Як знайти площу трикутника. Довести чому дорівнює площа трикутника

Трикутник – добре знайома всім постать. І це, незважаючи на багате розмаїття його форм. Прямокутний, рівносторонній, гострокутний, рівнобедрений, тупокутний. Кожен із них чимось відрізняється. Але для кожного потрібно дізнаватися площу трикутника.

Загальні для всіх трикутників формули, в яких використовуються довжини сторін або висот

Позначення, прийняті в них: сторони - а, в, с; висоти на відповідні сторони н а, н в, н с.

1. Площа трикутника обчислюється, як добуток, сторони і висоти, опущеної на неї. S = ½ * а * н а. Аналогічно слід записати формули для двох інших сторін.

2. Формула Герона, у якій фігурує напівпериметр (його прийнято позначати маленькою літерою р, на відміну повного периметра). Напівпериметр необхідно порахувати так: скласти всі сторони і розділити їх на 2. Формула напівпериметра: р = (а + в + с) / 2. Тоді рівність для площі фігури виглядає так: S = √ (р * (р - а) * ( р - в) * (р - с)).

3. Якщо не хочеться використовувати напівпериметр, то стане в нагоді така формула, в якій присутні тільки довжини сторін: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в – с)). Вона трохи довша за попередню, але виручить, якщо забулося, як знаходити напівпериметр.

Загальні формули, у яких фігурують кути трикутника

Позначення, які потрібні для прочитання формул: α, β, γ – кути. Вони лежать навпроти сторони, в, з, відповідно.

1. По ній половина добутку двох сторін та синуса кута між ними дорівнює площі трикутника. Тобто: S = ½ а * до * sin γ. Так само слід записати формули для двох інших випадків.

2. Площа трикутника можна обчислити по одній стороні та трьом відомим кутам. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Існує ще формула з однією відомою стороною та двома прилеглими до неї кутами. Вона виглядає таким чином: S = з 2/(2 (ctg α + ctg β)).

Дві останні формули є не найпростішими. Запам'ятати їх досить складно.


Загальні формули для ситуації, коли відомі радіуси вписаних чи описаних кіл

Додаткові позначення: r, R – радіуси. Перший використовується для радіусу вписаного кола. Другий – для описаної.

1. Перша формула, за якою обчислюється площа трикутника, пов'язана із напівпериметром. S = р*r. Інакше її можна записати так: S = ½ r * (а + + с).

2. У другому випадку потрібно перемножити всі сторони трикутника і розділити їх на чотиризначний радіус описаного кола. У буквеному виразі це виглядає так: S = (а * в * с) / (4R).

3. Третя ситуація дозволяє обійтися без знання сторін, але знадобляться значення всіх трьох кутів. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Частковий випадок: прямокутний трикутник

Це найпростіша ситуація, оскільки потрібне знання лише довжини обох катетів. Вони позначаються латинськими літерами а і в. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині площі добудованого щодо нього прямокутника.

Математично це має такий вигляд: S = ½ а * в. Вона запам'ятовується найпростіше. Тому що виглядає як формула для площі прямокутника, тільки з'являється ще дріб, що означає половину.

Частковий випадок: рівнобедрений трикутник

Оскільки в нього дві сторони рівні, деякі формули для його площі виглядають дещо спрощеними. Наприклад, формула Герона, за якою обчислюється площа рівнобедреного трикутника, набуває такого вигляду:

S = ½ в √((a + ½ в)*(a - ½ в)).

Якщо її перетворити, то вона стане коротшою. У такому разі формула Герона для рівнобедреного трикутника записується так:

S = ¼ в √ (4 * a 2 - b 2).

Дещо простіше, ніж для довільного трикутника, виглядає формула площі, якщо відомі бічні сторонита кут між ними. S = ½ a 2 * sin β.

Окремий випадок: рівносторонній трикутник

Зазвичай у завданнях про нього відома сторона або її можна дізнатися. Тоді формула, за якою знаходиться площа такого трикутника, виглядає так:

S = (а 2 √3)/4.


Завдання на знаходження площі, якщо трикутник зображений на папері.

Найпростішою є ситуація, коли прямокутний трикутник накреслено так, що його катети збігаються з лініями паперу. Тоді потрібно просто порахувати кількість клітин, що укладаються в катети. Потім перемножити їх і поділити на два.

Коли трикутник є гострокутним або тупокутним, його потрібно домалювати до прямокутника. Тоді в фігурі, що вийшла, буде 3 трикутники. Один - той, що дано в задачі. А два інші — допоміжні та прямокутні. Визначити площі двох останніх потрібно за описаним вище способом. Потім порахувати площу прямокутника і відняти від нього ті, що обчислені для допоміжних. Площу трикутника визначено.

Набагато складнішою є ситуація, в якій жодна зі сторін трикутника не збігається з лініями паперу. Тоді його потрібно вписати у прямокутник так, щоб вершини вихідної фігури лежали на його сторонах. В цьому випадку допоміжних прямокутних трикутників буде три.


Приклад завдання на формулу Герона

Умови. У деякого трикутника відомі сторони. Вони дорівнюють 3, 5 і 6 см. Необхідно дізнатися про його площу.

Тепер можна обчислювати площу трикутника за зазначеною вище формулою. Під квадратним коренем виявляється добуток чотирьох чисел: 7, 4, 2 і 1. Тобто площа дорівнює √(4 * 14) = 2 √(14).

Якщо не потрібна велика точність, то можна витягти квадратний корінь із 14. Він дорівнює 3,74. Тоді площа дорівнюватиме 7,48.

Відповідь. S = 2√14 см 2 або 7,48 см 2 .

Приклад задачі із прямокутним трикутником

Умови. Один катет прямокутного трикутника більший, ніж другий на 31 см. Потрібно дізнатися про їх довжину, якщо площа трикутника дорівнює 180 см 2 .
Рішення. Прийде вирішити систему з двох рівнянь. Перше пов'язане із площею. Друге — із ставленням катетів, яке дано у завданні.
180 = ½ а * в;

а = + 31.
Спочатку значення «а» слід підставити на перше рівняння. Вийде: 180 = ½ (в + 31) * ст. У ньому лише одна невідома величина, тому його легко вирішити. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: 2 + 31 - 360 = 0. Воно дає два значення для «в»: 9 і - 40. друге число не підходить як відповідь, так як довжина сторони трикутника не може бути негативною величиною.

Залишилося обчислити другий катет: додати до отриманого числа 31. Виходить 40. Це шукані завдання величини.

Відповідь. Катети трикутника дорівнюють 9 і 40 см.

Завдання на знаходження сторони через площу, бік та кут трикутника

Умови. Площа деякого трикутника 60 см2. Необхідно обчислити одну з сторін, якщо друга сторона дорівнює 15 см, а кут між ними дорівнює 30º.

Рішення. З прийнятих позначень, шукана сторона «а», відома «в», заданий кут “γ”. Тоді формулу площі можна переписати так:

60 = ½ а * 15 * sin 30 º. Тут синус 30 градусів дорівнює 0,5.

Після перетворень «а» виявляється рівним 60/(0,5*0,5*15). Тобто 16.

Відповідь. Потрібна сторона дорівнює 16 см.

Завдання про квадрат, вписаний у прямокутний трикутник

Умови. Вершина квадрата зі стороною 24 см збігається із прямим кутом трикутника. Дві інші лежать на катетах. Третя належить гіпотенузі. Довжина одного з катетів дорівнює 42 см. Чому дорівнює площа прямокутного трикутника?

Рішення. Розглянемо два прямокутні трикутники. Перший - заданий у завданні. Другий – спирається на відомий катет вихідного трикутника. Вони подібні, тому що мають загальний кут та утворені паралельними прямими.

Тоді відносини їхніх катетів рівні. Катети меншого трикутника дорівнюють 24 см (сторона квадрата) і 18 см (заданий катет 42 см відняти сторону квадрата 24 см). Відповідні катети великого трикутника — 42 см та х см. Саме цей «х» потрібен для того, щоб обчислити площу трикутника.

18/42 = 24/х, тобто х = 24*42/18 = 56 (см).

Тоді площа дорівнює творам 56 і 42, поділеному на два, тобто 1176 см 2 .

Відповідь. Шукана площа дорівнює 1176 см 2 .

Площа трикутника дорівнює половині від твору його сторони на висоту, проведену до цієї сторони. Сторону, до якої проведено висоту, прийнято в такому разі називати основою. Таким чином, можна сказати, що площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту.

Якщо позначити довжину сторони-основи трикутника як a, висоту - як h, то вийде формула площі трикутника:

Щоб довести цю формулу, слід розглянути всі варіанти розташування висоти трикутнику. Їх лише три. Це:

  1. Висота збігається з однією із сторін трикутника. У цьому випадку ми маємо справу з прямокутним трикутником, у якому за основу взято один із катетів. Висотою, проведеною до цього катету, є інший катет.
  2. Висота знаходиться усередині трикутника. У цьому випадку вона перетинається з основою і ділить її на два відрізки. При цьому цей трикутник ділиться на два прямокутні трикутники.
  3. Висота проходить поза трикутника. У такому разі вона перетинається не з самою основою, а з його продовженням (прямий, на якій лежить основа).

Розглянемо перший випадок. Нехай дано трикутник ABC. У ньому до основи AC довжиною a проведена висота h , яка збіглася зі стороною BC:

Як відомо площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін. Якби у нас був прямокутник зі сторонами, довжини яких a і h, то його площа дорівнювала ah. Якщо в прямокутнику провести діагональ, то вона розбиває його на два рівні прямокутні трикутники (у них відповідно рівні всі три сторони). Площа цих трикутників також рівні між собою і кожна становить ½ від площі всього прямокутника. Таким чином доведено, що площа трикутника в даному випадкудорівнюватиме ½ah.

Розглянемо другий випадок. Нехай у ньому висота BH довжиною h перетинає сторону AC довжиною a .

У цьому випадку ми отримуємо два прямокутні трикутники: ABH та CBH. З розглянутого першого випадку ми знаємо, що їхні площі рівні відповідно ½ · AH · h та ½ · CH · h.

Площа всього трикутника ABC являє собою суму цих двох площ:

S = ½ · AH · h + ½ · CH · h

Винесемо за дужку спільні множники:

S = ½ · h · (AH + CH)

Але AH і CH у сумі становлять довжину a. Таким чином, приходимо до формули, яку потрібно довести:

S = ½ · h · a

Тепер розглянемо третій випадок, коли висота знаходиться за межами трикутника:

Тут ми теж можемо побачити два прямокутні трикутники. Це ∆ABH та ∆CBH. Причому перший включає другий. Шуканий трикутник ABC є доповненням до трикутника CBH до трикутника ABH. Таким чином ми можемо записати, що площа ∆ABH дорівнює сумі площ ∆CBH та ∆ABC:

S ∆ABH = S ∆CBH + S ∆ABC

Звідки знаходимо площу шуканого трикутника ABC:

S ∆ABC = S ∆ABH – S ∆CBH

Площа трикутника ABH дорівнює ½ · AH · h, площа трикутника CBH дорівнює ½ · CH · h:

S ∆ABC = ½ · AH · h - ½ · CH · h

Виносимо спільні множники за дужку:

S ∆ABC = ½ · h · (AH - CH)

Але якщо з відрізка AH відняти відрізок CH, то вийде відрізок AC, довжина якого дорівнює a. Отже, ми можемо записати, що й у разі площа трикутника дорівнює також ½ ah.

Щоб визначити площу трикутника, можна скористатися різними формулами. З усіх способів найлегший і найчастіше застосовуваний - це множення висоти на довжину основи з наступним розподілом отриманого результату на два. Однак цей метод далеко не єдиний. Нижче ви зможете прочитати, як знайти площу трикутника, використовуючи різні формули.

Окремо ми розглянемо способи обчислення площі специфічних видів трикутника – прямокутного, рівнобедреного та рівностороннього. Кожну формулу ми супроводжуємо коротким поясненням, яке допоможе зрозуміти її суть.

Універсальні способи знаходження площі трикутника

У наведених нижче формулах використовуються спеціальні позначення. Ми розшифруємо кожне з них:

  • a, b, c – довжини трьох сторін розглянутої нами фігури;
  • r – радіус кола, яке може бути вписано в наш трикутник;
  • R – радіус того кола, яке може бути описано навколо нього;
  • α - величина кута, утвореного сторонами b та с;
  • β - величина кута між a та c;
  • γ - величина кута, утвореного сторонами а та b;
  • h – висота нашого трикутника, опущена з кута на сторону а;
  • p – половина суми сторін a, b та с.

Логічно зрозуміло, чому можна знаходити площу трикутника цим способом. Трикутник легко добудовується до паралелограма, в якому одна сторона трикутника виконуватиме роль діагоналі. Площа паралелограма знаходиться множенням довжини однієї з сторін на значення висоти, проведеної до неї. Діагональ поділяє цей умовний паралелограм на 2 однакові трикутники. Отже, цілком очевидно, що площа нашого вихідного трикутника має дорівнювати половині площі цього допоміжного паралелограма.

S = ½ a · b · sin γ

Відповідно до цієї формули, площа трикутника знаходиться множенням довжин двох сторін, тобто а і b, на синус утвореного ними кута. Ця формула логічно виводиться із попередньої. Якщо опустити висоту з кута β на бік b, то, згідно з властивостями прямокутного трикутника, при множенні довжини сторони на синус кута γ отримуємо висоту трикутника, тобто h.

Площа розглянутої фігури знаходимо шляхом множення половини радіусу кола, яке в нього можна вписати, на його периметр. Іншими словами, знаходимо твір напівпериметра на радіус згаданого кола.

S = a · b · с/4R

Згідно з цією формулою, необхідну нам величину можна знайти шляхом поділу твору сторін фігури на 4 радіуси кола навколо неї описаної.

Ці формули універсальні, оскільки дозволяють визначити площу будь-якого трикутника (різностороннього, рівнобедреного, рівностороннього, прямокутного). Можна це зробити і за допомогою складніших обчислень, на яких ми докладно зупинятися не станемо.

Площі трикутників зі специфічними властивостями


Як знайти площу прямокутного трикутника? Особливістю цієї постаті є те, що дві її сторони одночасно є її висотами. Якщо а і b є катетами, а з стає гіпотенузою, то площу знаходимо так:

Як знайти площу рівнобедреного трикутника? У ньому дві сторони з довжиною і одна сторона з довжиною b. Отже, його площу визначити можна шляхом поділу на 2 твори квадрата сторони, а на синус кута γ.

Як знайти площу рівностороннього трикутника? У ньому довжина всіх сторін дорівнює а, а величина всіх кутів -? Його висота дорівнює половині добутку довжини сторони на корінь квадратний з 3. Щоб знайти площу правильного трикутника, потрібно квадрат сторони а помножити на корінь квадратний з 3 і розділити на 4.

Площа трикутника. У багатьох завданнях з геометрії пов'язані з обчисленням площ, зокрема завданнях на ЄДІ, використовуються формули площі трикутника. Їх є кілька, тут ми розглянемо основні.

Перераховувати ці формули було б надто просто, цього добра і так вистачає у довідниках та на різних сайтах. Мені хотілося б донести суть деяких із них. Після вивчення матеріалу статті ви зрозумієте, що всі формули вчити не потрібно, їх треба розуміти.

Ви легко зможете відновити в пам'яті, якщо раптом вони «вилетять» в потрібний момент. Отже, спочатку розглянемо паралелограм. Визначення свідчить:



Чому так? Все просто! Щоб показати наочно сенс формули, виконаємо деякі додаткові побудови:

Площа трикутника (2) дорівнює площі трикутника (1), подумки «відріжемо» другий і перенесемо його наклавши на перший, отримаємо прямокутник, площа якого дорівнює площі вихідного паралелограма:



Площа прямокутника, як відомо, дорівнює добутку його сусідніх сторін. Як видно з ескізу, одна сторона отриманого прямокутника дорівнює стороні паралелограма, а інша його висоті, проведеній до цієї сторони. Тому й одержуємо формулу площі паралелограма S = a∙h a

Продовжимо ще одну формулу його площі. Маємо:

Виразимо висоту h a в прямокутному трикутникуде b є гіпотенузою:



Підставляємо h a у формулу площі, отримуємо:



З паралелограмом розібралися. Перейдемо до трикутника.

Площа трикутника. Шість формул!

Перша формула

Діагональ паралелограма розбиває його на два рівні за площею трикутника:



Отже площа трикутника дорівнюватиме половині площі паралелограма:



*Тобто якщо нам буде відома будь-яка сторона трикутника і висота опущена на цю сторону, то ми завжди зможемо обчислити площу цього трикутника.

Формула друга

Як вже сказано формула площі паралелограма має вигляд:

Площа трикутника дорівнює половині його площі, отже :



* Тобто якщо будуть відомі будь-які дві сторони у трикутнику та кут між ними, ми завжди зможемо обчислити площу такого трикутника.

Формула Герона (третя)

Цю формулу виводити складно і вам це ні до чого. Подивіться, яка вона красива, можна сказати, що сама запам'ятовується.

*Якщо дані три сторони трикутника, то за даною формулою ми завжди можемо обчислити його площу.

Формула четверта

де r- Радіус вписаного кола

*Якщо відомі три сторони трикутника і радіус вписаного в нього кола, то ми завжди можемо знайти площу цього трикутника.

Формула п'ята

де R- Радіус описаного кола.

*Якщо відомі три сторони трикутника та радіус описаного біля нього кола, то ми завжди можемо знайти площу такого трикутника.

Виникає питання: якщо відомі три сторони трикутника, то чи не простіше його площу знайти за формулою Герона!

Так, буває простіше, але не завжди, іноді виникає складність. Це з вилученням кореня. Крім того, дані формули дуже зручно застосовувати в задачах, де дана площа трикутника, його сторони і потрібно знайти радіус вписаного або описаного кола. Такі завдання є у складі ЄДІ.



 

Можливо, буде корисно почитати: