Variabila aleatoare x este specificată de funcția de distribuție a probabilității. Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Variabile aleatoare”

Exercitiul 1. Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X are forma:
Găsi:
a) parametrul A;
b) funcţia de distribuţie F(x) ;
c) probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să cadă în interval;
d) așteptarea matematică MX și varianța DX.
Desenați un grafic al funcțiilor f(x) și F(x).

Sarcina 2. Aflați varianța variabilei aleatoare X dată de funcția integrală.

Sarcina 3. Găsiți așteptarea matematică a variabilei aleatoare X dată fiind funcția de distribuție.

Sarcina 4. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare este dată astfel: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Găsiți coeficientul A, funcția de distribuție F(x), așteptarea și varianța matematică, precum și probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare în interval. Desenați grafice f(x) și F(x).

Sarcină. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este dată după cum urmează:

Determinați parametrii a și b, găsiți o expresie pentru densitatea de probabilitate f(x), așteptarea și varianța matematică, precum și probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare în interval. Desenați grafice ale lui f(x) și F(x).

Să găsim funcția de densitate de distribuție ca o derivată a funcției de distribuție.
F′=f(x)=a
Știind că vom găsi parametrul a:

sau 3a=1, de unde a = 1/3
Găsim parametrul b din următoarele proprietăți:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 de unde b = -1/3
Prin urmare, funcția de distribuție are forma: F(x) = (x-1)/3

Valorea estimata.

Dispersia.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Să găsim probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare în interval
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Exemplul nr. 1. Este dată densitatea distribuției de probabilitate f(x) a unei variabile aleatoare continue X. Necesar:

Determinați coeficientul A.
găsiți funcția de distribuție F(x) .
Construiți schematic grafice ale lui F(x) și f(x).
găsiți așteptările matematice și varianța lui X.
găsiți probabilitatea ca X să ia o valoare din intervalul (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Soluţie:

Variabila aleatoare X este specificată de densitatea distribuției f(x):

Să găsim parametrul A din condiția:

sau
14/3*A-1 = 0
Unde,
A = 3 / 14

Funcția de distribuție poate fi găsită folosind formula.

Variabilă aleatorie Se numește o cantitate care, în urma testelor efectuate în aceleași condiții, capătă valori diferite, în general, în funcție de factori aleatori neluați în considerare. Exemple de variabile aleatoare: numărul de puncte aruncate pe un zar, numărul de produse defecte dintr-un lot, abaterea punctului de impact al unui proiectil de la țintă, timpul de funcționare al unui dispozitiv etc. Sunt discrete și continue variabile aleatoare. Discret Se numește o variabilă aleatorie, ale cărei valori posibile formează o mulțime numărabilă, finită sau infinită (adică o mulțime ale cărei elemente pot fi numerotate).

Continuu Se numește o variabilă aleatorie, ale cărei valori posibile umple continuu un interval finit sau infinit al dreptei numerice. Numărul de valori ale unei variabile aleatoare continue este întotdeauna infinit.

Vom desemna variabile aleatoare cu majuscule de la sfârșitul alfabetului latin: X, Y, ...; valori ale variabilelor aleatorii – cu litere mici: X y,... . Prin urmare, X Indică întregul set de valori posibile ale unei variabile aleatoare și X - O parte din semnificația sa specifică.

Legea distribuției O variabilă aleatoare discretă este o corespondență specificată sub orice formă între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestora.

Fie valorile posibile ale variabilei aleatoare X Sunt . Ca rezultat al testului, variabila aleatoare va lua una dintre aceste valori, i.e. Va avea loc un eveniment dintr-un grup complet de evenimente incompatibile pe perechi.

Fie cunoscute și probabilitățile acestor evenimente:

Legea distribuției unei variabile aleatoare X Poate fi scris sub forma unui tabel numit Aproape de distribuție Variabilă aleatorie discretă:

Pentru seria de distribuție, egalitatea este valabilă (condiția de normalizare).

Exemplul 3.1. Aflați legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X – de câte ori apar capete în două aruncări de monede.

Funcția de distribuție este o formă universală pentru specificarea legii de distribuție atât a variabilelor aleatoare discrete, cât și a celor continue.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoareX Funcția este numită F(X), Definit pe întreaga linie numerică după cum urmează:

F(X)= P(X< х ),

Acesta este F(X) există probabilitatea ca variabila aleatoare X Va lua o valoare mai mică decât X.

Funcția de distribuție poate fi reprezentată grafic. Pentru o variabilă aleatorie discretă, graficul are o formă în trepte. Să construim, de exemplu, un grafic al funcției de distribuție a unei variabile aleatoare dată de următoarea serie (Fig. 3.1):

Orez. 3.1. Graficul funcției de distribuție a unei variabile aleatoare discrete

Salturile de funcție apar în punctele corespunzătoare unor posibile valori ale variabilei aleatoare și sunt egale cu probabilitățile acestor valori. La punctele de pauză funcția F(X) este lăsat continuu.

Graficul funcției de distribuție a unei variabile aleatoare continue este o curbă continuă.

Orez. 3.2. Graficul funcției de distribuție a unei variabile aleatoare continue

Funcția de distribuție are următoarele proprietăți evidente:

1) , 2) , 3) ,

4) la .

Vom numi evenimentul ca o variabilă aleatorie X Preia valoare X, Aparținând unui interval semiînchis A£ X< B, Când o variabilă aleatoare cade pe intervalul [ A, B).

Teorema 3.1. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să se încadreze în intervalul [ A, B) este egal cu incrementul funcției de distribuție pe acest interval:

Dacă reduceți intervalul [ A, B), Presupunând că , atunci în formula limită (3.1) în loc de probabilitatea de a atinge intervalul dă probabilitatea de a atinge punctul, adică probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valoarea A:

Dacă funcţia de distribuţie are o discontinuitate în punct A, Atunci limita (3.2) este egală cu valoarea saltului funcției F(X) la un moment dat X=A, Adică, probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valoarea A (Fig. 3.3, A). Dacă variabila aleatoare este continuă, adică funcția este continuă F(X), atunci limita (3.2) este egală cu zero (Fig. 3.3, B)

Astfel, probabilitatea oricărei valori particulare a unei variabile aleatoare continue este zero. Cu toate acestea, acest lucru nu înseamnă că evenimentul este imposibil X=A, Spune doar că frecvența relativă a acestui eveniment va tinde spre zero cu o creștere nelimitată a numărului de teste.

A)
B)

Orez. 3.3. Salt al funcției de distribuție

Pentru variabile aleatoare continue, împreună cu funcția de distribuție, se folosește o altă formă de specificare a legii distribuției - densitatea distribuției.

Dacă este probabilitatea de a cădea în intervalul , atunci raportul caracterizează densitatea cu care probabilitatea este distribuită în vecinătatea punctului X. Limita acestui raport la, i.e. e. derivat, se numeste Densitatea de distribuție(densitatea distribuției de probabilitate, densitatea de probabilitate) a unei variabile aleatoare X. Să fim de acord să notăm densitatea distribuției

Astfel, densitatea distribuției caracterizează probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în vecinătatea unui punct X.

Se numește graficul densității distribuției Curse strâmbeLimite(Fig. 3.4).

Orez. 3.4. Tip de densitate de distribuție

Pe baza definiției și proprietăților funcției de distribuție F(X), este ușor de stabilit următoarele proprietăți ale densității de distribuție F(X):

1) F(X)³0

Pentru o variabilă aleatoare continuă, deoarece probabilitatea de a atinge un punct este zero, sunt valabile următoarele egalități:

Exemplul 3.2. Valoare aleatoare X Dată de densitatea de distribuție

Necesar:

A) aflați valoarea coeficientului A;

B) găsiți funcția de distribuție;

C) găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă pe intervalul (0, ).

Funcția de distribuție sau densitatea de distribuție descrie complet o variabilă aleatoare. Adesea însă, atunci când se iau decizii practice, nu este nevoie de cunoașterea completă a legii distribuției; este suficient să cunoaștem doar câteva dintre trăsăturile sale caracteristice. În acest scop, teoria probabilității folosește caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare care exprimă diverse proprietăți ale legii distribuției. Principalele caracteristici numerice sunt MatematicAșteptări, varianță și abatere standard.

Valorea estimata Caracterizează poziția unei variabile aleatoare pe axa numerelor. Aceasta este o valoare medie a unei variabile aleatoare în jurul căreia sunt grupate toate valorile sale posibile.

Așteptarea unei variabile aleatoare X Indicat prin simboluri M(X) sau T. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor pereche a tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare și probabilitățile acestor valori:

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue sunt determinate folosind o integrală improprie:

Pe baza definițiilor, este ușor de verificat validitatea următoarelor proprietăți ale așteptării matematice:

1. (aşteptare matematică a unei valori nealeatoare CU Egal cu valoarea cea mai non-aleatorie).

2. Dacă ³0, atunci ³0.

4. Dacă și Independent, Acea .

Exemplul 3.3. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete dată de seria de distribuție:

Soluţie.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

Exemplul 3.4. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare dată de densitatea distribuției:

Soluţie.

Varianta si abaterea standard Sunt caracteristici ale dispersiei unei variabile aleatoare; ele caracterizează răspândirea valorilor posibile ale acesteia în raport cu așteptarea matematică.

Varianta D(X) Variabilă aleatorie X Se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea sa matematică Pentru o variabilă aleatoare discretă, varianța este exprimată prin suma:

(3.3)

Iar pentru continuu – prin integrală

(3.4)

Varianta are dimensiunea pătratului variabilei aleatoare. Caracteristicile de dispersie Aceeași mărimeSti cu o variabilă aleatoare, servește ca abatere standard.

Proprietăți de dispersie:

1) – constantă. În special,

În special,

Rețineți că calcularea varianței folosind formula (3.5) se dovedește adesea a fi mai convenabilă decât folosind formula (3.3) sau (3.4).

Se numește cantitatea Covarianta variabile aleatoare.

Dacă , apoi valoarea

Chemat Coeficient de corelație variabile aleatoare.

Se poate arăta că dacă , atunci marimile sunt dependente liniar: unde

Rețineți că, dacă sunt independenți, atunci

Exemplul 3.5. Aflați varianța variabilei aleatoare dată de seria de distribuție din Exemplul 1.

Soluţie. Pentru a calcula varianța, trebuie să cunoașteți așteptările matematice. Pentru o anumită variabilă aleatoare s-a găsit mai sus: M=1,3. Calculăm varianța folosind formula (3.5):

Exemplul 3.6. Variabila aleatoare este specificată de densitatea distribuției

Aflați varianța și abaterea standard.

Soluţie. Mai întâi găsim așteptările matematice:

(ca integrală a unei funcții impare pe un interval simetric).

Acum calculăm varianța și abaterea standard:

1. Distribuție binomială. Variabila aleatoare egală cu numărul de „SUCCESE” din schema Bernoulli are o distribuție binomială: , .

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare distribuite conform legii binomiale este egală cu

Varianta acestei distribuții este .

2. Distribuția Poisson ,

Așteptarea și varianța unei variabile aleatoare cu distribuție Poisson, .

Distribuția Poisson este adesea folosită atunci când avem de-a face cu numărul de evenimente care au loc într-o perioadă de timp sau spațiu, de exemplu: numărul de mașini care sosesc la o spălătorie auto într-o oră, numărul de opriri ale mașinii pe săptămână, numărul a accidentelor rutiere etc.

Variabila aleatoare are Distribuția geometrică cu parametru dacă ia valori cu probabilități . O variabilă aleatoare cu o astfel de distribuție are sens Numerele primului test reușitîn schema Bernoulli cu probabilitatea de succes. Tabelul de distribuție arată astfel:

3. Distributie normala. Legea normală a distribuției probabilităților ocupă un loc special printre alte legi ale distribuției. În teoria probabilităților se dovedește că densitatea de probabilitate a sumei independente sau Puțin dependent, termeni uniform mici (adică, jucând aproximativ același rol), cu o creștere nelimitată a numărului lor, se apropie de legea distribuției normale cât se dorește, indiferent de ce legi de distribuție au acești termeni (teorema limită centrală a lui A. M. Lyapunov).

Variabilă aleatorie este o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de diverse circumstanțe și variabila aleatoare se numeste continua , dacă poate lua orice valoare din orice interval limitat sau nelimitat. Pentru o variabilă aleatoare continuă, este imposibil să se indice toate valorile posibile, așa că desemnăm intervale ale acestor valori care sunt asociate cu anumite probabilități.

Exemple de variabile aleatoare continue includ: diametrul unei piese care este măcinată la o dimensiune dată, înălțimea unei persoane, raza de zbor a unui proiectil etc.

Deoarece pentru variabile aleatoare continue funcţia F(X), Spre deosebire de variabile aleatoare discrete, nu are salturi nicăieri, atunci probabilitatea oricărei valori individuale a unei variabile aleatoare continue este zero.

Aceasta înseamnă că pentru o variabilă aleatoare continuă nu are sens să vorbim despre distribuția probabilității dintre valorile sale: fiecare dintre ele are probabilitate zero. Cu toate acestea, într-un sens, printre valorile unei variabile aleatoare continue există „mai mult și mai puțin probabil”. De exemplu, aproape nimeni nu s-ar îndoi că valoarea unei variabile aleatoare - înălțimea unei persoane întâlnite aleatoriu - 170 cm - este mai probabilă decât 220 cm, deși ambele valori pot apărea în practică.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue și densitatea probabilității

Ca lege de distribuție care are sens numai pentru variabile aleatoare continue, este introdus conceptul de densitate de distribuție sau densitate de probabilitate. Să o abordăm comparând semnificația funcției de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă și pentru o variabilă aleatoare discretă.

Deci, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare (atât discrete, cât și continue) sau funcţie integrală se numește funcție care determină probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare X mai mică sau egală cu valoarea limită X.

Pentru o variabilă aleatoare discretă în punctele valorilor sale X1 , X 2 , ..., X eu,... se concentrează mase de probabilităţi p1 , p 2 , ..., p eu,..., iar suma tuturor maselor este egală cu 1. Să transferăm această interpretare în cazul unei variabile aleatoare continue. Să ne imaginăm că o masă egală cu 1 nu este concentrată în puncte individuale, ci este continuu „untată” de-a lungul axei absciselor Oh cu o oarecare densitate neuniformă. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în orice zonă Δ X va fi interpretată ca masa pe secțiune, iar densitatea medie la acea secțiune ca raportul dintre masă și lungime. Tocmai am introdus un concept important în teoria probabilității: densitatea distribuției.

Probabilitate densitate f(X) a unei variabile aleatoare continue este derivata funcției sale de distribuție:

Cunoscând funcția de densitate, puteți găsi probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue să aparțină intervalului închis [ A; b]:

probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul [ A; b], este egal cu o anumită integrală a densității sale de probabilitate variind de la A inainte de b:

În acest caz, formula generală a funcției F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care poate fi utilizată dacă este cunoscută funcția de densitate f(X) :

Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue se numește curba de distribuție (figura de mai jos).

Aria unei figuri (umbrite în figură) delimitată de o curbă, linii drepte trasate din puncte AȘi b perpendicular pe axa x și pe axa Oh, afișează grafic probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue X se află în raza de A inainte de b.

Proprietăți ale funcției de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue

1. Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia orice valoare din interval (și aria figurii care este limitată de graficul funcției f(X) și axa Oh) este egal cu unu:

2. Funcția de densitate de probabilitate nu poate lua valori negative:

iar în afara existenţei distribuţiei valoarea acesteia este zero

Densitatea de distribuție f(X), precum și funcția de distribuție F(X), este una dintre formele legii distribuției, dar spre deosebire de funcția de distribuție, nu este universală: densitatea distribuției există doar pentru variabile aleatoare continue.

Să menționăm cele mai importante două tipuri de distribuție a unei variabile aleatoare continue în practică.

Dacă funcţia de densitate de distribuţie f(X) variabilă aleatoare continuă într-un interval finit [ A; b] ia o valoare constantă C, iar în afara intervalului ia o valoare egală cu zero, apoi aceasta distribuția se numește uniformă .

Dacă graficul funcției densității distribuției este simetric față de centru, valorile medii sunt concentrate în apropierea centrului și, îndepărtându-se de centru, sunt colectate cele mai diferite de medie (graficul funcției seamănă cu o secțiune a unui clopot), apoi asta distribuția se numește normală .

Exemplul 1. Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare continue este cunoscută:

Funcția de căutare f(X) densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Construiți grafice ale ambelor funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8: .

Soluţie. Obținem funcția de densitate a probabilității găsind derivata funcției de distribuție a probabilității:

Graficul unei funcții F(X) - parabola:

Graficul unei funcții f(X) - Drept:

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8:

Exemplul 2. Funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este dată astfel:

Calculați coeficientul C. Funcția de căutare F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Construiți grafice ale ambelor funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5: .

Soluţie. Coeficient C găsim, folosind proprietatea 1 a funcției de densitate de probabilitate:

Astfel, funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este:

Prin integrare, găsim funcția F(X) distribuţii de probabilitate. Dacă X < 0 , то F(X) = 0 . Daca 0< X < 10 , то

X> 10, atunci F(X) = 1 .

Astfel, înregistrarea completă a funcției de distribuție a probabilității este:

Graficul unei funcții f(X) :

Graficul unei funcții F(X) :

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5:

Exemplul 3. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dat de egalitatea , și . Găsiți coeficientul A, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X.

Soluţie. Prin condiție ajungem la egalitate

Prin urmare, de unde . Asa de,

Acum găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[:

Acum obținem funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare:

Exemplul 4. Aflați densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care ia numai valori nenegative și funcția de distribuție .

În teoria probabilității, trebuie să se ocupe de variabile aleatoare, ale căror valori nu pot fi enumerate. De exemplu, este imposibil să luați și să „iterați” toate valorile variabilei aleatoare $X$ - timpul de serviciu al ceasului, deoarece timpul poate fi măsurat în ore, minute, secunde, milisecunde etc. Puteți specifica doar un anumit interval în care se află valorile variabilei aleatoare.

Variabilă aleatoare continuă este o variabilă aleatoare ale cărei valori umplu complet un anumit interval.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue

Deoarece nu este posibilă enumerarea tuturor valorilor unei variabile aleatoare continue, aceasta poate fi specificată folosind funcția de distribuție.

Funcția de distribuție variabila aleatoare $X$ se numește o funcție $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă $x$, adică $F\ stânga(x\right )=P\left(X< x\right)$.

Proprietățile funcției de distribuție:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valori din intervalul $\left(\alpha ;\\beta \right)$ este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestei interval: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - nedescrescătoare.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \dreapta)=1\ )$.

Exemplul 1
0,\x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\ x>1
\end(matrice)\dreapta.$. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare $X$ să se încadreze în intervalul $\left(0.3;0.7\right)$ poate fi găsită ca diferența dintre valorile funcției de distribuție $F\left(x\right)$ la capetele acestui interval, adică:

$$P\left(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Densitatea distribuției probabilităților

Funcția $f\left(x\right)=(F)"(x)$ se numește densitatea distribuției de probabilitate, adică este derivata de ordinul întâi luată din funcția de distribuție $F\left(x\right )$ în sine.

Proprietățile funcției $f\left(x\right)$.

1 . $f\left(x\dreapta)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valori din intervalul $\left(\alpha ;\\beta\right)$ este $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

Exemplul 2 . O variabilă aleatoare continuă $X$ este definită de următoarea funcție de distribuție $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\ x>1
\end(matrice)\dreapta.$. Apoi funcția de densitate $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\x\le 0\\
1,\ 0 < x\le 1\\
0.\x>1
\end(matrice)\dreapta.$

Așteptarea unei variabile aleatoare continue

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue $X$ se calculează folosind formula

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)dx).$$

Exemplul 3 . Să găsim $M\left(X\right)$ pentru variabila aleatoare $X$ din exemplu $2$.

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\peste (2))\bigg|_0^1=((1)\peste (2)).$$

Varianta unei variabile aleatoare continue

Varianta unei variabile aleatoare continue $X$ este calculată prin formula

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2.$$

Exemplul 4 . Să găsim $D\left(X\right)$ pentru variabila aleatoare $X$ din exemplu $2$.

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\peste (2))\right))^2=((x^3)\peste (3))\bigg|_0^1-( (1)\peste (4))=((1)\peste (3))-((1)\peste (4))=((1)\peste (12)).$$

VARIABILE ALEATOARE

Exemplul 2.1. Valoare aleatoare X dat de funcţia de distribuţie

Găsiți probabilitatea ca în urma testului X va lua valori cuprinse în intervalul (2,5; 3,6).

Soluţie: Xîn intervalul (2,5; 3,6) poate fi determinat în două moduri:

Exemplul 2.2. La ce valori ale parametrilor AȘi ÎN funcţie F(X) = A + Fi - x poate fi o funcție de distribuție pentru valorile nenegative ale unei variabile aleatorii X.

Soluţie: Deoarece toate valorile posibile ale variabilei aleatoare X aparțin intervalului , atunci pentru ca funcția să fie o funcție de distribuție pentru X, proprietatea trebuie să fie satisfăcută:

Răspuns: .

Exemplul 2.3. Variabila aleatoare X este specificată de funcția de distribuție

Găsiți probabilitatea ca, în urma a patru teste independente, valoarea X exact de 3 ori va lua o valoare aparținând intervalului (0,25;0,75).

Soluţie: Probabilitatea de a atinge o valoare Xîn intervalul (0,25;0,75) găsim folosind formula:

Exemplul 2.4. Probabilitatea ca mingea să lovească coșul cu o singură lovitură este de 0,3. Întocmește o lege de distribuție a numărului de lovituri cu trei aruncări.

Soluţie: Valoare aleatoare X– numărul loviturilor din coș cu trei lovituri – poate lua următoarele valori: 0, 1, 2, 3. Probabilități ca X

Exemplul 2.5. Doi trăgători trag fiecare o lovitură către o țintă. Probabilitatea ca primul trăgător să-l lovească este de 0,5, al doilea - 0,4. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de lovituri pe o țintă.

Soluţie: Să aflăm legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X– numărul de lovituri pe țintă. Fie evenimentul să fie primul trăgător care lovește ținta, iar al doilea trăgător să lovească ținta și, respectiv, să fie ratați.

Să compunem legea distribuției de probabilitate a SV X:

Exemplul 2.6. Sunt testate trei elemente, care funcționează independent unul de celălalt. Durata de timp (în ore) de funcționare fără defecțiuni a elementelor are o funcție de densitate de distribuție: pentru prima: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, pentru al doilea: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, pentru al treilea: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Aflați probabilitatea ca în intervalul de timp de la 0 la 5 ore: un singur element să eșueze; doar două elemente vor eșua; toate cele trei elemente vor eșua.

Soluţie: Să folosim definiția funcției generatoare de probabilități:

Probabilitatea ca în studii independente, în primul dintre care probabilitatea apariției unui eveniment A egal cu , în al doilea etc., eveniment A apare exact o dată, egal cu coeficientul de extindere a funcției generatoare în puteri de . Să găsim probabilitățile de eșec și, respectiv, de neeșec ale primului, al doilea și al treilea element în intervalul de timp de la 0 la 5 ore:

Să creăm o funcție generatoare:

Coeficientul at este egal cu probabilitatea ca evenimentul A va apărea exact de trei ori, adică probabilitatea de eșec a tuturor celor trei elemente; coeficientul at este egal cu probabilitatea ca exact două elemente să eșueze; coeficientul la este egal cu probabilitatea ca un singur element să eșueze.

Exemplul 2.7. Având în vedere densitatea de probabilitate f(X)variabilă aleatorie X:

Găsiți funcția de distribuție F(x).

Soluţie: Folosim formula:

Astfel, funcția de distribuție arată astfel:

Exemplul 2.8. Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment.

Soluţie: Valoare aleatoare X– numărul de elemente care au eșuat într-un experiment – poate lua următoarele valori: 0, 1, 2, 3. Probabilități ca X ia aceste valori, găsim folosind formula lui Bernoulli:

Astfel, obținem următoarea lege a distribuției probabilităților unei variabile aleatoare X:

Exemplul 2.9.Într-un lot de 6 piese există 4 standard. 3 părți au fost selectate la întâmplare. Întocmește o lege de distribuție a numărului de piese standard dintre cele selectate.

Soluţie: Valoare aleatoare X– numărul de piese standard dintre cele selectate – poate lua următoarele valori: 1, 2, 3 și are o distribuție hipergeometrică. Probabilităţi ca X

Unde -- numărul de piese din lot;

-- numărul de piese standard dintr-un lot;

– numărul de piese selectate;

-- numărul de piese standard dintre cele selectate.

Exemplul 2.10. Variabila aleatoare are o densitate de distribuție

și nu sunt cunoscute, dar , a și . Gaseste si.

Soluţie:În acest caz, variabila aleatoare X are o distribuție triunghiulară (distribuția Simpson) pe intervalul [ a, b]. Caracteristici numerice X:

Prin urmare, . Rezolvând acest sistem, obținem două perechi de valori: . Deoarece în funcție de condițiile problemei, avem în sfârșit: .

Răspuns: .

Exemplul 2.11.În medie, sub 10% din contracte, compania de asigurări plătește sume de asigurare în legătură cu producerea unui eveniment asigurat. Calculați așteptarea matematică și dispersia numărului de astfel de contracte dintre cele patru alese aleatoriu.

Soluţie: Așteptările și varianța matematică pot fi găsite folosind formulele:

Valori posibile ale SV (număr de contracte (din patru) cu apariția unui eveniment asigurat): 0, 1, 2, 3, 4.

Folosim formula lui Bernoulli pentru a calcula probabilitățile unui număr diferit de contracte (din patru) pentru care au fost plătite sumele de asigurare:

Seria de distribuție IC (numărul de contracte cu producerea unui eveniment asigurat) are forma:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Răspuns: , .

Exemplul 2.12. Din cei cinci trandafiri, doi sunt albi. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare care exprimă numărul de trandafiri albi dintre doi luați simultan.

Soluţie:Într-o selecție de doi trandafiri, poate să nu existe nici un trandafir alb, fie unul sau doi trandafiri albi. Prin urmare, variabila aleatoare X poate lua valori: 0, 1, 2. Probabilităţi ca X ia aceste valori, o găsim folosind formula:

Unde -- numărul de trandafiri;

-- numărul de trandafiri albi;

– numărul de trandafiri luați în același timp;

-- numărul de trandafiri albi dintre cei luați.

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare va fi următoarea:

Exemplul 2.13. Dintre cele 15 unități asamblate, 6 necesită lubrifiere suplimentară. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cinci alese aleatoriu din numărul total.

Soluţie: Valoare aleatoare X– numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cele cinci selectate – poate lua următoarele valori: 0, 1, 2, 3, 4, 5 și are o distribuție hipergeometrică. Probabilităţi ca X ia aceste valori, o găsim folosind formula:

Unde -- numărul de unități asamblate;

-- numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară;

– numărul de unități selectate;

-- numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cele selectate.

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare va fi următoarea:

Exemplul 2.14. Din cele 10 ceasuri primite pentru reparație, 7 necesită curățarea generală a mecanismului. Ceasurile nu sunt sortate după tipul de reparație. Maestrul, dorind să găsească ceasuri care au nevoie de curățare, le examinează unul câte unul și, după ce a găsit astfel de ceasuri, oprește vizionarea ulterioară. Găsiți așteptările și variația matematică a numărului de ore vizionate.

Soluţie: Valoare aleatoare X– numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cele cinci selectate – poate lua următoarele valori: 1, 2, 3, 4. Probabilități ca X ia aceste valori, o găsim folosind formula:

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare va fi următoarea:

Acum să calculăm caracteristicile numerice ale cantității:

Răspuns: , .

Exemplul 2.15. Abonatul a uitat ultima cifră a numărului de telefon de care are nevoie, dar își amintește că este impar. Găsiți așteptarea și variația matematică a numărului de ori când formează un număr de telefon înainte de a ajunge la numărul dorit, dacă formează ultima cifră la întâmplare și nu formează ulterior cifra formată.

Soluţie: Variabila aleatoare poate lua următoarele valori: . Deoarece abonatul nu formează cifra formată în viitor, probabilitățile acestor valori sunt egale.

Să compilam o serie de distribuție a unei variabile aleatoare:


	0,2

Să calculăm așteptările matematice și varianța numărului de încercări de apelare:

Răspuns: , .

Exemplul 2.16. Probabilitatea de defecțiune în timpul testelor de fiabilitate pentru fiecare dispozitiv din serie este egală cu p. Determinați așteptările matematice ale numărului de dispozitive care au eșuat dacă au fost testate N dispozitive.

Soluţie: Variabila aleatorie discretă X este numărul de dispozitive defectate în N teste independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de eșec este egală p, distribuite conform legii binomiale. Așteptările matematice ale unei distribuții binomiale este egală cu numărul de încercări înmulțit cu probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare:

Exemplul 2.17. Variabilă aleatorie discretă X ia 3 valori posibile: cu probabilitate ; cu probabilitate și cu probabilitate. Găsiți și , știind că M( X) = 8.

Soluţie: Folosim definițiile așteptărilor matematice și legea distribuției unei variabile aleatoare discrete:

Găsim: .

Exemplul 2.18. Departamentul de control tehnic verifică standarditatea produselor. Probabilitatea ca produsul să fie standard este de 0,9. Fiecare lot contine 5 produse. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare X– numărul de loturi, fiecare dintre ele conţinând exact 4 produse standard, dacă sunt supuse controlului 50 de loturi.

Soluţie:În acest caz, toate experimentele efectuate sunt independente, iar probabilitățile ca fiecare lot să conțină exact 4 produse standard sunt aceleași, prin urmare, așteptările matematice pot fi determinate prin formula:

unde este numărul de partide;

Probabilitatea ca un lot să conțină exact 4 produse standard.

Găsim probabilitatea folosind formula lui Bernoulli:

Răspuns: .

Exemplul 2.19. Aflați varianța unei variabile aleatoare X– numărul de apariții ale evenimentului Aîn două încercări independente, dacă probabilitățile de apariție a unui eveniment în aceste încercări sunt aceleași și se știe că M(X) = 0,9.

Soluţie: Problema poate fi rezolvată în două moduri.

1) Valori posibile ale SV X: 0, 1, 2. Folosind formula Bernoulli, determinăm probabilitățile acestor evenimente:

, , .

Apoi legea distribuției X are forma:

Din definiția așteptării matematice, determinăm probabilitatea:

Să găsim dispersia SV X:

2) Puteți folosi formula:

Răspuns: .

Exemplul 2.20. Așteptările și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal X respectiv egal cu 20 şi 5. Aflaţi probabilitatea ca în urma testului X va lua valoarea cuprinsă în intervalul (15; 25).

Soluţie: Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatorie normală X pe secțiunea de la până la este exprimată prin funcția Laplace:

Exemplul 2.21. Funcția dată:

La ce valoare a parametrului C această funcție este densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X? Aflați așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare X.

Soluţie: Pentru ca o funcție să fie densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare, ea trebuie să fie nenegativă și trebuie să îndeplinească proprietatea:

Prin urmare:

Să calculăm așteptările matematice folosind formula:

Să calculăm varianța folosind formula:

T este egal p. Este necesar să se găsească așteptarea și varianța matematică a acestei variabile aleatoare.

Soluţie: Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X - numărul de apariții ale unui eveniment în încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea ca evenimentul să se producă este egală cu , se numește binom. Așteptarea matematică a distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție a evenimentului A într-o singură încercare:

Exemplul 2.25. Trei focuri independente sunt trase în țintă. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,25. Determinați abaterea standard a numărului de lovituri cu trei lovituri.

Soluţie: Deoarece sunt efectuate trei încercări independente, iar probabilitatea apariției evenimentului A (o lovitură) în fiecare încercare este aceeași, vom presupune că variabila aleatoare discretă X - numărul de lovituri pe țintă - este distribuită în funcție de legea binomială.

Varianța distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea apariției și neapariției unui eveniment într-o singură încercare:

Exemplul 2.26. Numărul mediu de clienți care vizitează o companie de asigurări în 10 minute este de trei. Găsiți probabilitatea ca cel puțin un client să ajungă în următoarele 5 minute.

Numărul mediu de clienți care sosesc în 5 minute: . .

Exemplul 2.29. Timpul de așteptare pentru o aplicație în coada procesorului respectă o lege de distribuție exponențială cu o valoare medie de 20 de secunde. Găsiți probabilitatea ca următoarea solicitare (aleatorie) să aștepte pe procesor mai mult de 35 de secunde.

Soluţie:În acest exemplu, așteptarea matematică , iar rata de eșec este egală cu .

Atunci probabilitatea dorită:

Exemplul 2.30. Un grup de 15 elevi ține o întâlnire într-o sală cu 20 de rânduri a câte 10 locuri fiecare. Fiecare elev ia un loc în sală aleatoriu. Care este probabilitatea ca nu mai mult de trei persoane să fie pe locul șapte al rândului?

Soluţie:

Exemplul 2.31.

Apoi, conform definiției clasice a probabilității:

Unde -- numărul de piese din lot;

-- numărul de piese nestandard din lot;

– numărul de piese selectate;

-- numărul de piese non-standard dintre cele selectate.

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare va fi după cum urmează.

Ar putea fi util să citiți: