Sönümleme neden oluşur? sönümlü titreşimler

GENEL BİLGİ

dalgalanmalar zamanda belirli bir tekrarla karakterize edilen hareketler veya süreçler olarak adlandırılır. dalgalanmalar denir özgür, eğer salınım sistemi üzerinde müteakip dış etkilerin olmaması ile başlangıçta iletilen enerji pahasına gerçekleştirilirlerse. En basit salınım türü harmonik salınımlardır - salınım değerinin sinüs veya kosinüs yasasına göre zamanla değiştiği salınımlar.

Harmonik salınımların diferansiyel denklemi şu şekildedir:

salınım değeri burada, döngüsel frekanstır.

bu denklemin çözümüdür. burada - genlik , - ilk aşama.

Salınım aşaması.

Genlik - dalgalanan bir miktarın maksimum değeri.

Salınım periyodu, vücudun hareketinin tekrarlandığı zaman periyodudur. Periyot için salınım fazı bir artış alır. . , titreşim sayısıdır.

Salınım frekansı - birim zamandaki tam salınımların sayısı. . . Hertz (Hz) cinsinden ölçülür.

Döngüsel frekans - saniyedeki salınım sayısı. . Birim

Salınım fazı, kosinüs işaretinin altındaki bir değerdir ve herhangi bir zamanda salınım sisteminin durumunu karakterize eder.

İlk aşama - zamanın ilk anında salınım aşaması. Faz ve başlangıç fazı radyan () cinsinden ölçülür.

Serbest sönümlü titreşimler- gerçek bir salınım sisteminin enerji kayıpları nedeniyle genliği zamanla azalan salınımlar. Titreşimlerin enerjisini azaltmanın en basit mekanizması, mekanik salınımlı sistemlerde sürtünme nedeniyle ısıya dönüşmesi ve elektriksel salınımlı sistemlerde elektromanyetik enerjinin omik kayıpları ve radyasyonudur.

- logaritmik sönüm azaltma.

Değer N e- bu, genliğin azalması sırasında yapılan salınımların sayısıdır. e bir kere. Logaritmik sönüm azalması, belirli bir salınım sistemi için sabit bir değerdir.

Salınım sistemini karakterize etmek için kalite faktörü kavramı kullanılır. Q logaritmik azalmanın küçük değerleri için şuna eşittir:

Kalite faktörü, gevşeme süresi boyunca sistem tarafından gerçekleştirilen salınımların sayısı ile orantılıdır.

EĞİMLİ BİR SARKAÇ KULLANARAK SÜRTÜNME KATSAYISININ BELİRLENMESİ

Sürtünme katsayısını belirleme yönteminin teorik olarak doğrulanması

Eğimli bir sarkaç, uzun bir ipten sarkıtılan ve eğimli bir düzlem üzerinde uzanan bir toptur.

Top denge konumundan çıkarılırsa (eksen OO 1) a açısına getirin ve sonra serbest bırakın, ardından sarkaç salınacaktır. Bu durumda top, denge konumuna yakın eğimli bir düzlem boyunca yuvarlanacaktır (Şekil 1, a). Top ile eğik düzlem arasında yuvarlanan bir sürtünme kuvveti etki edecektir. Sonuç olarak, sarkacın salınımları kademeli olarak azalacak, yani zamanla salınımların genliğinde bir azalma olacaktır.

Sürtünme kuvvetinin ve yuvarlanma sürtünme katsayısının salınımların sönümlenmesinden belirlenebileceği varsayılabilir.

Salınım genliğindeki azalmayı yuvarlanma sürtünme katsayısı m ile ilişkilendiren bir formül türetelim.Top düzlem boyunca yuvarlandığında, sürtünme kuvveti iş yapar. Bu iş, topun toplam enerjisini azaltır. Toplam enerji, kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamıdır. Sarkacın denge konumundan maksimum saptığı konumlarda, hızı ve dolayısıyla kinetik enerjisi sıfıra eşittir.

Bu noktalara dönüm noktaları denir. Onlarda sarkaç durur, döner ve geri hareket eder. Sarkacın dönme anında enerjisi potansiyel enerjisine eşittir, dolayısıyla sarkacın bir dönüş noktasından diğerine geçerken potansiyel enerjisindeki azalma yol üzerindeki sürtünme kuvvetinin yaptığı işe eşittir. dönüm noktaları arasında.

İzin vermek A- dönüm noktası (Şek. 1, a). Bu konumda sarkaç ipliği eksenle a açısı yapar. OO 1. Sürtünme olmasaydı, periyodun yarısından sonra sarkaç şu noktada olurdu: N ve sapma açısı a'ya eşit olacaktır. Ancak sürtünme nedeniyle top biraz yuvarlanmayacak N ve noktada dur İÇİNDE.Bu yeni dönüm noktası olacak. Bu noktada iplik açısı İle eksen OO 1 eşit olacaktır. Periyodun yarısında sarkacın dönme açısı . Nokta İÇİNDE noktadan biraz daha aşağıda yer alır A, ve dolayısıyla noktadaki sarkacın potansiyel enerjisi İÇİNDE noktadan daha az A. Bu nedenle, noktadan hareket ederken sarkaç yükseklik kaybetti A Kesinlikle İÇİNDE.

Açı kaybı ile yükseklik kaybı arasındaki bağlantıyı bulalım. Bunu yapmak için noktaları yansıtıyoruz A Ve B aks başına OO 1 (bkz. Şekil 1, a). noktalar bunlar olacak A 1 ve B sırasıyla 1. Açıkçası, segmentin uzunluğu A 1 İÇİNDE 1

ipliğin uzunluğu nerede.

eksen beri OO 1, dikeye bir açıyla eğimlidir, segmentin dikey eksen üzerindeki izdüşümü, yükseklik kaybıdır (Şekil 1, b):

Bu durumda sarkacın konumundan geçişinde potansiyel enerjisindeki değişim A pozisyona İÇİNDE eşittir:

, (3)

Nerede M- topun kütlesi;

G- yerçekimi ivmesi.

Sürtünme kuvvetinin işini hesaplıyoruz.

Sürtünme kuvveti aşağıdaki formülle belirlenir:

Sarkacın salınım periyodunun yarısında topun kat ettiği yol yayın uzunluğuna eşittir AB:

Sürtünme kuvvetinin yolda yaptığı iş:

Ancak , bu nedenle, (2), (3), (4) denklemlerini dikkate alarak ortaya çıkıyor

. (6)

İfade (6), açının çok küçük olduğu (10 -2 radyan mertebesinde) dikkate alınarak büyük ölçüde basitleştirilmiştir. Bu yüzden, . Ancak . Bu yüzden .

Böylece, formül (6) şu şekli alır:

. (7)

Formül (7)'den periyodun yarısındaki açı kaybının sürtünme katsayısı m ve açı a tarafından belirlendiği görülebilir. Bununla birlikte, a'nın açıya bağlı olmadığı koşullar bulunabilir. Yuvarlanma sürtünme katsayısının küçük olduğunu (10-3 mertebesinde) hesaba katalım. Sarkacın a salınımlarının yeterince büyük genliklerini düşünürsek, öyle ki , o zaman formül (7)'nin paydasındaki terim o zaman bile ihmal edilebilir:

Öte yandan, a açısının olduğunu kabul edecek kadar küçük olmasına izin verin. Ardından, salınım süresinin yarısı için açı kaybı aşağıdaki formülle belirlenir:

. (8)

Formül (8) şu durumlarda geçerlidir:

. (9)

m mertebesi 10-2 olduğundan, (9) eşitsizliği radyan mertebesi 10-2-10-1 olan a açıları tarafından karşılanır.

Dolayısıyla, bir tam salınım sırasında açı kaybı şu şekilde olacaktır:

ama için N dalgalanmalar - .

Formül (10), yuvarlanma sürtünme katsayısını belirlemek için uygun bir yol sağlar. Da açısındaki azalmayı ölçmek gerekir N 10-15 titreşim için ve ardından formül (10) kullanarak m'yi hesaplayın.

Formül (10)'da, Da değeri radyan olarak ifade edilir. Da değerlerini derece cinsinden kullanmak için formül (10) değiştirilmelidir:

. (11)

Yuvarlanma sürtünme katsayısının fiziksel anlamını bulalım. Önce daha genel bir problem düşünün. top kütlesi M ve atalet momenti ben c kütle merkezinden geçen eksene göre düzgün bir yüzey boyunca hareket eder (Şekil 2).

Pirinç. 2

kütle merkezine C eksen boyunca uygulanan kuvvet öküz ve koordinatın bir fonksiyonu olan X. Sürtünme kuvveti cisme yüzeyin yanından etki eder F TR. Merkezden geçen eksene göre sürtünme kuvvetinin momenti olsun. C top, eşittir M TR.

Bu durumda topun hareket denklemleri şu şekildedir:

; (12)

, (13)

Nerede - kütle merkezinin hızı;

w açısal hızdır.

(12) ve (13) denklemlerinde dört bilinmeyen vardır: , w F TR, M TR . Genel olarak, görev tanımlanmamıştır.

Diyelim ki:

1) vücut kaymadan yuvarlanır. Daha sonra:

Nerede R- top yarıçapı;

2) gövde ve düzlem kesinlikle katıdır, yani. gövde deforme olmaz, ancak bir noktada uçağa dokunur HAKKINDA(nokta teması), o zaman sürtünme kuvveti momenti ile sürtünme kuvveti arasında bir ilişki vardır:

. (15)

(14) ve (15) formüllerini dikkate alarak, (12) ve (13) denklemlerinden sürtünme kuvveti için bir ifade elde ederiz:

. (16)

İfade (16), topun ve düzlemin pürüzlülük gibi temas eden yüzeylerinin fiziksel özellikleri veya topun ve düzlemin yapıldığı malzemelerin türü tarafından belirlenen sürtünme katsayısı m'yi içermez. Bu sonuç, (14) ve (15) ilişkilerinin yansıttığı benimsenen idealleştirmenin doğrudan bir sonucudur. Ayrıca kabul edilen modelde sürtünme kuvvetinin iş yapmadığını göstermek kolaydır. Aslında, denklemi (12) ile çarpıyoruz ve w üzerindeki denklem (13). Verilen

ve ifadeleri (12) ve (13) ekleyerek elde ederiz

Nerede W(X) kuvvet alanındaki topun potansiyel enerjisidir F(X). dikkate alınmalıdır ki

(14) ve (15) formülleri dikkate alınırsa, eşitliğin (17) sağ tarafı kaybolur. Eşitliğin (17) sol tarafında, topun öteleme hareketinin kinetik enerjisinden oluşan sistemin toplam enerjisinin zamana göre türevi bulunur. , dönme hareketinin kinetik enerjisi ve potansiyel enerji W(X). Bu, sistemin toplam enerjisinin sabit bir değer olduğu, yani sürtünme kuvveti iş yapmaz.

Açıkçası, bu biraz garip sonuç aynı zamanda kabul edilen idealleştirmenin bir sonucudur. Bu, kabul edilen idealleştirmenin fiziksel gerçekliğe karşılık gelmediğini gösterir. Aslında, hareket sürecinde top uçakla etkileşime girer, bu nedenle mekanik enerjisi azalmalıdır, bu da (14) ve (15) ilişkilerinin ancak enerji dağılımının ihmal edilebildiği ölçüde doğru olabileceği anlamına gelir.

Bu durumda böyle bir idealleştirmenin kabul edilemeyeceği açıktır, çünkü amacımız sarkacın enerjisindeki değişimden sürtünme katsayısını belirlemektir. Bu nedenle, topun ve yüzeyin mutlak sertliği ve dolayısıyla adil bağlantı (15) hakkındaki varsayımın adil olduğunu kabul edeceğiz. Ancak topun kaymadan hareket ettiği varsayımını bir kenara bırakalım. Hafif bir kayma olduğunu varsayacağız.

Topun temas noktalarının (Şekil 2'deki O noktası) hızına (kayma hızı) izin verin:

. (19)

Daha sonra, denklem (17)'de ikame ve (15) ve (20) koşullarını hesaba katarak şu denkleme ulaşırız:

, (21)

Buradan, enerji yayılım hızının sürtünme kuvvetinin gücüne eşit olduğu görülebilmektedir. Sonuç oldukça doğal çünkü. bir vücut bir yüzey üzerinde bir hızda kayar Ve, Sürtünme kuvveti, sistemin toplam enerjisinin azalması sonucunda iş yaparak ona etki eder.

Denklem (21)'de türev alarak ve bağıntıyı (18) hesaba katarak, topun kütle merkezinin hareket denklemini elde ederiz:

. (22)

Maddesel bir noktanın kütle ile hareket denklemine benzer:

, (23)

bir dış kuvvetin etkisi altında F ve yuvarlanan sürtünme kuvvetleri:

Dahası, F TR olağan kayma sürtünme kuvvetidir. Bu nedenle, top yuvarlanırken, yuvarlanma sürtünme kuvveti olarak adlandırılan etkin sürtünme kuvveti, kayma hızının vücudun kütle merkezinin hızına oranıyla çarpılan normal kayma sürtünme kuvvetidir. Pratikte, yuvarlanan sürtünme kuvvetinin cismin hızına bağlı olmadığı durum sıklıkla gözlemlenir.

Görünüşe göre, bu durumda, kayma oranı Ve vücudun hızıyla orantılı:

Gerçek salınımlı sistemlerde, yarı elastik kuvvetlere ek olarak, ortamın direnç kuvvetleri de vardır. Sürtünme kuvvetlerinin varlığı, enerjinin dağılmasına (dağıtılmasına) ve salınım genliğinin azalmasına yol açar. Sürtünme kuvvetleri hareketi yavaşlatarak periyodu artırır, yani. salınım sıklığını azaltır. Bu tür salınımlar harmonik olmayacaktır.

Enerji dağılımı nedeniyle zamanla genliği sürekli azalan salınımlara denir. solma . Yeterince düşük hızlarda, sürtünme kuvveti cismin hızıyla orantılıdır ve harekete karşıdır.

burada r, ortamın özelliklerine, hareketli cismin şekline ve boyutuna bağlı olan sürtünme katsayısıdır. Sürtünme kuvvetleri varlığında sönümlü salınımların diferansiyel denklemi şu şekilde olacaktır:

veya
(21)

Nerede
- zayıflama katsayısı,

- sürtünme kuvvetlerinin yokluğunda serbest salınımların doğal dairesel frekansı.

Düşük sönüm durumunda Denklem (21)'in genel çözümü (
) dır-dir:

Salınım genliği bakımından harmonikten (8) farklıdır:

(23)

zamanın azalan bir fonksiyonudur ve dairesel frekans doğal frekansla ilgili ve sönümleme faktörü oran:

. (24)

Sönümlü salınımların periyodu şuna eşittir:

. (25)

X yer değiştirmesinin t sönümlü salınımlara bağımlılığı Şekil 4'te gösterilmiştir.

C genlikteki azalma derecesi zayıflama katsayısı ile belirlenir .

Sırasında
genlik (23) e ≈ 2,72 faktörü ile azalır. Bu zaman doğal çürüme denir rahatlama vakti. Bu nedenle, sönümleme faktörü gevşeme süresinin tersidir:

.(26)

Salınımların genliğindeki azalma oranı şu şekilde karakterize edilir: logaritmik sönüm azaltma. A(t) ve A(t+T), bir periyot farkla zaman noktalarına karşılık gelen ardışık iki salınımın genlikleri olsun. Sonra ilişki:

(27)

isminde sönüm azaltma, periyoda eşit bir sürede salınımların genliğinin kaç kat azaldığını gösterir. Bu oranın doğal logaritması:

(28)

logaritmik sönümleme faktörü olarak adlandırılır. Burada N e, genliğin bir e faktörü kadar azaldığı süre boyunca gerçekleştirilen salınımların sayısıdır, yani. dinlenme süresi boyunca.

Bu nedenle, logaritmik sönümleme azalması, salınım sayısının tersidir, bundan sonra salınım genliği e faktörü kadar azalır.

Salınım sisteminin enerjisindeki azalma oranı, kalite faktörü Q ile karakterize edilir. Salınım sisteminin kalite faktörü- salınım sisteminin toplam enerjisinin E(t) enerjiye oranıyla orantılı bir değer (- E) T döneminde kayıp:

(29)

Herhangi bir X değeri için herhangi bir zamanda salınım sisteminin toplam enerjisi şu şekildedir:

(30)

Enerji, genliğin karesiyle orantılı olduğundan, sönümlü salınımların enerjisi, değerle orantılı olarak azalır.
, Yazabilirsin:

. (31)

O zaman, tanıma göre salınım sisteminin kalite faktörü ifadesi şu şekilde olacaktır:

Burada düşük zayıflamalarda (1): 1. -2   2 dikkate alınır.

Bu nedenle, kalite faktörü, gevşeme süresi boyunca sistem tarafından gerçekleştirilen salınımların (N e) sayısı ile orantılıdır.

Salınımlı sistemlerin kalite faktörü büyük ölçüde değişebilir, örneğin fiziksel bir sarkacın kalite faktörü Q~ 10 2 iken, aynı zamanda salınımlı bir sistem olan bir atomun kalite faktörü Q~ 10 8'e ulaşır.

Sonuç olarak, sönüm katsayısı β=ω 0 olduğunda, periyodun sonsuz T =∞ (kritik sönüm) olduğunu not ediyoruz. β'nin daha da artmasıyla, T periyodu hayali hale gelir ve hareketin zayıflaması, dedikleri gibi, periyodik olmayan salınımlar olmadan gerçekleşir. Bu hareket durumu Şekil 5'te gösterilmiştir. Kritik sönümleme (sakinleştirme) minimum sürede gerçekleşir ve ölçüm aletlerinde, örneğin balistik galvanometrelerde önemlidir. .

İÇİNDE ZORAKİ DAMALASYON VE REzonans

F y \u003d -kX elastik kuvveti m kütleli bir cisme etki ederse, sürtünme kuvveti
ve dış periyodik kuvvet
, ardından zorunlu salınımlar gerçekleştirir. Bu durumda, diferansiyel hareket denklemi şu şekildedir:

Nerede
,
- zayıflama katsayısı,
- vücudun serbest sönümsüz titreşimlerinin doğal frekansı, F 0 - genlik, ω - periyodik kuvvetin frekansı.

İlk anda, dış kuvvetin işi sürtünmeye harcanan enerjiyi aşar (Şekil 6). Vücudun salınımlarının enerjisi ve genliği, dış kuvvet tarafından verilen tüm enerji, hız ile orantılı olan sürtünmenin üstesinden gelmek için tamamen harcanana kadar artacaktır. Bu nedenle, kinetik ve potansiyel enerji toplamının sabit olduğu bir denge kurulur. Bu durum, sistemin durağan durumunu karakterize eder.

Bu durumda, vücudun hareketi, dış uyarımın frekansına eşit bir frekansla harmonik olacaktır, ancak vücudun eylemsizliği nedeniyle, salınımları, dış periyodikin anlık değerine göre fazda kaydırılacaktır. güç:

X = ACos(ωt + φ). (34)

Serbest salınımların aksine, zorunlu salınımların genliği A ve fazı , hareketin ilk koşullarına bağlı değildir, ancak yalnızca salınım sisteminin özellikleri, itici kuvvetin genliği ve frekansı tarafından belirlenir:

, (35)

. (36)

Genlik ve faz kaymasının tahrik kuvvetinin frekansına bağlı olduğu görülebilir (Şekil 7, 8).

Zorlanmış salınımların karakteristik bir özelliği, rezonansın varlığıdır. fenomen itici kuvvetin frekansı vücudun serbest sönümsüz salınımlarının doğal frekansına yaklaştığında zorunlu salınımların genliğinde keskin bir artış ω 0 olarak adlandırılır mekanik rezonans . Rezonans frekansında vücudun titreşim genliği
maksimum değere ulaşır:

(37)

Rezonans eğrileriyle ilgili olarak (bkz. Şekil 7), aşağıdaki açıklamaları yapalım. ω → 0 ise, tüm eğriler (ayrıca (35)'e bakın) aynı sıfır olmayan sınır değerine gelir
, sözde istatistiksel sapma. ω → ∞ ise, tüm eğriler asimptotik olarak sıfıra eğilimlidir.

Düşük sönüm koşulu altında (β 2 ‹‹ω 0 2), rezonans genliği (bakınız (37))

(37a)

Bu koşul altında, rezonans yer değiştirmesinin statik sapmaya oranını alıyoruz:

rezonansta salınımların genliğindeki nispi artışın salınım sisteminin kalite faktörü tarafından belirlendiği görülebilmektedir. Burada kalite faktörü aslında tepkinin kazancıdır.
sistem ve düşük zayıflamada büyük değerlere ulaşabilir.

Bu durum, rezonans olgusunun fizik ve teknolojideki büyük önemini belirlemektedir. Örneğin akustikte - müzik aletlerinin sesini geliştirmek için, radyo mühendisliğinde - istenen sinyali frekans bakımından farklılık gösteren diğer birçok sinyalden izole etmek için titreşimleri yükseltmek istiyorlarsa kullanılır. Rezonans, salınımlarda istenmeyen bir artışa yol açabiliyorsa, kalite faktörü düşük olan bir sistem kullanılır.

İLGİLİ TİTREŞİMLER

Birincisine elastik olarak bağlı olan ikinci salınım sistemi, bir dış periyodik kuvvet kaynağı olarak hizmet edebilir. Her iki salınım sistemi de birbirini etkileyebilir. Yani, örneğin, iki eşleştirilmiş sarkaç durumu (Şekil 9).

Sistem hem faz içi (Şekil 9b) hem de faz dışı (Şekil 9c) salınımlar gerçekleştirebilir. Bu tür salınımlara normal tip veya normal salınım modu denir ve kendi normal frekansları ile karakterize edilir. Faz içi salınımlarda, sarkaçların her zaman yer değiştirmesi X 1 \u003d X 2 ve ω 1 frekansı, tek bir sarkacın frekansı ile tam olarak aynıdır
. Bunun nedeni ışık yayının serbest durumda olması ve harekete herhangi bir etkisinin olmamasıdır. Her zaman antifaz salınımlı - X 1 \u003d X 2. Bu tür salınımların frekansı şuna eşittir:
, çünkü k sertliğine sahip olan ve bağlantıyı sağlayan yay her zaman önce esnemiş, sonra sıkıştırılmış haldedir.

L
İlk yer değiştirme X (Şekil 9a) dahil olmak üzere, birleşik sistemimizin herhangi bir durumu, iki normal modun üst üste binmesi olarak temsil edilebilir:

Sistemi X 1 = 0 başlangıç durumundan hareket ettirirsek,
, X2 \u003d 2A,
,

daha sonra sarkaçların yer değiştirmeleri şu ifadelerle açıklanacaktır:

Şek. Şekil 10, tek tek sarkaçların yer değiştirmesindeki değişimi göstermektedir.

Sarkaçların salınım frekansı, iki normal modun ortalama frekansına eşittir:

, (39)

ve genlikleri, normal modların frekans farkının yarısına eşit daha düşük bir frekansla sinüs veya koni yasasına göre değişir:

. (40)

Normal modların frekansları arasındaki farkın yarısına eşit bir frekansla genlikte yavaş bir değişim denir. “ vuruşlar ” neredeyse aynı frekansta iki titreşim. "Atımların" frekansı, ω 1 - ω 2 frekans farkına eşittir (ve bu farkın yarısına değil), çünkü frekansa karşılık gelen bir süre içinde maksimum genlik 2A'ya iki kez ulaşılır

Dolayısıyla, vuruş periyodu şuna eşittir:

(41)

Sarkaçlar çarptığında, enerji değiş tokuşu yapılır. Ancak tam bir enerji değişimi ancak her iki kütlenin de aynı olması ve oranın (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) bir tam sayıya eşit olması durumunda mümkündür. Unutulmaması gereken önemli bir nokta, bireysel sarkaçlar enerji alışverişi yapabilmesine rağmen, normal modlar arasında enerji alışverişi olmamasıdır.

Birbirleriyle etkileşime giren ve enerjilerini birbirlerine aktarabilen bu tür salınımlı sistemlerin varlığı, dalga hareketinin temelini oluşturur.

Elastik bir ortama yerleştirilmiş salınan bir malzeme gövdesi, kendisine bitişik ortamın parçacıklarını sürükler ve salınım hareketine sokar. Parçacıklar arasındaki elastik bağların varlığından dolayı, titreşimler, tüm ortam boyunca belirli bir ortamın hız özelliği ile yayılır.

Elastik bir ortamda titreşim yayılımı işlemine denir. dalga .

İki ana dalga türü vardır: boyuna ve enine. Boyuna dalgalarda ortamın parçacıkları dalga yayılımının yönü boyunca salınır ve enine dalga yayılma yönüne diktir. Her elastik ortam enine bir dalga yayamaz. Enine bir elastik dalga, yalnızca elastik kayma deformasyonunun meydana geldiği ortamlarda mümkündür. Örneğin, gazlarda ve sıvılarda yalnızca boyuna elastik dalgalar (ses) yayılır.

Salınımın belirli bir zamanda ulaştığı ortamın noktalarının yeri denir. dalga cephesi . Dalga cephesi, uzayın dalga sürecine zaten dahil olan kısmını, salınımların henüz ortaya çıkmadığı alandan ayırır. Cephenin şekline bağlı olarak, dalgalar düz, küresel, silindirik vb.

Homojen bir ortamda kayıpsız yayılan bir düzlem dalganın denklemi:
, (42)

burada ξ(X,t), ortamın parçacıklarının X koordinatıyla t anında denge konumundan yer değiştirmesidir, A genliktir,
- dalga fazı,
- ortam parçacıklarının dairesel salınım frekansı, v - dalga yayılma hızı.

dalga boyu λ 2π faz farkıyla salınan noktalar arasındaki mesafeye denir, başka bir deyişle dalga boyu, bir salınım periyodunda dalganın herhangi bir fazının kat ettiği yoldur:

faz hızı, yani bu fazın yayılma hızı:

λ / T (44)

dalga sayısı 2π birim uzunluğa sığan dalga boylarının sayısı:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Bu notasyonları (42)'ye koyarak, uçakla seyahat eden tek renkli dalga denklemişu şekilde temsil edilebilir:

(46)

Dalga denkleminin (46) koordinat ve zamanda çift periyodiklik gösterdiğine dikkat edin. Aslında, salınımların aşamaları, koordinat λ kadar değiştiğinde ve zaman bir T periyodu kadar değiştiğinde çakışır. Bu nedenle, bir dalgayı bir düzlemde grafik olarak tasvir etmek imkansızdır. t süresi genellikle sabittir ve yer değiştirme ξ'nin X koordinatına bağımlılığı grafikte sunulur, yani ortam parçacıklarının yer değiştirmelerinin dalga yayılma yönü boyunca anlık dağılımı (Şekil 11). Ortam noktalarının salınımlarının faz farkı Δφ, bu noktalar arasındaki ΔX \u003d X2 - X1 mesafesine bağlıdır:

(47)

Dalga X yönünün tersine yayılırsa, geriye doğru dalga denklemi şu şekilde yazılacaktır:

ξ (X,t) = ACos(ωt + kX). (48)

DURAN DALGALAR, özel bir tür dalga girişiminin sonucudur. Aynı frekans ve genliklerde hareket eden iki dalga birbirine doğru yayıldığında oluşurlar.

X ekseni boyunca zıt yönlerde yayılan iki düzlem dalganın denklemleri şunlardır:

ξ 1 \u003d ACos (ωt - kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

Kosinüslerin toplamı formülünü kullanarak bu denklemleri toplayarak ve k = 2π / λ olduğunu dikkate alarak, duran dalga denklemini elde ederiz:

. (50)

Cos ωt çarpanı, ortamın genlikli noktalarında aynı ω frekansındaki salınımların meydana geldiğini gösterir.
, dikkate alınan noktanın X koordinatına bağlı olarak. Ortamdaki şu noktalarda:
, (51)

salınım genliği maksimum 2A değerine ulaşır. Bu noktalara denir antinodlar.

İfadeden (51) antinod koordinatları bulunabilir:
(52)

noktalarda
(53) salınım genliği kaybolur. Bu noktalara denir düğümler.

Düğüm koordinatları:
. (54)

R komşu antinodlar ve komşu düğümler arasındaki mesafeler aynıdır ve λ/2'ye eşittir. Düğüm ile komşu antinod arasındaki mesafe λ / 4'e eşittir. Düğümden geçerken çarpan
işaret değiştirir, dolayısıyla düğümün zıt taraflarındaki salınımların fazları π kadar farklılık gösterir, yani düğümün zıt taraflarında bulunan noktalar antifazda salınır. İki komşu düğüm arasında çevrelenen noktalar, farklı genliklerle, ancak aynı fazlarla salınır.

Duran bir dalgadaki düğümlerin ve antinodların dağılımı, yansımanın meydana geldiği iki ortam arasındaki arayüzde meydana gelen koşullara bağlıdır. Dalga daha yoğun bir ortamdan yansıtılırsa, dalganın yansıtıldığı yerdeki salınımların fazı tersine değişir veya dedikleri gibi dalganın yarısı kaybolur. Bu nedenle, zıt yönlerdeki salınımların eklenmesinin bir sonucu olarak, sınırdaki yer değiştirme sıfırdır, yani. bir düğüm var (Şek. 12). Daha az yoğun bir ortamın sınırından bir dalga yansıdığında, yansıma yerindeki salınımların fazı değişmeden kalır ve aynı fazlara sahip salınımlar sınırın yakınına eklenir - bir antinod elde edilir.

Duran bir dalgada faz hareketi yoktur, dalga yayılımı yoktur, enerji transferi yoktur, bu da bu dalga tipinin adının alınmasının sebebidir.

1.21. ÇÖZÜM, ZORLAMALI OSİLATASYONLAR

Sönümlü salınımların diferansiyel denklemi ve çözümü. Zayıflama katsayısı. logaritmik aralıksönümleme bandı.Q faktörüvücut sistemi.periyodik olmayan süreç. Zorlanmış salınımların diferansiyel denklemi ve çözümü.Zorlanmış salınımların genliği ve fazı. Salınım oluşturma süreci. Rezonans durumu.Kendinden salınımlar.

Salınımların sönümlenmesi, salınım sistemi tarafından enerji kaybı nedeniyle salınımların genliğinin zaman içinde kademeli olarak azalmasıdır.

Sönümsüz doğal titreşimler bir idealleştirmedir. Solmanın nedenleri farklı olabilir. Mekanik bir sistemde, sürtünmenin varlığı ile titreşimler sönümlenir. Salınımlı sistemde depolanan tüm enerji tükendiğinde, salınımlar duracaktır. Bu nedenle, genlik sönümlü salınımlar sıfır olana kadar azalır.

Doğası gereği farklı sistemlerde sönümlü salınımlar ve doğal olanlar tek bir bakış açısıyla - ortak özellikler olarak düşünülebilir. Ancak, genlik ve periyot gibi özellikler yeniden tanımlanmayı gerektirirken, diğerleri doğal sönümsüz salınımlar için aynı özelliklere kıyasla eklemeler ve açıklamalar gerektirir. Sönümlü salınımların genel işaretleri ve kavramları aşağıdaki gibidir:

Diferansiyel denklem, salınım sürecinde titreşim enerjisindeki azalma dikkate alınarak elde edilmelidir.

Salınım denklemi, bir diferansiyel denklemin çözümüdür.

Sönümlü salınımların genliği zamana bağlıdır.

Frekans ve periyot, salınımların sönümleme derecesine bağlıdır.

Faz ve başlangıç fazı, sönümsüz salınımlarla aynı anlama sahiptir.

Mekanik sönümlü salınımlar.

mekanik sistem : Sürtünme kuvvetlerine maruz yaylı sarkaç.

Sarkaca etki eden kuvvetler :

Elastik kuvvet., burada k yay sertliği katsayısıdır, х sarkacın denge konumundan yer değiştirmesidir.

Direnç kuvveti. Hareket hızı v ile orantılı direnç kuvvetini göz önünde bulundurun (böyle bir bağımlılık, büyük bir direnç kuvvetleri sınıfı için tipiktir): . Eksi işareti, direnç kuvvetinin yönünün cismin hızının yönünün tersi olduğunu gösterir. Sürükleme katsayısı r sayısal olarak vücudun birim hızında meydana gelen sürükleme kuvvetine eşittir:

hareket kanunu yay sarkacı Newton'un ikinci yasasıdır:

M A = F eski. + F direnmek.

Bunu göz önünde bulundurarak ve , Newton'un ikinci yasasını şu şekilde yazıyoruz:

. (21.1)

Denklemin tüm terimlerini m'ye bölüp hepsini sağ tarafa kaydırarak, şunu elde ederiz: diferansiyel denklem sönümlü salınımlar:

nerede olduğunu belirtelim β – sönümleme faktörü , , Nerede ω 0 salınım sisteminde enerji kayıplarının yokluğunda sönümsüz serbest salınımların frekansıdır.

Yeni gösterimde, sönümlü salınımların diferansiyel denklemi şu şekildedir:

. (21.2)

Bu, ikinci dereceden bir lineer diferansiyel denklemdir.

Bu doğrusal diferansiyel denklem, değişkenlerin değiştirilmesiyle çözülür. t zamanına bağlı olarak x fonksiyonunu şu şekilde temsil ediyoruz:

Z fonksiyonu da zamanın bir fonksiyonu olduğuna göre, bu fonksiyonun birinci ve ikinci zaman türevlerini bulalım:

, .

Diferansiyel denklemdeki ifadeleri değiştirin:

Denklemde benzer terimler getirir ve her terimi azaltırsak, denklemi elde ederiz:

Miktarı belirtelim .

denklem çözümü fonksiyonlardır , .

x değişkenine dönersek, sönümlü salınımların denklemleri için formüller elde ederiz:

Böylece , sönümlü salınımların denklemi diferansiyel denklemin (21.2) bir çözümüdür:

sönümlü salınım frekansı :

(bu nedenle yalnızca gerçek kökün fiziksel bir anlamı vardır).

Sönümlü salınımların periyodu :

(21.5)

Sönümsüz salınımlar için bir periyot kavramına yüklenen anlam, sönümlü salınımlar için uygun değildir, çünkü salınım sistemi salınım enerjisinin kaybından dolayı asla orijinal durumuna geri dönmez. Sürtünme varlığında salınımlar daha yavaştır: .

Sönümlü salınımların periyodu sistemin denge konumunun iki katını aynı yönde geçtiği minimum zaman aralığı denir.

Yay sarkacının mekanik sistemi için şuna sahibiz:

, .

Sönümlü salınımların genliği :

Yay sarkacı için.

Sönümlü salınımların genliği sabit bir değer değildir, ancak zamanla ne kadar hızlı değişirse, katsayı β o kadar büyük olur. Bu nedenle, daha önce sönümsüz serbest salınımlar için verilen genlik tanımı, sönümlü salınımlar için değiştirilmelidir.

Küçük zayıflama için sönümlü salınımların genliği dönem için denge konumundan en büyük sapma olarak adlandırılır.

grafikler ofset-zaman ve genlik-zaman eğrileri Şekil 21.1 ve 21.2'de gösterilmektedir.

Şekil 21.1 - Sönümlü salınımlar için yer değiştirmenin zamana bağlılığı.

Şekil 21.2 - Sönümlü salınımlar için genliğin zamana bağlılığı

Sönümlü salınımların özellikleri.

1. zayıflama faktörü β .

Sönümlü salınımların genliğindeki değişiklik, üstel yasaya göre gerçekleşir:

Salınım genliğinin τ süresi içinde “e” kat azalmasına izin verin (“e” doğal logaritmanın tabanıdır, e ≈ 2,718). Sonra, bir yandan, , öte yandan A zat genliklerini boyayarak. (t) ve A'da. (t+τ), elimizde . Bu ilişkiler βτ = 1 anlamına gelir, dolayısıyla .

Zaman aralığı τ Genliğin “e” kat azaldığı , gevşeme süresi olarak adlandırılır.

zayıflama faktörü β gevşeme süresi ile ters orantılı bir değerdir.

2. Logaritmik sönüm azaltma δ - zaman içinde bir periyotla ayrılmış iki ardışık genliğin oranının doğal logaritmasına sayısal olarak eşit bir fiziksel nicelik.

Zayıflama küçükse, örn. β değeri küçüktür, o zaman genlik dönem boyunca biraz değişir ve logaritmik azalma aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

nerede A. (t) ve A'da. (t + NT) - e zamanında ve N periyodundan sonra, yani (t + NT) zamanında salınım genlikleri.

3. Kalite faktörü Q salınım sistemi (2π) νa değerinin ürününe eşit boyutsuz bir fiziksel niceliktir: Sistemin keyfi bir anındaki W(t) enerjisinin, bir sönümlü salınım periyodu boyunca enerji kaybına oranı:

Enerji, genliğin karesiyle orantılı olduğundan, o zaman

Logaritmik azalmanın δ küçük değerleri için, salınım sisteminin kalite faktörü şuna eşittir:

burada N e, genliğin “e” kat azaldığı salınımların sayısıdır.

Yani bir yay sarkacının kalite faktörü şudur: Salınımlı bir sistemin kalite faktörü ne kadar büyükse, zayıflama o kadar az, böyle bir sistemdeki periyodik süreç o kadar uzun sürer. Salınım sisteminin kalite faktörü - enerjinin zaman içinde dağılmasını karakterize eden boyutsuz nicelik.

4. β katsayısındaki artışla sönümlü salınımların frekansı azalır ve periyot artar. ω 0 = β'da, sönümlü salınımların frekansı sıfır ω zat'a eşit olur. = 0 ve T zat. = ∞. Bu durumda salınımlar periyodik karakterini kaybeder ve salınımlar olarak adlandırılır. periyodik olmayan

ω 0 = β'da, titreşim enerjisindeki azalmadan sorumlu sistem parametreleri denilen değerleri alır. kritik . Bir yay sarkacı için, ω 0 = β koşulu şu şekilde yazılacaktır, buradan değeri buluruz kritik sürükleme katsayısı:

Pirinç. 21.3. Periyodik olmayan salınımların genliğinin zamana bağımlılığı

Zorlanmış titreşimler.

Tüm gerçek salınımlar sönümlenir. Gerçek salınımların yeterince uzun bir süre boyunca meydana gelmesi için, salınım sisteminin enerjisini periyodik olarak değişen bir dış kuvvetle etki ederek periyodik olarak yenilemek gerekir.

Harici ise salınım olgusunu düşünün. (zorlama) kuvvet harmonik yasasına göre zamanla değişir. Bu durumda, doğası bir dereceye kadar itici gücün doğasını tekrar edecek olan sistemlerde salınımlar ortaya çıkacaktır. Bu tür dalgalanmalara denir zoraki .

Zorlanmış mekanik salınımların genel işaretleri.

1. Harici bir kuvvet tarafından harekete geçirilen bir yay sarkacının zorlanmış mekanik salınımlarını ele alalım. (zorlayıcı ) periyodik kuvvet . Sarkaca etki eden kuvvetler, dengeden çıktıktan sonra salınım sisteminin kendisinde gelişir. Bunlar elastik kuvvet ve sürükleme kuvvetidir.

hareket kanunu (Newton'un ikinci yasası) şu şekilde yazılır:

(21.6)

Denklemin her iki tarafını m'ye bölün, bunu hesaba katın ve diferansiyel denklem Zorlanmış titreşimler:

( β – sönümleme faktörü ), (ω 0, sönümsüz serbest salınımların frekansıdır), birim kütle başına etki eden kuvvet. Bu gösterimlerde diferansiyel denklem zorunlu salınımlar şu şekli alacaktır:

(21.7)

Bu, sağ tarafı sıfır olmayan ikinci dereceden bir diferansiyel denklemdir. Böyle bir denklemin çözümü, iki çözümün toplamıdır.

homojen bir diferansiyel denklemin genel çözümüdür, yani sıfıra eşit olduğunda sağ tarafı olmayan diferansiyel denklem. Böyle bir çözüm biliyoruz - bu, değeri salınım sisteminin başlangıç koşulları tarafından belirlenen bir sabite kadar yazılan sönümlü salınımların denklemidir:

Çözümün sinüs fonksiyonları cinsinden yazılabileceğini daha önce tartışmıştık.

Sarkaç salınım sürecini, tahrik kuvveti açıldıktan sonra yeterince uzun bir Δt süresinden sonra düşünürsek (Şekil 21.2), o zaman sistemdeki sönümlü salınımlar pratik olarak duracaktır. Ve sonra sağ taraf ile diferansiyel denklemin çözümü çözüm olacaktır.

Bir çözüm, homojen olmayan bir diferansiyel denklemin özel bir çözümüdür, yani sağ taraf ile denklemler. Diferansiyel denklemler teorisinden, sağ tarafın harmonik yasaya göre değişmesiyle, çözümün, sağ tarafın değişim frekansı Ω'ya karşılık gelen bir değişim frekansına sahip bir harmonik fonksiyon (sin veya cos) olacağı bilinmektedir:

nerede A ampl. – zorunlu salınımların genliği, φ 0 – faz değişimi , onlar. tahrik kuvvetinin fazı ile zorunlu salınımların fazı arasındaki faz farkı. Ve genlik A ampl. ve faz kayması φ 0, sistemin parametrelerine (β, ω 0) ve itici kuvvetin Ω frekansına bağlıdır.

Zorlanmış salınım süresi eşittir (21.9)

Şekil 4.1'deki zorlanmış salınımların çizelgesi.

Şekil 21.3. Zorlanmış salınımların programı

Sabit zorunlu salınımlar da harmoniktir.

Zorlanmış salınımların genliğinin ve faz kaymasının harici eylemin frekansına bağımlılıkları. Rezonans.

1. Harmonik bir yasaya göre değişen bir dış kuvvetten etkilenen yaylı sarkacın mekanik sistemine dönelim. Böyle bir sistem için, sırasıyla diferansiyel denklem ve çözümü şu şekildedir:

, .

Salınım genliğinin ve faz kaymasının harici itici kuvvetin frekansına bağımlılığını analiz edelim, bunun için x'in birinci ve ikinci türevlerini bulup diferansiyel denklemde yerine koyalım.

Vektör diyagramı yöntemini kullanalım. Denklemin sol tarafındaki (Şekil 4.1) üç salınımın toplamının sağ taraftaki salınıma eşit olması gerektiği denklemden de görülmektedir. Vektör diyagramı keyfi bir zaman t için yapılır. Ondan belirlenebilir.

Şekil 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

, , değerini dikkate alarak φ 0 ve A ampl için formüller elde ederiz. mekanik sistem:

2. Salınımlı bir mekanik sistemdeki zorlanmış salınımların genliğinin tahrik kuvvetinin frekansına ve direnç kuvvetinin büyüklüğüne bağımlılığını araştırıyoruz, bu verileri kullanarak bir grafik oluşturuyoruz . Çalışmanın sonuçları Şekil 21.5'te gösterilmiştir, bunlar itici gücün belirli bir frekansta olduğunu göstermektedir. salınımların genliği keskin bir şekilde artar. Ve bu artış ne kadar büyükse, zayıflama katsayısı β o kadar düşüktür. , salınım genliği sonsuz büyük olur.

Genlikte keskin bir artış olgusu eşit itici güç frekansında zorunlu salınımlar rezonans denir.

(21.12)

Şekil 21.5'teki eğriler ilişkiyi yansıtır ve denir genlik rezonans eğrileri .

Şekil 21.5 - Zorlanmış salınımların genliğinin itici kuvvetin frekansına bağımlılığının grafikleri.

Rezonans salınımlarının genliği şu şekilde olacaktır:

Zorlanmış titreşimler sönümsüz dalgalanmalar. Sürtünmeden kaynaklanan kaçınılmaz enerji kayıpları, periyodik olarak hareket eden bir kuvvetin harici bir kaynağından sağlanan enerji ile telafi edilir. Sönümsüz salınımların periyodik dış etkiler nedeniyle değil, bu tür sistemlerin sabit bir kaynaktan gelen enerji akışını düzenleme yeteneğinin bir sonucu olarak ortaya çıktığı sistemler vardır. Bu tür sistemlere denir kendi kendine salınan ve bu tür sistemlerde sönümsüz salınım süreci kendi kendine salınımlar.

Kendiliğinden salınımlı bir sistemde, üç karakteristik unsur ayırt edilebilir - bir salınım sistemi, bir enerji kaynağı ve salınımlı sistem ile kaynak arasında bir geri besleme cihazı. Bir salınım sistemi olarak, kendi sönümlü salınımlarını gerçekleştirebilen herhangi bir mekanik sistem (örneğin, bir duvar saatinin sarkacı) kullanılabilir.

Enerji kaynağı, yayın deformasyon enerjisi veya yerçekimi alanındaki yükün potansiyel enerjisi olabilir. Geri besleme cihazı, kendiliğinden salınımlı sistemin kaynaktan enerji akışını düzenlediği bir mekanizmadır. Şek. 21.6, kendi kendine salınan bir sistemin çeşitli elemanlarının etkileşiminin bir diyagramını gösterir.

Mekanik kendi kendine salınan bir sistemin bir örneği, bir saat mekanizmasıdır. Çapa hareket ettirin (Şek. 21.7.). Eğik dişlere sahip bir hareketli tekerlek, içinden bir ağırlığa sahip bir zincirin atıldığı dişli bir tambura sağlam bir şekilde sabitlenir. Sarkacın üst ucunda, sarkacın ekseni üzerinde ortalanmış bir dairenin yayı boyunca bükülmüş iki sert malzeme plakası ile bir çapa (çapa) sabitlenmiştir. Bir kol saatinde, ağırlık bir yay ile değiştirilir ve sarkaç bir dengeleyici ile değiştirilir - spiral bir yaya sabitlenmiş bir el çarkı.

Şekil 21.7. Sarkaçlı saat mekanizması.

Dengeleyici, ekseni etrafında burulma titreşimleri gerçekleştirir. Saatteki salınım sistemi bir sarkaç veya dengeleyicidir. Enerji kaynağı, kaldırılmış bir ağırlık veya bir yaydır. Geri bildirim cihazı, çalışan tekerleğin bir dişi yarım döngüde döndürmesine izin veren bir ankrajdır.

Geri bildirim, çapanın çalışan tekerlek ile etkileşimi ile sağlanır. Sarkacın her salınımında, hareketli tekerlek dişi ankraj çatalını sarkaç hareketi yönünde iter ve ona sürtünmeden kaynaklanan enerji kayıplarını telafi eden belirli bir enerji kısmını aktarır. Böylece, ağırlığın (veya bükülmüş yayın) potansiyel enerjisi kademeli olarak ayrı kısımlar halinde sarkaca aktarılır.

Mekanik kendinden salınımlı sistemler, çevremizdeki yaşamda ve teknolojide yaygındır. Kendi kendine salınımlar, buhar motorları, içten yanmalı motorlar, elektrikli ziller, yaylı müzik aletlerinin telleri, üflemeli çalgıların borularındaki hava sütunları, konuşurken veya şarkı söylerken ses telleri vb. tarafından gerçekleştirilir.

Gerçekte, direnç kuvvetlerinin etkisi altında serbest salınımlar meydana gelir. Dağıtıcı kuvvetler, salınım genliğinde bir azalmaya yol açar. Enerji kayıpları sonucunda genliği zamanla küçülen salınımlara sönümlü denir.

Sönümlü mekanik salınımlar

TANIM

Salınımların sönüm oranını karakterize eden fiziksel miktara denir. sönümleme faktörü. Zayıflama katsayısı farklı şekillerde gösterilebilir: vb. Sürtünme kuvvetlerinin cismin hızıyla orantılı olması koşuluyla:

burada - genelleştirilmiş sürtünme katsayısıdır, sönümleme katsayısı şuna eşit kabul edilir:

salınan cismin kütlesi nerede.

Sönüm varlığında salınımların diferansiyel denklemi şu şekilde olacaktır:

sürtünme olmadığında sistemin serbest salınımlarının döngüsel frekansıdır.

Sönümlü salınım denklemi:

Nerede sönümlü salınımların frekansı, sönümlü salınımların genliğidir. zaman referans noktasının seçimine bağlı olan sabit bir değerdir.

Sönüm katsayısı, genliklerin (A) e kat azaldığı zamanın () tersi olarak tanımlanabilir:

dinlenme zamanı nerede. Yani, şunları yazabilirsiniz:

Sönümlü salınımların periyodu şuna eşittir:

eşitsizlik karşılanırsa ortamın önemsiz direnci ile: salınım süresi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Sönüm faktörü arttıkça salınım periyodu artar. Sönümlü salınımların periyodu kavramının sönümsüz salınımlar kavramıyla örtüşmediğine dikkat edilmelidir, çünkü sönüm varlığında sistem asla orijinal durumuna geri dönmez. Sönümlü salınım periyodu, sistemin aynı yönde iki kez denge konumundan geçtiği minimum süredir.

Salınımların zayıflama katsayısındaki artışla salınımların frekansı azalır. Eğer , o zaman sönümlü salınımların frekansı sıfır olurken, periyot sonsuza yükselir. Bu tür salınımlar periyodikliklerini kaybederler ve periyodik olmayan salınımlar olarak adlandırılırlar. Sönüm katsayısı salınımların doğal frekansına eşit olduğunda, sistemin parametreleri kritik olarak adlandırılır.

Salınım sönümleme katsayısı, aşağıdaki ifadeyle logaritmik sönümleme azalmasıyla () ilişkilidir:

Sönümlü elektrik salınımları

Gerçekte var olan herhangi bir elektrik devresinin aktif bir direnci vardır, dolayısıyla ısındığı için zamanla içinde depolanan enerji bu dirence harcanır.

Bu durumda, elektrik devresi için zayıflama katsayısı şu şekilde hesaplanır:

burada R dirençtir, L devrenin endüktansıdır.

Elektromanyetik devredeki frekans aşağıdaki formülle temsil edilir:

Bir RLC devresi için, salınımların periyodik olmayan hale geldiği kritik direnç () şuna eşit dirençtir:

bulunur

Sönüm oranı birimleri

SI sistemindeki zayıflama katsayısının temel ölçüm birimi:

Problem çözme örnekleri

ÖRNEK 1

Egzersiz yapmak

Sarkaç salınımlarının genliği t=10 s süresi boyunca ise sönüm katsayısı nedir? 4 kat azalır mı?

Çözüm

Sarkacın sönümlü salınımlarının denklemini yazalım:

Zayıflama katsayısının tanımlarından birine göre:

Hesaplamaları yapalım:

Cevap

ÖRNEK 2

Egzersiz yapmak	Salınım devresi bir indüktör L, bir kapasitör C ve bir direnç R'den oluşur (Şekil 1). Hangi sayıda tam salınımdan (N) sonra devredeki akımın genliği e faktörü kadar azalır?
Çözüm	Aşağıdaki notasyonu tanıtıyoruz: - akım gücünün genliğinin başlangıç değeri, - N salınım yoluyla akım gücünün genliği, sonra şunu yazabiliriz:

GENEL BİLGİ

dalgalanmalar zamanda belirli bir tekrarla karakterize edilen hareketler veya süreçler olarak adlandırılır. dalgalanmalar denir özgür, eğer salınım sistemi üzerinde müteakip dış etkilerin olmaması ile başlangıçta iletilen enerji pahasına gerçekleştirilirlerse. En basit titreşim türleri harmonik titreşimler- sinüs veya kosinüs yasasına göre salınım değerinin zaman içinde değiştiği dalgalanmalar.

Harmonik salınımların diferansiyel denklemi şu şekildedir:

salınım değeri burada, döngüsel frekanstır.

bu denklemin çözümüdür. Burada - genlik, - ilk aşama.

Salınım aşaması.

Genlik - dalgalanan bir miktarın maksimum değeri.

Salınım periyodu, vücudun hareketinin tekrarlandığı zaman periyodudur. Periyot için salınım fazı bir artış alır. . , titreşim sayısıdır.

Salınım frekansı, birim zamandaki tam salınımların sayısıdır. . . Hertz (Hz) cinsinden ölçülür.

Döngüsel frekans, saniyedeki salınımların sayısıdır. . Birim

Salınım fazı, kosinüs işareti altındaki bir değerdir ve herhangi bir zamanda salınım sisteminin durumunu karakterize eder.

İlk aşama - zamanın ilk anında salınım aşaması. Faz ve başlangıç fazı radyan () cinsinden ölçülür.

Serbest sönümlü titreşimler– gerçek bir salınım sisteminin enerji kayıpları nedeniyle genliği zamanla azalan salınımlar. Titreşimlerin enerjisini azaltmanın en basit mekanizması, mekanik salınımlı sistemlerde sürtünme nedeniyle ısıya dönüşmesi ve elektriksel salınımlı sistemlerde elektromanyetik enerjinin omik kayıpları ve radyasyonudur.

Serbest sönümlü salınımların diferansiyel denklemi şu şekildedir:

, (1)

Düşük zayıflama (d 2) durumunda denklem (1)'in çözümü<< ) имеет вид

Genliğin azaldığı zaman aralığı e kere denir rahatlama vakti.

Sönüm, salınımların periyodikliğini ihlal eder, dolayısıyla sönümlü salınımlar periyodik değildir. Bununla birlikte, zayıflama küçükse, salınımlı bir niceliğin birbirini izleyen iki maksimumu (veya minimumu) arasındaki zaman aralığı olarak bir periyot kavramı koşullu olarak kullanılabilir. Daha sonra sönümlü salınımların periyodu formül ile hesaplanır.

Eğer A(T) Ve A(t+T) bir periyotla farklılık gösteren zamanlara karşılık gelen ardışık iki salınımın genlikleridir, ardından oran

isminde sönüm azaltma ve logaritması

– logaritmik sönüm azaltma.

Değer N e genliğin azalması sırasında yapılan salınımların sayısıdır. e bir kere. Logaritmik sönüm azalması, belirli bir salınım sistemi için sabit bir değerdir.

Bir salınım sistemini karakterize etmek için kavram kullanılır kalite faktörü Q logaritmik azalmanın küçük değerleri için şuna eşittir:

Şunları okumak faydalı olabilir: