3 та 6 взаємно прості числа. Взаємно прості числа визначення

Назад Вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Ця робота призначена для супроводу пояснення нової теми. Практичні та домашні завдання вчитель підбирає на власний розсуд.

Обладнання:комп'ютер, проектор, екран.

Хід пояснення

Слайд 1. Найбільший спільний дільник.

Усна робота.

1. Обчисліть:

а) 0,7 * 10 : 2 - 0,3 : 0,4 _________ ?

б) 5 : 10 * 0,2 + 2 : 0,7 _______ ?

Відповіді: а) 8; б) 3.

2. Спростуйте затвердження: Число “2” є спільним дільником усіх чисел”.

Вочевидь, що непарні числа не діляться на 2.

3. Як називаються числа, кратні 2?

4. Назвіть число, яке є дільником будь-якого числа.

Письмово.

1. Розкладіть число 2376 на прості множники.

2. Знайдіть усі спільні дільники чисел 18 та 60.

Назвіть найбільший спільний дільник чисел 18 та 60.

Спробуйте сформулювати, яке число називають найбільшим спільним дільником двох натуральних чисел

Правило. Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа , називають найбільшим загальним дільником.

Пишуть: НОД (18; 60) = 6.

Скажіть, будь ласка, чи зручний розглянутий спосіб знаходження НОД?

Числа можуть бути надто великі і для них важко перерахувати всі дільники.

Давайте спробуємо знайти інший спосіб знаходження НОД.

Розкладемо числа 18 і 60 на прості множники:

18 =

Наведіть приклади дільників 18.

Числа: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Наведіть приклади дільників 60.

Числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.

Наведіть приклади загальних дільників чисел 18 та 60.

Числа: 1; 2; 3; 6.

Як можна знайти найбільший спільний дільник 18 та 60?

Алгоритм.

1. Розкласти ці числа на прості множники.

2. Порівняти множники чисел та викреслити різні.

3. Обчислити добуток множників, що залишилися.

Слайд 4. Взаємно прості числа.

Завдання. Знайдіть НОД чисел 24 та 35.

Правило. Натуральні числа називаються взаємно простими, якщо найбільший спільний дільник дорівнює 1.

Це цікаво!

• Дільники числа 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
• Дільники числа 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.
• НОД (18; 60) = 6.
• Дільники числа 6: 1; 2; 3; 6.
• Зауважимо, що числа 1; 2; 3; 6 є загальними дільниками чисел 18 та 60.
• Наприклад, НОД (108; 196) = 4. Отже, відразу можна сказати, що спільні дільники чисел 108 і 196 – це дільники числа 4, тобто 1; 2; 4.

Кожен дільник числа НОД (a; b) є спільним дільником чисел a і b і, навпаки, кожен їхній спільний дільник є дільником числа НОД (a; b).

Що таке взаємно звичайні числа?

Взаємно прості числа визначення

Визначення взаємно простих чисел:

Взаємно прості числа - це цілі числа, які не мають спільних дільників, крім одиниці.

Взаємно прості числа приклади

Приклад взаємно простих чисел:

У 2 та 3 немає інших спільних дільників крім одиниці.

Ще приклад взаємно простих чисел:

У 3 та 7 немає інших спільних дільників крім одиниці.

Інший приклад взаємно простих чисел:

У 11 і 13 немає інших спільних дільників крім одиниці.

Тепер ми можемо відповісти на питання, що означає взаємно прості цифри.

Що означає взаємно прості числа?

Це цілі числа, які не мають спільних дільників, крім одиниці.

Два взаємно простих числа

Кожна з цих пар має два взаємно прості числа.

11 та 15
15 та 16
16 та 23

Загальні дільники взаємно простих чисел

Загальні дільники взаємно простих чисел - лише одиниця, що з визначення взаємно простих чисел.

Найбільший спільний дільник взаємно простих чисел

Найбільший спільний дільник взаємно простих чисел – це одиниця, що випливає з визначення взаємно простих чисел.

Чи є взаємно простими числа?

Чи є взаємно простими числа 3 та 13? Так, адже вони не мають спільних дільників, крім одиниці.

Чи є взаємно простими числа 3 та 12? Ні, адже у них спільними дільниками є 1 і 3. А за визначенням взаємно простих чисел спільним дільником має бути лише одиниця.

Чи є взаємно простими числа 3 та 108? Ні, адже у них спільними дільниками є 1 і 3. А за визначенням взаємно простих чисел спільним дільником має бути лише одиниця.

Чи є взаємно простими числа 108 та 5? Так, адже вони не мають спільних дільників, крім одиниці.

Підручники математики часом складні сприйняття. Суха та чітка мова авторів не завжди доступна для розуміння. Та й теми там завжди взаємопов'язані, взаємовипливаючі. Для освоєння однієї теми доводиться піднімати низку попередніх, а часом і перегортати весь підручник. Важко? Так. А давайте ризикнемо обійти ці складнощі та спробуємо знайти до теми не зовсім стандартний підхід. Зробимо такий собі екскурс у країну чисел. Визначення, проте, ми таки залишимо колишнім, бо правила математики скасувати не можна. Отже, взаємно прості числа — числа натуральні, із спільним дільником, що дорівнює одиниці. Це зрозуміло? Цілком.

Для наочного прикладу давайте візьмемо числа 6 і 13. І те, й інше — ділимо на одиницю (взаємно прості). А ось числа 12 і 14 такими не можуть бути, оскільки діляться не тільки на 1, а й на 2. Наступні числа — 21 і 47 теж не підходять до категорії "взаємно прості числа": їх можна розділити не тільки на 1, але ще й на 7.

Позначають взаємно прості числа так: ( а, у) = 1.

Можна сказати навіть простіше: загальний дільник (найбільший) тут дорівнює одиниці.
Навіщо нам такі знання? Причин достатньо.

Взаємно включені деякі системи шифрування. Ті, хто працює з шифрами Хілла або системою підстановок Цезаря, розуміють: без цих знань — нікуди. Якщо ви чули про генератори, то навряд чи наважитеся заперечувати: взаємно прості числа використовуються і там.

Тепер поговоримо про способи отримання таких прості, як ви розумієте, можуть мати лише два дільники: вони поділяються на самих себе та на одиницю. Скажімо, 11, 7, 5, 3 - числа прості, а ось 9 - ні, адже це число вже поділяє і на 9, і на 3, і на 1.

І якщо а- Число просте, а у- з множини (1, 2, ... а- 1), тоді гарантовано ( а, у) = 1, або взаємно прості числа аі у.

Це, швидше, навіть пояснення, а повторення чи підбиття підсумків щойно сказаного.

Отримання простих чисел можливе проте для значних чисел (мільярдів, наприклад) цей метод занадто довгий, але, на відміну від супер-формул, які часом і помиляються, надійніший.

Можна працювати шляхом підбору у > а. Для цього у вибирається так, щоб число на ане ділилося. Для цього число просте множиться на число натуральне і додається (або, навпаки, віднімається) величина (припустимо, р), яка менша а:

у = ра+k

Якщо, наприклад, а = 71, р= 3, q=10, відповідно, утут дорівнюватиме 713. Можливий і інший підбір, зі ступенями.

Складові числа, на відміну взаємно простих, діляться і себе, і 1, і інші числа (теж без залишку).

Іншими словами, (крім одиниці) розбиті на складові та прості.

Прості числа - числа натуральні, що не мають нетривіальних (відмінних від самого числа та одиниці) дільників. Особливо важлива їх роль у сьогоднішній, сучасній криптографії, що швидко розвивається, завдяки якій вважалася раніше дисципліною гранично абстрактною, стала так затребувана: алгоритми захисту даних постійно вдосконалюються.

Найбільше просте число знайдено доктором-офтальмологом Мартіном Новаком, який брав участь у проекті GIMPS (розподільні обчислення) разом з іншими ентузіастами, яких налічувалося близько 15 тис. На розрахунки пішло шість довгих років. Було задіяно два з половиною десятки комп'ютерів, які перебувають у клініці Новака. Результатом титанічного праці та завзятості стало число 225964951-1, із записуванням у 7816230-десяткових знаках. До речі, рекорд самого великої кількостібув поставлений за півроку до відкриття. І знаків там було на півмільйона менше.

У генія, який бажає назвати число, де тривалість десяткового запису"перестрибне" десятимільйонну позначку, є шанс здобути не лише всесвітню славу, а й 100 000 доларів. До речі, за число, яке подолало мільйонний рубіж знаків, Наян Хайратвал отримав меншу суму (50 000 доларів).

Інформація цієї статті покриває тему « взаємно прості числа». Спочатку дано визначення двох взаємно простих чисел, і навіть визначення трьох і більше взаємно простих чисел. Після цього наведено приклади взаємно простих чисел і показано, як довести, що дані числа є взаємно простими. Далі перераховані та доведені основні властивості взаємно простих чисел. На закінчення згадані попарно прості числа, оскільки тісно пов'язані з взаємно простими числами.

Навігація на сторінці.

Часто зустрічаються завдання, у яких потрібно довести, що цілі числа є взаємно простими. Доказ зводиться до обчислення найбільшого спільного дільникаданих чисел та перевірки НОД на його рівність одиниці. Корисно також перед обчисленням НОД заглянути в таблицю простих чисел: раптом вихідні цілі числа є простими, а ми знаємо, що найбільший спільний дільник простих чисел дорівнює одиниці. Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Доведіть, що числа 84 та 275 є взаємно простими.

Рішення.

Очевидно, що дані числа не є простими, тому ми не можемо відразу говорити про взаємну простоту чисел 84 і 275 і нам доведеться обчислювати НОД. Використовуємо алгоритм Евкліда для знаходження НОД: 275 = 84 · 3 +23, 84 = 23 · 3 +15, 23 = 15 · 1 +8, 15 = 8 · 1 +7, 8 = 7 · 1 +1, 7 = 7 В·1, отже, НОД(84, 275)=1 . Цим доведено, що числа 84 та 275 взаємно прості.

Визначення взаємно простих чисел можна розширити для трьох чи більшої кількості чисел.

Визначення.

Цілі числа a 1 , a 2 , …, a k , k>2 називаються взаємно простимиякщо найбільший загальний дільник цих чисел дорівнює одиниці.

З озвученого визначення слід, що й деякий набір цілих чисел має позитивний загальний дільник, відмінний від одиниці, ці цілі числа є взаємно простими.

Наведемо приклади. Три цілих числа -99, 17 і -27 є взаємно простими. Будь-яка сукупність простих чисел становить набір взаємно простих чисел, наприклад, 2, 3, 11, 19, 151, 293 і 677 – взаємно прості числа. А чотири числа 12 −9 900 і −72 не є взаємно простими, тому що вони мають позитивний спільний дільник 3 , відмінний від 1 . Числа 17 , 85 і 187 теж взаємно прості, оскільки кожне їх ділиться на 17 .

Зазвичай далеко не очевидно, деякі числа є взаємно простими, і цей факт доводиться доводити. Для з'ясування, чи є дані числа взаємно простими, доводиться знаходити найбільший спільний дільник цих чисел, і виходячи з визначення взаємно простих чисел робити висновок.

приклад.

Чи є числа 331, 463 і 733 взаємно простими?

Рішення.

Заглянувши до таблиці простих чисел, ми виявимо, що кожне з чисел 331, 463 та 733 – просте. Отже, мають єдиний позитивний спільний дільник – одиницю. Таким чином, три числа 331, 463 і 733 є взаємно простими числами.

Відповідь:

Так.

приклад.

Доведіть, що числа −14 , 105 , −2 107 та −91 не є взаємно простими.

Рішення.

Щоб довести, що ці числа не взаємно прості, можна знайти їх НОД і переконатися, що він не дорівнює одиниці. Так і вчинимо.

Оскільки дільники цілих негативних чисел збігаються з дільниками відповідних, то НОД(−14, 105, 2 107, −91)=НОД(14, 105, 2107, 91) . Звернувшись до матеріалу статті знаходження найбільшого загального дільника трьох і більшої кількості чисел, з'ясовуємо, що НОД (14, 105, 2107, 91) = 7 . Отже, найбільший загальний дільник вихідних чисел дорівнює семи, тому ці числа є взаємно простими.

Властивості взаємно простих чисел

Взаємно прості числа мають ряд властивостей. Розглянемо основні властивості взаємно простих чисел.

Числа, отримані при розподілі цілих чисел a і b на їх найбільший спільний дільник, є взаємно простими, тобто a: НОД (a, b) і b: НОД (a, b) – взаємно прості.

Цю властивість ми довели, коли розбирали властивості НОД.

Розглянута властивість взаємно простих чисел дозволяє знаходити пари взаємно простих чисел. Для цього достатньо взяти два будь-які цілі числа і розділити їх на найбільший спільний дільник, отримані числа будуть взаємно простими.

Для того, щоб цілі числа a і b були взаємно простими, необхідно і достатньо, щоб існували такі цілі числа u 0 і v 0 , що a u 0 +b v 0 =1 .

Доведемо спочатку необхідність.

Нехай числа a та b взаємно прості. Тоді визначення взаємно простих чисел НОД(a, b)=1 . З властивостей НОД ми знаємо, що з цілих чисел a і b правильне співвідношення Безу a·u 0 +b·v 0 =НОД(a, b) . Отже, a·u 0 +b·v 0 =1.

Залишилося довести достатність.

Нехай правильна рівність a·u 0 +b·v 0 =1. Оскільки НОД(a, b) ділить і a і b , то НОД(a, b) з властивостей ділимості повинен ділити суму a·u 0 +b·v 0 , отже, і одиницю. А це можливо тільки коли НОД (a, b) = 1. Отже, a та b – взаємно прості числа.

Наступна властивість взаємно простих чисел така: якщо числа a і b взаємно прості, і твір a c ділиться на b , то c ділиться на b .

Дійсно, оскільки a і b взаємно прості, то з попередньої властивості маємо рівність au 0 + b v 0 = 1 . Помноживши обидві частини цієї рівності на c, маємо a·c·u 0 +b·c·v 0 =c . Перше доданок суми a·c·u 0 +b·c·v 0 ділиться на b , тому що a·c ділиться на b за умовою, другий доданок цієї суми також ділиться на b , так як один з множників дорівнює b , отже, вся сума поділяється на b. Оскільки сума a·c·u 0 +b·c·v 0 дорівнює c , те й c ​​ділиться на b .

Якщо числа a і b взаємно прості, то НОД (a · c, b) = НОД (c, b).

Покажемо, по-перше, що НОД(a·c, b) ділить НОД(c, b) , а по-друге, що НОД(c, b) ділить НОД(a·c, b) , це і доводитиме рівність НОД (a · c, b) = НОД (c, b) .

НОД(a·c, b) ділить і a·c і b, а так як НОД(a·c, b) ділить b, то він також ділить і b·c. Тобто, НОД(a·c, b) ділить і a·c і b·c , отже, в силу властивостей найбільшого загального дільника він ділить і НОД(a·c, b·c) , який за властивостями НОД дорівнює c· НОД (a, b) = c. Таким чином, НОД(a·c, b) ділить і b і c, отже, ділить і НОД(c, b) .

З іншого боку, НОД(c, b) ділить і c і b, а так як він ділить з, також ділить і a·c. Таким чином, НОД(c, b) ділить і a c і b , отже, ділить і НОД (a c, b) .

Так показали, що НОД(a·c, b) і НОД(c, b) взаємно ділять одне одного, отже, вони рівні.

Якщо кожне з чисел a 1 , a 2 , …, ak взаємно просто з кожним із чисел b 1 , b 2 , …, b m (де k і m – деякі натуральні числа), то твори a 1 · a 2 · ... · a k і b 1 · b 2 · ... · b m є взаємно прості числа, зокрема, якщо a 1 = a 2 = ... = a k = a і b 1 = b 2 = …=b m =b , a k і b m – взаємно прості числа.

Попередня властивість взаємно простих чисел дозволяє нам записати низку рівностей виду НОД (a 1 · a 2 · ... · a k, b m) = НОД (a 2 · ... · a k, b m) = ... = НОД (a k, b m) = 1, де останній перехід можливий, оскільки a і b m взаємно прості числа за умовою. Отже, НОД (a 1 · a 2 · ... · a k, b m) = 1.

Тепер, позначивши a 1 · a 2 · ... · a k = A маємо
НОД(b 1 · b 2 · ... · b m, a 1 · a 2 · ... · a k) = НОД (b 1 · b 2 · ... · b m, A) =
= НОД (b 2 · ... · b m, A) = ... = НОД (b m, A) = 1
(останній перехід справедливий, внаслідок останньої рівності з попереднього абзацу). Так ми здобули рівність НОД(b 1 · b 2 · ... · b m, a 1 · a 2 · ... · a k) = 1, яке доводить, що твори a 1 · a 2 · ... · a k та b 1 · b 2 · ... · b m є взаємно простими числами.

У цьому закінчимо огляд основних властивостей взаємно простих чисел.

Попарно прості числа - визначення та приклади

Через взаємно прості числа дається визначення попарно простих чисел.

Визначення.

Цілі числа a 1 , a 2 , …, ak , кожне з яких взаємно просто з усіма іншими, називають попарно простими числами.

Наведемо приклад попарно простих чисел. Числа 14 , 9 , 17 , і −25 – попарно прості, оскільки пари чисел 14 та 9 , 14 та 17 , 14 та −25 , 9 та 17 , 9 та −25 , 17 та −25 являють собою взаємно прості числа. Тут же зауважимо, що прості попарно числа завжди є взаємно простими.

З іншого боку, взаємно прості числа які завжди є попарно простими, це підтверджує наступний приклад. Числа 8 , 16 , 5 і 15 є попарно простими, оскільки числа 8 і 16 не взаємно прості. Однак, числа 8, 16, 5 та 15 – взаємно прості. Отже, 8 , 16 , 5 і 15 – взаємно прості числа, але з попарно прості.

Слід особливо виділити сукупність певної кількості простих чисел. Ці числа є і взаємно простими і попарно простими. Наприклад, 71, 443, 857, 991 - і попарно прості, і взаємно прості числа.

Також зрозуміло, що коли йдетьсяпро два цілих числах, то їм поняття «попарно прості» і «взаємно прості» збігаються.

Список литературы.

• Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
• Виноградов І.М. Основи теорії чисел.
• Михелович Ш.Х. Теорія чисел.
• Куликов Л.Я. та ін. Збірник завдань з алгебри та теорії чисел: Навчальний посібникдля студентів фіз.-мат. спеціальностей педагогічних інститутів

 

Можливо, буде корисно почитати:

• Бухгалтер з розрахунку заробітної плати (розширений курс) Курси з розрахунку заробітної плати в 1с;
• НТГ – порушення толерантності до глюкози: причини прояву, симптоми та методи корекції;
• Римська імперія. Стародавній Рим. Римська імперія: прапор, герб, імператори, події Що виникло на місці римської імперії;
• До чого сниться, що хлопець кидає мене;
• Сир філадельфія Домашні рецепти сиру «Філадельфія»;
• Ворожіння на кавовій гущі значення півень;
• Кулемети Росії Калашніков - провідний післявоєнний розробник ссср;
• Гени мітохондріальної днк;