Doğal sayılar ve sıfır nedir? tamsayılar

tamsayılar en eski matematiksel kavramlardan biridir.

Uzak geçmişte, insanlar sayıları bilmiyorlardı ve nesneleri (hayvanlar, balıklar vb.) Saymaları gerektiğinde, bunu şimdi yaptığımızdan farklı yapıyorlardı.

Nesnelerin sayısı vücudun bölümleriyle, örneğin eldeki parmaklarla karşılaştırıldı ve "Eldeki parmak sayısı kadar fındığım var" dediler.

Zamanla insanlar beş fındık, beş keçi ve beş tavşanın ortak bir özelliği olduğunu fark ettiler - sayıları beş.

Hatırlamak!

tamsayılar nesneleri sayarken elde edilen 1 ile başlayan sayılardır.

1, 2, 3, 4, 5…

en küçük doğal sayı — 1 .

en büyük doğal sayı bulunmuyor.

Sayarken sıfır sayısı kullanılmaz. Bu nedenle, sıfır bir doğal sayı olarak kabul edilmez.

İnsanlar sayıları yazmayı saymaktan çok sonra öğrendiler. Her şeyden önce, birimi bir çubukla, ardından iki çubukla - 2 numara, üç ile - 3 numara ile temsil etmeye başladılar.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Ardından, modern sayıların öncüleri olan sayıları belirtmek için özel işaretler ortaya çıktı. Sayıları yazmak için kullandığımız sayılar, yaklaşık 1500 yıl önce Hindistan'da ortaya çıktı. Araplar onları Avrupa'ya getirdi, bu yüzden onlara denir Arap rakamları.

Toplam on basamak vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bu rakamlar herhangi bir doğal sayıyı yazmak için kullanılabilir.

Hatırlamak!

doğal seri tüm doğal sayıların dizisi:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Doğal dizide her sayı bir öncekinden 1 fazladır.

Doğal seri sonsuzdur, içinde en büyük doğal sayı yoktur.

Kullandığımız sayma sisteminin adı ondalık konumsal.

Ondalık çünkü her basamağın 10 birimi en anlamlı basamağın 1 birimini oluşturur. Konumsal çünkü bir basamağın değeri, bir sayının gösterimindeki yerine, yani yazıldığı basamaktaki yerine bağlıdır.

Önemli!

Milyardan sonraki sınıflar, sayıların Latince adlarına göre adlandırılır. Sonraki her birim, önceki bin birimi içerir.

  • 1.000 milyar = 1.000.000.000.000 = 1 trilyon (“üç”, Latince “üç” anlamına gelir)
  • 1.000 trilyon = 1.000.000.000.000.000 = 1 katrilyon (“quadra” Latince “dört” anlamına gelir)
  • 1.000 katrilyon = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kentilyon (“quinta” Latince “beş” anlamına gelir)

Ancak fizikçiler tüm atomların sayısını aşan bir sayı bulmuşlardır ( en küçük parçacıklar madde) evren boyunca.

Bu numaranın özel bir adı var - googol. Bir googol, 100 sıfır içeren bir sayıdır.

"İkinci dereceden işlev" - Özellikler: -a için monotonluk aralıkları > 0 için a< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Güç işlevi Derece 9" - İşlevlere aşinayız. Güç işlevi. U. 0. 9. Sınıf öğretmeni Ladoshkina I.A. Y \u003d x2, y \u003d x4, y \u003d x6, y \u003d x8, ... Gösterge çift doğal sayıdır (2n). y = x Parabol. Kübik parabol. y=x2n fonksiyonu çifttir, çünkü (–x)2n = x2n.

"Sınıf 8 ikinci dereceden fonksiyon" - 1) Parabolün tepesini oluşturun. -1. Fonksiyonu çizin. 2) x=-1 simetri eksenini oluşturun. y. Cebir 8. Sınıf Öğretmen 496 okul Bovina TV İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin oluşturulması. X. -7. Inşaat planı.

"Y X fonksiyonunun grafiği" - y=x2 + n fonksiyonunun grafiği, tepe noktası (0; n) noktasında olan bir paraboldür. y=(x - m)2 fonksiyonunun grafiği, tepe noktası (m; 0) noktasında olan bir paraboldür. Grafikleri görmek için tıklayın. Sayfa tıklandığında görüntülenir. Yukarıdakilerden, y=(x - m)2 + n fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktası (m; n) noktasında olan bir parabol olduğu sonucu çıkar.

"Doğal logaritma" - 0.1. "Logaritmik dart". 0.04. 121. Doğal logaritmalar. 7.4.

"İkinci dereceden işlev ve grafiği" - Yazar: Ilya Granov. Problem çözme: Karar y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-aittir. 4. y=4x fonksiyonunun grafiği A(0.5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0.1:0.4) noktası mı? a=1 olduğunda, y=ax formülü şeklini alır.

Konuda toplam 25 sunum var.

Doğal sayıların tanımına iki yaklaşım vardır:

  • sayma (numaralandırma)öğeler ( Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü, beşinci…);
  • doğal sayılar - ne zaman ortaya çıkan sayılar miktar tanımıöğeler ( 0 ürün, 1 ürün, 2 eşya, 3 ürün, 4 ürün, 5 ürün…).

İlk durumda, doğal sayılar dizisi birden, ikinci durumda - sıfırdan başlar. Çoğu matematikçi için birinci yaklaşımın mı yoksa ikinci yaklaşımın mı tercih edileceği (yani sıfırın bir doğal sayı olarak kabul edilip edilmeyeceği) konusunda ortak bir görüş yoktur. Rus kaynaklarının büyük çoğunluğu geleneksel olarak ilk yaklaşımı benimsemiştir. Örneğin, ikinci yaklaşım işlerde kullanılır. Nicolas Bourbaki, burada doğal sayılar şu şekilde tanımlanır: güç sonlu kümeler.

Temel gerçek, bu aksiyomların esasen benzersiz bir şekilde doğal sayıları belirlemesidir (Peano'nun aksiyomları sisteminin kategorik doğası). Yani, kanıtlanabilir (bkz. ve ayrıca kısa bir kanıt), eğer (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) Ve (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) ))),(\tilde (1))),(\tilde (S)))) Peano'nun aksiyomları sistemi için iki modeldir, o zaman bunlar olmalıdır izomorfik, yani tersine çevrilebilir bir eşleme var ( birebir örten) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N)) )))öyle ki f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1))) Ve f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x))) hepsi için x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N)).

Bu nedenle, doğal sayılar kümesinin herhangi bir belirli modelini düzeltmek yeterlidir.

Doğal sayı olarak sıfır

Bazen, özellikle yabancı ve çevrilmiş literatürde, Peano'nun birinci ve üçüncü aksiyomları birin yerine sıfır koyar. Bu durumda, sıfır bir doğal sayı olarak kabul edilir. Eşdeğer kümelerin sınıfları cinsinden tanımlandığında sıfır, tanımı gereği bir doğal sayıdır. Özel olarak atmak doğal olmazdı. Ek olarak, bu, teorinin daha fazla inşa edilmesini ve uygulanmasını önemli ölçüde karmaşıklaştıracaktır, çünkü çoğu yapıda sıfır, boş küme gibi, yalıtılmış bir şey değildir. Sıfırı bir doğal sayı olarak kabul etmenin bir başka avantajı da şudur: N (\displaystyle \mathbb (N)) formlar yekpare.

Rus edebiyatında sıfır genellikle doğal sayıların sayısından hariç tutulur ( 0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N))) ve sıfırlı doğal sayılar kümesi şu şekilde gösterilir: N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)). Doğal sayıların tanımında sıfır varsa, doğal sayılar kümesi şu şekilde yazılır: N (\displaystyle \mathbb (N)) ve sıfır olmadan - olarak N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*)).

Uluslararası matematiksel literatürde, yukarıdakiler ışığında ve belirsizliklerden kaçınmak için, küme ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) genellikle pozitif tamsayılar kümesi olarak adlandırılır ve gösterilir Z + (\displaystyle \mathbb (Z) _(+)). Bir demet ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) genellikle negatif olmayan tamsayılar kümesi olarak adlandırılır ve gösterilir Z ≥ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\geqslant 0)).

Böylece, küme kavramına dayalı olarak iki kurala göre doğal sayılar da tanıtılır:

Bu şekilde verilen sayılara denir. sıralı.

İlk birkaç sıra sayısını ve bunlara karşılık gelen doğal sayıları tanımlayalım:

Doğal sayılar kümesinin değeri

Sonsuz bir kümenin değeri, " kavramıyla karakterize edilir. kümenin önemi”, sonlu bir kümenin eleman sayısının sonsuz kümelere genelleştirilmesidir. Boyut (yani güç), doğal sayılar kümesi herhangi bir sonlu kümeden daha büyük, ancak herhangi bir aralıktan, örneğin aralıktan daha küçüktür. (0 , 1) (\görüntü stili (0,1)). Doğal sayılar kümesi, kümeyle aynı kardinaliteye sahiptir. rasyonel sayılar. Doğal sayılar kümesiyle aynı kardinaliteye sahip bir kümeye ne ad verilir? sayılabilir küme. Böylece, herhangi bir üye kümesi diziler sayılabilir. Aynı zamanda, doğal sayılar kümesi sayılabilir olarak temsil edilebildiğinden, her doğal sayının sonsuz sayıda geçtiği bir dizi vardır. Birlik kesişmeyen sayılabilir kümeler (örneğin, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\sağ))).

Doğal sayılar üzerinde işlemler

İLE kapalı operasyonlar(doğal sayılar kümesinden bir sonuç çıkarmayan işlemler) doğal sayılar üzerinde aşağıdaki aritmetik işlemleri içerir:

Ek olarak, iki işlem daha ele alınmıştır (biçimsel bir bakış açısıyla, bunlar doğal sayılar üzerinde işlem değildir, çünkü bunlar için tanımlanmamıştır. Tümü sayı çiftleri (bazen varlar, bazen yoklar):

Toplama ve çarpma işlemlerinin temel olduğu belirtilmelidir. Özellikle, yüzük tamsayılar yoluyla kesin olarak belirlenir ikili işlemler toplama ve çarpma.

Temel özellikler

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).
  • Çarpmanın değişmeliliği:
a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a). (a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).
  • Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği:
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)). ( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a) \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(durumlar))).

cebirsel yapı

Toplama, doğal sayılar kümesini şuna dönüştürür: yarı grup bir birim ile, birimin rolü tarafından oynanır 0 . Çarpma aynı zamanda doğal sayılar kümesini birimli bir yarı gruba dönüştürürken, özdeşlik öğesi 1 . Kullanarak kapanışlar Toplama-çıkarma ve çarpma-bölme işlemlerine göre tam sayı grupları elde edilir. Z (\displaystyle \mathbb (Z)) ve rasyonel pozitif sayılar Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) sırasıyla.

Set-teorik tanımlar

Doğal sayıların tanımını şu şekilde kullanırız: denklik sınıfları sonlu kümeler. Bir kümenin denklik sınıfını belirtirsek A, tahminler tarafından oluşturulan, yardımıyla köşeli parantez: [A], temel aritmetik işlemler aşağıdaki gibi tanımlanır:

Sınıflar üzerinde ortaya çıkan işlemlerin doğru bir şekilde tanıtıldığı, yani sınıf öğelerinin seçimine bağlı olmadığı ve tümevarımsal tanımlarla örtüştüğü gösterilebilir.

Ayrıca bakınız

notlar

Edebiyat

  • Vygodsky M.Ya. İlköğretim Matematik El Kitabı. - M.: Nauka, 1978.
    • Reissue: M.: AST, 2006,

Matematik, MÖ 6. yüzyılda genel felsefeden ortaya çıktı. e. ve o andan itibaren dünya çapında muzaffer yürüyüşüne başladı. Gelişimin her aşaması yeni bir şey getirdi - temel sayma gelişti, diferansiyel ve integral hesabına dönüştü, yüzyıllar değişti, formüller giderek daha kafa karıştırıcı hale geldi ve "en karmaşık matematiğin başladığı - tüm sayıların ondan kaybolduğu" an geldi. Ama temeli neydi?

Zamanın başlangıcı

Doğal sayılar ilk matematiksel işlemlerle birlikte ortaya çıktı. Bir zamanlar bir omurga, iki diken, üç diken ... İlk konumsal çıkarımı yapan Hintli bilim adamları sayesinde ortaya çıktılar.

"Konumsallık" kelimesi, bir sayıdaki her basamağın konumunun kesin olarak tanımlandığı ve kategorisine karşılık geldiği anlamına gelir. Örneğin, 784 ve 487 sayıları aynı sayılardır, ancak sayılar eşdeğer değildir, çünkü ilki 7 yüz, ikincisi ise sadece 4'ü içerir. Araplar, sayıları forma getiren Hintlilerin yeniliğini aldı. Şimdi bildiğimiz.

Eski zamanlarda sayılar verilirdi. mistik anlam, Pisagor, sayının, ateş, su, toprak, hava gibi temel unsurlarla birlikte dünyanın yaratılışının altında yattığına inanıyordu. Her şeyi sadece matematiksel açıdan ele alırsak, o zaman doğal sayı nedir? Doğal sayılar alanı N ile gösterilir ve tam sayı ve pozitif olan sonsuz bir sayı dizisidir: 1, 2, 3, … + ∞. Sıfır hariçtir. Esas olarak öğeleri saymak ve sırayı belirtmek için kullanılır.

Matematikte ne var? Peano'nun aksiyomları

N alanı, temel matematiğin dayandığı temel alandır. Zamanla, tam sayıların alanları, rasyonel,

İtalyan matematikçi Giuseppe Peano'nun çalışması, aritmetiğin daha fazla yapılandırılmasını mümkün kıldı, formalitesini gerçekleştirdi ve N alanının ötesine geçen daha fazla sonuca giden yolu açtı.

Doğal sayı nedir, daha önce bulundu sade dil, Peano'nun aksiyomlarına dayanan matematiksel tanım aşağıda ele alınacaktır.

  • Bir doğal sayı olarak kabul edilir.
  • Bir doğal sayının ardından gelen sayı bir doğal sayıdır.
  • Birden önce doğal sayı yoktur.
  • b sayısı hem c sayısını hem de d sayısını takip ediyorsa c=d olur.
  • Sırasıyla bir doğal sayının ne olduğunu gösteren tümevarım aksiyomu: Bir parametreye bağlı olan bazı ifadeler 1 sayısı için doğruysa, bunun N doğal sayılar alanından n sayısı için de çalıştığını varsayarız. ifade, N doğal sayıları alanından n = 1 için de geçerlidir.

Doğal sayılar alanı için temel işlemler

N alanı matematiksel hesaplamalar için ilk olduğundan, aşağıdaki bir dizi işlemin hem tanım alanları hem de değer aralıkları buna atıfta bulunur. Kapalılar ve değiller. Ana fark, kapalı işlemlerin N kümesi içinde bir sonuç bırakmasının garanti edilmesidir, hangi sayılar söz konusu olursa olsun. Doğal olmaları yeterlidir. Kalan sayısal etkileşimlerin sonucu artık o kadar açık değildir ve ana tanımla çelişebileceğinden doğrudan ifadede ne tür sayıların yer aldığına bağlıdır. Yani, kapalı işlemler:

  • ek - x + y = z, burada x, y, z, N alanına dahil edilir;
  • çarpma - x * y = z, burada x, y, z N alanına dahil edilir;
  • üs - x y , burada x, y N alanına dahil edilir.

Sonucu "doğal sayı nedir" tanımı bağlamında bulunmayabilecek kalan işlemler şunlardır:


N alanına ait sayıların özellikleri

Diğer tüm matematiksel muhakemeler, en önemsiz, ancak daha az önemli olmayan aşağıdaki özelliklere dayanacaktır.

  • Toplamanın değişme özelliği x + y = y + x'tir, burada x, y sayıları N alanına dahil edilir. Veya iyi bilinen "terimlerin yerlerindeki bir değişiklikten toplam değişmez."
  • Çarpmanın değişme özelliği x * y = y * x şeklindedir, burada x, y sayıları N alanına dahil edilir.
  • Toplamanın ilişkisel özelliği (x + y) + z = x + (y + z) şeklindedir, burada x, y, z N alanına dahildir.
  • Çarpmanın ilişkisel özelliği (x * y) * z = x * (y * z) şeklindedir, burada x, y, z sayıları N alanına dahil edilir.
  • dağıtım özelliği - x (y + z) = x * y + x * z, burada x, y, z sayıları N alanına dahil edilir.

Pisagor tablosu

Hangi sayıların doğal olarak adlandırıldığını kendileri anladıktan sonra, okul çocukları tarafından temel matematiğin tüm yapısı hakkında bilgi sahibi olmanın ilk adımlarından biri Pisagor tablosudur. Sadece bilim açısından değil, aynı zamanda değerli bir bilimsel anıt olarak da değerlendirilebilir.

Bu çarpım tablosu zamanla bir dizi değişikliğe uğradı: ondan sıfır kaldırıldı ve 1'den 10'a kadar olan sayılar, siparişleri hesaba katmadan (yüzlerce, binlerce ...) kendilerini ifade ediyor. Satır ve sütun başlıklarının sayı olduğu ve kesişme noktalarının hücrelerinin içeriğinin çarpımına eşit olduğu bir tablodur.

Son on yıllardaki öğretim pratiğinde, Pisagor tablosunu "sırayla" ezberlemeye ihtiyaç duyuldu, yani ezberleme önce geldi. Sonuç 1 veya daha büyük olduğu için 1 ile çarpma hariç tutuldu. Bu arada, çıplak gözle tabloda bir model görebilirsiniz: sayıların çarpımı, satırın başlığına eşit olan bir adım büyür. Böylece ikinci faktör, istenen ürünü elde etmek için birinciyi kaç kez almamız gerektiğini gösterir. Bu sistem, Orta Çağ'da uygulanandan çok daha uygundur: Doğal bir sayının ne olduğunu ve ne kadar önemsiz olduğunu anlayan insanlar bile, ikinin kuvvetlerine dayalı bir sistem kullanarak günlük sayımlarını karmaşıklaştırmayı başardılar.

Matematiğin beşiği olarak altküme

Açık şu an doğal sayılar alanı N, karmaşık sayıların yalnızca alt kümelerinden biri olarak kabul edilir, ancak bu onları bilimde daha az değerli yapmaz. Doğal sayı, bir çocuğun kendini inceleyerek öğrendiği ilk şeydir ve Dünya. Bir parmak, iki parmak ... Onun sayesinde insan oluşur mantıksal düşünme neden belirleme ve sonuç çıkarma yeteneğinin yanı sıra, büyük keşiflerin önünü açıyor.



 

Şunları okumak faydalı olabilir: