Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevi. Kapalı bir fonksiyonun türevi Örtülü bir fonksiyonun türevinin değerini bulun

Örtülü bir şekilde $ F(x,y(x)) = 0 $ genel biçiminde yazılmış bir y(x) fonksiyonunu ele alalım. Kapalı bir fonksiyonun türevi iki şekilde bulunur:

Denklemin her iki tarafını farklılaştırarak
Hazır formülü kullanarak $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Nasıl bulunur?

Yöntem 1

Fonksiyonu açık bir forma getirmek gerekli değildir. Hemen $ x $'a göre denklemin sol ve sağ taraflarını ayırt etmeye başlamalıyız. $ y" $ türevinin karmaşık bir fonksiyonun türev kuralı ile hesaplandığını belirtmekte fayda var. Örneğin, $ (y^2)"_x = 2yy" $. Türevi bulduktan sonra, $ ifade etmeniz gerekir. Ortaya çıkan denklemden y" $ ve sol tarafa $ y" $ yerleştirin.

Yöntem 2

Pay ve paydada $ F(x,y(x)) = 0 $ örtük fonksiyonunun kısmi türevlerini kullanan bir formül kullanabilirsiniz. Payı bulmak için $ x $'a göre türevi alırız ve payda için $ y $'a göre türevi alırız.

Örtük bir fonksiyonun ikinci türevi, örtülü bir fonksiyonun birinci türevinin yeniden türevi alınarak bulunabilir.

Çözüm örnekleri

Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevini hesaplamak için pratik çözüm örneklerini düşünün.

örnek 1
Örtülü bir fonksiyonun türevini bulun $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $
Çözüm
1 numaralı yöntemi kullanalım. Yani, denklemin sol ve sağ taraflarını ayırıyoruz: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ Türev alırken, fonksiyonların çarpımının türevi için formülü kullanmayı unutmayın: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ Sorununuzu çözemezseniz, bize gönderin. Ayrıntılı bir çözüm sunacağız. Hesaplamanın ilerleyişine kendinizi alıştırabilecek ve bilgi toplayabileceksiniz. Bu, öğretmenden zamanında bir kredi almanıza yardımcı olacaktır!
Cevap
$$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$

Örnek 2
Fonksiyon dolaylı olarak verilmiştir, türevi bulun $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $
Çözüm
2 numaralı yöntemi kullanalım. $ F(x,y) = 0 $ fonksiyonunun kısmi türevlerini bulma $ y $ sabit olsun ve $ x $'a göre farklılaşsın: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ Şimdi $ x $'ı bir sabit olarak kabul ediyoruz ve $ y $'a göre farklılaştırıyoruz: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ Şimdi formülde $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ yerine koyuyoruz ve şunu elde ediyoruz: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$
Cevap
$$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevinin formülü. Bu formülün uygulama kanıtı ve örnekleri. Birinci, ikinci ve üçüncü dereceden türevlerin hesaplanmasına örnekler.

İçerik

birinci dereceden türev

Fonksiyon örtük olarak denklem kullanılarak verilsin
(1) .
Ve bu denklemin, bir değer için, benzersiz bir çözümü olsun. Fonksiyonun noktasında türevlenebilir bir fonksiyon olmasına izin verin ve
.
Daha sonra, bu değer için, aşağıdaki formülle belirlenen bir türev vardır:
(2) .

Kanıt

Kanıt için, işlevi değişkenin karmaşık bir işlevi olarak düşünün:
.
Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uyguluyoruz ve denklemin sol ve sağ taraflarının değişkenine göre türevini buluyoruz.
(3) :
.
Sabitin türevi sıfıra eşit olduğundan ve , o zaman
(4) ;
.

Formül kanıtlanmıştır.

Daha yüksek dereceli türevler

Denklem (4)'ü başka bir gösterim kullanarak yeniden yazalım:
(4) .
Ayrıca, ve değişkenin karmaşık fonksiyonlarıdır:
;
.
Bağımlılık denklemi (1) tanımlar:
(1) .

Denklemin (4) sol ve sağ taraflarından değişkene göre türevi buluyoruz.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formüle göre, elimizde:
;
.
Türev ürün formülüne göre:

.
Türev toplamı formülüne göre:

.

Denklemin (4) sağ tarafının türevi sıfıra eşit olduğundan, o zaman
(5) .
Türevi burada yerine koyarak, ikinci dereceden türevin değerini örtülü biçimde elde ederiz.

Denklemi (5) benzer şekilde farklılaştırarak, üçüncü dereceden bir türev içeren bir denklem elde ederiz:
.
Burada birinci ve ikinci mertebeden türevlerin bulunan değerlerini değiştirerek, üçüncü mertebeden türevin değerini buluyoruz.

Devam eden farklılaşma, herhangi bir düzenin bir türevi bulunabilir.

örnekler

örnek 1

Denklem tarafından dolaylı olarak verilen fonksiyonun ilk türevini bulun:
(P1) .

Formül 2 Çözümü

Türevi formül (2) ile buluyoruz:
(2) .

Tüm değişkenleri sol tarafa taşıyalım, böylece denklem şeklini alır.
.
Buradan.

sabit olduğunu varsayarak türevini buluyoruz.
;
;
;
.

Değişkenin sabit olduğunu varsayarak değişkene göre türevi buluruz.
;
;
;
.

Formül (2) ile şunu buluruz:
.

Orijinal denkleme (A.1) göre olduğunu not edersek sonucu basitleştirebiliriz, . Yerine geçmek :
.
Pay ve paydayı şu şekilde çarpın:
.

İkinci şekilde çözüm

Bu örneği ikinci şekilde çözelim. Bunu yapmak için, orijinal denklemin (P1) sol ve sağ kısımlarının değişkenine göre türevini buluruz.

Başvuruyoruz:
.
Bir kesrin türevi için formülü uyguluyoruz:
;
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uyguluyoruz:
.
Orijinal denklemin (P1) türevini alıyoruz.
(P1) ;
;
.
ile çarpın ve terimleri gruplandırın.
;
.

İkame (denklemden (P1)):
.
ile çarpalım:
.

Örnek 2

Denklemi kullanarak dolaylı olarak verilen fonksiyonun ikinci dereceden türevini bulun:
(P2.1) .

Aşağıdakinin bir fonksiyonu olduğunu varsayarak, değişkene göre orijinal denklemin türevini alın:
;
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uyguluyoruz.
.

Orijinal denklemi (A2.1) farklılaştırıyoruz:
;
.
Orijinal denklemden (A2.1) şu çıkar: . Yerine geçmek :
.
Parantezleri genişletin ve üyeleri gruplandırın:
;
(P2.2) .
Birinci mertebenin türevini buluyoruz:
(P2.3) .

İkinci mertebeden türevi bulmak için (A2.2) denkleminin türevini alıyoruz.
;
;
;
.
Birinci dereceden türev (A2.3) için ifadeyi yerine koyarız:
.
ile çarpalım:

;
.
Buradan ikinci mertebenin türevini buluyoruz.

Örnek 3

Aşağıdaki denklemi kullanarak dolaylı olarak verilen fonksiyonun üçüncü dereceden türevini bulun:
(P3.1) .

'nin bir fonksiyonu olduğunu varsayarak, orijinal denklemi değişkene göre farklılaştırın.
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

Denklemi (A3.2) değişkene göre farklılaştırıyoruz.
;
;
;
;
;
(P3.3) .

(A3.3) denkleminin türevini alıyoruz.
;
;
;
;
;
(P3.4) .

(A3.2), (A3.3) ve (A3.4) denklemlerinden türevlerin değerlerini .
;
;
.

Veya kısaca - örtük bir işlevin türevi. Örtük işlev nedir? Derslerim pratik olduğu için tanımlardan, teorem formülasyonlarından kaçınmaya çalışıyorum ama burada bunu yapmak uygun olacaktır. Zaten bir işlev nedir?

Tek değişkenli bir fonksiyon, bağımsız değişkenin her değerinin fonksiyonun bir ve yalnızca bir değerine karşılık gelmesi kuralıdır.

değişken denir bağımsız değişken veya argüman.
değişken denir bağımlı değişken veya işlev.

Kabaca konuşursak, bu durumda "y" harfi işlevdir.

Şimdiye kadar, içinde tanımlanan fonksiyonları ele aldık. açık biçim. Bu ne anlama geliyor? Spesifik örnekler üzerinde bir bilgilendirme toplantısı düzenleyelim.

işlevi göz önünde bulundurun

Görüyoruz ki solda yalnız bir "y" (işlev) var ve sağda - sadece x'ler. Yani, fonksiyon açıkça bağımsız değişken cinsinden ifade edilir.

Başka bir işlevi ele alalım:

Burada ve değişkenleri "karışık" olarak bulunur. Ve hiçbir şekilde imkansız"Y"yi yalnızca "X" ile ifade edin. Bu yöntemler nelerdir? İşaret değiştirme, parantez içine alma, orantı kuralına göre katsayı atma vb. ile terimleri parçadan parçaya aktarma. Denklemi saatlerce çarpıtıp çevirebilirsin ama başaramazsın.

Tanıtmama izin verin: - bir örnek örtük işlev.

Matematiksel analiz sırasında, örtülü işlevin olduğu kanıtlandı. var(ancak her zaman değil), bir grafiği vardır ("normal" bir işlev gibi). Örtük bir işlev için aynıdır. var birinci türev, ikinci türev vb. Dedikleri gibi, cinsel azınlıkların tüm haklarına saygı duyulur.

Ve bu dersimizde dolaylı olarak verilen bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. O kadar da zor değil! Tüm farklılaşma kuralları, temel fonksiyonların türev tablosu yürürlükte kalır. Aradaki fark, şu anda ele alacağımız tuhaf bir noktada.

Evet, size iyi haberi vereyim - aşağıda tartışılan görevler, üç yolun önünde bir taş olmadan oldukça katı ve net bir algoritmaya göre gerçekleştirilir.

örnek 1

1) İlk aşamada her iki parçaya da darbeler asıyoruz:

2) Türevin doğrusallık kurallarını kullanıyoruz (dersin ilk iki kuralı Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri):

3) Doğrudan farklılaşma.
Nasıl ayırt edilir ve tamamen anlaşılır. Vuruşların altında "oyunlar" olduğunda ne yapmalı?

Sadece utandırmak için bir fonksiyonun türevi türevine eşittir: .

nasıl ayırt edilir

İşte elimizde karmaşık fonksiyon. Neden? Görünüşe göre sinüsün altında sadece bir "Y" harfi var. Ama gerçek şu ki, sadece bir "y" harfi var - KENDİ BAŞINA BİR FONKSİYONDUR(dersin başındaki tanıma bakın). Böylece sinüs harici bir fonksiyondur - dahili bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını kullanıyoruz:

Ürün, olağan kurala göre farklılaştırılabilir:

- aynı zamanda karmaşık bir fonksiyondur, herhangi bir "zil ve ıslıklı oyun" karmaşık bir işlevdir:

Çözümün kendisinin tasarımı şöyle görünmelidir:

Parantez varsa, onları açın:

4) Sol tarafta, vuruşlu “y” olan terimleri topluyoruz. Sağ tarafta - diğer her şeyi aktarıyoruz:

5) Sol tarafta parantez içindeki türevi alıyoruz:

6) Ve orantı kuralına göre bu parantezleri sağ tarafın paydasına koyuyoruz:

Türevi bulundu. Hazır.

Herhangi bir fonksiyonun dolaylı olarak yeniden yazılabileceğine dikkat etmek ilginçtir. Örneğin, işlev şu şekilde yeniden yazılabilir: . Ve az önce ele alınan algoritmaya göre farklılaştırın. Aslında, "örtük işlev" ve "örtülü işlev" ifadeleri bir anlamsal nüansta farklılık gösterir. "Örtülü işlev" ifadesi daha genel ve doğrudur - bu işlev örtüktür, ancak burada "y" ifadesini kullanabilir ve işlevi açıkça sunabilirsiniz. "Örtük işlev" ifadesi, "y" ifade edilemediğinde "klasik" bir örtük işlev anlamına gelir.

Çözmenin ikinci yolu

Dikkat!İkinci yönteme ancak kısmi türevleri nasıl güvenle bulacağınızı biliyorsanız aşina olabilirsiniz. Matematik ve aptallar çalışmaya yeni başlayanlar, lütfen bu paragrafı okuyup atlamayın, aksi takdirde kafanız tam bir karmaşa olacaktır.

Örtük fonksiyonun türevini ikinci yoldan bulun.

Tüm terimleri sol tarafa taşıyoruz:

Ve iki değişkenli bir fonksiyon düşünün:

O zaman türevimiz formülle bulunabilir.

Kısmi türevleri bulalım:

Böylece:

İkinci çözüm, bir kontrol yapmanızı sağlar. Ancak, onun için görevin son bir versiyonunu hazırlamak istenmez, çünkü kısmi türevler daha sonra öğrenilir ve "Bir değişkenin fonksiyonunun türevi" konusunu inceleyen bir öğrenci kısmi türevleri bilmemelidir.

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2

Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçaya da vuruşlar asıyoruz:

Doğrusallık kurallarını kullanıyoruz:

Türevleri bulma:

Tüm parantezleri genişletmek:

ile tüm terimleri sol tarafa, gerisini - sağ tarafa aktarıyoruz:

Sol tarafta, parantezlerin dışına çıkarıyoruz:

Son cevap:

Örnek 3

Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Ders sonunda tam çözüm ve tasarım örneği.

Farklılaşmadan sonra fraksiyonların ortaya çıkması alışılmadık bir durum değildir. Bu gibi durumlarda, kesirler atılmalıdır. İki örnek daha düşünün, her bölümün her terimi

Örnek 5

Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bir kendin yap örneğidir. İçindeki tek şey, kesirden kurtulmadan önce, kesrin kendisinin üç katlı yapısından kurtulmanız gerekecek. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevi.
Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Bu makalede, genellikle yüksek matematik testlerinde bulunan iki tipik görevi daha ele alacağız. Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olabilmek için en azından ortalama düzeyde türevleri bulabilmek gerekir. İki temel derste sıfırdan türevleri pratik olarak nasıl bulacağınızı öğrenebilirsiniz. Bileşik bir fonksiyonun türevi. Farklılaşma becerilerinde her şey yolundaysa, o zaman gidelim.

Örtük olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevi

Veya kısacası, örtük bir fonksiyonun türevi. Örtük işlev nedir? Önce tek değişkenli bir fonksiyonun tanımını hatırlayalım:

Bir değişkenin işlevi bağımsız değişkenin her değerinin, fonksiyonun bir ve yalnızca bir değerine karşılık gelmesi kuralıdır.

değişken denir bağımsız değişken veya argüman.
değişken denir bağımlı değişken veya işlev .

Şimdiye kadar, içinde tanımlanan fonksiyonları ele aldık. açık biçim. Bu ne anlama geliyor? Spesifik örnekler üzerinde bir bilgilendirme toplantısı düzenleyelim.

işlevi göz önünde bulundurun

Solda yalnız bir "y" olduğunu ve sağda - sadece x'ler. Yani, fonksiyon açıkça bağımsız değişken cinsinden ifade edilir.

Başka bir işlevi ele alalım:

Tanıtmama izin verin: - bir örnek örtük işlev.

Evet, size iyi haberi vereceğim - aşağıda tartışılan görevler, üç yolun önünde bir taş olmadan oldukça katı ve net bir algoritmaya göre gerçekleştirilir.

örnek 1

1) İlk aşamada her iki parçaya da darbeler asıyoruz:

2) Türevin doğrusallık kurallarını kullanıyoruz (dersin ilk iki kuralı Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri):

3) Doğrudan farklılaşma.
Nasıl ayırt edilir ve tamamen anlaşılır. Vuruşların altında "oyunlar" olduğunda ne yapmalı?

- sadece rezil etmek için, bir fonksiyonun türevi türevine eşittir: .

nasıl ayırt edilir
İşte elimizde karmaşık fonksiyon. Neden? Görünüşe göre sinüsün altında sadece bir "Y" harfi var. Ama gerçek şu ki, sadece bir "y" harfi - KENDİ BAŞINA BİR FONKSİYONDUR(dersin başındaki tanıma bakın). Böylece sinüs harici bir fonksiyondur, dahili bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını kullanıyoruz :

Ürün olağan kurala göre farklılaştırılabilir :

Bunun da karmaşık bir fonksiyon olduğuna dikkat edin, herhangi bir "büküm oyuncağı" karmaşık bir işlevdir:

Çözümün kendisinin tasarımı şöyle görünmelidir:

Parantez varsa, onları açın:

4) Sol tarafta, vuruşlu “y” olan terimleri topluyoruz. Sağ tarafta - diğer her şeyi aktarıyoruz:

5) Sol tarafta parantez içindeki türevi alıyoruz:

6) Ve orantı kuralına göre bu parantezleri sağ tarafın paydasına koyuyoruz:

Türevi bulundu. Hazır.

Herhangi bir fonksiyonun dolaylı olarak yeniden yazılabileceğine dikkat etmek ilginçtir. Örneğin, işlev şu şekilde yeniden yazılabilir: . Ve az önce ele alınan algoritmaya göre farklılaştırın. Aslında, "örtük işlev" ve "örtülü işlev" ifadeleri bir anlamsal nüansta farklılık gösterir. "Örtülü olarak tanımlanmış işlev" ifadesi daha genel ve doğrudur, - bu fonksiyon örtük olarak verilmiştir, ancak burada "y"yi ifade edebilir ve fonksiyonu açıkça sunabilirsiniz. "Örtük işlev" kelimeleri, "y" ifade edilemediğinde daha çok "klasik" örtük işlev olarak anlaşılır.

Ayrıca, "örtülü denklemin" aynı anda iki veya daha fazla işlevi örtük olarak tanımlayabileceğine dikkat edilmelidir, örneğin, bir çemberin denklemi, yarım daireleri tanımlayan fonksiyonları örtük olarak tanımlar. Ancak, bu makale çerçevesinde, biz Terimler ve nüanslar arasında özel bir ayrım yapmayacak, sadece genel gelişim için bilgi verecekti.

Çözmenin ikinci yolu

Dikkat! Kendinizi güvenle nasıl bulacağınızı biliyorsanız, ikinci yönteme alışabilirsiniz. kısmi türevler. Matematik Yeni Başlayanlar ve Aptallar Lütfen bu paragrafı okuyup atlamayın, aksi takdirde kafa tam bir karmaşa olacaktır.

Örtük fonksiyonun türevini ikinci yoldan bulun.

Tüm terimleri sol tarafa taşıyoruz:

Ve iki değişkenli bir fonksiyon düşünün:

O zaman türevimiz formülle bulunabilir.
Kısmi türevleri bulalım:

Böylece:

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2

Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçaya da vuruşlar asıyoruz:

Doğrusallık kurallarını kullanıyoruz:

Türevleri bulma:

Tüm parantezleri genişletmek:

ile tüm terimleri sol tarafa, gerisini - sağ tarafa aktarıyoruz:

Son cevap:

Örnek 3

Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Ders sonunda tam çözüm ve tasarım örneği.

Farklılaşmadan sonra fraksiyonların ortaya çıkması alışılmadık bir durum değildir. Bu gibi durumlarda, kesirler atılmalıdır. İki örneğe daha bakalım.

Örnek 4

Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki bölümü de vuruşlarla sonuçlandırıyoruz ve doğrusallık kuralını kullanıyoruz:

Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını kullanarak farklılaşırız ve bölümün farklılaşma kuralı :

Köşeli parantezleri genişletmek:

Şimdi kesirden kurtulmamız gerekiyor. Bu daha sonra yapılabilir, ancak hemen yapmak daha mantıklıdır. Kesrin paydası . Çarpmak Açık . Ayrıntılı olarak, şöyle görünecektir:

Bazen farklılaşmadan sonra 2-3 fraksiyon ortaya çıkar. Örneğin, bir kesirimiz daha olsaydı, işlemin tekrarlanması gerekirdi - çarpmak her bölümün her terimi Açık

Sol tarafta, parantezlerin dışına çıkarıyoruz:

Son cevap:

Örnek 5

Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bir kendin yap örneğidir. İçindeki tek şey, kesirden kurtulmadan önce, kesrin kendisinin üç katlı yapısından kurtulmanız gerekecek. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Zorlamayın, bu paragrafta da her şey oldukça basit. Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun genel formülünü yazabilirsiniz, ancak bunu açıklığa kavuşturmak için hemen belirli bir örnek yazacağım. Parametrik formda, fonksiyon iki denklemle verilir: . Denklemler genellikle kaşlı ayraçlar altında değil, sırayla yazılır:,.

Değişkene parametre denir ve "eksi sonsuz"dan "artı sonsuza" kadar değerler alabilir. Örneğin, değeri ele alın ve her iki denklemde yerine koyun: . Ya da insanca: "x dörde eşitse, y de bire eşittir." Koordinat düzleminde bir noktayı işaretleyebilirsiniz ve bu nokta parametrenin değerine karşılık gelir. Benzer şekilde "te" parametresinin herhangi bir değeri için bir nokta bulabilirsiniz. "Sıradan" işleve gelince, parametrik olarak verilen bir işlevin Amerikan Kızılderilileri için tüm haklara da saygı duyulur: bir grafik çizebilir, türevler bulabilir, vb. Bu arada, parametrik olarak verilen bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak gerekirse, benim programımı kullanabilirsiniz.

En basit durumlarda, fonksiyonu açıkça temsil etmek mümkündür. Birinci denklemdeki parametreyi ifade ediyoruz: - ve ikinci denklemde yerine koyuyoruz: . Sonuç, sıradan bir kübik fonksiyondur.

Daha "ağır" durumlarda, böyle bir numara işe yaramaz. Ancak bu önemli değil çünkü bir parametrik fonksiyonun türevini bulmak için bir formül var:

"te değişkenine göre oyuncunun" türevini buluyoruz:

Tüm türev kuralları ve türev tablosu elbette harf için geçerlidir, bu nedenle, türev bulma sürecinde yenilik yoktur. Tablodaki tüm "x"leri zihinsel olarak "te" harfiyle değiştirin.

"x'in te değişkenine göre" türevini buluyoruz:

Şimdi geriye kalan sadece bulunan türevleri formülümüzde değiştirmek:

Hazır. Fonksiyonun kendisi gibi türev de parametreye bağlıdır.

Gösterime gelince, formülde yazmak yerine, alt simge olmadan yazılabilir, çünkü bu "x'e göre" "sıradan" türevdir. Ancak literatürde her zaman bir varyant vardır, bu yüzden standarttan sapmayacağım.

Örnek 6

formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Böylece:

Bir parametrik fonksiyonun türevini bulmanın bir özelliği, her adımda, sonucu olabildiğince basitleştirmek avantajlıdır. Bu nedenle, ele alınan örnekte, bulurken, kökün altındaki parantezleri açtım (bunu yapmamış olsam da). Formüle ikame edildiğinde birçok şeyin iyi bir şekilde azaltılma olasılığı yüksektir. Elbette beceriksiz cevapları olan örnekler olmasına rağmen.

Örnek 7

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bir kendin yap örneğidir.

Makalede Bir türev ile ilgili en basit tipik problemler bir fonksiyonun ikinci türevini bulmanın gerekli olduğu örnekleri ele aldık. Parametrik olarak verilen bir fonksiyon için ikinci türevi de bulabilirsiniz ve aşağıdaki formülle bulunur: . Açıktır ki, ikinci türevi bulmak için önce birinci türevi bulmak gerekir.

Örnek 8

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun

Önce birinci türevi bulalım.
formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Z= f(x; y) fonksiyonu, Z'ye göre çözülmemiş F(x, y, z)=0 denklemiyle veriliyorsa örtük olarak adlandırılır. Örtük olarak verilen Z fonksiyonunun kısmi türevlerini bulalım. Bunu yapmak için, denklemde Z yerine f (x; y) yerine koyarak F (x, y, f (x, y)) \u003d 0 kimliğini elde ederiz. Özde sıfıra eşit olan fonksiyonun x ve y'ye göre kısmi türevleri de sıfıra eşittir.

F(x, y, f(x, y)) =
=0 (y sabit kabul edilir)

F(x, y, f(x, y)) =
=0 (xsabit kabul et)

Nerede
Ve

Örnek: Bir denklem verildiğinde Z fonksiyonunun kısmi türevlerini bulun
.

Burada F(x,y,z)=
;
;
;
. Yukarıdaki formüllere göre, elimizde:

Yönlü türev

Z = f(x; y) iki değişkenli bir fonksiyon m'nin bir komşuluğunda verilsin.M (x, y). Birim vektör tarafından belirlenen bir yön düşünün
, Nerede
(bkz. şekil).

Bu yönde M noktasından geçen düz bir çizgi üzerinde M 1 (
) böylece uzunluk
segment MM 1 eşittir
. f(M) fonksiyonunun artışı, ilişki tarafından belirlenir, burada
ilişkilerle birbirine bağlıdır. oran sınırı de
fonksiyonun türevi olarak adlandırılacak
noktada
karşı ve atanmak .

Z fonksiyonu bir noktada türevlenebilir ise
, ardından bu noktadaki artışı, ilişkileri dikkate alarak
aşağıdaki formda yazılabilir.

her iki parçayı da bölerek

ve sınıra geçmek
Z \u003d f (x; y) fonksiyonunun şu yönde türevi için bir formül elde ederiz:

Gradyan

Üç değişkenli bir fonksiyon düşünün
bir noktada türevlenebilir
.

Bu fonksiyonun gradyanı
M noktasında, koordinatları sırasıyla kısmi türevlere eşit olan bir vektör olarak adlandırılır.
Bu noktada. Bir gradyanı belirtmek için kullanılan sembol
.
=
.

.Eğim, belirli bir noktada fonksiyonun en hızlı büyüme yönünü gösterir.

birim vektör olduğundan koordinatları vardır (
), daha sonra üç değişkenli bir fonksiyonun yönlü türevi şu şekilde yazılır, yani. vektörlerin iç çarpım formülüne sahiptir Ve
. Son formülü aşağıdaki gibi yeniden yazalım:

, Nerede - vektör arasındaki açı Ve
. Çünkü
, o zaman fonksiyonun yönlü türevinin maksimum değeri şu noktada aldığı sonucu çıkar: =0, yani vektörlerin yönü Ve
eşleştir. nerede
.Yani, aslında, fonksiyonun gradyanı, bu fonksiyonun bir noktadaki maksimum artış hızının yönünü ve büyüklüğünü karakterize eder.

İki değişkenli bir fonksiyonun uç noktası

İki değişkenli bir fonksiyonun max, min, extremum kavramları, tek değişkenli bir fonksiyonun karşılık gelen kavramlarına benzer. Z = f(x; y) fonksiyonunun bir D, vb. alanında tanımlanmasına izin verin.
bu alana aittir. M Noktası
noktanın böyle bir δ-komşusu varsa, Z= f(x; y) fonksiyonunun maksimum noktası olarak adlandırılır
, bu komşuluktan her nokta için eşitsizlik
. Min noktası da benzer şekilde tanımlanır, bu durumda sadece eşitsizlik işareti değişir.
. Fonksiyonun max(min) noktasındaki değerine maksimum (minimum) denir. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerine ekstremum denir.

Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar

teorem:(Gerekli aşırı koşullar). M noktasında ise
türevlenebilir fonksiyon Z= f(x; y)'nin bir uç noktası vardır, o zaman bu noktadaki kısmi türevleri sıfıra eşittir:
,
.

Kanıt: x veya y değişkenlerinden birini sabitleyerek, Z= f(x; y)'yi, yukarıdaki koşulların karşılanması gereken uç noktası için tek değişkenli bir fonksiyona dönüştürürüz. Geometrik olarak eşit
Ve
Z= f(x; y) fonksiyonunun uç noktasında, f(x, y)=Z fonksiyonunu temsil eden yüzeye teğet düzlemin OXY düzlemine paralel olduğu anlamına gelir, çünkü teğet düzlemin denklemi Z=Z 0'dır. Z= f(x; y) fonksiyonunun birinci dereceden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olduğu nokta, yani
,
, fonksiyonun durağan noktası olarak adlandırılır. Bir fonksiyon, kısmi türevlerden en az birinin olmadığı noktalarda bir uç noktaya sahip olabilir. Örneğin Z=|-
| O(0,0)'da maksimuma sahiptir, ancak bu noktada türevi yoktur.

Durağan noktalar ve en az bir kısmi türevinin olmadığı noktalara denir. kritik noktalar. Kritik noktalarda, fonksiyonun bir uç noktası olabilir veya olmayabilir. Kısmi türevlerin sıfıra eşitliği, bir ekstremumun varlığı için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Örneğin, Z=xy olduğunda, O(0,0) noktası kritiktir. Ancak, Z=xy fonksiyonunun içinde bir ekstremum yoktur. (Çünkü I ve III. Çeyreklerde Z>0 ve II ve IV–Z'de<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

teorem: (Extrema için yeterli koşul). Durağan bir noktada olsun
ve bazı komşuluklarda, f(x; y) fonksiyonunun 2. mertebe dahil sürekli kısmi türevleri vardır. Bir noktada hesapla
değerler
,
Ve
. belirtmek