Rastgele değişken x, dağılım yoğunluk fonksiyonu tarafından verilir. Sürekli bir rasgele değişkenin sayısal özellikleri

Beklenen değer

Dağılım olası değerleri tüm Ox eksenine ait olan sürekli rasgele değişken X, eşitlikle belirlenir:

hizmet ataması. Çevrim içi hesaplayıcı, aşağıdaki sorunları çözmek için tasarlanmıştır: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağıtım fonksiyonu F(x) (örneğe bakın). Genellikle bu tür görevlerde bulmak gerekir matematiksel beklenti, standart sapma, f(x) ve F(x) fonksiyonlarını çizin.

Talimat. Giriş verilerinin tipini seçin: dağılım yoğunluğu f(x) veya dağılım fonksiyonu F(x) .

Dağılım yoğunluğu f(x) şu şekilde verilir:

Dağılım fonksiyonu F(x) verilir:

Sürekli bir rasgele değişken, bir olasılık yoğunluğu ile tanımlanır
(Rayleigh dağıtım yasası - radyo mühendisliğinde kullanılır). M(x) , D(x)'i bulun.

Rastgele değişken X denir sürekli , eğer dağılım fonksiyonu F(X)=P(X) ise< x) непрерывна и имеет производную.
Sürekli bir rasgele değişkenin dağılım işlevi, bir rasgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamak için kullanılır:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
ayrıca sürekli bir rastgele değişken için sınırlarının bu aralığa dahil olup olmamasının bir önemi yoktur:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
dağıtım yoğunluğu sürekli rasgele değişkene fonksiyon denir
f(x)=F'(x) , dağılım fonksiyonunun türevi.

Dağıtım Yoğunluğu Özellikleri

1. Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu, x'in tüm değerleri için negatif değildir (f(x) ≥ 0).
2. Normalleştirme koşulu:

Normalleştirme koşulunun geometrik anlamı: dağılım yoğunluk eğrisinin altındaki alan bire eşittir.
3. α ile β arasındaki aralıkta rastgele bir X değişkenine ulaşma olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Geometrik olarak, sürekli bir rasgele değişken X'in (α, β) aralığına düşme olasılığı, bu aralığa dayalı dağılım yoğunluk eğrisi altındaki eğrisel yamuğun alanına eşittir.
4. Dağılım fonksiyonu, yoğunluk cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir:

x noktasındaki dağılım yoğunluğu değeri, bu değeri alma olasılığına eşit değildir, sürekli bir rastgele değişken için sadece belirli bir aralığa düşme olasılığından söz edebiliriz. İzin vermek :

sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığı X[ aralığından herhangi bir değer alacaktır. A; B], aralığındaki olasılık yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir. Aönce B:

.

Bu durumda fonksiyonun genel formülü F(X) yoğunluk fonksiyonu biliniyorsa kullanılabilen sürekli bir rasgele değişkenin olasılık dağılımı F(X) :

.

Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğunun grafiğine dağılım eğrisi denir (aşağıdaki şekil).

Şeklin alanı (şekilde gölgeli), bir eğri ile sınırlanmış, noktalardan çizilen düz çizgiler A Ve B apsis eksenine dik ve eksen Ah, sürekli bir rasgele değişkenin değerinin olma olasılığını grafiksel olarak gösterir. X aralığı içinde Aönce B.

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri

1. Rastgele bir değişkenin aralıktan (ve fonksiyonun grafiğiyle sınırlı olan şeklin alanından) herhangi bir değer alma olasılığı F(X) ve eksen Ah) bire eşittir:

2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif değerler alamaz:

ve dağılımın varlığı dışında değeri sıfırdır

dağıtım yoğunluğu F(X) ve dağıtım işlevi F(X), dağıtım yasasının biçimlerinden biridir, ancak dağıtım işlevinin aksine evrensel değildir: dağıtım yoğunluğu yalnızca sürekli rasgele değişkenler için mevcuttur.

Sürekli bir rasgele değişkenin pratikte en önemli iki dağılım türünden bahsedelim.

Dağılım yoğunluğu fonksiyonu ise F(X) bazı sonlu aralıklarda sürekli bir rasgele değişken [ A; B] sabit bir değer alır C ve aralığın dışında sıfıra eşit bir değer alır, o zaman bu dağılıma üniform denir .

Dağılım yoğunluğu fonksiyonunun grafiği merkeze göre simetrik ise, ortalama değerler merkeze yakın yerlerde yoğunlaşır ve merkezden uzaklaştıkça ortalamalardan daha farklı toplanır (fonksiyonun grafiği bir kesite benzer) bir zil), sonra bu dağılıma normal denir .

örnek 1 Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu şu şekilde bilinir:

Bir özellik bul F(X) sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğu. Her iki fonksiyon için grafikler çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ila 8 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. Olasılık dağılım fonksiyonunun türevini bularak olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde ederiz:

Fonksiyon Grafiği F(X) - parabol:

Fonksiyon Grafiği F(X) - düz:

Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ile 8 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 2 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir:

faktörü hesapla C. Bir özellik bul F(X) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı. Her iki fonksiyon için grafikler çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. katsayı C olasılık yoğunluk fonksiyonunun 1. özelliğini kullanarak şunu buluruz:

Dolayısıyla, sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluk işlevi şu şekildedir:

Entegre ederek işlevi buluyoruz F(X) olasılık dağılımları. Eğer X < 0 , то F(X) = 0 0 ise< X < 10 , то

.

X> 10 , sonra F(X) = 1 .

Böylece, olasılık dağılım fonksiyonunun tam kaydı şöyledir:

Fonksiyon Grafiği F(X) :

Fonksiyon Grafiği F(X) :

Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 3 Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğu X eşitlikle verilirken . katsayı bul A, sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığı X sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olan ]0, 5[ aralığından bir değer alır X.

Çözüm. Koşullu olarak, eşitliğe varıyoruz

Bu nedenle, nereden . Bu yüzden,

.

Şimdi sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığını buluyoruz. X]0, 5[ aralığından herhangi bir değer alır:

Şimdi bu rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunu elde ediyoruz:

Örnek 4 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu bulun X yalnızca negatif olmayan değerleri alan ve dağıtım işlevi .

"Rastgele değişkenler" konulu problem çözme örnekleri.

Görev 1 . Çekilişte 100 adet bilet verilmiştir. 50 USD'lik bir galibiyet oynandı. ve her biri 10 dolarlık on galibiyet. X değerinin dağıtım yasasını bulun - olası bir kazancın maliyeti.

Çözüm. X'in olası değerleri: x 1 = 0; X 2 = 10 ve x 3 = 50. 89 "boş" bilet olduğuna göre p 1 = 0,89, kazanma olasılığı 10 c.u. (10 bilet) – p 2 = 0,10 ve 50 c.u. -P 3 = 0.01. Böylece:

0,89

0,10

0,01

Kontrolü kolay: .

Görev 2. Alıcının ürünün reklamına önceden aşina olma olasılığı 0,6'dır (p = 0,6). Reklamın seçici kalite kontrolü, alıcıları reklamı önceden inceleyen ilk kişinin önünde oylayarak gerçekleştirilir. Görüşülen alıcıların sayısının bir dizi dağılımını yapın.

Çözüm. Problemin durumuna göre p=0.6. Kimden: q=1 -p = 0.4. Bu değerleri değiştirerek şunu elde ederiz: ve bir dağıtım serisi oluşturun:

pi

0,24

Görev 3. Bir bilgisayar, bağımsız olarak çalışan üç öğeden oluşur: bir sistem birimi, bir monitör ve bir klavye. Voltajdaki tek bir keskin artışla, her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,1'dir. Bernoulli dağılımına dayanarak, ağdaki bir güç dalgalanması sırasında arızalı elemanların sayısı için dağıtım yasasını çizin.

Çözüm. Dikkate almak Bernoulli dağılımı(veya binom): içinde olma olasılığı N testleri, olay A tam olarak görünecektir k bir kere: , veya:

Q N

P N

İÇİNDE göreve geri dönelim.

X'in olası değerleri (hata sayısı):

x 0 =0 - öğelerin hiçbiri başarısız oldu;

x 1 =1 - bir elemanın arızası;

x 2 =2 - iki elemanın arızası;

x 3 =3 - tüm elemanların arızası.

Koşula göre, p = 0.1, o zaman q = 1 – p = 0.9. Bernoulli formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

, ,

, .

Kontrol: .

Bu nedenle, istenen dağıtım yasası:

0,729

0,243

0,027

0,001

Görev 4. 5000 mermi üretti. Kartuşlardan birinin arızalı olma olasılığı . Tüm partide tam olarak 3 kusurlu kartuş olma olasılığı nedir?

Çözüm. uygulanabilir Poisson Dağılımı: Bu dağılım, verilen çok büyük olasılıkları belirlemek için kullanılır.

her birinde A olayının olma olasılığının çok düşük olduğu deneme sayısı (toplu denemeler), A olayı k defa meydana gelir: , Nerede .

Burada n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. Sonra istenen olasılığı buluyoruz: .

Görev 5. İlk vuruştan önce p vurma olasılığı ile ateş ederken = bir atış için 0,6, isabetin üçüncü atışta meydana gelme olasılığını bulmanız gerekir.

Çözüm. Geometrik dağılımı uygulayalım: her birinde A olayının olma olasılığı p olan (ve gerçekleşmeme q = 1 - p) bağımsız denemeler yapılsın. Denemeler, A olayı gerçekleşir gerçekleşmez sona erer.

Bu koşullar altında, A olayının k'inci testte meydana gelme olasılığı şu formülle belirlenir: . Burada p = 0.6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4;k \u003d 3. Bu nedenle, .

Görev 6. Rastgele bir X değişkeninin dağılım yasası verilsin:

Matematiksel beklentiyi bulun.

Çözüm. .

Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamının rastgele bir değişkenin ortalama değeri olduğuna dikkat edin.

Görev 7. X rasgele değişkeninin varyansını aşağıdaki dağılım yasasıyla bulun:

Çözüm. Burada .

X'in karesinin dağılım yasası 2 :

X 2

Gerekli fark: .

Dağılım, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapma derecesini (saçılma) karakterize eder.

Görev 8. Rastgele değişken dağılım tarafından verilsin:

10m

Sayısal özelliklerini bulun.

Çözüm: m, m 2 ,

M 2 , M.

Rastgele bir X değişkeni hakkında, matematiksel beklentisinin 6,4 m ve 13,04 m varyans olduğu söylenebilir. 2 veya - matematiksel beklentisi, m sapma ile 6,4 m'dir İkinci formülasyon açıkça daha nettir.

Görev 9. rastgele değer X dağıtım işlevi tarafından verilir:
.

Test sonucunda X değerinin aralıkta yer alan bir değeri alma olasılığını bulun. .

Çözüm. X'in belirli bir aralıktan bir değer alma olasılığı, bu aralıktaki integral fonksiyonunun artışına eşittir, yani . Bizim durumumuzda ve bu nedenle

.

Görev 10. Ayrık rassal değişken X dağıtım yasası tarafından verilen:

Dağıtım işlevini bulun F(x ) ve grafiğini oluşturun.

Çözüm. Dağılım fonksiyonundan beri

İçin , O

;

;

;

;

İlgili grafik:


Görev 11. Sürekli rastgele değişken X diferansiyel dağılım fonksiyonu tarafından verilir: .

isabet olasılığını bulun Aralığa X

Çözüm. Bunun üstel dağılım yasasının özel bir durumu olduğuna dikkat edin.

Formülü kullanalım: .

Görev 12. Dağılım yasası tarafından verilen ayrı bir rasgele değişken X'in sayısal özelliklerini bulun:

–5

x2 :

x2

. , Nerede Laplace işlevidir.

Bu fonksiyonun değerleri bir tablo kullanılarak bulunur.

Bizim durumumuzda: .

Bulduğumuz tabloya göre:, bu nedenle:

Matematiksel beklenti kavramları M(X) ve dağılım D(X) daha önce ayrı bir rasgele değişken için tanıtılan, sürekli rasgele değişkenlere genişletilebilir.

· Matematiksel beklenti M(X) sürekli rasgele değişken X, eşitlikle tanımlanır:

bu integralin yakınsaması şartıyla.

· Dağılım D(X) sürekli rastgele değişken X eşitlik ile tanımlanır:

· Standart sapmaσ( X) sürekli rasgele değişken şu eşitlikle tanımlanır:

Ayrık rasgele değişkenler için daha önce ele alınan matematiksel beklenti ve dağılımın tüm özellikleri, sürekli olanlar için de geçerlidir.

Sorun 5.3. rastgele değer X diferansiyel fonksiyon tarafından verilir F(X):

Bulmak M(X), D(X), σ( X), Ve P(1 < X< 5).

Çözüm:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Görevler

5.1. X

F(X), Ve

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Sürekli rastgele değişken X dağıtım işlevi tarafından verilir:

Diferansiyel dağılım fonksiyonunu bulun F(X), Ve

R(2π /9< X< π /2).

5.3. Sürekli rastgele değişken X

Bul: a) sayı İle; B) M(X), D(X).

5.4. Sürekli rastgele değişken X dağıtım yoğunluğu ile verilir:

Bul: a) sayı İle; B) M(X), D(X).

5.5. X:

Bulmak bir) F(X) ve grafiğini çizin; B) M(X), D(X), σ( X); c) dört bağımsız denemede değerin elde edilme olasılığı X(1;4) aralığına ait değerin tam 2 katını alır.

5.6. Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu göz önüne alındığında X:

Bulmak bir) F(X) ve grafiğini çizin; B) M(X), D(X), σ( X); c) üç bağımsız denemede değerin olma olasılığı X aralığına ait değerin tam 2 katını alacaktır.

5.7. İşlev F(X) şu şekilde verilir:

İle X; b) dağıtım işlevi F(X).

5.8. İşlev F(X) şu şekilde verilir:

Bulunan: a) sabitin değeri İle, fonksiyonun bazı rasgele değişkenlerin olasılık yoğunluğu olacağı X; b) dağıtım işlevi F(X).

5.9. rastgele değer X, (3;7) aralığında yoğunlaştırılmış, dağılım fonksiyonu tarafından verilir F(X)= Xşu değeri alır: a) 5'ten küçük, b) 7'den az değil.

5.10. rastgele değer X, (-1; 4) aralığında yoğunlaşmıştır ve dağılım fonksiyonu tarafından verilmektedir. F(X)= . Rastgele değişkenin olma olasılığını bulun Xşu değeri alır: a) 2'den küçük, b) 4'ten küçük.


5.11.

Bul: a) sayı İle; B) M(X); c) olasılık R(X > M(X)).

5.12. Rastgele değişken, diferansiyel dağılım fonksiyonu tarafından verilir:

Bulmak bir) M(X); b) olasılık R(X ≤ M(X)).

5.13. Zaman dağılımı, olasılık yoğunluğu ile verilir:

Kanıtla F(X) aslında bir olasılık yoğunluk dağılımıdır.

5.14. Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu göz önüne alındığında X:

numara bul İle.

5.15. rastgele değer X segment [-2; 2] üzerinde Simpson yasasına (ikizkenar üçgen) göre dağıtılmıştır (Şekil 5.4). Olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun F(X) tam sayı doğrusunda.

Pirinç. 5.4 Şek. 5.5

5.16. rastgele değer X(0; 4) aralığında "dik üçgen" yasasına göre dağıtılır (Şekil 5.5). Olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun F(X) tam sayı doğrusunda.

Yanıtlar

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. A) İle=1/6, b) M(X)=3 , c) D(X)=26/81.

5.4. A) İle=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.

B) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.

B) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( X)= 1,893.

5.7. a) c = ; B)

5.8. A) İle=1/2; B)

5.9. a) 1/4; b) 0.

5.10. a) 3/5; 1.

5.11. A) İle= 2; B) M(X)= 2; 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. A) M(X)= π /2 ; b) 1/2



 

Şunları okumak faydalı olabilir: