İlerleme farkı nedir? Aritmetik ilerleme nasıl bulunur? Çözümlü aritmetik ilerleme örnekleri

Birçoğu aritmetik ilerlemeyi duymuştur, ancak herkes bunun ne olduğunun tam olarak farkında değildir. Bu yazıda ilgili tanımı vereceğiz ve ayrıca bir aritmetik ilerlemenin farkının nasıl bulunacağı sorusunu ele alacağız ve birkaç örnek vereceğiz.

matematiksel tanım

Dolayısıyla, aritmetik veya cebirsel bir ilerlemeden bahsediyorsak (bu kavramlar aynı şeyi tanımlar), o zaman bu, aşağıdaki yasayı karşılayan bazı sayı serileri olduğu anlamına gelir: serideki her iki bitişik sayı aynı değerde farklılık gösterir. Matematiksel olarak, bu şöyle yazılır:

Burada n, dizideki a n öğesinin sayısı anlamına gelir ve d sayısı, ilerlemenin farkıdır (adını sunulan formülden alır).

d farkını bilmek ne anlama geliyor? Bitişik sayıların birbirinden ne kadar uzakta olduğu hakkında. Bununla birlikte, d'nin bilgisi, tüm ilerlemeyi belirlemek (geri yüklemek) için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Söz konusu dizinin kesinlikle herhangi bir öğesi olabilen bir sayı daha bilmeniz gerekir, örneğin 4, a10, ancak kural olarak ilk sayı, yani 1 kullanılır.

İlerleme unsurlarını belirlemek için formüller

Genel olarak, yukarıdaki bilgiler belirli sorunları çözmeye geçmek için zaten yeterlidir. Bununla birlikte, bir aritmetik ilerleme verilmeden önce ve farkını bulmak gerekecek, birkaç yararlı formül sunuyoruz, böylece sonraki problem çözme sürecini kolaylaştırıyoruz.

Dizinin n numaralı herhangi bir elemanının aşağıdaki gibi bulunabileceğini göstermek kolaydır:

bir n \u003d bir 1 + (n - 1) * d

Aslında, herkes bu formülü basit bir numaralandırma ile kontrol edebilir: n = 1 yerine koyarsak, o zaman ilk elemanı elde ederiz, n = 2 yerine koyarsak, o zaman ifade ilk sayının ve farkın toplamını verir, vb.

Pek çok sorunun koşulları, sayıları da dizide verilen bilinen bir sayı çifti için tüm sayı serisini geri yüklemek (farkı ve ilk öğeyi bulmak) gerekli olacak şekilde derlenir. Şimdi bu sorunu genel bir şekilde çözeceğiz.

Diyelim ki bize n ve m numaralı iki element verildi. Yukarıda elde edilen formülü kullanarak, iki denklemden oluşan bir sistem oluşturabiliriz:

n \u003d 1 + (n - 1) * d;

bir m = bir 1 + (m - 1) * d

Bilinmeyen miktarları bulmak için, böyle bir sistemi çözmek için iyi bilinen basit bir yöntem kullanırız: eşitlik geçerli kalırken sol ve sağ parçaları çiftler halinde çıkarırız. Sahibiz:

n \u003d 1 + (n - 1) * d;

bir n - bir m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Böylece bir bilinmeyeni (a 1) elemiş olduk. Şimdi d'yi belirlemek için son ifadeyi yazabiliriz:

d = (bir n - bir m) / (n - m), burada n > m

Çok basit bir formül elde ettik: problemin koşullarına göre d farkını hesaplamak için, sadece elemanların kendi aralarındaki farkların ve sıra numaralarının oranını almak gerekir. Önemli bir noktaya dikkat edilmelidir: "kıdemli" ve "genç" üyeler arasındaki farklar alınır, yani n\u003e m ("kıdemli" - dizinin başlangıcından daha uzakta durmak anlamına gelir, mutlak değeri az ya da çok "genç" unsur olun).

İlk terimin değerini elde etmek için, ilerlemenin d farkının ifadesi, problemin çözümünün başlangıcında denklemlerden herhangi birine yerleştirilmelidir.

Bilgisayar teknolojisi geliştirme çağımızda, birçok okul çocuğu görevleri için İnternet'te çözümler bulmaya çalışır, bu nedenle bu tür sorular sıklıkla ortaya çıkar: çevrimiçi bir aritmetik ilerlemenin farkını bulun. Böyle bir istek üzerine, arama motoru, koşuldan bilinen verileri girmeniz gereken bir dizi web sayfası görüntüleyecektir (bu, ilerlemenin iki üyesi veya bazılarının toplamı olabilir) ) ve anında bir cevap alın. Bununla birlikte, sorunu çözmeye yönelik böyle bir yaklaşım, öğrencinin gelişimi ve kendisine verilen görevin özünü anlaması açısından verimsizdir.

Formül kullanmadan çözüm

Yukarıdaki formüllerin hiçbirini kullanmayacakken ilk sorunu çözelim. Serinin elemanları verilsin: a6 = 3, a9 = 18. Aritmetik dizinin farkını bulun.

Bilinen elemanlar üst üste birbirine yakındır. En büyüğü elde etmek için d farkının en küçüğüne kaç kez eklenmesi gerekir? Üç kez (ilk kez d ekleyerek, 7. öğeyi elde ederiz, ikinci kez - sekizinci, son olarak, üçüncü kez - dokuzuncu). 18'i elde etmek için hangi sayının üçe üç kez eklenmesi gerekir? Bu beş numara. Gerçekten mi:

Böylece, bilinmeyen fark d = 5'tir.

Elbette uygun formül kullanılarak çözüm yapılabilirdi, ancak bu kasıtlı olarak yapılmadı. Sorunun çözümünün ayrıntılı bir açıklaması, aritmetik ilerlemenin ne olduğunun açık ve canlı bir örneği haline gelmelidir.

Bir öncekine benzer bir görev

Şimdi benzer bir sorunu çözelim, ancak giriş verilerini değiştirelim. Yani, a3 = 2, a9 = 19 olup olmadığını bulmalısınız.

Elbette yine "alnından" çözme yöntemine başvurabilirsiniz. Ancak serinin nispeten uzak olan öğeleri verildiğinden, böyle bir yöntem pek uygun olmaz. Ancak ortaya çıkan formülü kullanmak bizi hızla cevaba götürecektir:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Burada son sayıyı yuvarladık. Bu yuvarlamanın ne kadar hataya yol açtığı, sonuç kontrol edilerek değerlendirilebilir:

9 \u003d 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Bu sonuç, koşulda verilen değerden sadece %0,1 farklıdır. Bu nedenle, kullanılan yüze yuvarlama iyi bir seçim olarak kabul edilebilir.

Bir üye için formülü uygulama görevleri

Bilinmeyen d'yi belirleme probleminin klasik bir örneğini ele alalım: a1 = 12, a5 = 40 ise aritmetik ilerlemenin farkını bulun.

Bilinmeyen bir cebirsel dizinin iki sayısı verildiğinde ve bunlardan biri a 1 elemanı ise, o zaman uzun düşünmenize gerek yoktur, ancak a n üyesi için formülü hemen uygulamanız gerekir. Bu durumda elimizde:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Bölme sırasında tam sayıyı aldık, bu nedenle önceki paragrafta yapıldığı gibi hesaplanan sonucun doğruluğunu kontrol etmenin bir anlamı yok.

Başka bir benzer problemi çözelim: a1 = 16, a8 = 37 ise aritmetik ilerlemenin farkını bulmalıyız.

Bir öncekine benzer bir yaklaşım kullanıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Aritmetik ilerleme hakkında bilmeniz gereken başka neler var?

Bilinmeyen bir farkı veya tek tek elemanları bulma problemlerine ek olarak, genellikle bir dizinin ilk terimlerinin toplamı problemlerini çözmek gerekir. Bu sorunların ele alınması makalenin konusunun kapsamı dışındadır, ancak bilgilerin eksiksiz olması için serinin n sayısının toplamı için genel bir formül sunuyoruz:

∑ n ben = 1 (bir ben) = n * (bir 1 + bir n) / 2


Örneğin, \(2\); dizisi \(5\); \(8\); \(onbir\); \(14\)… aritmetik bir ilerlemedir, çünkü sonraki her öğe bir öncekinden üç kat farklıdır (bir öncekinden üç eklenerek elde edilebilir):

Bu ilerlemede, \(d\) farkı pozitiftir (\(3\)'e eşittir) ve bu nedenle sonraki her terim bir öncekinden daha büyüktür. Bu tür ilerlemelere denir artan.

Ancak \(d\) negatif bir sayı da olabilir. Örneğin, aritmetik ilerlemede \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… ilerleme farkı \(d\) eksi altıya eşittir.

Ve bu durumda, sonraki her öğe bir öncekinden daha az olacaktır. Bu ilerlemeler denir azalan.

Aritmetik ilerleme gösterimi

İlerleme, küçük bir Latin harfiyle gösterilir.

Bir ilerleme oluşturan sayılara denir üyeler(veya öğeler).

Aritmetik ilerleme ile aynı harfle gösterilirler, ancak sıradaki eleman sayısına eşit bir sayısal indeks ile gösterilirler.

Örneğin, \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetik dizisi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) vb.

Başka bir deyişle, \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) dizisi için

Aritmetik ilerlemede problem çözme

Prensip olarak, yukarıdaki bilgiler aritmetik ilerlemeyle ilgili hemen hemen her sorunu çözmek için yeterlidir (OGE'de sunulanlar dahil).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme, \(b_1=7; d=4\) koşulları tarafından verilir. \(b_5\) öğesini bulun.
Çözüm:

Cevap: \(b_5=23\)

Örnek (OGE). Bir aritmetik dizinin ilk üç terimi verilmiştir: \(62; 49; 36…\) Bu dizinin ilk negatif teriminin değerini bulunuz.
Çözüm:

Bize dizinin ilk öğeleri verildi ve bunun aritmetik bir ilerleme olduğunu biliyoruz. Yani, her eleman komşu olandan aynı sayıda farklıdır. Bir sonraki elemandan bir öncekini çıkararak hangisini bulun: \(d=49-62=-13\).

Artık ilerlememizi istenen (ilk negatif) öğeye geri getirebiliriz.

Hazır. Cevap yazabilirsiniz.

Cevap: \(-3\)

Örnek (OGE). Bir aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık elemanı verilmiştir: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) harfi ile gösterilen elemanın değerini bulun.
Çözüm:


\(x\)'i bulmak için bir sonraki elemanın bir öncekinden ne kadar farklı olduğunu, yani ilerleme farkını bilmemiz gerekir. Bilinen iki komşu elemandan bulalım: \(d=12.5-10=2.5\).

Ve artık aradığımızı sorunsuz buluyoruz: \(x=5+2.5=7.5\).


Hazır. Cevap yazabilirsiniz.

Cevap: \(7,5\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme aşağıdaki koşullar tarafından verilir: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu dizinin ilk altı teriminin toplamını bulun.
Çözüm:

Dizinin ilk altı teriminin toplamını bulmamız gerekiyor. Ama anlamlarını bilmiyoruz, bize sadece ilk element veriliyor. Bu nedenle, önce bize verilenleri kullanarak sırayla değerleri hesaplıyoruz:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Ve ihtiyacımız olan altı elementi hesapladıktan sonra toplamlarını buluyoruz.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

İstenen miktar bulundu.

Cevap: \(S_6=9\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerlemede \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu ilerlemenin farkını bulun.
Çözüm:

Cevap: \(d=7\).

Önemli Aritmetik İlerleme Formülleri

Gördüğünüz gibi, birçok aritmetik ilerleme sorunu, basitçe ana şeyi anlayarak çözülebilir - aritmetik ilerlemenin bir sayılar zinciri olduğu ve bu zincirdeki sonraki her öğenin, bir öncekine aynı sayıyı ekleyerek elde edildiği (fark ilerleme).

Ancak bazen "alnında" çözmenin çok sakıncalı olduğu durumlar vardır. Örneğin, ilk örnekte beşinci öğeyi \(b_5\) değil, üç yüz seksen altıncı \(b_(386)\) bulmamız gerektiğini hayal edin. Nedir biz \(385\) kez dört ekleriz? Veya sondan bir önceki örnekte, ilk yetmiş üç öğenin toplamını bulmanız gerektiğini hayal edin. Saymak kafa karıştırıyor...

Bu nedenle, bu tür durumlarda “alında” çözmezler, aritmetik ilerleme için türetilmiş özel formüller kullanırlar. Ve ana olanlar, ilerlemenin n'inci terimi için formül ve ilk terimlerin toplamı \(n\) formülüdür.

\(n\)inci üye için formül: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) ilerlemenin ilk üyesidir;
\(n\) – gerekli öğenin numarası;
\(a_n\), \(n\) numaralı ilerlemenin bir üyesidir.


Bu formül, yalnızca birinci ve ilerleme farkını bilerek en az üç yüzüncü, hatta milyonuncu öğeyi hızlı bir şekilde bulmamızı sağlar.

Örnek. Aritmetik ilerleme şu koşullarla verilir: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) öğesini bulun.
Çözüm:

Cevap: \(b_(246)=1850\).

İlk n terimin toplamı için formül şöyledir: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada



\(a_n\) son toplanan terimdir;


Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme, \(a_n=3.4n-0.6\) koşulları tarafından verilir. Bu dizinin ilk \(25\) terimlerinin toplamını bulun.
Çözüm:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

İlk yirmi beş elemanın toplamını hesaplamak için birinci ve yirmi beşinci terimin değerini bilmemiz gerekir.
İlerlememiz, sayısına bağlı olarak n'inci terimin formülü ile verilir (ayrıntılara bakın). \(n\) yerine bir koyarak ilk elemanı hesaplayalım.

\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)

Şimdi \(n\) yerine yirmibeş koyarak yirmibeşinci terimi bulalım.

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)

Şimdi gerekli miktarı sorunsuz bir şekilde hesaplıyoruz.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Cevap hazır.

Cevap: \(S_(25)=1090\).

İlk terimlerin \(n\) toplamı için başka bir formül elde edebilirsiniz: yapmanız gereken tek şey \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) yerine formülü \(a_n=a_1+(n-1)d\) değiştirin. Biz:

İlk n terimin toplamı için formül şöyledir: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – ilk öğelerin gerekli toplamı \(n\);
\(a_1\) toplanacak ilk terimdir;
\(d\) – ilerleme farkı;
\(n\) - toplamdaki öğelerin sayısı.

Örnek. Aritmetik dizinin ilk \(33\)-ex terimlerinin toplamını bulun: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Çözüm:

Cevap: \(S_(33)=-231\).

Daha karmaşık aritmetik ilerleme problemleri

Artık neredeyse tüm aritmetik ilerleme problemlerini çözmek için ihtiyacınız olan tüm bilgilere sahipsiniz. Sadece formülleri uygulamanız değil, aynı zamanda biraz düşünmeniz gereken problemleri ele alarak konuyu bitirelim (matematikte bu yararlı olabilir ☺)

Örnek (OGE). İlerlemedeki tüm negatif terimlerin toplamını bulun: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Çözüm:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Görev öncekine çok benzer. Aynı şekilde çözmeye başlıyoruz: önce \(d\)'yi buluyoruz.

\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)

Şimdi toplamın formülünde \(d\)'yi değiştireceğiz ... ve burada küçük bir nüans ortaya çıkıyor - \(n\)'yi bilmiyoruz. Başka bir deyişle, kaç terim eklenmesi gerektiğini bilmiyoruz. Nasıl öğrenilir? Düşünelim. İlk pozitif öğeye geldiğimizde öğe eklemeyi bırakacağız. Yani, bu elemanın numarasını bulmanız gerekiyor. Nasıl? Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir öğesini hesaplamak için formülü yazalım: \(a_n=a_1+(n-1)d\) bizim durumumuz için.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)

Sıfırdan büyük olmak için \(a_n\)'ye ihtiyacımız var. Bunun ne için \(n\) olacağını öğrenelim.

\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)

\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)

Eşitsizliğin her iki tarafını \(0,3\) ile böleriz.

\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)

İşaretleri değiştirmeyi unutmadan eksi bir aktarıyoruz

\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)

Bilgi işlem...

\(n>65,333…\)

…ve ilk pozitif elemanın \(66\) sayısına sahip olacağı ortaya çıktı. Buna göre son negatif \(n=65\) değerine sahiptir. Her ihtimale karşı, kontrol edelim.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)

Bu nedenle, ilk \(65\) elemanlarını toplamamız gerekiyor.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cnokta 65=-630.5\)

Cevap hazır.

Cevap: \(S_(65)=-630.5\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme şu koşullarla verilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)th ile \(42\) element dahil toplamını bulun.
Çözüm:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

Bu problemde de elemanların toplamını bulmanız gerekiyor ama birinciden değil \(26\)th'den başlayarak. Bunun için bir formülümüz yok. nasıl karar verilir?
Kolay - \(26\)th ile \(42\)th arasındaki toplamı elde etmek için önce \(1\)th ile \(42\)th arasındaki toplamı bulmalı ve ardından şu toplamı çıkarmalısınız: ilk \ (25 \) inci (resme bakın).


İlerlememiz için \(a_1=-33\) ve fark \(d=4\) için (sonuçta, bir sonrakini bulmak için önceki öğeye dört ekleriz). Bunu bilerek, ilk \(42\)-uh elemanlarının toplamını buluyoruz.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cnokta 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Şimdi ilk \(25\)-inci elemanların toplamı.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cnokta 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

Ve son olarak, cevabı hesaplıyoruz.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Cevap: \(S=1683\).

Aritmetik bir ilerleme için, düşük pratik kullanışlılıkları nedeniyle bu makalede ele almadığımız birkaç formül daha var. Ancak bunları kolayca bulabilirsiniz.

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı.

Aritmetik ilerlemenin toplamı basit bir şeydir. Hem anlam hem de formül olarak. Ancak bu konuda her türlü görev var. Temelden oldukça katıya.

İlk olarak, toplamın anlamını ve formülünü ele alalım. Ve sonra karar vereceğiz. Kendi zevkiniz için.) Toplamın anlamı, böğürmek kadar basittir. Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulmak için tüm üyelerini dikkatlice toplamanız yeterlidir. Bu terimler azsa, herhangi bir formül olmadan ekleyebilirsiniz. Ama çok şey varsa veya çok varsa ... ekleme can sıkıcıdır.) Bu durumda formül kurtarır.

Toplam formülü basittir:

Formülde ne tür harflerin bulunduğunu bulalım. Bu çok şeyi netleştirecek.

sn aritmetik ilerlemenin toplamıdır. Toplama sonucu Tümüüyeler, ile Birinciİle son. Bu önemli. tam olarak topla Tüm boşluklar ve atlamalar olmadan arka arkaya üyeler. Ve tam olarak, başlayarak Birinci.Üçüncü ve sekizinci terimlerin toplamını veya beşten yirmiye kadar olan terimlerin toplamını bulma gibi problemlerde, formülün doğrudan uygulanması hayal kırıklığı yaratacaktır.)

bir 1 - Birinci ilerlemenin üyesi. Burada her şey açık, çok basit Birinci satır numarası.

BİR- son ilerlemenin üyesi. Satırın son numarası. Çok tanıdık bir isim değil ama miktar olarak uygulandığında çok uygun. O zaman kendin göreceksin.

N son üyenin numarasıdır. Formülde bu sayının olduğunu anlamak önemlidir. eklenen terimlerin sayısı ile çakışmaktadır.

kavramı tanımlayalım sonüye BİR. Doldurma sorusu: ne tür bir üye olacak son, verilirse sonsuz aritmetik ilerleme?

Kendinden emin bir cevap için, bir aritmetik ilerlemenin temel anlamını anlamanız ve ... ödevi dikkatlice okumanız gerekir!)

Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulma görevinde, son terim her zaman görünür (doğrudan veya dolaylı olarak), hangisi sınırlandırılmalıdır. Aksi takdirde, sonlu, belirli bir miktar sadece yok.Çözüm için, ne tür bir ilerleme verildiği önemli değildir: sonlu veya sonsuz. Nasıl verildiği önemli değil: bir dizi sayıyla veya n'inci üyenin formülüyle.

En önemli şey, formülün ilerlemenin ilk teriminden numaralı terime kadar çalıştığını anlamaktır. N. Aslında, formülün tam adı şöyle görünür: bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı. Bu ilk üyelerin sayısı, yani. N, yalnızca görev tarafından belirlenir. Görevde, tüm bu değerli bilgiler genellikle şifrelenir, evet ... Ama hiçbir şey, aşağıdaki örneklerde bu sırları açığa çıkaracağız.)

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için görev örnekleri.

Öncelikle faydalı bilgiler:

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için görevlerdeki ana zorluk, formül öğelerinin doğru belirlenmesidir.

Ödevlerin yazarları, bu unsurları sınırsız bir hayal gücü ile şifreler.) Buradaki en önemli şey korkmamaktır. Öğelerin özünü anlamak, sadece onları deşifre etmek için yeterlidir. Birkaç örneğe ayrıntılı olarak bakalım. Gerçek bir GIA'ya dayalı bir görevle başlayalım.

1. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: an n = 2n-3.5. İlk 10 terimin toplamını bulun.

Aferin. Kolay.) Formüle göre miktarı belirlemek için neleri bilmemiz gerekiyor? ilk üye bir 1, son dönem BİR, evet son terimin numarası N.

Son üye numarası nereden alınır? N? Evet, aynı yerde, durumda! toplamı bul diyor ilk 10 üye Peki hangi numara olacak son, onuncu üye?) İnanmayacaksınız, numarası onuncu!) Bu nedenle, yerine BİR formülde yerine koyacağız 10, ama velakin N- on. Yine son üye sayısı ile üye sayısı aynıdır.

Karar vermek için kalır bir 1 Ve 10. Bu, problem ifadesinde verilen n'inci terimin formülü ile kolayca hesaplanır. Nasıl yapılacağını bilmiyor musun? Bu olmadan önceki dersi ziyaret edin - hiçbir şey.

bir 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

sn = S 10.

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için formülün tüm öğelerinin anlamını bulduk. Bunları değiştirmek ve saymak için kalır:

Hepsi bu kadar. Cevap: 75.

GIA'ya dayalı başka bir görev. Biraz daha karmaşık:

2. Farkı 3.7 olan bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde; 1 \u003d 2.3. İlk 15 terimin toplamını bulun.

Hemen toplam formülünü yazıyoruz:

Bu formül, herhangi bir üyenin değerini numarasına göre bulmamızı sağlar. Basit bir ikame arıyoruz:

15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Formüldeki tüm öğeleri bir aritmetik ilerlemenin toplamı ile değiştirmek ve cevabı hesaplamak için kalır:

Cevap: 423.

Bu arada, toplam formülü yerine BİR sadece n'inci terimin formülünü değiştirin, şunu elde ederiz:

Benzerlerini verirsek, aritmetik ilerlemenin üyelerinin toplamı için yeni bir formül elde ederiz:

Gördüğünüz gibi burada n'inci terim gerekli değil. BİR. Bazı görevlerde bu formül çok yardımcı oluyor, evet ... Bu formülü hatırlayabilirsiniz. Ve burada olduğu gibi doğru zamanda çekebilirsiniz. Sonuçta, toplamın formülü ve n'inci terimin formülü her şekilde hatırlanmalıdır.)

Şimdi görev kısa bir şifreleme şeklinde):

3. Üçün katı olan tüm pozitif iki basamaklı sayıların toplamını bulun.

Nasıl! İlk üye yok, son üye yok, ilerleme yok... Nasıl yaşanır!?

Kafanızla düşünmeniz ve bir aritmetik ilerlemenin toplamının tüm unsurlarını koşuldan çıkarmanız gerekecek. İki basamaklı sayılar nedir - biliyoruz. İki sayıdan oluşurlar.) Hangi iki basamaklı sayı olur? Birinci? 10, muhtemelen.) son şey iki haneli sayı? 99, tabii ki! Üç haneli olanlar onu takip edecek...

Üçün katları... Hm... Bunlar üçe tam olarak bölünebilen sayılar, işte! On üçe bölünmez, 11 bölünmez... 12... bölünebilir! Yani bir şeyler ortaya çıkıyor. Zaten sorunun durumuna göre bir dizi yazabilirsiniz:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu dizi aritmetik bir ilerleme mi olacak? Kesinlikle! Her terim bir öncekinden kesinlikle üç kat farklıdır. Terime 2 veya 4 eklenirse sonuç, yani yeni bir sayı artık 3'e bölünmeyecek. Yığına aritmetik ilerlemenin farkını hemen belirleyebilirsiniz: d = 3. Kullanışlı!)

Böylece, bazı ilerleme parametrelerini güvenle yazabiliriz:

sayı ne olacak N son üye? 99'un ölümcül bir şekilde yanıldığını düşünen herkes ... Sayılar - her zaman üst üste gelirler ve üyelerimiz ilk üçün üzerinden atlar. Eşleşmiyorlar.

Burada iki çözüm var. Bir yol süper çalışkan içindir. İlerlemeyi, tüm sayı dizisini çizebilir ve parmağınızla terim sayısını sayabilirsiniz.) İkinci yol, düşünenler içindir. n'inci terim için formülü hatırlamanız gerekir. Formül problemimize uygulanırsa, 99'un ilerlemenin otuzuncu üyesi olduğunu elde ederiz. Onlar. n = 30.

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için formüle bakıyoruz:

Bakıyoruz ve seviniyoruz.) Sorunun durumundan miktarı hesaplamak için gereken her şeyi çıkardık:

bir 1= 12.

30= 99.

sn = S 30.

Geriye temel aritmetik kalıyor. Formüldeki sayıları değiştirin ve hesaplayın:

Cevap: 1665

Başka bir popüler bulmaca türü:

4. Bir aritmetik ilerleme verilir:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yirmi ile otuz dördüncü arasındaki terimlerin toplamını bulun.

Toplam formülüne bakıyoruz ve ... üzülüyoruz.) Formül, hatırlatmama izin verin, toplamı hesaplıyor birincidenüye. Ve problemde toplamı hesaplamanız gerekir yirminci yıldan beri... Formül işe yaramayacak.

Elbette tüm ilerlemeyi arka arkaya boyayabilir ve üyeleri 20'den 34'e koyabilirsiniz. Ama ... bir şekilde aptalca ve uzun bir süre çıkıyor, değil mi?)

Daha zarif bir çözüm var. Serimizi iki kısma ayıralım. ilk bölüm olacak birinci dönemden on dokuzuncu döneme kadar.İkinci kısım - yirmi ila otuz dört. Açıktır ki, birinci kısmın terimlerinin toplamını hesaplarsak S 1-19, ikinci kısımdaki üyelerin toplamına ekleyelim S 20-34, birinci terimden otuz dördüncü terime ilerlemenin toplamını elde ederiz S 1-34. Bunun gibi:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Bu toplamı bulmak için gösterir S 20-34 basit çıkarma ile yapılabilir

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Sağ taraftaki her iki toplam da dikkate alınır birincidenüye, yani standart toplam formülü onlar için oldukça uygulanabilir. Başlıyor muyuz?

İlerleme parametrelerini görev koşulundan çıkarıyoruz:

d = 1.5.

bir 1= -21,5.

İlk 19 ve ilk 34 terimlerin toplamlarını hesaplamak için 19. ve 34. terimlere ihtiyacımız olacak. Bunları 2. problemdeki gibi n'inci terimin formülüne göre sayıyoruz:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Hiçbir şey kalmadı. 34 terimin toplamından 19 terimin toplamını çıkarın:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Cevap: 262.5

Önemli bir not! Bu sorunu çözmede çok kullanışlı bir özellik var. Doğrudan hesaplama yerine neye ihtiyacın var (S 20-34), saydık Görünüşe göre neye gerek yok - S 1-19. Ve sonra belirlediler S 20-34, gereksizleri tam sonuçtan atarak. Böyle bir "kulaklı numara" genellikle kötü bulmacalardan kurtarır.)

Bu derste, bir aritmetik ilerlemenin toplamının anlamını anlamanın yeterli olduğu problemleri inceledik. Pekala, birkaç formül bilmeniz gerekiyor.)

Pratik tavsiye:

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için herhangi bir sorunu çözerken, bu konudaki iki ana formülü hemen yazmanızı öneririm.

n'inci terimin formülü:

Bu formüller size sorunu çözmek için nelere bakmanız, hangi yönde düşünmeniz gerektiğini hemen söyleyecektir. Yardım eder.

Ve şimdi bağımsız çözüm için görevler.

5. Üçe bölünmeyen tüm iki basamaklı sayıların toplamını bulun.

Harika mı?) İpucu, 4. problemin notunda gizli. Peki, 3. problem yardımcı olacaktır.

6. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a 1 = -5.5; bir n+1 = bir n +0,5. İlk 24 terimin toplamını bulun.

Olağandışı mı?) Bu yinelenen bir formüldür. Bunu bir önceki derste okuyabilirsiniz. Bağlantıyı göz ardı etmeyin, bu tür bulmacalar genellikle GIA'da bulunur.

7. Vasya Tatil için para biriktirdi. 4550 ruble kadar! Ve en sevilen kişiye (kendime) birkaç günlük mutluluk vermeye karar verdim). Kendinizi hiçbir şeyden mahrum bırakmadan güzelce yaşayın. İlk gün 500 ruble harcayın ve sonraki her gün bir öncekinden 50 ruble daha fazla harcayın! Para bitene kadar. Vasya kaç gün mutlu oldu?

Zor mu?) Görev 2'den ek bir formül yardımcı olacaktır.

Cevaplar (dağınık): 7, 3240, 6.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok..." olanlar için)

Aritmetik ilerleme, her sayının bir öncekinden aynı miktarda daha büyük (veya daha az) olduğu bir sayı dizisidir.

Bu konu genellikle zor ve anlaşılmazdır. Harf indeksleri, ilerlemenin n. terimi, ilerlemenin farkı - bunların hepsi bir şekilde kafa karıştırıcı, evet ... Aritmetik ilerlemenin anlamını bulalım ve her şey hemen yoluna girecek.)

Aritmetik ilerleme kavramı.

Aritmetik ilerleme çok basit ve net bir kavramdır. Şüphe? Boşuna.) Kendiniz görün.

Bitmemiş bir sayı dizisi yazacağım:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu hattı uzatabilir misiniz? Beşten sonra hangi sayılar gelecek? Herkes ... uh ..., kısacası herkes 6, 7, 8, 9 vb. sayıların daha da ileri gideceğini anlayacak.

Görevi karmaşıklaştıralım. Bitmemiş bir sayı dizisi veriyorum:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Deseni yakalayabilir, seriyi genişletebilir ve adlandırabilirsiniz. yedinci satır numarası?

Bu sayının 20 olduğunu anladıysanız - sizi tebrik ederim! sadece hissetmedin aritmetik ilerlemenin kilit noktaları, ama aynı zamanda bunları iş hayatında da başarıyla kullandı! Anlamadıysanız okumaya devam edin.

Şimdi duyumlardan alınan kilit noktaları matematiğe çevirelim.)

İlk kilit nokta.

Aritmetik ilerleme sayı dizileriyle ilgilenir. Bu ilk başta kafa karıştırıcı. Denklemleri çözmeye, grafikler oluşturmaya ve tüm bunlara alışkınız ... Ve sonra seriyi genişletin, serinin sayısını bulun ...

Önemli değil. Sadece ilerlemeler yeni bir matematik dalı ile ilk tanışmadır. Bölüm "Seri" olarak adlandırılır ve sayı ve ifade dizileriyle çalışır. Alışmak.)

İkinci kilit nokta.

Aritmetik ilerlemede, herhangi bir sayı bir öncekinden farklıdır aynı miktarda.

İlk örnekte bu fark birdir. Hangi sayıyı alırsanız alın, bir öncekinden bir fazladır. İkinci - üç. Herhangi bir sayı bir öncekinin üç katıdır. Aslında, bize modeli yakalama ve sonraki sayıları hesaplama fırsatı veren bu andır.

Üçüncü kilit nokta.

Bu an çarpıcı değil, evet ... Ama çok, çok önemli. İşte burada: her ilerleme numarası kendi yerindedir.İlk sayı var, yedinci var, kırk beşinci var, vb. Onları gelişigüzel bir şekilde karıştırırsanız, model kaybolacaktır. Aritmetik ilerleme de kaybolacaktır. Bu sadece bir sayı dizisi.

Bütün mesele bu.

Tabii ki, yeni konuda yeni terimler ve gösterimler görünür. Bilmeleri gerekiyor. Aksi takdirde görevi anlayamazsınız. Örneğin, şöyle bir şeye karar vermelisiniz:

a 2 = 5, d = -2.5 ise, aritmetik dizinin ilk altı terimini (a n) yazın.

İlham veriyor mu?) Harfler, bazı indeksler... Ve bu arada görev daha kolay olamazdı. Sadece terimlerin ve notasyonun anlamını anlamanız gerekir. Şimdi bu konuya hakim olacağız ve göreve geri döneceğiz.

Terimler ve atamalar.

Aritmetik ilerleme her sayının bir öncekinden farklı olduğu bir sayı dizisidir aynı miktarda.

Bu değer denir . Bu kavramı daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Aritmetik ilerleme farkı.

Aritmetik ilerleme farkı herhangi bir ilerleme numarasının Daha bir önceki.

Önemli bir nokta. Lütfen söze dikkat edin "Daha". Matematiksel olarak bu, her ilerleme numarasının elde edildiği anlamına gelir. ekleme aritmetik ilerlemenin önceki sayıya farkı.

Hesaplamak için diyelim ikinci satır numaraları, gerekli Birinci sayı eklemek aritmetik ilerlemenin tam da bu farkı. hesaplama için beşinci- fark gereklidir eklemekİle dördüncü iyi, vb.

Aritmetik ilerleme farkı Belki pozitif o zaman dizinin her numarası gerçek olacak öncekinden daha fazla. Bu ilerleme denir artan.Örneğin:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Burada her sayı ekleme pozitif sayı, bir öncekine +5.

fark olabilir olumsuz o zaman dizideki her sayı olacak öncekinden daha az. Bu ilerleme denir (inanmayacaksınız!) azalıyor.

Örneğin:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Burada her sayı da elde edilir eklemeönceki, ancak zaten negatif sayı olan -5'e.

Bu arada, bir ilerleme ile çalışırken, onun doğasını - artıyor mu yoksa azalıyor mu - hemen belirlemek çok faydalıdır. Karar verirken yönünüzü bulmanız, hatalarınızı fark etmeniz ve çok geç olmadan düzeltmeniz çok yardımcı olur.

Aritmetik ilerleme farkı genellikle harfle gösterilir D.

Nasıl bulunur D? Çok basit. Serinin herhangi bir sayısından çıkarmak gerekir öncesi sayı. Çıkart. Bu arada çıkarma işleminin sonucuna "fark" denir.)

Örneğin, tanımlayalım, D artan bir aritmetik ilerleme için:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Satırdan istediğimiz herhangi bir sayıyı alıyoruz, örneğin 11. Ondan çıkar önceki numara onlar. 8:

Bu doğru cevap. Bu aritmetik ilerleme için fark üçtür.

sadece alabilirsin herhangi bir sayıda ilerleme,Çünkü Belirli bir ilerleme için D-her zaman aynı. En azından sıranın başında bir yerde, en azından ortada, en azından herhangi bir yerde. Sadece ilk numarayı alamazsınız. İlk sayı olduğu için öncesi yok.)

Bu arada, bunu bilerek d=3, bu dizinin yedinci sayısını bulmak çok basit. Beşinci sayıya 3 ekliyoruz - altıncıyı alıyoruz, 17 olacak. Altıncı sayıya üç ekliyoruz, yedinci sayıyı alıyoruz - yirmi.

tanımlayalım D azalan bir aritmetik ilerleme için:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Size hatırlatırım, işaretlerden bağımsız olarak, belirlemek için D herhangi bir sayıdan gerekli öncekini al. Herhangi bir sayıda ilerleme seçiyoruz, örneğin -7. Önceki sayısı -2'dir. Daha sonra:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Bir aritmetik ilerlemenin farkı herhangi bir sayı olabilir: tamsayı, kesirli, irrasyonel, herhangi biri.

Diğer terimler ve tanımlamalar.

Serideki her sayı çağrılır bir aritmetik ilerlemenin üyesi.

İlerlemenin her üyesi onun numarası var Rakamlar, herhangi bir numara olmadan kesinlikle sıralanmıştır. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü vb. Örneğin, ilerlemede 2, 5, 8, 11, 14, ... iki birinci üye, beş ikinci, on bir dördüncü, peki, anlıyorsunuz ...) Lütfen açıkça anlayın - sayıların kendileri kesinlikle herhangi biri olabilir, tam, kesirli, negatif, her neyse, ama numaralama- kesinlikle sırayla!

Genel formda bir ilerleme nasıl yazılır? Sorun değil! Dizideki her sayı bir harf olarak yazılır. Bir aritmetik ilerlemeyi belirtmek için, kural olarak harf kullanılır. A. Üye numarası sağ alttaki indeks ile gösterilir. Üyeler virgülle (veya noktalı virgülle) ayrılır, şöyle yazılır:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

bir 1 ilk sayı 3- üçüncü vb. Zor bir şey yok. Bu diziyi kısaca şöyle yazabilirsiniz: (BİR).

İlerlemeler var sonlu ve sonsuz.

nihai ilerleme sınırlı sayıda üyeye sahiptir. Beş, otuz sekiz, her neyse. Ama sonlu bir sayı.

Sonsuz ilerleme - tahmin edebileceğiniz gibi sonsuz sayıda üyeye sahiptir.)

Bunun gibi bir dizi aracılığıyla, tüm üyeler ve sonunda bir nokta ile son bir ilerleme yazabilirsiniz:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 .

Veya bunun gibi, çok sayıda üye varsa:

bir 1 , bir 2 , ... bir 14 , bir 15 .

Kısa bir girişte, ek olarak üye sayısını belirtmeniz gerekecektir. Örneğin (yirmi üye için), şöyle:

(bir n), n = 20

Bu dersteki örneklerde olduğu gibi, satırın sonundaki üç nokta ile sonsuz bir ilerleme fark edilebilir.

Artık görevleri zaten çözebilirsiniz. Görevler basit, tamamen aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak için.

Aritmetik ilerleme için görev örnekleri.

Yukarıdaki göreve daha yakından bakalım:

1. a 2 = 5, d = -2.5 ise, aritmetik dizinin ilk altı üyesini (a n) yazın.

Görevi anlaşılır bir dile çeviriyoruz. Sonsuz bir aritmetik ilerleme verildiğinde. Bu ilerlemenin ikinci sayısı biliniyor: 2 = 5 Bilinen ilerleme farkı: d = -2.5. Bu dizinin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci ve altıncı üyelerini bulmamız gerekiyor.

Netlik için, sorunun durumuna göre bir dizi yazacağım. İkinci üyenin beş olduğu ilk altı üye:

1 , 5 , 3 , 4 , 5 , 6 ,....

3 = bir 2 + D

ifadede yerine koyarız 2 = 5 Ve d=-2.5. Eksi unutma!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Üçüncü terim ikinciden daha azdır. Her şey mantıklı. Sayı bir öncekinden büyükse olumsuz değer, bu nedenle sayının kendisi bir öncekinden daha az olacaktır. İlerleme azalıyor. Tamam dikkate alalım.) Serimizin dördüncü üyesini ele alalım:

4 = 3 + D

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + D

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + D

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Böylece üçüncüden altıncıya kadar olan terimler hesaplanmıştır. Bu bir dizi ile sonuçlandı:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Geriye ilk terimi bulmak kalıyor bir 1 iyi bilinen saniyeye göre. Bu, diğer yönde, sola doğru bir adımdır.) Dolayısıyla, aritmetik ilerlemenin farkı D eklenmemeli bir 2, A götürmek:

bir 1 = bir 2 - D

bir 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Hepsi bu kadar. Görev yanıtı:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Geçerken, bu görevi çözdüğümüzü not ediyorum. yinelenen yol. Bu korkunç kelime, yalnızca ilerlemenin bir üyesini aramak anlamına gelir. önceki (bitişik) numaraya göre.İlerleme ile çalışmanın diğer yolları daha sonra tartışılacaktır.

Bu basit görevden önemli bir sonuç çıkarılabilir.

Hatırlamak:

Bir aritmetik dizinin en az bir üyesini ve farkını biliyorsak, bu dizinin herhangi bir üyesini bulabiliriz.

Hatırlamak? Bu basit sonuç, bu konudaki okul kursu problemlerinin çoğunu çözmemizi sağlar. Tüm görevler üç ana parametre etrafında döner: bir aritmetik dizinin üyesi, bir dizinin farkı, bir dizinin bir üyesinin sayısı. Tüm.

Tabii ki, önceki tüm cebir iptal edilmez.) Eşitsizlikler, denklemler ve diğer şeyler ilerlemeye eklenir. Ancak ilerleme göre- her şey üç parametre etrafında döner.

Örneğin, bu konuyla ilgili bazı popüler görevleri ele alalım.

2. n=5, d=0.4 ve a 1=3.6 ise son aritmetik ilerlemeyi bir dizi olarak yazın.

Burada her şey basit. Her şey zaten verildi. Bir aritmetik dizinin üyelerinin nasıl hesaplandığını, sayıldığını ve yazıldığını hatırlamanız gerekir. Görev koşulundaki kelimelerin atlanmaması tavsiye edilir: "son" ve " n=5". Yüzünüz tamamen mavi olana kadar saymamak için.) Bu ilerlemede sadece 5 (beş) üye vardır:

2 \u003d 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

3 \u003d 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Cevabı yazmak için kalır:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Başka bir görev:

3. Aşağıdaki durumlarda 7 sayısının bir aritmetik dizinin (a n) üyesi olup olmayacağını belirleyin: 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

Hmm... Kim bilir? Bir şey nasıl tanımlanır?

Nasıl-nasıl... Evet, dizi şeklinde ilerleyişi yazın ve yedili olup olmayacağına bakın! İnanıyoruz:

2 \u003d 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

3 \u003d 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Şimdi açıkça görülüyor ki sadece yedi kişiyiz. doğru kaymış 6,5 ile 7,7 arasında! Yedi, sayı serimize girmedi ve bu nedenle yedi, verilen ilerlemenin bir üyesi olmayacak.

Cevap: hayır.

Ve işte GIA'nın gerçek bir versiyonuna dayanan bir görev:

4. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık üyesi yazılır:

...; 15; X; 9; 6; ...

İşte sonu ve başı olmayan bir dizi. Üye numarası yok, fark yok D. Önemli değil. Problemi çözmek için aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak yeterlidir. Bakalım ve neler yapabileceğimizi görelim bilmek bu hattan mı Üç ana parametrenin parametreleri nelerdir?

Üye numaraları? Burada tek bir numara yok.

Ama üç sayı var ve - dikkat! - kelime "ardışık" durumda. Bu, sayıların boşluklar olmadan kesinlikle sıralı olduğu anlamına gelir. Bu sırada iki tane var mı? komşu bilinen numaralar? Evet bende var! Bunlar 9 ve 6. Böylece bir aritmetik ilerlemenin farkını hesaplayabiliriz! Altıdan çıkarırız öncesi sayı, yani dokuz:

Kalan boş alanlar var. Hangi sayı x için bir önceki olacak? 15. Yani x basit toplama ile kolayca bulunabilir. 15'e bir aritmetik ilerlemenin farkını ekleyin:

Bu kadar. Cevap: x=12

Aşağıdaki sorunları kendimiz çözüyoruz. Not: Bu bulmacalar formüller için değildir. Sadece bir aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak için.) Sadece bir dizi sayı-harf yazıyoruz, bak ve düşün.

5. a 5 = -3 ise, aritmetik dizinin ilk pozitif terimini bulun; d = 1.1.

6. 5.5 sayısının, a 1 = 1.6 olduğu aritmetik dizinin (a n) bir üyesi olduğu bilinmektedir; d = 1.3. Bu üyenin n sayısını belirleyiniz.

7. Bir aritmetik ilerlemede a 2 = 4 olduğu bilinmektedir; 5 \u003d 15.1. 3'ü bulun.

8. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık üyesi yazılır:

...; 15.6; X; 3.4; ...

X harfi ile gösterilen ilerlemenin terimini bulun.

9. Tren istasyondan hareket etmeye başladı ve hızını kademeli olarak dakikada 30 metre artırdı. Beş dakika sonra trenin hızı ne kadar olur? Cevabınızı km/s cinsinden veriniz.

10. Bir aritmetik ilerlemede 2 = 5 olduğu bilinmektedir; 6 = -5. 1 bul.

Yanıtlar (dağınık): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.

Her şey yolunda mı? İnanılmaz! Aşağıdaki derslerde aritmetik ilerlemeyi daha yüksek bir seviyede öğrenebilirsiniz.

Her şey yolunda gitmedi mi? Sorun değil. Özel Bölüm 555'te, tüm bu bulmacalar parça parça ayrılmıştır.) Ve elbette, bu tür görevlerin çözümünü avucunuzun içinde olduğu gibi net, net bir şekilde hemen vurgulayan basit bir pratik teknik açıklanmaktadır!

Bu arada, trenle ilgili bilmecede insanların sıklıkla tökezlediği iki sorun var. Biri - tamamen ilerleme yoluyla ve ikincisi - matematik ve fizikteki herhangi bir görev için ortaktır. Bu, boyutların birinden diğerine çevirisidir. Bu sorunların nasıl çözülmesi gerektiğini gösterir.

Bu derste, bir aritmetik ilerlemenin temel anlamını ve ana parametrelerini inceledik. Bu, bu konudaki hemen hemen tüm sorunları çözmek için yeterlidir. Eklemek D sayılara, bir dizi yazın, her şeye karar verilir.

Parmak çözümü, bu dersteki örneklerde olduğu gibi, dizinin çok kısa parçaları için iyi sonuç verir. Seri daha uzunsa, hesaplamalar daha karmaşık hale gelir. Örneğin, sorudaki 9. problemdeyse, değiştirin "Beş dakika" Açık "otuz beş dakika" sorun çok daha kötüleşecektir.)

Ayrıca özünde basit olan ancak hesaplamalar açısından tamamen saçma olan görevler de vardır, örneğin:

Bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.

Ve ne, birçok kez 1/6 ekleyeceğiz?! Kendini öldürmek mümkün mü!?

Yapabilirsin.) Bu tür görevleri bir dakika içinde çözebileceğiniz basit bir formül bilmiyorsanız. Bu formül bir sonraki derste olacak. Ve bu sorun orada çözüldü. Bir dakika içinde.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

O halde oturalım ve bazı rakamlar yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar olabilir (bizim durumumuzda, onlar). Ne kadar sayı yazarsak yazalım, hangisinin birinci hangisinin ikinci ve sondan sonuna kadar her zaman söyleyebiliriz, yani numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:

sayısal dizi
Örneğin, dizimiz için:

Atanan numara yalnızca bir sıra numarasına özeldir. Başka bir deyişle, dizide üç ikinci sayı yoktur. İkinci sayı (-inci sayı gibi) her zaman aynıdır.
Numaralı sayıya dizinin -inci üyesi denir.

Dizinin tamamına genellikle bir harf (örneğin,) diyoruz ve bu dizinin her bir üyesi - bu üyenin numarasına eşit bir dizine sahip aynı harf: .

Bizim durumumuzda:

Diyelim ki bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayısal dizimiz var.
Örneğin:

vesaire.
Böyle bir sayısal diziye aritmetik ilerleme denir.
"İlerleme" terimi, Romalı yazar Boethius tarafından 6. yüzyılın başlarında ortaya atıldı ve daha geniş anlamda sonsuz bir sayısal dizi olarak anlaşıldı. "Aritmetik" adı, eski Yunanlıların uğraştığı sürekli oranlar teorisinden aktarılmıştır.

Bu, her üyesi bir öncekine eşit olan, aynı sayı ile toplanan sayısal bir dizidir. Bu sayıya aritmetik ilerlemenin farkı denir ve gösterilir.

Hangi sayı dizilerinin aritmetik ilerleme olduğunu ve hangilerinin olmadığını belirlemeye çalışın:

A)
B)
C)
D)

Anladım? Cevaplarımızı karşılaştırın:
Dır-dir aritmetik ilerleme - b, c.
Değil aritmetik ilerleme - a, d.

Verilen ilerlemeye () geri dönelim ve onun inci üyesinin değerini bulmaya çalışalım. var iki bulmanın yolu.

1. Yöntem

İlerleme numarasının bir önceki değerine ilerlemenin inci terimine ulaşana kadar ekleme yapabiliriz. Özetleyecek çok şeyimizin olmaması iyi - sadece üç değer:

Yani, açıklanan aritmetik dizinin -inci üyesi eşittir.

2 yol

Ya ilerlemenin 1. teriminin değerini bulmamız gerekirse? Toplama işlemi bir saatten fazla sürerdi ve sayıları toplarken hata yapmadığımız da bir gerçek değil.
Elbette matematikçiler, bir aritmetik ilerlemenin farkını önceki değere eklemeniz gerekmeyen bir yol bulmuşlardır. Çizilen resme yakından bakın ... Elbette belli bir modeli zaten fark etmişsinizdir, yani:

Örneğin, bu aritmetik dizinin -inci üyesinin değerini neyin oluşturduğuna bakalım:


Başka bir deyişle:

Bu aritmetik ilerlemenin bir üyesinin değerini bu şekilde bağımsız olarak bulmaya çalışın.

Hesaplandı mı? Girişlerinizi yanıtla karşılaştırın:

Bir aritmetik ilerlemenin üyelerini bir önceki değere art arda eklediğimizde, önceki yöntemdekiyle tam olarak aynı sayıyı elde ettiğinize dikkat edin.
Bu formülü "kişisellikten arındırmaya" çalışalım - onu genel bir forma getiriyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Aritmetik ilerleme denklemi.

Aritmetik ilerlemeler ya artıyor ya da azalıyor.

Artan- terimlerin sonraki her değerinin bir öncekinden daha büyük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Azalan- terimlerin sonraki her değerinin bir öncekinden daha az olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Türetilmiş formül, bir aritmetik ilerlemenin hem artan hem de azalan terimlerinin hesaplanmasında kullanılır.
Pratikte kontrol edelim.
Bize aşağıdaki sayılardan oluşan bir aritmetik ilerleme verildi:


O zamandan beri:

Böylece, formülün hem azalan hem de artan aritmetik ilerlemede çalıştığına ikna olduk.
Bu aritmetik dizinin -inci ve -inci üyelerini kendi başınıza bulmaya çalışın.

Sonuçları karşılaştıralım:

Aritmetik ilerleme özelliği

Görevi karmaşıklaştıralım - aritmetik bir ilerlemenin özelliğini elde ediyoruz.
Aşağıdaki koşulun verildiğini varsayalım:
- aritmetik ilerleme, değeri bulun.
Çok kolay diyorsunuz ve zaten bildiğiniz formüle göre saymaya başlıyorsunuz:

Let, a, o zaman:

Kesinlikle doğru. Meğer önce buluyoruz sonra ilk sayıya ekliyoruz ve aradığımızı elde ediyoruz. İlerleme küçük değerlerle temsil ediliyorsa, bunda karmaşık bir şey yoktur, peki ya koşulda bize sayılar verilirse? Katılıyorum, hesaplamalarda hata yapma olasılığı var.
Şimdi düşünün, herhangi bir formül kullanarak bu sorunu tek adımda çözmek mümkün mü? Tabii ki evet ve şimdi onu ortaya çıkarmaya çalışacağız.

Aritmetik ilerlemenin istenen terimini şu şekilde gösterelim, onu bulma formülünü biliyoruz - bu, başlangıçta türettiğimiz formülün aynısıdır:
, Daha sonra:

  • ilerlemenin önceki üyesi:
  • ilerlemenin bir sonraki terimi:

İlerlemenin önceki ve sonraki üyelerini toplayalım:

Dizinin önceki ve sonraki üyelerinin toplamı, aralarında bulunan dizi üyesinin değerinin iki katı olduğu ortaya çıkıyor. Diğer bir deyişle, önceki ve ardışık değerleri bilinen bir ilerleme üyesinin değerini bulmak için bunları toplayıp bölmek gerekir.

Bu doğru, aynı numarayı aldık. Malzemeyi düzeltelim. İlerleme değerini kendiniz hesaplayın, çünkü hiç de zor değil.

Tebrikler! İlerleme hakkında neredeyse her şeyi biliyorsunuz! Efsaneye göre, tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan "matematikçilerin kralı" Karl Gauss'un kendisi için kolayca çıkardığı tek bir formül bulmaya devam ediyor ...

Carl Gauss 9 yaşındayken, diğer sınıflardaki öğrencilerin çalışmalarını kontrol etmekle meşgul olan öğretmen, derste şu görevi sordu: "(diğer kaynaklara göre) dahil olana kadar tüm doğal sayıların toplamını hesaplayın. " Bir dakika sonra öğrencilerinden biri (o Karl Gauss'du) göreve doğru cevabı verirken, gözü pek sınıf arkadaşlarının çoğu uzun hesaplamalardan sonra yanlış sonucu aldığında öğretmenin şaşkınlığı neydi ...

Genç Carl Gauss, kolayca fark edebileceğiniz bir model fark etti.
Diyelim ki -ti üyelerinden oluşan bir aritmetik dizimiz var: Aritmetik dizinin verilen üyelerinin toplamını bulmamız gerekiyor. Elbette, tüm değerleri manuel olarak toplayabiliriz, ancak Gauss'un aradığı gibi, görevdeki terimlerinin toplamını bulmamız gerekirse ne olur?

Bize verilen ilerlemeyi tasvir edelim. Vurgulanan sayılara yakından bakın ve onlarla çeşitli matematiksel işlemler yapmaya çalışın.


Sınanmış? Ne fark ettin? Sağ! Toplamları eşittir


Şimdi cevap verin, bize verilen ilerlemede böyle kaç tane çift olacak? Tabii ki, tüm sayıların tam olarak yarısı, yani.
Bir aritmetik ilerlemenin iki teriminin toplamının eşit olduğu ve benzer çiftlerin eşit olduğu gerçeğine dayanarak, toplamın şuna eşit olduğunu elde ederiz:
.
Böylece, herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için formül şöyle olacaktır:

Bazı problemlerde inci terimi bilmiyoruz ama ilerleme farkını biliyoruz. Toplam formülünde, inci üyenin formülünü değiştirmeye çalışın.
Ne aldın?

Tebrikler! Şimdi Carl Gauss'a verilen probleme geri dönelim: -th'den başlayan sayıların toplamının ve -th'ten başlayan sayıların toplamının ne olduğunu kendiniz hesaplayın.

Ne kadar aldın?
Gauss, terimlerin toplamının ve terimlerin toplamının eşit olduğunu ortaya çıkardı. Böyle mi karar verdin?

Aslında, bir aritmetik dizinin üyelerinin toplamı formülü, 3. yüzyılda eski Yunan bilim adamı Diophantus tarafından kanıtlandı ve bu süre boyunca esprili insanlar, aritmetik dizinin özelliklerini kudret ve esasla kullandılar.
Örneğin, Eski Mısır'ı ve o zamanın en büyük şantiyesini - bir piramidin inşasını hayal edin ... Şekil onun bir tarafını gösteriyor.

Burada ilerleme nerede diyorsunuz? Dikkatlice bakın ve piramit duvarının her sırasındaki kum bloklarının sayısında bir model bulun.


Neden aritmetik bir ilerleme olmasın? Tabana blok tuğlalar yerleştirilirse, bir duvar inşa etmek için kaç bloğa ihtiyaç duyulduğunu sayın. Umarım parmağınızı ekranda hareket ettirerek saymazsınız, son formülü ve aritmetik ilerleme hakkında söylediğimiz her şeyi hatırlıyor musunuz?

Bu durumda, ilerleme şöyle görünür:
Aritmetik ilerleme farkı.
Bir aritmetik ilerlemenin üye sayısı.
Verilerimizi son formüllere koyalım (blok sayısını 2 şekilde sayıyoruz).

Yöntem 1.

Yöntem 2.

Ve şimdi monitörde de hesaplayabilirsiniz: elde edilen değerleri piramidimizdeki blok sayısıyla karşılaştırın. Kabul etti mi? Aferin, bir aritmetik dizinin inci terimlerinin toplamında ustalaştın.
Tabii ki, tabandaki bloklardan bir piramit inşa edemezsiniz, ama nereden? Bu durumda bir duvar inşa etmek için kaç tane kum tuğlaya ihtiyaç olduğunu hesaplamaya çalışın.
Becerebildin mi?
Doğru cevap bloklardır:

Eğitim

Görevler:

  1. Masha yaz için şekilleniyor. Her gün squat sayısını arttırıyor. Masha ilk antrenmanda çömelirse haftalar içinde kaç kez çömelir?
  2. içerdiği tüm tek sayıların toplamı kaçtır?
  3. Günlükleri depolarken, oduncular onları öyle bir şekilde istiflerler ki her üst katman bir öncekinden daha az kütük içerir. Duvarın temeli kütük ise, bir duvarda kaç kütük vardır.

Yanıtlar:

  1. Aritmetik ilerlemenin parametrelerini tanımlayalım. Bu durumda
    (hafta = gün).

    Cevap:İki hafta içinde Masha günde bir kez çömelmelidir.

  2. İlk tek sayı, son sayı.
    Aritmetik ilerleme farkı.
    Bununla birlikte - yarıdaki tek sayıların sayısı, bir aritmetik ilerlemenin -inci üyesini bulmak için formülü kullanarak bu gerçeği kontrol edin:

    Sayılar tek sayılar içerir.
    Mevcut verileri formülde değiştiriyoruz:

    Cevap:İçerdiği tüm tek sayıların toplamı eşittir.

  3. Piramitlerle ilgili sorunu hatırlayın. Bizim durumumuz için, a , her bir üst katman bir günlük azaltıldığından, yalnızca birkaç katman vardır, yani.
    Formüldeki verileri değiştirin:

    Cevap: Duvarda kütükler var.

Özetliyor

  1. - bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayısal dizi. Artıyor ve azalıyor.
  2. formül bulma Bir aritmetik dizinin inci üyesi, dizideki sayıların sayısı olan - formülü ile yazılır.
  3. Bir aritmetik dizinin üyelerinin özelliği- - nerede - ilerlemedeki sayıların sayısı.
  4. Bir aritmetik ilerlemenin üyelerinin toplamı iki şekilde bulunabilir:

    , burada değerlerin sayısıdır.

ARİTMETİK İLERLEME. ORTALAMA SEVİYE

sayısal dizi

Oturup birkaç rakam yazmaya başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar çok olabilir. Ama hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu her zaman söyleyebilirsiniz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir.

sayısal dizi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayılar kümesidir.

Başka bir deyişle, her sayı belirli bir doğal sayı ile ilişkilendirilebilir ve yalnızca bir tane olabilir. Ve bu numarayı bu setten başka bir numaraya atamayacağız.

Numaralı sayıya dizinin -inci üyesi denir.

Dizinin tamamına genellikle bir harf (örneğin,) diyoruz ve bu dizinin her bir üyesi - bu üyenin numarasına eşit bir dizine sahip aynı harf: .

Dizinin -inci üyesinin bir formülle verilebilmesi çok uygundur. Örneğin, formül

sırayı ayarlar:

Ve formül aşağıdaki sıradır:

Örneğin, bir aritmetik ilerleme bir dizidir (buradaki ilk terim eşittir ve farktır). Veya (, fark).

n'inci terim formülü

-inci terimi bulmak için önceki veya birkaç öncekini bilmeniz gereken bir formüle tekrarlayan diyoruz:

Örneğin, böyle bir formül kullanarak dizinin inci terimini bulmak için önceki dokuzu hesaplamamız gerekir. Örneğin, izin verin. Daha sonra:

Peki, formülün ne olduğu şimdi anlaşıldı mı?

Her satırda, bir sayı ile çarparak ekleriz. Ne için? Çok basit: Bu, mevcut üye eksi sayısıdır:

Şimdi çok daha rahat, değil mi? Kontrol ediyoruz:

Kendin için karar ver:

Bir aritmetik ilerlemede, n'inci terimin formülünü ve yüzüncü terimi bulun.

Çözüm:

Birinci terim eşittir. Ve fark nedir? Ve işte ne:

(sonuçta, ilerlemenin ardışık üyelerinin farkına eşit olduğu için buna fark denir).

Yani formül:

O zaman yüzüncü terim:

ile arasındaki tüm doğal sayıların toplamı kaçtır?

Efsaneye göre, 9 yaşında bir çocuk olan büyük matematikçi Carl Gauss, bu miktarı birkaç dakikada hesaplamıştır. İlk ve son sayının toplamının eşit olduğunu, ikinci ve sondan bir önceki sayının toplamının aynı olduğunu, sondan üçüncü ve sondan üçüncünün toplamının aynı olduğunu vb. fark etti. Böyle kaç tane çift var? Bu doğru, tüm sayıların tam olarak yarısı, yani. Bu yüzden,

Herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için genel formül şöyle olacaktır:

Örnek:
Tüm iki basamaklı katların toplamını bulun.

Çözüm:

Bu tür ilk sayı budur. Her sonraki, bir öncekine bir sayı eklenerek elde edilir. Böylece bizi ilgilendiren sayılar, ilk terimi ve farkı ile aritmetik bir dizi oluşturur.

Bu ilerleme için inci dönem için formül şöyledir:

Hepsinin iki basamaklı olması gerekiyorsa, ilerlemede kaç terim vardır?

Çok kolay: .

İlerlemenin son terimi eşit olacaktır. O zaman toplam:

Cevap: .

Şimdi kendiniz karar verin:

  1. Sporcu her gün bir önceki güne göre 1m daha fazla koşar. İlk gün km m koştuysa, haftada kaç kilometre koşacaktır?
  2. Bir bisikletçi her gün bir öncekinden daha fazla mil kat ediyor. İlk gün km yol kat etti. Bir kilometreyi kat etmesi için kaç gün sürmesi gerekiyor? Yolculuğun son gününde kaç kilometre yol yapacak?
  3. Mağazadaki buzdolabının fiyatı her yıl aynı miktarda düşürülür. Bir buzdolabının fiyatının her yıl ne kadar düştüğünü belirleyin, eğer ruble için satışa sunulursa, altı yıl sonra ruble için satılırsa.

Yanıtlar:

  1. Buradaki en önemli şey aritmetik ilerlemeyi tanımak ve parametrelerini belirlemektir. Bu durumda, (hafta = gün). Bu ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını belirlemeniz gerekir:
    .
    Cevap:
  2. İşte verilir:, bulmak gerekir.
    Açıkçası, önceki problemdekiyle aynı toplam formülünü kullanmanız gerekiyor:
    .
    Değerleri değiştirin:

    Kök açıkça uymuyor, bu yüzden cevap.
    -inci terimin formülünü kullanarak son bir günde kat edilen mesafeyi hesaplayalım:
    (km).
    Cevap:

  3. Verilen: . Bulmak: .
    Daha kolay olmaz:
    (ovmak).
    Cevap:

ARİTMETİK İLERLEME. ANA KONU HAKKINDA KISACA

Bu, bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu sayısal bir dizidir.

Aritmetik ilerleme artıyor () ve azalıyor ().

Örneğin:

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesini bulma formülü

ilerlemedeki sayıların sayısı olduğu bir formül olarak yazılır.

Bir aritmetik dizinin üyelerinin özelliği

Komşu üyeleri biliniyorsa, ilerlemedeki sayıların sayısı nerede olduğu biliniyorsa, ilerlemenin bir üyesini bulmayı kolaylaştırır.

Bir aritmetik ilerlemenin üyelerinin toplamı

Toplamı bulmanın iki yolu vardır:

Değerlerin sayısı nerede.

Değerlerin sayısı nerede.

KALAN 2/3 MAKALELER SADECE SİZ AKILLI ÖĞRENCİLER İÇİN MEVCUTTUR!

YouClever'in öğrencisi olun,

OGE'ye hazırlanın veya matematikte "ayda bir fincan kahve" fiyatına KULLANIN,

Ayrıca "YouClever" ders kitabına, "100gia" eğitim programına (çözüm kitabı), sınırsız deneme USE ve OGE'ye, çözümlerin analizini içeren 6000 göreve ve diğer YouClever ve 100gia hizmetlerine sınırsız erişim elde edin.



 

Şunları okumak faydalı olabilir: