Osnovne elementarne funkcije, njihove lastnosti in grafi. Študij grafa funkcije Funkcija ur

Izberimo pravokotni koordinatni sistem na ravnini in vrednosti argumenta narišimo na abscisno os X, in na ordinati - vrednosti funkcije y = f(x).

Funkcijski graf y = f(x) je množica vseh točk, katerih abscise pripadajo domeni definicije funkcije, ordinate pa so enake ustreznim vrednostim funkcije.

Z drugimi besedami, graf funkcije y = f (x) je množica vseh točk ravnine, koordinat X, pri ki zadoščajo razmerju y = f(x).

Na sl. 45 in 46 prikazujeta grafe funkcij y = 2x + 1 in y = x 2 - 2x.

Strogo gledano je treba razlikovati med grafom funkcije (katere natančna matematična definicija je bila navedena zgoraj) in narisano krivuljo, ki daje vedno le bolj ali manj natančno skico grafa (pa še takrat praviloma ne celotnega grafa, ampak samo njegov del, ki se nahaja v končnih delih ravnine). V nadaljevanju pa bomo na splošno rekli "graf" in ne "skica grafa".

S pomočjo grafa lahko najdete vrednost funkcije v točki. Če je namreč točka x = a spada v domeno definicije funkcije y = f(x), nato pa poiščite številko f(a)(tj. vrednosti funkcije v točki x = a) to bi morali storiti. Potrebno je skozi točko abscise x = a narišite ravno črto, vzporedno z ordinatno osjo; ta premica bo sekala graf funkcije y = f(x) na eni točki; ordinata te točke bo na podlagi definicije grafa enaka f(a)(slika 47).

Na primer za funkcijo f(x) = x 2 - 2x s pomočjo grafa (slika 46) ugotovimo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.

Funkcijski graf jasno prikazuje vedenje in lastnosti funkcije. Na primer, iz obravnave sl. 46 je jasno, da funkcija y = x 2 - 2x ima pozitivne vrednosti, ko X< 0 in pri x > 2, negativno - pri 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x sprejme pri x = 1.

Za graf funkcije f(x) morate najti vse točke ravnine, koordinate X,pri ki zadoščajo enačbi y = f(x). V večini primerov je to nemogoče narediti, saj je takih točk neskončno veliko. Zato je graf funkcije upodobljen približno - z večjo ali manjšo natančnostjo. Najenostavnejša je metoda risanja grafa z uporabo več točk. Sestoji iz dejstva, da argument X podajte končno število vrednosti - recimo x 1, x 2, x 3,..., x k in ustvarite tabelo, ki vključuje izbrane vrednosti funkcij.

Tabela izgleda takole:

Ko sestavimo takšno tabelo, lahko na grafu funkcije orišemo več točk y = f(x). Potem, ko te točke povežemo z gladko črto, dobimo približen pogled na graf funkcije y = f(x).

Vendar je treba opozoriti, da je metoda večtočkovnega izrisa zelo nezanesljiva. Pravzaprav ostaja neznanka obnašanje grafa med predvidenimi točkami in njegovo obnašanje zunaj segmenta med skrajnima točkama.

Primer 1. Za graf funkcije y = f(x) nekdo je sestavil tabelo vrednosti argumentov in funkcij:

Ustreznih pet točk je prikazanih na sl. 48.

Na podlagi lege teh točk je sklepal, da je graf funkcije ravna črta (na sliki 48 prikazana s pikčasto črto). Ali se ta sklep lahko šteje za zanesljivega? Če ni dodatnih premislekov, ki podpirajo ta sklep, ga je težko šteti za zanesljivega. zanesljiv.

Za utemeljitev naše trditve upoštevajte funkcijo

Izračuni kažejo, da so vrednosti te funkcije v točkah -2, -1, 0, 1, 2 natančno opisane v zgornji tabeli. Vendar graf te funkcije sploh ni ravna črta (prikazano je na sliki 49). Drug primer bi bila funkcija y = x + l + sinπx; njeni pomeni so opisani tudi v zgornji tabeli.

Ti primeri kažejo, da je v svoji "čisti" obliki metoda risanja grafa z uporabo več točk nezanesljiva. Zato se za risanje grafa dane funkcije običajno naredi takole. Najprej preučimo lastnosti te funkcije, s pomočjo katere lahko zgradimo skico grafa. Nato se z izračunom vrednosti funkcije na več točkah (katerih izbira je odvisna od ugotovljenih lastnosti funkcije) najdejo ustrezne točke grafa. In končno se skozi konstruirane točke nariše krivulja z uporabo lastnosti te funkcije.

Nekaj (najenostavnejših in najpogosteje uporabljenih) lastnosti funkcij, ki se uporabljajo za iskanje skice grafa, si bomo ogledali pozneje, zdaj pa si bomo ogledali nekaj pogosto uporabljenih metod za konstruiranje grafov.

Graf funkcije y = |f(x)|.

Pogosto je potrebno narisati funkcijo y = |f(x)|, kje f(x) - dano funkcijo. Naj vas spomnimo, kako se to naredi. Z definiranjem absolutne vrednosti števila lahko zapišemo

To pomeni, da je graf funkcije y =|f(x)| lahko dobimo iz grafa, funkcije y = f(x) takole: vse točke na grafu funkcije y = f(x), katerih ordinate so nenegativne, pustimo nespremenjene; dalje, namesto točk grafa funkcije y = f(x) z negativnimi koordinatami, morate zgraditi ustrezne točke na grafu funkcije y = -f(x)(tj. del grafa funkcije
y = f(x), ki leži pod osjo X, se mora odražati simetrično glede na os X).

Primer 2. Graf funkcije y = |x|.

Vzemimo graf funkcije y = x(Sl. 50, a) in del tega grafa na X< 0 (leži pod os X) simetrično odbita glede na os X. Kot rezultat dobimo graf funkcije y = |x|(Slika 50, b).

Primer 3. Graf funkcije y = |x 2 - 2x|.

Najprej narišimo funkcijo y = x 2 - 2x. Graf te funkcije je parabola, katere veje so usmerjene navzgor, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf seka os x v točkah 0 in 2. V intervalu (0; 2) funkcija ima negativne vrednosti, zato se ta del grafa simetrično odraža glede na os abscise. Slika 51 prikazuje graf funkcije y = |x 2 -2x|, ki temelji na grafu funkcije y = x 2 - 2x

Graf funkcije y = f(x) + g(x)

Razmislite o problemu konstruiranja grafa funkcije y = f(x) + g(x).če so podani funkcijski grafi y = f(x) in y = g(x).

Upoštevajte, da je domena definicije funkcije y = |f(x) + g(x)| je množica vseh tistih vrednosti x, za katere sta definirani obe funkciji y = f(x) in y = g(x), tj. ta definicijska domena je presečišče definicijskih domen, funkcij f(x) in g(x).

Naj točke (x 0, y 1) In (x 0, y 2) pripadajo grafom funkcij y = f(x) in y = g(x), tj 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Potem točka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. in katera koli točka na grafu funkcije y = f(x) + g(x) mogoče dobiti na ta način. Zato je graf funkcije y = f(x) + g(x) lahko dobimo iz funkcijskih grafov y = f(x). in y = g(x) zamenjava vsake točke ( x n, y 1) funkcijska grafika y = f(x) pika (x n, y 1 + y 2), Kje y 2 = g(x n), tj. s premikom vsake točke ( x n, y 1) funkcijski graf y = f(x) vzdolž osi pri po znesku y 1 = g(x n). V tem primeru se upoštevajo le takšne točke X n, za katerega sta definirani obe funkciji y = f(x) in y = g(x).

Ta metoda risanja funkcije y = f(x) + g(x) imenujemo seštevanje grafov funkcij y = f(x) in y = g(x)

Primer 4. Na sliki je bil z metodo seštevanja grafov zgrajen graf funkcije
y = x + sinx.

Pri izrisu funkcije y = x + sinx to smo mislili f(x) = x, A g(x) = sinx. Za izris funkcijskega grafa izberemo točke z abscisami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vrednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Izračunajmo na izbranih točkah in rezultate uvrstimo v tabelo.

To učno gradivo je samo za referenco in se nanaša na široko paleto tem. Članek ponuja pregled grafov osnovnih elementarnih funkcij in obravnava najpomembnejše vprašanje - kako pravilno in HITRO zgraditi graf. Med študijem višje matematike brez poznavanja grafov osnovnih elementarnih funkcij bo težko, zato je zelo pomembno, da se spomnite, kako izgledajo grafi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., In se spomnite nekaterih pomenov funkcij. Govorili bomo tudi o nekaterih lastnostih glavnih funkcij.

Ne zahtevam popolnosti in znanstvene temeljitosti gradiva; poudarek bo predvsem na praksi - tistih stvareh, s katerimi srečamo dobesedno na vsakem koraku, v kateri koli temi višje matematike. Grafi za telebane? Lahko bi se tako reklo.

Zaradi številnih prošenj bralcev klikljivo kazalo vsebine:

Poleg tega je na to temo izjemno kratek sinopsis
– Obvladajte 16 vrst grafikonov tako, da preučite ŠEST strani!

Resno, šest, celo jaz sem bil presenečen. Ta povzetek vsebuje izboljšano grafiko in je na voljo za simbolično ceno; lahko si ogledate demo različico. Datoteko je priročno natisniti, tako da so grafi vedno pri roki. Hvala za podporo projektu!

In začnimo takoj:

Kako pravilno sestaviti koordinatne osi?

Teste v praksi učenci skoraj vedno opravljajo v ločenih zvezkih, črtanih v kvadrat. Zakaj potrebujete kariraste oznake? Navsezadnje je delo načeloma mogoče opraviti na listih A4. In kletka je potrebna samo za kakovostno in natančno oblikovanje risb.

Vsaka risba funkcijskega grafa se začne s koordinatnimi osemi.

Risbe so lahko dvodimenzionalne ali tridimenzionalne.

Najprej razmislimo o dvodimenzionalnem primeru Kartezični pravokotni koordinatni sistem:

1) Narišite koordinatne osi. Os se imenuje x-os , in os je y-os . Vedno jih poskušamo narisati čeden in ne ukrivljen. Puščice tudi ne smejo spominjati na brado Papa Carla.

2) Osi podpišemo z velikima črkama "X" in "Y". Ne pozabite označiti osi.

3) Nastavite merilo vzdolž osi: narišite ničlo in dve enici. Pri izdelavi risbe je najbolj priročno in pogosto uporabljeno merilo: 1 enota = 2 celici (risba levo) – če je le mogoče, se ga držite. Vendar se od časa do časa zgodi, da risba ne sodi na zvezkov list – takrat zmanjšamo merilo: 1 enota = 1 celica (risba desno). Redko, vendar se zgodi, da je treba merilo risbe še bolj zmanjšati (ali povečati)

NI POTREBE po "mitraljezi" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Kajti koordinatna ravnina ni spomenik Descartesu in učenec ni golob. Postavili smo nič in dve enoti vzdolž osi. včasih namesto enote, je priročno "označiti" druge vrednosti, na primer "dve" na abscisni osi in "tri" na ordinatni osi - in ta sistem (0, 2 in 3) bo tudi enolično določil koordinatno mrežo.

Bolje je oceniti predvidene dimenzije risbe PRED izdelavo risbe. Tako na primer, če naloga zahteva risanje trikotnika z oglišči , , , potem je popolnoma jasno, da priljubljeno merilo 1 enota = 2 celici ne bo delovalo. Zakaj? Poglejmo bistvo - tukaj boste morali izmeriti petnajst centimetrov navzdol in očitno se risba ne bo prilegala (ali komaj prilegala) na list zvezka. Zato takoj izberemo manjše merilo: 1 enota = 1 celica.

Mimogrede, o centimetrih in celicah zvezkov. Ali je res, da 30 celic zvezka vsebuje 15 centimetrov? Za zabavo izmerite 15 centimetrov v zvezku z ravnilom. V ZSSR je to morda veljalo ... Zanimivo je, da če izmerite te iste centimetre vodoravno in navpično, bodo rezultati (v celicah) drugačni! Strogo gledano, sodobni zvezki niso karirasti, ampak pravokotni. To se morda zdi nesmiselno, vendar je risanje na primer kroga s kompasom v takih situacijah zelo neprijetno. Če sem iskren, v takih trenutkih začneš razmišljati o pravilnosti tovariša Stalina, ki je bil poslan v taborišča zaradi hekerskega dela v proizvodnji, da ne omenjam domače avtomobilske industrije, padajočih letal ali eksplozivnih elektrarn.

Ko smo že pri kvaliteti oz. kratko priporočilo glede pisarniškega materiala. Danes je večina zvezkov v prodaji milo rečeno popolna bedarija. Iz razloga, ker se zmočijo, in ne samo od gelskih svinčnikov, ampak tudi od kemičnih svinčnikov! Prihranijo denar na papirju. Za dokončanje testov priporočam uporabo zvezkov Arhangelske tovarne celuloze in papirja (18 listov, kvadrat) ali "Pyaterochka", čeprav je dražji. Priporočljivo je izbrati gelsko pisalo, tudi najcenejše kitajsko gelsko polnilo je veliko boljše od kemičnega svinčnika, ki ali razmaže ali strga papir. Edini "konkurenčni" kemični svinčnik, ki se ga spomnim, je Erich Krause. Piše jasno, lepo in dosledno – bodisi s polnim jedrom bodisi s skoraj praznim.

Dodatno: Vizija pravokotnega koordinatnega sistema skozi oči analitične geometrije je zajeta v članku. Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Osnova vektorjev, podrobne informacije o koordinatnih četrtinah najdete v drugem odstavku lekcije Linearne neenakosti.

3D etui

Tukaj je skoraj enako.

1) Narišite koordinatne osi. Standardno: aplicirati os – usmerjena navzgor, os – usmerjena v desno, os – usmerjena navzdol v levo strogo pod kotom 45 stopinj.

2) Označite osi.

3) Nastavite merilo vzdolž osi. Merilo vzdolž osi je dvakrat manjše od merila vzdolž ostalih osi. Upoštevajte tudi, da sem na desni risbi uporabil nestandardno "zarezo" vzdolž osi (ta možnost je bila že omenjena zgoraj). Z mojega vidika je to bolj natančno, hitreje in bolj estetsko - ni treba iskati sredine celice pod mikroskopom in "izklesati" enote blizu izvora koordinat.

Pri izdelavi 3D risbe ponovno dajte prednost merilu
1 enota = 2 celici (risba na levi).

Čemu so vsa ta pravila? Pravila so narejena zato, da se jih krši. To bom zdaj naredil. Dejstvo je, da bom naslednje risbe artikla izdelal jaz v Excelu, koordinatne osi pa bodo z vidika pravilnega oblikovanja videti napačne. Vse grafe bi lahko narisal ročno, vendar jih je pravzaprav strašljivo narisati, saj jih Excel ne želi narisati bolj natančno.

Grafi in osnovne lastnosti elementarnih funkcij

Linearna funkcija je podana z enačbo. Graf linearnih funkcij je neposredno. Da bi zgradili ravno črto, je dovolj poznati dve točki.

Primer 1

Zgradite graf funkcije. Poiščimo dve točki. Ugodno je izbrati nič kot eno od točk.

Če, potem

Vzemimo drugo točko, na primer 1.

Če, potem

Pri izpolnjevanju nalog so koordinate točk običajno povzete v tabeli:

In same vrednosti se izračunajo ustno ali na osnutku, kalkulatorju.

Najdeni sta bili dve točki, naredimo risbo:

Pri pripravi risbe vedno podpišemo grafiko.

Koristno bi bilo spomniti se posebnih primerov linearne funkcije:

Opazite, kako sem dal podpise, podpisi ne smejo dopuščati neskladij pri preučevanju risbe. V tem primeru je bilo zelo nezaželeno postaviti podpis poleg točke presečišča črt ali spodaj desno med grafi.

1) Linearna funkcija oblike () se imenuje direktna sorazmernost. Na primer,. Graf neposredne sorazmernosti vedno poteka skozi izhodišče. Tako je gradnja ravne črte poenostavljena - dovolj je najti samo eno točko.

2) Enačba oblike podaja ravno črto, ki je vzporedna z osjo, še posebej, sama os je podana z enačbo. Graf funkcije se izriše takoj, ne da bi našli točke. To pomeni, da je treba vnos razumeti takole: "y je vedno enak –4 za katero koli vrednost x."

3) Enačba oblike podaja ravno črto, vzporedno z osjo, zlasti os sama je podana z enačbo. Takoj se izriše tudi graf funkcije. Vnos je treba razumeti takole: "x je vedno, za katero koli vrednost y, enak 1."

Nekateri se bodo vprašali, zakaj se spominjati 6. razreda?! Tako je, mogoče je res tako, ampak v letih vadbe sem srečal dober ducat študentov, ki jih je begala naloga sestaviti graf, kot je oz.

Konstruiranje ravne črte je najpogostejše dejanje pri risanju.

Ravna črta je podrobno obravnavana v tečaju analitične geometrije, zainteresirani pa se lahko obrnejo na članek Enačba premice na ravnini.

Graf kvadratne, kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Graf kvadratne funkcije () predstavlja parabolo. Razmislite o znamenitem primeru:

Spomnimo se nekaterih lastnosti funkcije.

Torej, rešitev naše enačbe: – na tej točki se nahaja vrh parabole. Zakaj je tako, izveste v teoretičnem članku o odvodu in lekciji o ekstremih funkcije. Medtem izračunajmo ustrezno vrednost "Y":

Tako je vrh v točki

Zdaj najdemo druge točke, medtem ko nesramno uporabljamo simetrijo parabole. Treba je opozoriti, da funkcija – ni niti, vendar kljub temu nihče ni preklical simetrije parabole.

V kakšnem vrstnem redu najti preostale točke, mislim, da bo jasno iz končne mize:

Ta konstrukcijski algoritem lahko figurativno imenujemo "shuttle" ali princip "naprej in nazaj" z Anfiso Čehovo.

Naredimo risbo:

Iz pregledanih grafov pride na misel še ena uporabna funkcija:

Za kvadratno funkcijo () drži naslednje:

Če , potem so veje parabole usmerjene navzgor.

Če , potem so veje parabole usmerjene navzdol.

Poglobljeno znanje o krivulji lahko pridobimo pri učni uri Hiperbola in parabola.

Kubična parabola je podana s funkcijo. Tukaj je risba, poznana iz šole:

Naštejmo glavne lastnosti funkcije

Graf funkcije

Predstavlja eno od vej parabole. Naredimo risbo:

Glavne lastnosti funkcije:

V tem primeru je os navpična asimptota za graf hiperbole pri .

VELIKA napaka bi bila, če bi pri risanju risbe malomarno dovolili, da se graf seka z asimptoto.

Tudi enostranske meje nam povedo, da hiperbola ni omejeno od zgoraj in ni omejeno od spodaj.

Oglejmo si funkcijo v neskončnosti: , to je, če se začnemo premikati vzdolž osi levo (ali desno) v neskončnost, potem bodo "igre" v urejenem koraku neskončno blizu pristop k ničli in s tem veje hiperbole neskončno blizu približati osi.

Torej je os horizontalna asimptota za graf funkcije, če se "x" nagiba k plus ali minus neskončnosti.

Funkcija je Čuden, zato je hiperbola simetrična glede na izvor. To dejstvo je očitno iz risbe, poleg tega pa ga je enostavno analitično preveriti: .

Graf funkcije oblike () predstavlja dve veji hiperbole.

Če , potem se hiperbola nahaja v prvi in tretji koordinatni četrtini(glej sliko zgoraj).

Če , potem se hiperbola nahaja v drugi in četrti koordinatni četrtini.

Navedeni vzorec prebivališča hiperbole je enostavno analizirati z vidika geometrijskih transformacij grafov.

Primer 3

Konstruiraj desno vejo hiperbole

Uporabljamo točkovno konstrukcijo, pri čemer je ugodno izbrati vrednosti tako, da so deljive s celoto:

Naredimo risbo:

Konstruirati levo vejo hiperbole ne bo težko, tu bo pomagala nenavadnost funkcije. Grobo rečeno, v tabeli točkovne konstrukcije miselno dodamo minus vsaki številki, postavimo ustrezne točke in narišemo drugo vejo.

Podrobne geometrijske informacije o obravnavani premici najdete v članku Hiperbola in parabola.

Graf eksponentne funkcije

V tem razdelku bom takoj obravnaval eksponentno funkcijo, saj se v problemih višje matematike v 95% primerov pojavi eksponentna.

Naj vas spomnim, da je to iracionalno število: , to bo potrebno pri izdelavi grafa, ki ga bom pravzaprav zgradil brez slovesnosti. Tri točke so verjetno dovolj:

Pustimo za zdaj graf funkcije pri miru, o njem več kasneje.

Glavne lastnosti funkcije:

Funkcijski grafi itd. so v bistvu videti enaki.

Moram reči, da se drugi primer v praksi redkeje pojavlja, vendar se pojavlja, zato se mi je zdelo nujno, da ga vključim v ta članek.

Graf logaritemske funkcije

Razmislite o funkciji z naravnim logaritmom.
Naredimo risbo od točke do točke:

Če ste pozabili, kaj je logaritem, si oglejte šolske učbenike.

Glavne lastnosti funkcije:

Domena:

Razpon vrednosti: .

Funkcija ni omejena od zgoraj: , čeprav počasi, vendar gre veja logaritma v neskončnost.
Oglejmo si obnašanje funkcije blizu ničle na desni: . Torej je os navpična asimptota za graf funkcije, ko se "x" nagiba k ničli z desne.

Nujno je poznati in zapomniti tipično vrednost logaritma: .

Načeloma je graf logaritma na osnovi enak: , , (decimalni logaritem na osnovi 10) itd. Poleg tega večja kot je osnova, bolj ploščat bo graf.

Primera ne bomo obravnavali; ne spomnim se, kdaj sem nazadnje zgradil graf s takšno osnovo. In zdi se, da je logaritem zelo redek gost v problemih višje matematike.

Na koncu tega odstavka bom povedal še eno dejstvo: Eksponentna funkcija in logaritemska funkcija– to sta dve medsebojno inverzni funkciji. Če natančno pogledate graf logaritma, lahko vidite, da je to isti eksponent, le da se nahaja nekoliko drugače.

Grafi trigonometričnih funkcij

Kje se začnejo trigonometrične muke v šoli? Prav. Od sinusa

Narišimo funkcijo

Ta vrstica se imenuje sinusoida.

Naj vas spomnim, da je "pi" iracionalno število: , in v trigonometriji kar zaslepi oči.

Glavne lastnosti funkcije:

Ta funkcija je periodično z obdobjem. Kaj to pomeni? Poglejmo segment. Levo in desno od njega se neskončno ponavlja popolnoma isti del grafa.

Domena: , kar pomeni, da za vsako vrednost "x" obstaja sinusna vrednost.

Razpon vrednosti: . Funkcija je omejeno: , torej vse "igre" so strogo v segmentu .
To se ne zgodi: oziroma, natančneje, zgodi se, vendar te enačbe nimajo rešitve.

Linearna funkcija je funkcija oblike y=kx+b, kjer je x neodvisna spremenljivka, k in b pa poljubni števili.
Graf linearne funkcije je ravna črta.

1. Če želite narisati funkcijski graf, potrebujemo koordinate dveh točk, ki pripadata grafu funkcije. Če jih želite najti, morate vzeti dve vrednosti x, ju nadomestiti v enačbo funkcije in ju uporabiti za izračun ustreznih vrednosti y.

Na primer, če želite narisati funkcijo y= x+2, je priročno vzeti x=0 in x=3, potem bodo ordinate teh točk enake y=2 in y=3. Dobimo točki A(0;2) in B(3;3). Povežimo jih in dobimo graf funkcije y= x+2:

2. V formuli y=kx+b se število k imenuje sorazmernostni koeficient:
če k>0, potem funkcija y=kx+b narašča
če k
Koeficient b prikazuje premik grafa funkcije vzdolž osi OY:
če b>0, dobimo graf funkcije y=kx+b iz grafa funkcije y=kx s premikom b enot navzgor vzdolž osi OY
če b
Spodnja slika prikazuje grafe funkcij y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Upoštevajte, da je v vseh teh funkcijah koeficient k Nad ničlo, in funkcije so povečevanje. Poleg tega večja kot je vrednost k, večji je kot naklona ravne črte v pozitivno smer osi OX.

V vseh funkcijah b=3 - in vidimo, da vsi grafi sekajo os OY v točki (0;3)

Sedaj si oglejmo grafe funkcij y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Tokrat pri vseh funkcijah koeficient k manj kot nič in funkcije se zmanjšujejo. Koeficient b=3, grafa, kot v prejšnjem primeru, sekata os OY v točki (0;3)

Oglejmo si grafe funkcij y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Zdaj so v vseh funkcijskih enačbah koeficienti k enaki 2. In dobili smo tri vzporedne premice.

Toda koeficienti b so različni in ti grafi sekajo os OY na različnih točkah:
Graf funkcije y=2x+3 (b=3) seka os OY v točki (0;3)
Graf funkcije y=2x (b=0) seka os OY v točki (0;0) - izhodišču.
Graf funkcije y=2x-3 (b=-3) seka os OY v točki (0;-3)

Torej, če poznamo predznake koeficientov k in b, potem si lahko takoj predstavljamo, kako izgleda graf funkcije y=kx+b.
če k 0

če k>0 in b>0, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:

če k>0 in b, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:

če k, potem je graf funkcije y=kx+b videti takole:

če k=0, potem se funkcija y=kx+b spremeni v funkcijo y=b in njen graf izgleda takole:

Ordinate vseh točk na grafu funkcije y=b so enake b Če b=0, potem gre graf funkcije y=kx (direktna sorazmernost) skozi izhodišče:

3. Posebej si zapomnimo graf enačbe x=a. Graf te enačbe je premica, vzporedna z osjo OY, katere vse točke imajo absciso x=a.

Na primer, graf enačbe x=3 izgleda takole:
Pozor! Enačba x=a ni funkcija, zato ena vrednost argumenta ustreza različnim vrednostim funkcije, kar pa ne ustreza definiciji funkcije.

4. Pogoj za vzporednost dveh premic:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je vzporeden z grafom funkcije y=k 2 x+b 2, če je k 1 =k 2

5. Pogoj, da sta dve ravni črti pravokotni:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je pravokoten na graf funkcije y=k 2 x+b 2, če je k 1 *k 2 =-1 ali k 1 =-1/k 2

6. Točke presečišča grafa funkcije y=kx+b s koordinatnimi osemi.

Z osjo OY. Abscisa katere koli točke, ki pripada osi OY, je enaka nič. Če želite najti točko presečišča z osjo OY, morate v enačbi funkcije namesto x nadomestiti nič. Dobimo y=b. To pomeni, da ima točka presečišča z osjo OY koordinate (0; b).

Z osjo OX: ordinata katere koli točke, ki pripada osi OX, je nič. Če želite najti točko presečišča z osjo OX, morate v enačbi funkcije namesto y nadomestiti nič. Dobimo 0=kx+b. Zato je x=-b/k. To pomeni, da ima točka presečišča z osjo OX koordinate (-b/k;0):

Funkcija gradnje

Ponujamo vam storitev za izdelavo funkcijskih grafov na spletu, katere vse pravice pripadajo podjetju Desmos. Uporabite levi stolpec za vnos funkcij. Vnesete lahko ročno ali z virtualno tipkovnico na dnu okna. Če želite povečati okno z grafom, lahko skrijete levi stolpec in navidezno tipkovnico.

Prednosti spletnega grafikona

Vizualni prikaz vnesenih funkcij
Grajenje zelo kompleksnih grafov
Izdelava implicitno podanih grafov (na primer elipsa x^2/9+y^2/16=1)
Možnost shranjevanja grafikonov in prejemanja povezave do njih, ki postane na voljo vsem na internetu
Nadzor merila, barve črte
Možnost izrisa grafov po točkah, z uporabo konstant
Risanje več funkcijskih grafov hkrati
Risanje v polarnih koordinatah (uporabite r in θ(\theta))

Z nami je preprosto sestaviti grafikone različnih zahtevnosti na spletu. Gradnja se izvede takoj. Storitev je potrebna za iskanje presečišč funkcij, za upodobitev grafov za nadaljnji premik v Wordov dokument kot ilustracije pri reševanju problemov in za analizo vedenjskih značilnosti funkcijskih grafov. Optimalen brskalnik za delo z grafikoni na tej spletni strani je Google Chrome. Pri uporabi drugih brskalnikov pravilno delovanje ni zagotovljeno.

Šolarji se že na samem začetku učenja algebre soočijo z nalogo sestaviti graf funkcije in ga gradijo iz leta v leto. Začenši od grafa linearne funkcije, za katerega morate poznati samo dve točki, do parabole, ki zahteva že 6 točk, hiperbole in sinusnega vala. Vsako leto postanejo funkcije vse bolj zapletene in njihovih grafov ni več mogoče sestaviti s šablono, temveč je treba izvajati bolj zapletene študije z odpeljankami in limiti.

Ugotovimo, kako najti graf funkcije? Da bi to naredili, začnimo z najpreprostejšimi funkcijami, katerih grafi so narisani točko za točko, nato pa razmislimo o načrtu za izdelavo bolj zapletenih funkcij.

Grafiranje linearne funkcije

Za izdelavo najpreprostejših grafov uporabite tabelo funkcijskih vrednosti. Graf linearne funkcije je ravna črta. Poskusimo poiskati točke na grafu funkcije y=4x+5.

Če želite to narediti, vzemimo dve poljubni vrednosti spremenljivke x, ju eno za drugo nadomestimo v funkcijo, poiščemo vrednost spremenljivke y in vse vnesemo v tabelo.
Vzemite vrednost x=0 in jo nadomestite v funkciji namesto x - 0. Dobimo: y=4*0+5, to je y=5, to vrednost zapišite v tabelo pod 0. Podobno vzemite x= 0, dobimo y=4*1+5, y=9.
Zdaj, če želite zgraditi graf funkcije, morate te točke narisati na koordinatno ravnino. Potem morate narisati ravno črto.

Grafiranje kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija je funkcija oblike y=ax 2 +bx +c, kjer je x spremenljivka, a,b,c so števila (a ni enako 0). Na primer: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.

Za konstruiranje najenostavnejše kvadratne funkcije y=x 2 se običajno vzame 5-7 točk. Vzemimo vrednosti za spremenljivko x: -2, -1, 0, 1, 2 in poiščemo vrednosti y na enak način kot pri izdelavi prvega grafa.

Graf kvadratne funkcije se imenuje parabola. Po konstruiranju grafov funkcij imajo učenci nove naloge, povezane z grafom.

Primer 1: poiščite absciso točke grafa funkcije y=x 2, če je ordinata 9. Za rešitev problema morate namesto y v funkcijo nadomestiti njeno vrednost 9. Dobimo 9=x 2 in rešimo ta enačba. x=3 in x=-3. To je razvidno tudi iz grafa funkcije.

Raziskovanje funkcije in njen izris

Če želite narisati grafe bolj zapletenih funkcij, morate izvesti več korakov, katerih cilj je preučevanje. Za to potrebujete:

Poiščite domeno definicije funkcije. Domena definicije so vse vrednosti, ki jih lahko sprejme spremenljivka x. Tiste točke, kjer imenovalec postane 0 ali radikalni izraz postane negativen, je treba izključiti iz domene definicije.
Nastavite, ali je funkcija soda ali liha. Spomnimo se, da je soda funkcija tista, ki izpolnjuje pogoj f(-x)=f(x). Njegov graf je simetričen glede na Oy. Funkcija bo liha, če izpolnjuje pogoj f(-x)=-f(x). V tem primeru je graf simetričen glede na izvor.
Poiščite presečišča s koordinatnimi osemi. Da bi našli absciso presečišča z osjo Ox, je potrebno rešiti enačbo f(x) = 0 (ordinata je enaka 0). Da bi našli ordinato presečišča z osjo Oy, je treba v funkciji namesto spremenljivke x nadomestiti 0 (abscisa je 0).
Poiščite asimptote funkcije. Asiptota je ravna črta, ki se ji graf neomejeno približuje, vendar je nikoli ne prečka. Ugotovimo, kako najti asimptote grafa funkcije.
- Navpična asimptota premice x=a
- Horizontalna asimptota - premica y=a
- Poševna asimptota - premica oblike y=kx+b
Poiščite ekstremne točke funkcije, intervale naraščanja in padanja funkcije. Poiščimo ekstremne točke funkcije. Če želite to narediti, morate poiskati prvi odvod in ga enačiti z 0. V teh točkah se lahko funkcija spremeni iz naraščajoče v padajočo. Določimo predznak odvoda na vsakem intervalu. Če je odvod pozitiven, potem graf funkcije raste, če je negativen, pa pada.
Poiščite prevojne točke grafa funkcije, intervale konveksnosti navzgor in navzdol.

Iskanje prevojnih točk je zdaj lažje kot kdaj koli prej. Samo najti morate drugo izpeljanko in jo nato enačiti z nič. Nato najdemo predznak drugega odvoda na vsakem intervalu. Če je pozitiven, potem je graf funkcije konveksen navzdol, če je negativen, je konveksen navzgor.

Morda bi bilo koristno prebrati: