Об'єм меншого конуса. Об'єм конуса

Щоб знайти обсяг конуса, необхідно зробити додаткові побудови.

Побудуємо вписану в конус правильну n-вугільну піраміду і опишемо навколо цього конуса правильну n-вугільну піраміду.
Вписана піраміда міститься у конусі. З цього випливає, що її обсяг не більший за обсяг конуса.
Описана піраміда містить конус, а це означає, що її обсяг не менший за обсяг конуса.

Впишемо в основу вписаної піраміди коло.
Якщо радіус вписаного правильного n -кутника дорівнює R , то радіус вписаного в нього кола дорівнюватиме:


Обсяг вписаної піраміди обчислюється за такою формулою:

де S - основа піраміди.

Площа основи вписаної піраміди не менше площі кола, що міститься в ній
Тому твердження, що обсяг вписаної в конус піраміди не менший вірно.
Отже, ми можемо стверджувати, що обсяг конуса, що містить цю піраміду, буде більшим або дорівнює
V≥

Тепер опишемо коло навколо основи описаної навколо конуса піраміди.
Радіус цього кола дорівнюватиме:

Площа даного кола обчислюється за такою формулою:
Основа описаної піраміди міститься в колі, описаному навколо нього. Тому площа основи піраміди не більше
Тому твердження, що обсяг описаної піраміди не більше вірний.
Отже, ми можемо стверджувати, що обсяг конуса, що містить у цю піраміду буде меншим або дорівнює

Дві отримані нерівності рівні за будь-якого n . Якщо то
Тоді з першої нерівності випливає, що V≥
З другої нерівності

Якщо прямокутний трикутник обертатиме навколо одного його катета, то вийде геометричне тіло, яке вважається конусом обертання або прямим круговим конусом. Конус обмежений основою та бічною поверхнею. В основі конуса знаходиться коло, радіус якого дорівнює величині другого катета. Пряма, проведена перпендикулярно від вершини конуса до основи, його висотою. Об'єм конуса обчислюється за кількома формулами. 1-й спосіб передбачає визначення обсягу конуса, коли відомі висота та площа його основи, за формулою:

площу основи позначимо через S;
висоту конуса через H.

Величина обсягу конуса розраховується як добуток висоти конуса на площу його основи та поділений на 3.

За допомогою онлайн калькулятораможна швидко і правильно розрахувати обсяг конуса будь-яким із наведених вище способів.

Розрахунок обсягу конуса через площу основи

Другий спосіб пропонує розрахунок обсягу конуса за величиною його радіусу за формулою:


r - радіус конуса;
h – висота.

Величина об'єму конуса обчислюється як одна третина добутку квадрата радіусу основи на висоту та число пі, що дорівнює 3,1415...

Дісталися конусів і циліндрів. Ще окрім тих, що вже опубліковані, буде близько дев'яти статей, розглянемо всі типи завдань. Якщо протягом року у відкритий банкдодаватимуться нові завдання, звичайно ж, вони також будуть розміщені на блозі. У цій статті наведено кілька прикладів, пов'язаних з обчисленням обсягу. Мало знати формулу об'єму конуса, до речі:

Можемо записати:

Потрібно ще розуміти, як співвідносяться обсяги подібних тіл. Саме розуміти, а не просто вивчити формулу. Ось вона сама:



Тобто, якщо ми збільшимо (зменшимо) лінійні розміри тіла в k разів, то відношення обсягу отриманого тіла до обсягу вихідного буде до 3 .

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ! Не важливо, як ви позначите об'єми:

Справа в тому, що в процесі розв'язання задач при розгляді подібних тіл, у деяких може виникати плутанина з коефіцієнтом k. Може постати питання – Чому він дорівнює?

(Залежно від величини зазначеної в умові)

Все залежить від того, з якого боку подивитися. Важливо розуміти ось що! Розглянемо з прикладу – дано куб, ребро другого куба втричі більше:

У даному випадку, Коефіцієнт подібності дорівнює трьом (ребро збільшено в три рази), а значить співвідношення буде виглядати наступним чином:

Тобто обсяг отриманого (більшого) куба буде у 27 разів більшим.

Можна побачити з іншого боку.

Даний куб, ребро другого куба втричі менше:

Коефіцієнт подібності дорівнює одній третині (зменшення ребра в три рази), а значить співвідношення виглядатиме:

Тобто обсяг отриманого куба буде у 27 разів меншим.

Висновок! Неважливі індекси при позначенні обсягів, важливо розуміти, як тіла розглядаються щодо один одного.

Зрозуміло, що:

- Якщо вихідне тіло збільшується, то коефіцієнт буде більше одиниці.

— якщо вихідне тіло зменшується, то коефіцієнт буде менше одиниці.

Про відносини обсягів можна сказати:

— якщо завдання будемо ділити обсяг більшого тіла на менший, то отримаємо куб коефіцієнта подібності, причому сам коефіцієнт вийде більше одиниці.

- Якщо ділитимемо обсяг меншого тіла на більший, то отримаємо куб коефіцієнта подібності, причому сам коефіцієнт вийде менше одиниці.

Найголовніше це запам'ятати – що коли йдеться про ОБСЯГИ подібних тіл, то коефіцієнт подібності має третій ступінь, а не другий, як у випадку з площами.

Ще один момент, що стосується.

В умові є таке поняття як утворює конуса. Це відрізок, що з'єднує вершину конуса з точками кола основи (на малюнку позначений буквою L).

Тут варто зазначити, що розбирати завдання ми будемо лише з прямим конусом (далі просто конус). Утворюють біля прямого конуса рівні.

Розглянемо завдання:

72353. Об'єм конуса дорівнює 10. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

Відразу відзначимо, що вихідний і відтятий конус подібні і якщо розглядати відтятий конус щодо вихідного, то можна сказати так: менший конус подібний до більшого з коефіцієнтом рівним однієї другої або 0,5. Можемо записати:

Можна було записати:

Можна було так розсудити!

Розглянемо вихідний конус щодо відсіченого. Можна сказати – більший конус подібний до відсіченого з коефіцієнтом рівним двом, запишемо:

Тепер перегляньте рішення без використання властивостей подібності.

Обсяг конуса дорівнює одній третині твору площі його основи та висоти:

Розглянемо бічну проекцію (вид збоку) із зазначеним перетином:

Нехай радіус більшого конуса дорівнює R, висота дорівнює Н. Перетин (основа меншого конуса) проходить через середину висоти, значить його висота дорівнюватиме Н/2. А радіус основи дорівнює R/2, це випливає з подоби трикутників.

Запишемо обсяг вихідного конуса:

Об'єм відсіченого конуса дорівнюватиме:

Настільки докладні рішенняпредставлені для того, щоб ви бачили як можна побудувати міркування. Дійте будь-яким способом – головне, щоб ви розуміли суть рішення. Нехай шлях, який ви обрали буде не раціональний, важливий результат (правильний результат).

Відповідь: 1,25

318145. У посудині, що має форму конуса, рівень рідини досягає половини висоти. Об'єм рідини дорівнює 70 мл. Скільки мілілітрів рідини потрібно долити, щоб повністю наповнити посудину?

Це завдання схоже на попередню. Хоч мова тут і йде про рідину, принцип рішення той самий.

Маємо два конуси - це сама судина і "малий" конус (наповнений рідиною), вони є подібними. Відомо, що обсяги подібних тіл співвідносяться таким чином:

Вихідний конус (посудина) подібний до конуса наповненого рідиною з коефіцієнтом рівним 2, так як сказано, що рівень рідини досягає половину висоти. Можна записати докладніше:

Обчислюємо:

Таким чином, долити потрібно:

Відповідь: 490

Інші завдання з рідинами.

74257. Знайдіть об'єм V конуса, що утворює якого дорівнює 44 і нахилена до площини основи під кутом 30 0 . У відповіді вкажіть V/Пі.

Об'єм конуса:

Висоту конуса знайдемо за якістю прямокутного трикутника.

Катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Гіпотенуза, у разі, є утворює конуса. Отже, висота конуса дорівнює 22.

Квадрат радіуса основи знайдемо за теоремою Піфагора:

*Нам потрібен квадрат радіусу, а не сам радіус.

Тоді обсяг дорівнюватиме:

Куля, обсяг якої дорівнює 8π, вписаний у куб. Знайдіть об'єм куба.

Рішення

Нехай a – це сторона куба. Тоді обсяг куба дорівнює V = a3.

Оскільки куля вписаний куб, то радіус кулі дорівнює половині ребра куба, тобто R = a/2 (див. рис.).

Об'єм кулі дорівнює V ш = (4/3)πR 3 і дорівнює 8π, тому

(4/3)πR 3 = 8π,

А об'єм куба дорівнює V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8 * 6 = 48.

Завдання B9 (Типові варіанти 2015)

Об'єм конуса дорівнює 32. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

Рішення

Об'єм більшого конуса дорівнює V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 32.

Об'єм меншого конуса дорівнює V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π(OB) 2 *AO*1/8 = 32/8 = 4 .

Значить, обсяг меншого конуса в 8 разів менший і дорівнює 4.

Завдання B9 (Типові варіанти 2015)

Об'єм конуса дорівнює 40. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

Рішення

Так як переріз проведено через середину висоти конуса, то AP = 1/2 AO та PK = 1/2 OB. Тобто висота та радіус меншого конуса в 2 рази менше відповідно висоти та радіуса більшого конуса.

Об'єм більшого конуса дорівнює V к1 = (1/3)π(OB) 2 *AO = 40.

Об'єм меншого конуса дорівнює V к2 = (1/3)π(PK) 2 *AP =(1/3)π(1/2 OB) 2 *(1/2 AO) = (1/3)π(OB) 2 *AO*1/8 = 40/8 = 5 .

Серед різноманіття геометричних тіл одним із найцікавіших є конус. Утворюється він шляхом обертання прямокутного трикутника навколо одного зі своїх катетів.

Як знайти обсяг конуса - основні поняття

Перед початком обчислення обсягу конуса варто ознайомитися з основними поняттями.

  • Круговий конус – основою такого конуса є коло. Якщо в основі лежить еліпс, парабола чи гіпербола, то фігури називаються еліптичним, параболічним чи гіперболічним конусом. Варто пам'ятати, що два останні види конуса мають нескінченний об'єм.
  • Усічений конус – частина конуса, розташована між основою і площиною, паралельною цій підставі, що знаходиться між вершиною та основою.
  • Висота – перпендикулярний до основи відрізок, випущений з вершини.
  • Утворююча конуса – відрізок, що з'єднує межу основи та вершину.

Об'єм конуса

Для розрахунку обсягу конуса застосовується формула V=1/3*S*H, де S – площа основи, H – висота. Оскільки основа конуса – коло, його площа перебуває у формулі S= nR^2, де n = 3,14, R – радіус кола.

Буває ситуація, коли невідомі якісь із параметрів: висота, радіус чи твірна. У такому разі варто вдатися до теореми Піфагора. Осьовим перетином конуса є рівнобедрений трикутник, що складається з двох прямокутний трикутник, де l – гіпотенуза, а H та R – катети. Тоді l=(H^2+R^2)^1/2.


Об'єм усіченого конуса

Усічений конус є конус з обрізаною верхівкою.


Щоб знайти обсяг такого конуса знадобиться формула:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),


де n=3.14, r – радіус кола перерізу, R – радіус великої основи, H – висота.

Осьовим перетином усіченого конуса буде рівнобедрена трапеція. Тому, якщо необхідно знайти довжину утворює конуса або радіуса одного з кіл, варто застосовувати формули для знаходження бічних сторін і основ трапеції.

Знайти об'єм конуса, якщо його висота дорівнює 8 см, радіус основи 3 см.

Дано: H=8 див, R=3 див.

Спочатку знайдемо площу основи, застосувавши формулу S=nR^2.

S=3.14*3^2=28.26 см^2

Тепер за формулою V=1/3*S*H знаходимо об'єм конуса.

V=1/3*28.26*8=75.36 см^3


Фігури у формі конуса зустрічаються всюди: паркувальні конуси, башти будов, абажур світильника. Тому знання, як знайти обсяг конуса, часом може стати у нагоді як у професійному, так і в повсякденному житті.



 

Можливо, буде корисно почитати: