Tahtada 100 farklı tamsayı yazılıdır.

Yayınlanma tarihi: 03/14/2018


5 (%100) 1 oy

Tahtaya 100 farklı şey yazılıyor doğal sayılar ve bu sayıların toplamının 5120 olduğu biliniyor.

a) Tahtaya 230 sayısı yazılabilir mi?

b) Tahtada 14 sayısının yazılmaması mümkün mü?

c) Tahtada yazılı olan 14'e bölünebilen en küçük sayı kaçtır?

Nasıl çözülür? Tercihen tüm harflerin altında.

matematik,

eğitim

cevap

Yorum

Favorilere

Üzüntü

2 dakika önce

A) Tutarın en küçük olacağı seçeneği hesaplayalım. Doğal olarak bu sadece ilk yüz sayının toplamıdır, yani. 1+2+3…+100 . Sıralayarak hesaplayabilir veya "formülünü kullanabilirsiniz" miktarlar aritmetik ilerleme ".

Şimdi miktarı hesaplayalım. S100=((1+100)/2)*1-00=5050;

Bir şekilde serimizdeki herhangi bir sayıyı şununla değiştirmeyi denemeliyiz: 230 . Koşulda belirtilen miktardan ne kadar eksik olduğumuzu bulalım: 5120-5050=70 evet serimizdeki en büyük sayı neydi? Sağ, 100 . Serimizdeki herhangi bir sayıyı değiştirebileceğimiz en büyük sayının şu olduğu ortaya çıktı: 170 . Yani sayılar 230 arka arkaya olamaz.

Cevapsız;

B) Aynı satırı ele alalım, 1'den 100'e kadar, ama numarayı oradan kaldıralım 14 ve onu başka biriyle değiştirmeye çalışın. Örneğin en küçük sayıyı almaya çalışalım 100 , yani 101 ve yerine birini koyacağız. İlk yüz sayının toplamı onu bulduk, yani onu değiştirmek için ihtiyacımız var bundan 14 çıkar Ve yeni değer katma 101: 5050-14+101=5137 -. Ne yazık ki koşul, miktarın şuna eşit olduğunu söylüyor: 5120 bu nedenle, ne yazık ki, 14 sayısını listemizden çıkaramayız.

Cevap: b) Hayır;

V) Katlı olan tüm sayıları bulalım 14 bizim serimizden ( 1'den 100'e kadar). Birden fazla değer bulmanın birçok yolu vardır, ancak bizim durumumuzda sayı o kadar büyük değil, bunları manuel olarak inceleyebilirsiniz, toplama yoluyla bir dizi elde ederiz: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 . 14'ün katı olan sadece 7 sayı vardır. Şimdi bunları daha fazlasıyla değiştirmeye çalışalım büyük değerler 14'ün katı değil, çünkü üzerinde şu an, tutarımız 5050. En büyük katı, kullanılmayan en küçük katla değiştirin: 98'den 101'e;

Toplamımız şu şekilde olacaktır: (101-98)+5050=5053- ;

Toplam: (102-84)+5053=5071-;

Hala yer var, devam edelim. 70'i 103 ile değiştirin;

Toplam: (103-70)+5071=5104-;

5104 , Hala 5120'den az, o halde devam edelim. 56'yı 104 ile değiştirin;

Toplam: (104-56)+5104=5152-;

Gereğinden fazlası ortaya çıktı yani gerekli olduğu anlamına geliyor

Tahtada toplamları 5120 olan 100 farklı doğal sayı yazılıdır.

a) 230 sayısı yazılabilir mi?

b) 14 sayısı olmadan yapmak mümkün mü?

c) Tahtada bulunabilecek 14'e bölünebilen en küçük sayı kaçtır?

Çözüm.

a) Tahtaya 230 sayısı ve 99 farklı doğal sayı yazılsın. 99 farklı doğal sayının toplamının minimum olması koşuluyla tahtadaki mümkün olan minimum sayı toplamına ulaşılır. Ve bu da, 99 farklı doğal sayının ilk terimi ve farkı olan bir aritmetik ilerleme olması durumunda mümkündür. Aritmetik ilerlemenin toplamı formülüne göre bu sayıların toplamı şöyle olacaktır:

Tahtadaki tüm sayıların toplamı Sşuna eşit olacaktır:

Ortaya çıkan toplamın 5120'den büyük olduğunu görmek kolaydır, bu da 230 dahil 100 farklı doğal sayının herhangi bir toplamının 5120'den büyük olduğu anlamına gelir, dolayısıyla 230 sayısı tahtada olamaz.

b) Tahtaya 14 sayısı yazılmasın, bu durumda mümkün olan en az miktar. S Tahtadaki sayılar aritmetik ilerlemelerin iki toplamından oluşacaktır: ilk terimle ilerlemenin ilk 13 teriminin toplamı, fark (yani 1,2,3,..13 serisi) ve ilk terim ile ilerlemenin ilk 87 terimi, fark (yani 15,16,17,..101 dizisi). Bu miktarı bulalım:

Ortaya çıkan toplamın 5120'den büyük olduğunu görmek kolaydır; bu, aralarında 14'ün olmadığı 100 farklı doğal sayının herhangi bir toplamının 5120'den büyük olduğu anlamına gelir, bu nedenle 14 sayısı olmadan yapmak imkansızdır. pano.

c) Tahtaya 1'den 100'e kadar tüm sayıların yazıldığını varsayalım. Daha sonra elde edilen serinin ilk terimi olan farkla bir aritmetik ilerleme oluşturduğu ortaya çıkar. Tahtadaki tüm sayıların toplamını buluyoruz:

Ortaya çıkan miktar sorunun koşullarını karşılamıyor. Şimdi tahtada yazılı tüm sayıların toplamını koşulda belirtilen sayıya çıkarmak için 14'ün katları olan sayıları yüzden sonraki diğer sayılarla değiştirmeye çalışalım: 70'i 110, 84'ü 104, 84'ü 104 ile değiştirelim. 98 ile 108. Ortaya çıkan toplam Sşuna eşit olacaktır:

14'ün katı olan sayıların 100'den büyük sayılarla değiştirilmesi durumunda toplam artacak ve problemin koşullarına uymayacaktır. Yani 14'ün en küçük katı sayısı 4'tür.

c) noktasına başka bir çözüm verelim.

Tahtaya 14'ün katı olan dört sayının (14, 28, 42, 56) yazılmasına bir örnek verelim:

1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.

14'ün katı olan üç sayının olamayacağını kanıtlayalım. 14'ün katı olan sayıların maksimum sayısını çıkarmak için yeni ve eski sayılar arasındaki farkların minimum olması gerekir. Yani, 14'ün katları olan en büyük sayıları yüzden büyük mümkün olan en küçük sayılarla değiştirmeniz gerekir. 14'ün katı olan sayıların sayısı 3 olsun. Bu durumda tahtaya yazılan sayıların minimum toplamı:

Ortaya çıkan toplam 5120'den büyüktür. 14'ün katı olan sayılar 100'den büyük sayılarla değiştirildiğinde toplam artacaktır, bu da tahtada 14'ün katı olan dörtten az sayı olamayacağı anlamına gelir.

A) Hayır b) Hayır c) 4.

“A Alın” video kursu başarılı olmak için gerekli tüm konuları içerir Birleşik Devlet Sınavını geçmek matematikte 60-65 puan. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Görsel açıklama karmaşık kavramlar. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

İş kaynağı: Çözüm 3754. Birleşik Devlet Sınavı 2016. Matematik, I. V. Yashchenko. Tipik test görevlerinin 30 çeşidi.

Görev 19. Tahtaya her biri 40'ı geçmeyen 20 doğal sayı (farklı olması gerekmiyor) yazıldı. Bazı sayıların (muhtemelen bir) yerine tahtaya orijinalinden birer küçük sayılar yazıldı. Daha sonra 0'a eşit olduğu ortaya çıkan sayılar tahtadan silindi.

a) Tahtadaki sayıların aritmetik ortalamasının arttığı ortaya çıkabilir mi?

b) Başlangıçta yazılan sayıların aritmetik ortalaması 27'dir. Tahtada kalan sayıların aritmetik ortalaması 34'e eşit olabilir mi?

c) Başlangıçta yazılan sayıların aritmetik ortalaması 27'dir. Tahtada kalan sayıların aritmetik ortalamasının mümkün olan en büyük değerini bulun.

Çözüm.

A) Evet belki mesela 19 sayıyı 10'a ve 20'nci sayıyı 1'e eşitlersek, o zaman 20'nci sayıyı 1 azaltınca 0 olur ve ortalama değer artık 20 sayı değil 19 olur, o zaman elimizde:

Başlangıç ​​ortalaması: ;

Değişiklikten sonraki ortalama değer: .

Gördüğünüz gibi ikinci ortalama değer orijinal değerden daha büyük hale geldi.

B) Bu koşulu yerine getirmek için birimleri almanız, ardından sayıları ve bir sayıyı alarak toplam 20 sayıya ihtiyacınız olduğunu varsayalım. Aritmetik ortalamaları şuna eşit olacaktır:

,

ve almanız gereken birimleri sildikten sonra

,

yani bir denklem sistemimiz var:

Birinci denklemden ikinciyi çıkardığımızda şunu elde ederiz:

Dolayısıyla bu paragrafın şartlarını yerine getirmek için kesirli sayıda sayı almanız gerekir ki bu, bu görev çerçevesinde imkansızdır.

Cevap: HAYIR.

V) Tahtada kalan sayıların maksimum ortalamasını elde etmek için önce aşağıdakilerden oluşan bir sayı dizisi yazmanız gerekir: en büyük sayı birimler (daha sonra tahtadan silinecektir) ve kalan sayılar maksimum olmalıdır. Bu koşulu forma yazalım.

,

birim sayısı nerede; - 20. sayı (ortalamanın 27 olmasını sağlayacak şekilde seçilmiştir). Buradan elimizde:

Ortaya çıkan ifadeden maksimum değeri elde ettiğimiz minimum değerin olduğu açıktır. Böylece toplamı şuna eşit olan bir sayı dizimiz var:



 

Okumak faydalı olabilir: