Sayı kavramına neler dahildir? En büyük ortak kat ve en küçük ortak bölen

Bu yazıda keşfetmeye başlayacağız rasyonel sayılar. Burada tanımları vereceğiz rasyonel sayılar gerekli açıklamaları yapıp rasyonel sayılara örnekler vereceğiz. Bundan sonra verilen bir sayının rasyonel olup olmadığının nasıl belirleneceğine odaklanacağız.

Sayfada gezinme.

Rasyonel sayıların tanımı ve örnekleri

Bu bölümde rasyonel sayıların çeşitli tanımlarını vereceğiz. İfadelerdeki farklılıklara rağmen, bu tanımların tümü aynı anlama sahiptir: tıpkı tam sayıların doğal sayıları, onların zıttlarını ve sıfır sayısını birleştirmesi gibi, rasyonel sayılar da tam sayıları ve kesirleri birleştirir. Başka bir deyişle rasyonel sayılar tam ve kesirli sayıları genelleştirir.

İle başlayalım rasyonel sayıların tanımları, bu en doğal şekilde algılanır.

Belirtilen tanımdan rasyonel bir sayının şu olduğu anlaşılmaktadır:

Herhangi bir doğal sayı n. Aslında herhangi bir doğal sayıyı sıradan bir kesir olarak temsil edebilirsiniz, örneğin 3=3/1.
Herhangi bir tam sayı, özellikle sıfır sayısı. Aslında herhangi bir tam sayı pozitif olarak yazılabilir. ortak kesir negatif kesir olarak veya sıfır olarak. Örneğin, 26=26/1, .
Herhangi bir ortak kesir (pozitif veya negatif). Bu, rasyonel sayıların verilen tanımıyla doğrudan doğrulanır.
Herhangi bir karışık sayı. Aslında her zaman hayal edilebilir karışık numara uygunsuz bir kesir olarak. Örneğin ve.
Herhangi bir sonlu ondalık kesir veya sonsuz periyodik kesir. Bunun nedeni, belirtilen ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesidir. Örneğin, ve 0,(3)=1/3.

Ayrıca herhangi bir sonsuz periyodik olmayan ondalık Rasyonel bir sayı DEĞİLDİR çünkü kesir olarak ifade edilemez.

Artık rahatlıkla verebiliriz rasyonel sayılara örnekler. 4, 903, 100,321 sayıları doğal sayılar olduğundan rasyonel sayılardır. 58, −72, 0, −833,333,333 tam sayıları da rasyonel sayılara örnektir. Ortak kesirler 4/9, 99/3 de rasyonel sayılara örnektir. Rasyonel sayılar da sayıdır.

Yukarıdaki örneklerden hem pozitif hem de negatif rasyonel sayıların olduğu ve sıfır rasyonel sayısının ne pozitif ne de negatif olduğu açıktır.

Rasyonel sayıların yukarıdaki tanımı daha kısa bir biçimde formüle edilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar z/n kesri olarak yazılabilen sayılardır; burada z bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır.

Rasyonel sayıların bu tanımının önceki tanıma eşdeğer olduğunu kanıtlayalım. Bir kesir çizgisini bir bölme işareti olarak düşünebileceğimizi biliyoruz, o zaman tam sayıları bölmenin özelliklerinden ve tam sayıları bölme kurallarından aşağıdaki eşitliklerin geçerliliği takip edilir ve. İşte bunun kanıtı.

Rasyonel sayılara örnekler verelim bu tanım. −5, 0, 3 ve sayıları rasyonel sayılardır, çünkü bunlar sırasıyla bir tamsayı payı ve doğal paydası ile kesirler olarak yazılabilinir.

Rasyonel sayıların tanımı aşağıdaki formülle verilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak yazılabilen sayılardır.

Bu tanım aynı zamanda ilk tanıma da eşdeğerdir, çünkü her sıradan kesir sonlu veya periyodik bir ondalık kesire karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir ve herhangi bir tam sayı, ondalık noktadan sonra sıfır bulunan bir ondalık kesirle ilişkilendirilebilir.

Örneğin 5, 0, −13 sayıları rasyonel sayılara örnektir çünkü aşağıdaki ondalık kesirler olarak yazılabilirler: 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 ve −7, (18).

Bu noktanın teorisini aşağıdaki ifadelerle bitirelim:

tamsayılar ve kesirler (pozitif ve negatif) rasyonel sayılar kümesini oluşturur;
her rasyonel sayı, bir tamsayı payı ve bir doğal paydası olan bir kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, belirli bir rasyonel sayıyı temsil eder;
her rasyonel sayı, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, bir rasyonel sayıyı temsil eder.

Bu sayı rasyonel midir?

Önceki paragrafta, herhangi bir doğal sayının, herhangi bir tam sayının, herhangi bir sıradan kesirin, herhangi bir karışık sayının, herhangi bir sonlu ondalık kesirin yanı sıra herhangi bir periyodik ondalık kesirin rasyonel bir sayı olduğunu öğrendik. Bu bilgi, bir dizi yazılı sayıdan rasyonel sayıları “tanımamızı” sağlar.

Peki ya sayı bazı şeklinde veya şeklinde verilirse, bu sayının rasyonel olup olmadığı sorusuna nasıl cevap verilir? Çoğu durumda cevap vermek çok zordur. Bazı düşünce yönlerini belirtelim.

Bir sayı, yalnızca rasyonel sayılar ve aritmetik işaretler (+, −, · ve:) içeren sayısal bir ifade olarak veriliyorsa bu ifadenin değeri bir rasyonel sayıdır. Bu, rasyonel sayılarla yapılan işlemlerin nasıl tanımlandığından kaynaklanmaktadır. Örneğin ifadedeki tüm işlemleri yaptıktan sonra 18 rasyonel sayısını elde ederiz.

Bazen ifadeleri basitleştirip daha karmaşık hale getirdikten sonra verilen bir sayının rasyonel olup olmadığını belirlemek mümkün hale gelir.

Daha ileri gidelim. Her doğal sayı rasyonel olduğundan 2 sayısı rasyonel bir sayıdır. Peki ya sayı? Mantıklı mı? Hayır, bunun rasyonel bir sayı olmadığı, irrasyonel bir sayı olduğu ortaya çıktı (bu gerçeğin çelişkili kanıtı, aşağıda referans listesinde listelenen 8. sınıf cebir ders kitabında verilmiştir). Ayrıca, bir doğal sayının karekökünün, yalnızca kökün altında bir doğal sayının tam karesi olan bir sayının bulunduğu durumlarda rasyonel bir sayı olduğu kanıtlanmıştır. Örneğin, 81 = 9 2 ve 1 024 = 32 2 olduğundan ve sayıları rasyonel sayılardır ve 7 ve 199 sayıları tam kare olmadığından ve sayıları rasyonel değildir. doğal sayılar.

Sayı rasyonel mi değil mi? İÇİNDE bu durumda Dolayısıyla bu sayının rasyonel olduğunu görmek kolaydır. Sayı rasyonel mi? Bir tam sayının k'inci kökünün, yalnızca kök işaretinin altındaki sayının bir tamsayının k'inci kuvveti olması durumunda rasyonel sayı olduğu kanıtlanmıştır. Dolayısıyla beşinci kuvveti 121 olan bir tam sayı bulunmadığından rasyonel bir sayı değildir.

Çelişki yöntemi, bazı sayıların logaritmasının bazı nedenlerden dolayı rasyonel sayılar olmadığını kanıtlamanıza olanak tanır. Örneğin - sayısının rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlayalım.

Bunun tersini varsayalım, yani bunun rasyonel bir sayı olduğunu ve m/n sıradan kesri olarak yazılabildiğini varsayalım. Daha sonra aşağıdaki eşitlikleri veriyoruz: . Son eşitlik imkansızdır çünkü sol tarafta tek sayı 5 n ve sağ tarafta çift sayı 2 m var. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır, dolayısıyla rasyonel bir sayı değildir.

Sonuç olarak, sayıların rasyonelliğini veya irrasyonelliğini belirlerken ani sonuçlara varmaktan kaçınılması gerektiğini özellikle belirtmekte fayda var.

Örneğin, irrasyonel sayılar π ve e'nin çarpımının irrasyonel bir sayı olduğunu hemen iddia etmemelisiniz; bu "görünüşte açık" ama kanıtlanmadı. Bu şu soruyu gündeme getiriyor: "Bir ürün neden rasyonel sayı olsun?" Ve neden olmasın, çünkü çarpımı rasyonel bir sayı veren irrasyonel sayılara bir örnek verebilirsiniz: .

Sayıların ve daha birçok sayının rasyonel olup olmadığı da bilinmiyor. Örneğin, irrasyonel gücü rasyonel bir sayı olan irrasyonel sayılar vardır. Örnek olarak, formun bir derecesini sunuyoruz, bu derecenin tabanı ve üssü rasyonel sayılar değil, ve 3 rasyonel bir sayıdır.

Kaynakça.

Matematik. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Fizik ve matematiğin modern simbiyozu, matematikte kullanılan temel kavramların radikal bir şekilde yeniden düşünülmesine de yol açmaktadır; bu kavramlar arasında en temel öneme sahip olan kavramdır.

Sayı kavramına neler dahildir?

Sayı, fizik bilgisinin ana konusudur. Fizik çalışmaları numarası. Fizik, sayının varlığından dolayı ortaya çıkan etkileri inceler. Sayı, zamanın doğadaki varoluş biçimidir. Sayı, fiziğin gerçek bir nesnesidir. Sayı aynı zamanda bir dalga ve bir parçacıktır. Sayı gerçek bir nesnedir, zamanın bir öğesidir, bir şeydir, araştırmacının bakış açısından hem dalga hem de parçacık olan bir zaman nesnesidir. Dolayısıyla sayı, salınım ve dalga işlemlerini gerçekleştiren bir nesnedir. Sayı yayılıyor.

Bir sayının varoluş biçimi salınımdır - harmonik salınımlar, mekanik harmonik salınımlar, bir elektrik salınım devresindeki serbest harmonik salınımlar, sönümlü ve zorunlu salınımlar.

Sayı kavramı. Kuantum fiziği, modern fiziğin gerçek ama bariz olmayan nesnesine, yani sayılara, fiziğin diğer dallarından daha fazla yaklaşmıştır. Fiziğin gerçek nesnesi sayıdır.

Uzay sayılardan oluşur. Bir sayı serisinin gerçek sonsuzluğu (sayılabilir sonsuzluk) uzayın kendisidir.

Bir sayı serisinin gerçek sonsuzluğu bir “alandır”. Sonsuz sayı serisi “doğanın” tutarlılığıdır; her türlü uygulamanın meselesi olarak zamanın sürecidir. Evrensel ve somut olan sayı, klasik mekanikte “cisim” adı altında gizlenen gerçekliktir. Sadece bir sayı var. Sayı serilerinin iç ilişkileri fiziğin şeffaf uzayını oluşturur.

V. I. Shilov

“Hız”, “ivme”, “impuls”, “atalet”, “enerji”, “termal hareket”, “iş”, “dalgalanma”, “elektrik alanı”, “ elektrik şarjı"", "elektrik akımı", "dielektrik", "yarı iletken", "plazma", "manyetik alan", "atom", "indüksiyon", "elektrik akımı", "salınımlar", "dalgalar", "termal radyasyon" , "foton", "radyoaktivite", "temel parçacıkların temel etkileşimleri" - ve bunların hepsi sayıyla ölçülür.

Dolayısıyla sayı, matematiğin özüyle örtüşen, fiziğin asıl konusudur. Tüm fiziksel deneyler bir sayı dizisinin “içinde” yapılan deneylerdir, belirli sayılarla yapılan deneylerdir, sayıların etkileşimi alanındaki deneylerdir, birin gerçek sonsuzluğuna dayanan, ancak gerçekte var olan sayı serileri üzerine yapılan deneylerdir.

Sayı türlerindeki fark, modern fiziğin dallarında sunulan fiziksel süreçlerin gerçek fiziksel gerçekliğidir. Sayı türlerindeki farklılık, fiziksel etkileşimlerdeki ve fiziksel madde türlerindeki gerçek bir farklılık biçimidir.

Sayı türleri, fiziksel süreçlerin tüm çeşitliliğini yansıtır ve bu çeşitliliğin incelenen biçimidir. Bu yüzden:

Bir sayının bölünebilirliği, fiziksel bir sürecin spesifik fiziksel özüdür.

Bölünemeyen asal sayı fiziğin son gerçek nesnesidir.

En basit sayı doğal sayı. Onlar kullanılır Gündelik Yaşam saymak için nesneler, yani sayısını ve sırasını hesaplamak için.

Doğal sayı nedir: doğal sayılar kullanılan sayıları adlandırın Tüm homojen öğelerden herhangi bir öğenin seri numarasını belirtmek veya saymak içinöğeler.

Tamsayılar- bunlar birden başlayan sayılardır. Sayarken doğal olarak oluşurlar.Örneğin, 1,2,3,4,5... -ilk doğal sayılar.

En küçük doğal sayı- bir. En büyük doğal sayı yoktur. Sayıyı sayarken Sıfır kullanılmadığından sıfır bir doğal sayıdır.

Doğal sayı serisi tüm doğal sayıların dizisidir. Doğal sayıların yazılması:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Doğal seride her sayı bir öncekinden birer birer büyüktür.

Doğal seride kaç sayı vardır? Doğal seri sonsuzdur; en büyük doğal sayı mevcut değildir.

Herhangi bir rakamın 10 birimi en yüksek rakamın 1 birimini oluşturduğundan ondalık sayı. Konumsal olarak öyle Bir rakamın anlamının sayı içindeki yerine nasıl bağlı olduğu, yani. yazıldığı kategoriden.

Doğal sayıların sınıfları.

Herhangi bir doğal sayı 10 Arap rakamı kullanılarak yazılabilir:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Doğal sayıları okumak için sağdan başlayarak 3'er basamaklı gruplara ayrılırlar. ilk 3 sağdaki sayılar birim sınıfını, sonraki 3 tanesi binlik sınıfını, sonra da milyonluk, milyarlık ve milyarlık sınıfları göstermektedir.vesaire. Sınıf basamaklarının her birine onun adı verilir.deşarj.

Doğal sayıların karşılaştırılması.

2 doğal sayıdan küçük olanı sayarken daha önce çağrılan sayıdır. Örneğin, sayı 7 az 11 (şu şekilde yazılmıştır:7 < 11 ). Ne zaman bir numara ikinciden daha fazla, şu şekilde yazılmıştır:386 > 99 .

Rakam tablosu ve sayı sınıfları.


1. sınıf ünitesi	Birimin 1. rakamı 2. rakam onlar 3. sırada yüzlerce
2. sınıf bin	Binlik biriminin 1. basamağı 2. hane onbinler 3. kategori yüz binlerce
3. sınıf milyonlar	Milyonlar biriminin 1. basamağı 2. kategori on milyonlarca 3. kategori yüz milyonlarca
4. sınıf milyarlar	Milyarlar biriminin 1. basamağı 2. kategori on milyarlarca 3. kategori yüz milyarlarca

5. sınıf ve üzeri sayılar büyük sayılar. 5. sınıfın birimleri trilyonlarca, 6. sınıfın birimleri sınıf - katrilyonlar, 7. sınıf - kentilyonlar, 8. sınıf - sekstilyonlar, 9. sınıf - eptillionlar.

Doğal sayıların temel özellikleri.

Toplamanın değişebilirliği . a + b = b + bir
Çarpmanın değişmezliği. ab = ba
Eklemenin ilişkilendirilebilirliği. (a + b) + c = a + (b + c)
Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.
Çarpmanın toplamaya göre dağılımı:

Doğal sayılarla işlemler.

4. Doğal sayıların bölünmesi çarpma işleminin tersidir.

Eğer b ∙ c = bir, O

Bölme formülleri:

bir: 1 = bir

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Sayısal ifadeler ve sayısal eşitlikler.

Sayıların eylem işaretleriyle bağlandığı bir gösterim sayısal ifade.

Örneğin, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

2 sayısal ifadenin eşittir işaretiyle birleştirildiği kayıtlar sayısal eşitlikler. Eşitliğin sağ ve sol tarafları vardır.

Aritmetik işlemleri gerçekleştirme sırası.

Sayılarda toplama ve çıkarma birinci dereceden işlemler, çarpma ve bölme ise ikinci dereceden işlemlerdir.

Ne zaman sayısal ifade yalnızca bir derecelik eylemlerden oluşur, sırayla gerçekleştirilirler soldan sağa.

İfadeler yalnızca birinci ve ikinci dereceden eylemlerden oluştuğunda, eylemler ilk önce gerçekleştirilir. ikinci derece ve ardından birinci derecenin eylemleri.

Bir ifadede parantez varsa önce parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir.

Örneğin, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Bir şeyi hesaplamanız gerektiğinde hayatınızı ÇOK kolaylaştırmak, Birleşik Devlet Sınavı veya Birleşik Devlet Sınavında değerli zaman kazanmak, daha az aptalca hata yapmak için - bu bölümü okuyun!

İşte öğrenecekleriniz:

kullanarak nasıl daha hızlı, daha kolay ve daha doğru sayılacağınısayı gruplamasıeklerken ve çıkarırken,
kullanarak hatasız hızlı bir şekilde nasıl çarpılır ve bölünür çarpma kuralları ve bölünebilme işaretleri,
kullanarak hesaplamaları önemli ölçüde nasıl hızlandırabilirim? en küçük ortak Kat(NOK) ve en büyük ortak böleni(NOD).

Bu bölümdeki tekniklerde ustalaşmak teraziyi şu ya da bu yöne çevirebilir... Hayalinizdeki üniversiteye girseniz de girmeseniz de, siz veya aileniz eğitim için çok para ödemek zorunda kalacak veya çok az bütçeyle kayıt olacaksınız. .

Hadi hemen dalalım... (Hadi gidelim!)

Not: SON DEĞERLİ TAVSİYE...

Önemli Not!Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Bunu yapmak için CTRL+F5 (Windows'ta) veya Cmd+R (Mac'te).

Bir demet tamsayılar 3 bölümden oluşur:

tamsayılar(bunlara aşağıda daha ayrıntılı olarak bakacağız);
doğal sayıların karşısındaki sayılar(Doğal sayıların ne olduğunu bildiğiniz anda her şey yerli yerine oturacaktır);
sıfır - " " (O olmasaydı nerede olurduk?)

Z harfi.

Tamsayılar

"Doğal sayıları Tanrı yarattı, geri kalan her şey insan elinin işidir" (c) Alman matematikçi Kronecker.

Doğal sayılar Nesneleri saymak için kullandığımız sayılar ve bunların köken tarihi buna dayanmaktadır; okları, kaplamaları vb. sayma ihtiyacı.

1, 2, 3, 4...n

N harfi

Buna göre bu tanım şunları içermemektedir (orada olmayan bir şeyi sayamaz mısınız?) ve hatta daha da fazlasını içermemektedir. negatif değerler(elma var mı?).

Ayrıca tüm kesirli sayılar dahil değildir (“Dizüstü bilgisayarım var” veya “Araba sattım” da diyemeyiz)

Herhangi doğal sayı 10 rakam kullanılarak yazılabilir:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Yani 14 bir sayı değil. Bu numara. Hangi sayılardan oluşur? Bu doğru, rakamlardan ve...

Ek. Daha hızlı saymak ve daha az hata yapmak için toplama yaparken gruplama

Bu prosedür hakkında ne gibi ilginç şeyler söyleyebilirsiniz? Elbette şimdi “terimlerin yeniden düzenlenmesiyle toplamın değeri değişmez” cevabını vereceksiniz. Görünüşe göre bu, birinci sınıftan beri bilinen ilkel bir kuraldır, ancak büyük örnekleri çözerken anında unutuldu!

Onu unutma -gruplamayı kullan, sayma işlemini kendiniz için kolaylaştırmak ve hata olasılığını azaltmak için, çünkü Birleşik Devlet Sınavı için bir hesap makineniz olmayacak.

Hangi ifadeyi bir araya getirmenin daha kolay olduğunu kendiniz görün?

4 + 5 + 3 + 6
4 + 6 + 5 + 3

Tabii ki ikincisi! Sonuç aynı olmasına rağmen. Ancak! İkinci yönteme göre hata yapma şansınız daha az olacak ve her şeyi daha hızlı yapacaksınız!

Yani kafanızda şöyle düşünüyorsunuz:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Çıkarma. Daha hızlı saymak ve daha az hata yapmak için çıkarma yaparken gruplama

Çıkarma işlemi yaparken, çıkardığımız sayıları da gruplandırabiliriz, örneğin:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Örnekte çıkarma işlemi toplama işlemiyle dönüşümlü olarak yapılıyorsa ne olur? Ayrıca gruplandırabilirsiniz, cevap verebilirsiniz ve bu doğrudur. Lütfen sayıların önündeki işaretleri unutmayın, örneğin: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Unutmayın: yanlış yerleştirilen işaretler hatalı sonuçlara yol açacaktır.

Çarpma işlemi. Kafanda nasıl çarpılır

Açıkçası, faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi de ürünün değerini değiştirmeyecektir:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Size "örnek çözerken bunu kullanın" demeyeceğim (ipucunu kendiniz anladınız, değil mi?), bunun yerine bazı sayıları kafanızda nasıl hızlı bir şekilde çarpacağınızı anlatacağım. Öyleyse tabloya dikkatlice bakın:

Ve çarpma hakkında biraz daha. Elbette ikisini hatırlıyorsun özel günler...ne demek istediğimi tahmin edebiliyor musun? İşte bununla ilgili:

Ah evet, tekrar bakalım bölünebilirlik işaretleri. Bölünebilme kriterlerine göre toplam 7 kural var, bunlardan ilk 3'ünü zaten biliyorsunuz!

Ancak geri kalanını hatırlamak hiç de zor değil.

Kafanızda hızla saymanıza yardımcı olacak sayıların bölünebilirliğinin 7 işareti!

Elbette ilk üç kuralı biliyorsunuz.
Dördüncü ve beşinciyi hatırlamak kolaydır - bölerken sayıyı oluşturan rakamların toplamının buna bölünebilir olup olmadığına bakarız.
Bölme yaparken sayının son iki rakamına bakarız; bölünebilen sayı mıdır?
Bir sayıya bölünürken aynı anda hem bölünebilmesi hem de bölünebilmesi gerekir. Bütün bilgelik budur.

Şimdi “neden tüm bunlara ihtiyacım var” diye mi düşünüyorsunuz?

İlk olarak Birleşik Devlet Sınavı yapılıyor hesap makinesi olmadan ve bu kurallar örneklerde gezinmenize yardımcı olacaktır.

İkincisi, şu sorunları duydunuz: GCD Ve NOC? Bu kısaltma tanıdık mı? Hatırlamaya ve anlamaya başlayalım.

En Büyük Ortak Bölen (GCD) - kesirleri azaltmak ve hızlı hesaplamalar yapmak için gereklidir

Diyelim ki iki numaranız var: ve. Ne için en büyük sayı Her iki sayı da bölünebilir mi? Hiç tereddüt etmeden cevap vereceksiniz çünkü şunu biliyorsunuz:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Açılımdaki ortak sayılar nelerdir? Doğru, 2 * 2 = 4. Cevabınız buydu. Bu basit örneği aklınızda tutarak, bulma algoritmasını unutmayacaksınız. GCD. Onu kafanızda “inşa etmeye” çalışın. Olmuş?

Bir GCD bulmak için yapmanız gerekenler:

Sayıları asal faktörlere bölün (kendilerinden başka hiçbir şeye veya örneğin 3, 7, 11, 13 vb.'ye bölünemeyen sayılar).
Bunları çarpın.

Neden bölünebilirlik işaretlerine ihtiyacımız olduğunu anlıyor musunuz? Böylece sayıya bakarsınız ve kalansız bölmeye başlayabilirsiniz.

Örneğin 290 ve 485 sayılarının OBEB'ini bulalım

İlk sayı - .

Baktığınızda bölünebilir olduğunu hemen anlayabilirsiniz, hadi yazalım:

Başka bir şeye bölmek imkansızdır, ancak yapabilirsiniz - ve şunu elde ederiz:

290 = 29 * 5 * 2

Başka bir sayı alalım - 485.

Bölünebilme kriterine göre ile bittiği için kalansız bölünebilmesi gerekir. Bölmek:

Orijinal sayıyı analiz edelim.

Bölünemez (son rakam tektir),
- bölünemez, yani sayı aynı zamanda bölünemez,
tarafından ve tarafından da bölünemez (bir sayıdaki rakamların toplamı, tarafından ve tarafından bölünemez)
ve ile bölünemediği için ile de bölünemez,
ve ile bölünemediği için ile de bölünemez.
tamamen bölünemez

Bu, sayının yalnızca ve'ye ayrıştırılabileceği anlamına gelir.

Şimdi bulalım GCD bu numara(lar). Bu hangi numara? Sağ, .

Pratik yapalım mı?

Görev No.1. 6240 ve 6800 sayılarının gcd'sini bulun

1) Her iki sayı da %100 bölünebildiği için hemen bölüyorum:

Görev No.2. 345 ve 324 sayılarının gcd'sini bulun

Burada en az bir ortak böleni hızlı bir şekilde bulamıyorum, bu yüzden onu asal faktörlere (mümkün olduğunca küçük) ayırıyorum:

En küçük ortak kat (LCM) - zamandan tasarruf sağlar, sorunların standart olmayan bir şekilde çözülmesine yardımcı olur

Diyelim ki iki numaranız var - ve. bölünebilecek en küçük sayı kaçtır iz bırakmadan(yani tamamen)? Hayal etmesi zor? İşte size görsel bir ipucu:

Mektubun ne anlama geldiğini hatırlıyor musun? Bu doğru, sadece bütün sayılar. Peki x yerine sığabilecek en küçük sayı nedir? :

Bu durumda.

Bundan basit örnek Birkaç kural takip edilir.

NOC'leri hızla bulma kuralları

Kural 1: İki doğal sayıdan biri başka bir sayıya bölünüyorsa, bu iki sayıdan büyük olanı, en küçük ortak katıdır.

Aşağıdaki sayıları bulun:

NOC (7;21)
NOC (6;12)
NOC (5;15)
NOC (3;33)

Tabii ki, bu görevle zorluk çekmeden başa çıktınız ve cevapları aldınız - ve.

Lütfen kuralda İKİ sayıdan bahsettiğimizi unutmayın; daha fazla sayı varsa kural işe yaramaz.

Örneğin LCM (7;14;21) 21'e bölünemediği için eşit değildir.

Kural 2. İki (veya ikiden fazla) sayı aralarında asalsa, en küçük ortak kat bunların çarpımına eşittir.

Bulmak NOC aşağıdaki sayılar:

NOC (1;3;7)
NOC (3;7;11)
NOC (2;3;7)
NOC (3;5;2)

Saydın mı? İşte cevaplar - , ; .

Anladığınız gibi, aynı x'i bu kadar kolay bulmak her zaman mümkün değildir, dolayısıyla biraz daha karmaşık sayılar için aşağıdaki algoritma vardır:

Pratik yapalım mı?

En küçük ortak katı bulalım - LCM (345; 234)

En küçük ortak katı (LCM) kendiniz bulun

Hangi yanıtları aldınız?

İşte elde ettiklerim:

Bulmak için ne kadar zaman harcadın? NOC? Zamanım 2 dakika, gerçekten biliyorum bir numara, hemen açmanızı öneririm!

Eğer çok dikkatliyseniz muhtemelen bunu fark etmişsinizdir. verilen sayılar zaten baktık GCD ve bu örnekten bu sayıları çarpanlarına ayırarak görevinizi basitleştirebilirsiniz, ancak hepsi bu değil.

Resme bakın, belki aklınıza başka düşünceler gelecektir:

Kuyu? Sana bir ipucu vereceğim: çarpmayı dene NOC Ve GCD kendi aralarında ve çarpma sırasında ortaya çıkacak tüm çarpanları yazın. Becerebildin mi? Bunun gibi bir zincir elde etmelisiniz:

Daha yakından bakın: çarpanları nasıl ve düzenlendiğiyle karşılaştırın.

Bundan ne gibi bir sonuç çıkarabilirsiniz? Sağ! Değerleri çarparsak NOC Ve GCD kendi aralarında bu sayıların çarpımını elde ederiz.

Buna göre sayıların ve anlamların olması GCD(veya NOC), bulabiliriz NOC(veya GCD) bu şemaya göre:

1. Sayıların çarpımını bulun:

2. Ortaya çıkan ürünü bizimkine bölün GCD (6240; 6800) = 80:

Bu kadar.

Kuralı genel biçimde yazalım:

Bulmayı dene GCD eğer biliniyorsa:

Becerebildin mi? .

Negatif sayılar “yanlış sayılar”dır ve insanlık tarafından tanınmaktadır.

Zaten anladığınız gibi bunlar doğal sayıların tersi sayılardır, yani:

Negatif sayılar tıpkı doğal sayılarda olduğu gibi toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir. Öyle görünüyor ki, onlar hakkında bu kadar özel olan ne? Ancak gerçek şu ki, negatif sayılar 19. yüzyıla kadar matematikte hak ettikleri yeri “kazandılar” (o ana kadar bu sayıların var olup olmadığı konusunda çok büyük tartışmalar vardı).

Negatif sayının kendisi, doğal sayılarla “çıkarma” gibi bir işlem nedeniyle ortaya çıktı. Aslında bundan çıkardığınızda negatif bir sayı elde edersiniz. Negatif sayılar kümesine genellikle "kümenin uzantısı" adı verilmesinin nedeni budur. doğal sayılar».

Negatif sayılar uzun süre insanlar tarafından tanınmadı. Böylece Eski Mısır, Babil ve Antik Yunan- zamanlarının aydınlatıcıları negatif sayıları tanımıyordu ve bir denklemde negatif kökler elde edilmesi durumunda (örneğin bizimki gibi), kökler imkansız olduğu gerekçesiyle reddedildi.

Negatif sayılar ilk olarak Çin'de, ardından da 7. yüzyılda Hindistan'da varlık hakkını kazandı. Sizce bu tanınmanın nedeni nedir? Doğru, negatif sayılar borçları (aksi halde kıtlıkları) göstermeye başladı. Negatif sayıların geçici bir değer olduğuna ve sonuç olarak pozitife dönüşeceğine (yani paranın yine de borç verene iade edileceğine) inanılıyordu. Ancak Hintli matematikçi Brahmagupta zaten negatif sayıları pozitif sayılarla eşit olarak değerlendiriyordu.

Avrupa'da negatif sayıların kullanışlılığı ve borçları ifade edebildikleri gerçeği çok daha sonra, belki de bir milenyumda keşfedildi. İlk söz 1202 yılında Pisa'lı Leonard'ın “Abaküs Kitabı”nda fark edildi (hemen kitabın yazarının Pisa Kulesi ile hiçbir ilgisi olmadığını söyleyeceğim, ancak Fibonacci sayıları onun eseridir) (Pisalı Leonardo'nun takma adı Fibonacci'dir)). Ayrıca Avrupalılar, negatif sayıların yalnızca borç değil, aynı zamanda hiçbir şeyin eksikliği anlamına da gelebileceği sonucuna vardı, ancak bunu herkes kabul etmedi.

Yani 17. yüzyılda Pascal buna inanıyordu. Sizce bunu nasıl haklı çıkardı? Doğrudur, "Hiçbir şey HİÇBİR ŞEY'den daha az olamaz." Negatif bir sayının ve çıkarma işleminin aynı sembolle (eksi "-") gösterilmesi, o zamanların bir yankısı olarak kalıyor. Ve gerçek: . “ ” sayısı, çıkarılan sayı pozitif mi, yoksa toplanan negatif mi?... “Önce ne olur: tavuk mu, yumurta mı?” dizisinden bir şey. Bu çok tuhaf bir matematik felsefesidir.

Negatif sayılar, analitik geometrinin ortaya çıkışıyla, yani matematikçilerin sayı ekseni diye bir kavramı ortaya atmasıyla var olma hakkını güvence altına aldı.

İşte bu andan itibaren eşitlik geldi. Ancak hâlâ cevaplardan çok sorular vardı, örneğin:

oran

Bu orana “Arnaud paradoksu” denir. Bir düşünün, bunda şüpheli olan ne var?

Gelin birlikte tartışalım "", ""'den daha fazlasıdır değil mi? Yani mantığa göre oranın sol tarafı sağdan büyük olmalı ama eşitler... İşte paradoks bu.

Sonuç olarak matematikçiler, Karl Gauss'un (evet, evet, toplamı (veya) sayıları hesaplayanla aynı kişidir) 1831'de buna son verdiği konusunda hemfikirdi - negatif sayıların pozitif sayılar ile aynı haklara sahip olduğunu söyledi ve bunların her şeye uygulanmaması hiçbir şey ifade etmez, çünkü kesirler de pek çok şey için geçerli değildir (kazıcının çukur kazması olmaz, sinema bileti satın alamazsınız vb.) .).

Matematikçiler ancak 19. yüzyılda, negatif sayılar teorisi William Hamilton ve Hermann Grassmann tarafından yaratıldığında sakinleşti.

Bu negatif rakamlar çok tartışmalı.

“Boşluğun” ortaya çıkışı ya da sıfırın biyografisi.

Matematikte özel bir sayıdır. İlk bakışta bu hiçbir şey değil: ekleme veya çıkarma - hiçbir şey değişmeyecek, ancak onu sağdaki " " öğesine eklemeniz yeterli ve ortaya çıkan sayı orijinalinden birkaç kat daha büyük olacak. Sıfırla çarparak her şeyi hiçliğe çeviriyoruz ama “hiçliğe” bölemiyoruz yani yapamayız. Tek kelimeyle sihirli sayı)

Sıfırın tarihi uzun ve karmaşıktır. MS 2. binyılda Çinlilerin yazılarında sıfırın izine rastlandı. ve hatta Mayalar arasında daha da erken. Sıfır simgesinin bugünkü haliyle ilk kullanımı Yunan gökbilimciler arasında görülmüştür.

Bu “hiçbir şey” tanımının neden seçildiğinin birçok versiyonu var. Bazı tarihçiler bunun bir omikron olduğuna inanma eğilimindedir; Yunanca hiçbir şey anlamına gelen kelimenin ilk harfi ouden'dir. Başka bir versiyona göre “obol” (neredeyse hiçbir değeri olmayan bir madeni para) kelimesi sıfır sembolüne hayat vermiştir.

Sıfır (veya boş) olarak matematiksel sembol ilk olarak Kızılderililer arasında ortaya çıktı (negatif sayıların orada “gelişmeye” başladığını unutmayın). Sıfırın kaydedildiğine dair ilk güvenilir kanıt 876'ya kadar uzanır ve bunlarda " " sayının bir bileşenidir.

Sıfır da Avrupa'ya geç geldi - ancak 1600'de ve tıpkı negatif sayılar gibi dirençle karşılaştı (ne yapabilirsiniz, Avrupalılar böyledir).

Amerikalı matematikçi Charles Safe, "Sıfırdan sıklıkla nefret ediliyor, uzun süre korkuluyor ve hatta yasaklanıyor" diye yazıyor. Böylece 19. yüzyılın sonunda Türk Sultanı II. Abdülhamid. sansürcülerine su H2O formülünü tüm kimya ders kitaplarından silmelerini emretti, "O" harfini sıfır olarak aldı ve baş harflerinin küçümsenen sıfıra yakınlık nedeniyle itibarsızlaştırılmasını istemedi.

İnternette şu ifadeyi bulabilirsiniz: “Sıfır Evrendeki en güçlü güçtür, her şeyi yapabilir! Sıfır matematikte düzen yaratır ve aynı zamanda kaosu da beraberinde getirir.” Kesinlikle doğru bir tespit :)

Bölümün özeti ve temel formüller

Tamsayılar kümesi 3 bölümden oluşur:

doğal sayılar (bunlara aşağıda daha ayrıntılı olarak bakacağız);
doğal sayıların karşısındaki sayılar;
sıfır - " "

Tam sayılar kümesi gösterilir Z harfi.

1. Doğal sayılar

Doğal sayılar nesneleri saymak için kullandığımız sayılardır.

Doğal sayılar kümesi gösterilir N harfi

Tam sayılarla yapılan işlemlerde GCD ve LCM'yi bulma yeteneğine ihtiyacınız olacak.

En Büyük Ortak Bölen (GCD)

Bir GCD bulmak için yapmanız gerekenler:

Sayıları asal faktörlere (kendileri dışında başka hiçbir şeye veya örneğin vb. bölünemeyen sayılara) ayırın.
Her iki sayının parçası olan faktörleri yazın.
Bunları çarpın.

En küçük ortak kat (LCM)

NOC'yi bulmak için ihtiyacınız olan:

Sayıları asal çarpanlara bölün (bunu nasıl yapacağınızı zaten çok iyi biliyorsunuz).
Sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın (en uzun zinciri almak daha iyidir).
Kalan sayıların açılımlarından eksik olan faktörleri bunlara ekleyin.
Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.

2. Negatif sayılar

Bunlar doğal sayıların tersi sayılardır, yani:

Şimdi seni duymak istiyorum...

Umarım bu bölümdeki son derece yararlı "püf noktalarını" takdir etmişsinizdir ve bunların sınavda size nasıl yardımcı olacağını anlamışsınızdır.

Ve daha da önemlisi - hayatta. Bunun hakkında konuşmuyorum ama inanın bana bu doğru. Hızlı ve hatasız sayma yeteneği sizi birçok yaşam durumunda kurtarır.

Şimdi senin sıran!

Yazınız, hesaplamalarda gruplama yöntemlerini, bölünebilirlik testlerini, GCD ve LCM'yi kullanacak mısınız?

Belki bunları daha önce kullanmışsınızdır? Nerede ve nasıl?

Belki sorularınız vardır. Veya öneriler.

Makaleyi nasıl beğendiğinizi yorumlara yazın.

Ve sınavlarınızda iyi şanslar!

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - Makale satın alın - 299 ovmak.
Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Alıcı kaynak: GOST 111 90: Cam levha. Özellikler orijinal belge İlgili terimlere de bakın: 109. Betatron salınımlarının sayısı ...

Fiil., nsv., kullanılmış. karşılaştırmak sıklıkla Morfoloji: Ben girerim, sen girersin, o girer, biz gireriz, sen girersin, onlar girer, girer, girer, girer, girer, girer, girer, girer, girer, girer, girer, girer; isim, m. giriş... Sözlük Dmitrieva

Bobin paketinin strok sayısı- 9. Bir bobin paketinin strok sayısı Yıkama ortamına göre ortak bir hareket yönü ile karakterize edilen seri bağlı bobin gruplarının sayısı İç ortam Not. Hareket sayısına göre örneğin tek hareket,... ... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

Dünya hakkında nesnel, sistematik olarak organize edilmiş ve doğrulanmış bilgi geliştirmeyi amaçlayan özel bir bilişsel aktivite türü. Diğer bilişsel aktivite türleri ile etkileşime girer: günlük, sanatsal, dini, mitolojik... Felsefi Ansiklopedi

İçerik: 1) T'lerin Tanımı 2) T'lerin Kökeni 3) Genel özellikleri Ts.4) Organizasyon Ts.5) Ekonomik yapı Ts.6) Siyasi rol Ts.7) Ortaçağ lonca örgütünün evrimi. 8) C'nin Gerilemesi. 9) Literatür. 1) C'nin Tanımı.... ... ansiklopedik sözlük F. Brockhaus ve I.A. Efron

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Devrim takvimi. Takvim Takvim bilgileri Takvim türü Güneş, ay, ay-güneş Takvim dönemi Artık yıllar ekleme ... Wikipedia

Bu makalede bilgi kaynaklarına bağlantılar bulunmamaktadır. Bilgilerin doğrulanabilir olması gerekir, aksi takdirde sorgulanabilir ve silinebilir. Yapabilirsin... Vikipedi

Uranüs ... Vikipedi

Uranüs Voyager 2'den Uranüs'ün fotoğrafı. Keşif hakkında bilgi Keşif tarihi 13 Mart 1781 Keşfeden ... Vikipedi

Danny Phantom ... Vikipedi

Kitabın

Rus İmparatorluğu tarihinde kozmorritimler (1671-1918), V. I. Vasiliev. Bu kitap sunar orijinal teknik Tarihteki farklı tarihler arasındaki gezegensel ilişkilerin hesaplanması. Her yerde kullanılan zaman birimleri gelenekseldir, birbirlerine bağlıdırlar...
Ezoterizmin 13 kapısı. Adem'den günümüze ezoterik öğretilerin tarihi, Evgeniy Kolesov. Bu kitap, yazarın 1994-95 yıllarında verdiği derslerden ortaya çıkmıştır. Kültür Tarihi Üniversitesi'nde. Yazarın uzun zamandır hikayeyi tutarlı ve objektif bir şekilde sunmaya çalışma fikri vardı...

Okumak faydalı olabilir: