნობილი ელემენტები ზედიზედ ახლოს არის ერთმანეთთან. რამდენჯერ უნდა დაემატოს განსხვავება d უმცირესს, რომ მივიღოთ უდიდესი? სამჯერ (პირველად d-ს მიმატებით ვიღებთ მე-7 ელემენტს, მეორედ - მერვეს, ბოლოს, მესამედ - მეცხრეს). რა რიცხვი უნდა დაემატოს სამს სამჯერ, რომ მივიღოთ 18? ეს არის ნომერი ხუთი. ნამდვილად:

ამრიგად, უცნობი განსხვავებაა d = 5.

რა თქმა უნდა, გამოსავალი შეიძლება გაკეთდეს შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ეს არ გაკეთებულა განზრახ. პრობლემის გადაჭრის დეტალური ახსნა უნდა გახდეს ნათელი და ნათელი მაგალითი იმისა, თუ რა არის არითმეტიკული პროგრესია.

წინა მსგავსი დავალება

ახლა მოდით გადავჭრათ მსგავსი პრობლემა, მაგრამ შევცვალოთ შეყვანის მონაცემები. ასე რომ, თქვენ უნდა იპოვოთ, თუ a3 = 2, a9 = 19.

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ კვლავ მიმართოთ „შუბლზე“ ამოხსნის მეთოდს. მაგრამ მას შემდეგ, რაც მოცემულია სერიის ელემენტები, რომლებიც შედარებით შორს არიან ერთმანეთისგან, ასეთი მეთოდი არც თუ ისე მოსახერხებელი ხდება. მაგრამ მიღებული ფორმულის გამოყენება სწრაფად მიგვიყვანს პასუხამდე:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83

აქ დავამრგვალეთ საბოლოო რიცხვი. რამდენად გამოიწვია ამ დამრგვალებამ შეცდომა, შეიძლება ვიმსჯელოთ შედეგის შემოწმებით:

a 9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

ეს შედეგი მხოლოდ 0.1%-ით განსხვავდება პირობით მოცემული მნიშვნელობიდან. ამიტომ, გამოყენებული მეასედების დამრგვალება შეიძლება ჩაითვალოს კარგ არჩევნად.

წევრის ფორმულის გამოყენების ამოცანები

განვიხილოთ d უცნობის განსაზღვრის ამოცანის კლასიკური მაგალითი: იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, თუ a1 = 12, a5 = 40.

როდესაც უცნობი ალგებრული მიმდევრობის ორი რიცხვია მოცემული და მათგან ერთი ელემენტია a 1, მაშინ არ გჭირდებათ დიდხანს ფიქრი, მაგრამ დაუყოვნებლივ უნდა გამოიყენოთ a n წევრის ფორმულა. ამ შემთხვევაში გვაქვს:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

ჩვენ მივიღეთ ზუსტი რიცხვი გაყოფისას, ასე რომ, აზრი არ აქვს გამოთვლილი შედეგის სიზუსტის შემოწმებას, როგორც ეს გაკეთდა წინა აბზაცში.

გადავჭრათ კიდევ ერთი მსგავსი პრობლემა: უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, თუ a1 = 16, a8 = 37.

ჩვენ ვიყენებთ წინა მიდგომის მსგავს მიდგომას და ვიღებთ:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

კიდევ რა უნდა იცოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ

უცნობი განსხვავების ან ცალკეული ელემენტების პოვნის ამოცანების გარდა, ხშირად საჭიროა მიმდევრობის პირველი წევრთა ჯამის ამოცანების ამოხსნა. ამ პრობლემების განხილვა სცილდება სტატიის თემის ფარგლებს, თუმცა ინფორმაციის სისრულისთვის წარმოგიდგენთ ზოგად ფორმულას სერიის n რიცხვების ჯამისთვის:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

მაგალითად, თანმიმდევრობა \(2\); \(5\); \(8\); \(თერთმეტი\); \(14\)… არის არითმეტიკული პროგრესია, რადგან ყოველი შემდეგი ელემენტი განსხვავდება წინადან სამით (შეიძლება მიიღოთ წინადან სამის მიმატებით):

ამ პროგრესიაში სხვაობა \(d\) დადებითია (ტოლია \(3\)) და ამიტომ ყოველი შემდეგი წევრი წინაზე მეტია. ასეთ პროგრესებს ე.წ იზრდება.

თუმცა, \(d\) ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი. Მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიაში \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… პროგრესიის სხვაობა \(d\) უდრის მინუს ექვსი.

და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი წინაზე ნაკლები იქნება. ამ პროგრესირებას ე.წ მცირდება.

არითმეტიკული პროგრესიის აღნიშვნა

პროგრესირება აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით.

რიცხვებს, რომლებიც ქმნიან პროგრესიას, მას უწოდებენ წევრები(ან ელემენტები).

ისინი აღინიშნება იგივე ასოებით, როგორც არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ რიცხვითი ინდექსით, რომელიც ტოლია ელემენტის რიცხვის თანმიმდევრობით.

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) შედგება ელემენტებისაგან \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) და ასე შემდეგ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესიისთვის \(a_n = \მარცხნივ\(2; 5; 8; 11; 14…\მარჯვნივ\)\)

ამოცანების ამოხსნა არითმეტიკული პროგრესიით

პრინციპში, ზემოაღნიშნული ინფორმაცია უკვე საკმარისია არითმეტიკული პროგრესიის თითქმის ნებისმიერი პრობლემის გადასაჭრელად (მათ შორის OGE-ში შემოთავაზებული).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით \(b_1=7; d=4\). იპოვეთ \(b_5\).
გამოსავალი:

პასუხი: \(b_5=23\)

მაგალითი (OGE). მოცემულია არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი: \(62; 49; 36…\) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი უარყოფითი წევრის მნიშვნელობა..
გამოსავალი:

	ჩვენ მოცემულია მიმდევრობის პირველი ელემენტები და ვიცით, რომ ეს არის არითმეტიკული პროგრესია. ანუ, თითოეული ელემენტი განსხვავდება მეზობელისაგან ერთი და იგივე რაოდენობით. გაარკვიეთ რომელი გამოკლებით წინა ელემენტს: \(d=49-62=-13\).
	ახლა ჩვენ შეგვიძლია აღვადგინოთ ჩვენი პროგრესი სასურველ (პირველ უარყოფით) ელემენტამდე.
	მზადაა. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

პასუხი: \(-3\)

მაგალითი (OGE). მოცემულია არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული ელემენტი: \(...5; x; 10; 12.5...\) იპოვეთ ელემენტის მნიშვნელობა, რომელიც აღინიშნება ასო \(x\).
გამოსავალი:

	\(x\) საპოვნელად უნდა ვიცოდეთ, რამდენად განსხვავდება შემდეგი ელემენტი წინა ელემენტისგან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესირების განსხვავება. ვიპოვოთ ის ორი ცნობილი მეზობელი ელემენტიდან: \(d=12.5-10=2.5\).
	ახლა კი უპრობლემოდ ვპოულობთ იმას, რასაც ვეძებთ: \(x=5+2.5=7.5\).
	მზადაა. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

პასუხი: \(7,5\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია შემდეგი პირობებით: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი ექვსი წევრის ჯამი.
გამოსავალი:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ პროგრესიის პირველი ექვსი წევრის ჯამი. მაგრამ ჩვენ არ ვიცით მათი მნიშვნელობები, ჩვენ მხოლოდ პირველი ელემენტია მოცემული. ამიტომ, ჩვენ ჯერ რიგრიგობით ვიანგარიშებთ მნიშვნელობებს ჩვენთვის მოცემულის გამოყენებით:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
და ჩვენ გვჭირდება ექვსი ელემენტის გამოთვლის შემდეგ, ვპოულობთ მათ ჯამს.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

მოთხოვნილი თანხა ნაპოვნია.

პასუხი: \(S_6=9\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესიაში \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). იპოვნეთ ამ პროგრესის განსხვავება.
გამოსავალი:

პასუხი: \(d=7\).

მნიშვნელოვანი არითმეტიკული პროგრესის ფორმულები

როგორც ხედავთ, ბევრი არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანის გადაჭრა შესაძლებელია უბრალოდ მთავარის გაგებით - რომ არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების ჯაჭვი და ამ ჯაჭვის ყოველი შემდეგი ელემენტი მიიღება იმავე რიცხვის წინაზე მიმატებით (განსხვავება პროგრესია).

თუმცა, ზოგჯერ არის სიტუაციები, როდესაც ძალიან მოუხერხებელია გადაჭრა "შუბლზე". მაგალითად, წარმოიდგინეთ, რომ პირველ მაგალითში უნდა ვიპოვოთ არა მეხუთე ელემენტი \(b_5\), არამედ სამას ოთხმოცდამეექვსე \(b_(386)\). რა არის, ჩვენ \ (385 \) ჯერ დავამატოთ ოთხი? ან წარმოიდგინეთ, რომ ბოლო მაგალითში თქვენ უნდა იპოვოთ პირველი სამოცდასამი ელემენტის ჯამი. დათვლა დამაბნეველია...

ამიტომ, ასეთ შემთხვევებში, ისინი არ ხსნიან "შუბლზე", არამედ იყენებენ სპეციალურ ფორმულებს, რომლებიც მიღებულია არითმეტიკული პროგრესიისთვის. და მთავარია პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა და პირველი წევრის \(n\) ჯამის ფორმულა.

\(n\)-ე წევრის ფორმულა: \(a_n=a_1+(n-1)d\), სადაც \(a_1\) არის პროგრესიის პირველი წევრი;
\(n\) – საჭირო ელემენტის ნომერი;
\(a_n\) არის პროგრესიის წევრი ნომრით \(n\).

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს სწრაფად ვიპოვოთ მინიმუმ სამასი, თუნდაც მემილიონე ელემენტი, მხოლოდ პირველისა და პროგრესირების განსხვავების ცოდნით.

მაგალითი. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). იპოვეთ \(b_(246)\).
გამოსავალი:

პასუხი: \(b_(246)=1850\).

პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა არის: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), სადაც

\(a_n\) არის ბოლო შეჯამებული ტერმინი;

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით \(a_n=3.4n-0.6\). იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი \(25\) წევრთა ჯამი.
გამოსავალი:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		პირველი ოცდახუთი ელემენტის ჯამის გამოსათვლელად, უნდა ვიცოდეთ პირველი და ოცდამეხუთე წევრის მნიშვნელობა. ჩვენი პროგრესი მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით მისი რიცხვიდან გამომდინარე (იხილეთ დეტალები). მოდით გამოვთვალოთ პირველი ელემენტი \(n\) ერთით ჩანაცვლებით.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		ახლა ჩვენ ვპოულობთ ოცდამეხუთე წევრს \(n\)-ის ნაცვლად ოცდახუთის ჩანაცვლებით.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		აბა, ახლა უპრობლემოდ ვიანგარიშებთ საჭირო თანხას.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		პასუხი მზადაა.

პასუხი: \(S_(25)=1090\).

პირველი ტერმინების ჯამისთვის \(n\) შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ფორმულა: თქვენ უბრალოდ გჭირდებათ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) ნაცვლად \(a_n\) შეცვალეთ მისი ფორმულა \(a_n=a_1+(n-1)d\). ჩვენ ვიღებთ:

პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა არის: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), სადაც

\(S_n\) – პირველი ელემენტების საჭირო ჯამი \(n\);
\(a_1\) არის პირველი წევრი, რომელიც შეჯამდება;
\(d\) – პროგრესირების განსხვავება;
\(n\) - ელემენტების რაოდენობა ჯამში.

მაგალითი. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი \(33\)-ექს წევრთა ჯამი: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
გამოსავალი:

პასუხი: \(S_(33)=-231\).

უფრო რთული არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები

ახლა თქვენ გაქვთ ყველა ინფორმაცია, რომელიც გჭირდებათ თითქმის ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პრობლემის გადასაჭრელად. მოდით დავასრულოთ თემა იმ პრობლემების გათვალისწინებით, რომლებშიც საჭიროა არა მხოლოდ ფორმულების გამოყენება, არამედ ცოტათი ფიქრიც (მათემატიკაში ეს შეიძლება იყოს სასარგებლო ☺)

მაგალითი (OGE). იპოვეთ პროგრესიის ყველა უარყოფითი წევრის ჯამი: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
გამოსავალი:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		დავალება ძალიან ჰგავს წინას. ჩვენ ვიწყებთ ამოხსნას იმავე გზით: ჯერ ვპოულობთ \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ახლა ჩვენ შევცვლით \(d\) ჯამის ფორმულაში ... და აქ ჩნდება პატარა ნიუანსი - ჩვენ არ ვიცით \(n\). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ არ ვიცით რამდენი ტერმინის დამატება იქნება საჭირო. როგორ გავარკვიოთ? მოდი ვიფიქროთ. ჩვენ შევწყვეტთ ელემენტების დამატებას, როდესაც მივიღებთ პირველ დადებით ელემენტს. ანუ, თქვენ უნდა გაარკვიოთ ამ ელემენტის რაოდენობა. Როგორ? მოდით ჩამოვწეროთ არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი ელემენტის გამოთვლის ფორმულა: \(a_n=a_1+(n-1)d\) ჩვენი შემთხვევისთვის.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		ჩვენ გვჭირდება \(a_n\) იყოს ნულზე მეტი. მოდით გავარკვიოთ რისთვის \(n\) მოხდება ეს.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(\|: 0.3\)		უტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ \(0,3\-ზე).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		ჩვენ გადავცემთ მინუს ერთს, არ გვავიწყდება ნიშნების შეცვლა
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		გამოთვლა...
\(n>65,333…\)		…და გამოდის, რომ პირველ დადებით ელემენტს ექნება რიცხვი \(66\). შესაბამისად, ბოლო უარყოფითს აქვს \(n=65\). ყოველ შემთხვევაში, მოდით შევამოწმოთ.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		ამრიგად, ჩვენ უნდა დავამატოთ პირველი \(65\) ელემენტები.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		პასუხი მზადაა.

პასუხი: \(S_(65)=-630.5\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობებით: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). იპოვეთ ჯამი \(26\)-დან \(42\) ელემენტის ჩათვლით.
გამოსავალი:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ამ პრობლემაში თქვენ ასევე უნდა იპოვოთ ელემენტების ჯამი, მაგრამ დაწყებული არა პირველიდან, არამედ \(26\)-დან. ჩვენ არ გვაქვს ამის ფორმულა. როგორ გადაწყვიტოს? მარტივი - რომ მიიღოთ ჯამი \(26\)-დან \(42\)-მდე, ჯერ უნდა იპოვოთ ჯამი \(1\)-დან \(42\)-მდე, შემდეგ კი გამოაკლოთ ჯამი. პირველი \ (25 \)-მდე (იხ. სურათი).
	ჩვენი პროგრესიისთვის \(a_1=-33\) და სხვაობისთვის \(d=4\) (ბოლოს და ბოლოს, წინა ელემენტს ვამატებთ ოთხს, რომ ვიპოვოთ შემდეგი). ამის ცოდნა ჩვენ ვპოულობთ პირველი \(42\)-uh ელემენტების ჯამს.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	ახლა პირველი \(25\)-ე ელემენტების ჯამი.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	და ბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ პასუხს.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

პასუხი: \(S=1683\).

არითმეტიკული პროგრესიისთვის, არის კიდევ რამდენიმე ფორმულა, რომლებიც ჩვენ არ განვიხილეთ ამ სტატიაში მათი დაბალი პრაქტიკული სარგებლობის გამო. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ისინი.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი მარტივი რამ არის. მნიშვნელობითაც და ფორმულითაც. მაგრამ ამ თემაზე ყველანაირი დავალებაა. ელემენტარულიდან საკმაოდ მყარი.

პირველ რიგში, მოდით, შევეხოთ ჯამის მნიშვნელობას და ფორმულას. და მერე გადავწყვეტთ. საკუთარი სიამოვნებისთვის.) ჯამის მნიშვნელობა დაბლავით მარტივია. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ყურადღებით დაამატოთ მისი ყველა წევრი. თუ ეს ტერმინები ცოტაა, შეგიძლიათ დაამატოთ ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. მაგრამ თუ ბევრია, ან ბევრი... დამატება შემაწუხებელია.) ამ შემთხვევაში ფორმულა ზოგავს.

ჯამის ფორმულა მარტივია:

მოდით გავარკვიოთ, რა სახის ასოები შედის ფორმულაში. ეს ბევრ რამეს გაარკვევს.

S n არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. დამატების შედეგი ყველაწევრებთან ერთად პირველიმიერ ბოლო.Ეს არის მნიშვნელოვანი. დაამატე ზუსტად ყველაწევრები ზედიზედ, ხარვეზებისა და ნახტომების გარეშე. და, ზუსტად, დაწყებული პირველი.ისეთ პრობლემებში, როგორიცაა მესამე და მერვე წევრთა ჯამის პოვნა, ან ხუთიდან მეოცემდე ტერმინების ჯამი, ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იმედგაცრუებული იქნება.)

a 1 - პირველიპროგრესის წევრი. აქ ყველაფერი გასაგებია, მარტივია პირველირიგის ნომერი.

a n- ბოლოპროგრესის წევრი. რიგის ბოლო ნომერი. არ არის ძალიან ნაცნობი სახელი, მაგრამ, როდესაც გამოიყენება თანხა, ეს ძალიან შესაფერისია. მერე თავად ნახავ.

ნ არის ბოლო წევრის ნომერი. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ფორმულაში ეს რიცხვი ემთხვევა დამატებული ტერმინების რაოდენობას.

მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ბოლოწევრი a n. შევსება კითხვა: როგორი წევრი იქნება ბოლო,თუ მოცემულია გაუთავებელიარითმეტიკული პროგრესია?

დარწმუნებული პასუხისთვის, თქვენ უნდა გესმოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და ... ყურადღებით წაიკითხეთ დავალება!)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის პოვნის ამოცანაში ყოველთვის ჩნდება ბოლო წევრი (პირდაპირ ან ირიბად), რომელიც შეზღუდული უნდა იყოს.წინააღმდეგ შემთხვევაში, სასრული, კონკრეტული თანხა უბრალოდ არ არსებობს.ამოხსნისთვის არ აქვს მნიშვნელობა რა სახის პროგრესიაა მოცემული: სასრული თუ უსასრულო. არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის მოცემული: რიცხვების რიგით თუ n-ე წევრის ფორმულით.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გვესმოდეს, რომ ფორმულა მუშაობს პროგრესირების პირველი ტერმინიდან რიცხვით ტერმინამდე ნ.სინამდვილეში, ფორმულის სრული სახელი ასე გამოიყურება: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი.ამ პირველივე წევრების რაოდენობა, ე.ი. ნ, განისაზღვრება მხოლოდ ამოცანის მიხედვით. ამოცანაში, მთელი ეს ღირებული ინფორმაცია ხშირად დაშიფრულია, დიახ ... მაგრამ არაფერი, ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ გამოვავლენთ ამ საიდუმლოებებს.)

დავალებების მაგალითები არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის.

პირველ რიგში, სასარგებლო ინფორმაცია:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის ამოცანების მთავარი სირთულე არის ფორმულის ელემენტების სწორი განსაზღვრა.

დავალებების ავტორები სწორედ ამ ელემენტებს შიფრავენ უსაზღვრო ფანტაზიით.) აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ. ელემენტების არსის გაგება, საკმარისია მხოლოდ მათი გაშიფვრა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს დეტალურად. დავიწყოთ დავალებით, რომელიც დაფუძნებულია რეალურ GIA-ზე.

1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a n = 2n-3.5. იპოვეთ პირველი 10 წევრის ჯამი.

Ყოჩაღ. მარტივია.) ფორმულის მიხედვით ოდენობის დასადგენად რა უნდა ვიცოდეთ? პირველი წევრი a 1, ბოლო სემესტრი a nდიახ, ბოლო პერიოდის ნომერი ნ.

სად მივიღოთ ბოლო წევრის ნომერი ნ? დიახ, იმავე ადგილას, მდგომარეობაში! ნათქვამია იპოვე თანხა პირველი 10 წევრი.აბა, რა რიცხვი იქნება ბოლო,მეათე წევრი?) არ დაიჯერებთ, მისი ნომერი მეათეა!) ამიტომ, ნაცვლად a nჩავანაცვლებთ ფორმულაში ა 10, მაგრამ სამაგიეროდ ნ-ათი. ისევ და ისევ, ბოლო წევრის რაოდენობა იგივეა, რაც წევრების რაოდენობა.

რჩება გასარკვევი a 1და ა 10. ეს ადვილად გამოითვლება n-ე წევრის ფორმულით, რომელიც მოცემულია პრობლემის დებულებაში. არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს? ეწვიეთ წინა გაკვეთილს, ამის გარეშე - არაფერი.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

ა 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

ჩვენ გავარკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის ყველა ელემენტის მნიშვნელობა. რჩება მათი ჩანაცვლება და დათვლა:

სულ ეს არის. პასუხი: 75.

კიდევ ერთი დავალება, რომელიც ეფუძნება GIA-ს. ცოტა უფრო რთული:

2. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n), რომლის სხვაობა არის 3,7; a 1 \u003d 2.3. იპოვეთ პირველი 15 წევრის ჯამი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჯამის ფორმულას:

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა მისი რიცხვით. ჩვენ ვეძებთ მარტივ ჩანაცვლებას:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

რჩება ფორმულის ყველა ელემენტის ჩანაცვლება არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის და პასუხის გამოთვლა:

პასუხი: 423.

სხვათა შორის, თუ ჯამის ფორმულაში ნაცვლად a nუბრალოდ ჩაანაცვლეთ n-ე წევრის ფორმულა, მივიღებთ:

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს, ვიღებთ ახალ ფორმულას არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამისთვის:

როგორც ხედავთ, n-ე ტერმინი აქ არ არის საჭირო. a n. ზოგიერთ დავალებაში ეს ფორმულა ძალიან გვეხმარება, დიახ... შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს ფორმულა. და თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ ის საჭირო დროს, როგორც აქ. ყოველივე ამის შემდეგ, ჯამის ფორმულა და n-ე ტერმინის ფორმულა ყველანაირად უნდა ახსოვდეს.)

ახლა დავალება მოკლე დაშიფვრის სახით):

3. იპოვეთ ყველა დადებითი ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომლებიც სამის ჯერადია.

Როგორ! არც პირველი წევრი, არც უკანასკნელი, არც პროგრესი... როგორ ვიცხოვროთ!?

მოგიწევთ თავით იფიქროთ და მდგომარეობიდან ამოიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ყველა ელემენტი. რა არის ორნიშნა რიცხვები - ჩვენ ვიცით. ისინი შედგება ორი რიცხვისაგან.) რა ორნიშნა რიცხვი იქნება პირველი? 10, სავარაუდოდ.) ბოლო რამორნიშნა ნომერი? 99, რა თქმა უნდა! მას სამნიშნა რიცხვები მოჰყვება...

სამის ნამრავლები... ჰმ... ეს ის რიცხვებია, რომლებიც თანაბრად იყოფა სამზე, აი! ათი არ იყოფა სამზე, 11 არ იყოფა... 12... იყოფა! ასე რომ, რაღაც ჩნდება. თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაწეროთ სერიები პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

იქნება ეს სერია არითმეტიკული პროგრესია? Რა თქმა უნდა! თითოეული ტერმინი წინასგან მკაცრად განსხვავდება სამით. თუ ტერმინს ემატება 2, ან 4, ვთქვათ, შედეგი, ე.ი. ახალი რიცხვი აღარ გაიყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა გროვამდე: d = 3.სასარგებლო!)

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავწეროთ პროგრესირების რამდენიმე პარამეტრი:

რა რიცხვი იქნება ნბოლო წევრი? ვინც ფიქრობს, რომ 99 სასიკვდილოდ ცდება... ნომრები - ისინი ყოველთვის მიდიან ზედიზედ და ჩვენი წევრები ხტებიან სამეულს. ისინი არ ემთხვევა.

აქ ორი გამოსავალია. ერთი გზა არის სუპერ შრომისმოყვარეებისთვის. შეგიძლიათ დახატოთ პროგრესია, რიცხვების მთელი რიგი და თითით დათვალოთ ტერმინების რაოდენობა.) მეორე გზა არის მოაზროვნეებისთვის. თქვენ უნდა გახსოვდეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის. თუ ფორმულა გამოიყენება ჩვენს პრობლემაზე, მივიღებთ, რომ 99 არის პროგრესიის ოცდამეათე წევრი. იმათ. n = 30.

ჩვენ ვუყურებთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას:

ვუყურებთ და ვხარობთ.) პრობლემის მდგომარეობიდან ამოვიღეთ ყველაფერი, რაც საჭიროა თანხის გამოსათვლელად:

a 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

რჩება ელემენტარული არითმეტიკა. ჩაანაცვლეთ რიცხვები ფორმულაში და გამოთვალეთ:

პასუხი: 1665 წ

სხვა ტიპის პოპულარული თავსატეხები:

4. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

იპოვეთ წევრთა ჯამი მეოცედან ოცდამეოთხემდე.

ვუყურებთ ჯამის ფორმულას და ... ვნერვიულობთ.) ფორმულა, შეგახსენებთ, ითვლის ჯამს. პირველიდანწევრი. და პრობლემაში თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი მეოცე წლიდან...ფორმულა არ იმუშავებს.

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დახატოთ მთელი პროგრესი ზედიზედ და დააყენოთ წევრები 20-დან 34-მდე. მაგრამ ... რატომღაც ეს სულელურად და დიდი ხნის განმავლობაში გამოდის, არა?)

არსებობს უფრო ელეგანტური გადაწყვეტა. მოდით დავყოთ ჩვენი სერია ორ ნაწილად. პირველი ნაწილი იქნება პირველი ტერმინიდან მეცხრამეტემდე.Მეორე ნაწილი - ოცდათოთხმეტი.გასაგებია, რომ თუ გამოვთვლით პირველი ნაწილის წევრთა ჯამს S 1-19, დავუმატოთ მეორე ნაწილის წევრთა ჯამს S 20-34, ვიღებთ პროგრესირების ჯამს პირველი წევრიდან ოცდამეოთხემდე S 1-34. Ამგვარად:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

ეს გვიჩვენებს, რომ ვიპოვოთ თანხა S 20-34შეიძლება გაკეთდეს მარტივი გამოკლებით

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

განიხილება ორივე ჯამი მარჯვენა მხარეს პირველიდანწევრი, ე.ი. სტანდარტული ჯამის ფორმულა საკმაოდ გამოიყენება მათთვის. ვიწყებთ?

ჩვენ გამოვყოფთ პროგრესირების პარამეტრებს დავალების მდგომარეობიდან:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

პირველი 19 და პირველი 34 წევრის ჯამების გამოსათვლელად დაგვჭირდება მე-19 და 34 წევრი. ჩვენ მათ ვითვლით n-ე წევრის ფორმულის მიხედვით, როგორც ამოცანა 2-ში:

19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

აღარაფერი დარჩა. გამოვაკლოთ 19 წევრის ჯამი 34 წევრის ჯამს:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

პასუხი: 262.5

ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა! ამ პრობლემის გადაჭრაში არის ძალიან სასარგებლო ფუნქცია. პირდაპირი გაანგარიშების ნაცვლად რაც გჭირდებათ (S 20-34),ჩვენ დავთვალეთ რაც, როგორც ჩანს, არ არის საჭირო - S 1-19.და მერე გადაწყვიტეს S 20-34სრული შედეგიდან არასაჭიროს უგულებელყოფა. ასეთი "ყურებით გამონათქვამი" ხშირად ზოგავს ბოროტ თავსატეხებში.)

ამ გაკვეთილზე განვიხილეთ პრობლემები, რომლებისთვისაც საკმარისია არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის მნიშვნელობის გაგება. კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა.)

პრაქტიკული რჩევა:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამისთვის რაიმე ამოცანის გადაჭრისას, გირჩევთ დაუყოვნებლივ ამოწეროთ ორი ძირითადი ფორმულა ამ თემიდან.

მე-n ტერმინის ფორმულა:

ეს ფორმულები დაუყოვნებლივ გეტყვით, რა უნდა მოძებნოთ, რა მიმართულებით იფიქროთ პრობლემის გადასაჭრელად. ეხმარება.

ახლა კი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

5. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც არ იყოფა სამზე.

მაგარია?) მინიშნება იმალება მე-4 პრობლემის შენიშვნაში. კარგი, პრობლემა 3 დაგეხმარებათ.

6. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ პირველი 24 წევრის ჯამი.

არაჩვეულებრივი?) ეს განმეორებადი ფორმულაა. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა გაკვეთილზე. ნუ უგულებელყოფთ ბმულს, ასეთი თავსატეხები ხშირად გვხვდება GIA-ში.

7. ვასიამ დაზოგა ფული დღესასწაულისთვის. 4550 რუბლს შეადგენს! მე კი გადავწყვიტე, რომ ყველაზე საყვარელ ადამიანს (საკუთარ თავს) ბედნიერების რამდენიმე დღე მივცე). იცხოვრე ლამაზად, საკუთარი თავის არაფრის უარყოფის გარეშე. დახარჯეთ 500 მანეთი პირველ დღეს და დახარჯეთ 50 მანეთი მეტი ყოველი მომდევნო დღეს, ვიდრე წინა დღეს! სანამ ფული არ ამოიწურება. ბედნიერების რამდენი დღე ჰქონდა ვასიას?

რთულია?) მე-2 დავალების დამატებითი ფორმულა დაგეხმარებათ.

პასუხები (არეულად): 7, 3240, 6.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების სერია, რომლებშიც თითოეული რიცხვი იგივე რაოდენობით მეტია (ან ნაკლები) ვიდრე წინა.

ეს თემა ხშირად რთული და გაუგებარია. ასოების ინდექსები, პროგრესიის n-ე ტერმინი, პროგრესიის განსხვავება - ეს ყველაფერი რატომღაც დამაბნეველია, დიახ ... მოდით გავარკვიოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა და ყველაფერი მაშინვე გამოვა.)

არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფცია.

არითმეტიკული პროგრესია ძალიან მარტივი და ნათელი კონცეფციაა. ეჭვი? ამაოდ.) თავად ნახეთ.

მე დავწერ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

1, 2, 3, 4, 5, ...

შეგიძლიათ გააგრძელოთ ეს ხაზი? რა რიცხვები წავა შემდეგი ხუთეულის შემდეგ? ყველა... უჰ... მოკლედ, ყველა მიხვდება, რომ რიცხვები 6, 7, 8, 9 და ა.შ. უფრო შორს წავა.

დავალება გავართულოთ. მე ვაძლევ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

2, 5, 8, 11, 14, ...

შეგიძლიათ დაიჭიროთ ნიმუში, გააგრძელოთ სერია და დაასახელოთ მეშვიდერიგის ნომერი?

თუ გაარკვიეთ, რომ ეს რიცხვი არის 20 - გილოცავთ! თქვენ არა მარტო გრძნობდით არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი პუნქტები,არამედ წარმატებით გამოიყენა ისინი ბიზნესში! თუ არ გესმით, წაიკითხეთ.

ახლა მოდით გადავთარგმნოთ ძირითადი პუნქტები შეგრძნებებიდან მათემატიკაში.)

პირველი საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესია ეხება რიცხვების სერიას.ეს თავიდანვე დამაბნეველია. ჩვენ მიჩვეულები ვართ განტოლებების ამოხსნას, გრაფიკების აგებას და ამ ყველაფერს... და შემდეგ გავაფართოვოთ სერია, ვიპოვოთ სერიების რიცხვი...

Ყველაფერი კარგადაა. უბრალოდ, პროგრესიები მათემატიკის ახალი დარგის პირველი გაცნობაა. განყოფილებას ეწოდება "სერიები" და მუშაობს რიცხვებისა და გამონათქვამების სერიებით. მიეჩვიე.)

მეორე საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესიის დროს, ნებისმიერი რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

პირველ მაგალითში ეს განსხვავება ერთია. რაც არ უნდა აიღოთ, ის ერთით მეტია წინაზე. მეორეში - სამი. ნებისმიერი რიცხვი სამჯერ მეტია წინაზე. სინამდვილეში, სწორედ ეს მომენტი გვაძლევს შესაძლებლობას დავიჭიროთ ნიმუში და გამოვთვალოთ შემდგომი რიცხვები.

მესამე საკვანძო წერტილი.

ეს მომენტი არ არის გასაოცარი, დიახ... მაგრამ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვანია. Ის აქაა: თითოეული პროგრესირების ნომერი თავის ადგილზეა.არის პირველი ნომერი, არის მეშვიდე, არის ორმოცდამეხუთე და ა.შ. თუ მათ შემთხვევით აურიეთ, ნიმუში გაქრება. არითმეტიკული პროგრესია ასევე გაქრება. ეს მხოლოდ რიცხვების სერიაა.

ამაშია მთელი აზრი.

რა თქმა უნდა, ახალ თემაში ჩნდება ახალი ტერმინები და აღნიშვნები. მათ უნდა იცოდნენ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ ვერ გაიგებთ დავალებას. მაგალითად, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ მსგავსი რამ:

ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.

შთააგონებს?) წერილები, რაღაც ინდექსები... და დავალება, სხვათა შორის, ადვილი არ იქნებოდა. თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ ტერმინების და აღნიშვნის მნიშვნელობა. ახლა ჩვენ დავეუფლებით ამ საკითხს და დავუბრუნდებით დავალებას.

ვადები და აღნიშვნები.

არითმეტიკული პროგრესიაარის რიცხვების სერია, რომელშიც თითოეული რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

ეს მნიშვნელობა ეწოდება . მოდით გაუმკლავდეთ ამ კონცეფციას უფრო დეტალურად.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაარის თანხა, რომლითაც ნებისმიერი პროგრესის რიცხვი მეტიწინა.

ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ სიტყვას "მეტი".მათემატიკურად, ეს ნიშნავს, რომ თითოეული პროგრესიის რიცხვი მიიღება დასძინაარითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა წინა რიცხვთან.

რომ გამოვთვალოთ, ვთქვათ მეორერიგის ნომრები, აუცილებელია პირველინომერი დაამატეთარითმეტიკული პროგრესიის სწორედ ეს განსხვავება. გაანგარიშებისთვის მეხუთე- განსხვავება აუცილებელია დაამატეთრომ მეოთხეკარგად და ა.შ.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაᲨესაძლოა დადებითიმაშინ სერიის თითოეული ნომერი რეალური აღმოჩნდება წინაზე მეტი.ამ პროგრესს ე.წ იზრდება.Მაგალითად:

8; 13; 18; 23; 28; .....

აქ არის თითოეული ნომერი დასძინადადებითი რიცხვი +5 წინას.

განსხვავება შეიძლება იყოს უარყოფითიმაშინ სერიის თითოეული რიცხვი იქნება წინაზე ნაკლები.ამ პროგრესს ჰქვია (არ დაიჯერებთ!) მცირდება.

Მაგალითად:

8; 3; -2; -7; -12; .....

აქაც ყველა რიცხვი მიიღება დასძინაწინა, მაგრამ უკვე უარყოფით რიცხვამდე -5.

სხვათა შორის, პროგრესირებასთან მუშაობისას ძალიან სასარგებლოა მისი ბუნების დაუყონებლივ დადგენა - იზრდება თუ მცირდება. ეს ძალიან გვეხმარება გადაწყვეტილების მიღებისას, აღმოაჩინო შენი შეცდომები და გამოასწორო ისინი, სანამ გვიან არ არის.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით დ.

როგორ მოვძებნოთ დ? Ძალიან მარტივი. აუცილებელია გამოვაკლოთ სერიების ნებისმიერი რიცხვი წინანომერი. გამოკლება. სხვათა შორის, გამოკლების შედეგს ეწოდება "სხვაობა".)

განვსაზღვროთ, მაგალითად, დმზარდი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ვიღებთ მწკრივის ნებისმიერ რიცხვს, რომელიც გვინდა, მაგალითად, 11. გამოვაკლოთ მას წინა ნომერიიმათ. 8:

ეს არის სწორი პასუხი. ამ არითმეტიკული პროგრესიისთვის, განსხვავება სამია.

შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ნებისმიერი რაოდენობის პროგრესირება,რადგან კონკრეტული პროგრესისთვის დ-ყოველთვის იგივე.სადღაც რიგის დასაწყისში მაინც, შუაში მაინც, სადმე მაინც. თქვენ არ შეგიძლიათ მხოლოდ პირველივე ნომრის აღება. მხოლოდ იმიტომ, რომ პირველი ნომერი არა წინა.)

სხვათა შორის, ამის ცოდნა d=3, ამ პროგრესიის მეშვიდე რიცხვის პოვნა ძალიან მარტივია. მეხუთე რიცხვს ვამატებთ 3 - მივიღებთ მეექვსეს, იქნება 17. მეექვსე რიცხვს ვამატებთ სამს, ვიღებთ მეშვიდე რიცხვს - ოცს.

განვსაზღვროთ დკლებადი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

8; 3; -2; -7; -12; .....

შეგახსენებთ, რომ ნიშნების მიუხედავად, რათა დადგინდეს დსაჭიროა ნებისმიერი ნომრიდან წაართვით წინა.ჩვენ ვირჩევთ პროგრესიის ნებისმიერ რაოდენობას, მაგალითად -7. მისი წინა რიცხვი არის -2. შემდეგ:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: მთელი რიცხვი, წილადი, ირაციონალური, ნებისმიერი.

სხვა ტერმინები და აღნიშვნები.

სერიის თითოეულ რიცხვს უწოდებენ არითმეტიკული პროგრესიის წევრი.

პროგრესის თითოეული წევრი აქვს თავისი ნომერი.ნომრები მკაცრად წესრიგშია, ყოველგვარი ხრიკების გარეშე. პირველი, მეორე, მესამე, მეოთხე და ა.შ. მაგალითად, პროგრესში 2, 5, 8, 11, 14, ... ორი არის პირველი წევრი, ხუთი არის მეორე, თერთმეტი არის მეოთხე, კარგად, გესმით ...) გთხოვთ, ნათლად გაიგოთ - თავად ნომრებიშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, მთლიანი, წილადი, უარყოფითი, რაც არ უნდა იყოს, მაგრამ ნუმერაცია- მკაცრად წესრიგში!

როგორ დავწეროთ პროგრესი ზოგადი ფორმით? Არაა პრობლემა! სერიის თითოეული რიცხვი იწერება ასოს სახით. არითმეტიკული პროგრესიის აღსანიშნავად, როგორც წესი, გამოიყენება ასო ა. წევრის ნომერი მითითებულია ქვედა მარჯვენა ინდექსით. წევრები იწერება გამოყოფილი მძიმეებით (ან მძიმით), ასე:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1არის პირველი ნომერი a 3- მესამე და ა.შ. არაფერი სახიფათო. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს სერია მოკლედ ასე: (n).

არის პროგრესები სასრული და უსასრულო.

საბოლოოპროგრესს ჰყავს წევრების შეზღუდული რაოდენობა. ხუთი, ოცდათვრამეტი, რაც არ უნდა იყოს. მაგრამ ეს სასრული რიცხვია.

დაუსრულებელიპროგრესია - ჰყავს წევრების უსასრულო რაოდენობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით.)

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ საბოლოო პროგრესი ასეთი სერიის მეშვეობით, ყველა წევრი და ბოლო წერტილი:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

ან ასე, თუ ბევრი წევრია:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

მოკლე ჩანაწერში დამატებით მოგიწევთ მიუთითოთ წევრების რაოდენობა. მაგალითად (ოცი წევრისთვის), ასე:

(a n), n = 20

უსასრულო პროგრესია შეიძლება ამოიცნოს მწკრივის ბოლოს ელიფსისით, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში.

ახლა უკვე შეგიძლიათ ამოცანების გადაჭრა. ამოცანები მარტივია, მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.

არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების მაგალითები.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ზემოთ მოცემულ დავალებას:

1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.

ჩვენ ვთარგმნით დავალებას გასაგებ ენაზე. მოცემულია უსასრულო არითმეტიკული პროგრესია. ამ პროგრესის მეორე რიცხვი ცნობილია: a 2 = 5.ცნობილი პროგრესირების განსხვავება: d = -2,5.ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ პროგრესიის პირველი, მესამე, მეოთხე, მეხუთე და მეექვსე წევრები.

სიცხადისთვის დავწერ სერიებს პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით. პირველი ექვსი წევრი, სადაც მეორე წევრი ხუთია:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + დ

გამონათქვამში ვცვლით a 2 = 5და d=-2.5. ნუ დაგავიწყდებათ მინუსი!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

მესამე ტერმინი მეორეზე ნაკლებია. ყველაფერი ლოგიკურია. თუ რიცხვი წინაზე მეტია უარყოფითიმნიშვნელობა, ასე რომ, თავად რიცხვი წინაზე ნაკლები იქნება. პროგრესი მცირდება. კარგი, გავითვალისწინოთ.) განვიხილავთ ჩვენი სერიის მეოთხე წევრს:

a 4 = a 3 + დ

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + დ

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + დ

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ასე რომ, მესამედან მეექვსემდე ვადები დათვლილია. ამან გამოიწვია სერია:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

რჩება პირველი ტერმინის პოვნა a 1ცნობილი მეორეს მიხედვით. ეს არის ნაბიჯი სხვა მიმართულებით, მარცხნივ.) აქედან გამომდინარე, არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება დარ უნდა დაემატოს a 2, ა წაიღე:

a 1 = a 2 - დ

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

სულ ეს არის. დავალების პასუხი:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

წარსულში აღვნიშნავ, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ ეს ამოცანა განმეორებადიგზა. ეს საშინელი სიტყვა ნიშნავს მხოლოდ პროგრესის წევრის ძიებას წინა (მიმდებარე) ნომრით.პროგრესირებასთან მუშაობის სხვა გზები მოგვიანებით იქნება განხილული.

ამ მარტივი ამოცანიდან ერთი მნიშვნელოვანი დასკვნის გამოტანა შეიძლება.

გახსოვდეთ:

თუ ჩვენ ვიცით მინიმუმ ერთი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება, შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ პროგრესიის ნებისმიერი წევრი.

გახსოვს? ეს მარტივი დასკვნა საშუალებას გვაძლევს გადავჭრათ სასკოლო კურსის პრობლემების უმეტესობა ამ თემაზე. ყველა დავალება ტრიალებს სამი ძირითადი პარამეტრის გარშემო: არითმეტიკული პროგრესიის წევრი, პროგრესიის სხვაობა, პროგრესიის წევრის რაოდენობა.ყველა.

რა თქმა უნდა, ყველა წინა ალგებრა არ არის გაუქმებული.) პროგრესიას თან ერთვის უტოლობა, განტოლებები და სხვა. მაგრამ პროგრესის მიხედვით- ყველაფერი სამი პარამეტრის გარშემო ტრიალებს.

მაგალითად, განიხილეთ რამდენიმე პოპულარული დავალება ამ თემაზე.

2. საბოლოო არითმეტიკული პროგრესია ჩაწერეთ რიგით, თუ n=5, d=0.4 და a 1=3.6.

აქ ყველაფერი მარტივია. ყველაფერი უკვე მოცემულია. თქვენ უნდა გახსოვდეთ, როგორ გამოითვლება არითმეტიკული პროგრესიის წევრები, ითვლიან და ჩაწერენ. მიზანშეწონილია არ გამოტოვოთ სიტყვები ამოცანის პირობით: "ფინალური" და " n=5იმისათვის, რომ არ დათვალოთ, სანამ სახეზე მთლიანად გალურჯდებით.) ამ პროგრესში მხოლოდ 5 (ხუთი) წევრია:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

რჩება პასუხის ჩაწერა:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

კიდევ ერთი დავალება:

3. დაადგინეთ, იქნება თუ არა რიცხვი 7 არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), თუ a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

ჰმ... ვინ იცის? როგორ განვსაზღვროთ რამე?

როგორ-როგორ... კი, სერიების სახით ჩაწერეთ პროგრესი და ნახეთ შვიდი იქნება თუ არა! Ჩვენ გვჯერა:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ახლა აშკარად ჩანს, რომ ჩვენ მხოლოდ შვიდნი ვართ გაცურდა 6.5-დან 7.7-მდე! შვიდი არ მოხვდა ჩვენს რიცხვთა სერიაში და, შესაბამისად, შვიდი არ იქნება მოცემული პროგრესიის წევრი.

პასუხი: არა.

და აქ არის დავალება, რომელიც დაფუძნებულია GIA-ს რეალურ ვერსიაზე:

4. არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი იწერება:

...; 15; X; 9; 6; ...

აქ არის სერიალი დასასრულისა და დასაწყისის გარეშე. წევრების რიცხვი არ არის, არანაირი განსხვავება დ. Ყველაფერი კარგადაა. პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა. ვნახოთ და ვნახოთ რა შეგვიძლია ცოდნაამ ხაზიდან? რა არის სამი ძირითადი პარამეტრი?

წევრების ნომრები? აქ არც ერთი ნომერი არ არის.

მაგრამ არის სამი ნომერი და - ყურადღება! - სიტყვა "თანმიმდევრული"მდგომარეობაში. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები მკაცრად წესრიგშია, ხარვეზების გარეშე. ამ რიგში ორია? მეზობელიცნობილი ნომრები? Დიახ მაქვს! ეს არის 9 და 6. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა! ექვსს ვაკლებთ წინანომერი, ე.ი. ცხრა:

დარჩენილია ცარიელი ადგილები. რომელი რიცხვი იქნება x-ის წინა? თხუთმეტი. ასე რომ x ადვილად იპოვება მარტივი მიმატებით. 15-ს დაამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა:

Სულ ეს არის. პასუხი: x=12

ჩვენ თვითონ ვაგვარებთ შემდეგ პრობლემებს. შენიშვნა: ეს თავსატეხები არ არის ფორმულებისთვის. მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.) ჩვენ უბრალოდ ვწერთ რიცხვ-ასოების სერიას, ვუყურებთ და ვფიქრობთ.

5. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი დადებითი წევრი, თუ a 5 = -3; d = 1.1.

6. ცნობილია, რომ რიცხვი 5.5 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 = 1.6; d = 1.3. განსაზღვრეთ ამ ტერმინის ნომერი n.

7. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიაში a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. იპოვნეთ 3.

8. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:

...; 15.6; X; 3.4; ...

იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელიც აღინიშნება ასო x.

9. მატარებელმა მოძრაობა დაიწყო სადგურიდან, თანდათან ზრდიდა სიჩქარეს წუთში 30 მეტრით. რა იქნება მატარებლის სიჩქარე ხუთ წუთში? გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში.

10. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიაში a 2 = 5; a 6 = -5. იპოვეთ 1.

პასუხები (არეულად): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ყველაფერი გამოვიდა? საოცარი! თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ არითმეტიკული პროგრესი უფრო მაღალ დონეზე შემდეგ გაკვეთილებზე.

ყველაფერი არ გამოვიდა? Არაა პრობლემა. 555-ე სპეციალურ განყოფილებაში ყველა ეს თავსატეხი ნაწილ-ნაწილ იშლება.) და, რა თქმა უნდა, აღწერილია მარტივი პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც მაშინვე ხაზს უსვამს ასეთი ამოცანების გადაწყვეტას ნათლად, ნათლად, როგორც ხელის გულზე!

სხვათა შორის, მატარებლის შესახებ თავსატეხში არის ორი პრობლემა, რომლებზეც ადამიანები ხშირად აბრკოლებენ. ერთი - წმინდა პროგრესიით და მეორე - საერთოა მათემატიკაში და ფიზიკაშიც ნებისმიერი ამოცანისთვის. ეს არის ზომების თარგმანი ერთიდან მეორეზე. ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს ეს პრობლემები.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და მისი ძირითადი პარამეტრები. ეს საკმარისია ამ თემაზე თითქმის ყველა პრობლემის მოსაგვარებლად. დამატება დნომრებზე დაწერეთ სერია, ყველაფერი გადაწყდება.

თითის ხსნარი კარგად მუშაობს სერიის ძალიან მოკლე ნაწილებზე, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში. თუ სერია უფრო გრძელია, გამოთვლები უფრო რთული ხდება. მაგალითად, თუ შეკითხვაში მე-9 პრობლემაშია, შეცვალეთ "ხუთი წუთი" on "ოცდათხუთმეტი წუთი"პრობლემა კიდევ უფრო გაუარესდება.)

და ასევე არის ამოცანები, რომლებიც არსებითად მარტივია, მაგრამ სრულიად აბსურდული გამოთვლების თვალსაზრისით, მაგალითად:

მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.

და რა, 1/6-ს ბევრ, ბევრჯერ დავამატებთ?! შესაძლებელია თუ არა თავის მოკვლა!?

შეგიძლიათ.) თუ არ იცით მარტივი ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ ასეთი ამოცანების ამოხსნა ერთ წუთში. ეს ფორმულა იქნება მომდევნო გაკვეთილზე. და ეს პრობლემა მოგვარებულია იქ. Ერთ წუთში.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

მოდით დავსხდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელია მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვითი თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია მხოლოდ ერთი რიგითი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (ისევე როგორც -ე რიცხვი) ყოველთვის იგივეა.
რიცხვთან ერთად რიცხვს ეწოდება მიმდევრობის მე-მე წევრი.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეულ წევრს - იგივე ასო, ამ წევრის რიცხვის ტოლი ინდექსით: .

ჩვენს შემთხვევაში:

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვითი მიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის იგივე და ტოლია.
Მაგალითად:

და ა.შ.
ასეთ რიცხვობრივ მიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება.
ტერმინი „პროგრესია“ შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეტიუსმა ჯერ კიდევ VI საუკუნეში და ფართო გაგებით გაიგო, როგორც გაუთავებელი რიცხვითი თანმიმდევრობა. სახელწოდება "არითმეტიკა" გადავიდა უწყვეტი პროპორციების თეორიიდან, რომლითაც ძველი ბერძნები იყვნენ დაკავებულნი.

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი უდრის წინას, დამატებული იგივე რიცხვით. ამ რიცხვს ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და აღინიშნება.

შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელი რიცხვის მიმდევრობაა არითმეტიკული პროგრესია და რომელი არა:

ა)
ბ)
გ)
დ)

Გავიგე? შეადარეთ ჩვენი პასუხები:
არისარითმეტიკული პროგრესია - b, c.
Არ არისარითმეტიკული პროგრესია - ა, დ.

დავუბრუნდეთ მოცემულ პროგრესიას () და ვეცადოთ ვიპოვოთ მისი th წევრის მნიშვნელობა. არსებობს ორიმისი პოვნის გზა.

1. მეთოდი

ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ პროგრესიის ნომრის წინა მნიშვნელობა, სანამ არ მივაღწევთ პროგრესიის მე-6 ტერმინს. კარგია, რომ ბევრი რამ არ გვაქვს შესაჯამებელი - მხოლოდ სამი მნიშვნელობა:

ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე წევრი უდრის.

2. მეთოდი

რა მოხდება, თუ გვჭირდებოდა პროგრესიის მე-ე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა? შეჯამება ერთ საათზე მეტს დაგვჭირდებოდა და ფაქტი არ არის, რომ რიცხვების შეკრებისას შეცდომას არ დავუშვებდით.
რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა მოიგონეს გზა, რომლითაც არ დაგჭირდებათ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დამატება წინა მნიშვნელობაზე. ყურადღებით დააკვირდით დახატულ სურათს ... რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შენიშნეთ გარკვეული ნიმუში, კერძოდ:

მაგალითად, ვნახოთ, რა შეადგენს ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-ე წევრის მნიშვნელობას:

Სხვა სიტყვებით:

შეეცადეთ დამოუკიდებლად იპოვოთ ამ გზით ამ არითმეტიკული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

გათვლილი? შეადარეთ თქვენი ჩანაწერები პასუხთან:

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ზუსტად იგივე რიცხვი მიიღეთ, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად ვამატებთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრებს წინა მნიშვნელობას.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაციას“ - მივიღებთ მას ზოგად ფორმაში და მივიღებთ:

არითმეტიკული პროგრესიის განტოლება.

არითმეტიკული პროგრესიები იზრდება ან მცირდება.

მზარდი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია.
Მაგალითად:

Დაღმავალი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია.
Მაგალითად:

მიღებული ფორმულა გამოიყენება არითმეტიკული პროგრესიის როგორც მზარდი, ისე კლებადი ტერმინების გამოთვლაში.
მოდით შევამოწმოთ პრაქტიკაში.
ჩვენ გვეძლევა არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება შემდეგი რიცხვებისგან:

Მას შემდეგ:

ამრიგად, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ფორმულა მუშაობს როგორც შემცირებაში, ასევე არითმეტიკული პროგრესიის გაზრდისას.
შეეცადეთ დამოუკიდებლად იპოვოთ ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე-ე წევრები.

შევადაროთ შედეგები:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება

დავალება გავართულოთ – გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებას.
დავუშვათ, რომ გვაქვს შემდეგი პირობა:
- არითმეტიკული პროგრესია, იპოვნეთ მნიშვნელობა.
ადვილია, თქვენ ამბობთ, და დაიწყეთ დათვლა იმ ფორმულის მიხედვით, რომელიც უკვე იცით:

მოდით, ა, მაშინ:

Აბსოლუტურად სწორი. გამოდის, რომ ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამატებთ პირველ რიცხვს და ვიღებთ იმას, რასაც ვეძებთ. თუ პროგრესია წარმოდგენილია მცირე მნიშვნელობებით, მაშინ ამაში არაფერია რთული, მაგრამ რა მოხდება, თუ პირობით რიცხვებს მივიღებთ? გეთანხმებით, არის გამოთვლებში შეცდომების დაშვების შესაძლებლობა.
ახლა დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა ამ პრობლემის გადაჭრა რომელიმე ფორმულით ერთი ნაბიჯით? რა თქმა უნდა, დიახ, და ჩვენ შევეცდებით ახლავე გამოვიტანოთ.

მოდით აღვნიშნოთ არითმეტიკული პროგრესიის სასურველი ტერმინი, როგორც ვიცით მისი პოვნის ფორმულა - ეს არის იგივე ფორმულა, რომელიც ჩვენ გამოვიღეთ დასაწყისში:
, შემდეგ:

პროგრესის წინა წევრია:
პროგრესის შემდეგი ტერმინი არის:

მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდეგი წევრები:

გამოდის, რომ პროგრესიის წინა და მომდევნო წევრების ჯამი ორჯერ აღემატება მათ შორის მდებარე პროგრესიის წევრის მნიშვნელობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იმისათვის, რომ იპოვოთ პროგრესიული წევრის მნიშვნელობა ცნობილი წინა და თანმიმდევრული მნიშვნელობებით, აუცილებელია მათი დამატება და გაყოფა.

მართალია, იგივე ნომერი მივიღეთ. გავასწოროთ მასალა. თავად გამოთვალეთ პროგრესის ღირებულება, რადგან ეს საერთოდ არ არის რთული.

კარგად გააკეთე! თქვენ თითქმის ყველაფერი იცით პროგრესის შესახებ! რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულის გარკვევა, რომელიც, ლეგენდის თანახმად, ყველა დროის ერთ-ერთმა უდიდესმა მათემატიკოსმა, "მათემატიკოსთა მეფემ" - კარლ გაუსმა, თავისთვის ადვილად გამოიტანა...

როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასის მოსწავლეების მუშაობის შემოწმებით, გაკვეთილზე დაუსვა შემდეგი დავალება: „გამოთვალეთ ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი მდე (სხვა წყაროების მიხედვით) ჩათვლით. " რა იყო მასწავლებელს სიურპრიზი, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ გასცა სწორი პასუხი დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ გრძელი გამოთვლების შემდეგ მიიღო არასწორი შედეგი ...

ახალგაზრდა კარლ გაუსმა შენიშნა ნიმუში, რომელსაც ადვილად შეამჩნევთ.
ვთქვათ, გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება -ti წევრებისაგან: უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის მოცემული წევრების ჯამი. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია ხელით შევაჯამოთ ყველა მნიშვნელობა, მაგრამ რა მოხდება, თუ დავალებაში უნდა ვიპოვოთ მისი ტერმინების ჯამი, როგორც ამას გაუსი ეძებდა?

მოდით გამოვსახოთ ჩვენთვის მოცემული პროგრესი. კარგად დააკვირდით მონიშნულ რიცხვებს და შეეცადეთ მათთან ერთად შეასრულოთ სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებები.

სცადე? რა შეამჩნიე? უფლება! მათი ჯამები ტოლია

ახლა უპასუხეთ, რამდენი ასეთი წყვილი იქნება ჩვენთვის მოცემულ პროგრესში? რა თქმა უნდა, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ.
იქიდან გამომდინარე, რომ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი ტოლია და მსგავსი ტოლი წყვილი, მივიღებთ, რომ ჯამი უდრის:
.
ამრიგად, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა იქნება:

ზოგიერთ პრობლემაში ჩვენ არ ვიცით ტერმინი, მაგრამ ვიცით პროგრესირების განსხვავება. შეეცადეთ ჯამის ფორმულაში ჩაანაცვლოთ მე-1 წევრის ფორმულა.
Რა მიიღე?

კარგად გააკეთე! ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც მიეცა კარლ გაუსს: თავად გამოთვალეთ რა არის -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი და -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი.

რამდენი მიიღეთ?
გაუსმა გაირკვა, რომ წევრთა ჯამი ტოლია და ტერმინთა ჯამი. ასე გადაწყვიტე?

სინამდვილეში, არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულა დაამტკიცა ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში და მთელი ამ ხნის განმავლობაში მახვილგონივრული ადამიანები იყენებდნენ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებებს დიდი და მთავარი.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ ძველი ეგვიპტე და იმ დროის უდიდესი სამშენებლო მოედანი - პირამიდის მშენებლობა... ფიგურაში ჩანს მისი ერთი მხარე.

სად არის აქ პროგრესი შენ ამბობ? დააკვირდით და იპოვეთ ნიმუში პირამიდის კედლის თითოეულ რიგში ქვიშის ბლოკების რაოდენობაში.

რატომ არა არითმეტიკული პროგრესია? დათვალეთ რამდენი ბლოკია საჭირო ერთი კედლის ასაშენებლად, თუ ბლოკის აგური მოთავსებულია ბაზაში. იმედია მონიტორზე თითის გადატანით არ ითვლით, გახსოვთ ბოლო ფორმულა და ყველაფერი რაც ვთქვით არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?

ამ შემთხვევაში, პროგრესი ასე გამოიყურება:
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა.
მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ბოლო ფორმულებში (ჩვენ ვითვლით ბლოკების რაოდენობას 2 გზით).

მეთოდი 1.

მეთოდი 2.

ახლა თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთვალოთ მონიტორზე: შეადარეთ მიღებული მნიშვნელობები ჩვენს პირამიდაში არსებული ბლოკების რაოდენობას. დათანხმდა? კარგად გააკეთეთ, თქვენ აითვისეთ არითმეტიკული პროგრესიის მე-6 წევრთა ჯამი.
რა თქმა უნდა, თქვენ არ შეგიძლიათ ააშენოთ პირამიდა ბაზაზე არსებული ბლოკებიდან, მაგრამ? შეეცადეთ გამოთვალოთ რამდენი ქვიშის აგურია საჭირო ამ პირობით კედლის ასაშენებლად.
მოახერხე?
სწორი პასუხი არის ბლოკები:

ტრენინგი

Დავალებები:

მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ დაიძვრება მაშა კვირებში, თუ პირველ ვარჯიშზე ჯდება.
რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
მორების შენახვისას, მეტყევეები აწყობენ მათ ისე, რომ ყოველი ზედა ფენა შეიცავს წინაზე ერთით ნაკლებ მოარს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა ძირი არის მორები.

პასუხები:

მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. Ამ შემთხვევაში
(კვირები = დღეები).
პასუხი:ორ კვირაში მაშა დღეში ერთხელ უნდა იჯდეს.
პირველი კენტი რიცხვი, ბოლო რიცხვი.
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარში, თუმცა, შეამოწმეთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მე-მე წევრის საპოვნელად ფორმულის გამოყენებით:
რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
ჩვენ ვცვლით არსებულ მონაცემებს ფორმულაში:
პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს მას უდრის.
გაიხსენეთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, არის მხოლოდ რამდენიმე ფენა, ანუ.
ჩაანაცვლეთ მონაცემები ფორმულაში:
პასუხი:ქვისა მორებია.

შეჯამება

- რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის იზრდება და მცირდება.
ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სადაც - რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:

, სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული პროგრესია. საშუალო დონე

რიცხვითი თანმიმდევრობა

დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე ნომრის წერა. Მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს რამდენიც გსურთ. მაგრამ ყოველთვის შეგიძლიათ გაიგოთ, რომელი მათგანია პირველი, რომელია მეორე და ასე შემდეგ, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი.

რიცხვითი თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი შეიძლება დაკავშირებული იყოს გარკვეულ ბუნებრივ რიცხვთან და მხოლოდ ერთთან. და ჩვენ არ მივანიჭებთ ამ ნომერს ამ ნაკრებიდან არცერთ სხვა ნომერს.

რიცხვთან ერთად რიცხვს ეწოდება მიმდევრობის მე-მე წევრი.

ძალიან მოსახერხებელია, თუ მიმდევრობის მე-მე წევრი შეიძლება იყოს მოცემული რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა

ადგენს თანმიმდევრობას:

და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (პირველი წევრი აქ ტოლია და განსხვავება). ან (, განსხვავება).

n-ე ტერმინის ფორმულა

ჩვენ ვუწოდებთ განმეორებად ფორმულას, რომლის დროსაც მე-ე ტერმინის გასარკვევად, თქვენ უნდა იცოდეთ წინა ან რამდენიმე წინა:

ასეთი ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად, პროგრესიის მეათე წევრის საპოვნელად, უნდა გამოვთვალოთ წინა ცხრა. მაგალითად, მოდით. შემდეგ:

აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?

თითოეულ სტრიქონში ვამატებთ, ვამრავლებთ რაღაც რიცხვზე. Რისთვის? ძალიან მარტივია: ეს არის ამჟამინდელი წევრის რიცხვი მინუს:

ახლა ბევრად უფრო კომფორტულია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:

თავად გადაწყვიტე:

არითმეტიკული პროგრესიით იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი:

პირველი ვადა თანაბარია. და რა განსხვავებაა? და აი რა:

(მას ხომ განსხვავება ჰქვია, რადგან უდრის პროგრესიის თანმიმდევრული წევრების სხვაობას).

ასე რომ, ფორმულა არის:

მაშინ მეასე წევრია:

რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?

ლეგენდის თანახმად, დიდმა მათემატიკოსმა კარლ გაუსმა, როგორც 9 წლის ბიჭი, რამდენიმე წუთში გამოთვალა ეს თანხა. მან შეამჩნია, რომ პირველი და ბოლო რიცხვის ჯამი ტოლია, მეორე და წინაბოლო ერთი, მესამე და მე-3 ბოლოდან ერთი და ა.შ. რამდენი ასეთი წყვილია? მართალია, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ. Ისე,

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ზოგადი ფორმულა იქნება:

მაგალითი:
იპოვეთ ყველა ორნიშნა ჯერადი ჯამი.

გამოსავალი:

პირველი ასეთი რიცხვია. ყოველი შემდეგი მიიღება წინა რიცხვის მიმატებით. ამრიგად, ჩვენთვის საინტერესო რიცხვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი ტერმინით და სხვაობით.

ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა არის:

რამდენი წევრია პროგრესში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?

ძალიან ადვილია:.

პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:

პასუხი:.

ახლა თავად გადაწყვიტე:

ყოველდღე სპორტსმენი დარბის 1 მეტრით მეტს, ვიდრე წინა დღეს. რამდენ კილომეტრს გაივლის კვირებში, თუ პირველ დღეს კმ მ გაირბინა?
ველოსიპედისტი ყოველდღიურად უფრო მეტ მილს ატარებს, ვიდრე წინა. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე უნდა იაროს კილომეტრის დასაფარად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გასაყიდად რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.

პასუხები:

აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი ტერმინების ჯამი:
.
პასუხი:
აქ მოცემულია:, აუცილებელია იპოვოთ.
ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
.
შეცვალეთ მნიშვნელობები:
ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი.
გამოვთვალოთ ბოლო დღის მანძილზე გავლილი მანძილი --ე წევრის ფორმულით:
(კმ).
პასუხი:
მოცემული: . იპოვეთ:.
ეს არ არის ადვილი:
(რუბში).
პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი.

არითმეტიკული პროგრესია იზრდება () და მცირდება ().

Მაგალითად:

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა

იწერება ფორმულის სახით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება

ეს აადვილებს პროგრესიის წევრის პოვნას, თუ ცნობილია მისი მეზობელი წევრები - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

ჯამის პოვნის ორი გზა არსებობს:

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

დარჩენილი 2/3 სტატია ხელმისაწვდომია მხოლოდ YOUCLEVER სტუდენტებისთვის!

გახდი YouClever-ის სტუდენტი,

მოემზადეთ OGE-სთვის ან მათემატიკაში გამოყენებისთვის "თვეში ერთი ფინჯანი ყავის" ფასად.

ასევე მიიღეთ შეუზღუდავი წვდომა "YouClever" სახელმძღვანელოზე, "100gia" სასწავლო პროგრამაზე (გადაწყვეტილების წიგნი), შეუზღუდავი საცდელი USE და OGE, 6000 დავალება გადაწყვეტილებების ანალიზით და სხვა YouClever და 100gia სერვისებით.

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: