Об'єм меншого конуса. Об'єм конуса
Щоб знайти обсяг конуса, необхідно зробити додаткові побудови.
Побудуємо вписану в конус правильну n-вугільну піраміду і опишемо навколо цього конуса правильну n-вугільну піраміду.
Вписана піраміда міститься у конусі. З цього випливає, що її обсяг не більший за обсяг конуса.
Описана піраміда містить конус, а це означає, що її обсяг не менший за обсяг конуса.
Впишемо в основу вписаної піраміди коло.
Якщо радіус вписаного правильного n -кутника дорівнює R , то радіус вписаного в нього кола дорівнюватиме:
Обсяг вписаної піраміди обчислюється за такою формулою:
де S - основа піраміди.
Площа основи вписаної піраміди не менше площі кола, що міститься в ній
Тому твердження, що обсяг вписаної в конус піраміди не менший вірно.
Отже, ми можемо стверджувати, що обсяг конуса, що містить цю піраміду, буде більшим або дорівнює
V≥
Тепер опишемо коло навколо основи описаної навколо конуса піраміди.
Радіус цього кола дорівнюватиме:
Площа даного кола обчислюється за такою формулою:
Основа описаної піраміди міститься в колі, описаному навколо нього. Тому площа основи піраміди не більше
Тому твердження, що обсяг описаної піраміди не більше вірний.
Отже, ми можемо стверджувати, що обсяг конуса, що містить у цю піраміду буде меншим або дорівнює
Дві отримані нерівності рівні за будь-якого n . Якщо то
Тоді з першої нерівності випливає, що V≥
З другої нерівності
Якщо прямокутний трикутник обертатиме навколо одного його катета, то вийде геометричне тіло, яке вважається конусом обертання або прямим круговим конусом. Конус обмежений основою та бічною поверхнею. В основі конуса знаходиться коло, радіус якого дорівнює величині другого катета. Пряма, проведена перпендикулярно від вершини конуса до основи, його висотою. Об'єм конуса обчислюється за кількома формулами. 1-й спосіб передбачає визначення обсягу конуса, коли відомі висота та площа його основи, за формулою:
площу основи позначимо через S;
висоту конуса через H.
Величина обсягу конуса розраховується як добуток висоти конуса на площу його основи та поділений на 3.
За допомогою онлайн калькулятораможна швидко і правильно розрахувати обсяг конуса будь-яким із наведених вище способів.
Розрахунок обсягу конуса через площу основи
Другий спосіб пропонує розрахунок обсягу конуса за величиною його радіусу за формулою:
r - радіус конуса;
h – висота.
Величина об'єму конуса обчислюється як одна третина добутку квадрата радіусу основи на висоту та число пі, що дорівнює 3,1415...
Дісталися конусів і циліндрів. Ще окрім тих, що вже опубліковані, буде близько дев'яти статей, розглянемо всі типи завдань. Якщо протягом року у відкритий банкдодаватимуться нові завдання, звичайно ж, вони також будуть розміщені на блозі. У цій статті наведено кілька прикладів, пов'язаних з обчисленням обсягу. Мало знати формулу об'єму конуса, до речі:
Можемо записати:
Потрібно ще розуміти, як співвідносяться обсяги подібних тіл. Саме розуміти, а не просто вивчити формулу. Ось вона сама:
Тобто, якщо ми збільшимо (зменшимо) лінійні розміри тіла в k разів, то відношення обсягу отриманого тіла до обсягу вихідного буде до 3 .
ЗВЕРНІТЬ УВАГУ! Не важливо, як ви позначите об'єми:
Справа в тому, що в процесі розв'язання задач при розгляді подібних тіл, у деяких може виникати плутанина з коефіцієнтом k. Може постати питання – Чому він дорівнює?
(Залежно від величини зазначеної в умові)
Все залежить від того, з якого боку подивитися. Важливо розуміти ось що! Розглянемо з прикладу – дано куб, ребро другого куба втричі більше:
У даному випадку, Коефіцієнт подібності дорівнює трьом (ребро збільшено в три рази), а значить співвідношення буде виглядати наступним чином:
Тобто обсяг отриманого (більшого) куба буде у 27 разів більшим.
Можна побачити з іншого боку.
Даний куб, ребро другого куба втричі менше:
Коефіцієнт подібності дорівнює одній третині (зменшення ребра в три рази), а значить співвідношення виглядатиме:
Тобто обсяг отриманого куба буде у 27 разів меншим.
Висновок! Неважливі індекси при позначенні обсягів, важливо розуміти, як тіла розглядаються щодо один одного.
Зрозуміло, що:
- Якщо вихідне тіло збільшується, то коефіцієнт буде більше одиниці.
— якщо вихідне тіло зменшується, то коефіцієнт буде менше одиниці.
Про відносини обсягів можна сказати:
— якщо завдання будемо ділити обсяг більшого тіла на менший, то отримаємо куб коефіцієнта подібності, причому сам коефіцієнт вийде більше одиниці.
- Якщо ділитимемо обсяг меншого тіла на більший, то отримаємо куб коефіцієнта подібності, причому сам коефіцієнт вийде менше одиниці.
Найголовніше це запам'ятати – що коли йдеться про ОБСЯГИ подібних тіл, то коефіцієнт подібності має третій ступінь, а не другий, як у випадку з площами.
Ще один момент, що стосується.
В умові є таке поняття як утворює конуса. Це відрізок, що з'єднує вершину конуса з точками кола основи (на малюнку позначений буквою L).
Тут варто зазначити, що розбирати завдання ми будемо лише з прямим конусом (далі просто конус). Утворюють біля прямого конуса рівні.
Розглянемо завдання:
72353. Об'єм конуса дорівнює 10. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.
Відразу відзначимо, що вихідний і відтятий конус подібні і якщо розглядати відтятий конус щодо вихідного, то можна сказати так: менший конус подібний до більшого з коефіцієнтом рівним однієї другої або 0,5. Можемо записати:
Можна було записати:
Можна було так розсудити!
Розглянемо вихідний конус щодо відсіченого. Можна сказати – більший конус подібний до відсіченого з коефіцієнтом рівним двом, запишемо:
Тепер перегляньте рішення без використання властивостей подібності.
Обсяг конуса дорівнює одній третині твору площі його основи та висоти:
Розглянемо бічну проекцію (вид збоку) із зазначеним перетином:
Нехай радіус більшого конуса дорівнює R, висота дорівнює Н. Перетин (основа меншого конуса) проходить через середину висоти, значить його висота дорівнюватиме Н/2. А радіус основи дорівнює R/2, це випливає з подоби трикутників.
Запишемо обсяг вихідного конуса:
Об'єм відсіченого конуса дорівнюватиме:
Настільки докладні рішенняпредставлені для того, щоб ви бачили як можна побудувати міркування. Дійте будь-яким способом – головне, щоб ви розуміли суть рішення. Нехай шлях, який ви обрали буде не раціональний, важливий результат (правильний результат).
Відповідь: 1,25
318145. У посудині, що має форму конуса, рівень рідини досягає половини висоти. Об'єм рідини дорівнює 70 мл. Скільки мілілітрів рідини потрібно долити, щоб повністю наповнити посудину?
Це завдання схоже на попередню. Хоч мова тут і йде про рідину, принцип рішення той самий.
Маємо два конуси - це сама судина і "малий" конус (наповнений рідиною), вони є подібними. Відомо, що обсяги подібних тіл співвідносяться таким чином:
Вихідний конус (посудина) подібний до конуса наповненого рідиною з коефіцієнтом рівним 2, так як сказано, що рівень рідини досягає половину висоти. Можна записати докладніше:
Обчислюємо:
Таким чином, долити потрібно:
Відповідь: 490
Інші завдання з рідинами.
74257. Знайдіть об'єм V конуса, що утворює якого дорівнює 44 і нахилена до площини основи під кутом 30 0 . У відповіді вкажіть V/Пі.
Об'єм конуса:
Висоту конуса знайдемо за якістю прямокутного трикутника.
Катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Гіпотенуза, у разі, є утворює конуса. Отже, висота конуса дорівнює 22.
Квадрат радіуса основи знайдемо за теоремою Піфагора:
*Нам потрібен квадрат радіусу, а не сам радіус.
Тоді обсяг дорівнюватиме:
Куля, обсяг якої дорівнює 8π, вписаний у куб. Знайдіть об'єм куба.
Рішення
Нехай a – це сторона куба. Тоді обсяг куба дорівнює V = a3.
Оскільки куля вписаний куб, то радіус кулі дорівнює половині ребра куба, тобто R = a/2 (див. рис.).
Об'єм кулі дорівнює V ш = (4/3)πR 3 і дорівнює 8π, тому
(4/3)πR 3 = 8π,
А об'єм куба дорівнює V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8 * 6 = 48.
Завдання B9 (Типові варіанти 2015)
Об'єм конуса дорівнює 32. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.
Рішення
Об'єм більшого конуса дорівнює V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32.
Об'єм меншого конуса дорівнює V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π(OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .
Значить, обсяг меншого конуса в 8 разів менший і дорівнює 4.
Завдання B9 (Типові варіанти 2015)
Об'єм конуса дорівнює 40. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.
Рішення
Так як переріз проведено через середину висоти конуса, то AP = 1/2 AO та PK = 1/2 OB. Тобто висота та радіус меншого конуса в 2 рази менше відповідно висоти та радіуса більшого конуса.
Об'єм більшого конуса дорівнює V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 40.
Об'єм меншого конуса дорівнює V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π(OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .
Серед різноманіття геометричних тіл одним із найцікавіших є конус. Утворюється він шляхом обертання прямокутного трикутника навколо одного зі своїх катетів.
Як знайти обсяг конуса - основні поняття
Перед початком обчислення обсягу конуса варто ознайомитися з основними поняттями.
- Круговий конус – основою такого конуса є коло. Якщо в основі лежить еліпс, парабола чи гіпербола, то фігури називаються еліптичним, параболічним чи гіперболічним конусом. Варто пам'ятати, що два останні види конуса мають нескінченний об'єм.
- Усічений конус – частина конуса, розташована між основою і площиною, паралельною цій підставі, що знаходиться між вершиною та основою.
- Висота – перпендикулярний до основи відрізок, випущений з вершини.
- Утворююча конуса – відрізок, що з'єднує межу основи та вершину.
Об'єм конуса
Для розрахунку обсягу конуса застосовується формула V=1/3*S*H, де S – площа основи, H – висота. Оскільки основа конуса – коло, його площа перебуває у формулі S= nR^2, де n = 3,14, R – радіус кола.
Буває ситуація, коли невідомі якісь із параметрів: висота, радіус чи твірна. У такому разі варто вдатися до теореми Піфагора. Осьовим перетином конуса є рівнобедрений трикутник, що складається з двох прямокутний трикутник, де l – гіпотенуза, а H та R – катети. Тоді l=(H^2+R^2)^1/2.
Об'єм усіченого конуса
Усічений конус є конус з обрізаною верхівкою.
Щоб знайти обсяг такого конуса знадобиться формула:
V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),
де n=3.14, r – радіус кола перерізу, R – радіус великої основи, H – висота.
Осьовим перетином усіченого конуса буде рівнобедрена трапеція. Тому, якщо необхідно знайти довжину утворює конуса або радіуса одного з кіл, варто застосовувати формули для знаходження бічних сторін і основ трапеції.
Знайти об'єм конуса, якщо його висота дорівнює 8 см, радіус основи 3 см.
Дано: H=8 див, R=3 див.
Спочатку знайдемо площу основи, застосувавши формулу S=nR^2.
S=3.14*3^2=28.26 см^2
Тепер за формулою V=1/3*S*H знаходимо об'єм конуса.
V=1/3*28.26*8=75.36 см^3
Фігури у формі конуса зустрічаються всюди: паркувальні конуси, башти будов, абажур світильника. Тому знання, як знайти обсяг конуса, часом може стати у нагоді як у професійному, так і в повсякденному житті.
Можливо, буде корисно почитати:
- Бухгалтер з розрахунку заробітної плати (розширений курс) Курси з розрахунку заробітної плати в 1с;
- НТГ – порушення толерантності до глюкози: причини прояву, симптоми та методи корекції;
- Римська імперія. Стародавній Рим. Римська імперія: прапор, герб, імператори, події Що виникло на місці римської імперії;
- До чого сниться, що хлопець кидає мене;
- Сир філадельфія Домашні рецепти сиру «Філадельфія»;
- Ворожіння на кавовій гущі значення півень;
- Кулемети Росії Калашніков - провідний післявоєнний розробник ссср;
- Гени мітохондріальної днк;