Чому дорівнює висота в рівнобічному трапеції. Діагоналі фігури та кути, які перетинаючи вони утворюють. Знайти висоту рівнобедреної трапеції

Багатолика трапеція... Вона може бути довільною, рівнобедреною чи прямокутною. І в кожному випадку потрібно знати, як знайти площу трапеції. Звичайно, найпростіше запам'ятати основні формули. Але іноді простіше скористатися тією, яка виведена з урахуванням усіх особливостей конкретної геометричної фігури.

Кілька слів про трапецію та її елементи

Будь-який чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, можна назвати трапецією. У випадку вони не рівні і називаються підставами. Більше їх - нижнє, інше - верхнє.

Дві інші сторони виявляються бічними. У довільної трапеції вони мають різну довжину. Якщо ж вони рівні, то постать стає рівнобедреною.

Якщо раптом кут між будь-якою бічною стороною та основою виявиться рівним 90 градусам, то трапеція є прямокутною.

Всі ці особливості можуть допомогти у вирішенні задачі про те, як знайти площу трапеції.

Серед елементів фігури, які можуть бути незамінними у вирішенні завдань, можна виділити такі:

  • висота, тобто відрізок, перпендикулярний до обох підстав;
  • середня лінія, що має своїми кінцями середини бічних сторін.

За якою формулою обчислити площу, якщо відомі основи та висота?

Цей вираз дається основним, тому що найчастіше можна дізнатися про ці величини, навіть коли вони не дано явно. Отже, щоб зрозуміти, як знайти площу трапеції, потрібно скласти обидві підстави і розділити їх на дві. Значення, що вийшло, потім ще помножити на значення висоти.

Якщо позначити підстави літерами а 1 і а 2 , висоту - н, формула для площі виглядатиме так:

S = ((а 1 + а 2)/2) * н.

Формула, за якою обчислюється площа, якщо дані її висота та середня лінія

Якщо уважно подивитися на попередню формулу, то легко помітити, що в ній явно присутній значення середньої лінії. А саме, сума підстав, поділена на дві. Нехай середня лінія буде позначена літерою l, тоді формула для площі стане такою:

S = l*н.

Можливість знайти площу по діагоналях

Цей спосіб допоможе, якщо відомий кут, утворений ними. Припустимо, що діагоналі позначені літерами д 1 і д 2 , а кути між ними - α-і β-. Тоді формула того, як знайти площу трапеції, буде записана так:

S = ((д 1 * д 2) / 2) * sin & alpha-.

У цьому виразі можна легко замінити &alpha-на &beta-. Результат не зміниться.

Як дізнатися площу, якщо відомі всі сторони фігури?

Бувають і такі ситуації, коли у цій фігурі відомі саме сторони. Ця формула виходить громіздкою і її важко запам'ятати. Але можливо. Нехай бічні сторонимають позначення: 1 і 2 , основа а 1 більше, ніж а 2 . Тоді формула площі набуде такого вигляду:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * &radic- (в 1 2 - [(а 1 - а 2) 2 + в 1 2 - в 2 2) / (2 * (а 1 - а 2) )] 2).

Способи обчислення площі рівнобедреної трапеції

Перший пов'язаний з тим, що до неї можна вписати коло. І, знаючи її радіус (він позначається буквою r), а також кут при основі - &gamma-, можна скористатися такою формулою:

S = (4 * r 2) / sin &gamma-.

Остання загальна формула, яка ґрунтується на знанні всіх сторін фігури, суттєво спроститься за рахунок того, що бічні сторони мають однакове значення:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * &radic- (у 2 - [(а 1 - а 2) 2 / (2 * (а 1 - а 2))] 2).

Методи обчислення площі прямокутної трапеції

Зрозуміло, що підійде будь-якийіз перерахованих для довільної фігури. Але іноді корисно знати про одну особливість такої трапеції. Вона полягає в тому, що різниця квадратів довжин діагоналей дорівнює різниці, складеній із квадратів основ.

Часто формули для трапеції забуваються, тоді як вирази для площ прямокутника та трикутника пам'ятаються. Тоді можна застосувати найпростіший спосіб. Розділити трапецію на дві фігури, якщо вона прямокутна, чи три. Одна точно буде прямокутником, а друга, або дві трикутниками, що залишилися. Після обчислення площ цих фігур залишиться лише скласти.

Це досить простий спосіб того, як знайти площу прямокутної трапеції.

Як бути, якщо відомі координати вершин трапеції?

У цьому випадку потрібно скористатися виразом, який дозволяє визначити відстань між точками. Його можна застосувати три рази: для того, щоб дізнатися обидва підстави та одну висоту. А потім просто застосувати першу формулу, що описана трохи вище.

Для ілюстрації такого методу можна навести такий приклад. Дані вершини з координатами А(5-7), В(8-7), С(10-1), Д(1-1). Потрібно дізнатися площу фігури.

Перш ніж знайти площу трапеції, за координатами необхідно обчислити довжини підстав. Потрібна така формула:

довжина відрізка = &radic-((різниця перших координат точок) 2 + (різниця другої координат точок) 2 ).

Верхня основа позначена АВ, отже, її довжина дорівнюватиме &radic-((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = &radic-9 = 3. Нижня - СД = &radic- ((10-1) 2 + ( 1-1) 2) = & radic-81 = 9.

Тепер потрібно провести висоту з вершини на основу. Нехай її початок буде в точці А. Кінець відрізка опиниться на нижній підставі в точці з координатами (5-1), нехай це буде точка Н. Довжина відрізка АН вийде рівною &radic-((5-5) 2 + (7-1) 2) = & radic-36 = 6.

Залишилося тільки підставити значення, що виходили, у формулу площі трапеції:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Завдання вирішено без одиниць виміру, тому що не вказано масштаб координатної сітки. Він може бути як міліметр, і метр.

Приклади завдань

№1. Умова.Відомий кут між діагоналями довільної трапеції, він дорівнює 30 градусів. Менша діагональ має значення 3 дм, а друга більша за неї в 2 рази. Необхідно порахувати площу трапеції.

Рішення.Спочатку потрібно дізнатися довжину другий діагоналі, тому що без цього не вдасться порахувати відповідь. Обчислити її нескладно, 3*2 = 6 (дм).

Тепер потрібно скористатися відповідною формулою для площі:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º- = 18/2 * ½- = 4,5 (дм 2). Завдання вирішено.

Відповідь:площа трапеції дорівнює 4,5 дм2.

№2. Умова.У трапеції АВСД основами є відрізки АТ та ПС. Крапка Е – середина сторони ЦД. З неї проведено перпендикуляр до прямої АВ, кінець цього відрізка позначений буквою Н. Відомо, що довжини АВ та ЄН дорівнюють відповідно 5 і 4 см. Потрібно обчислити площу трапеції.

Рішення.Для початку потрібно зробити креслення. Оскільки значення перпендикуляра менше за сторону, до якої він проведений, то трапеція буде трохи витягнутою вгору. Так ЄП виявиться всередині фігури.

Щоб чітко побачити хід розв'язання задачі, потрібно виконати додаткову побудову. А саме, провести пряму, яка буде паралельна стороні АВ. Точки перетину цієї прямої з АТ - Р, а з продовженням ВС - Х. Постать ВХРА - паралелограм. Причому його площа дорівнює шуканій. Це з тим, що трикутники, які вийшли за додаткової побудові, рівні. Це випливає з рівності сторони і двох кутів, що прилягають до неї, один - вертикальний, інший - навхрест лежачий.

Знайти площу паралелограма можна за формулою, що містить добуток сторони та висоти, опущеної на неї.

Таким чином, площа трапеції дорівнює 5 * 4 = 20 см2.

Відповідь: S = 20 см2.

№3. Умова.Елементи рівнобедреної трапеціїмають такі значення: нижня основа - 14 см, верхня - 4 см, гострий кут - 45º-. Потрібно обчислити її площу.

Рішення.Нехай меншу основу має позначення ВС. Висота, проведена з точки, називатиметься ВН. Оскільки кут 45º-, то трикутник АВН вийде прямокутний та рівнобедрений. Отже, АН=ВН. Причому Ан дуже легко знайти. Вона дорівнює половині різниці підстав. Тобто (14 – 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).

Підстави відомі, висота порахована. Можна користуватися першою формулою, яка була розглянута для довільної трапеції.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2).

Відповідь:Шукана площа дорівнює 45 см 2 .

№4. Умова.Є довільна трапеція АВСД. На її бічних сторонах взяті точки О та Е, так що ОЕ паралельна основі АТ. Площа трапеції АТВД у п'ять разів більша, ніж у ЗЗСЄ. Обчислити значення ОЕ, якщо відомі довжини основ.

Рішення.Потрібно провести дві паралельні АВ прямі: першу через точку С, її перетин з ОЕ - точка Т-другу через Е і точкою перетину з АТ буде М.

Нехай невідома ОЕ = х. Висота меншої трапеції ЗЗСЄ - н 1 , більшої від АЕД - н 2 .

Оскільки площі цих двох трапецій співвідносяться як 1 до 5, можна записати таку рівність:

(х + а 2) * н 1 = 1/5 (х + а 1) * н 2

н 1 / н 2 = (х + а 1) / (5 (х + а 2)).

Висоти та сторони трикутників пропорційні по побудові. Тому можна записати ще одну рівність:

н 1 / н 2 = (х - а 2) / (а 1 - х).

В двох останніх записаху лівій частині стоять рівні величини, отже, можна написати, що (х + а 1) / (5 (х + а 2)) одно (х - а 2) / (а 1 - х).

Тут потрібно провести низку перетворень. Спочатку перемножити навхрест навхрест. З'являться дужки, які вкажуть на різницю квадратів після застосування цієї формули вийде коротке рівняння.

У ньому потрібно розкрити дужки та перенести всі складові з невідомої «х» в лівий бік, а потім витягти

Відповідь: х = &radic- ((а 1 2 + 5 а 2 2) / 6).

ІНШЕ

Для того, щоб почуватися на уроках геометрії впевнено та успішно вирішувати завдання, недостатньо вивчити формули. Їх…

Математика – шкільний предмет, який вивчається всіма, незалежно від профілю класу. Однак вона не всіма кохана. Деколи…

Математика – це дивовижна наука. Проте така думка приходить лише тоді, коли її розумієш. Щоб цього досягти.

Шкільна програма передбачає навчання дітей геометрії із раннього віку. Одне з базових знань цієї…

Периметр будь-якого трикутника – це довжина лінії, що обмежує фігуру. Щоб його обчислити, потрібно дізнатися про суму всіх…

Куб – дивовижна фігура. Він однаковий з усіх боків. Будь-яка його грань може миттєво стати основою або бічною. І от…

Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають із голови всю інформацію про них. В тому…

Часто учні обурено запитують: "Як мені в житті це знадобиться?". На будь-яку тему кожного предмета. Не…

Найпростіший багатокутник, який вивчається у школі – це трикутник. Він зрозуміліший для учнів і зустрічає…

На просте запитання "Як знайти висоту трапеції?" існує кілька відповідей, і все тому, що може бути…

Знайти площу рівностороннього трикутникаможна за будь-якою формулою для довільної фігури даного типуабо…

Часто на просторах інтернету можна знайти глузування з приводу того, як знання з математики - інтеграли, диференціали,…

Геометрія - одна з наук, із застосуванням якої на практиці людина стикається практично щодня. Серед різноманіття геометричних фігурна окрему увагу заслуговує і трапеція. Вона є опуклою фігурою з чотирма сторонами, з яких дві паралельні між собою. Останні називаються основами, а дві – бічними сторонами. Відрізок, перпендикулярний основ і визначальний величину проміжку між ними, буде висотою трапеції. Яким чином можна обчислити його довжину?

Знайти висоту довільної трапеції

Базуючись на вихідних даних, визначення висоти фігури можливе декількома способами.

Відома площа

Якщо довжина паралельних сторін відома, а також вказана площа фігури, то для визначення перпендикуляра, що шукається, можна скористатися наступним співвідношенням:

S=h*(a+b)/2,
h - потрібна величина (висота),
S – площа фігури,
a та b – сторони, паралельні одна одній.
З наведеної формули випливає, що h=2S/(a+b).

Відома величина середньої лінії

Якщо серед вихідних даних крім площі трапеції (S) відома, і довжина її лінії середини (l), то обчислень знадобиться інша формула. Насамперед варто уточнити, що таке середня лінія для цього виду чотирикутника. Термін визначає частину прямої, що з'єднує середини бокових сторін фігури.

З властивості трапеції l=(a+b)/2,
l – лінія середини,
a, b – сторони-основи чотирикутника.
Тому h=2S/(a+b)=S/l.


Відомі 4 сторони фігури

У даному випадкудопоможе теорема Піфагора Опустивши перпендикуляри на велику сторону-основу, скористайтеся нею для двох прямокутних трикутників, що вийшли. Підсумковий вираз матиме вигляд:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,


c та d – 2 інші сторони.


Кути в основі

За наявності даних про кути на основі, скористайтеся тригонометричними функціями.

h = c* sinα = d*sinβ,

α та β – кути в основі чотирикутника,
c та d – його бічні сторони.


Діагоналі фігури та кути, які перетинаючи вони утворюють

Довжина діагоналі - Довжина відрізка, що з'єднує протилежні вершини фігури. Позначимо дані величини символами d1 та d2, а кути між ними γ та φ. Тоді:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1 * d2) / 2l sin γ = (d1 * d2) / 2l sinφ,

a і b - сторони-основи фігури,
d1 та d2 – діагоналі трапеції,
γ та φ – кути між діагоналями.


Висота фігури і радіус кола, яке в неї вписано

Як випливає з визначення такого роду кола, вона стосується кожної основи в 1 точці, які є частиною однієї прямої. Тому відстань між ними – діаметр – шукана висота фігури. Оскільки діаметр – подвоєний радіус, то:

h = 2 * r,
r – радіус кола, яке вписали у цю трапецію.


Знайти висоту рівнобедреної трапеції

  • Як і випливає з формулювання, характерною характеристикою рівнобедреної трапеції є рівність її бічних сторін. Тому знаходження висоти фігури скористайтеся формулою визначення даної величини у разі, коли відомі сторони трапеції.

Отже, якщо с = d, то h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b - сторони-основи чотирикутника,
c = d – його бічні сторони.

  • За наявності величини кутів, утворених двома сторонами (підставою та бічною), висоту трапеції визначає наступне співвідношення:

h = c* sinα,
h = з * tgα *cosα = з * tgα * (b - a) / 2c = tgα * (b-a) / 2,

α – кут в основі фігури,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d – його бічні сторони.

  • Якщо дані величини діагоналей фігури, то вираз перебування висоти фігури видозміниться, т.к. d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2 * l * sinγ = d1 2 / 2 * l * sinφ.


У нашому житті дуже часто доводиться стикатися із застосуванням геометрії на практиці, наприклад, у будівництві. Серед геометричних фігур, що найчастіше зустрічаються, є і трапеція. І для того, щоб проект був успішним і красивим, потрібний правильний і точний розрахунок елементів для такої фігури.

Що є опуклим чотирикутником, який має пару паралельних сторін, іменованих підставами трапеції. Але є ще дві інші сторони, які поєднують ці підстави. Їх називають бічними. Одне з питань, що стосується цієї постаті, це: Як знайти висоту трапеції? Відразу необхідно звернути увагу, що висота - це відрізок, що визначає відстань від однієї основи до іншої. Існує кілька способів визначення цієї відстані, залежно від відомих величин.

1. Відомі величини обох основ, позначимо їх b і k, а так само площу даної трапеції. Використовуючи відомі величини, знайти висоту трапеції у разі дуже легко. Як відомо з геометрії, обчислюється, як добуток половини суми підстав та висоти. З цієї формули можна легко вивести потрібну величину. Для цього необхідно площу розділити на половину суми підстав. У вигляді формул це виглядатиме так:

S=((b+k)/2)*h, звідси h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Відома довжина середньої лінії, позначимо її d, та площу. Для тих, хто не знає, середньою лінією називаю відстань між серединами боків. Як знайти висоту трапеції у разі? Відповідно до властивості трапеції, середня лінія відповідає половині суми підстав, тобто d=(b+k)/2. Знову ж таки прибігаємо до формули площі. Замінивши половину суми підстав на величину середньої лінії, отримаємо таке:

Як бачимо з отриманої формули, дуже легко вивести висоту. Розділивши площу на величину середньої лінії, ми знайдемо шукану величину. Запишемо це формулою:

3. Відома довжина однієї бічної сторони (b) і кут, що утворюється між цією стороною та найбільшою основою. Відповідь питанням, як знайти висоту трапеції, є й у разі. Розглянемо трапецію ABCD, де AB та CD є бічними сторонами, причому AB=b. Найбільшою основою є AD. Кут, утворений AB та AD позначимо α. З точки B опустимо висоту h на основу AD. Тепер розглянемо отриманий трикутник ABF, який прямокутний. Сторона AB є гіпотенузою, а BF-катетом. З якості прямокутного трикутникавідношення значення катета і значення гіпотенузи відповідає синусу кута, протилежного катету (BF). Тому, виходячи з викладеного вище, для обчислення висоти трапеції перемножуємо значення відомої сторони і синус кута α. У вигляді формули це виглядає так:

4. Аналогічно розглядається випадок, якщо відомі розмір бічної сторони та кут, позначимо його β, що утворюється між цією стороною та меншою основою. При розв'язанні такого завдання величина кута між відомою бічною стороною та проведеною висотою буде 90°-. З якості трикутників - відношення довжини катета та гіпотенузи відповідає косинус кута, розташованого між ними. З цієї формули легко вивести величину висоти:

h = b * cos (β-90 °)

5. Як знайти висоту трапеції, якщо відомий лише радіус вписаного кола? З визначення кола, вона стосується однією точкою кожної основи. Крім того, ці точки знаходяться на одній лінії з центром кола. З цього випливає, що відстань між ними є діаметром і водночас висотою трапеції. Виглядає так:

6. Часто зустрічаються завдання, у яких необхідно знайти висоту рівнобедреної трапеції. Нагадаємо, що трапеція, що має рівні бічні сторони, називається рівнобедреною. Як знайти висоту рівнобедреної трапеції? При перпендикулярних діагоналях висота дорівнює половині суми основ.

Але що робити, якщо діагоналі не перпендикулярні? Розглянемо рівнобедрену трапецію ABCD. Відповідно до її властивостей, підстави паралельні. З цього випливає, що кути при основах також будуть рівними. Проведемо дві висоти BF та CM. Виходячи з вищесказаного можна стверджувати, що трикутники ABF і DCM рівні, тобто AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2. Тепер, виходячи з умови завдання, визначимося з відомими величинами, а вже потім знаходимо висоту з огляду на всі властивості рівнобедреної трапеції.



 

Можливо, буде корисно почитати: