Metode de integrare. Metode de rezolvare a integralelor nedefinite

Cursul 12

1 . Integrare directă – calculul integralelor folosind un tabel de integrale simple, reguli de integrare și proprietăți ale integralelor nedefinite.

Exemplul 1. +CU .

Formula de trigonometrie utilizată: .

Exemplul 2.

aici se realizează o transformare evidentă a integrandului, iar în locul variabilei de integrare X expresia acceptată (a–bx), faţă de această variabilă se obţine o integrală tabelară. Această tehnică este uneori numită „ conducere » sub semnul diferential al unei expresii.

Într-adevăr: .

2 . Metoda de înlocuire a variabilei . Metoda de înlocuire .

Lăsa y=f(x), x X . Să introducem o nouă variabilă t , punând X=(t) , t T, Apoi y=f(x)=f((t)) ;dx=(t)dt Și

După integrarea ultimei expresii, trebuie să mergeți la vechea variabilă ca rezultat.

Această metodă este utilizată atunci când integrandul este o funcție complexă.

Exemplu. Găsiți integrala : .

Soluţie.

1. Înlocuire variabilă: x=t/4 , Apoi dx=dt/4.

Înlocuind X Și dx în integrala originală, obținem:

= .

2. Înlocuire: 4x = t , Apoi dx = dt/4 . Primim același răspuns.

3. Metoda de integrare „pe părți” .

Lasă între ele X sunt date două funcții diferențiabile continuu u(x) Și v(x) .

Să notăm expresia pentru diferența produsului lor:

Să integrăm părțile stânga și dreaptă ale expresiei rezultate:

Aceasta ne oferă formula pentru integrarea pe părți:

Metoda de integrare pe părți este utilizată pentru o întreagă clasă de integrale, de exemplu, atunci când integrandul conține:

1) orice funcție care nu este în tabelul integralelor simple:

sau produsul său printr-un polinom P(x) :

, .

În acest caz, pentru u ia, respectiv, , etc., și pentru dv - expresie P(X)dx ., deci unul dintre antiderivate v poate fi ușor de definit: ,

(aici, la integrare, constanta arbitrară ar trebui să fie omisă);

2) produsul unui polinom printr-o funcție trigonometrică sau printr-o exponențială: .

În acest caz, pentru u ar trebui acceptat P(x) , si pentru dv - restul integrandului: exdx, sinxdx, etc.

Operația de integrare pe părți poate fi folosită de mai multe ori, ceea ce vă permite uneori să rezolvați problema.

Exemplul 1. Găsiți integrala .

Soluţie.

Sa punem ln x = u , dx =dv (Aici P(X) =1 ).

Apoi du = d(ln x) =, v = =X - unul dintre originale.

Folosind formula de integrare prin părți,

primim:

=xln x – =x ln x – =x ln x – X +C = X(ln x – 1 ) +C .

Exemplul 2.

Găsiți integrala .

Soluţie.

Lăsa X =u (P(x) =X ), =dvdu = , v =.

Folosind formula de integrare prin părți, obținem:

=x sin x – = x sin x + cos x +C .

Exemplul 3. Găsiți integrala .

Soluţie.

Sa punem X =u , e x dx =dv .

Apoi du =dx , v =ex .

=xe x–=xe x – e x= e x (x – 1) +CU.

Exemplul 4. Găsiți integrala .

Soluţie.

Sa punem X 2 =u , e x dx =dv .

Apoi du =2xdx , v =e x .

Folosind formula de integrare prin părți, obținem:

=X 2 ∙e x –2 .

Să aplicăm din nou integrarea pe părți (vezi exemplul 3):

x 2 e x–2 = x 2 e X– 2(xe X– e x)+C=

= e x (x 2–2x+2) +C .

4.Metoda coeficientului incert

Folosit pentru a integra funcții raționale

unde și sunt polinoame, iar gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului (fracția proprie), o fracție improprie poate fi redusă la suma unui anumit polinom și a unei fracții proprii prin împărțirea unui polinom la un polinom.

Printr-o teoremă din algebră, fiecare polinom de grad n cu coeficient de conducere egal cu unu, având rădăcini distincte reale x 1 ,x 2 , ..., x n , poate fi reprezentat astfel:

Q(X )=(x – x 1 )(x – x 2 )(x – x n ).

Apoi fracția potrivită poate fi descompusă în fracții mai simple și poate fi scrisă:

Unde A 1 ,A 2 , ...,A n – unele numere (coeficienți nedefiniti).

Reducerea părții drepte a expresiei la un numitor comun și apoi echivalarea coeficienților la aceleași puteri X la numaratorul laturilor stanga si dreapta se obtine un sistem de ecuatii pentru determinarea coeficientilor necunoscuti A 1,A 2, ...,A n .

După aceasta, integrarea funcției raționale se reduce la constatare n integrale de forma:

Exemplu. Găsiți integrala .

Soluţie. Integrandul este o fracție propriu-zisă, să o descompunem în fracții mai simple.

Numitorul are rădăcini reale, diferite: x 1= 0 ,x 2 =2 ,x 3= –2 . Prin urmare , x3–4x= X(x–2)(X+2 ) ,

Integrale complexe

Acest articol încheie subiectul integralelor nedefinite și include integrale pe care le consider destul de complexe. Lecția a fost creată la solicitările repetate ale vizitatorilor care și-au exprimat dorința ca pe site să fie analizate exemple mai dificile.

Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe să aplice tehnicile de integrare de bază. Manichinii și oamenii care nu sunt foarte încrezători în integrale ar trebui să se refere la prima lecție - Integrală nedefinită. Exemple de soluții, unde poți stăpâni subiectul aproape de la zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnici și metode de integrare care nu au fost încă întâlnite în articolele mele.

Ce integrale vor fi luate în considerare?

Mai întâi vom lua în considerare integralele cu rădăcini, pentru a căror soluție o folosim succesiv înlocuire variabilăȘi integrare pe părți. Adică, într-un exemplu, două tehnici sunt combinate simultan. Și încă mai mult.

Apoi ne vom familiariza cu interesante și originale metoda de reducere a integralei la sine. Destul de multe integrale sunt rezolvate astfel.

Al treilea număr al programului va fi integrale din fracții complexe, care au trecut peste casa de casă în articolele anterioare.

În al patrulea rând, vor fi analizate integrale suplimentare din funcțiile trigonometrice. În special, există metode care evită înlocuirea trigonometrică universală consumatoare de timp.

(2) În funcția integrand, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. În ultima integrală imediat puneți funcția sub semnul diferențial.

(4) Luăm integralele rămase. Rețineți că într-un logaritm puteți folosi paranteze mai degrabă decât un modul, deoarece .

(5) Efectuăm o înlocuire inversă, exprimând „te” din înlocuirea directă:

Studenții masochiști pot diferenția răspunsul și pot obține integrandul original, așa cum tocmai am făcut eu. Nu, nu, am făcut verificarea în sensul corect =)

După cum puteți vedea, în timpul soluției a trebuit să folosim chiar mai mult de două metode de soluție, așa că pentru a face față unor astfel de integrale aveți nevoie de abilități de integrare încrezătoare și destul de multă experiență.

În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai comună, iată trei exemple pentru a o rezolva singur:

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Aceste exemple sunt de același tip, astfel încât soluția completă de la sfârșitul articolului va fi doar pentru Exemplul 2. Exemplele 3-4 au aceleași răspunsuri; Ce înlocuitor să folosiți la începutul deciziilor cred că este evident. De ce am ales exemple de același tip? Deseori găsite în rolul lor. Mai des, poate, doar ceva de genul .

Dar nu întotdeauna, când sub funcțiile arctangente, sinus, cosinus, exponențial și alte funcții există o rădăcină a unei funcții liniare, trebuie să utilizați mai multe metode simultan. Într-un număr de cazuri, este posibil să „coborâți ușor”, adică imediat după înlocuire, se obține o integrală simplă, care poate fi luată cu ușurință. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse mai sus este Exemplul 4, în care, după înlocuire, se obține o integrală relativ simplă.

Prin reducerea integralei la sine

O metodă inteligentă și frumoasă. Să aruncăm o privire la clasicii genului:

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

Sub rădăcină este un binom pătratic, iar încercarea de a integra acest exemplu poate da ceainicului o bătaie de cap ore în șir. O astfel de integrală este luată în părți și redusă la sine. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.

Să notăm integrala luată în considerare printr-o literă latină și să începem soluția:

Să integrăm pe părți:

(1) Pregătiți funcția integrand pentru împărțirea termen cu termen.

(2) Împărțim termenul funcției integrand cu termen. Poate că nu este clar pentru toată lumea, dar îl voi descrie mai detaliat:

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.

(4) Luați ultima integrală (logaritmul „lung”).

Acum să ne uităm la începutul soluției:

Si pana la final:

Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integrala a fost redusă la sine!

Să echivalăm începutul și sfârșitul:

Deplasați-vă în partea stângă cu o schimbare de semn:

Și le mutăm pe cele două în partea dreaptă. Ca urmare:

Constanta, strict vorbind, ar fi trebuit adăugată mai devreme, dar am adăugat-o la sfârșit. Recomand cu tărie să citiți care este rigoarea aici:

Notă: Mai strict, etapa finală a soluției arată astfel:

Prin urmare:

Constanta poate fi redesemnată prin . De ce poate fi redenumit? Pentru că încă o acceptă orice valori, iar în acest sens nu există nicio diferență între constante și.
Ca urmare:

Un truc similar cu renotare constantă este utilizat pe scară largă în ecuatii diferentiale. Și acolo voi fi strict. Și aici permit o astfel de libertate doar pentru a nu vă încurca cu lucruri inutile și pentru a concentra atenția tocmai asupra metodei de integrare în sine.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită

O altă integrală tipică pentru soluție independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Va fi o diferență cu răspunsul din exemplul anterior!

Dacă sub rădăcina pătrată există un trinom pătrat, atunci soluția se rezumă în orice caz la două exemple analizate.

De exemplu, luați în considerare integrala . Tot ce trebuie să faci este mai întâi selectați un pătrat complet:
.
În continuare, se efectuează o înlocuire liniară, care face „fără consecințe”:
, rezultând integrala . Ceva familiar, nu?

Sau acest exemplu, cu un binom pătratic:
Selectați un pătrat complet:
Și, după înlocuirea liniară, obținem integrala, care se rezolvă și folosind algoritmul deja discutat.

Să ne uităm la două exemple tipice despre cum să reduceți o integrală la sine:
– integrală a exponenţialului înmulţit cu sinus;
– integrală a exponenţialului înmulţit cu cosinus.

În integralele enumerate pe părți va trebui să integrați de două ori:

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită

Integrandul este exponențialul înmulțit cu sinusul.

Integram de două ori pe părți și reducem integrala la sine:

Ca urmare a dublei integrări pe părți, integrala a fost redusă la sine. Echivalăm începutul și sfârșitul soluției:

O mutam în partea stângă cu o schimbare de semn și ne exprimăm integrala:

Gata. În același timp, este indicat să pieptănați partea dreaptă, adică. scoateți exponentul din paranteze și puneți sinusul și cosinusul între paranteze într-o ordine „frumoasă”.

Acum să revenim la începutul exemplului, sau mai precis, la integrarea pe părți:

Am desemnat exponentul ca. Se pune întrebarea: este exponentul care trebuie notat întotdeauna cu? Nu este necesar. De fapt, în integrala considerată fundamental nu contează, ce înțelegem prin , am fi putut merge în altă direcție:

De ce este posibil acest lucru? Deoarece exponențialul se transformă în sine (atât în timpul diferențierii, cât și în timpul integrării), sinusul și cosinusul se transformă reciproc unul în celălalt (din nou, atât în timpul diferențierii, cât și în timpul integrării).

Adică putem desemna și o funcție trigonometrică. Dar, în exemplul luat în considerare, acest lucru este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracții. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu folosind a doua metodă, răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Înainte de a vă decide, gândiți-vă ce este mai avantajos în acest caz să desemnați ca , o funcție exponențială sau o funcție trigonometrică? Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Și, desigur, nu uitați că majoritatea răspunsurilor din această lecție sunt destul de ușor de verificat prin diferențiere!

Exemplele luate în considerare nu au fost cele mai complexe. În practică, integralele sunt mai frecvente acolo unde constanta este atât în exponent, cât și în argumentul funcției trigonometrice, de exemplu: . Mulți oameni se vor încurca într-o astfel de integrală, iar eu deseori mă confund. Faptul este că există o mare probabilitate de apariție a fracțiilor în soluție și este foarte ușor să pierzi ceva prin nepăsare. În plus, există o probabilitate mare de eroare în semne, rețineți că exponentul are semnul minus, iar acest lucru introduce o dificultate suplimentară.

În etapa finală, rezultatul este adesea cam așa:

Chiar și la sfârșitul soluției, ar trebui să fii extrem de atent și să înțelegi corect fracțiile:

Integrarea fracțiilor complexe

Ne apropiem încet de ecuatorul lecției și începem să luăm în considerare integralele fracțiilor. Din nou, nu toate sunt super complexe, doar că dintr-un motiv sau altul exemplele au fost puțin „în afara subiectului” în alte articole.

Continuând tema rădăcinilor

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

În numitorul de sub rădăcină există un trinom pătratic plus un „apendice” sub forma unui „X” în afara rădăcinii. O integrală de acest tip poate fi rezolvată folosind o substituție standard.

Noi decidem:

Înlocuirea aici este simplă:

Să ne uităm la viața după înlocuire:

(1) După înlocuire, reducem termenii de sub rădăcină la un numitor comun.
(2) O scoatem de sub rădăcină.
(3) Numătorul și numitorul se reduc cu . În același timp, sub rădăcină, am rearanjat termenii într-o ordine convenabilă. Cu o oarecare experiență, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea orală a acțiunilor comentate.
(4) Integrala rezultată, după cum vă amintiți din lecție Integrarea unor fracții, se decide metoda de extracție a pătratului complet. Selectați un pătrat complet.
(5) Prin integrare obținem un logaritm „lung” obișnuit.
(6) Efectuăm înlocuirea inversă. Dacă inițial , apoi înapoi: .
(7) Acțiunea finală are drept scop îndreptarea rezultatului: sub rădăcină aducem din nou termenii la un numitor comun și îi scoatem de sub rădăcină.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Aici se adaugă o constantă la singurul „X”, iar înlocuirea este aproape aceeași:

Singurul lucru pe care trebuie să-l faceți în plus este să exprimați „x” de la înlocuirea care se efectuează:

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Uneori, într-o astfel de integrală poate exista un binom pătratic sub rădăcină, acest lucru nu schimbă metoda de soluție, va fi și mai simplu. Simte diferenta:

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită

Scurte soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 este exact integrală binomială, a cărui metodă de rezolvare a fost discutată la clasă Integrale ale funcțiilor iraționale.

Integrală a unui polinom necompunebil de gradul 2 la putere

(polinom la numitor)

Un tip mai rar de integrală, dar întâlnită totuși în exemple practice.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită

Dar să revenim la exemplul cu numărul norocos 13 (sincer, nu am ghicit corect). Această integrală este, de asemenea, una dintre cele care pot fi destul de frustrante dacă nu știi cum să rezolvi.

Soluția începe cu o transformare artificială:

Cred că toată lumea înțelege deja cum se împarte numărătorul la numitor termen cu termen.

Integrala rezultată este luată în părți:

Pentru o integrală de forma ( – număr natural) derivăm recurent formula de reducere:
, Unde – integrală de un grad mai mic.

Să verificăm validitatea acestei formule pentru integrala rezolvată.
În acest caz: , , folosim formula:

După cum puteți vedea, răspunsurile sunt aceleași.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția eșantion utilizează formula de mai sus de două ori consecutiv.

Dacă sub gradul este indivizibil trinom pătrat, atunci soluția este redusă la un binom prin izolarea pătratului perfect, de exemplu:

Ce se întâmplă dacă există un polinom suplimentar în numărător? În acest caz, se utilizează metoda coeficienților nedeterminați, iar funcția integrand este extinsă într-o sumă de fracții. Dar în practica mea există un astfel de exemplu niciodată întâlnit, așa că am ratat acest caz în articol Integrale ale funcțiilor fracționale-raționale, îl voi omite acum. Dacă încă întâlniți o astfel de integrală, uitați-vă la manual - totul este simplu acolo. Nu cred că este indicat să includem materiale (chiar simple), probabilitatea de întâlnire care tinde spre zero.

Integrarea funcțiilor trigonometrice complexe

Adjectivul „complex” pentru majoritatea exemplelor este din nou în mare măsură condiționat. Să începem cu tangente și cotangente în puteri mari. Din punctul de vedere al metodelor de rezolvare folosite, tangenta și cotangenta sunt aproape același lucru, așa că voi vorbi mai mult despre tangentă, ceea ce înseamnă că metoda demonstrată de rezolvare a integralei este valabilă și pentru cotangente.

În lecția de mai sus ne-am uitat substituție trigonometrică universală pentru rezolvarea unui anumit tip de integrale ale funcţiilor trigonometrice. Dezavantajul substituției trigonometrice universale este că utilizarea sa duce adesea la integrale greoaie cu calcule dificile. Și în unele cazuri, înlocuirea trigonometrică universală poate fi evitată!

Să luăm în considerare un alt exemplu canonic, integrala unuia împărțită la sinus:

Exemplul 17

Aflați integrala nedefinită

Aici puteți folosi substituția trigonometrică universală și puteți obține răspunsul, dar există o modalitate mai rațională. Voi oferi soluția completă cu comentarii pentru fiecare pas:

(1) Folosim formula trigonometrică pentru sinusul unui unghi dublu.
(2) Efectuăm o transformare artificială: Împărțim la numitor și înmulțim cu .
(3) Folosind formula binecunoscută la numitor, transformăm fracția într-o tangentă.
(4) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(5) Luați integrala.

Câteva exemple simple pe care le puteți rezolva singur:

Exemplul 18

Aflați integrala nedefinită

Notă: primul pas ar trebui să fie utilizarea formulei de reducere și efectuați cu atenție acțiuni similare cu exemplul anterior.

Exemplul 19

Aflați integrala nedefinită

Ei bine, acesta este un exemplu foarte simplu.

Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Cred că acum nimeni nu va avea probleme cu integralele:
și așa mai departe.

Care este ideea metodei? Ideea este de a folosi transformări și formule trigonometrice pentru a organiza doar tangente și derivata tangentă în integrand. Adică vorbim despre înlocuirea: . În exemplele 17-19 am folosit de fapt această înlocuire, dar integralele au fost atât de simple încât ne-am descurcat cu o acțiune echivalentă - subsumând funcția sub semnul diferențial.

Raționament similar, așa cum am menționat deja, poate fi efectuat pentru cotangentă.

Există, de asemenea, o condiție prealabilă formală pentru aplicarea înlocuirii de mai sus:

Suma puterilor cosinusului și sinusului este un număr întreg negativ PAR, De exemplu:

pentru integrală – un număr întreg negativ PAR.

! Notă : dacă integrandul conține DOAR un sinus sau DOAR un cosinus, atunci integrala este luată și pentru un grad impar negativ (cele mai simple cazuri sunt în Exemplele nr. 17, 18).

Să ne uităm la câteva sarcini mai semnificative bazate pe această regulă:

Exemplul 20

Aflați integrala nedefinită

Suma puterilor sinusului și cosinusului: 2 – 6 = –4 este un număr întreg negativ PAR, ceea ce înseamnă că integrala poate fi redusă la tangente și derivata ei:

(1) Să transformăm numitorul.
(2) Folosind formula binecunoscută, obținem .
(3) Să transformăm numitorul.
(4) Folosim formula .
(5) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(6) Efectuăm înlocuirea. Este posibil ca studenții mai experimentați să nu efectueze înlocuirea, dar este mai bine să înlocuiți tangenta cu o singură literă - există mai puțin risc de confuzie.

Exemplul 21

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Stai acolo, rundele campionatului sunt pe cale să înceapă =)

Adesea, integrandul conține un „mezul”:

Exemplul 22

Aflați integrala nedefinită

Această integrală conține inițial o tangentă, care duce imediat la un gând deja familiar:

Voi lăsa transformarea artificială chiar de la început și pașii rămași fără comentarii, deoarece totul a fost deja discutat mai sus.

Câteva exemple creative pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 23

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 24

Aflați integrala nedefinită

Da, în ele, desigur, puteți reduce puterile sinusului și cosinusului și puteți utiliza o substituție trigonometrică universală, dar soluția va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă este efectuată prin tangente. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției

Se numește o funcție F(x) diferențiabilă într-un interval dat X antiderivată a funcției f(x), sau integrala lui f(x), dacă pentru fiecare x ∈X este valabilă următoarea egalitate:

F " (x) = f(x). (8.1)

Găsirea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată se numește ea integrare. Funcție integrală nedefinită f(x) pe un interval dat X este mulțimea tuturor funcțiilor antiderivate pentru funcția f(x); denumire -

Dacă F(x) este o antiderivată a funcției f(x), atunci ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

unde C este o constantă arbitrară.

Tabelul integralelor

Direct din definiție obținem principalele proprietăți ale integralei nedefinite și o listă de integrale tabulare:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lista integralelor tabelare

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Înlocuire variabilă

Pentru a integra multe funcții, utilizați metoda de înlocuire a variabilei sau substituții, permițându-vă să reduceți integralele la formă tabelară.

Dacă funcția f(z) este continuă pe [α,β], funcția z =g(x) are o derivată continuă și α ≤ g(x) ≤ β, atunci

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Mai mult, după integrarea din partea dreaptă, trebuie făcută înlocuirea z=g(x).

Pentru a dovedi, este suficient să scrieți integrala originală sub forma:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

De exemplu:

Metoda de integrare pe părți

Fie u = f(x) și v = g(x) funcții care au continuu . Apoi, conform lucrării,

d(uv))= udv + vdu sau udv = d(uv) - vdu.

Pentru expresia d(uv), antiderivatul va fi evident uv, deci formula este valabilă:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Această formulă exprimă regula integrare pe părți. Conduce integrarea expresiei udv=uv"dx la integrarea expresiei vdu=vu"dx.

De exemplu, doriți să găsiți ∫xcosx dx. Să punem u = x, dv = cosxdx, deci du=dx, v=sinx. Apoi

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Regula integrării pe părți are un domeniu de aplicare mai limitat decât înlocuirea variabilelor. Dar există clase întregi de integrale, de exemplu,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele, care sunt calculate precis folosind integrarea pe părți.

Integrala definita

Conceptul de integrală definită este introdus după cum urmează. Fie definită o funcție f(x) pe un interval. Să împărțim segmentul [a,b] în n părți prin puncte a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Se numește o sumă de forma f(ξ i)Δ x i suma integrală, iar limita sa la λ = maxΔx i → 0, dacă există și este finită, se numește integrala definita funcţiile f(x) ale A inainte de b si este desemnata:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funcția f(x) în acest caz este numită integrabil pe interval, se numesc numerele a și b limitele inferioare și superioare ale integralei.

Următoarele proprietăți sunt adevărate pentru o integrală definită:

4), (k = const, k∈R);

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Ultima proprietate este numită teorema valorii medii.

Fie f(x) continuă pe . Apoi pe acest segment există o integrală nedefinită

∫f(x)dx = F(x) + C

si are loc formula Newton-Leibniz, legând integrala definită cu integrala nedefinită:

F(b) - F(a). (8,6)

Interpretare geometrică: integrala definită este aria unui trapez curbiliniu delimitată de sus de curba y=f(x), drepte x = a și x = b și un segment al axei Bou.

Integrale improprii

Se numesc integralele cu limite infinite și integralele funcțiilor discontinue (nemărginite). nu a ta. Integrale improprii de primul fel - Acestea sunt integrale pe un interval infinit, definite după cum urmează:

(8.7)

Dacă această limită există și este finită, atunci se numește integrala improprie convergentă a lui f(x) pe intervalul [a,+ ∞), și se numește funcția f(x). integrabil pe un interval infinit[a,+ ∞). În caz contrar, se spune că integrala este nu există sau diverge.

Integrale improprii pe intervalele (-∞,b] și (-∞, + ∞) sunt definite în mod similar:

Să definim conceptul de integrală a unei funcții nemărginite. Dacă f(x) este continuă pentru toate valorile X segmentul , cu excepția punctului c, la care f(x) are o discontinuitate infinită, atunci integrala improprie a celui de-al doilea fel de f(x) variind de la a la b suma se numeste:

dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:

Exemple de calcule integrale

Exemplul 3.30. Calculați ∫dx/(x+2).

Soluţie. Să notăm t = x+2, atunci dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Exemplul 3.31. Găsiți ∫ tgxdx.

Soluţie.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Fie t=cosx, atunci ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Exemplu3.32 . Găsiți ∫dx/sinx

Soluţie.

Exemplu3.33. Găsi .

Soluţie. = .

Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.

Soluţie. Să integrăm pe părți. Să notăm u=arctgx, dv=dx. Atunci du = dx/(x 2 +1), v=x, de unde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; deoarece
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.

Soluţie. Aplicând formula de integrare prin părți, obținem:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atunci ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Exemplu3.36 . Calculați ∫e x sinxdx.

Soluţie. Să notăm u = e x, dv = sinxdx, apoi du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. De asemenea, integrăm integrala ∫e x cosxdx prin părți: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Avem:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Am obținut relația ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, din care 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Exemplu 3.37. Calculați J = ∫cos(lnx)dx/x.

Soluţie. Deoarece dx/x = dlnx, atunci J= ∫cos(lnx)d(lnx). Înlocuind lnx prin t, ajungem la integrala tabelului J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Exemplu 3.38 . Calculați J = .

Soluţie. Considerând că = d(lnx), înlocuim lnx = t. Atunci J = .

Exemplu 3.39 . Calculați integrala J = .

Soluţie. Avem: . Prin urmare =
=
=. introdus astfel: sqrt(tan(x/2)).

Și dacă în fereastra de rezultate dai clic pe Show steps din colțul din dreapta sus, vei obține o soluție detaliată.

Pentru a calcula această integrală, trebuie, dacă este posibil, folosind una sau alta metodă, să o reducem la o integrală de tabel și să găsim astfel rezultatul dorit. În cursul nostru vom lua în considerare doar câteva dintre cele mai comune tehnici de integrare și vom indica aplicarea lor la cele mai simple exemple.

Cele mai importante metode de integrare sunt:
1) metoda de integrare directă (metoda de extindere),
2) metoda de substituție (metoda de introducere a unei noi variabile),
3) metoda de integrare pe părți.

I. Metoda integrării directe

Problema găsirii integralelor nedefinite ale multor funcții este rezolvată prin reducerea acestora la una din integralele de tabel.

∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=

Exemplul 3. ∫sin 2 xdx

Deoarece sin 2 x=(1-cos2x), atunci
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C

Exemplul 4. ∫sinxcos3xdx

Deoarece sinxcos3x=(sin4x-sin2x), avem
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C

Exemplul 5. Aflați integrala nedefinită: ∫cos(7x-3)dx

∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C

Exemplul 6.

II. Metoda de substituire (integrare prin schimbarea variabilei)

Dacă funcția x=φ(t) are o derivată continuă, atunci într-o integrală nedefinită dată ∫f(x)dx puteți merge întotdeauna la o nouă variabilă t folosind formula

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Apoi găsiți integrala din partea dreaptă și reveniți la variabila inițială. În acest caz, integrala din partea dreaptă a acestei egalități se poate dovedi a fi mai simplă decât integrala din partea stângă a acestei egalități, sau chiar tabulară. Această metodă de găsire a integralei se numește metoda schimbării variabilei.

Exemplul 7. ∫x√x-5dx

Pentru a scăpa de rădăcină, setăm √x-5=t. Prin urmare, x=t 2 +5 și deci dx=2tdt. Făcând înlocuirea, avem în mod constant:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

Exemplul 8.

De când, atunci avem

Exemplul 9.

Exemplul 10. ∫e -x 3 x 2 dx

Să folosim substituția -x 3 =t. Atunci avem -3x 2 dx=dt și ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C

Exemplul 11.

Să aplicăm substituția 1+sinx=t , apoi cosxdx=dt și

III. Metoda de integrare pe părți

Metoda integrării pe părți se bazează pe următoarea formulă:

∫udv=uv-∫vdu

unde u(x),v(x) sunt funcții diferențiabile continuu. Formula se numește formula de integrare prin părți. Această formulă arată că integrala ∫udv conduce la integrala ∫vdu, care se poate dovedi a fi mai simplă decât cea originală, sau chiar tabulară.

Exemplul 12. Aflați integrala nedefinită ∫xe -2x dx

Integrare directă

Formule de integrare de bază

1. C – constantă	1*.
2. , n ≠ –1
3. +C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Se numește calculul integralelor prin utilizarea directă a tabelului de integrale simple și a proprietăților de bază ale integralelor nedefinite integrare directă.

Exemplul 1.

Exemplul 2.

Exemplul 3.

Aceasta este cea mai comună metodă de integrare a unei funcții complexe, constând în transformarea integralei prin trecerea la o altă variabilă de integrare.

Dacă este dificil să reduceți integrala la una tabelară folosind transformări elementare, atunci în acest caz se folosește metoda substituției. Esența acestei metode este că prin introducerea unei noi variabile este posibilă reducerea acestei integrale la o nouă integrală, care este relativ ușor de luat direct.

Pentru a integra prin metoda de substituție, utilizați schema de soluții:

2) găsiți diferența de la ambele piese de schimb;

3) exprima întregul integrand printr-o nouă variabilă (după care ar trebui să se obțină o integrală de tabel);

4) găsiți integrala tabelului rezultat;

5) efectuați o înlocuire inversă.

Aflați integralele:

Exemplul 1 . Substituţie:cosx=t,-sinxdx=dt,

Soluţie:

Exemplul 2.∫e -x3 x 2 dx Substituţie:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Soluţie:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

Exemplul 3.Substituţie: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Soluţie: .

SECȚIUNEA 1.5. Integrală definită, metode de calcul a acesteia.

itemul 1 Conceptul de integrală definită

Sarcină. Găsiți incrementul unei funcții care este antiderivată a unei funcții f(x), la trecerea argumentului X din valoare A a valorifica b.

Soluţie. Să presupunem că integrarea a găsit: ∫ (x)dx = F(x)+C.

Apoi F(x)+C 1, Unde C 1- orice număr dat va fi una dintre funcțiile antiderivate pentru această funcție f(x). Să găsim incrementul său atunci când argumentul se mută de la valoare A a valorifica b. Primim:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

După cum vedem, în expresia pentru creșterea funcției antiderivative F(x)+C 1 nicio valoare constantă C 1. Iar de sub C 1 a fost implicat orice număr dat, rezultatul obținut duce la următoarea concluzie: asupra tranziției argumentelor X din valoare x=a a valorifica x=b toate functiile F(x)+C, antiderivate pentru o funcție dată f(x), au același increment egal cu F(b)-F(a).

Această creștere este de obicei numită integrală definităși notat cu simbolul: și citește: integrală a A inainte de b din funcția f(x) peste dx sau, pe scurt, integrala lui A inainte de b din f(x)dx.

Număr A numit limita inferioara integrare, număr b - top; segment a ≤ x ≤ b – segment de integrare. Se presupune că funcția integrand f(x) continuu pentru toate valorile X, îndeplinind condițiile: A X b

Definiție. Creșterea funcțiilor antiderivate F(x)+C asupra tranziției argumentelor X din valoare x=a a valorifica x=b, egal cu diferența F(b)-F(a), se numește integrală definită și se notează prin simbolul: astfel încât dacă ∫ (x)dx = F(x)+C, apoi = F(b)-F(a) - dat egalitatea se numește formula Newton-Leibniz.

itemul 2 Proprietăţile de bază ale integralei definite

Toate proprietățile sunt formulate în propoziția că funcțiile luate în considerare sunt integrabile în intervalele corespunzătoare.

punctul 3 Calculul direct al integralei definite

Pentru a calcula integrala definită, când puteți găsi integrala nedefinită corespunzătoare, utilizați formula Newton-Leibniz

acestea. o integrală definită este egală cu diferența dintre valorile oricărei funcții antiderivate la limitele superioare și inferioare de integrare.

Această formulă arată procedura de calcul a unei integrale definite:

1) găsiți integrala nedefinită a acestei funcții;

2) în antiderivată rezultată, înlocuiți mai întâi limita superioară și apoi limita inferioară a integralei în locul argumentului;

3) scădeți rezultatul înlocuirii limitei inferioare din rezultatul înlocuirii limitei superioare.

Exemplul 1: Calculați integrala:

Exemplul 2: Calculați integrala:

p.4 Calculul unei integrale definite prin metoda substituției

Calculul integralei definite prin metoda substituției este următorul:

1) înlocuiți o parte din integrand cu o nouă variabilă;

2) găsiți noi limite ale integralei definite;

3) găsiți diferența de la ambele piese de schimb;

4) exprimă întregul integrand printr-o nouă variabilă (după care ar trebui să se obțină o integrală de tabel); 5) se calculează integrala definită rezultată.

Exemplul 1: Calculați integrala:

Substituţie: 1+cosx=t,-sinxdx=dt,

SECȚIUNEA 1.6. Sensul geometric al unei integrale definite.

Aria unui trapez curbat:

Se știe că o integrală definită pe un segment reprezintă aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției f(x).

Aria unei figuri delimitate de anumite drepte poate fi găsită folosind anumite integrale dacă ecuațiile acestor drepte sunt cunoscute.

Fie pe segmentul [a; b] o funcție continuă este dată y = ƒ(x) ≥ 0. Să găsim aria acestui trapez.

Aria figurii delimitată de axa 0 X, două linii drepte verticale x = a, x = b iar graficul funcției y = ƒ(x) (figura), determinat de formula:

Acesta este sensul geometric al integralei definite.

Exemplul 1: Calculați aria figurii delimitată de liniile: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.

Soluţie: Să facem un desen (rețineți că ecuația y=0 definește axa Ox).

Răspuns: S = 9 unități 2

Exemplul 2: Calculați aria figurii delimitată de liniile: y= - e x, x=1 și axele de coordonate.

Soluție: Să facem un desen.
Dacă un trapez curbat complet situat sub axa Ox, atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:

În acest caz:

Atenţie! Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

SECȚIUNEA 1.7. Aplicarea integralei definite

p.1 Calculul volumului unui corp de revoluție

Dacă un trapez curbat este adiacent axei Ox, iar liniile drepte y=a, y=b și graficul funcției y= F(x) (Fig. 1), atunci volumul corpului de revoluție este determinat printr-o formulă care conține o integrală.

Volumul corpului de revoluție este egal cu:

Exemplu:

Aflați volumul corpului limitat de suprafața de rotație a liniei în jurul axei Ox la 0≤ x ≤4.

Soluţie: V

unitățile 3. Răspuns: unitatea 3.

SECȚIUNEA 3.1. Ecuații diferențiale obișnuite

itemul 1 Conceptul de ecuație diferențială

Definiție. Ecuație diferențială este o ecuație care conține o funcție a unui set de variabile și derivatele acestora.

Forma generală a unei astfel de ecuații este =0, unde F este o funcție cunoscută a argumentelor sale, specificată într-un domeniu fix; x - variabila independenta (variabila prin care se diferentiaza y - variabila dependenta (cea din care se iau derivate si cea de determinat); - derivata variabilei dependente y fata de variabila independenta x.

itemul 2 Concepte de bază ale ecuaţiei diferenţiale

În ordine a unei ecuații diferențiale se numește ordinea celei mai mari derivate incluse în ea.

De exemplu:

O ecuație de ordinul doi este o ecuație de ordinul întâi.

Se numește orice funcție care conectează variabile și transformă o ecuație diferențială într-o egalitate adevărată decizie ecuație diferențială.

Soluție generală a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi este o funcție a și o constantă arbitrară C care transformă această ecuație într-o identitate în .

Soluția generală, scrisă sub forma implicită =0, se numește integrală generală.

Decizie privată ecuația =0 este o soluție obținută din soluția generală pentru o valoare fixă - un număr fix.

Problema găsirii unei anumite soluții la o ecuație diferențială de ordinul n-a (n= 1,2,3,...), care să îndeplinească condițiile inițiale ale formei

numit Problema Cauchy.

itemul 3 Ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile

O ecuație diferențială de ordinul întâi se numește ecuație separabilă dacă poate fi reprezentată așa cum poate fi rescrisă ca . Dacă . Să integrăm: .

Pentru a rezolva o ecuație de acest tip aveți nevoie de:

1. Variabile separate;

2. Prin integrarea ecuației cu variabile separate, găsiți soluția generală a acestei ecuații;

3. Găsiți o anumită soluție care să îndeplinească condițiile inițiale (dacă sunt date).

Exemplul 1. Rezolvați ecuația. Găsiți o anumită soluție care îndeplinește condiția y=4 la x=-2.

Soluţie: Aceasta este o ecuație de variabilă separată. Integrând, găsim soluția generală a ecuației: . Pentru a obține o soluție generală mai simplă, reprezentăm termenul constant din partea dreaptă sub forma C/2. Avem sau este o soluție generală. Înlocuind valorile y=4 și x=-2 în soluția generală, obținem 16=4+C, din care C=12.

Deci, o soluție particulară a ecuației care satisface această condiție are forma

Exemplul 2. Găsiți o anumită soluție a ecuației dacă .

Soluţie:, , , , , decizie comună.

Înlocuim valorile lui x și y în soluția privată: , , soluție privată.

Exemplul 3. Găsiți soluția generală a ecuației . Soluție: ,, , - decizie comună.

itemul 4 Ecuații diferențiale de ordin mai mare decât prima

O ecuație de forma sau se rezolvă prin dublă integrare: , , de unde . După ce am integrat această funcție, obținem o nouă funcție a lui f(x), pe care o notăm cu F(x). Prin urmare, ; . Să integrăm din nou: sau y=Ф(x). Am obținut o soluție generală a ecuației care conține două constante arbitrare și .

Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Soluţie:, , ,

Exemplul 2. Rezolvați ecuația . Rezolvare: , , .

SECȚIUNEA 3.2. Seria de numere, membrii săi

Definiția 1.Seria de numere se numește o expresie de forma ++…++…, (1)

Unde , , …, , … - numere aparținând unui anumit sistem de numere.

Astfel, putem vorbi despre seriale reale pentru care R, despre serii complexe pentru care C,i= 1, 2, …, n,... = =.

Secțiunea 3.3. Fundamentele teoriei probabilităților și statisticii matematice

Ar putea fi util să citiți: