რატომ ხდება დემპინგი? დასუსტებული ვიბრაციები

ᲖᲝᲒᲐᲓᲘ ᲘᲜᲤᲝᲠᲛᲐᲪᲘᲐ

რყევებიეწოდება მოძრაობები ან პროცესები, რომლებიც ხასიათდება დროში გარკვეული განმეორებით. რყევებს ე.წ უფასო, თუ ისინი შესრულებულია თავდაპირველად გადაცემული ენერგიის ხარჯზე რხევის სისტემაზე გარე ზემოქმედების შემდგომი არარსებობით. რხევების უმარტივესი ტიპია ჰარმონიული რხევები – რხევები, რომლებშიც რხევის მნიშვნელობა დროში იცვლება სინუსის ან კოსინუსის კანონის მიხედვით.

ჰარმონიული რხევების დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

სადაც არის რხევის მნიშვნელობა, არის ციკლური სიხშირე.

არის ამ განტოლების ამონახსნი. აქ - ამპლიტუდა, - საწყისი ფაზა.

რხევის ფაზა.

ამპლიტუდა - მერყევი სიდიდის მაქსიმალური მნიშვნელობა.

რხევის პერიოდი არის დროის ის პერიოდი, რომლის შემდეგაც სხეულის მოძრაობა მეორდება. პერიოდის რხევის ფაზა იღებს ზრდას. . , არის ვიბრაციების რაოდენობა.

რხევის სიხშირე - სრული რხევების რაოდენობა დროის ერთეულზე. . . იგი იზომება ჰერცში (Hz).

ციკლური სიხშირე - რხევების რაოდენობა წამში. . ერთეული .

რხევის ფაზა არის მნიშვნელობა, რომელიც იმყოფება კოსინუსის ნიშნის ქვეშ და ახასიათებს რხევითი სისტემის მდგომარეობას ნებისმიერ დროს.

საწყისი ფაზა - რხევების ფაზა დროის საწყის მომენტში. ფაზა და საწყისი ფაზა იზომება რადიანებში ().

უფასო დარბილებული ვიბრაციები- რხევები, რომელთა ამპლიტუდა, რეალური რხევითი სისტემის მიერ ენერგიის დანაკარგების გამო, დროთა განმავლობაში მცირდება. ვიბრაციის ენერგიის შემცირების უმარტივესი მექანიზმია მისი გადაქცევა სითბოდ მექანიკური რხევის სისტემებში ხახუნის გამო, აგრეთვე ელექტრომაგნიტური ენერგიის ომური დანაკარგები და გამოსხივება ელექტრული რხევის სისტემებში.

- ლოგარითმული დემპინგის შემცირება.

ღირებულება ნ ე- ეს არის ამპლიტუდის შემცირების დროს განხორციელებული რხევების რაოდენობა ეერთხელ. ლოგარითმული დემპინგის კლება არის მუდმივი მნიშვნელობა მოცემული რხევითი სისტემისთვის.

რხევითი სისტემის დასახასიათებლად გამოიყენება ხარისხის ფაქტორის ცნება ქ, რომელიც ლოგარითმული კლების მცირე მნიშვნელობებისთვის უდრის

.

ხარისხის ფაქტორი პროპორციულია სისტემის მიერ რელაქსაციის დროს შესრულებული რხევების რაოდენობისა.

ხახუნის კოეფიციენტის განსაზღვრა დახრილი ქანქარის გამოყენებით

ხახუნის კოეფიციენტის განსაზღვრის მეთოდის თეორიული დასაბუთება

დახრილი ქანქარა არის ბურთი, რომელიც ჩამოკიდებულია გრძელ ძაფზე და დევს დახრილ სიბრტყეზე.

თუ ბურთი ამოღებულია წონასწორული პოზიციიდან (ღერძი OO 1) a კუთხამდე და შემდეგ გაათავისუფლეთ, შემდეგ ქანქარა ირხევა. ამ შემთხვევაში, ბურთი დაიძვრება დახრილი სიბრტყის გასწვრივ წონასწორობის პოზიციის მახლობლად (ნახ. 1, ა). მოძრავი ხახუნის ძალა იმოქმედებს ბურთსა და დახრილ სიბრტყეს შორის. შედეგად, ქანქარის რხევები თანდათან იშლება, ანუ დროთა განმავლობაში დაიკლებს რხევების ამპლიტუდა.

შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ხახუნის ძალა და მოძრავი ხახუნის კოეფიციენტი შეიძლება განისაზღვროს რხევების დაბერებიდან.

მოდით გამოვიტანოთ ფორმულა, რომელიც უკავშირებს რხევის ამპლიტუდის შემცირებას მოძრავი ხახუნის კოეფიციენტს m. როდესაც ბურთი ბრუნავს სიბრტყის გასწვრივ, ხახუნის ძალა მუშაობს. ეს სამუშაო ამცირებს ბურთის მთლიან ენერგიას. მთლიანი ენერგია არის კინეტიკური და პოტენციური ენერგიების ჯამი. იმ პოზიციებზე, სადაც ქანქარა მაქსიმალურად არის გადახრილი წონასწორობის პოზიციიდან, მისი სიჩქარე და, შესაბამისად, კინეტიკური ენერგია ნულის ტოლია.

ამ წერტილებს გარდამტეხ წერტილებს უწოდებენ. მათში ქანქარა ჩერდება, ბრუნდება და უკან მოძრაობს. ბრუნვის მომენტში ქანქარის ენერგია უდრის პოტენციურ ენერგიას, შესაბამისად, ქანქარის პოტენციური ენერგიის შემცირება ერთი შემობრუნების წერტილიდან მეორეში გადაადგილებისას უდრის გზაზე ხახუნის ძალის მუშაობას. გარდამტეხ წერტილებს შორის.

დაე ა- შემობრუნების წერტილი (ნახ. 1, ა). ამ მდგომარეობაში, გულსაკიდი ძაფი ქმნის A კუთხეს ღერძთან OO 1. თუ არ იყო ხახუნი, მაშინ ნახევარი პერიოდის შემდეგ ქანქარა წერტილში იქნებოდა ნდა გადახრის კუთხე ტოლი იქნება a. მაგრამ ხახუნის გამო, ბურთი ოდნავ არ დაიძვრება წერტილამდე ნდა გაჩერდი წერტილზე IN.ეს იქნება ახალი შემობრუნება. ამ ეტაპზე, ძაფის კუთხე თანღერძი OO 1 ტოლი იქნება. ნახევარი პერიოდის განმავლობაში ქანქარის ბრუნვის კუთხე მცირდებოდა . Წერტილი INმდებარეობს წერტილზე ოდნავ დაბლა A,და შესაბამისად ქანქარის პოტენციური ენერგია წერტილში INქულაზე ნაკლები ა.აქედან გამომდინარე, ქანქარმა დაკარგა სიმაღლე წერტილიდან გადაადგილებისას აზუსტად IN.

მოდი ვიპოვოთ კავშირი კუთხის დაკარგვასა და სიმაღლის დაკარგვას შორის. ამისათვის ჩვენ ვაპროექტებთ პუნქტებს ადა ბთითო ღერძზე OO 1 (იხ. სურ. 1, ა). ეს იქნება ქულები ა 1 და ბ 1 შესაბამისად. ცხადია, სეგმენტის სიგრძე ა 1 IN 1

სად არის ძაფის სიგრძე.

ვინაიდან ღერძი OO 1 დახრილია ვერტიკალის მიმართ კუთხით, სეგმენტის პროექცია ვერტიკალურ ღერძზე არის სიმაღლის დაკარგვა (ნახ. 1, ბ):

ამ შემთხვევაში, ქანქარის პოტენციური ენერგიის ცვლილება პოზიციიდან გადასვლისას აპოზიციაში INუდრის:

, (3)

სად მ- ბურთის მასა;

გ- გრავიტაციის აჩქარება.

ჩვენ ვიანგარიშებთ ხახუნის ძალის მუშაობას.

ხახუნის ძალა განისაზღვრება ფორმულით:

ბურთის მიერ გავლილი გზა ქანქარის რხევის პერიოდის ნახევარში ტოლია რკალის სიგრძისა AB:

.

ხახუნის ძალის მუშაობა გზაზე:

მაგრამ, მაშასადამე, (2), (3), (4) განტოლებების გათვალისწინებით გამოდის

. (6)

გამოთქმა (6) მნიშვნელოვნად გამარტივებულია იმის გათვალისწინებით, რომ კუთხე ძალიან მცირეა (10 -2 რადიანის რიგის). Ისე, . მაგრამ . Ამიტომაც .

ამრიგად, ფორმულა (6) იღებს ფორმას:

,

. (7)

ფორმულიდან (7) ჩანს, რომ კუთხის დაკარგვა პერიოდის ნახევარზე განისაზღვრება ხახუნის კოეფიციენტით m და კუთხით a. თუმცა, შეიძლება მოიძებნოს პირობები, რომლებშიც a არ არის დამოკიდებული კუთხეზე. გავითვალისწინოთ, რომ მოძრავი ხახუნის კოეფიციენტი მცირეა (10 -3 რიგის). თუ გავითვალისწინებთ a ქანქარის რხევების საკმარისად დიდ ამპლიტუდებს, ისეთი რომ , მაშინ ფორმულის (7) მნიშვნელში ტერმინი შეიძლება უგულებელყოთ მაშინაც კი:

.

მეორეს მხრივ, მოდით, კუთხე a იყოს საკმარისად მცირე, რომ ვივარაუდოთ, რომ . შემდეგ რხევის პერიოდის ნახევარი კუთხის დაკარგვა განისაზღვრება ფორმულით:

. (8)

ფორმულა (8) მოქმედებს, თუ:

. (9)

რადგან m არის 10 -2 რიგის, უტოლობა (9) კმაყოფილდება 10 -2 -10 -1 რადიანის რიგის a კუთხეებით.

ასე რომ, ერთი სრული რხევისას კუთხის დაკარგვა იქნება:

,

მაგრამ ამისთვის ნრყევები - .

ფორმულა (10) იძლევა მოსახერხებელ გზას მოძრავი ხახუნის კოეფიციენტის დასადგენად. აუცილებელია გაზომოთ Da კუთხის შემცირება ნ 10-15 ვიბრაციისთვის და შემდეგ ფორმულის გამოყენებით (10) გამოთვალეთ მ.

ფორმულაში (10) Da მნიშვნელობა გამოიხატება რადიანებში. Da მნიშვნელობების გამოსაყენებლად გრადუსებში, ფორმულა (10) უნდა შეიცვალოს:

. (11)

მოდით გავარკვიოთ მოძრავი ხახუნის კოეფიციენტის ფიზიკური მნიშვნელობა. ჯერ განვიხილოთ უფრო ზოგადი პრობლემა. ბურთის მასა მდა ინერციის მომენტი ისმასის ცენტრში გამავალ ღერძთან შედარებით, ის მოძრაობს გლუვ ზედაპირზე (ნახ. 2).

ბრინჯი. 2

მასის ცენტრამდე Cღერძის გასწვრივ გამოყენებული ძალა ხარიდა რომელიც არის კოორდინატის ფუნქცია x. ხახუნის ძალა სხეულზე მოქმედებს ზედაპირის მხრიდან ფ TR. ნება მიეცით ხახუნის ძალის მომენტი ღერძის გარშემო, რომელიც გადის ცენტრში Cბურთი, უდრის მ TR.

ბურთის მოძრაობის განტოლებებს ამ შემთხვევაში აქვს ფორმა:

; (12)

, (13)

სად - მასის ცენტრის სიჩქარე;

w არის კუთხური სიჩქარე.

(12) და (13) განტოლებებში ოთხი უცნობია: , ვ ფ TR, მ TR . ზოგადად, ამოცანა არ არის განსაზღვრული.

დავუშვათ, რომ:

1) სხეული ცურვის გარეშე ტრიალებს. შემდეგ:

სად R-ბურთის რადიუსი;

2) სხეული და თვითმფრინავი აბსოლუტურად ხისტია, ე.ი. სხეული არ არის დეფორმირებული, მაგრამ ეხება თვითმფრინავს ერთ წერტილში შესახებ(წერტილოვანი კონტაქტი), მაშინ არის კავშირი ხახუნის ძალის მომენტსა და ხახუნის ძალას შორის:

. (15)

(14) და (15) ფორმულების გათვალისწინებით, (12) და (13) განტოლებიდან ვიღებთ გამონათქვამს ხახუნის ძალისთვის:

. (16)

გამოთქმა (16) არ შეიცავს ხახუნის კოეფიციენტს m, რომელიც განისაზღვრება ბურთისა და სიბრტყის კონტაქტური ზედაპირების ფიზიკური თვისებებით, როგორიცაა უხეშობა, ან მასალის ტიპი, საიდანაც მზადდება ბურთი და თვითმფრინავი. ეს შედეგი არის მიღებული იდეალიზაციის პირდაპირი შედეგი, რომელიც ასახულია ურთიერთობებით (14) და (15). გარდა ამისა, ადვილია იმის ჩვენება, რომ მიღებულ მოდელში ხახუნის ძალა არ მუშაობს. მართლაც, ჩვენ ვამრავლებთ განტოლებას (12)-ზე და განტოლება (13) w-ზე. Იმის გათვალისწინებით, რომ

და

და გამონათქვამების (12) და (13) დამატებით მივიღებთ

სად ვ(x) არის ბურთის პოტენციური ენერგია ძალის ველში ფ(x). გასათვალისწინებელია, რომ

თუ ფორმულები (14) და (15) იქნება გათვალისწინებული, მაშინ ტოლობის მარჯვენა მხარე (17) ქრება. ტოლობის მარცხენა მხარეს (17) არის სისტემის მთლიანი ენერგიის დროითი წარმოებული, რომელიც შედგება ბურთის მთარგმნელობითი მოძრაობის კინეტიკური ენერგიისგან. , ბრუნვის მოძრაობის კინეტიკური ენერგია და პოტენციური ენერგია ვ(X). ეს ნიშნავს, რომ სისტემის მთლიანი ენერგია არის მუდმივი მნიშვნელობა, ე.ი. ხახუნის ძალა არ მუშაობს.

ცხადია, ეს გარკვეულწილად უცნაური შედეგიც მიღებული იდეალიზაციის შედეგია. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ მიღებული იდეალიზაცია არ შეესაბამება ფიზიკურ რეალობას. მართლაც, მოძრაობის პროცესში, ბურთი ურთიერთქმედებს თვითმფრინავთან, ამიტომ მისი მექანიკური ენერგია უნდა შემცირდეს, რაც ნიშნავს, რომ ურთიერთობები (14) და (15) შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი მხოლოდ იმდენად, რამდენადაც შესაძლებელია ენერგიის გაფანტვის უგულებელყოფა.

სავსებით ნათელია, რომ ამ შემთხვევაში ასეთი იდეალიზაცია შეუძლებელია, რადგან ჩვენი მიზანია განვსაზღვროთ ხახუნის კოეფიციენტი ქანქარის ენერგიის ცვლილებიდან. მაშასადამე, ჩვენ სამართლიანად ჩავთვლით ვარაუდს ბურთისა და ზედაპირის აბსოლუტური სიხისტის შესახებ და, შესაბამისად, სამართლიანი კავშირის შესახებ (15). თუმცა, მოდით დავტოვოთ ვარაუდი, რომ ბურთი მოძრაობს სრიალის გარეშე. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ არის მცირე ცურვა.

მიუთითეთ ბურთის შეხების წერტილების სიჩქარე (პუნქტი O ნახ. 2-ზე) (მოცურების სიჩქარე):

. (19)

შემდეგ, ჩანაცვლება განტოლებით (17) და (15) და (20) პირობების გათვალისწინებით, მივდივართ განტოლებამდე:

, (21)

საიდანაც ჩანს, რომ ენერგიის გაფანტვის სიჩქარე უდრის ხახუნის ძალის ძალას. შედეგი საკმაოდ ბუნებრივია, რადგან. სხეული სიჩქარით სრიალებს ზედაპირზე და,მასზე მოქმედებს ხახუნის ძალა, ასრულებს სამუშაოს, რის შედეგადაც სისტემის მთლიანი ენერგია მცირდება.

(21) განტოლებაში დიფერენცირების შესრულებით და (18) მიმართების გათვალისწინებით, ვიღებთ ბურთის მასის ცენტრის მოძრაობის განტოლებას:

. (22)

იგი წააგავს მასის მქონე მატერიალური წერტილის მოძრაობის განტოლებას:

, (23)

გარე ძალის გავლენის ქვეშ ფდა მოძრავი ხახუნის ძალები:

.

უფრო მეტიც, ფ TR არის ჩვეულებრივი მოცურების ხახუნის ძალა. მაშასადამე, როდესაც ბურთი ბრუნავს, ეფექტური ხახუნის ძალა, რომელსაც მოძრავი ხახუნის ძალას უწოდებენ, არის უბრალოდ ჩვეულებრივი მოცურების ხახუნის ძალა, გამრავლებული სხეულის მასის ცენტრის სიჩქარის თანაფარდობაზე. პრაქტიკაში ხშირად შეინიშნება შემთხვევა, როდესაც მოძრავი ხახუნის ძალა არ არის დამოკიდებული სხეულის სიჩქარეზე.

როგორც ჩანს, ამ შემთხვევაში, სრიალის მაჩვენებელი დასხეულის სიჩქარის პროპორციული:

რეალურ რხევად სისტემებში, კვაზი-ელასტიური ძალების გარდა, არსებობს გარემოს წინააღმდეგობის ძალები. ხახუნის ძალების არსებობა იწვევს ენერგიის გაფანტვას (გაფანტვას) და რხევის ამპლიტუდის შემცირებას. მოძრაობის შენელებით ხახუნის ძალები ზრდის პერიოდს, ე.ი. ამცირებს რხევის სიხშირეს. ასეთი რხევები არ იქნება ჰარმონიული.

რხევებს, რომელთა ამპლიტუდა მუდმივად მცირდება ენერგიის გაფანტვის გამო, ეწოდება ქრებოდა . საკმარისად დაბალ სიჩქარეზე ხახუნის ძალა სხეულის სიჩქარის პროპორციულია და მიმართულია მოძრაობის საწინააღმდეგოდ.

სადაც r არის ხახუნის კოეფიციენტი, რომელიც დამოკიდებულია გარემოს თვისებებზე, მოძრავი სხეულის ფორმასა და ზომაზე. ხახუნის ძალების თანდასწრებით დასუსტებული რხევების დიფერენციალურ განტოლებას ექნება ფორმა:

ან
(21)

სად
- შესუსტების კოეფიციენტი,

- თავისუფალი რხევების ბუნებრივი წრიული სიხშირე ხახუნის ძალების არარსებობის შემთხვევაში.

განტოლების (21) ზოგადი გადაწყვეტა დაბალი დემპინგის შემთხვევაში (
) არის:

ის განსხვავდება ჰარმონიულისგან (8) იმით, რომ რხევის ამპლიტუდა:

(23)

არის დროის კლებადი ფუნქცია და წრიული სიხშირე ბუნებრივ სიხშირესთან დაკავშირებული და ამორტიზაციის ფაქტორი თანაფარდობა:

. (24)

დარბილებული რხევების პერიოდი უდრის:

. (25)

X-ის გადაადგილების დამოკიდებულება t დემპირებულ რხევებზე ნაჩვენებია ნახ.4-ზე.

C ამპლიტუდის შემცირების ხარისხი განისაზღვრება შესუსტების კოეფიციენტით .

დროს
ამპლიტუდა (23) მცირდება e ≈ 2.72 ფაქტორით. Ამჯერად ბუნებრივ დაშლას უწოდებენ დასვენების დრო. მაშასადამე, ამორტიზაციის ფაქტორი არის რელაქსაციის დროის ორმხრივი:

.(26)

რხევების ამპლიტუდის შემცირების სიჩქარე ხასიათდება ლოგარითმული დემპინგის შემცირება. ვთქვათ A(t) და A(t+T) არის ორი თანმიმდევრული რხევის ამპლიტუდა, რომლებიც შეესაბამება დროის წერტილებს, რომლებიც განსხვავდებიან ერთი პერიოდით. შემდეგ ურთიერთობა:

(27)

დაურეკა ამორტიზაციის შემცირება, რომელიც აჩვენებს რამდენჯერ მცირდება რხევების ამპლიტუდა პერიოდის ტოლ დროს. ამ თანაფარდობის ბუნებრივი ლოგარითმია:

(28)

ეწოდება ლოგარითმული ამორტიზაციის ფაქტორი. აქ N e არის რხევების რაოდენობა, რომელიც შესრულებულია იმ დროს, როდესაც ამპლიტუდა მცირდება e-ის ფაქტორით, ე.ი. დასვენების დროს.

ამრიგად, ლოგარითმული დემპინგის კლება არის რხევების რაოდენობის ორმხრივი, რის შემდეგაც რხევის ამპლიტუდა მცირდება ე-ის კოეფიციენტით.

რხევითი სისტემის ენერგიის შემცირების სიჩქარე ხასიათდება ხარისხის ფაქტორი Q. რხევითი სისტემის ხარისხის ფაქტორი- რხევითი სისტემის მთლიანი ენერგიის E(t) თანაფარდობის პროპორციული მნიშვნელობა ენერგიასთან (- ე) დაკარგული T პერიოდში:

(29)

რხევითი სისტემის მთლიან ენერგიას დროის თვითნებურ მომენტში და X-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის აქვს ფორმა:

(30)

ვინაიდან ენერგია ამპლიტუდის კვადრატის პროპორციულია, დარბილებული რხევების ენერგია მცირდება მნიშვნელობის პროპორციულად.
, შეგიძლიათ დაწეროთ:

. (31)

შემდეგ, განმარტების მიხედვით, რხევითი სისტემის ხარისხის ფაქტორის გამოხატულება ასე გამოიყურება:

აქ მხედველობაში მიიღება, რომ დაბალი შესუსტების დროს (1): 1st -2   ​​2.

მაშასადამე, ხარისხის ფაქტორი პროპორციულია სისტემის მიერ რელაქსაციის დროს შესრულებული რხევების N e რაოდენობისა.

რხევადი სისტემების ხარისხის კოეფიციენტი შეიძლება ძალიან განსხვავდებოდეს, მაგალითად, ფიზიკური ქანქარის ხარისხის კოეფიციენტი არის Q~ 10 2, ხოლო ატომის ხარისხის ფაქტორი, რომელიც ასევე რხევითი სისტემაა, აღწევს Q~ 10 8-ს.

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ როდესაც დემპინგის კოეფიციენტი β=ω 0, პერიოდი ხდება უსასრულო T =∞ (კრიტიკული დემპინგი). β-ის შემდგომი მატებით, T პერიოდი ხდება წარმოსახვითი, ხოლო მოძრაობის შესუსტება ხდება რხევების გარეშე, როგორც ამბობენ, პერიოდულად. მოძრაობის ეს შემთხვევა ნაჩვენებია ნახ.5-ზე. კრიტიკული დემპინგი (დამშვიდება) ხდება მინიმალურ დროში და მნიშვნელოვანია საზომ ინსტრუმენტებში, მაგალითად, ბალისტიკურ გალვანომეტრებში. .

IN იძულებულივასკულაცია და რეზონანსი

თუ დრეკადობის ძალა F y \u003d -kX მოქმედებს m მასის სხეულზე, ხახუნის ძალა
და გარე პერიოდული ძალა
, შემდეგ ის ასრულებს იძულებით რხევებს. ამ შემთხვევაში მოძრაობის დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

სად
,
- შესუსტების კოეფიციენტი,
- სხეულის თავისუფალი დაუცველი ვიბრაციების ბუნებრივი სიხშირე, F 0 - ამპლიტუდა, ω - პერიოდული ძალის სიხშირე.

დროის საწყის მომენტში გარე ძალის მუშაობა აღემატება ენერგიას, რომელიც იხარჯება ხახუნს (სურ. 6). სხეულის რხევების ენერგია და ამპლიტუდა გაიზრდება მანამ, სანამ გარე ძალის მიერ გადაცემული მთელი ენერგია მთლიანად არ დაიხარჯება ხახუნის დაძლევაზე, რაც სიჩქარის პროპორციულია. ამრიგად, დამყარებულია წონასწორობა, რომელშიც კინეტიკური და პოტენციური ენერგიის ჯამი მუდმივია. ეს მდგომარეობა ახასიათებს სისტემის სტაციონარულ მდგომარეობას.

ამ მდგომარეობაში სხეულის მოძრაობა ჰარმონიული იქნება სიხშირით, რომელიც ტოლია გარეგანი აგზნების სიხშირის, მაგრამ სხეულის ინერციის გამო მისი რხევები ფაზაში გადაინაცვლებს გარეგანი პერიოდულის მყისიერ მნიშვნელობასთან მიმართებაში. ძალა:

X = ACos (ωt + φ). (34)

თავისუფალი რხევებისგან განსხვავებით, იძულებითი რხევების ამპლიტუდა A და  ფაზა არ არის დამოკიდებული მოძრაობის საწყის პირობებზე, მაგრამ განისაზღვრება მხოლოდ რხევის სისტემის თვისებებით, მამოძრავებელი ძალის ამპლიტუდით და სიხშირით:

, (35)

. (36)

ჩანს, რომ ამპლიტუდა და ფაზური ცვლა დამოკიდებულია მამოძრავებელი ძალის სიხშირეზე (ნახ. 7, 8).

იძულებითი რხევების დამახასიათებელი თვისებაა რეზონანსის არსებობა. Ფენომენი იძულებითი რხევების ამპლიტუდის მკვეთრი ზრდა, როდესაც მამოძრავებელი ძალის სიხშირე უახლოვდება სხეულის თავისუფალი დაუცველი რხევების ბუნებრივ სიხშირეს ω 0 ე.წ. მექანიკური რეზონანსი . სხეულის ვიბრაციის ამპლიტუდა რეზონანსული სიხშირით
აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას:

(37)

რაც შეეხება რეზონანსულ მრუდებს (იხ. სურ. 7), გავაკეთოთ შემდეგი შენიშვნები. თუ ω → 0, მაშინ ყველა მრუდი (იხ. აგრეთვე (35)) მოდის ერთსა და იმავე არანულოვან ზღვრულ მნიშვნელობამდე
, ე. წ სტატისტიკური გადახრა. თუ ω→ ∞, მაშინ ყველა მრუდი ასიმპტომურად მიდრეკილია ნულისკენ.

დაბალი დემპინგის პირობებში (β 2 ‹‹ω 0 2), რეზონანსული ამპლიტუდა (იხ. (37))

(37a)

ამ პირობით, ჩვენ ვიღებთ რეზონანსული გადაადგილების თანაფარდობას სტატიკურ გადახრასთან:

საიდანაც ჩანს, რომ რხევების ამპლიტუდის შედარებით ზრდა რეზონანსში განისაზღვრება რხევის სისტემის ხარისხის ფაქტორით. აქ ხარისხის ფაქტორი, ფაქტობრივად, პასუხის მოგებაა
სისტემა და დაბალი შესუსტებისას შეიძლება მიაღწიოს დიდ მნიშვნელობებს.

ეს გარემოება განაპირობებს რეზონანსის ფენომენის დიდ მნიშვნელობას ფიზიკასა და ტექნოლოგიაში. იგი გამოიყენება იმ შემთხვევაში, თუ მათ სურთ ვიბრაციების გაძლიერება, მაგალითად, აკუსტიკაში - მუსიკალური ინსტრუმენტების ხმის გასაძლიერებლად, რადიო ინჟინერიაში - სასურველი სიგნალის იზოლირება მრავალი სხვასგან, რომლებიც განსხვავდება სიხშირით. თუ რეზონანსმა შეიძლება გამოიწვიოს რხევების არასასურველი ზრდა, გამოიყენება სისტემა დაბალი ხარისხის ფაქტორით.

დაკავშირებული ვიბრაციები

მეორე რხევითი სისტემა, რომელიც ელასტიურად არის დაკავშირებული პირველთან, შეიძლება გახდეს გარე პერიოდული ძალის წყარო. ორივე ოსცილატორულ სისტემას შეუძლია იმოქმედოს ერთმანეთზე. ასე, მაგალითად, ორი შეწყვილებული ქანქარის შემთხვევა (სურ. 9).

სისტემას შეუძლია შეასრულოს როგორც ფაზაში (ნახ. 9ბ) ასევე ანტიფაზური (ნახ. 9გ) რხევები. ასეთ რხევებს უწოდებენ ნორმალურ ტიპს ან რხევის ნორმალურ რეჟიმს და ხასიათდება საკუთარი ნორმალური სიხშირით. ფაზაში რხევებით, ქანქარების გადაადგილება ყოველთვის X 1 \u003d X 2 და სიხშირე ω 1 ზუსტად იგივეა, რაც ერთი ქანქარის სიხშირე
. ეს იმიტომ ხდება, რომ მსუბუქი ზამბარა თავისუფალ მდგომარეობაშია და მოძრაობაზე არანაირ გავლენას არ ახდენს. ანტიფაზური რხევებით ნებისმიერ დროს - X 1 \u003d X 2. ასეთი რხევების სიხშირე მეტი და ტოლია
, ვინაიდან ზამბარა, რომელსაც აქვს k სიმტკიცე და ახორციელებს შეერთებას, ყოველთვის დაჭიმულ, შემდეგ შეკუმშულ მდგომარეობაშია.

ლ
ჩვენი დაწყვილებული სისტემის ნებისმიერი მდგომარეობა, მათ შორის საწყისი გადაადგილება X (ნახ. 9a), შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ნორმალური რეჟიმის სუპერპოზიციის სახით:

თუ სისტემას ვაყენებთ მოძრაობაში საწყისი მდგომარეობიდან X 1 = 0,
, X 2 \u003d 2A,
,

მაშინ ქანქარების გადაადგილება აღწერილი იქნება გამონათქვამებით:

ნახ. 10 გვიჩვენებს ცალკეული ქანქარების გადაადგილების ცვლილებას დროთა განმავლობაში.

ქანქარების რხევის სიხშირე უდრის ორი ნორმალური რეჟიმის საშუალო სიხშირეს:

, (39)

და მათი ამპლიტუდა იცვლება სინუსური ან კონუსის კანონის მიხედვით ქვედა სიხშირით, რომელიც უდრის ნორმალური რეჟიმების სიხშირის სხვაობის ნახევარს:

. (40)

ამპლიტუდის ნელი ცვლილება სიხშირით, რომელიც უდრის ჩვეულებრივი რეჟიმის სიხშირეებს შორის სხვაობის ნახევარს, ეწოდება “ სცემს ” ორი ვიბრაცია თითქმის იგივე სიხშირით. „დარტყმების“ სიხშირე უდრის ω 1 – ω 2 სიხშირეების სხვაობას (და არა ამ განსხვავების ნახევარს), ვინაიდან მაქსიმალური ამპლიტუდა 2A მიიღწევა ორჯერ სიხშირის შესაბამისი პერიოდის განმავლობაში.

ამრიგად, დარტყმის პერიოდი უდრის:

(41)

როდესაც ქანქარები სცემს, ენერგია იცვლება. ამასთან, ენერგიის სრული გაცვლა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ორივე მასა ერთნაირია და თანაფარდობა (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) უდრის მთელ რიცხვს. ერთი მნიშვნელოვანი პუნქტი არის ის, რომ მიუხედავად იმისა, რომ ცალკეულ ქანქარებს შეუძლიათ ენერგიის გაცვლა, ნორმალურ რეჟიმებს შორის ენერგიის გაცვლა არ ხდება.

ასეთი რხევადი სისტემების არსებობა, რომლებიც ურთიერთქმედებენ ერთმანეთთან და შეუძლიათ თავიანთი ენერგიის ერთმანეთზე გადაცემა, ქმნიან ტალღის მოძრაობის საფუძველს.

რხევადი მატერიალური სხეული, რომელიც მოთავსებულია დრეკად გარემოში, ათავსებს და რხევად მოძრაობაში აყენებს მის მიმდებარე გარემოს ნაწილაკებს. ნაწილაკებს შორის ელასტიური ბმების არსებობის გამო, ვიბრაციები ვრცელდება მოცემული გარემოსთვის დამახასიათებელი სიჩქარით მთელ გარემოში.

ელასტიურ გარემოში ვიბრაციის გავრცელების პროცესს ე.წ ტალღა .

არსებობს ტალღების ორი ძირითადი ტიპი: გრძივი და განივი. გრძივი ტალღების დროსსაშუალო ნაწილაკები რხევა ტალღის გავრცელების მიმართულებით და განივიპერპენდიკულარულია ტალღის გავრცელების მიმართულებაზე. ყველა ელასტიურ საშუალებას არ შეუძლია განივი ტალღის გავრცელება. განივი დრეკადობის ტალღა შესაძლებელია მხოლოდ ისეთ გარემოში, რომლებშიც ხდება ელასტიური ათვლის დეფორმაცია. მაგალითად, მხოლოდ გრძივი ელასტიური ტალღები (ბგერა) ვრცელდება აირებსა და სითხეებში.

გარემოს წერტილების ლოკუსი, რომელზედაც რხევამ მიაღწია დროის მოცემულ წერტილს, ეწოდება ტალღის ფრონტი . ტალღის ფრონტი გამოყოფს სივრცის იმ ნაწილს, რომელიც უკვე ჩართულია ტალღის პროცესში იმ არედან, რომელშიც რხევები ჯერ არ წარმოშობილა. ფრონტის ფორმის მიხედვით, ტალღები არის თვითმფრინავი, სფერული, ცილინდრული და ა.შ.

ერთგვაროვან გარემოში დანაკარგის გარეშე გავრცელებული სიბრტყე ტალღის განტოლება არის:
, (42)

სადაც ξ(X,t) არის გარემოს ნაწილაკების გადაადგილება X კოორდინატთან წონასწორული პოზიციიდან t დროს, A არის ამპლიტუდა,
- ტალღის ფაზა,
- საშუალო ნაწილაკების რხევის წრიული სიხშირე, v - ტალღის გავრცელების სიჩქარე.

ტალღის სიგრძე λ 2π ფაზის სხვაობით რხევას წერტილებს შორის მანძილს უწოდებენ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ტალღის სიგრძე არის ტალღის ნებისმიერი ფაზის გავლილი გზა რხევის ერთ პერიოდში:

ფაზის სიჩქარე, ე.ი. ამ ფაზის გავრცელების სიჩქარე:

λ / T (44)

ტალღის ნომერი არის ტალღის სიგრძის რაოდენობა, რომელიც ჯდება 2π ერთეულის სიგრძეზე:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

ამ აღნიშვნების ჩანაცვლება (42), თვითმფრინავის მოძრავი მონოქრომატული ტალღის განტოლებაშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

(46)

გაითვალისწინეთ, რომ ტალღის განტოლება (46) აჩვენებს ორმაგ პერიოდულობას კოორდინატსა და დროს. მართლაც, რხევების ფაზები ემთხვევა როცა კოორდინატი იცვლება λ-ით და როცა დრო იცვლება T პერიოდით. ​​ამიტომ სიბრტყეზე ტალღის გრაფიკულად გამოსახვა შეუძლებელია. დრო t ხშირად ფიქსირდება და გადაადგილების ξ დამოკიდებულება X კოორდინატზე წარმოდგენილია გრაფიკზე, ე.ი. გარემოს ნაწილაკების გადაადგილების მყისიერი განაწილება ტალღის გავრცელების მიმართულებით (სურ. 11). საშუალო წერტილების რხევების Δφ ფაზური განსხვავება დამოკიდებულია ამ წერტილებს შორის ΔX \u003d X 2 - X 1 მანძილზე:

(47)

თუ ტალღა ვრცელდება X მიმართულების საპირისპიროდ, მაშინ უკანა ტალღის განტოლება დაიწერება როგორც:

ξ (X,t) = ACos(ωt + kX). (48)

მდგარი ტალღები არის სპეციალური სახის ტალღის ჩარევის შედეგი. ისინი წარმოიქმნება მაშინ, როდესაც ორი მოძრავი ტალღა ვრცელდება ერთმანეთისკენ იმავე სიხშირითა და ამპლიტუდებით.

X ღერძის გასწვრივ საპირისპირო მიმართულებით გავრცელებული ორი სიბრტყე ტალღის განტოლებებია:

ξ 1 \u003d ACos (ωt - kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

ამ განტოლებების დამატება კოსინუსების ჯამის ფორმულის მიხედვით და იმის გათვალისწინებით, რომ k = 2π / λ, მივიღებთ მუდმივი ტალღის განტოლებას:

. (50)

Cos ωt მულტიპლიკატორი აჩვენებს, რომ იგივე სიხშირის ω რხევები ხდება ამპლიტუდის მქონე საშუალო წერტილებში
, განხილული წერტილის X-კოორდინატის მიხედვით. გარემოს წერტილებში, სადაც:
, (51)

რხევის ამპლიტუდა აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას 2A. ამ წერტილებს ე.წ ანტინოდები.

გამონათქვამიდან (51) შეგიძლიათ იპოვოთ ანტინოდური კოორდინატები:
(52)

იმ წერტილებში, სადაც
(53) რხევის ამპლიტუდა ქრება. ამ წერტილებს ე.წ კვანძები.

კვანძის კოორდინატები:
. (54)

რ მანძილი მეზობელ ანტინოდებსა და მეზობელ კვანძებს შორის არის იგივე და ტოლი λ/2. მანძილი კვანძსა და მეზობელ ანტინოდს შორის ტოლია λ / 4. კვანძში გავლისას მულტიპლიკატორი
ცვლის ნიშანს, ამიტომ კვანძის მოპირდაპირე მხარეს რხევების ფაზები განსხვავდება π-ით, ე.ი. კვანძის მოპირდაპირე მხარეს მდებარე წერტილები ირხევა ანტიფაზაში. ორ მეზობელ კვანძს შორის ჩასმული წერტილები რხევა სხვადასხვა ამპლიტუდით, მაგრამ იგივე ფაზებით.

კვანძების და ანტინოდების განაწილება მუდმივ ტალღაში დამოკიდებულია იმ პირობებზე, რომლებიც ხდება ორ მედიას შორის ინტერფეისზე, საიდანაც ხდება არეკვლა. თუ ტალღა აირეკლება უფრო მკვრივი გარემოდან, მაშინ რხევების ფაზა იმ ადგილას, სადაც ტალღა აირეკლება, იცვლება პირიქით, ან, როგორც ამბობენ, ტალღის ნახევარი იკარგება. მაშასადამე, საპირისპირო მიმართულებების რხევების დამატების შედეგად საზღვარზე გადაადგილება ნულის ტოლია, ე.ი. არის კვანძი (სურ. 12). როდესაც ტალღა აირეკლება ნაკლებად მკვრივი საშუალების საზღვრიდან, რხევების ფაზა არეკვლის ადგილას უცვლელი რჩება და საზღვრებთან ემატება იგივე ფაზებით რხევები - მიიღება ანტინოდი.

მდგარ ტალღაში არ ხდება ფაზური მოძრაობა, ტალღის გავრცელება, ენერგიის გადაცემა, რაც ამ ტიპის ტალღის სახელწოდების მიზეზია.

1.21. დაშლა, იძულებითი რხევები

დამსხვრეული რხევების დიფერენციალური განტოლება და მისი ამოხსნა. შესუსტების კოეფიციენტი. ლოგარითმული დეკამორტიზაციის ზოლი.Q ფაქტორისხეულის სისტემა.აპერიოდული პროცესი. იძულებითი რხევების დიფერენციალური განტოლება და მისი ამოხსნა.იძულებითი რხევების ამპლიტუდა და ფაზა. რხევების დამყარების პროცესი. რეზონანსული საქმე.თვითრხევები.

რხევების დემპინგი არის რხევების ამპლიტუდის თანდათანობითი შემცირება დროთა განმავლობაში, რხევების სისტემის მიერ ენერგიის დაკარგვის გამო.

ბუნებრივი ვიბრაციები დემპირების გარეშე არის იდეალიზაცია. გაფუჭების მიზეზები შეიძლება განსხვავებული იყოს. მექანიკურ სისტემაში ვიბრაციები მცირდება ხახუნის არსებობით. როდესაც რხევის სისტემაში შენახული მთელი ენერგია დაიხარჯება, რხევები შეჩერდება. აქედან გამომდინარე, ამპლიტუდა დამსხვრეული რხევები მცირდება მანამ, სანამ არ გახდება ნული.

დამსხვრეული რხევები, ისევე როგორც ბუნებრივი, ბუნებით განსხვავებულ სისტემებში შეიძლება განიხილებოდეს ერთი თვალსაზრისით - საერთო მახასიათებლები. თუმცა, ისეთი მახასიათებლები, როგორიც არის ამპლიტუდა და პერიოდი, საჭიროებს ხელახლა განსაზღვრას, ხოლო სხვები საჭიროებენ დამატებებს და დაზუსტებებს ბუნებრივი დაუცველი რხევების იგივე მახასიათებლებთან შედარებით. დამსხვრეული რხევების ზოგადი ნიშნები და ცნებები შემდეგია:

დიფერენციალური განტოლება უნდა იქნას მიღებული რხევების პროცესში ვიბრაციის ენერგიის შემცირების გათვალისწინებით.

რხევის განტოლება არის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა.

დარბილებული რხევების ამპლიტუდა დამოკიდებულია დროზე.

სიხშირე და პერიოდი დამოკიდებულია რხევების დაბერების ხარისხზე.

ფაზას და საწყის ფაზას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც დაუცველ რხევებს.

მექანიკური დამთრგუნველი რხევები.

მექანიკური სისტემა : ზამბარის ქანქარა ექვემდებარება ხახუნის ძალებს.

ქანქარაზე მოქმედი ძალები :

ელასტიური ძალა., სადაც k არის ზამბარის სიხისტის კოეფიციენტი, х არის ქანქარის გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან.

წინააღმდეგობის ძალა. განვიხილოთ წინააღმდეგობის ძალა მოძრაობის v სიჩქარის პროპორციული (ასეთი დამოკიდებულება დამახასიათებელია წინააღმდეგობის ძალების დიდი კლასისთვის): . მინუს ნიშანი აჩვენებს, რომ წინააღმდეგობის ძალის მიმართულება ეწინააღმდეგება სხეულის სიჩქარის მიმართულებას. წევის კოეფიციენტი r რიცხობრივად უდრის წევის ძალას, რომელიც წარმოიქმნება სხეულის ერთეული სიჩქარით:

მოძრაობის კანონი გაზაფხულის ქანქარა ნიუტონის მეორე კანონია:

მ ა = ფყოფილი + ფწინააღმდეგობის გაწევა.

იმის გათვალისწინებით, რომ და ნიუტონის მეორე კანონს ვწერთ ამ ფორმით:

. (21.1)

განტოლების ყველა პირობის გაყოფა m-ზე, ყველა მათგანის მარჯვენა მხარეს გადაადგილება, მივიღებთ დიფერენციალური განტოლება დამსხვრეული რხევები:

აღვნიშნოთ სად β – ამორტიზაციის ფაქტორი , , სად ω 0 არის დაუცველი თავისუფალი რხევების სიხშირე რხევის სისტემაში ენერგიის დანაკარგების არარსებობის შემთხვევაში.

ახალ აღნიშვნაში, დარბილებული რხევების დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა:

. (21.2)

ეს არის მეორე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლება.

ეს წრფივი დიფერენციალური განტოლება წყდება ცვლადების ცვლილებით. ჩვენ წარმოვადგენთ x ფუნქციას, t დროის მიხედვით, სახით:

.

ვიპოვოთ ამ ფუნქციის პირველი და მეორე წარმოებულები, თუ გავითვალისწინებთ, რომ ფუნქცია z არის ასევე დროის ფუნქცია:

, .

შეცვალეთ გამონათქვამები დიფერენციალურ განტოლებაში:

განტოლებაში ვყვანთ მსგავს ნაწილებს და ვამცირებთ თითოეულ წევრს, მივიღებთ განტოლებას:

.

მოდით აღვნიშნოთ რაოდენობა .

განტოლების ამოხსნა არის ფუნქციები, .

x ცვლადს რომ დავუბრუნდეთ, ჩვენ ვიღებთ ფორმულებს დამსხვრეული რხევების განტოლებისთვის:

ამგვარად , დამსხვრეული რხევების განტოლებაარის დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი (21.2):

დარბილებული რხევის სიხშირე :

(მაშასადამე, მხოლოდ ნამდვილ ფესვს აქვს ფიზიკური მნიშვნელობა).

დატენიანებული რხევების პერიოდი :

(21.5)

მნიშვნელობა, რომელიც ჩასმული იყო დაუცველი რხევების პერიოდის კონცეფციაში, არ არის შესაფერისი დაბერებული რხევებისთვის, რადგან რხევითი სისტემა არასოდეს უბრუნდება პირვანდელ მდგომარეობას რხევითი ენერგიის დაკარგვის გამო. ხახუნის არსებობისას რხევები უფრო ნელდება: .

დარბილებული რხევების პერიოდი ეწოდება დროის მინიმალურ ინტერვალს, რომლის დროსაც სისტემა გადის წონასწორობის პოზიციაზე ორჯერ იმავე მიმართულებით.

ზამბარის ქანქარის მექანიკური სისტემისთვის გვაქვს:

, .

დამსხვრეული რხევების ამპლიტუდა :

საგაზაფხულო ქანქარისთვის.

დარბილებული რხევების ამპლიტუდა არ არის მუდმივი მნიშვნელობა, მაგრამ იცვლება დროთა განმავლობაში რაც უფრო სწრაფად, მით მეტია β კოეფიციენტი. მაშასადამე, ამპლიტუდის განმარტება, რომელიც ადრე იყო მოცემული დაუცველი თავისუფალი რხევებისთვის, უნდა შეიცვალოს დემპიტუდის რხევებისთვის.

მცირე შესუსტებისთვის დამსხვრეული რხევების ამპლიტუდა უწოდა ყველაზე დიდ გადახრას წონასწორობის პოზიციიდან პერიოდისთვის.

გრაფიკები ოფსეტი დროის და ამპლიტუდის მრუდები დროის წინააღმდეგ ნაჩვენებია 21.1 და 21.2 სურათებზე.

ნახაზი 21.1 - გადაადგილების დამოკიდებულება დროზე დამსხვრეული რხევებისთვის.

ნახაზი 21.2 - ამპლიტუდის დამოკიდებულება დროზე დამსხვრეული რხევებისთვის

დარბილებული რხევების მახასიათებლები.

1. შესუსტების ფაქტორი β .

დარბილებული რხევების ამპლიტუდის ცვლილება ხდება ექსპონენციალური კანონის მიხედვით:

მოდით, რხევის ამპლიტუდა შემცირდეს "e"-ჯერ დროთა განმავლობაში τ ("e" არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი, e ≈ 2.718). შემდეგ, ერთი მხრივ, , და მეორეს მხრივ, რომელმაც დახატა ამპლიტუდები და zat. (t) და A at. (t+τ), გვაქვს . ეს ურთიერთობები გულისხმობს βτ = 1, შესაბამისად.

Დროის ინტერვალი τ , რომლის ამპლიტუდა მცირდება "e"-ჯერ, ეწოდება რელაქსაციის დრო.

შესუსტების ფაქტორი β არის დასვენების დროის უკუპროპორციული მნიშვნელობა.

2. ლოგარითმული დემპინგის შემცირება δ - ფიზიკური სიდიდე რიცხობრივად ტოლია ორი თანმიმდევრული ამპლიტუდის თანაფარდობის ბუნებრივ ლოგარითმს, რომლებიც დროში გამოყოფილია პერიოდით.

თუ შესუსტება მცირეა, ე.ი. β-ს მნიშვნელობა მცირეა, შემდეგ ამპლიტუდა ოდნავ იცვლება პერიოდის განმავლობაში და ლოგარითმული კლება შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად:

,

სადაც A ზე. (t) და A at. (t + NT) - რხევის ამპლიტუდები დროს e და N პერიოდების შემდეგ, ანუ დროს (t + NT).

3. ხარისხის ფაქტორი ქ ოსცილატორული სისტემა არის უგანზომილებიანი ფიზიკური სიდიდე, რომელიც ტოლია (2π) νa მნიშვნელობის ნამრავლის (2π) νa სისტემის ენერგიის W(t) თანაფარდობას დროის თვითნებურ მომენტში ენერგიის დანაკარგთან დარბილებული რხევების ერთი პერიოდის განმავლობაში:

.

ვინაიდან ენერგია ამპლიტუდის კვადრატის პროპორციულია, მაშინ

δ ლოგარითმული შემცირების მცირე მნიშვნელობებისთვის, რხევითი სისტემის ხარისხის ფაქტორი უდრის

,

სადაც N e არის რხევების რაოდენობა, რომლის დროსაც ამპლიტუდა მცირდება "e"-ჯერ.

ასე რომ, ზამბარის ქანქარის ხარისხის კოეფიციენტი არის: რაც უფრო დიდია რხევითი სისტემის ხარისხის ფაქტორი, მით ნაკლებია შესუსტება, მით უფრო დიდხანს გაგრძელდება პერიოდული პროცესი ასეთ სისტემაში. რხევითი სისტემის ხარისხის ფაქტორი -განზომილებიანი სიდიდე, რომელიც ახასიათებს ენერგიის დროში გაფანტვას.

4. β კოეფიციენტის მატებასთან ერთად მცირდება დამპალი რხევების სიხშირე, ხოლო პერიოდი იზრდება. ω 0 = β-ზე, დამსხვრეული რხევების სიხშირე უდრის ნულს ω zat. = 0 და T zat. = ∞. ამ შემთხვევაში რხევები კარგავენ პერიოდულ ხასიათს და ე.წ აპერიოდული.

ω 0 = β, სისტემის პარამეტრები, რომლებიც პასუხისმგებელნი არიან ვიბრაციული ენერგიის შემცირებაზე, იღებენ მნიშვნელობებს ე.წ. კრიტიკული . ზამბარის ქანქარისთვის პირობა ω 0 = β დაიწერება როგორც:, საიდანაც ვიპოვით მნიშვნელობას კრიტიკული წევის კოეფიციენტი:

.

ბრინჯი. 21.3. აპერიოდული რხევების ამპლიტუდის დროზე დამოკიდებულება

იძულებითი ვიბრაციები.

ყველა რეალური რხევა დატენიანებულია. იმისათვის, რომ რეალური რხევები მოხდეს საკმარისად დიდი ხნის განმავლობაში, აუცილებელია პერიოდულად შევსება რხევითი სისტემის ენერგია მასზე მოქმედებით გარე პერიოდულად ცვალებადი ძალით.

განვიხილოთ რხევების ფენომენი თუ გარე (აიძულებს) ძალა დროთა განმავლობაში იცვლება ჰარმონიული კანონის მიხედვით. ამ შემთხვევაში სისტემებში წარმოიქმნება რხევები, რომელთა ბუნება ამა თუ იმ ხარისხით გაიმეორებს მამოძრავებელი ძალის ბუნებას. ასეთ რყევებს ე.წ იძულებული .

იძულებითი მექანიკური რხევების ზოგადი ნიშნები.

1. განვიხილოთ ზამბარის ქანქარის იძულებითი მექანიკური რხევები, რომელზეც მოქმედებს გარეგანი (დამაჯერებელი ) პერიოდული ძალა . ძალები, რომლებიც მოქმედებენ ქანქარზე, წონასწორობიდან ამოღების შემდეგ, ვითარდება თავად ოსცილატორულ სისტემაში. ეს არის დრეკადობის ძალა და წევის ძალა.

მოძრაობის კანონი (ნიუტონის მეორე კანონი) ასე იწერება:

(21.6)

გაყავით განტოლების ორივე მხარე m-ზე, გაითვალისწინეთ ეს და მიიღეთ დიფერენციალური განტოლება იძულებითი ვიბრაციები:

აღნიშნე ( β – ამორტიზაციის ფაქტორი ), (ω 0 არის დაუცველი თავისუფალი რხევების სიხშირე), ერთეულ მასაზე მოქმედი ძალა. ამ აღნიშვნებში დიფერენციალური განტოლება იძულებითი რხევები მიიღებს ფორმას:

(21.7)

ეს არის მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება არანულოვანი მარჯვენა მხარით. ასეთი განტოლების ამონახსნი არის ორი ამონახსნის ჯამი

.

არის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა, ე.ი. დიფერენციალური განტოლება მარჯვენა მხარის გარეშე, როდესაც ის ტოლია ნულის. ჩვენ ვიცით ასეთი ამონახსნები - ეს არის დარბილებული რხევების განტოლება, დაწერილი მუდმივამდე, რომლის მნიშვნელობა განისაზღვრება რხევითი სისტემის საწყისი პირობებით:

ადრე განვიხილეთ, რომ ამოხსნა შეიძლება დაიწეროს სინუსური ფუნქციების მიხედვით.

თუ გავითვალისწინებთ ქანქარის რხევების პროცესს საკმარისად ხანგრძლივი პერიოდის Δt შემდეგ მამოძრავებელი ძალის ჩართვის შემდეგ (სურათი 21.2), მაშინ სისტემაში დარბეული რხევები პრაქტიკულად შეჩერდება. და მაშინ დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა მარჯვენა გვერდით იქნება ამონახვა.

ამონახსნი არის არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნა, ე.ი. განტოლებები მარჯვენა მხარეს. დიფერენციალური განტოლებების თეორიიდან ცნობილია, რომ მარჯვენა მხარის შეცვლასთან ერთად ჰარმონიული კანონის მიხედვით, გამოსავალი იქნება ჰარმონიული ფუნქცია (sin ან cos) ცვლილების სიხშირით, რომელიც შეესაბამება მარჯვენა მხარის ცვლილების სიხშირეს Ω:

სადაც Ampl. – იძულებითი რხევების ამპლიტუდა, φ 0 – ფაზის ცვლა , იმათ. ფაზური განსხვავება მამოძრავებელი ძალის ფაზასა და იძულებითი რხევების ფაზას შორის. და ამპლიტუდა A ამპლი. , და ფაზური ცვლა φ 0 დამოკიდებულია სისტემის პარამეტრებზე (β, ω 0) და მამოძრავებელი ძალის Ω სიხშირეზე.

იძულებითი რხევის პერიოდი უდრის (21.9)

იძულებითი რხევების განრიგი ნახაზზე 4.1.

სურ.21.3. იძულებითი რხევების განრიგი

სტაბილური იძულებითი რხევები ასევე ჰარმონიულია.

იძულებითი რხევების ამპლიტუდის და ფაზური ცვლის დამოკიდებულება გარე მოქმედების სიხშირეზე. რეზონანსი.

1. დავუბრუნდეთ ზამბარის ქანქარის მექანიკურ სისტემას, რომელზეც მოქმედებს გარეგანი ძალა, რომელიც იცვლება ჰარმონიული კანონის მიხედვით. ასეთი სისტემისთვის დიფერენციალურ განტოლებას და მის ამოხსნას, შესაბამისად, აქვთ ფორმა:

, .

გავაანალიზოთ რხევის ამპლიტუდისა და ფაზური ცვლის დამოკიდებულება გარე მამოძრავებელი ძალის სიხშირეზე, ამისთვის ვპოულობთ x-ის პირველ და მეორე წარმოებულებს და ჩავანაცვლებთ მათ დიფერენციალურ განტოლებაში.

გამოვიყენოთ ვექტორული დიაგრამის მეთოდი. განტოლებიდან ჩანს, რომ განტოლების მარცხენა მხარეს სამი რხევის ჯამი (სურათი 4.1) უნდა იყოს მარჯვენა მხარის რხევის ტოლი. ვექტორული დიაგრამა შედგენილია თვითნებური დროით t. მისგან შეიძლება დადგინდეს.

სურათი 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

მნიშვნელობის გათვალისწინებით, , ვიღებთ ფორმულებს φ 0 და A ამპლისთვის. მექანიკური სისტემა:

,

.

2. ვიკვლევთ იძულებითი რხევების ამპლიტუდის დამოკიდებულებას მამოძრავებელი ძალის სიხშირეზე და წინააღმდეგობის ძალის სიდიდეზე რხევად მექანიკურ სისტემაში, ამ მონაცემების გამოყენებით ვაშენებთ გრაფიკს. . კვლევის შედეგები ნაჩვენებია სურათზე 21.5, ისინი აჩვენებენ, რომ მამოძრავებელი ძალის გარკვეული სიხშირით რხევების ამპლიტუდა მკვეთრად იზრდება. და ეს ზრდა რაც უფრო დიდია, მით უფრო დაბალია შესუსტების კოეფიციენტი β. ზე, რხევის ამპლიტუდა ხდება უსასრულოდ დიდი.

ამპლიტუდის მკვეთრი ზრდის ფენომენი იძულებითი რხევები მამოძრავებელი ძალის ტოლი სიხშირით რეზონანსი ეწოდება.

(21.12)

21.5-ზე მოცემული მრუდები ასახავს ურთიერთობას და ეძახიან ამპლიტუდის რეზონანსული მრუდები .

სურათი 21.5 - იძულებითი რხევების ამპლიტუდის დამოკიდებულების გრაფიკები მამოძრავებელი ძალის სიხშირეზე.

რეზონანსული რხევების ამპლიტუდა მიიღებს ფორმას:

იძულებითი ვიბრაციებია დაუცველირყევები. ხახუნის გამო ენერგიის გარდაუვალი დანაკარგები ანაზღაურდება პერიოდულად მოქმედი ძალის გარე წყაროდან ენერგიის მიწოდებით. არის სისტემები, რომლებშიც დაუცველი რხევები წარმოიქმნება არა პერიოდული გარეგანი გავლენის გამო, არამედ ასეთი სისტემების უნარის შედეგად, არეგულირებს ენერგიის ნაკადს მუდმივი წყაროდან. ასეთ სისტემებს ე.წ თვითრხევადი, და დაუცველი რხევების პროცესი ასეთ სისტემებში არის თვითრხევები.

თვითრხევადი სისტემაში შეიძლება გამოიყოს სამი დამახასიათებელი ელემენტი - რხევითი სისტემა, ენერგიის წყარო და უკუკავშირის მოწყობილობა რხევის სისტემასა და წყაროს შორის. როგორც რხევითი სისტემა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი მექანიკური სისტემა, რომელსაც შეუძლია შეასრულოს საკუთარი დაბერებული რხევები (მაგალითად, კედლის საათის ქანქარა).

ენერგიის წყარო შეიძლება იყოს წყაროს დეფორმაციის ენერგია ან გრავიტაციულ ველში დატვირთვის პოტენციური ენერგია. უკუკავშირის მოწყობილობა არის მექანიზმი, რომლითაც თვითრხევადი სისტემა არეგულირებს ენერგიის ნაკადს წყაროდან. ნახ. 21.6 გვიჩვენებს თვითრხევადი სისტემის სხვადასხვა ელემენტების ურთიერთქმედების დიაგრამას.

მექანიკური თვითრხევადი სისტემის მაგალითია საათის მექანიზმი წამყვანიგადაადგილება (სურ. 21.7.). მოძრავი ბორბალი დახრილი კბილებით მყარად არის მიმაგრებული დაკბილულ ბარაბანზე, რომლის მეშვეობითაც ყრიან ჯაჭვს წონასთან ერთად. გულსაკიდის ზედა ბოლოში, ანკერი (წამყვანი) ფიქსირდება მყარი მასალის ორი ფირფიტით, რომელიც მოხრილია ქანქარის ღერძზე ორიენტირებული წრის რკალის გასწვრივ. მაჯის საათში წონა იცვლება ზამბარით, ხოლო ქანქარას ცვლის ბალანსერი - სპირალურ ზამბარზე დამაგრებული ხელის ბორბალი.

სურათი 21.7. საათის მექანიზმი ქანქარით.

ბალანსერი ასრულებს ბრუნვის ვიბრაციას თავისი ღერძის გარშემო. საათის რხევითი სისტემა არის ქანქარა ან ბალანსერი. ენერგიის წყაროა აწეული წონა ან ჭრილობის ზამბარა. უკუკავშირის მოწყობილობა არის წამყვანი, რომელიც საშუალებას აძლევს გაშვებულ ბორბალს მოაბრუნოს ერთი კბილი ნახევარ ციკლში.

უკუკავშირი უზრუნველყოფილია წამყვანის ბორბალთან ურთიერთქმედებით. ქანქარის ყოველი რხევისას სამგზავრო ბორბლის კბილი უბიძგებს წამყვან ჩანგლს ქანქარის მოძრაობის მიმართულებით, გადასცემს მას ენერგიის გარკვეულ ნაწილს, რაც ანაზღაურებს ენერგიის დანაკარგებს ხახუნის გამო. ამრიგად, წონის (ან დაგრეხილი ზამბარის) პოტენციური ენერგია თანდათანობით, ცალკეულ ნაწილებში, გადადის ქანქარზე.

მექანიკური თვითრხევადი სისტემები ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ირგვლივ და ტექნოლოგიაში. თვითრხევას ასრულებენ ორთქლის ძრავები, შიგაწვის ძრავები, ელექტრო ზარები, მშვილდოსანი მუსიკალური ინსტრუმენტების სიმები, ჩასაბერი ინსტრუმენტების მილებში ჰაერის სვეტები, საუბრის ან სიმღერის დროს ვოკალური ბადეები და ა.შ.

სინამდვილეში, თავისუფალი რხევები წარმოიქმნება წინააღმდეგობის ძალების მოქმედებით. გაფანტული ძალები იწვევს რხევის ამპლიტუდის შემცირებას. რხევებს, რომელთა ამპლიტუდა დროთა განმავლობაში მცირდება ენერგიის დანაკარგების შედეგად, ეწოდება დამპალი.

დამსხვრეული მექანიკური რხევები

განმარტება

ფიზიკურ სიდიდეს, რომელიც ახასიათებს რხევების აორთქლების სიჩქარეს, ეწოდება ამორტიზაციის ფაქტორი. შესუსტების კოეფიციენტი შეიძლება აღინიშნოს სხვადასხვა გზით: და ა.შ. იმ პირობით, რომ ხახუნის ძალები სხეულის სიჩქარის პროპორციულია:

სადაც - არის ხახუნის განზოგადებული კოეფიციენტი, ამორტიზაციის კოეფიციენტი ითვლება ტოლი:

სად არის სხეულის მასა, რომელიც რხევა.

რხევების დიფერენციალურ განტოლებას დემპინგის არსებობისას ექნება ფორმა:

არის სისტემის თავისუფალი რხევების ციკლური სიხშირე ხახუნის არარსებობისას.

დარბილებული რხევის განტოლება:

სად არის დარბილებული რხევების სიხშირე, არის დამპალი რხევების ამპლიტუდა. არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც დამოკიდებულია დროის მითითების წერტილის არჩევანზე.

ამორტიზაციის კოეფიციენტი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც დროის () ორმხრივი, რომლის დროსაც ამპლიტუდები (A) მცირდება e-ჯერ:

სად არის დასვენების დრო. ანუ შეგიძლიათ დაწეროთ:

დარბილებული რხევების პერიოდი უდრის:

საშუალების უმნიშვნელო წინააღმდეგობით, თუ უთანასწორობა დაკმაყოფილებულია: რხევის პერიოდი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

როგორც ამორტიზაციის ფაქტორი იზრდება, იზრდება რხევის პერიოდი. უნდა აღინიშნოს, რომ დემპერირებული რხევების პერიოდის კონცეფცია არ ემთხვევა დაუცველი რხევების კონცეფციას, რადგან დემპინგის არსებობისას სისტემა არასოდეს უბრუნდება საწყის მდგომარეობას. დარბილებული რხევების პერიოდი არის დროის მინიმალური პერიოდი, რომლის დროსაც სისტემა ორჯერ გადის წონასწორობის პოზიციას იმავე მიმართულებით.

რხევების შესუსტების კოეფიციენტის მატებასთან ერთად, რხევების სიხშირე მცირდება. თუ , მაშინ დარბილებული რხევების სიხშირე გახდება ნულის ტოლი, ხოლო პერიოდი იზრდება უსასრულობამდე. ასეთი რხევები კარგავენ პერიოდულობას და უწოდებენ აპერიოდულს. როდესაც ამორტიზაციის კოეფიციენტი უდრის რხევების ბუნებრივ სიხშირეს, სისტემის პარამეტრებს კრიტიკული ეწოდება.

რხევის აორთქლების კოეფიციენტი დაკავშირებულია ლოგარითმული დემპინგის შემცირებასთან () გამოსახულებით:

დატენიანებული ელექტრული რხევები

ნებისმიერ ელექტრულ წრეს, რომელიც რეალურად არსებობს, აქვს აქტიური წინააღმდეგობა, ამიტომ დროთა განმავლობაში მასში შენახული ენერგია იხარჯება ამ წინააღმდეგობაზე, რადგან ის თბება.

ამ შემთხვევაში, ელექტრული წრედის შესუსტების კოეფიციენტი გამოითვლება შემდეგნაირად:

სადაც R არის წინააღმდეგობა, L არის მიკროსქემის ინდუქციურობა.

სიხშირე ელექტრომაგნიტურ წრეში წარმოდგენილია ფორმულით:

RLC მიკროსქემისთვის, კრიტიკული წინააღმდეგობა (), რომლის დროსაც რხევები ხდება აპერიოდული, არის წინააღმდეგობის ტოლი:

გვხვდება

ამორტიზაციის თანაფარდობის ერთეულები

SI სისტემაში შესუსტების კოეფიციენტის საზომი ძირითადი ერთეულია:

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

მაგალითი 1

ვარჯიში	რა არის დემპინგის კოეფიციენტი, თუ ქანქარის რხევების ამპლიტუდა t=10 წმ დროს. მცირდება 4-ჯერ?
გამოსავალი	მოდით ჩამოვწეროთ ქანქარის დარბილებული რხევების განტოლება: შესუსტების კოეფიციენტის ერთ-ერთი განმარტების მიხედვით: მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები:
უპასუხე

მაგალითი 2

ვარჯიში	რხევითი წრე შედგება ინდუქტორი L, კონდენსატორი C და წინააღმდეგობა R (ნახ. 1). რა რაოდენობის სრული რხევების (N) შემდეგ შემცირდება დენის ამპლიტუდა წრედში e-ის კოეფიციენტით?
გამოსავალი	შემოგთავაზებთ შემდეგ აღნიშვნას: - დენის სიძლიერის ამპლიტუდის საწყისი მნიშვნელობა, - დენის სიძლიერის ამპლიტუდა N რხევების მეშვეობით, შემდეგ შეგვიძლია დავწეროთ:

ᲖᲝᲒᲐᲓᲘ ᲘᲜᲤᲝᲠᲛᲐᲪᲘᲐ

რყევებიეწოდება მოძრაობები ან პროცესები, რომლებიც ხასიათდება დროში გარკვეული განმეორებით. რყევებს ე.წ უფასო, თუ ისინი შესრულებულია თავდაპირველად გადაცემული ენერგიის ხარჯზე რხევის სისტემაზე გარე ზემოქმედების შემდგომი არარსებობით. უმარტივესი ტიპის ვიბრაციებია ჰარმონიული ვიბრაციები- რყევები, რომლებშიც რხევითი მნიშვნელობა იცვლება დროში სინუსის ან კოსინუსის კანონის მიხედვით.

ჰარმონიული რხევების დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა

სადაც არის რხევის მნიშვნელობა, არის ციკლური სიხშირე.

არის ამ განტოლების ამონახსნი. აქ - ამპლიტუდა, - საწყისი ფაზა.

რხევის ფაზა.

ამპლიტუდა - მერყევი სიდიდის მაქსიმალური მნიშვნელობა.

რხევის პერიოდი არის დროის ის პერიოდი, რომლის შემდეგაც სხეულის მოძრაობა მეორდება. პერიოდის რხევის ფაზა იღებს ზრდას. . , არის ვიბრაციების რაოდენობა.

რხევის სიხშირე არის სრული რხევების რაოდენობა დროის ერთეულზე. . . იგი იზომება ჰერცში (Hz).

ციკლური სიხშირე არის რხევების რაოდენობა წამში. . ერთეული .

რხევის ფაზა არის მნიშვნელობა კოსინუსის ნიშნის ქვეშ და ახასიათებს რხევითი სისტემის მდგომარეობას ნებისმიერ დროს.

საწყისი ფაზა - რხევების ფაზა დროის საწყის მომენტში. ფაზა და საწყისი ფაზა იზომება რადიანებში ().

უფასო დარბილებული ვიბრაციები– რხევები, რომელთა ამპლიტუდა, რეალური რხევითი სისტემის მიერ ენერგიის დანაკარგების გამო, დროთა განმავლობაში მცირდება. ვიბრაციის ენერგიის შემცირების უმარტივესი მექანიზმია მისი გადაქცევა სითბოდ მექანიკური რხევის სისტემებში ხახუნის გამო, აგრეთვე ელექტრომაგნიტური ენერგიის ომური დანაკარგები და გამოსხივება ელექტრული რხევის სისტემებში.

თავისუფალ დემორტული რხევების დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა

, (1)

(1) განტოლების ამონახსნი დაბალი შესუსტების შემთხვევაში (d 2<< ) имеет вид

დროის ინტერვალი, რომლის დროსაც ამპლიტუდა მცირდება ეჯერ, ე.წ დასვენების დრო.

დემპინგი არღვევს რხევების პერიოდულობას, ასე რომ, დამსხვრეული რხევები პერიოდული არ არის. თუმცა, თუ შესუსტება მცირეა, მაშინ შეიძლება პირობითად გამოვიყენოთ პერიოდის კონცეფცია, როგორც დროის ინტერვალი რხევადი სიდიდის ორ თანმიმდევრულ მაქსიმუმს (ან მინიმუმს) შორის. შემდეგ დატენიანებული რხევების პერიოდი გამოითვლება ფორმულით

.

თუ ა(ტ) და ა(t+T) არის ორი თანმიმდევრული რხევის ამპლიტუდა, რომელიც შეესაბამება პერიოდებს, რომლებიც განსხვავდება პერიოდით, შემდეგ თანაფარდობით

დაურეკა ამორტიზაციის შემცირებადა მისი ლოგარითმი

– ლოგარითმული დემპინგის შემცირება.

ღირებულება ნ ეარის ამპლიტუდის შემცირების დროს განხორციელებული რხევების რაოდენობა ეერთხელ. ლოგარითმული დემპინგის კლება არის მუდმივი მნიშვნელობა მოცემული რხევითი სისტემისთვის.

რხევითი სისტემის დასახასიათებლად გამოიყენება კონცეფცია ხარისხის ფაქტორი ქ, რომელიც ლოგარითმული კლების მცირე მნიშვნელობებისთვის უდრის

.

 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა:

• რა ძლიერი მხარეები უნდა იყოს მითითებული რეზიუმეში?;
• პიროვნების მოტივაციის დიაგნოსტიკის მეთოდები;
• რა უნდა იცოდნენ ქვეშევრდომებმა?;
• თქვენი გრძნობების ვერბალიზაცია;
• დროის განაწილების მატრიცა (სტივენ კოვეის მიხედვით);
• გუნდში კონფლიქტების მოგვარება მაგალითები, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს კონფლიქტები სამუშაო გუნდში;
• ტყის საკვები სოკოების სია ფოტოებით, სახელებითა და აღწერილობებით;
• მაჰაგანი, როგორც მასალა;