Variabila aleatoare x este specificată de funcția de densitate de distribuție. Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare continue

Valorea estimata

Dispersia variabila aleatoare continuă X, ale cărei valori posibile aparțin întregii axe Ox, este determinată de egalitatea:

Scopul serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a rezolva probleme în care fie densitatea distributiei f(x) sau funcția de distribuție F(x) (vezi exemplu). De obicei, în astfel de sarcini trebuie să găsiți așteptări matematice, abatere standard, funcții grafice f(x) și F(x).

Instrucțiuni. Selectați tipul de date sursă: densitatea de distribuție f(x) sau funcția de distribuție F(x).

Densitatea distribuției f(x) este dată:

Funcția de distribuție F(x) este dată:

O variabilă aleatoare continuă este specificată printr-o densitate de probabilitate
(Legea distribuției Rayleigh - folosită în ingineria radio). Găsiți M(x) , D(x) .

Se numește variabila aleatoare X continuu , dacă funcția sa de distribuție F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este utilizată pentru a calcula probabilitatea ca o variabilă aleatoare să se încadreze într-un interval dat:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Mai mult, pentru o variabilă aleatoare continuă, nu contează dacă limitele sale sunt incluse sau nu în acest interval:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densitatea de distribuție o variabilă aleatoare continuă se numește funcție
f(x)=F’(x) , derivată a funcției de distribuție.

Proprietățile densității de distribuție

1. Densitatea de distribuție a variabilei aleatoare este nenegativă (f(x) ≥ 0) pentru toate valorile lui x.
2. Condiție de normalizare:

Sensul geometric al condiției de normalizare: aria de sub curba densității distribuției este egală cu unitatea.
3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să cadă în intervalul de la α la β poate fi calculată folosind formula

Geometric, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să cadă în intervalul (α, β) este egală cu aria unui trapez curbiliniu sub curba densității distribuției bazată pe acest interval.
4. Funcția de distribuție se exprimă în termeni de densitate astfel:

Valoarea densității distribuției în punctul x nu este egală cu probabilitatea de a accepta această valoare pentru o variabilă aleatoare continuă nu putem vorbi decât de probabilitatea de a cădea într-un interval dat. Lăsa :

probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul [ A; b], este egal cu o anumită integrală a densității sale de probabilitate variind de la A inainte de b:

.

În acest caz, formula generală a funcției F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care poate fi utilizată dacă este cunoscută funcția de densitate f(X) :

.

Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue se numește curba de distribuție (figura de mai jos).

Aria unei figuri (umbrite în figură) delimitată de o curbă, linii drepte trasate din puncte AȘi b perpendicular pe axa x și pe axa Oh, afișează grafic probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue X se află în raza de A inainte de b.

Proprietăți ale funcției de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue

1. Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia orice valoare din interval (și aria figurii care este limitată de graficul funcției f(X) și axa Oh) este egal cu unu:

2. Funcția de densitate de probabilitate nu poate lua valori negative:

iar în afara existenţei distribuţiei valoarea acesteia este zero

Densitatea de distribuție f(X), precum și funcția de distribuție F(X), este una dintre formele legii distribuției, dar spre deosebire de funcția de distribuție, nu este universală: densitatea distribuției există doar pentru variabile aleatoare continue.

Să menționăm cele mai importante două tipuri de distribuție a unei variabile aleatoare continue în practică.

Dacă funcţia de densitate de distribuţie f(X) variabilă aleatoare continuă într-un interval finit [ A; b] ia o valoare constantă C, iar în afara intervalului ia o valoare egală cu zero, atunci aceasta distribuția se numește uniformă .

Dacă graficul funcției de densitate de distribuție este simetric față de centru, valorile medii sunt concentrate în apropierea centrului, iar atunci când se îndepărtează de centru, sunt colectate cele mai diferite de medie (graficul funcției seamănă cu un secțiunea unui clopot), atunci aceasta distribuția se numește normală .

Exemplul 1. Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare continue este cunoscută:

Funcția de căutare f(X) densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Construiți grafice ale ambelor funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8: .

Soluţie. Obținem funcția de densitate a probabilității găsind derivata funcției de distribuție a probabilității:

Graficul unei funcții F(X) - parabola:

Graficul unei funcții f(X) - Drept:

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8:

Exemplul 2. Funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este dată astfel:

Calculați coeficientul C. Funcția de căutare F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Construiți grafice ale ambelor funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5: .

Soluţie. Coeficient C găsim, folosind proprietatea 1 a funcției de densitate de probabilitate:

Astfel, funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este:

Prin integrare, găsim funcția F(X) distribuţii de probabilitate. Dacă X < 0 , то F(X) = 0 . Daca 0< X < 10 , то

.

X> 10, atunci F(X) = 1 .

Astfel, înregistrarea completă a funcției de distribuție a probabilității este:

Graficul unei funcții f(X) :

Graficul unei funcții F(X) :

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5:

Exemplul 3. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dat de egalitatea , și . Găsiți coeficientul A, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X.

Soluţie. Prin condiție ajungem la egalitate

Prin urmare, de unde . Asa de,

.

Acum găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[:

Acum obținem funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare:

Exemplul 4. Aflați densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care ia numai valori nenegative și funcția de distribuție .

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Variabile aleatoare”.

Sarcină 1 . Sunt 100 de bilete emise pentru loterie. A fost extras un câștig de 50 USD. și zece câștiguri de câte 10 USD fiecare. Aflați legea distribuției valorii X - costul posibilelor câștiguri.

Soluţie. Valori posibile pentru X: x 1 = 0; X 2 = 10 și x 3 = 50. Deoarece există 89 de bilete „goale”, atunci p 1 = 0,89, probabilitatea de a câștiga 10 USD. (10 bilete) – p 2 = 0,10 și pentru a câștiga 50 USD -p 3 = 0,01. Prin urmare:

0,89

0,10

0,01

Ușor de controlat: .

Sarcină 2. Probabilitatea ca cumpărătorul să fi citit în avans reclama produsului este de 0,6 (p = 0,6). Controlul selectiv al calității reclamei se realizează prin sondajul cumpărătorilor înaintea primului care a studiat publicitatea în prealabil. Întocmește o serie de distribuție pentru numărul de cumpărători chestionați.

Soluţie. Conform condițiilor problemei, p = 0,6. Din: q=1 -p = 0,4. Înlocuind aceste valori, obținem:și construiți o serie de distribuție:

p i

0,24

Sarcină 3. Un computer este format din trei elemente care funcționează independent: unitatea de sistem, monitorul și tastatura. Cu o singură creștere bruscă a tensiunii, probabilitatea de defecțiune a fiecărui element este de 0,1. Pe baza distribuției Bernoulli, întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente defectate în timpul unei supratensiuni în rețea.

Soluţie. Sa luam in considerare distribuția Bernoulli(sau binom): probabilitatea ca n teste, evenimentul A va apărea exact k o singura data: , sau:

q n

p n

ÎN Să revenim la sarcină.

Valori posibile pentru X (număr de defecțiuni):

x 0 =0 – niciunul dintre elemente nu a eșuat;

x 1 =1 – defectarea unui element;

x 2 =2 – defectarea a două elemente;

x 3 =3 – defectarea tuturor elementelor.

Deoarece, prin condiție, p = 0,1, atunci q = 1 – p = 0,9. Folosind formula lui Bernoulli, obținem

, ,

, .

Control: .

Prin urmare, legea distribuirii cerută:

0,729

0,243

0,027

0,001

Problema 4. 5000 de runde produse. Probabilitatea ca un cartuş să fie defect . Care este probabilitatea ca în întregul lot să fie exact 3 cartușe defecte?

Soluţie. Aplicabil Distribuția Poisson: Această distribuție este utilizată pentru a determina probabilitatea ca, pentru foarte mari

număr de teste (teste de masă), în fiecare dintre ele probabilitatea evenimentului A este foarte mică, evenimentul A va avea loc de k ori: , Unde .

Aici n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Găsim , atunci probabilitatea dorită: .

Problema 5. Când trageți până la prima lovitură cu probabilitate de lovire p = 0,6 când trageți, trebuie să găsiți probabilitatea ca o lovitură să apară la a treia lovitură.

Soluţie. Să aplicăm o distribuție geometrică: să fie efectuate încercări independente, în fiecare eveniment A având o probabilitate de apariție p (și de neapariție q = 1 – p). Testul se încheie imediat ce apare evenimentul A.

În astfel de condiții, probabilitatea ca evenimentul A să se producă în a k-a încercare este determinată de formula: . Aici p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Prin urmare, .

Problema 6. Fie dată legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Găsiți așteptările matematice.

Soluţie. .

Rețineți că sensul probabilistic al așteptării matematice este valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Problema 7. Aflați varianța variabilei aleatoare X cu următoarea lege de distribuție:

Soluţie. Aici .

Legea distribuției pentru valoarea pătrată a lui X 2 :

X 2

Varianta necesară: .

Dispersia caracterizează măsura abaterii (dispersiei) a unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.

Problema 8. Fie o variabilă aleatorie dată de distribuția:

10m

Găsiți caracteristicile sale numerice.

Rezolvare: m, m 2 ,

M 2 , m.

Despre variabila aleatoare X putem spune fie: așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o varianță de 13,04 m 2 , sau – așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o abatere de m A doua formulare este evident mai clară.

Sarcină 9. Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție:
.

Aflați probabilitatea ca în urma testului valoarea X să ia valoarea conținută în interval .

Soluţie. Probabilitatea ca X să ia o valoare dintr-un interval dat este egală cu incrementul funcției integrale în acest interval, i.e. . În cazul nostru și, prin urmare

.

Sarcină 10. Variabilă aleatoare discretă X este dat de legea distribuției:

Găsiți funcția de distribuție F(x ) și trasează-l.

Soluţie. Deoarece funcția de distribuție,

Pentru , Acea

la ;

la ;

la ;

la ;

Grafic relevant:


Problema 11. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcția de distribuție diferențială: .

Găsiți probabilitatea de lovire X pe interval

Soluţie. Rețineți că acesta este un caz special al legii distribuției exponențiale.

Să folosim formula: .

Sarcină 12. Găsiți caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete X specificate de legea distribuției:

–5

X2:

X 2

. , Unde – Funcția Laplace.

Valorile acestei funcții sunt găsite folosind un tabel.

În cazul nostru: .

Din tabel găsim: , prin urmare:

Concepte de așteptare matematică M(X) și varianță D(X), introdus mai devreme pentru o variabilă aleatoare discretă, poate fi extins la variabile aleatoare continue.

· Așteptările matematice M(X) variabila aleatoare continuă X este determinată de egalitatea:

cu condiţia ca această integrală să convergă.

· Varianta D(X) variabilă aleatoare continuă X este determinată de egalitatea:

· Deviație standardσ( X) variabila aleatoare continuă este determinată de egalitatea:

Toate proprietățile așteptării și dispersiei matematice, discutate mai devreme pentru variabile aleatoare discrete, sunt valabile și pentru cele continue.

Problema 5.3. Valoare aleatoare X dat de o functie diferentiala f(X):

Găsi M(X), D(X), σ( X), și P(1 < X< 5).

Soluţie:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Sarcini

5.1. X

f(X), și

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcția de distribuție:

Găsiți funcția de distribuție diferențială f(X), și

R(2π /9< X< π /2).

5.3. Variabilă aleatoare continuă X

Găsiți: a) numărul Cu; b) M(X), D(X).

5.4. Variabilă aleatoare continuă X dat de densitatea de distribuție:

Găsiți: a) numărul Cu; b) M(X), D(X).

5.5. X:

Gaseste un) F(X) și construiește graficul acestuia; b) M(X), D(X), σ( X); c) probabilitatea ca în patru încercări independente valoarea X va lua exact de 2 ori valoarea aparținând intervalului (1;4).

5.6. Este dată densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X:

Gaseste un) F(X) și construiește graficul acestuia; b) M(X), D(X), σ( X); c) probabilitatea ca în trei încercări independente valoarea X va lua exact de 2 ori valoarea apartinand segmentului .

5.7. Funcţie f(X) este dat sub forma:

Cu X; b) funcţia de distribuţie F(X).

5.8. Funcţie f(X) este dat sub forma:

Aflați: a) valoarea constantei Cu, la care funcția va fi densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare X; b) funcţia de distribuţie F(X).

5.9. Valoare aleatoare X, concentrat pe intervalul (3;7), este specificat de funcția de distribuție F(X)= X va lua valoarea: a) mai mică de 5, b) nu mai mică de 7.

5.10. Valoare aleatoare X, centrat pe intervalul (-1;4), este specificat de funcția de distribuție F(X)= . Aflați probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua valoarea: a) mai mică de 2, b) mai mică de 4.


5.11.

Găsiți: a) numărul Cu; b) M(X); c) probabilitate R(X > M(X)).

5.12. Variabila aleatoare este specificată de funcția de distribuție diferențială:

Gaseste un) M(X); b) probabilitate R(X ≤ M(X)).

5.13. Distribuția Rem este dată de densitatea de probabilitate:

Demonstrează asta f(X) este într-adevăr o funcție de densitate de probabilitate.

5.14. Este dată densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X:

Găsiți numărul Cu.

5.15. Valoare aleatoare X distribuite conform legii lui Simpson (triunghi isoscel) pe segmentul [-2;2] (Fig. 5.4). Găsiți o expresie analitică pentru densitatea probabilității f(X) pe întreaga linie numerică.

Orez. 5.4 Fig. 5.5

5.16. Valoare aleatoare X distribuite conform legii „triunghiului dreptunghic” în intervalul (0;4) (Fig. 5.5). Găsiți o expresie analitică pentru densitatea probabilității f(X) pe întreaga linie numerică.

Răspunsuri

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. A) Cu=1/6, b) M(X)=3 , c) D(X)=26/81.

5.4. A) Cu=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.

b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.

b) M(X)=2 , D(X)= 3, σ( X)= 1,893.

5.7. a) c = ; b)

5.8. A) Cu=1/2; b)

5.9. a)1/4; b) 0.

5.10. a)3/5; b) 1.

5.11. A) Cu= 2; b) M(X)= 2; în 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. A) M(X)= π /2; b) 1/2



 

Ar putea fi util să citiți: