Uzayda bir uçak demeti. Çizgi kalemi, bir çizgi demetinin denklemi

Bu yazıda, bir düzlem kaleminin tanımını vereceğiz, verilen bir dikdörtgen koordinat sistemine göre bir düzlem kalemi için bir denklem elde edeceğiz ve bir düzlem kalemi kavramıyla ilgili tipik problemlerin çözümlerini ayrıntılı olarak ele alacağız. .

Sayfa gezintisi.

Bir uçak demeti - tanım.

Geometri aksiyomlarından, üç boyutlu uzayda tek bir düzlemin bir çizgiden ve üzerinde uzanmayan bir noktadan geçtiği sonucu çıkar. Ve bu ifadeden, önceden belirlenmiş bir çizgiyi içeren sonsuz sayıda düzlem olduğu sonucu çıkar. Bunu kanıtlayalım.

Bize düz bir çizgi verilsin a . a doğrusu üzerinde olmayan bir M 1 noktası alalım. Sonra a çizgisi ve M 1 noktası boyunca bir düzlem çizebiliriz ve sadece bir tane. Belirleyelim. Şimdi düzlemde olmayan bir M 2 noktası alalım. a doğrusundan ve M2 noktasından tek düzlem geçer. Ne düzlemde ne de düzlemde olmayan bir M3 noktası alırsak, a doğrusu ile M3 noktasından geçen bir düzlem çizebiliriz. Açıkçası, belirli bir a düz çizgisinden geçen düzlemleri inşa etme süreci süresiz olarak devam ettirilebilir.

Böylece bir uçak demetinin tanımına geldik.

Tanım.

Uçak paketi verilen bir çizgiden geçen üç boyutlu uzaydaki tüm düzlemlerin kümesidir.

Demetin tüm düzlemleri tarafından kapsanan düz çizgiye bu düzlem demetinin merkezi denir. Böylece "a merkezli bir uçak demeti" ifadesi gerçekleşir.

Belirli bir düzlem demeti, merkezini belirterek veya bu destenin temelde aynı şey olan herhangi iki düzlemini belirleyerek tanımlanabilir. Öte yandan, kesişen herhangi iki düzlem, belirli bir düzlem demetini tanımlar.

Bir uçak demetinin denklemi - problemlerin çözümü.

Pratik amaçlar için, ilgi çekici olan geometrik formdaki bir uçak demeti değil, daha çok.

Mantıksal soruyu hemen cevaplayalım: "Uçak kirişinin denklemi nedir"?

Bunu yapmak için, Oxyz'in üç boyutlu uzayda tanıtıldığını ve ondan iki düzlem belirterek bir uçak demetinin belirtildiğini varsayacağız. Düzlemin, formun düzleminin genel denklemine ve formun düzlemine karşılık gelmesine izin verin. Dolayısıyla, bir düzlem kirişinin denklemi, bu kirişin tüm düzlemlerinin denklemlerini tanımlayan bir denklemdir.

Aşağıdaki mantıksal soru ortaya çıkıyor: “Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlem demetinin denklemi nedir”?

Bir düzlem kalemi için denklemin şekli aşağıdaki teorem ile verilir.

teorem.

Bir düzlem, kesişen iki düzlem tarafından tanımlanan bir düzlem kalemine aittir ve sırasıyla ve denklemleri tarafından verilir, ancak ve ancak genel denklemi şu şekildeyse, burada ve aynı anda sıfıra eşit olmayan rasgele gerçek sayılardır. (son koşul eşitsizliğe eşdeğerdir).

Kanıt.

Yeterliliği kanıtlamak için şunları göstermeniz gerekir:

şeklinde denklemi yeniden yazalım. Ortaya çıkan denklem, ifadeler ise düzlemin genel denklemidir ve aynı anda sıfıra eşit değildir.

Çelişkiyle aynı anda ortadan kaybolmadıklarını kanıtlayalım. Öyleymiş gibi yapalım. O zaman, eğer, o zaman, eğer, o zaman. Ortaya çıkan eşitlikler, vektörlerin ve ilişkilerle ilişkilidir veya (gerekirse, makaleye bakın ), bu nedenle ve tutar. Düzlemin normal vektörü olduğundan, - düzlemin normal vektörü ve ve vektörleri eşdoğrusaldır, sonra düzlemler ve paraleldir veya çakışır (iki düzlemin paralellik durumu makalesine bakın). Ve bu olamaz, çünkü düzlemler bir düzlem demetini tanımlar ve bu nedenle kesişir.

Yani, denklem gerçekten de uçağın genel denklemidir. Bu denklemle tanımlanan düzlemin ve düzlemlerinin kesişme çizgisinden geçtiğini gösterelim.

Bu doğruysa, o zaman formun denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır. (Yazılı denklem sisteminin tek bir çözümü varsa, o zaman denklem sistemini oluşturan düzlemlerin tek bir ortak noktası vardır, bu nedenle düzlem, kesişen düzlemlerin belirlediği düz çizgiyi keser ve yazılı denklem sistemi ise çözüm yok, o zaman aynı anda üç düzleme de ait olan bir nokta yoktur, bu nedenle düzlem, kesişen düzlemler ve ) tarafından verilen düz çizgiye paraleldir.

Yazılı denklem sisteminin ilk denklemi, ikinci ve üçüncü denklemlerin doğrusal bir kombinasyonu olduğu için gereksizdir ve sonuçsuz bir şekilde sistemden çıkarılabilir (makalede bundan bahsetmiştik). Yani, orijinal denklem sistemi, formdaki bir denklem sistemine eşdeğerdir. . Ve bu sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü düzlemler ve kesiştikleri için sonsuz sayıda ortak noktaları vardır.

Yeterliliği kanıtlanmıştır.

Gelelim zaruret ispatına.

Gerekliliği kanıtlamak için, ve düzlemlerinin kesişme çizgisinden geçen önceden belirlenmiş düzlem ne olursa olsun, ve parametrelerinin bazı değerleri için denklem ile belirlendiğini göstermek gerekir.

Bir noktadan geçen bir uçağı ele alalım ve düzlemlerin kesişme çizgisi boyunca ve (M 0, bu düzlemlerin kesişme çizgisinde yer almaz). Bu tür değerleri ve parametreleri seçmenin her zaman mümkün olduğunu ve M 0 noktasının koordinatlarının denklemi sağlayacağını gösterelim yani eşitlik doğru olacaktır. Bu yeterliliği kanıtlayacaktır.

М 0 : noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım. Ve düzlemleri aynı anda M 0 noktasından geçmediğinden (aksi takdirde bu düzlemler çakışır), o zaman ifadelerden en az biri veya sıfırdan farklı. Eğer , o zaman denklem parametreye göre şu şekilde çözülebilir: ve parametreye sıfırdan farklı keyfi bir değer vererek, hesaplarız. Eğer , o zaman parametreye sıfırdan farklı keyfi bir değer verirsek, hesaplarız .

Teorem tamamen kanıtlanmıştır.

Öyle görünüyor. Tüm ışın düzlemlerini tanımlar. Bir çift değer alırsak ve bunları bir uçak demetinin denkleminde yerine koyarsak, bu demetten bir düzlemin genel denklemini elde ederiz.

Uçakların kiriş denkleminde ve parametreleri sıfıra eşit olmadığından , if , if , şeklinde yazılabilir.

Bununla birlikte, bu denklemler, formun bir düzlem kirişinin denklemine eşdeğer değildir, çünkü herhangi bir değer için, formun bir düzlem denklemini denklemden ve herhangi bir değer için denklemden elde etmek imkansızdır. şeklinde bir düzlemin denklemini elde etmek imkansızdır.

Örnekleri çözmeye geçelim.

Örnek.

Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde kesişen iki düzlem tarafından verilen düzlem demeti için denklemi yazın Ve .

Çözüm.

Parçalar halinde düzlemin verilen denklemi, formun düzleminin genel denklemine eşdeğerdir. Şimdi uçak demeti için gerekli denklemi yazabiliriz: .

Cevap:

Örnek.

Düzlem, merkezli bir uçak demetine mi ait?

Çözüm.

Bir düzlem bir kaleme aitse, kalemin merkezi olan çizgi bu düzlemde bulunur. Böylece, bir doğrunun iki farklı noktası alınabilir ve bunların düzlemde olup olmadığı kontrol edilebilir. Evet ise, uçak belirtilen uçak paketine aittir, değilse değildir.

Uzayda düz bir çizginin parametrik denklemleri, üzerinde uzanan noktaların koordinatlarını belirlemeyi kolaylaştırır. Parametrenin iki değerini (örneğin, ve ) alalım ve düz çizginin iki M 1 ve M 2 noktasının koordinatlarını hesaplayalım:

Uygun bir düzlem kalemi, bir düz çizgiden geçen tüm düzlemlerin kümesidir.

Uygun olmayan bir düzlem kalemi, tüm paralel düzlemlerin bir kümesidir.

teorem 1. Genel denklemler tarafından verilen üç düzlem için

aynı kirişe ait ortak Kartezyen koordinat sistemine göre, uygun veya yanlış, matrisin sıralamasının gerekli ve yeterli olması

iki veya bire eşitti.

gereklilik kanıtı. Üç düzlemin (1) aynı demete ait olmasına izin verin. olduğunu kanıtlamak zorunludur

Önce verilen üç düzlemin kendi kalemlerine ait olduğunu varsayalım. O halde sistem (1) sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir (çünkü uygun bir kalemin tanımı gereği: üç düzlem bir düz çizgiden geçiyorsa kaleme aittir); bu ancak ve ancak, eğer, çünkü eğer, o zaman bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan determinantın sıfırdan farklı veya sıfıra eşit olmasına bağlı olarak sistem (1) ya benzersiz bir çözüme sahipse ya da tutarsızsa olacaktır.

Verilen üç düzlem uygun olmayan bir demete aitse, matrisin rankı

1'e eşittir, yani matrisin rankı M iki veya bire eşittir.

Yeterlilik kanıtı. Verilen: Verilen üç düzlemin aynı kaleme ait olduğunun ispatlanması gerekir.

Eğer öyleyse ve. İzin vermek. O zaman sistem (1) uyumludur, sonsuz sayıda çözüme sahiptir ve bu düzlemler arasında kesişenler vardır (çünkü kesişen olmasaydı hepsi paralel olur ve matris rankı 1'e eşit olurdu), yani verilen üç uçak kendi paketine aittir.

Eğer; , o zaman tüm düzlemler doğrusaldır (bunlardan ikisi zorunlu olarak paraleldir ve üçüncüsü paralel düzlemlerden biriyle çakışabilir).

Eğer, o zaman ve ve tüm düzlemler çakışıyorsa.

teorem 2. Genel Kartezyen koordinat sisteminde iki farklı düzlem ve genel denklemler verilsin: ; .

Üçüncü düzlem için, genel denklem tarafından da verilir.

aynı koordinat sistemine göre, düzlemler tarafından tanımlanan kaleme aittir ve düzlem denkleminin sol tarafının, düzlem denklemlerinin sol taraflarının doğrusal bir kombinasyonu olması gerekli ve yeterlidir.

gereklilik kanıtı. Verilen: düzlem, u düzlemleri tarafından tanımlanan düzlemler grubuna aittir. Sayıların olduğunu ve özdeşliğin tüm değerler için geçerli olacağını kanıtlamak gerekir. X, de, z:

Aslında, eğer üç uçak ve bir pakete aitse, o zaman nerede

Bu matrisin ilk iki satırı doğrusal olarak bağımsızdır (çünkü ve düzlemleri farklıdır) ve üçüncü satır ilk ikisinin doğrusal bir kombinasyonu olduğundan, yani. sayılar var ve öyle ki

Birinci eşitliğin her iki tarafını X, saniyenin her iki kısmı da açık de, üçüncünün her iki kısmı da z ve elde edilen eşitlikleri ve eşitliği terim terim toplayarak, ispatlanacak özdeşliği elde ederiz.

Yeterlilik kanıtı. Kimliğe izin ver

tüm değerler için geçerli X, de Ve z. Düzlemin, u düzlemleri tarafından tanımlanan kaleme ait olduğunun kanıtlanması gerekmektedir.

Bu kimlikten ilişkileri takip edin

yani matrisin üçüncü satırı M ilk ikisinin doğrusal bir birleşimidir ve bu nedenle. Ch.t.d.

ve aynı anda sıfıra eşit olmayan denklem, iki farklı düzlem tarafından tanımlanan ve ortak bir Kartezyen koordinat sisteminde denklemleri aşağıdaki gibi olan bir düzlem demetinin denklemi olarak adlandırılır:

Kanıtlandığı gibi, bir kirişin herhangi bir düzleminin denklemi farklı düzlemlerle tanımlanır ve şeklinde yazılabilir.

Tersine, sayılardan en az birinin sıfıra eşit olmadığı bir denklem birinci dereceden bir denklem ise, u düzlemleriyle tanımlanan kaleme ait bir düzlemin denklemidir. Nitekim, matrisin üçüncü satırı M, denklemlerin katsayılarından oluşur ve şu şekildedir:

onlar. bu nedenle, diğer ikisinin doğrusal bir birleşimidir.

Eğer düzlemler ve kesişiyorsa ve ve ve aynı anda sıfıra eşit değilse, o zaman tüm katsayılar X, de, z denklemde sıfıra eşit olamaz, çünkü eğer ilişkiler

o zaman uçaklar varsayımın aksine eşdoğrusal olacaktır.

Ancak düzlemler ve paralel ise, o zaman aralarında en az birinin sıfıra eşit olmadığı ve denklemdeki tüm katsayıların olduğu sayılar vardır. X, de Ve z sıfıra eşittir. Ama o zaman uygun olmayan bir kalem olacaktır ve tıpkı bir çizgi kaleminde olduğu gibi burada da çok dikkatli olunmalıdır.

Öncelikle şunu söyleyelim ki uçak

düzlemlerin doğrusal bir kombinasyonu var

eğer denklem (1), denklemler (2) ve (3)'ün lineer bir kombinasyonu ise, yani, böyle ve , öyle ki özdeşlik varsa

Kimlik (4)'ten, hem (2) hem de (3) denklemlerini sağlayan herhangi bir noktanın () aynı zamanda (1) denklemini de karşıladığı sonucu çıkar - hem (2) hem de (3) düzlemlerine ait herhangi bir nokta aynı zamanda (1) düzlemine aittir. Başka bir deyişle:

Kesişen bu iki düzlemin (2) ve (3) doğrusal birleşimi olan düzlem, bu düzlemlerin kesişme hattından geçer. Tersine, verilen iki düzlemin (2) ve (3) kesişme çizgisinden d geçen herhangi bir düzlemin (1), bu düzlemlerin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu kanıtlayalım.

Genelliği kaybetmeden, (1) düzleminin (2) ve (3) düzlemlerinden hiçbiriyle çakışmadığını varsayabiliriz. Kanıt, çizgiler durumunda olduğu gibi tamamen aynıdır (Bölüm V, §5).

d doğrusu üzerinde olmayan noktalarından bazılarını belirtirsek (Şekil 122), d hattından geçen düzlem tamamen tanımlanacaktır.

Düzlemimiz (1) üzerinde böyle bir noktayı alalım ve iki bilinmeyenli bir denklem yazalım ve :

Varsayım gereği, nokta d doğrusu üzerinde bulunmadığından Denklem (5)'in sol tarafındaki parantezlerden en az biri sıfır değildir; bu denklemden (5) oran benzersiz bir şekilde belirlenir

Şimdi ve orantıyı sağlayan bazı sayılara izin verin (6). O zaman eşitlik (5) de geçerlidir, bu da noktanın düzlemde olduğu anlamına gelir.

Ancak bu düzlem, (2) ve (3) düzlemlerinin lineer birleşimi olduğundan d çizgisinden geçer ve bu düzleme ait bir nokta içerir (-yani (1) düzlemi (7) düzlemiyle çakışır ve lineer bir kombinasyondur) uçakların (2) ve (3) iddiası ispatlanmıştır.

Dolayısıyla, (1) düzleminin iki düzlem (2) ve (3)'ün kesişme çizgisinden geçmesi için, (1) denkleminin (2) ve (3) denklemlerinin doğrusal bir kombinasyonu olması gerekli ve yeterlidir. .

Şimdi (2) ve (3) düzlemlerinin paralel olmasına izin verin. Tamamen aynı şekilde, Bölüm V'in 5. paragrafında olduğu gibi, (2) ve (3) düzlemlerinin doğrusal birleşimi olan herhangi bir düzlemin bunlara paralel olacağına ve tersine, ikiye paralel herhangi bir düzlemin (paralel) olacağına ikna olduk. birbirine) düzlemleri (2) ve (3) bunların lineer birleşimidir.

Belirli bir çizgiden geçen tüm düzlemlerin toplamına bir eksene sahip uygun bir düzlem kalemi d diyelim, bazı düzlemlerden birine paralel (kelimenin geniş anlamıyla) tüm düzlemlerin toplamına uygun olmayan bir düzlem kalemi diyelim. Son olarak, herhangi iki düzlemin doğrusal kombinasyonları olan tüm düzlemler kümesini ve iki elemanı tarafından oluşturulan tek boyutlu bir düzlemler manifoldu olarak adlandırırız. Herhangi bir düzlem kaleminin (uygun ya da yanlış), herhangi iki elemanı tarafından üretilen tek boyutlu bir manifold olduğunu kanıtladık.

Tersine, herhangi bir tek boyutlu düzlem manifoldu (bazı iki düzlem ve 62 tarafından üretilir) bir düzlem demetidir - düzlemler ve 62 kesişiyorsa uygun, paralel ise uygun değildir.

Bu "Dersler"in XXIII.Bölümünde, sıradan uzaya sonsuz uzak (uygunsuz) noktalar ekleyerek, bu sonsuz uzak noktaların toplamı sonsuz uzak (uygunsuz) bir düzlem oluşturacak şekilde bir yansıtmalı uzay inşa edeceğiz;

Bu düzlemde uzanan tüm çizgiler de sonsuzda veya uygunsuz olarak adlandırılacaktır. Her "uygun" (yani sıradan) uzay düzlemi, uygun olmayan bir düz çizgi boyunca - belirli bir uygun düzlemin tek uygun olmayan düz çizgisi boyunca - uygun olmayan bir düzlemle kesişir. İki uygun düzlemin ancak ve ancak (ortak) doğru boyunca sonsuzda kesişmeleri durumunda paralel olduğu ortaya çıktı. Böylece, yansıtmalı bir uzayda, uygun ve uygun olmayan düzlem kalemleri arasındaki ayrım ortadan kalkar: Uygun olmayan bir kalem, ekseni yansıtmalı uzayın uygun olmayan çizgilerinden biri olan bir düzlem kalemidir.

Cebir ve Geometri üzerine dersler. 1. Dönem.

Ders 14

Bölüm 14

madde 1. Bir düzlemde düz çizgilerden oluşan bir kalemin denklemi.

Tanım. Bir düzlemdeki çizgilerden oluşan bir kalem, belirli bir düzlemde kalemin merkezi olarak adlandırılan ortak bir noktaya sahip olan tüm çizgilerin kümesidir.

Şekil 1'de nokta
kirişin merkezidir.

teorem. İzin vermek

Oxy koordinat düzleminde bir noktada kesişen iki düz çizgidir
. O zaman denklem

Nerede
aynı anda sıfıra eşit olmayan keyfi gerçek sayılardır, bu noktada kalemin merkezi ile bir çizgi kalemi denklemi vardır.
.

Kanıt.

L noktasında kalemin merkezi ile bu kalemin keyfi bir çizgisi olsun
Ve normal vektörüdür. O halde L doğrusunun vektör denklemi şu şekildedir:

, (2)

Nerede noktanın yarıçap vektörüdür
, geçerli yarıçap vektörüdür, yani geçerli noktanın yarıçap vektörü
.

Düz beri Ve
teoremin hipotezine göre kesişir, o zaman normal vektörleri doğrusal değildir ve bu nedenle bir temel oluşturur.

Daha sonra vektör bu temelde genişletilebilir:

Nerede
– bu genişlemenin katsayıları aynı anda sıfıra eşit değildir, çünkü tanım gereği normal bir vektör
. (2) yerine koyarak elde ederiz veya

Ancak
Ve
çizgilerin vektör denklemleridir Ve
, yani ,

(3) yerine koyarak, eşitlik (1) elde ederiz.

Böylece, verilen kalemden herhangi bir düz çizginin denkleminin (1) formuna sahip olduğunu kanıtladık.

Tersine, herhangi bir şey için bunu kanıtlayacağız.
, aynı anda sıfıra eşit değil, denklem (1), verilen kalemden bazı düz çizgilerin denklemidir.

Gerçekten de, bir yandan herhangi bir
, aynı anda sıfıra eşit değil, denklem (1) düz çizginin genel denklemidir

Öte yandan, denklem (1) olsun
aynı anda sıfıra eşit olmayan keyfi gerçek sayılardır ve
ışın merkezinin koordinatlarıdır. Çünkü
Ve
, o zaman ışın merkezinin koordinatları çizgilerin denklemlerini karşılar Ve
:

Ardından, noktanın koordinatlarını değiştirerek
(1) denkleminde, elde ederiz

Onlar. denklem (1), noktadan geçen düz bir çizginin denklemidir
, bu, satırın verilen pakete ait olduğu anlamına gelir vb.

Teorem kanıtlanmıştır.

Yorum. (1) içinde ise

. Eğer
, o zaman denklem (1) düz çizginin denklemidir . Bu nedenle, denklem (1) şuna bölünürse:
, sonra verilen kalemden herhangi bir çizginin denklemini elde ederiz, çizgi hariç
:

Örnek. Belirli bir noktadan geçen rastgele bir doğrunun denklemini yazın
.

Çözüm. İstenen çizgi, kalemin ortası noktada olan çizgi kaleminin çizgisidir.
. Açıkçası şu iki satır bu kaleme ait:

Veya
,
. O zaman bu kalemin herhangi bir düz çizgisinin denklemi şu şekildedir:

Bu denklemdeki Yunan harflerini Latin harfleriyle değiştirirsek,

- belirli bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemi
. özellikle ne zaman
, kalemin merkezi orijinde olan bir çizgi kaleminin denklemini elde ederiz:
.

Denklemi (5) bölme
, belirli bir noktadan geçen eğimli düz bir çizginin denklemini elde ederiz.
:

, (6)

ve de
, orijinden geçen eğimli düz bir çizginin denklemini elde ederiz:

Başka bir deyişle, denklem
, Nerede
, kalemin merkezinin orijinde olduğu çizgilerden oluşan bir kalemin denklemidir.

madde 2. Bir grup uçağın denklemi.

Tanım. Bir düzlem demeti, demetin merkezi olarak adlandırılan bir ortak noktası olan tüm uçakların kümesidir.

teorem. İzin vermek , ,

PDCS Oxyz'de tek bir ortak noktaya sahip üç düzlemdir
. O zaman denklem , (7)

Nerede
- aynı anda sıfıra eşit olmayan rasgele gerçek sayılar, bu noktada demetin merkezi ile bir demet düzlem denklemi vardır
.

Kanıt neredeyse bire bir, önceki teoremin ispatını bir çizgi kalemi denkleminde tekrarlıyor.

Örnek. Demetin merkezi bir noktada olan bir grup düzlemin denklemini bulun
.

Çözüm. Aşağıdaki üç düzlemin tek bir noktada kesiştiği açıktır.
:

,
,
.

O zaman denklem

Nerede
ve aynı anda sıfıra eşit olmayan, istenen denklemdir.

özellikle, eğer
, sonra denklem

(9)

merkezi orijinde olan bir grup düzlemin denklemidir.

madde 3. Bir uçak demetinin denklemi.

Tanım. Bir düzlem demeti, demetin ekseni olarak adlandırılan aynı düz çizgi boyunca kesişen tüm düzlemlerin kümesidir.

teorem. İzin vermek

L doğrusu boyunca kesişen iki düzlemdir. Sonra denklem

Nerede
keyfi gerçek sayılar aynı anda sıfıra eşit değildir, L demet ekseni ile bir düzlem demetinin bir denklemi vardır.

Kanıt, teoremin bir çizgi kaleminin denklemindeki ispatına benzer ve okuyucuya bırakılmıştır.

Örnek. Ekseni x ekseni olan bir düzlem kaleminin denklemini bulun.

Çözüm. Açıkçası, koordinat düzlemleri

Ve
x ekseni boyunca kesişir.

Daha sonra bu durumda denklem (10) şu şekli alır:

. Yunan harflerini Latin harfleriyle değiştirirsek,

, (11)

Nerede
aynı anda sıfıra eşit olmayan keyfi gerçek sayılardır. Denklem (11), Ox demeti eksenine sahip bir uçak demeti için istenen denklemdir.

Benzer şekilde, denklem

, (12)

Oy demet eksenine sahip bir uçak demetinin denklemi ve denklem

(13)

Oz demetinin ekseni ile bir uçak demetinin denklemidir.

madde 4. Doğrular ve düzlemlerle ilgili temel problemler.

Görev 1. Verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemini bulun
Ve
.

Bu sorunu zaten çözdük, bkz. ders 11, paragraf 4, görev 1:

Görev 2. İki çizgi arasındaki açıyı bulun

Ve
.

Bu sorun, ders 11, paragraf 4'te çözüldü:

İstenen açı, yön vektörleri arasındaki açıya eşittir

veya
.

Görev 3. Normal vektörünün koordinatları biliniyorsa, uçağın genel denklemini bulun
ve nokta koordinatları
bu uçakta yatıyor

Çözüm. Bu soruna bir çözüm, paragraf 2, formül (8)'de verilmiştir.

Aynı denklem başka bir şekilde elde edilebilir. Uçağın genel denklemi şu şekildedir:

Nerede
normal vektörünün koordinatlarıdır. D katsayısını bulmak için kalır. Bu amaçla, noktanın koordinatlarını değiştiririz.
: , Neresi .

Elde ettiğimiz denklemde yerine koyarsak:

düzlemin istenen denklemidir.

Görev 4. Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulun
,
Ve
.

3. Problemde gördüğümüz gibi, düzlemin genel denklemini oluşturmak için normal vektörünün koordinatlarını bilmek yeterlidir. ve verilen düzlem üzerinde uzanan herhangi bir noktanın koordinatları.

Düzlemin normal bir vektörü olarak, vektörün çapraz çarpımını alabiliriz.
vektör başına
ve düzlemde yatan bir nokta olarak, noktayı alabiliriz
. biz alırız

Düzlemin istenen denklemi başka bir formda elde edilebilir. Vektör formundaki düzlem denklemi şu şekildedir:

Görev 5. İki düzlem arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. Geometriden iki düzlem arasındaki dihedral açının lineer açı ile ölçüldüğünü biliyoruz. (bkz. şekil 12).

Doğrusal açının olduğunu görmek kolaydır , iki düzlem arasındaki dihedral açının ölçülmesi açıya eşittir
bu düzlemlerin normal vektörleri arasında veya eşittir
. Burada karşılıklı dik kenarları olan açıların eşitlik işareti kullanılır.

veya
.

Böylece düzlemler arasındaki açıyı hesaplama problemi, vektörler arasındaki açıyı hesaplama problemine indirgenmiş olur.

Görev 6. Belirli bir noktadan olan mesafeyi bulun
belirli bir uçağa

Çözüm. rastgele bir nokta seçin
bu uçakta yatıyor not eğer
, o zaman orijin düzlemde yer alır ve bir nokta olarak alınabilir
. Eğer
, o zaman böyle bir nokta olarak düzlemin koordinat eksenlerinden biriyle kesişme noktasını alabiliriz. Bir düzlem üç koordinat eksenine de paralel olamayacağından, en az bir koordinat ekseni verilen düzlemle kesişir.

Örneğin,
- düzlemin Ox koordinat ekseni ile kesişme noktası. Burada
, Eğer
.

Öyleyse noktayı bırak
öyle ya da böyle seçilir, sonra mesafe
belirli bir noktadan
belirli bir uçağa vektör projeksiyon modülüne eşittir
düzlemin normal vektörü üzerine :

olduğundan, bu formül şu şekilde yazılabilir:

. (14)

Tanım. Düzlemin keyfi bir genel denklemi ve uzayda keyfi bir nokta verilsin
. Sayı

viskoz olmayan nokta denir
uçağa göre .

Tanıtılan kalıntı kavramını kullanarak, bir noktadan bir düzleme olan mesafe formülü şu şekilde yazılabilir:

Tanım. Değer

(15)

nokta sapması denir
uçaktan .

Son tanımdan, noktadan olan mesafenin
uçağa kadar nokta sapma modülüne eşit
uçaktan :

Formül (21)'den sapma ve tutarsızlığın aynı işarete sahip olduğu görülebilir.

Yorum. (14) - (16) formülleri farklı bir biçimde yazılabilir. Uçağın bu denklemini normal forma getiriyoruz:

ve aksi takdirde eksi.

Şimdi, bir noktadan bir düzleme olan mesafe için formül (14) şu şekli alır:

– nokta sapması
uçaktan .

Görev 7. Belirli bir noktadan mesafeyi bulun
bu satıra
.

Çözüm. Sorun bir öncekine benzer şekilde çözülür.

. Çünkü
, O

Bir noktanın düz bir çizgiye göre kalıntısı ve bir noktanın düz bir çizgiden sapması kavramları benzer şekilde tanıtılır.

Tanım. Düz bir çizginin keyfi bir genel denklemi verilsin
ve düzlemin keyfi bir noktası
. Sayı

viskoz olmayan nokta denir
L hattına göre

Tanım. Değer

nokta sapması denir
uçaktan .

Bir doğrunun denklemini normal forma getirirsek:

ve artı işareti şu durumlarda alınır:
ve eksi, aksi takdirde, bir noktadan bir çizgiye olan uzaklık formülü şu şekli alır:

– nokta sapması
L satırından

Görev 8. İki paralel düzlem arasındaki mesafeyi bulun.

Çözüm. 1. yol Bir düzlemde keyfi bir nokta bulun ve ondan ikinci düzleme olan mesafeyi bulun, yani. bu sorunu 6. soruna indirgeyin.

2. yol. Paralel düzlemlerin her iki denklemini de normal forma getiriyoruz:

Nerede
Ve
uçakların normal vektörleridir Ve
sırasıyla,
,
koordinatların orijininden düzlemlere olan mesafelerdir Ve
sırasıyla.

Normal vektörler olduğundan Ve orijinden uçağa yönlendirilmişse, 2 durum mümkündür:

A)
. Aşağıdaki şekil şematik olarak iki paralel düzlemi göstermektedir. Ve
ve birim normal vektörleri O orijininden çizilir.

Burada,
,
koordinatların orijininden karşılık gelen düzlemlere olan mesafelerdir. Hangi düzlemin orijine daha yakın olduğu bilinmediği için düzlemler arasındaki mesafe

B)
. Normal vektörler olduğundan Ve orijinden düzlemlere ve zıt yönde yönlendirilirse, orijin düzlemler arasındadır, aşağıdaki şekle bakın.

Burada, önceki durumda olduğu gibi,
,
koordinatların orijininden karşılık gelen düzlemlere olan mesafelerdir. Buradan, uçaklar arasındaki mesafenin

Problem 9. İki paralel çizgi arasındaki mesafeyi bulun.

Şunları okumak faydalı olabilir: