Care este diagonala paralelogramului. Proprietățile diagonalelor unui paralelogram. Lecții complete - Hypermarket de cunoștințe

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi. Această definiție este deja suficientă, deoarece proprietățile rămase ale unui paralelogram decurg din ea și sunt dovedite sub formă de teoreme.

Principalele proprietăți ale paralelogramului sunt:

• un paralelogram este un patrulater convex;
• un paralelogram are laturile opuse egale în perechi;
• un paralelogram are unghiuri opuse care sunt egale în perechi;
• diagonalele unui paralelogram sunt bisectate de punctul de intersecție.

Paralelogram - un patrulater convex

Să demonstrăm mai întâi teorema că un paralelogram este un patrulater convex. Un poligon este convex atunci când orice parte a lui este extinsă la o linie dreaptă, toate celelalte laturi ale poligonului vor fi de aceeași parte a acestei linii drepte.

Să fie dat un paralelogram ABCD, în care AB este latura opusă pentru CD și BC este latura opusă pentru AD. Apoi, din definiția unui paralelogram rezultă că AB || CD, BC || ANUNȚ.

Segmentele paralele nu au puncte comune, nu se intersectează. Aceasta înseamnă că CD se află pe o parte a lui AB. Deoarece segmentul BC conectează punctul B al segmentului AB cu punctul C al segmentului CD, iar segmentul AD conectează alte puncte AB și CD, segmentele BC și AD se află, de asemenea, pe aceeași parte a dreptei AB, unde se află CD. Astfel, toate cele trei laturi - CD, BC, AD - se află pe aceeași parte a lui AB.

În mod similar, se demonstrează că în raport cu celelalte laturi ale paralelogramului, celelalte trei laturi se află pe aceeași parte.

Laturile și unghiurile opuse sunt egale

Una dintre proprietățile unui paralelogram este aceea că într-un paralelogram laturile opuse și unghiurile opuse sunt egale. De exemplu, dacă este dat un paralelogram ABCD, atunci acesta are AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Această teoremă se demonstrează după cum urmează.

Un paralelogram este un patrulater. Deci are două diagonale. Deoarece un paralelogram este un patrulater convex, oricare dintre ele îl împarte în două triunghiuri. Se consideră triunghiurile ABC și ADC din paralelogramul ABCD obținut prin trasarea diagonalei AC.

Aceste triunghiuri au o latură în comun - AC. Unghiul BCA este egal cu unghiul CAD, la fel ca și verticalele cu paralele BC și AD. Unghiurile BAC și ACD sunt de asemenea egale, la fel ca și unghiurile verticale când AB și CD sunt paralele. Prin urmare, ∆ABC = ∆ADC peste două unghiuri și latura dintre ele.

În aceste triunghiuri, latura AB corespunde laturii CD, iar latura BC corespunde AD. Prin urmare, AB = CD și BC = AD.

Unghiul B corespunde unghiului D, adică ∠B = ∠D. Unghiul A al unui paralelogram este suma a două unghiuri - ∠BAC și ∠CAD. Unghiul C egal este format din ∠BCA și ∠ACD. Deoarece perechile de unghiuri sunt egale între ele, atunci ∠A = ∠C.

Astfel, se demonstrează că într-un paralelogram laturile și unghiurile opuse sunt egale.

Diagonalele tăiate în jumătate

Deoarece un paralelogram este un patrulater convex, are două două diagonale și se intersectează. Să fie dat un paralelogram ABCD, diagonalele sale AC și BD se intersectează într-un punct E. Să considerăm triunghiurile ABE și CDE formate de ele.

Aceste triunghiuri au laturile AB și CD egale cu laturile opuse ale unui paralelogram. Unghiul ABE este egal cu unghiul CDE, deoarece acestea se află pe liniile paralele AB și CD. Din același motiv, ∠BAE = ∠DCE. Prin urmare, ∆ABE = ∆CDE peste două unghiuri și latura dintre ele.

De asemenea, puteți observa că unghiurile AEB și CED sunt verticale și, prin urmare, egale între ele.

Deoarece triunghiurile ABE și CDE sunt egale între ele, la fel și toate elementele corespunzătoare. Latura AE a primului triunghi corespunde laturii CE a celui de-al doilea, deci AE = CE. În mod similar, BE = DE. Fiecare pereche de segmente egale formează diagonala paralelogramului. Astfel, se dovedește că diagonalele unui paralelogram sunt bisectate de punctul de intersecție.

Un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele este un paralelogram. Diagonalele sunt linii drepte care leagă vârfuri opuse. Punctul de intersecție a acestora este centrul de simetrie. În general, un paralelogram are două diagonale, D este lung și d este scurt.

Aflați diagonala unui paralelogram folosind legea cosinusurilor

• Valoarea cosinusurilor unghiurilor paralelogramului α și β.

D = √a^2 + b^2 - 2ab cosβ

d = √a^2 + b^2 + 2ab cosβ

D = √a^2 + b^2 + 2ab cosα

d = √a^2 + b^2 - 2ab cosα

Aflați diagonala unui paralelogram în funcție de diagonala și laturile cunoscute

Pentru a utiliza această metodă, trebuie să știți:

• Lungimile laturilor a și b ale paralelogramului.

D = √2a^2 + 2b^2 - d^2

Pentru a utiliza această metodă, trebuie să știți:

• Aria unui paralelogram.
• Lungimea uneia dintre diagonalele D sau d.
• Unghiul dintre diagonalele γ sau δ.

D = 2S/d sinγ = 2S/d sinδ

d = 2S/D sinγ = 2S/D sinδ

Un caz special de determinare a lungimii diagonalei unui paralelogram este un pătrat

Un pătrat este un paralelogram în care toate laturile sunt egale și unghiurile sunt de 90°. Lungimile diagonalelor în acest caz vor fi egale cu D=d și pot fi calculate folosind teorema lui Pitagora.
D=d=a*√2

Un caz special de determinare a lungimii diagonalei unui paralelogram este un dreptunghi

Un dreptunghi este un paralelogram în care unghiurile sunt egale și egale cu 90°. Lungimile diagonalelor în acest caz vor fi egale cu D=d și pot fi calculate folosind teorema lui Pitagora.
D=d=√(a^2+b^2)

Proprietățile paralelogramului.

Un paralelogram are laturile opuse egale. Un paralelogram are unghiuri opuse.

Diagonalele paralelogramului se intersectează iar punctul de intersecție este împărțit la jumătate (Fig. 96).

AB = CD, BC = AD, ?BAD = ?BCD, ?ABS = ?ADC, AO = OC, BO = OD.

Caracteristicile paralelogramului.

Dacă un patrulater are două laturi care sunt paralele și egale, atunci este un paralelogram (Fig. 97).

BC||AD, BC = AD ? ABCD este un paralelogram.

Dacă diagonalele unui patrulater se intersectează și punctul de intersecție este împărțit la jumătate, atunci acest patrulater este un paralelogram (Fig. 98).

AO = OS, VO = OD? ABCD este un paralelogram.

Proprietăți dreptunghiulare.

Un dreptunghi are toate proprietățile unui paralelogram (un dreptunghi are laturile opuse egale; un dreptunghi are unghiuri opuse egale (90°); diagonalele dreptunghiului se intersectează, iar punctul de intersecție este împărțit la jumătate).

Diagonalele dreptunghiului sunt egale (Fig. 99):

Semn dreptunghi.

Dacă un paralelogram are toate unghiurile egale, atunci este un dreptunghi.

Proprietățile rombului.

Pentru un romb, toate proprietățile unui paralelogram sunt caracteristice (pentru un romb, laturile opuse sunt egale - în general, toate laturile sunt egale prin definiție; pentru un romb, unghiurile opuse sunt egale; diagonalele unui romb se intersectează și intersecția punctul este împărțit la jumătate).

Diagonalele rombului se intersectează în unghi drept.

Diagonalele unui romb sunt bisectoarele colțurilor sale (Fig. 100).

AC? BD, ?ABD = ?DBC = ?CDB = ?BDA, ?BAC = ?CAD = ?BCA = ?DCA.

Semnul rombului.

Dacă diagonalele unui paralelogram sunt perpendiculare, atunci acesta este un romb.

Proprietăți pătrate.

Un pătrat are proprietățile unui dreptunghi și a unui romb.

Semn pătrat.

Dacă diagonalele unui dreptunghi se intersectează în unghi drept, atunci acesta este un pătrat.

Proprietate linia de mijloc trapez.

Linia de mijloc a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătatea sumei acestora (Fig. 101).

Criterii pentru patrulaterele înscrise și circumscrise.

Dacă un cerc poate fi circumscris lângă un patrulater, atunci sumele unghiurilor sale opuse sunt egale cu 180 ° fiecare (Fig. 102).

A + AC = AB + AD = 180°.

Dacă un cerc poate fi înscris într-un patrulater, atunci sumele laturilor sale opuse sunt egale (Fig. 103).

AB + CD = AD + BC.

Subiectul lecției

• Proprietățile diagonalelor unui paralelogram.

Obiectivele lecției

• Familiarizați-vă cu noi definiții și amintiți-vă unele deja studiate.
• Formulați și demonstrați proprietatea diagonalelor unui paralelogram.
• Învață să aplici proprietățile formelor în rezolvarea problemelor.
• Dezvoltarea - pentru a dezvolta atenția elevilor, perseverența, perseverența, gandire logica, discurs matematic.
• Educativ - printr-o lecție, de a cultiva o atitudine atentă unul față de celălalt, de a insufla capacitatea de ascultare a camarazilor, asistență reciprocă, independență.

Obiectivele lecției

• Verificați capacitatea elevilor de a rezolva probleme.

Planul lecției

1. Introducere.
2. Repetarea materialului învățat anterior.
3. Paralelogramul, proprietățile și semnele sale.
4. Exemple de sarcini.
5. Verificare personală.

Introducere

„O descoperire științifică majoră oferă o soluție la o problemă majoră, dar în soluționarea oricărei probleme există un sâmbure de descoperire.”

Proprietățile laturilor opuse ale unui paralelogram

Un paralelogram are laturile opuse egale.

Dovada.

Fie ABCD un paralelogram dat. Și lasă-l diagonalele se intersectează în punctul O.
Deoarece Δ ​​AOB = Δ COD prin primul semn de egalitate al triunghiurilor (∠ AOB = ∠ COD, ca verticale, AO=OC, DO=OB, prin proprietatea diagonalelor paralelogramelor), atunci AB=CD. În mod similar, din egalitatea triunghiurilor BOC și DOA rezultă că BC=DA. Teorema a fost demonstrată.

Proprietatea unghiurilor opuse ale unui paralelogram

Un paralelogram are unghiuri opuse.

Dovada.

Fie ABCD un dat paralelogram. Și lăsați diagonalele sale să se intersecteze în punctul O.
Din proprietățile laturilor opuse ale unui paralelogram demonstrate în teorema pe Δ ABC = Δ CDA pe trei laturi (AB=CD, BC=DA din dovedit, AC este general). Din egalitatea triunghiurilor rezultă că ∠ABC = ∠CDA.
De asemenea, se demonstrează că ∠ DAB = ∠ BCD, care rezultă din ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema a fost demonstrată.

Proprietatea diagonalelor unui paralelogram

Diagonalele unui paralelogram se intersectează, iar punctul de intersecție este bisectat.

Dovada.

Fie ABCD un paralelogram dat. Să desenăm diagonala AC. Marcam pe el mijlocul O. Pe continuarea segmentului DO, punem deoparte segmentul OB 1 egal cu DO.
După teorema anterioară, AB 1 CD este un paralelogram. Prin urmare, linia AB 1 este paralelă cu DC. Dar prin punctul A, o singură linie poate fi trasă paralelă cu DC. Prin urmare, linia AB 1 coincide cu dreapta AB.
De asemenea, se dovedește că BC 1 coincide cu BC. Deci punctul C coincide cu C 1 . paralelogramul ABCD coincide cu paralelogramul AB 1 CD. Prin urmare, diagonalele paralelogramului se intersectează și punctul de intersecție este bisectat. Teorema a fost demonstrată.

În manualele pentru școlile obișnuite (de exemplu, la Pogorelov), se demonstrează astfel: diagonalele împart paralelogramul în 4 triunghiuri. Luați în considerare o pereche și aflați - sunt egale: bazele lor sunt laturi opuse, unghiurile corespunzătoare adiacente acesteia sunt egale ca verticale cu linii paralele. Adică, segmentele diagonalelor sunt egale pe perechi. Toate.

Asta e tot?
S-a dovedit mai sus că punctul de intersecție bisectează diagonalele - dacă există. Raționamentul de mai sus nu dovedește în niciun fel existența lui. Adică, partea din teorema „diagonalele paralelogramelor se intersectează” rămâne nedovedită.

Este amuzant cum această parte este mult mai greu de demonstrat. Apropo, acest lucru rezultă dintr-un rezultat mai general: pentru orice patrulater convex, diagonalele se vor intersecta, pentru orice neconvex, nu.

Pe egalitatea triunghiurilor de-a lungul laturii și a două unghiuri adiacente acesteia (al doilea semn al egalității triunghiurilor) și altele.

Teorema privind egalitatea a două triunghiuri de-a lungul unei laturi și a două unghiuri adiacente acesteia, Thales a găsit o aplicație practică importantă. În portul Milet a fost construit un telemetru, care determină distanța până la navă pe mare. Acesta a constat din trei chei antrenate A, B și C (AB = BC) și o linie dreaptă marcată SK, perpendiculară pe CA. Când nava a apărut pe linia dreaptă SC, a fost găsit un punct D astfel încât punctele D, .B și E să fie pe aceeași linie dreaptă. După cum reiese din desen, distanța CD la sol este distanța dorită până la navă.

Întrebări

1. Diagonalele unui pătrat sunt tăiate în două de punctul de intersecție?
   
2. Diagonalele unui paralelogram sunt egale?
3. Sunt unghiurile opuse ale unui paralelogram egale?
4. Care este definiția unui paralelogram?
5. Câte caracteristici ale unui paralelogram?
   
6. Poate un romb să fie un paralelogram?
   

Lista surselor utilizate

1. Kuznetsov A. V., profesor de matematică (clasele 5-9), Kiev
2. „Examen unificat de stat 2006. Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea studenților / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. „Rezolvarea principalelor probleme competitive de matematică ale colecției editate de M. I. Scanavi”
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometrie, 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ”

Lucrând la lecție

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgheni Petrov

Puteți pune o întrebare despre educația modernă, puteți exprima o idee sau rezolva o problemă urgentă la Forumul Educației unde se întrunește la nivel internațional un consiliu educațional de gândire și acțiune proaspătă. După ce a creat blog, Nu numai că îți vei îmbunătăți statutul de profesor competent, ci vei aduce și o contribuție semnificativă la dezvoltarea școlii viitorului. Breasla Liderilor Educației deschide ușa specialiștilor de top și vă invită să cooperați în direcția creării celor mai bune școli din lume.

Articole > Matematică > Matematica clasa a VIII-a

 

Ar putea fi util să citiți:

• Cum te simți la 17 săptămâni de sarcină?;
• Este justificată utilizarea spasmalgon în timpul sarcinii Spasmalgon în al doilea trimestru?;
• A patra săptămână de sarcină: semne, simptome, fotografie, ecografie;
• Femeile însărcinate pot tuse „Stodal”.;
• Simptomele și tratamentul faringitei la copii: sfaturi de la un medic pediatru Faringita acută la sugari 7 luni;
• Această hemoglobină „teribilă”.;
• De unde este Mihail Sergheevici Gorbaciov?;
• Cum să petreci zilele de post pentru sănătate și pierderea în greutate Cum să-ți aranjezi corect zilele de post;