Temel temel fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri. Fonksiyon grafiğinin incelenmesi Fonksiyonlar ur

Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi seçiyoruz ve argümanın değerlerini apsis eksenine çiziyoruz. X ve y ekseninde - işlevin değerleri y = f(x).

Fonksiyon Grafiği y = f(x) apsislerin fonksiyonun alanına ait olduğu ve ordinatların fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşit olduğu tüm noktaların kümesi çağrılır.

Başka bir deyişle, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiği, düzlemdeki tüm noktaların kümesidir, koordinatlar X, de ilişkiyi tatmin eden y = f(x).

Şek. 45 ve 46, fonksiyonların grafikleridir y = 2x + 1 Ve y \u003d x 2 - 2x.

Kesin olarak konuşursak, bir fonksiyonun grafiği (tam matematiksel tanımı yukarıda verilmiştir) ile her zaman grafiğin yalnızca az çok doğru bir taslağını veren çizilmiş eğri (ve o zaman bile, kural olarak, grafiğin tamamı değil, yalnızca uçağın son kısımlarında bulunan kısmı). Bununla birlikte, bundan sonra genellikle "grafik taslağı" yerine "grafik"e atıfta bulunacağız.

Bir grafik kullanarak, bir fonksiyonun bir noktadaki değerini bulabilirsiniz. Yani, eğer nokta x = bir fonksiyonun kapsamına aittir y = f(x), ardından numarayı bulmak için f(a)(yani, noktadaki fonksiyon değerleri x = bir) yapmalıdır. Apsisli bir noktadan geçmeniz gerekiyor x = bir y eksenine paralel düz bir çizgi çizin; bu çizgi fonksiyonun grafiğini kesecek y = f(x) bir noktada; bu noktanın ordinatı, grafiğin tanımı gereği şuna eşit olacaktır: f(a)(Şek. 47).

Örneğin, işlev için f(x) = x2 - 2x grafiği kullanarak (Şekil 46) f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, vb. buluruz.

Bir fonksiyon grafiği, bir fonksiyonun davranışını ve özelliklerini görsel olarak gösterir. Örneğin, Şek. 46 işlevin açık olduğu açıktır. y \u003d x 2 - 2x olduğunda pozitif değerler alır X< 0 ve de x > 2, negatif - 0'da< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x kabul eder x = 1.

Bir işlevi çizmek için f(x) uçağın tüm noktalarını, koordinatlarını bulmanız gerekiyor X,de denklemi sağlayan y = f(x). Çoğu durumda bu imkansızdır, çünkü bu tür sonsuz sayıda nokta vardır. Bu nedenle, fonksiyonun grafiği yaklaşık olarak - daha fazla veya daha az doğrulukla tasvir edilmiştir. En basiti çok noktalı çizim yöntemidir. Argümanın şu gerçeğinden oluşur: X sonlu sayıda değer verin - diyelim ki x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k ve fonksiyonun seçilen değerlerini içeren bir tablo yapın.

Tablo şöyle görünür:

Böyle bir tablo derledikten sonra, fonksiyonun grafiğinde birkaç noktayı özetleyebiliriz. y = f(x). Ardından, bu noktaları düz bir çizgi ile birleştirerek, fonksiyonun grafiğinin yaklaşık bir görünümünü elde ederiz. y = f(x).

Ancak, çok noktalı çizim yönteminin çok güvenilir olmadığı belirtilmelidir. Aslında, grafiğin işaretli noktalar arasındaki davranışı ve alınan uç noktalar arasındaki segment dışındaki davranışı bilinmemektedir.

örnek 1. Bir işlevi çizmek için y = f(x) birisi bir bağımsız değişken ve işlev değerleri tablosu derledi:

Karşılık gelen beş nokta Şekil 1'de gösterilmiştir. 48.

Bu noktaların konumuna dayanarak, fonksiyonun grafiğinin düz bir çizgi olduğu sonucuna vardı (Şekil 48'de noktalı bir çizgi ile gösterilmiştir). Bu sonuç güvenilir kabul edilebilir mi? Bu sonucu destekleyecek ek hususlar olmadıkça, güvenilir olarak kabul edilemez. güvenilir.

İddiamızı doğrulamak için, işlevi göz önünde bulundurun

Hesaplamalar, bu fonksiyonun -2, -1, 0, 1, 2 noktalarındaki değerlerinin sadece yukarıdaki tablo ile açıklandığını göstermektedir. Ancak, bu fonksiyonun grafiği hiç de düz bir çizgi değildir (Şekil 49'da gösterilmektedir). Başka bir örnek, işlevdir. y = x + l + sinx; anlamları da yukarıdaki tabloda açıklanmıştır.

Bu örnekler, "saf" biçiminde çok noktalı çizim yönteminin güvenilir olmadığını göstermektedir. Bu nedenle, belirli bir işlevi çizmek için kural olarak aşağıdakileri yapın. İlk olarak, grafiğin bir taslağını oluşturmanın mümkün olduğu bu fonksiyonun özellikleri incelenir. Ardından, fonksiyonun değerlerini birkaç noktada hesaplayarak (seçimi fonksiyonun ayarlanan özelliklerine bağlıdır), grafiğin karşılık gelen noktaları bulunur. Ve son olarak, bu fonksiyonun özelliklerini kullanarak oluşturulan noktalardan bir eğri çizilir.

Bir grafiğin taslağını bulmak için kullanılan fonksiyonların bazı (en basit ve sık kullanılan) özelliklerini daha sonra ele alacağız ve şimdi grafik çizmek için yaygın olarak kullanılan bazı yöntemleri analiz edeceğiz.

y = |f(x)| fonksiyonunun grafiği.

Genellikle bir fonksiyonun grafiğini çizmek gerekir. y = |f(x)|, nerede f(x) - verilen fonksiyon Bunun nasıl yapıldığını hatırlayın. Bir sayının mutlak değerinin tanımı ile yazılabilir

Bu, fonksiyonun grafiğinin y=|f(x)| grafikten elde edilebilir, fonksiyonlar y = f(x) aşağıdaki gibi: fonksiyonun grafiğinin tüm noktaları y = f(x), ordinatları negatif olmayan değişmeden bırakılmalıdır; ayrıca, fonksiyonun grafiğindeki noktalar yerine y = f(x), negatif koordinatlara sahip olarak, fonksiyon grafiğinin karşılık gelen noktalarını oluşturmalısınız. y = -f(x)(yani fonksiyon grafiğinin bir parçası
y = f(x), eksenin altında yer alan X, eksen etrafında simetrik olarak yansıtılmalıdır X).

Örnek 2 Bir fonksiyon çiz y = |x|

Fonksiyonun grafiğini alıyoruz y = x(Şekil 50, a) ve bu grafiğin bir kısmı X< 0 (eksenin altında yatan X) eksen etrafında simetrik olarak yansıtılır X. Sonuç olarak, fonksiyonun grafiğini elde ederiz. y = |x|(Şek. 50, b).

Örnek 3. Bir fonksiyon çiz y = |x 2 - 2x|.

İlk önce fonksiyonu çizelim y = x 2 - 2x. Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür, dalları yukarı doğru yönlendirilmiştir, parabolün tepesinin koordinatları (1; -1), grafiği apsis eksenini 0 ve 2 noktalarında keser. (0; 2) aralığında ) fonksiyon negatif değerler alır, bu nedenle grafiğin bu kısmı x ekseni etrafında simetrik olarak yansıtır. Şekil 51, fonksiyonun bir grafiğini göstermektedir y \u003d |x 2 -2x |, fonksiyonun grafiğine göre y = x2 - 2x

y = f(x) + g(x) fonksiyonunun grafiği

Fonksiyonu çizme problemini düşünün y = f(x) + g(x). fonksiyonların grafikleri verilirse y = f(x) Ve y = g(x).

y = |f(x) + g(x)| hem y = f(x) hem de y = g(x) fonksiyonlarının tanımlandığı tüm x değerlerinin kümesidir, yani bu tanım alanı, tanım alanlarının kesişimidir, f(x) fonksiyonları ) ve g(x).

puan olsun (x 0, y 1) Ve (x 0, y 2) sırasıyla fonksiyon grafiklerine aittir y = f(x) Ve y = g(x), yani y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). O halde nokta (x0;.y1 + y2) fonksiyonun grafiğine aittir. y = f(x) + g(x)(için f(x 0) + g(x 0)) = y 1+y2),. ve fonksiyonun grafiğinin herhangi bir noktası y = f(x) + g(x) bu şekilde alınabilir. Bu nedenle, fonksiyonun grafiği y = f(x) + g(x) fonksiyon grafiklerinden elde edilebilir y = f(x). Ve y = g(x) her noktayı değiştirerek ( x n, y 1) fonksiyon grafikleri y = f(x) nokta (x n, y 1 + y 2), Nerede y 2 = g(x n), yani her noktayı kaydırarak ( x n, y 1) fonksiyon grafiği y = f(x) eksen boyunca de miktara göre y 1 \u003d gr (x n). Bu durumda, sadece bu tür noktalar dikkate alınır. X her iki fonksiyonun da tanımlandığı n y = f(x) Ve y = g(x).

Bu fonksiyon grafiği çizme yöntemi y = f(x) + g(x) fonksiyonların grafiklerinin eklenmesi denir y = f(x) Ve y = g(x)

Örnek 4. Şekilde, grafik ekleme yöntemiyle, fonksiyonun bir grafiği oluşturulmuştur.
y = x + sinx.

Bir işlevi çizerken y = x + sinx varsaydık f(x) = x, A g(x) = sinx. Bir fonksiyon grafiği oluşturmak için -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 apsisli noktaları seçiyoruz. Değerler f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx seçilen noktalarda hesaplayıp sonuçları tabloya yerleştireceğiz.

Bu metodolojik materyal yalnızca referans amaçlıdır ve çok çeşitli konuları kapsar. Makale, ana temel işlevlerin grafiklerine genel bir bakış sunar ve en önemli konuyu ele alır - doğru ve HIZLI bir grafik nasıl oluşturulur. Temel temel fonksiyonların grafikleri hakkında bilgi sahibi olmadan yüksek matematik çalışırken, zor olacaktır, bu nedenle bir parabol, hiperbol, sinüs, kosinüs vb. fonksiyonların değerlerinden. Ana fonksiyonların bazı özelliklerinden de bahsedeceğiz.

Materyallerin eksiksiz ve bilimsel eksiksiz olduğunu iddia etmiyorum, her şeyden önce uygulamaya - hangi şeylerin kullanıldığı şeylere - vurgu yapılacaktır. Yüksek matematiğin herhangi bir konusunda, her adımda tam anlamıyla yüzleşmek gerekir.. Aptallar için çizelgeler? öyle diyebilirsin

Okurlardan gelen yoğun talep üzerine tıklanabilir içindekiler tablosu:

Ek olarak, konuyla ilgili çok kısa bir özet var.
– ALTI sayfayı inceleyerek 16 tür çizelgede ustalaşın!

Cidden, altı, ben bile şaşırdım. Bu özet, geliştirilmiş grafikler içerir ve nominal bir ücret karşılığında mevcuttur, bir demo sürümü görüntülenebilir. Grafiklerin her zaman elinizin altında olması için dosyayı yazdırmak uygundur. Projeyi desteklediğiniz için teşekkürler!

Ve hemen başlıyoruz:

Doğru koordinat eksenleri nasıl oluşturulur?

Uygulamada, testler neredeyse her zaman öğrenciler tarafından bir kafes içine dizilmiş ayrı defterlerde hazırlanır. Neden damalı işaretlere ihtiyacınız var? Sonuçta, çalışma prensip olarak A4 sayfalarında yapılabilir. Ve kafes, sadece çizimlerin yüksek kaliteli ve doğru tasarımı için gereklidir.

Herhangi bir fonksiyon grafiği çizimi koordinat eksenleriyle başlar.

Çizimler iki boyutlu ve üç boyutludur.

Önce iki boyutlu durumu ele alalım Kartezyen koordinat sistemi:

1) Koordinat eksenlerini çiziyoruz. eksen denir x ekseni ve eksen y ekseni . Hep onları çizmeye çalışıyoruz. düzgün ve eğri değil. Oklar ayrıca Papa Carlo'nun sakalına benzememelidir.

2) Eksenleri büyük "x" ve "y" harfleriyle imzalıyoruz. Eksenleri imzalamayı unutma.

3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın: sıfır ve iki bir çiz. Bir çizim yaparken en uygun ve yaygın ölçek şudur: 1 birim = 2 hücre (soldaki çizim) - mümkünse buna bağlı kalın. Bununla birlikte, zaman zaman çizim bir defter sayfasına sığmaz - o zaman ölçeği azaltırız: 1 birim = 1 hücre (sağdaki çizim). Nadiren, ancak çizimin ölçeğinin daha da küçültülmesi (veya büyütülmesi) gerekir.

Makineli tüfekle karalama yapmayın ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....Çünkü koordinat düzlemi Descartes'ın bir anıtı değildir ve öğrenci bir güvercin değildir. Koyduk sıfır Ve eksen boyunca iki birim. Bazen yerine birimler, örneğin apsis ekseninde "iki" ve ordinat ekseninde "üç" gibi diğer değerleri "tespit etmek" uygundur - ve bu sistem (0, 2 ve 3) ayrıca benzersiz bir şekilde koordinat ızgarasını ayarlayacaktır.

Çizim çizilmeden ÖNCE çizimin tahmini boyutlarını tahmin etmek daha iyidir.. Bu nedenle, örneğin, görev köşeleri , , olan bir üçgen çizmeyi gerektiriyorsa, o zaman popüler ölçek 1 birim = 2 hücrenin işe yaramayacağı oldukça açıktır. Neden? Noktaya bakalım - burada on beş santimetre ölçmeniz gerekiyor ve açıkçası, çizim bir defter sayfasına sığmayacak (veya zar zor sığacak). Bu nedenle, hemen daha küçük bir ölçek 1 birim = 1 hücre seçiyoruz.

Bu arada, yaklaşık santimetre ve defter hücreleri. 30 defter hücresinde 15 santimetre olduğu doğru mu? Bir cetvelle 15 santimetre ilgi için bir defterde ölçün. SSCB'de belki de bu doğruydu ... Aynı santimetreleri yatay ve dikey olarak ölçerseniz, sonuçların (hücrelerde) farklı olacağını not etmek ilginçtir! Kesin olarak, modern defterler kareli değil, dikdörtgen şeklindedir. Saçma gibi görünebilir, ancak bu tür durumlarda örneğin pusula ile bir daire çizmek çok sakıncalıdır. Dürüst olmak gerekirse, böyle anlarda, yerli otomotiv endüstrisi, düşen uçaklar veya patlayan elektrik santralleri bir yana, üretimde hack çalışmaları için kamplara gönderilen Stalin Yoldaş'ın doğruluğunu düşünmeye başlıyorsunuz.

Kaliteden bahsetmişken ya da kırtasiye hakkında kısa bir tavsiye. Bugüne kadar, satışta olan defterlerin çoğu, kötü sözler söylemeden, tam bir goblindir. Sadece jel kalemlerden değil, tükenmez kalemlerden de ıslanmalarının nedeni! Kağıttan tasarruf edin. Testlerin tasarımı için, daha pahalı olmasına rağmen Arkhangelsk Selüloz ve Kağıt Fabrikası (18 sayfa, hücre) veya Pyaterochka'nın defterlerini kullanmanızı tavsiye ederim. Bir jel kalem seçmeniz önerilir, en ucuz Çin jel dolumu bile kağıdı bulaştıran veya yırtan bir tükenmez kalemden çok daha iyidir. Hafızamdaki tek "rekabetçi" tükenmez kalem Erich Krause. Net, güzel ve istikrarlı bir şekilde yazıyor - ya tam bir gövdeyle ya da neredeyse boş bir gövdeyle.

bunlara ek olarak: Analitik geometrinin gözünden bir dikdörtgen koordinat sisteminin vizyonu makalede ele alınmıştır. Vektörlerin doğrusal (olmayan) bağımlılığı. Vektör temeli, koordinat çeyrekleri hakkında detaylı bilgi dersin ikinci paragrafında bulunabilir. Doğrusal eşitsizlikler.

3 boyutlu kasa

Burada neredeyse aynı.

1) Koordinat eksenlerini çiziyoruz. Standart: ekseni uygula – yukarı yönlü, eksen – sağa dönük, eksen – aşağı doğru sola kesinlikle 45 derecelik bir açıda.

2) Eksenleri imzalıyoruz.

3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın. Eksen boyunca ölçeklendir - diğer eksenler boyunca ölçekten iki kat daha küçük. Ayrıca sağ çizimde eksen boyunca standart olmayan bir "serif" kullandığımı unutmayın. (bu olasılık yukarıda zaten belirtilmiştir). Benim bakış açıma göre, daha doğru, daha hızlı ve estetik açıdan daha hoş - mikroskop altında hücrenin ortasını aramanıza ve birimi orijine kadar "yontmanıza" gerek yok.

Yeniden bir 3B çizim yaparken - önceliği ölçeklemeye verin
1 birim = 2 hücre (soldaki çizim).

Bütün bu kurallar ne için? Kurallar çiğnenmek için vardır. Şimdi ne yapacağım? Gerçek şu ki, makalenin sonraki çizimleri benim tarafımdan Excel'de yapılacak ve koordinat eksenleri doğru tasarım açısından yanlış görünecek. Tüm grafikleri elle çizebilirim, ancak bunları çizmek gerçekten korkutucu, çünkü Excel onları çok daha doğru çizmek istemiyor.

Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri

Lineer fonksiyon denklem ile verilir. Doğrusal fonksiyon grafiği doğrudan. Düz bir çizgi çizmek için iki noktayı bilmek yeterlidir.

örnek 1

Fonksiyonu çizin. İki nokta bulalım. Noktalardan biri olarak sıfırı seçmek avantajlıdır.

eğer , o zaman

Başka bir noktayı ele alıyoruz, örneğin, 1.

eğer , o zaman

Görevler hazırlanırken, noktaların koordinatları genellikle bir tabloda özetlenir:

Ve değerlerin kendileri sözlü olarak veya bir taslak, hesap makinesi üzerinde hesaplanır.

İki nokta bulundu, çizelim:

Bir çizimi çizerken, her zaman grafikleri imzalarız..

Doğrusal bir fonksiyonun özel durumlarını hatırlamak gereksiz olmayacaktır:

Altyazıları nasıl yerleştirdiğime dikkat edin, çizimi incelerken imzalar belirsiz olmamalıdır. Bu durumda, çizgilerin kesişme noktasının yanına veya grafiklerin sağ alt kısmına bir imza koymak son derece istenmeyen bir durumdu.

1) Formun () doğrusal fonksiyonuna doğrudan orantılılık denir. Örneğin, . Doğru orantılılık grafiği her zaman orijinden geçer. Böylece düz bir çizginin inşası basitleştirilmiştir - sadece bir nokta bulmak yeterlidir.

2) Formdaki bir denklem, eksene paralel bir düz çizgiyi tanımlar, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği herhangi bir nokta bulamadan hemen oluşturulur. Yani, giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x'in herhangi bir değeri için y her zaman -4'e eşittir."

3) Formdaki bir denklem, eksene paralel bir düz çizgiyi tanımlar, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği de hemen oluşturulur. Giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x, y'nin herhangi bir değeri için her zaman 1'e eşittir."

Bazıları soracak, neden 6. sınıfı hatırlıyorsunuz?! Bu böyledir, belki de öyledir, yalnızca uygulama yıllarında, veya gibi bir grafik oluşturma görevi karşısında kafası karışmış bir düzine öğrenciyle tanıştım.

Düz bir çizgi çizmek, çizim yaparken en sık yapılan eylemdir.

Düz çizgi, analitik geometri dersinde detaylı olarak ele alınmış olup, dileyenler makaleye başvurabilirler. Bir düzlemde düz bir çizginin denklemi.

İkinci dereceden fonksiyon grafiği, kübik fonksiyon grafiği, polinom grafiği

Parabol. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği () bir paraboldür. Ünlü vakayı düşünün:

Fonksiyonun bazı özelliklerini hatırlayalım.

Denklemimizin çözümü: - parabolün tepe noktası bu noktadadır. Bunun neden böyle olduğu, türev hakkındaki teorik makaleden ve fonksiyonun uç noktaları hakkındaki dersten öğrenilebilir. Bu arada, karşılık gelen "y" değerini hesaplıyoruz:

Yani tepe noktasındadır

Şimdi parabolün simetrisini yüzsüzce kullanırken başka noktalar buluyoruz. Unutulmamalıdır ki, fonksiyon – bile değil, ancak yine de kimse parabolün simetrisini iptal etmedi.

Kalan puanların hangi sırayla bulunacağı final tablosundan belli olur diye düşünüyorum:

Bu inşa algoritması mecazi olarak Anfisa Chekhova ile "mekik" veya "ileri geri" ilkesi olarak adlandırılabilir.

Bir çizim yapalım:

Ele alınan grafiklerden, başka bir kullanışlı özellik akla geliyor:

İkinci dereceden bir fonksiyon için () aşağıdaki doğrudur:

Eğer , o zaman parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir.

Eğer , o zaman parabolün dalları aşağı doğru yönlendirilir.

Eğri hakkında derinlemesine bilgi, Hiperbol ve parabol dersinde elde edilebilir.

Kübik parabol, fonksiyon tarafından verilir. İşte okuldan tanıdık bir çizim:

Fonksiyonun ana özelliklerini listeliyoruz

Fonksiyon Grafiği

Parabolün dallarından birini temsil eder. Bir çizim yapalım:

Fonksiyonun ana özellikleri:

Bu durumda, eksen dikey asimptot adresindeki hiperbol grafiği için.

Bir çizim çizerken ihmal ederek grafiğin asimptot ile kesişmesine izin verirseniz BÜYÜK bir hata olacaktır.

Ayrıca tek taraflı sınırlar, bize bir abartı olduğunu söyle yukarıdan sınırlı değil Ve aşağıdan sınırlı değil.

Sonsuzdaki işlevi keşfedelim: , yani eksen boyunca sola (veya sağa) sonsuza doğru hareket etmeye başlarsak, o zaman “oyunlar” ince bir adım olacaktır. sonsuz yakın sıfıra yaklaşır ve buna göre hiperbolün dalları sonsuz yakın eksene yaklaşın.

Yani eksen Yatay asimptot fonksiyonun grafiği için, eğer "x" artı veya eksi sonsuza eğilimliyse.

işlev garip, bu, hiperbolün orijine göre simetrik olduğu anlamına gelir. Bu gerçek çizimden açıktır, ayrıca analitik olarak kolayca doğrulanabilir: .

() biçimindeki bir fonksiyonun grafiği, bir hiperbolün iki dalını temsil eder.

Eğer , o zaman hiperbol birinci ve üçüncü koordinat kadranlarında bulunur(yukarıdaki resme bakın).

Eğer , o zaman hiperbol ikinci ve dördüncü koordinat kadranlarında bulunur.

Grafiklerin geometrik dönüşümleri açısından hiperbolün ikamet ettiği yerin belirtilen düzenliliğini analiz etmek zor değildir.

Örnek 3

Hiperbolün sağ kolunu oluştur

Noktasal yapı yöntemini kullanıyoruz, ancak değerlerin tamamen bölünecek şekilde seçilmesi avantajlıdır:

Bir çizim yapalım:

Hiperbolün sol dalını oluşturmak zor olmayacak, burada fonksiyonun tuhaflığı sadece yardımcı olacaktır. Kabaca konuşursak, noktasal yapı tablosunda, her sayıya zihinsel olarak bir eksi ekleyin, karşılık gelen noktaları koyun ve ikinci dalı çizin.

Ele alınan çizgi hakkında ayrıntılı geometrik bilgi Hiperbol ve parabol makalesinde bulunabilir.

Üstel bir fonksiyonun grafiği

Bu paragrafta, üstel işlevi hemen ele alacağım, çünkü yüksek matematik problemlerinde vakaların% 95'inde ortaya çıkan üsdür.

Size hatırlatırım - bu irrasyonel bir sayıdır: , aslında tören olmadan inşa edeceğim bir grafik oluştururken bu gerekli olacaktır. Üç nokta muhtemelen yeterlidir:

Şimdilik fonksiyonun grafiğini olduğu gibi bırakalım, sonra konuşalım.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Temel olarak, fonksiyonların grafikleri aynı görünür, vb.

İkinci vakanın pratikte daha az yaygın olduğunu söylemeliyim ama oluyor, bu yüzden bu makaleye dahil etmeyi gerekli hissettim.

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği

Doğal logaritma ile bir fonksiyon düşünün.
Çizgi çizme yapalım:

Logaritmanın ne olduğunu unuttuysanız, lütfen okul ders kitaplarına bakın.

Fonksiyonun ana özellikleri:

İhtisas:

Değer aralığı: .

İşlev yukarıdan sınırlı değildir: , yavaş da olsa, ancak logaritmanın dalı sonsuza kadar çıkar.
Sağdaki sıfıra yakın fonksiyonun davranışını inceleyelim: . Yani eksen dikey asimptot sağda "x" sıfıra eğilimli olan fonksiyonun grafiği için.

Logaritmanın tipik değerini bildiğinizden ve hatırladığınızdan emin olun.: .

Temel olarak, tabandaki logaritmanın çizimi aynı görünür: , , (10 tabanına göre ondalık logaritma), vb. Aynı zamanda, taban ne kadar büyük olursa, grafik o kadar düz olur.

Durumu dikkate almayacağız, en son ne zaman böyle bir temelde bir grafik oluşturduğumu hatırlamadığım bir şey. Evet ve logaritma, yüksek matematik problemlerinde çok nadir bir konuk gibi görünüyor.

Paragrafın sonunda bir gerçek daha söyleyeceğim: Üstel Fonksiyon ve Logaritmik Fonksiyoniki karşılıklı ters fonksiyondur. Logaritma grafiğine yakından bakarsanız, bunun aynı üs olduğunu, sadece biraz farklı konumlandırıldığını görebilirsiniz.

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Okulda trigonometrik eziyet nasıl başlar? Sağ. sinüsten

Fonksiyonu çizelim

Bu hat denir sinüzoidal.

Size "pi"nin irrasyonel bir sayı olduğunu ve trigonometride göz kamaştırdığını hatırlatırım.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Bu işlev periyodik bir dönem ile. Bu ne anlama geliyor? Keseye bakalım. Solunda ve sağında, grafiğin tamamen aynı parçası sonsuza kadar tekrar ediyor.

İhtisas: , yani herhangi bir "x" değeri için bir sinüs değeri vardır.

Değer aralığı: . işlev sınırlı: , yani tüm "oyunlar" kesinlikle segmentte yer alır .
Bu olmaz: veya daha doğrusu olur ama bu denklemlerin bir çözümü yoktur.

Doğrusal bir fonksiyon, x'in bağımsız bir değişken olduğu, k ve b'nin herhangi bir sayı olduğu, y=kx+b biçimindeki bir fonksiyondur.
Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir.

1. Bir fonksiyon grafiği çizmek için, fonksiyonun grafiğine ait iki noktanın koordinatlarına ihtiyacımız var. Bunları bulmak için iki x değeri almanız, bunları fonksiyonun denkleminde yerine koymanız ve bunlardan karşılık gelen y değerlerini hesaplamanız gerekir.

Örneğin, y= x+2 fonksiyonunu çizmek için x=0 ve x=3 almak uygundur, bu durumda bu noktaların ordinatları y=2 ve y=3'e eşit olacaktır. A(0;2) ve B(3;3) puanları alıyoruz. Bunları birleştirelim ve y= x+2 fonksiyonunun grafiğini alalım:

2. y=kx+b formülünde, k sayısına orantı katsayısı denir:
k>0 ise, y=kx+b fonksiyonu artar
eğer k
b katsayısı, fonksiyonun grafiğinin OY ekseni boyunca kaymasını gösterir:
b>0 ise y=kx+b fonksiyonunun grafiği, OY ekseni boyunca b birim yukarı kaydırılarak y=kx fonksiyonunun grafiğinden elde edilir.
eğer b
Aşağıdaki şekil y=2x+3 fonksiyonlarının grafiklerini göstermektedir; y= ½x+3; y=x+3

Tüm bu fonksiyonlarda k katsayısının olduğuna dikkat edin. Sıfırın üstünde, ve fonksiyonlar artan. Ayrıca, k'nin değeri ne kadar büyük olursa, düz çizginin OX ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısı da o kadar büyük olur.

Tüm fonksiyonlarda b=3 - ve tüm grafiklerin OY eksenini (0;3) noktasında kestiğini görüyoruz.

Şimdi y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Bu kez tüm fonksiyonlarda k katsayısı Sıfırdan daha az ve özellikler azaltmak. Katsayı b=3 ve grafikler önceki durumda olduğu gibi OY eksenini (0;3) noktasında kesiyor.

y=2x+3 fonksiyonlarının grafiklerini ele alalım; y=2x; y=2x-3

Şimdi, tüm fonksiyon denklemlerinde k katsayıları 2'ye eşittir. Ve üç paralel çizgimiz var.

Ancak b katsayıları farklıdır ve bu grafikler OY eksenini farklı noktalarda keser:
y=2x+3 (b=3) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0;3) noktasında keser.
y=2x (b=0) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0;0) - başlangıç noktasında keser.
y=2x-3 (b=-3) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0;-3) noktasında kesiyor.

Dolayısıyla, k ve b katsayılarının işaretlerini bilirsek, y=kx+b fonksiyonunun grafiğinin nasıl göründüğünü hemen hayal edebiliriz.
Eğer k 0

Eğer k>0 ve b>0, o zaman y=kx+b fonksiyonunun grafiği şöyle görünür:

Eğer k>0 ve b, o zaman y=kx+b fonksiyonunun grafiği şöyle görünür:

Eğer k, o zaman y=kx+b fonksiyonunun grafiği şöyle görünür:

Eğer k=0, o zaman y=kx+b fonksiyonu y=b fonksiyonuna dönüşür ve grafiği şöyle görünür:

y=b fonksiyonunun grafiğindeki tüm noktaların ordinatları b'ye eşittir. b=0, o zaman y=kx (doğru orantılılık) fonksiyonunun grafiği orijinden geçer:

3. Ayrı ayrı, x=a denkleminin grafiğini not ediyoruz. Bu denklemin grafiği, tüm noktaları x=a apsisine sahip olan OY eksenine paralel düz bir çizgidir.

Örneğin, x=3 denkleminin grafiği şöyle görünür:
Dikkat! x=a denklemi bir fonksiyon değildir, çünkü argümanın bir değeri, fonksiyonun tanımına karşılık gelmeyen, fonksiyonun farklı değerlerine karşılık gelir.

4. İki doğrunun paralellik şartı:

y=k 1 x+b 1 fonksiyonunun grafiği, k 1 =k 2 ise y=k 2 x+b 2 fonksiyonunun grafiğine paraleldir

5. İki doğrunun birbirine dik olma şartı:

y=k 1 x+b 1 fonksiyonunun grafiği, k 1 *k 2 =-1 veya k 1 =-1/k 2 ise, y=k 2 x+b 2 fonksiyonunun grafiğine diktir

6. y=kx+b fonksiyonunun grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları.

OY ekseni ile. OY eksenine ait herhangi bir noktanın apsisi sıfıra eşittir. Bu nedenle, OY ekseni ile kesişme noktasını bulmak için, fonksiyonun denkleminde x yerine sıfır yazmanız gerekir. y=b elde ederiz. Yani OY ekseni ile kesişme noktasının (0;b) koordinatları vardır.

x ekseni ile: x eksenine ait herhangi bir noktanın ordinatı sıfırdır. Bu nedenle, OX ekseni ile kesişme noktasını bulmak için, fonksiyonun denkleminde y yerine sıfır yazmanız gerekir. 0=kx+b elde ederiz. Dolayısıyla x=-b/k. Yani, OX ekseni ile kesişme noktasının koordinatları vardır (-b / k; 0):

Bir işlev oluşturun

Tüm hakları şirkete ait olan, çevrimiçi fonksiyon grafikleri çizmek için bir hizmeti dikkatinize sunuyoruz. Desmos. İşlevleri girmek için sol sütunu kullanın. Manuel olarak veya pencerenin altındaki sanal klavyeyi kullanarak girebilirsiniz. Grafik penceresini büyütmek için hem sol sütunu hem de sanal klavyeyi gizleyebilirsiniz.

Çevrimiçi grafiğin faydaları

Tanıtılan fonksiyonların görsel gösterimi
Çok karmaşık grafikler oluşturma
Örtülü olarak tanımlanmış grafikleri çizme (örn. elips x^2/9+y^2/16=1)
İnternetteki herkesin kullanımına sunulan çizelgeleri kaydetme ve bunlara bir bağlantı alma yeteneği
Ölçek kontrolü, çizgi rengi
Grafikleri noktalara göre çizme yeteneği, sabitlerin kullanımı
Aynı anda birkaç fonksiyon grafiğinin oluşturulması
Kutupsal koordinatlarda çizim (r ve θ(\theta)) kullanın

Bizimle çevrimiçi olarak değişen karmaşıklıktaki grafikleri oluşturmak kolaydır. İnşaat anında yapılır. Hizmet, fonksiyonların kesişme noktalarını bulmak, grafikleri problem çözmek için örnekler olarak bir Word belgesine daha fazla transfer edilmek üzere görüntülemek, fonksiyon grafiklerinin davranışsal özelliklerini analiz etmek için talep görüyor. Sitenin bu sayfasında grafiklerle çalışmak için en iyi tarayıcı Google Chrome'dur. Diğer tarayıcıları kullanırken doğru çalışma garanti edilmez.

Okul çocukları, cebir eğitiminin en başında bir fonksiyon grafiği oluşturma görevi ile karşı karşıya kalır ve bunları yıldan yıla oluşturmaya devam eder. İnşası için sadece iki noktayı bilmeniz gereken doğrusal bir fonksiyonun grafiğinden başlayarak, halihazırda 6 noktaya, bir hiperbole ve bir sinüzoide ihtiyacınız olan bir parabole. Her yıl fonksiyonlar daha karmaşık hale geliyor ve artık grafiklerini bir şablona göre çizmek mümkün değil, türevler ve limitler kullanarak daha karmaşık çalışmalar yapmak gerekiyor.

Bir fonksiyonun grafiğini nasıl bulacağımızı bulalım mı? Bunu yapmak için, grafikleri noktalarla oluşturulmuş en basit işlevlerle başlayalım ve ardından daha karmaşık işlevler oluşturmak için bir plan düşünelim.

Lineer Fonksiyon Çizimi

En basit grafikleri oluşturmak için bir fonksiyon değerleri tablosu kullanılır. Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir. y=4x+5 fonksiyonunun grafiğindeki noktaları bulmaya çalışalım.

Bunu yapmak için, x değişkeninin iki rasgele değerini alırız, bunları birer birer işleve koyarız, y değişkeninin değerini buluruz ve her şeyi tabloya koyarız.
x=0 değerini alıp fonksiyonda x - 0 yerine koyalım. Elde ettiğimiz sonuç: y=4*0+5 yani y=5 bu değeri 0'ın altındaki tabloya yazalım. Benzer şekilde x= al 0 y=4*1+5 , y=9 elde ederiz.
Şimdi bir fonksiyon grafiği oluşturmak için bu noktaları koordinat düzleminde çizmeniz gerekiyor. O zaman düz bir çizgi çizmeniz gerekir.

İkinci Dereceden Bir Fonksiyonu Çizmek

İkinci dereceden bir işlev, y=ax 2 +bx +c biçiminde bir işlevdir; burada x bir değişkendir, a,b,c sayılardır (a, 0'a eşit değildir). Örneğin: y=x 2 , y=x 2 +5, y=(x-3) 2 , y=2x 2 +3x+5.

En basit ikinci dereceden işlevi oluşturmak için y=x 2 genellikle 5-7 puan alır. x değişkeni için değerleri alalım: -2, -1, 0, 1, 2 ve ilk grafiği oluştururken yaptığımız gibi y değerlerini bulalım.

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğine parabol denir. Fonksiyon grafiklerini oluşturduktan sonra, öğrencilerin grafikle ilişkili yeni görevleri vardır.

Örnek 1: ordinat 9 ise fonksiyon grafiği noktası y=x 2'nin apsisini bulun.Problemi çözmek için fonksiyonda y yerine değerini 9 yazmanız gerekiyor.9=x 2 elde edip bu denklemi çözüyoruz . x=3 ve x=-3. Bu, fonksiyonun grafiğinde de görülebilir.

Bir fonksiyonun incelenmesi ve grafiğinin oluşturulması

Daha karmaşık işlevleri çizmek için, çalışmasını amaçlayan birkaç adımı gerçekleştirmeniz gerekir. Bunun için ihtiyacınız var:

Fonksiyonun kapsamını bulun. Kapsam, x'in alabileceği tüm değerlerdir. Tanım alanından, paydanın 0 olduğu veya radikal ifadenin negatif olduğu noktalar çıkarılmalıdır.
Çift veya tek işlevi ayarlayın. Çift fonksiyonun f(-x)=f(x) koşulunu sağladığını hatırlayın. Grafiği Oy'a göre simetriktir. Bir fonksiyon f(-x)=-f(x) koşulunu karşılıyorsa tek olacaktır. Bu durumda grafik orijine göre simetriktir.
Koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun. x ekseni ile kesiştiği noktanın apsisini bulmak için f(x)=0 (ordinat 0'dır) denklemini çözmek gerekir. Oy ekseni ile kesiştiği noktanın ordinatını bulmak için fonksiyonda x değişkeni yerine 0 koymak gerekir (apsis 0'dır).
Fonksiyonun asimptotlarını bulun. Bir asimptot, grafiğin sonsuza kadar yaklaştığı ancak asla kesişmediği bir çizgidir. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını nasıl bulacağımızı bulalım.
- x=a formunun düşey asimptot düz doğrusu
- Yatay asimptot - y \u003d a biçiminde düz bir çizgi
- Eğik asimptot - y=kx+b biçimindeki düz çizgi
Fonksiyonun uç noktalarını, fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını bulun. Fonksiyonun uç noktalarını bulun. Bunu yapmak için birinci türevi bulmanız ve 0'a eşitlemeniz gerekir. İşte bu noktalarda fonksiyon artandan azalan hale geçebilir. Her aralıkta türevin işaretini belirleyelim. Türev pozitif ise fonksiyonun grafiği artar, negatif ise azalır.
Fonksiyon grafiğinin bükülme noktalarını, yukarı ve aşağı konveksite aralıklarını bulun.

Bükülme noktalarını bulmak artık her zamankinden daha kolay. Sadece ikinci türevi bulmanız ve sonra onu sıfıra eşitlemeniz gerekiyor. Daha sonra, her aralıkta ikinci türevin işaretini buluruz. Pozitif ise, fonksiyonun grafiği negatif ise aşağı dışbükeydir - yukarı.

Şunları okumak faydalı olabilir: