Matrislerle eylemler. Matrisler

Matris satırları A biçim satır alanı R(bir T).

Matris sütunları A biçim sütun alanı matrisler ve ile gösterilir R(A).

Bir matrisin çekirdeği veya sıfır uzayı

Denklemin tüm çözümlerinin kümesi Balta=0, Nerede A-m X N-matris, X- uzunluk vektörü N- formlar sıfır uzayı veya çekirdek matrisler A ve ile gösterilir Ker(A) veya Yok(A).

Karşıt matris

Herhangi bir matris için A zıt bir matris var -Aöyle ki A+(-A)=0. Açıkçası, bir matris olarak -A matrisi almalısın (-1 A elemanları elementlerden farklı olan A aşina.

Çarpık simetrik (çarpık simetrik) matris

Bir kare matris, aktarılan matrisinden −1 faktörü kadar farklıysa çarpık simetrik olarak adlandırılır:

Çarpık simetrik bir matriste, ana köşegene göre simetrik olarak yerleştirilmiş herhangi iki eleman birbirinden -1 faktörü kadar farklılık gösterir ve köşegen elemanlar sıfıra eşittir.

Çarpık simetrik matris örneği:

Matris farkı

Farkına göre C iki matris A Ve B aynı boyut eşitlikle belirlenir

İki matris arasındaki farkı belirtmek için aşağıdaki gösterim kullanılır:

Matris derecesi

boyutunda bir kare matris olsun n×n. Daha sonra matrisin derecesi şu şekilde tanımlanır:

burada E birim matristir.

Çarpmanın ilişkisel özelliğinden şu sonuç çıkar:

Nerede p,q- keyfi negatif olmayan tamsayılar.

Simetrik (Simetrik) matris

Koşulu karşılayan matris A=AT simetrik matris denir.

Simetrik matrisler için eşitlik geçerlidir:

a ij =a ji; i=1,2,...n, j=1,2,...n

Lineer Cebir

Matrisler

Matris boyut m x n, m satır ve n sütun içeren dikdörtgen bir sayı tablosudur. Bir matrisi oluşturan sayılara matris elemanları denir.

Matrisler genellikle büyük Latin harfleriyle ve öğeler aynı şekilde, ancak çift indeksli küçük harflerle gösterilir.

Örneğin, 2 x 3'lük bir A matrisini düşünün:

Bu matrisin iki satırı (m = 2) ve üç sütunu (n = 3) vardır, yani. altı öğeden oluşur a ij; burada i satır numarası, j ise sütun numarasıdır. Bu durumda 1'den 2'ye ve birden üçe (yazılı) kadar değerler alır. Yani a 11 = 3; a 12 = 0; a13 = -1; a21 = 0; a22 = 1,5; 23 = 5.

Aynı boyuttaki (m x n) A ve B matrislerine denir eşit, eğer element element çakışıyorlarsa, yani a ij = b ij for , yani. herhangi bir i ve j için ("i, j" yazabilirsiniz).

Matris satırı bir satırdan oluşan bir matristir ve matris-sütun tek sütundan oluşan bir matristir.

Örneğin, bir satır matrisidir ve .

Kare matris n'inci dereceden bir matris olup, satır sayısı sütun sayısına eşit ve n'ye eşittir.

Örneğin ikinci dereceden kare matris.

Diyagonal matris elemanları satır numarası sütun numarasına eşit olan elemanlardır (a ij, i = j). Bu unsurlar oluşur ana diyagonal matrisler. Önceki örnekte ana köşegen a 11 = 3 ve a 22 = 5 elemanlarından oluşuyor.

Diyagonal matris köşegen olmayan tüm elemanların sıfır olduğu bir kare matristir. Örneğin, - üçüncü dereceden diyagonal matris. Tüm köşegen elemanlar bire eşitse matris denir Bekar(genellikle E harfiyle gösterilir). Örneğin, üçüncü dereceden bir birim matristir.

Matris denir hükümsüz, eğer tüm elemanları sıfıra eşitse.

Kare matris denir üçgensel, eğer ana köşegenin altındaki (veya üstündeki) tüm elemanları sıfıra eşitse. Örneğin, - üçüncü dereceden üçgen matris.

Matrisler üzerinde işlemler

Matrisler üzerinde aşağıdaki işlemler yapılabilir:

1. Bir matrisi bir sayıyla çarpmak. A matrisi ile l sayısının çarpımı, herhangi bir i ve j için elemanları b ij = la ij olan B = lA matrisidir.

Örneğin, eğer öyleyse .

2. Matris ekleme. Aynı m x n boyutunda iki A ve B matrisinin toplamı, elemanları "i, j için ij = a ij + b ij olan C = A + B matrisidir.

Örneğin, eğer O

.

Önceki işlemler aracılığıyla kişinin belirleyebileceğini unutmayın. matris çıkarma aynı büyüklükte: fark A-B = A + (-1)*B.

3. Matris çarpımı. M x n boyutunda A matrisinin n x p boyutunda B matrisiyle çarpımı bir C matrisidir; bunun her elemanı ij ile A matrisinin i'inci satırındaki elemanların çarpımlarının karşılık gelen elemanlarının toplamına eşittir. B matrisinin j'inci sütunu, yani. .

Örneğin, eğer

, o zaman çarpım matrisinin boyutu 2 x 3 olacak ve şöyle görünecektir:

Bu durumda A matrisinin B matrisiyle tutarlı olduğu söylenir.

Kare matrisler için çarpma işlemine dayalı olarak işlem tanımlanır üs alma. Bir kare matris A'nın pozitif tam sayı kuvveti A m (m > 1), A'ya eşit m matrislerin çarpımıdır;

Matrislerin toplama (çıkarma) ve çarpımının herhangi iki matris için tanımlanmadığını, yalnızca boyutlarına ilişkin belirli gereksinimleri karşılayan matrisler için tanımlandığını vurguluyoruz. Matrislerin toplamını veya farkını bulmak için boyutlarının aynı olması gerekir. Matrislerin çarpımını bulmak için, birincisinin sütun sayısı ikincinin satır sayısıyla aynı olmalıdır (bu tür matrislere matris denir) üzerinde anlaşmaya varıldı).

Sayılarla ilgili işlemlerin özelliklerine benzer şekilde, ele alınan işlemlerin bazı özelliklerini ele alalım.

1) Değişmeli (değişmeli) toplama kanunu:

Bir + B = B + bir

2) Birleştirici (birleştirici) toplama yasası:

(A + B) + C = Bir + (B + C)

3) Toplama işlemine göre dağıtım (dağıtım) çarpma yasası:

l(A + B) = lA + lb

bir (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Birleşimli (birleştirici) çarpma yasası:

l(AB) = (lA)B = A(lB)

A(BC) = (AB)C

Matrisler için değişmeli çarpma yasasının genel durumda karşılanmadığını vurguluyoruz; AB¹BA. Üstelik AB'nin varlığı mutlaka BA'nın da varlığı anlamına gelmez (matrisler tutarlı olmayabilir ve bu durumda bunların çarpımı, yukarıdaki matris çarpımı örneğinde olduğu gibi hiç tanımlanmayabilir). Ancak her iki eser de mevcut olsa bile genellikle farklıdırlar.

Özel bir durumda, herhangi bir A kare matrisinin ve aynı dereceden bir birim matrisin çarpımı bir değişme yasasına sahiptir ve bu çarpım A'ya eşittir (burada birim matris ile çarpma, sayıları çarparken bir ile çarpmaya benzer):

AE = EA = Bir

Aslında,

Matris çarpımı ile sayı çarpımı arasındaki bir farkı daha vurgulayalım. Sayılardan oluşan bir çarpım, ancak ve ancak en az birinin sıfıra eşit olması durumunda sıfıra eşit olabilir. Bu matrisler hakkında söylenemez, yani. sıfır olmayan matrislerin çarpımı sıfır matrise eşit olabilir. Örneğin,

Matrisler üzerindeki işlemlere devam edelim.

4. Matris Transpozu m x n boyutunda bir A matrisinden, satır ve sütunların yer değiştirdiği n x m boyutunda bir A T matrisine geçiş işlemini temsil eder:

%.

Devrik işleminin özellikleri:

1) Tanımdan, matrisin iki kez transpoze edilmesi durumunda orijinal matrise döndüğümüz anlaşılmaktadır: (A T) T = A.

2) Sabit faktör, aktarma işaretinden çıkarılabilir: (lA) T = lA T .

3) Transpoze, matris çarpımına ve toplamaya göre dağılımlıdır: (AB) T = B T A T ve (A + B) T = B T + A T .

Matris belirleyicileri

Her A kare matrisi için bir |A| sayısı eklenir ve buna denir. belirleyici. Bazen D harfiyle de belirtilir.

Bu kavram bir dizi pratik problemin çözümü için önemlidir. Hesaplama yöntemiyle tanımlayalım.

Birinci dereceden bir A matrisinin determinantı tek elemanı |A| = D 1 = a 11 .

İkinci dereceden bir A matrisinin determinantı |A| formülü kullanılarak hesaplanan sayıdır. = D 2 = a 11 * a 22 – a 21 * a 12

Üçüncü dereceden bir matris A için determinantı, formül kullanılarak hesaplanan sayıdır.

Her biri matrisin her satırından ve her sütunundan tam olarak bir eleman içeren 6 terimden oluşan cebirsel bir toplamı temsil eder. Determinant formülünü hatırlamak için üçgen kuralı veya Sarrus kuralı olarak adlandırılan kuralın kullanılması gelenekseldir (Şekil 6.1).

Şekil 6.1'de, soldaki diyagram artı işaretli terimler için elemanların nasıl seçileceğini göstermektedir - bunlar ana köşegen üzerinde ve tabanları ona paralel olan ikizkenar üçgenlerin köşelerinde bulunur. Soldaki diyagram eksi işaretli terimler için kullanılmıştır; üzerinde ana köşegen yerine yan köşegen adı verilen köşegen alınır.

Daha yüksek derecelerin belirleyicileri tekrar tekrar hesaplanır; üçüncü dereceden bir determinant aracılığıyla dördüncü dereceden bir determinant, dördüncü dereceden bir determinant aracılığıyla beşinci dereceden bir determinant, vb. Bu yöntemi tanımlamak için, bir matris elemanının küçük ve cebirsel tamamlayıcısı kavramlarını tanıtmak gerekir (aşağıda tartışılacak olan yöntemin kendisinin de üçüncü ve ikinci dereceden determinantlar için uygun olduğunu hemen not ederiz).

Küçük N'inci dereceden bir matrisin a ij elemanının M ij'sine, A matrisinden i'inci satırın ve j'inci sütunun silinmesiyle elde edilen (n-1)'inci dereceden bir matrisin determinantı denir.

N'inci dereceden her matris, (n-1)'inci dereceden n 2 minöre sahiptir.

Cebirsel tamamlayıcı Bir elemanın ij'sine ve n'inci mertebeden bir matrisin ij'sine onun küçük değeri denir ve (-1) (i+ j) işaretiyle alınır:

A ij = (-1) (i+ j) *M ij

Tanımdan, satır ve sütun sayılarının toplamı çift ise A ij = M ij ve tek ise A ij = -M ij olduğu anlaşılmaktadır.

Örneğin, eğer , O ; vesaire.

Determinant hesaplama yöntemişu şekildedir: bir kare matrisin determinantı, herhangi bir satırın (sütun) elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamına eşittir:

(i'inci satırın elemanlarına göre ayrıştırma; );

(j'inci sütunun elemanlarına göre ayrıştırma; ).

Örneğin,

Genel durumda bir üçgen matrisin determinantının ana köşegen elemanlarının çarpımına eşit olduğunu unutmayın.

Determinantların temel özelliklerini formüle edelim.

1. Matrisin herhangi bir satırı veya sütunu yalnızca sıfırlardan oluşuyorsa, determinant 0'a eşittir (hesaplama yönteminden gelir).

2. Bir matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanları aynı sayı ile çarpılırsa, determinantı da bu sayı ile çarpılacaktır (ayrıca hesaplama yönteminden de anlaşılmaktadır - ortak faktör cebirsel hesaplamayı etkilemez) eklemeler ve diğer tüm terimler tam olarak bu sayıyla çarpılır).

Not: Determinantın işareti bir satırın veya sütunun ortak faktörü olarak alınabilir (işareti tüm elemanlarının ortak faktörü olarak alınabilen bir matrisin aksine). Örneğin, ancak .

3. Bir matrisin transpozisyonunu yaparken determinantı değişmez: |A T | = |A| (ispatı yapmayacağız).

4. Bir matrisin iki satırı (sütunları) yer değiştirdiğinde, determinantının işareti ters yönde değişir.

Bu özelliği kanıtlamak için öncelikle matrisin iki bitişik satırının yeniden düzenlendiğini varsayalım: i-th ve (i+1)-th. Orijinal matrisin determinantını hesaplamak için, i'inci satır boyunca ve yeni matrisin determinantı için (satırları yeniden düzenlenmiş) - (i+1)'inci satır boyunca (içinde aynı olan) genişletme gerçekleştiririz. , yani element element çakışıyor). Daha sonra, ikinci determinantı hesaplarken, (-1)'in (i + j) kuvvetine değil (i + 1+ j) kuvvetine yükseltilmesi nedeniyle her cebirsel toplamanın zıt işareti olacaktır; aksi takdirde formüller farklı olmayacaktır. Böylece determinantın işareti ters yönde değişecektir.

Şimdi, bitişik değil, ancak iki keyfi satırın yeniden düzenlendiğini varsayalım, örneğin i-th ve (i+t)-th. Böyle bir permütasyon, i'inci satırın t satır aşağı ve (i+t)'inci satırın (t-1) satır yukarı sıralı kayması olarak temsil edilebilir. Bu durumda determinantın işareti (t + t – 1) = 2t – 1 defa değişecektir; tek sayıda. Bu nedenle eninde sonunda tersine dönecektir.

Sütunlar için de benzer mantık değiştirilebilir.

5. Bir matris iki özdeş satır (sütun) içeriyorsa determinantı 0'dır.

Aslında, eğer aynı satırlar (sütunlar) yeniden düzenlenirse, aynı determinantlara sahip aynı matris elde edilecektir. Öte yandan önceki özelliğe göre işaret değiştirmesi gerekir, yani. D = -DÛ D = 0.

6. Matrisin iki satırının (sütunlarının) elemanları orantılıysa, determinant 0'a eşittir.

Bu özellik önceki özelliğe dayanmaktadır ve ortak faktörü parantez içine almaktadır (orantı katsayısı parantez içine alındıktan sonra matriste aynı satır veya sütunlar olacaktır ve bunun sonucunda bu katsayı sıfırla çarpılacaktır).

7. Bir matrisin herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarının, aynı matrisin başka bir satırının (sütununun) elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamı her zaman 0'a eşittir: i ¹ j için.

Bu özelliği kanıtlamak için A matrisindeki j'inci satırın i'inci satırla değiştirilmesi yeterlidir. Ortaya çıkan matrisin iki özdeş satırı olacaktır, dolayısıyla determinantı 0'dır. Öte yandan j'inci satırın elemanları ayrıştırılarak da hesaplanabilir: .

8. Matrisin bir satır veya sütununun elemanlarına aynı sayı ile çarpılan başka bir satırın (sütun) elemanları eklenirse matrisin determinantı değişmez.

Aslında, j'inci satırın elemanlarının l ile çarpılmasıyla i'inci satırın elemanlarına eklenelim. Daha sonra yeni i'inci satırın elemanları şu şekli alacaktır:
(a ik + la jk , "k) i'inci satırın elemanlarını ayrıştırarak yeni matrisin determinantını hesaplayalım (elemanlarının cebirsel toplamlarının değişmeyeceğini unutmayın):

Bu determinantın orijinal matrisin determinantından farklı olmadığını bulduk.

9. Matrislerin çarpımının determinantı, determinantlarının çarpımına eşittir: |AB| = |A| * |B| (ispatı yapmayacağız).

Belirleyicilerin yukarıda tartışılan özellikleri, hesaplamalarını basitleştirmek için kullanılır. Genellikle matrisi, herhangi bir sütun veya satırın mümkün olduğu kadar çok sıfır içereceği bir forma dönüştürmeye çalışırlar. Bundan sonra determinant bu satır veya sütuna genişletilerek kolaylıkla bulunabilir.

ters matris

Matris A-1 denir tersi A kare matrisine göre, bu matrisi hem sağda hem de solda A matrisiyle çarptığınızda kimlik matrisi elde edilirse: A -1 * A = A * A -1 = E.

Tanımdan, ters matrisin, A matrisiyle aynı dereceden bir kare matris olduğu anlaşılmaktadır.

Ters matris kavramının ters sayı kavramına benzer olduğu belirtilebilir (bu, belirli bir sayıyla çarpıldığında bir veren bir sayıdır: a*a -1 = a*(1/ a) = 1).

Sıfır dışındaki tüm sayıların karşılıklılıkları vardır.

Bir kare matrisin tersinin olup olmadığı sorusunu çözmek için determinantını bulmak gerekir. Bir matrisin determinantı sıfır ise, böyle bir matris denir dejenere, veya özel.

Ters bir matrisin varlığı için gerekli ve yeterli bir koşul: ters matris, yalnızca orijinal matrisin tekil olmaması durumunda mevcuttur ve benzersizdir.

Gerekliliğini kanıtlayalım. A matrisinin ters A-1 matrisine sahip olmasına izin verin, yani. A -1 * A = E. Sonra |A -1 * A| = |A-1 | * |A| = |E| = 1. Bu nedenle,
|A| 0 numara.

Yeterliliğini kanıtlayalım. Bunu kanıtlamak için, tekil olmayan bir matrise her zaman uygulayabileceğimiz ters matrisi hesaplamak için bir yöntem tanımlamamız yeterlidir.

O halde |A| olsun ¹ 0. A matrisinin yerini değiştiriyoruz. Her A T elemanı için cebirsel bir tümleyen buluyoruz ve onlardan bir matris oluşturuyoruz. ilhak edilmiş(karşılıklı, müttefik): .

Eş matris ile orijinal matrisin çarpımını bulalım. Aldık . Dolayısıyla B matrisi köşegendir. Ana köşegeninde orijinal matrisin determinantları vardır ve diğer tüm elemanlar sıfırdır:

Benzer şekilde şu da gösterilebilir.

Matrisin tüm elemanlarını |A|'ya bölerseniz birim matris E'yi elde edersiniz.

Böylece yani .

Ters matrisin tekliğini kanıtlayalım. A için A -1'den farklı başka bir ters matrisin olduğunu varsayalım. X olarak gösterelim. O zaman A*X = E. Eşitliğin her iki tarafını da soldaki A-1 ile çarpalım.

A -1 * A * X = A -1 * E

Benzersizliği kanıtlanmıştır.

Dolayısıyla, ters matrisi hesaplamaya yönelik algoritma aşağıdaki adımlardan oluşur:

1. |A| matrisinin determinantını bulun. . Eğer |A| = 0 ise A matrisi tekildir ve ters matris bulunamaz. Eğer |A| ¹ 0, ardından bir sonraki adıma geçin.

2. Transpoze edilmiş A T matrisini oluşturun.

3. Yer değiştiren matrisin elemanlarının cebirsel tümleyenlerini bulun ve ek matrisi oluşturun.

4. Ek matrisi |A|'ya bölerek ters matrisi hesaplayın.

5. Ters matris hesaplamasının doğruluğunu tanıma göre kontrol edebilirsiniz: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Üçgen kuralını kullanarak bu matrisin determinantını bulun:

Kontrolü atlayalım.

Matris ters çevirmenin aşağıdaki özellikleri kanıtlanabilir:

1) |A-1 | = 1/|A|

2) (A-1)-1 = A

3) (Am) -1 = (A-1)m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T = (AT) -1

Matris sıralaması

Küçük k'inci sıra m x n boyutundaki A matrislerine, A matrisinden tüm satır ve sütunların silinmesiyle elde edilen k'inci dereceden bir kare matrisin determinantı denir.

Tanımdan, küçüğün sırasının kendi boyutlarından daha küçüğünü aşmadığı anlaşılmaktadır; k £ dk (m; n). Örneğin, 5x3'lük bir A matrisinden birinci, ikinci ve üçüncü dereceden kare alt matrisler elde edebilirsiniz (buna göre bu derecelerin küçüklerini hesaplayın).

Rütbe matrisler, bu matrisin sıfır olmayan küçüklerinin en yüksek derecesidir (rank A veya r(A) ile gösterilir).

Tanımdan şu sonuç çıkıyor

1) matrisin sırası, boyutlarından daha küçük olanı aşmaz, yani.
r(A) £ dk (m; n);

2) r(A) = 0 ancak ve ancak matris sıfırsa (matrisin tüm elemanları sıfıra eşittir), yani. r(A) = 0 Û A = 0;

3) n'inci dereceden bir kare matris için r(A) = n ancak ve ancak bu A matrisi tekil değilse, yani r(A) = n Û |A| 0 numara.

Aslında, bunu yapmak için, yalnızca böyle bir küçük (üçüncü sütunun üzerini çizerek elde edilen) hesaplamak yeterlidir (çünkü geri kalanı sıfır üçüncü sütuna sahip olacaktır ve bu nedenle sıfıra eşittir).

Üçgen kuralına göre = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Üçüncü dereceden tüm küçükler sıfır olduğundan, r(A) £ 2. Sıfır olmayan ikinci dereceden bir küçük var olduğundan, örneğin,

Açıkçası, kullandığımız yöntemler (her türlü reşit olmayanlar dikkate alınarak), karmaşıklıklarının yüksek olması nedeniyle daha karmaşık vakalarda sıralamanın belirlenmesi için uygun değildir. Genellikle bir matrisin rütbesini bulmak için bazı dönüşümler kullanılır. temel:

1). Boş satırlar (sütunlar) atılıyor.

2). Bir matrisin satır veya sütununun tüm elemanlarının sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması.

3). Bir matrisin satırlarının (sütunlarının) sırasını değiştirme.

4). Bir satırın (sütun) her bir öğesine, başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğelerinin herhangi bir sayıyla çarpılmasıyla eklenmesi.

5). Transpozisyon.

A matrisi B matrisinden temel dönüşümlerle elde ediliyorsa, bu matrislere denir. eş değer ve A ~ B'yi belirtin.

Teorem. Temel matris dönüşümleri sırasını değiştirmez.

Teoremin kanıtı matrisin determinantının özelliklerinden kaynaklanır. Aslında bu dönüşümler sırasında kare matrislerin determinantları ya korunur ya da sıfıra eşit olmayan bir sayı ile çarpılır. Sonuç olarak, orijinal matrisin sıfırdan farklı küçüklerinin en yüksek sırası aynı kalır; rütbesi değişmez.

Temel dönüşümler kullanılarak matris, aşamalı olarak adlandırılan forma getirilir (dönüştürülür) adım matrisi), yani. eşdeğer matriste ana köşegenin altında yalnızca sıfır elemanların ve ana köşegen üzerinde sıfır olmayan elemanların olmasını sağlarlar:

Bir adım matrisinin rütbesi r'ye eşittir, çünkü (r + 1)'den başlayarak sütunları silerek, determinantı olmayan r'inci dereceden bir üçgen matris elde edilebilir. sıfır, sıfır olmayan elemanların çarpımı olacağından (dolayısıyla sıfıra eşit olmayan r'inci dereceden bir minör vardır):

Örnek. Bir matrisin rütbesini bulun

1). Eğer a 11 = 0 ise (bizim durumumuzda olduğu gibi), o zaman satırları veya sütunları yeniden düzenleyerek a 11 ¹ 0 olmasını sağlayacağız. Burada matrisin 1. ve 2. satırlarını değiştiriyoruz:

2). Şimdi 11 ¹ 0. Temel dönüşümleri kullanarak, ilk sütundaki diğer tüm elemanların sıfıra eşit olmasını sağlayacağız. İkinci satırda a 21 = 0. Üçüncü satırda a 31 = -4. (-4) yerine 0 olması için, üçüncü satıra ilk satırın 2 ile çarpılmasını ekleyin (yani (-a 31 / a 11) = -(-4)/2 =
= 2). Benzer şekilde dördüncü satıra ilk satırı ekliyoruz (birle çarparak, yani (-a 41 /a 11) = -(-2)/2 = 1).

3). Ortaya çıkan matriste a 22 ¹ 0 (a 22 = 0 ise satırlar yeniden düzenlenebilir). İkinci sütunda köşegenin altında da sıfırların olmasına dikkat edelim. Bunu yapmak için ikinci satırı 3. ve 4. satırlara -3 ile çarparak ekleyin ((-a 32 /a 22) = (-a 42 /a 22) = -(-3)/(-1) = - 3):

4). Ortaya çıkan matriste son iki satır sıfırdır ve bunlar atılabilir:

İki satırdan oluşan bir adım matrisi elde edilir. Bu nedenle r(A) = 2.

Okumak faydalı olabilir:

• Rusya'da demografik durumun analizi ve işgücü kaynaklarının kullanımının değerlendirilmesi Son yıllarda doğum oranındaki artışı ne açıklıyor?;
• Çağımızın demografik sorunları;
• Sosyo-demografik sorunlar;
• Nüfusun doğal büyümesi ve çoğalması Nüfusun mekanik hareketi;
• Sol menüyü aç Sibirya Doğu Sibirya'da nüfusu bir milyonun üzerinde olan kaç şehir var;
• Valilerin borç açığı Bölgesel borç yükünün derecesi;
• İnşaat Bakanlığı kamu hizmetleriyle ilgili yeni açıklamalar yaptı;
• Vatandaşların, binaların ve yapıların bahçecilik (dacha) birliklerinin bölgelerinin planlanması ve geliştirilmesi;