Rastgele değişken x, olasılık dağılım fonksiyonu tarafından verilir. "Rastgele değişkenler" konulu problem çözme örnekleri

1. Egzersiz. Sürekli bir rasgele değişken X'in dağılım yoğunluğu şu şekildedir:
Bulmak:
a) parametre A ;
b) dağılım fonksiyonu F(x) ;
c) aralıkta rastgele bir X değişkenine ulaşma olasılığı;
d) matematiksel beklenti MX ve varyans DX .
f(x) ve F(x) fonksiyonlarını çizin.

Görev 2. İntegral fonksiyonu tarafından verilen X rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Görev 3. Bir dağılım işlevi verilen X rasgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Görev 4. Bazı rasgele değişkenlerin olasılık yoğunluğu şu şekilde verilir: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
A katsayısını, F(x) dağılım fonksiyonunu, matematiksel beklentiyi ve varyansı ve ayrıca rastgele bir değişkenin aralıkta bir değer alma olasılığını bulun. f(x) ve F(x) grafiklerini çizin.

Görev. Bazı sürekli rasgele değişkenlerin dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

a ve b parametrelerini belirleyin, f(x) olasılık yoğunluğu, matematiksel beklenti ve varyansın yanı sıra rastgele değişkenin aralıkta bir değer alma olasılığının ifadesini bulun. f(x) ve F(x) grafiklerini çizin.

Dağılım fonksiyonunun türevi olarak dağılım yoğunluk fonksiyonunu bulalım.
F'=f(x)=a
a parametresini bulacağımızı bilerek:

veya 3a=1, dolayısıyla a = 1/3
b parametresini aşağıdaki özelliklerden buluyoruz:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 dolayısıyla b = -1/3
Bu nedenle, dağılım işlevi: F(x) = (x-1)/3

Beklenen değer.

Dağılım.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Rastgele bir değişkenin aralıkta bir değer alma olasılığını bulun
S(2)< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Örnek 1. Sürekli bir rasgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu f(x) verilmiştir. Gerekli:

A katsayısını belirleyin.
F(x) dağılım fonksiyonunu bulun.
F(x) ve f(x)'i şematik olarak çizin.
X'in matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
X'in (2;3) aralığından bir değer alma olasılığını bulun.

f(x) = A*kare(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Çözüm:

Rastgele değişken X, dağıtım yoğunluğu f(x) tarafından verilir:

Koşuldan A parametresini bulun:

veya
14/3*A-1=0
Nerede,
Bir = 3 / 14

Dağılım işlevi formülle bulunabilir.

Rastgele değişken Aynı koşullar altında yapılan testler sonucunda, dikkate alınmayan rastgele faktörlere bağlı olarak farklı, genel olarak konuşursak, değerler alan bir nicelik denir. Rastgele değişken örnekleri: bir zarda atılan puanların sayısı, bir partideki kusurlu öğelerin sayısı, merminin çarpma noktasının hedeften sapması, cihazın çalışma süresi, vb. Ayrık ve sürekli arasında ayrım yapın rastgele değişkenler. Ayrık Olası değerleri sayılabilir bir küme, sonlu veya sonsuz (yani, elemanları numaralandırılabilen bir küme) oluşturan rastgele bir değişken denir.

sürekli Olası değerleri sürekli olarak sayısal eksenin bazı sonlu veya sonsuz aralığını dolduran rastgele bir değişken denir. Sürekli bir rasgele değişkenin değer sayısı her zaman sonsuzdur.

Rastgele değişkenler, Latin alfabesinin sonundaki büyük harflerle gösterilecektir: X, Y, ...; rastgele bir değişkenin değerleri - küçük harflerle: X, y... . Böylece, X Rastgele bir değişkenin tüm olası değerleri kümesini belirtir ve X - Belirli bir anlam.

dağıtım yasası Ayrık bir rastgele değişken, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile olasılıkları arasında herhangi bir biçimde verilen bir yazışmadır.

Rastgele değişkenin olası değerlerine izin verin X . Test sonucunda rastgele değişken bu değerlerden birini yani Tam bir ikili uyumsuz olaylar grubundan bir olay meydana gelecektir.

Bu olayların olasılıkları da bilinsin:

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası X adlı bir tablo şeklinde yazılabilir. Yakın dağıtım Ayrık rassal değişken:

Dağılım serisi eşittir (normalizasyon koşulu).

Örnek 3.1. Ayrık bir rasgele değişkenin dağılım yasasını bulun X - iki madeni para atışında "kartal"ın tekrarlanma sayısı.

Dağılım işlevi, hem ayrık hem de sürekli rasgele değişkenler için dağıtım yasasını belirlemenin evrensel bir biçimidir.

Rastgele bir değişkenin dağılım işleviX işlev denir F(X), Tam sayı doğrusunda aşağıdaki gibi tanımlanır:

F(X)= P(X< х ),

yani F(X) rastgele değişkenin olma olasılığı vardır X değerinden küçük bir değer alır. X.

Dağılım fonksiyonu grafiksel olarak gösterilebilir. Ayrık bir rasgele değişken için grafiğin basamaklı bir formu vardır. Örneğin, aşağıdaki seriler tarafından verilen rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım (Şekil 3.1):

Pirinç. 3.1. Ayrık bir rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği

Fonksiyonun atlamaları, rastgele değişkenin olası değerlerine karşılık gelen noktalarda gerçekleşir ve bu değerlerin olasılıklarına eşittir. Kırılma noktalarında, fonksiyon F(X) solda süreklidir.

Sürekli bir rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği, sürekli bir eğridir.

Pirinç. 3.2. Sürekli bir rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği

Dağılım işlevi aşağıdaki bariz özelliklere sahiptir:

1) , 2) , 3) ,

4) .

Rastgele bir değişken olduğu gerçeğinden oluşan bir olay diyeceğiz. X bir değer alır X, Bazı yarı kapalı aralığa ait A£ X< B, Aralıkta rastgele bir değişkene vurarak [ A, B).

Teorem 3.1. Rastgele bir değişkenin [ aralığına düşme olasılığı A, B) bu aralıktaki dağılım fonksiyonunun artışına eşittir:

Aralığı azaltırsak [ A, B), , o zaman limitte, formül (3.1)'in aralığa ulaşma olasılığı yerine noktaya ulaşma olasılığını, yani rasgele değişkenin değeri alma olasılığını verdiğini varsayarsak A:

Dağılım fonksiyonunun bu noktada bir süreksizliği varsa A, O zaman limit (3.2), fonksiyonun sıçrama değerine eşittir. F(X) noktada X=A, Yani, rastgele değişkenin değeri alma olasılıkları A (Şekil 3.3, A). Rastgele değişken sürekli ise, yani fonksiyon süreklidir F(X), o zaman limit (3.2) sıfıra eşittir (Şekil 3.3, B)

Bu nedenle, sürekli bir rasgele değişkenin herhangi bir özel değerinin olasılığı sıfırdır. Ancak bu, olayın imkansız olduğu anlamına gelmez. X=A, Sadece bu olayın göreceli sıklığının, test sayısındaki sınırsız artışla sıfıra yaklaşacağını söylüyor.

A)
B)

Pirinç. 3.3. Dağıtım işlevi atlama

Sürekli rasgele değişkenler için, dağıtım işlevinin yanı sıra, dağıtım yasasını belirlemenin başka bir biçimi kullanılır - dağıtım yoğunluğu.

Aralığa çarpma olasılığı ise, oran, olasılığın noktanın çevresinde dağıldığı yoğunluğu karakterize eder. X. Bu ilişkinin sınırı , yani e. türev denir dağıtım yoğunluğu rastgele bir değişkenin (olasılık dağılımının yoğunluğu, olasılık yoğunluğu) X. Dağıtım yoğunluğunu belirtmeyi kabul ediyoruz

Bu nedenle, dağılım yoğunluğu, rastgele bir değişkenin noktanın yakınına düşme olasılığını karakterize eder. X.

Dağılım yoğunluğunun grafiğine denir çarpık yarışlarTanımlar(Şekil 3.4).

Pirinç. 3.4. Dağıtım yoğunluğu tipi

Dağılım işlevinin tanımına ve özelliklerine göre F(X), dağıtım yoğunluğunun aşağıdaki özelliklerini oluşturmak kolaydır F(X):

1) F(X)³0

Sürekli bir rasgele değişken için, bir noktaya gelme olasılığının sıfır olması nedeniyle aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

Örnek 3.2. rastgele değer X Dağıtım yoğunluğu ile belirtilen

Gerekli:

A) katsayının değerini bulun A;

B) dağılım fonksiyonunu bulun;

C) rastgele bir değişkenin (0, ) aralığına düşme olasılığını bulun.

Dağılım fonksiyonu veya dağılım yoğunluğu tamamen rastgele bir değişkeni tanımlar. Bununla birlikte, çoğu zaman, pratik problemleri çözerken, dağıtım yasasının tam olarak bilinmesine gerek yoktur, yalnızca bazı karakteristik özelliklerini bilmek yeterlidir. Bunu yapmak için, olasılık teorisinde, dağıtım yasasının çeşitli özelliklerini ifade eden rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri kullanılır. Ana sayısal özellikler şunlardır: MatematikselBeklenti, varyans ve standart sapma.

Beklenen değer Rastgele bir değişkenin sayı eksenindeki konumunu karakterize eder. Bu, tüm olası değerlerinin gruplandığı bir rastgele değişkenin ortalama değeridir.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X sembolize M(X) veya T. Ayrık bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi, rasgele değişkenin tüm olası değerlerinin eşleştirilmiş ürünlerinin toplamı ve bu değerlerin olasılıklarıdır:

Sürekli bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi, uygun olmayan bir integral kullanılarak belirlenir:

Tanımlara dayanarak, matematiksel beklentinin aşağıdaki özelliklerinin geçerliliğini doğrulamak kolaydır:

1. (rasgele olmayan bir değişkenin matematiksel beklentisi İLE En rastgele olmayan değere eşittir).

2. ³0 ise, ³0'dır.

4. Eğer ve bağımsız, O .

Örnek 3.3. Bir dizi dağılım tarafından verilen ayrık bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun:

Çözüm.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

Örnek 3.4. Dağılım yoğunluğu tarafından verilen rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun:

Çözüm.

Dağılım ve standart sapma Rastgele bir değişkenin dağılımının özellikleridir, olası değerlerinin matematiksel beklentiye göre dağılımını karakterize ederler.

dağılım D(X) rastgele değişken X Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden karesel sapmasının matematiksel beklentisine denir. Ayrık bir rastgele değişken için, varyans şu toplamla ifade edilir:

(3.3)

Ve sürekli - integral için

(3.4)

Varyans, rastgele bir değişkenin karesi boyutuna sahiptir. saçılma özelliği, boyut eşleştirmeRastgele değişkenli Stee, standart sapmadır.

Dispersiyon özellikleri:

1) sabittir. Özellikle,

Özellikle,

Varyansın formül (3.5) ile hesaplanmasının genellikle formül (3.3) veya (3.4) ile olduğundan daha uygun olduğunu unutmayın.

değer denir kovaryans rastgele değişkenler.

Eğer , ardından değer

isminde Korelasyon katsayısı rastgele değişkenler.

Şu gösterilebilir ki, eğer , o zaman miktarlar doğrusal olarak bağımlıdır: burada

Bağımsızlarsa, o zaman

Örnek 3.5.Örnek 1'deki dağılım serisi tarafından verilen rastgele bir değişkenin varyansını bulun.

Çözüm. Varyansı hesaplamak için matematiksel beklentiyi bilmeniz gerekir. Yukarıdaki belirli bir rasgele değişken için şu bulundu: M= 1.3. Varyansı formül (3.5) kullanarak hesaplıyoruz:

Örnek 3.6. Rastgele değişken dağılım yoğunluğu ile verilir

Varyansı ve standart sapmayı bulun.

Çözüm. Önce matematiksel beklentiyi buluyoruz:

(simetrik bir aralıkta bir tek fonksiyonun integrali olarak).

Şimdi varyansı ve standart sapmayı hesaplıyoruz:

1. Binom dağılımı. Bernoulli şemasındaki "BAŞARILAR" sayısına eşit olan rasgele değişken, bir binom dağılımına sahiptir: , .

Binom yasasına göre dağıtılan rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi

Bu dağılımın varyansı .

2. Poisson Dağılımı ,

Poisson dağılımına sahip rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı .

Poisson dağılımı genellikle, bir saat içinde bir araba yıkama istasyonuna gelen araba sayısı, bir haftadaki makine durma sayısı, araba yıkama istasyonuna gelen araba sayısı gibi belirli bir zaman veya mekan aralığında meydana gelen olayların sayısıyla uğraşırken kullanılır. trafik kazaları vb.

Rastgele değişkenin sahip olduğu geometrik dağılım parametresi ile olasılıkları olan değerler alırsa . Böyle bir dağılıma sahip rastgele bir değişken anlamlıdır İlk başarılı testin numaraları başarı olasılığı ile Bernoulli şemasında. Dağıtım tablosu şuna benzer:

3. Normal dağılım. Normal olasılık dağılımı kanunu, diğer dağılım kanunları arasında özel bir yere sahiptir. Olasılık teorisinde, olasılık yoğunluğunun bağımsız veya Zayıf bağımlı, eşit derecede küçük (yani yaklaşık olarak aynı rolü oynayan) terimler, sayılarında sınırsız bir artışla, bu terimlerin hangi dağıtım yasalarına sahip olduğuna bakılmaksızın (A. M. Lyapunov'un merkezi limit teoremi) normal dağılım yasasına istenildiği kadar yaklaşır.

Rastgele değişken çeşitli koşullara bağlı olarak belirli değerleri alabilen bir değişkendir ve rastgele değişkene sürekli denir , bazı sınırlı veya sınırsız aralıklardan herhangi bir değer alabilirse. Sürekli bir rasgele değişken için olası tüm değerleri belirtmek imkansızdır, bu nedenle bu değerlerin belirli olasılıklarla ilişkilendirilen aralıkları belirtilir.

Sürekli rasgele değişkenlerin örnekleri şunlardır: belirli bir boyuta döndürülen bir parçanın çapı, bir kişinin boyu, bir merminin menzili, vb.

Sürekli rasgele değişkenler için fonksiyon F(X), Farklı ayrık rasgele değişkenler, hiçbir yerde atlama yapmazsa, sürekli bir rasgele değişkenin herhangi bir tek değerinin olasılığı sıfıra eşittir.

Bu, sürekli bir rasgele değişken için değerleri arasındaki olasılık dağılımı hakkında konuşmanın anlamsız olduğu anlamına gelir: her birinin sıfır olasılığı vardır. Bununla birlikte, bir anlamda, sürekli bir rasgele değişkenin değerleri arasında "az ya da çok olası" vardır. Örneğin, rastgele bir değişkenin değerinin - rastgele karşılaşılan bir kişinin boyu - 170 cm - pratikte biri ve diğeri ortaya çıkabilmesine rağmen, 220 cm'den daha olası olduğundan kimsenin şüphe duyması pek olası değildir.

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu

Yalnızca sürekli rasgele değişkenler için anlam ifade eden bir dağılım yasası olarak, dağılım yoğunluğu veya olasılık yoğunluğu kavramı tanıtılır. Sürekli bir rasgele değişken ve ayrı bir rasgele değişken için dağılım fonksiyonunun anlamını karşılaştırarak buna yaklaşalım.

Dolayısıyla, rastgele bir değişkenin (hem ayrık hem de sürekli) dağılım işlevi veya integral fonksiyon rastgele bir değişkenin değerinin olma olasılığını belirleyen fonksiyona denir. X sınır değerden küçük veya ona eşit X.

Değerlerinin noktalarında ayrı bir rasgele değişken için X1 , X 2 , ..., X Ben ,... yoğunlaşmış olasılık kütleleri P1 , P 2 , ..., P Ben ,..., ve tüm kütlelerin toplamı 1'e eşittir. Bu yorumu sürekli rastgele değişken durumuna aktaralım. 1'e eşit bir kütlenin ayrı noktalarda yoğunlaşmadığını, x ekseni boyunca sürekli olarak "bulaştığını" hayal edin. Öküz bazı düzensiz yoğunluk ile. Herhangi bir sitede rasgele bir değişkene ulaşma olasılığı Δ X bu bölüme atfedilebilen kütle olarak ve bu bölümdeki ortalama yoğunluk - kütlenin uzunluğa oranı olarak yorumlanacaktır. Az önce olasılık teorisinde önemli bir kavramı tanıttık: dağılım yoğunluğu.

Olasılık Yoğunluğu F(X) sürekli bir rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunun türevidir:

Yoğunluk fonksiyonunu bilerek, sürekli bir rastgele değişkenin değerinin kapalı aralığa ait olma olasılığını bulabiliriz [ A; B]:

sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığı X[ aralığından herhangi bir değer alacaktır. A; B], aralığındaki olasılık yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir. Aönce B:

Bu durumda fonksiyonun genel formülü F(X) yoğunluk fonksiyonu biliniyorsa kullanılabilen sürekli bir rasgele değişkenin olasılık dağılımı F(X) :

Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğunun grafiğine dağılım eğrisi denir (aşağıdaki şekil).

Şeklin alanı (şekilde gölgeli), bir eğri ile sınırlanmış, noktalardan çizilen düz çizgiler A Ve B apsis eksenine dik ve eksen Ah, sürekli bir rasgele değişkenin değerinin olma olasılığını grafiksel olarak gösterir. X aralığı içinde Aönce B.

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri

1. Rastgele bir değişkenin aralıktan (ve fonksiyonun grafiğiyle sınırlı olan şeklin alanından) herhangi bir değer alma olasılığı F(X) ve eksen Ah) bire eşittir:

2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif değerler alamaz:

ve dağılımın varlığı dışında değeri sıfırdır

dağıtım yoğunluğu F(X) ve dağıtım işlevi F(X), dağıtım yasasının biçimlerinden biridir, ancak dağıtım işlevinin aksine evrensel değildir: dağıtım yoğunluğu yalnızca sürekli rasgele değişkenler için mevcuttur.

Sürekli bir rasgele değişkenin pratikte en önemli iki dağılım türünden bahsedelim.

Dağılım yoğunluğu fonksiyonu ise F(X) bazı sonlu aralıklarda sürekli bir rasgele değişken [ A; B] sabit bir değer alır C ve aralığın dışında sıfıra eşit bir değer alır, o zaman bu dağılıma üniform denir .

Dağılım yoğunluğu fonksiyonunun grafiği merkeze göre simetrik ise, ortalama değerler merkeze yakın yerlerde yoğunlaşır ve merkezden uzaklaştıkça ortalamalardan daha farklı toplanır (fonksiyonun grafiği bir kesite benzer) bir zil), sonra bu dağılıma normal denir .

örnek 1 Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu şu şekilde bilinir:

Bir özellik bul F(X) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu. Her iki fonksiyon için grafikler çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ila 8 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. Olasılık dağılım fonksiyonunun türevini bularak olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde ederiz:

Fonksiyon Grafiği F(X) - parabol:

Fonksiyon Grafiği F(X) - düz:

Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ile 8 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 2 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir:

faktörü hesapla C. Bir özellik bul F(X) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı. Her iki fonksiyon için grafikler çizin. Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: .

Çözüm. katsayı C olasılık yoğunluk fonksiyonunun 1. özelliğini kullanarak şunu buluruz:

Dolayısıyla, sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluk işlevi şu şekildedir:

Entegre ederek işlevi buluyoruz F(X) olasılık dağılımları. Eğer X < 0 , то F(X) = 0 0 ise< X < 10 , то

X> 10 , sonra F(X) = 1 .

Böylece, olasılık dağılım fonksiyonunun tam kaydı şöyledir:

Fonksiyon Grafiği F(X) :

Fonksiyon Grafiği F(X) :

Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım:

Örnek 3 Sürekli bir rasgele değişkenin olasılık yoğunluğu X eşitlikle verilirken . katsayı bul A, sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığı X sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olan ]0, 5[ aralığından bir değer alır X.

Çözüm. Koşullu olarak, eşitliğe varıyoruz

Bu nedenle, nereden . Bu yüzden,

Şimdi sürekli bir rasgele değişkenin olma olasılığını buluyoruz. X]0, 5[ aralığından herhangi bir değer alır:

Şimdi bu rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunu elde ediyoruz:

Örnek 4 Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu bulun X yalnızca negatif olmayan değerleri alan ve dağıtım işlevi .

Olasılık teorisinde, tüm değerleri sıralanamayan rastgele değişkenlerle uğraşmak gerekir. Örneğin, zaman saat, dakika, saniye, milisaniye vb. cinsinden ölçülebildiğinden, saatin hizmet süresi olan $X$ rasgele değişkeninin tüm değerlerini alıp "sıralamak" imkansızdır. Yalnızca rastgele bir değişkenin değerlerinin bulunduğu belirli bir aralık belirtebilirsiniz.

Sürekli rastgele değişken değerleri belirli bir aralığı tamamen dolduran rastgele bir değişkendir.

Sürekli bir rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu

Sürekli bir rasgele değişkenin tüm değerlerini sıralamak mümkün olmadığından, dağılım fonksiyonu kullanılarak belirtilebilir.

dağıtım işlevi$X$ rasgele değişkeni, $F\left(x\right)$ işlevidir ve $X$ rasgele değişkeninin sabit bir $x$ değerinden daha küçük bir değer alma olasılığını belirler, yani $F\left(x\ sağ)$ )=P\sol(X< x\right)$.

Dağıtım işlevi özellikleri:

1 . $0\le F\left(x\sağ)\le 1$.

2 . $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değer alma olasılığı, bu aralığın sonundaki dağılım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir : $P\sol(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - azalmayan.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.

örnek 1
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matris)\sağ.$. Rastgele bir $X$ değişkeninin $\left(0.3;0.7\right)$ aralığına düşme olasılığı, $F\left(x\right)$ dağılım fonksiyonunun değerleri arasındaki fark olarak bulunabilir. bu aralığın sonları, yani:

$$P\sol(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

olasılık yoğunluğu

$f\left(x\right)=(F)"(x)$ fonksiyonuna olasılık dağılım yoğunluğu denir, yani $F\left(x\right) dağılım fonksiyonundan alınan birinci dereceden türevdir $ kendisi.

$f\left(x\right)$ işlevinin özellikleri.

1 . $f\left(x\sağ)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\sağ)dt)=F\left(x\sağ)$.

3 . Rastgele bir $X$ değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değer alma olasılığı $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\sağ))=1$.

Örnek 2 . Sürekli bir rasgele değişken $X$, aşağıdaki dağıtım işlevi $F(x)=\left\(\begin(matrix) tarafından verilir.
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matris)\sağ.$. Sonra yoğunluk fonksiyonu $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\x>1
\end(matris)\sağ.$

Sürekli bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi

Sürekli bir rasgele değişken olan $X$'ın matematiksel beklentisi aşağıdaki formülle hesaplanır:

$$M\left(X\sağ)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\sağ)dx).$$

Örnek 3 . $2$ örneğindeki $X$ rasgele değişkeni için $M\left(X\right)$'ı bulun.

$$M\left(X\sağ)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\sağ)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\over (2))\bigg|_0^1=((1)\over (2))).$$

Sürekli bir rasgele değişkenin dağılımı

Sürekli bir rasgele değişken olan $X$'ın varyansı şu formülle hesaplanır:

$$D\left(X\sağ)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\sağ)\ dx)-(\left)^2.$$

Örnek 4 . $2$ örneğindeki $X$ rasgele değişkeni için $D\left(X\right)$'ı bulalım.

$$D\left(X\sağ)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\sağ)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\over (2))\right))^2=((x^3)\over (3))\bigg|_0^1-( (1)\over (4))=((1)\over (3)-((1)\over (4))=((1)\over(12)).$$

RASTGELE DEĞERLER

Örnek 2.1. rastgele değer X dağılım fonksiyonu tarafından verilir

Test sonucunda olma olasılığını bulunuz. X(2.5; 3.6) arasında değerler alacaktır.

Çözüm: X(2.5; 3.6) aralığında iki şekilde belirlenebilir:

Örnek 2.2. Parametrelerin hangi değerlerinde A Ve İÇİNDE işlev F(X) = A + Ol - x rastgele bir değişkenin negatif olmayan değerleri için bir dağılım fonksiyonu olabilir X.

Çözüm: Rastgele değişkenin tüm olası değerleri olduğundan X aralığına aittir, o zaman fonksiyonun bir dağıtım fonksiyonu olması için X, özellik şunları tutmalıdır:

Cevap: .

Örnek 2.3. Rastgele değişken X, dağıtım işlevi tarafından verilir

Dört bağımsız deneme sonucunda, değerin X tam olarak 3 kez (0.25; 0.75) aralığına ait bir değer alacaktır.

Çözüm: Bir değere ulaşma olasılığı X(0.25; 0.75) aralığında aşağıdaki formülü buluruz:

Örnek 2.4. Bir atışta topun sepete çarpma olasılığı 0,3'tür. Üç atışta vuruş sayısının dağılım yasasını çizin.

Çözüm: rastgele değer X- üç atışla sepetteki vuruş sayısı - şu değerleri alabilir: 0, 1, 2, 3. X

Örnek 2.5.İki atıcı hedefe bir atış yapar. İlk atıcı tarafından vurma olasılığı 0,5, ikincisi - 0,4'tür. Hedefteki isabet sayısının dağılım yasasını yazınız.

Çözüm: Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını bulun X- hedefteki isabet sayısı. Olay, birinci atıcının hedefi vurması ve - ikinci atıcının vurması ve - sırasıyla ıskalamaları olsun.

SV'nin olasılık dağılım yasasını oluşturalım X:

Örnek 2.6. Birbirinden bağımsız çalışan 3 eleman test edilir. Elemanların hatasız çalışma sürelerinin (saat cinsinden) dağılım yoğunluk fonksiyonları vardır: ilki için: F 1 (T) =1-e- 0,1 T, Ikinci için: F 2 (T) = 1-e- 0,2 T, üçüncüsü için: F 3 (T) =1-e- 0,3 T. 0 ila 5 saat arasındaki zaman aralığında: yalnızca bir öğenin başarısız olma olasılığını bulun; yalnızca iki öğe başarısız olur; üç öğe de başarısız olur.

Çözüm: Olasılıkların üretici fonksiyonunun tanımını kullanalım:

Bağımsız denemelerde, ilkinde bir olayın meydana gelme olasılığı A eşittir , ikinci vb. olayda A tam olarak bir kez belirir, üreten fonksiyonun üsleri cinsinden açılımındaki katsayıya eşittir. 0 ile 5 saat arasındaki zaman aralığında sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü elemanın arızalanma ve arızalanmama olasılıklarını bulalım:

Bir oluşturma işlevi oluşturalım:

katsayı, olayın olma olasılığına eşittir. A tam olarak üç kez görünecek, yani üç unsurun hepsinin başarısız olma olasılığı; at katsayısı, tam olarak iki öğenin başarısız olma olasılığına eşittir; at katsayısı, yalnızca bir elemanın başarısız olma olasılığına eşittir.

Örnek 2.7. Olasılık yoğunluğu verildiğinde F(X) rastgele değişken X:

Dağılım fonksiyonunu F(x) bulun.

Çözüm: Formülü kullanıyoruz:

Böylece, dağıtım işlevi şu şekildedir:

Örnek 2.8. Cihaz birbirinden bağımsız çalışan üç elemandan oluşur. Bir deneyde her bir elemanın başarısız olma olasılığı 0,1'dir. Bir deneyde başarısız elemanların sayısının dağılım yasasını derleyin.

Çözüm: rastgele değer X- bir deneyde başarısız olan elementlerin sayısı - şu değerleri alabilir: 0, 1, 2, 3. X bu değerleri alırsak, Bernoulli formülü ile buluruz:

Böylece, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımının aşağıdaki yasasını elde ederiz. X:

Örnek 2.9. Bir çok 6 parçada 4 standart parça vardır. 3 madde rastgele seçildi. Seçilen parçalar arasında standart parça sayısının dağılım yasasını çizin.

Çözüm: rastgele değer X- seçilenler arasından standart parça sayısı - 1, 2, 3 değerlerini alabilir ve hipergeometrik dağılıma sahiptir. olasılıklar X

Nerede -- partideki parça sayısı;

-- partideki standart parça sayısı;

– seçilen parça sayısı;

-- seçilenler arasından standart parçaların sayısı.

Örnek 2.10. Rastgele değişken bir dağılım yoğunluğuna sahiptir

nerede ve bilinmiyor, ancak , a ve . Bul ve .

Çözüm: Bu durumda rastgele değişken X[ aralığında üçgen dağılıma (Simpson dağılımı) sahiptir. bir, b]. sayısal özellikler X:

Buradan, . Bu sistemi çözerek iki çift değer elde ederiz: . Sorunun durumuna göre, nihayet elimizde: .

Cevap: .

Örnek 2.11. Ortalama olarak, sözleşmelerin %10'u için sigorta şirketi, sigortalı bir olayın meydana gelmesiyle bağlantılı olarak sigorta edilen meblağları öder. Rastgele seçilen dört sözleşme arasındaki bu tür sözleşme sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayın.

Çözüm: Matematiksel beklenti ve varyans, aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

SV'nin olası değerleri (sigortalı bir olayın meydana geldiği sözleşme sayısı (dört üzerinden): 0, 1, 2, 3, 4.

Sigortalı meblağların ödendiği farklı sayıda sözleşme (dört üzerinden) olasılığını hesaplamak için Bernoulli formülünü kullanıyoruz:

CV'nin dağıtım serisi (sigortalı bir olayın meydana geldiği sözleşmelerin sayısı) şu şekildedir:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Cevap: , .

Örnek 2.12. Beş gülden ikisi beyaz. Aynı anda alınan iki beyaz gülün sayısını ifade eden rastgele bir değişken için bir dağıtım yasası yazın.

Çözüm:İki gülden oluşan bir örnekte hiç beyaz gül olmayabilir veya bir veya iki beyaz gül olabilir. Bu nedenle, rastgele değişken X 0, 1, 2 değerlerini alabilir. X bu değerleri alır, formülle buluruz:

Nerede -- gül sayısı;

-- beyaz gül sayısı;

– aynı anda alınan gül sayısı;

-- alınanlar arasında beyaz gül sayısı.

O zaman rastgele bir değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

Örnek 2.13. Birleştirilmiş 15 üniteden 6'sının ek yağlamaya ihtiyacı var. Toplam sayıdan rasgele seçilen beş ünite arasında, ilave yağlamaya ihtiyaç duyan ünite sayısının dağılım yasasını oluşturun.

Çözüm: rastgele değer X- seçilen beş ünite arasından ek yağlama gerektiren ünite sayısı - 0, 1, 2, 3, 4, 5 değerlerini alabilir ve hipergeometrik dağılıma sahiptir. olasılıklar X bu değerleri alır, formülle buluruz:

Nerede -- birleştirilmiş birimlerin sayısı;

-- ek yağlama gerektiren ünite sayısı;

– seçilen kümelerin sayısı;

-- seçilenler arasından ek yağlamaya ihtiyaç duyan ünite sayısı.

O zaman rastgele bir değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

Örnek 2.14. Onarım için alınan 10 saatten 7'sinde mekanizmanın genel olarak temizlenmesi gerekiyor. Saatler onarım türüne göre sıralanmaz. Temizlenmesi gereken bir saat bulmak isteyen usta, onları tek tek inceler ve böyle bir saat bulunca daha fazla bakmayı bırakır. İzlenen saat sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Çözüm: rastgele değer X- seçilen beş birim arasından ek yağlamaya ihtiyaç duyan ünite sayısı - şu değerleri alabilir: 1, 2, 3, 4. X bu değerleri alır, formülle buluruz:

O zaman rastgele bir değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

Şimdi miktarın sayısal özelliklerini hesaplayalım:

Cevap: , .

Örnek 2.15. Abone, ihtiyaç duyduğu telefon numarasının son hanesini unutmuş, ancak tuhaf olduğunu hatırlıyor. Son rakamı rasgele çevirir ve daha sonra aranan numarayı çevirmezse, istenilen numarayı bulmadan önce yaptığı arama sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulunuz.

Çözüm: Rastgele değişken şu değerleri alabilir: . Abone ileride çevrilen rakamı çevirmediği için bu değerlerin olasılıkları eşittir.

Bir rastgele değişkenin dağılım serisini oluşturalım:


	0,2

Çevirme girişimi sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayalım:

Cevap: , .

Örnek 2.16. Serideki her cihaz için güvenilirlik testleri sırasında arıza olasılığı şuna eşittir: P. Test edildiyse başarısız olan cihaz sayısının matematiksel beklentisini belirleyin N aletleri.

Çözüm: Ayrık rasgele değişken X, başarısız olan cihazların sayısıdır. N her birinde başarısızlık olasılığının eşit olduğu bağımsız testler P, binom yasasına göre dağıtılır. Binom dağılımının matematiksel beklentisi, deneme sayısının ürününe ve bir denemede meydana gelen bir olayın olasılığına eşittir:

Örnek 2.17. Ayrık rassal değişken X 3 olası değer alır: olasılıkla; olasılıkla ve olasılıkla. M( X) = 8.

Çözüm: Matematiksel beklenti tanımlarını ve ayrı bir rasgele değişkenin dağılım yasasını kullanıyoruz:

Bulduk: .

Örnek 2.18. Teknik kontrol departmanı, ürünlerin standart olup olmadığını kontrol eder. Maddenin standart olma olasılığı 0,9'dur. Her parti 5 ürün içerir. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X- 50 parti doğrulamaya tabiyse, her biri tam olarak 4 standart ürün içeren parti sayısı.

Çözüm: Bu durumda, yapılan tüm deneyler bağımsızdır ve her partinin tam olarak 4 standart ürün içerme olasılığı aynıdır, bu nedenle matematiksel beklenti aşağıdaki formülle belirlenebilir:

taraf sayısı nerede;

Bir partinin tam olarak 4 standart ürün içerme olasılığı.

Olasılığı Bernoulli formülünü kullanarak buluruz:

Cevap: .

Örnek 2.19. Rastgele bir değişkenin varyansını bulun X– olayın meydana gelme sayısı A iki bağımsız denemede, bu denemelerde bir olayın meydana gelme olasılıkları aynı ise ve biliniyorsa M(X) = 0,9.

Çözüm: Sorun iki şekilde çözülebilir.

1) Olası CB değerleri X: 0, 1, 2. Bernoulli formülünü kullanarak bu olayların olasılıklarını belirleriz:

, , .

Daha sonra dağıtım yasası Xşuna benziyor:

Matematiksel beklentinin tanımından, olasılığı belirleriz:

SW'nin varyansını bulalım X:

2) Şu formülü kullanabilirsiniz:

Cevap: .

Örnek 2.20. Normal dağılımlı bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi ve standart sapması X sırasıyla 20 ve 5. Test sonucunda olma olasılığını bulunuz. X(15; 25) aralığında yer alan değeri alacaktır.

Çözüm: Normal bir rasgele değişkene ulaşma olasılığı X arasındaki bölüm Laplace işlevi cinsinden ifade edilir:

Örnek 2.21. Bir işlev verildiğinde:

parametrenin hangi değerinde C bu fonksiyon, bazı sürekli rasgele değişkenlerin dağılım yoğunluğudur. X? Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun X.

Çözüm: Bir fonksiyonun rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu olması için, negatif olmaması ve şu özelliği karşılaması gerekir:

Buradan:

Aşağıdaki formülü kullanarak matematiksel beklentiyi hesaplayın:

Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı hesaplayın:

T P. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulmak gerekir.

Çözüm: Ayrı bir rasgele değişken X'in dağılım yasası - her biri bir olayın olma olasılığının olduğu bağımsız denemelerde bir olayın meydana gelme sayısı , binom olarak adlandırılır. Binom dağılımının matematiksel beklentisi, deneme sayısı ile A olayının bir denemede meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir:

Örnek 2.25. Hedefe üç bağımsız atış yapılır. Her atışın isabet olasılığı 0,25'tir. Üç atışla yapılan vuruş sayısının standart sapmasını belirleyin.

Çözüm:Üç bağımsız deneme yapıldığından ve her denemede A olayının (isabet) meydana gelme olasılığı aynı olduğundan, ayrık rasgele değişken X'in - hedefteki isabetlerin sayısı - iki terime göre dağıtıldığını varsayacağız. kanun.

Binom dağılımının varyansı, deneme sayısı ile bir denemede bir olayın olma ve olmama olasılıklarının çarpımına eşittir:

Örnek 2.26. Sigorta şirketini 10 dakikada ziyaret eden ortalama müşteri sayısı üçtür. Sonraki 5 dakika içinde en az bir müşterinin gelme olasılığını bulun.

5 dakikada gelen ortalama müşteri sayısı: . .

Örnek 2.29.İşlemci kuyruğundaki bir uygulamanın bekleme süresi, ortalama değeri 20 saniye olan üstel dağılım yasasına uyar. Bir sonraki (keyfi) isteğin işlemciyi 35 saniyeden fazla bekleme olasılığını bulun.

Çözüm: Bu örnekte, beklenti ve başarısızlık oranıdır.

O zaman istenen olasılık:

Örnek 2.30. 15 kişilik bir öğrenci grubu, her biri 10'ar kişilik 20 sıra salonda toplantı yapmaktadır. Her öğrenci salonda rastgele bir yere oturur. Arka arkaya yedinci sırada üçten fazla kişinin bulunmama olasılığı nedir?

Çözüm:

Örnek 2.31.

O zaman olasılığın klasik tanımına göre:

Nerede -- partideki parça sayısı;

-- partideki standart dışı parçaların sayısı;

– seçilen parça sayısı;

-- seçilenler arasında standart olmayan parçaların sayısı.

O zaman rastgele değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır.

Şunları okumak faydalı olabilir: