Що є центром вписаного та описаного кола. Як знайти радіус кола, описаного біля трикутника

Найчастіше під час вирішення геометричних завдань доводиться робити події з допоміжними постатями. Наприклад, знаходити радіус вписаного або описаного кола тощо. Ця стаття покаже, як знаходити радіус кола, описаного біля трикутника. Або, іншими словами, радіус кола, в яке вписано трикутник.

Як знайти радіус кола, описаного біля трикутника - загальна формула

Загальна формула виглядає наступним чином: R = abc/4√p(p - a) (p - b) (p - c), де R - радіус описаного кола, p - периметр трикутника поділений на 2 (напівпериметр). a, b, c - сторони трикутника.

Знайти радіус описаного кола трикутника, якщо a = 3, b = 6, c = 7.

Таким чином, виходячи з наведеної вище формули, обчислюємо напівпериметр:
p = (a + b + c) / 2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Підставляємо значення формулу і отримуємо:
R = 3×6×7/4√8(8 — 3)(8 — 6)(8 — 7) = 126/4√(8×5×2×1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Відповідь: R = 126/16√5

Як знайти радіус кола, описаного біля рівностороннього трикутника

Для знаходження радіуса кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, Існує досить проста формула: R = a/√3, де a - величина його сторони.

Приклад: Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 5. Знайти радіус описаного кола.

Так як у рівностороннього трикутника всі сторони рівні, для вирішення задачі потрібно лише вписати її значення у формулу. Отримаємо: R = 5/3.

Відповідь: R = 5/√3.


Як знайти радіус кола, описаного біля прямокутного трикутника

Формула виглядає так: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, де a і b — катети і c — гіпотенуза. Якщо скласти квадрати катетів у прямокутному трикутнику, Отримаємо квадрат гіпотенузи. Як видно з формули, цей вираз знаходиться під коренем. Обчисливши корінь із квадрата гіпотенузи, ми отримаємо саму довжину. Множення виразу, що вийшов, на 1/2 в результаті призводить нас до виразу 1/2 × c = c/2.

Приклад: Обчислити радіус описаного кола, якщо катети трикутника дорівнюють 3 і 4. Підставимо значення формулу. Отримаємо: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

У цьому вираз 5 - Довжина гіпотенузи.

Відповідь: R = 2.5.


Як знайти радіус кола, описаного біля рівнобедреного трикутника

Формула виглядає так: R = a²/√(4a² — b²), де a — довжина стегна трикутника і b — довжина основи.

Приклад: Обчислити радіус кола, якщо його стегно = 7, а основа = 8.

Рішення: Підставляємо у формулу дані значення та одержуємо: R = 7²/√(4 × 7² — 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. Відповідь можна записати прямо так.

Відповідь: R = 49/√132


Онлайн ресурси для обчислення радіуса кола

Можна дуже легко заплутатися у всіх цих формулах. Тому за потреби можна скористатися онлайн калькуляторамиякі допоможуть вам у вирішенні завдань на знаходження радіусу. Принцип роботи таких міні-програм дуже простий. Підставляєте значення сторони у відповідне поле та отримуєте готову відповідь. Можна вибрати кілька варіантів заокруглення відповіді: до десяткових, сотих, тисячних і т.д.


>>Геометрія: Коло, описане біля трикутника. Повні уроки

ТЕМА УРОКУ: Окружність, описана біля трикутника.

Цілі уроку:

  • Поглибити знання на тему «Описані кола в трикутниках»


Завдання уроку:

  • Систематизувати знання з цієї теми
  • Підготуватись до вирішення завдань підвищеної складності.

План уроку:

  1. Введення.
  2. Теоретична частина.
  3. Для трикутника.
  4. Практична частина.

Введення.

Тема «Вписані та описані кола в трикутниках» є однією з найскладніших у курсі геометрії. На уроках їй приділяється дуже мало часу.

Геометричні завдання цієї теми включаються до другої частини екзаменаційної роботи ЄДІ за курс середньої школи.
Для успішного виконання цих завдань необхідні тверді знання основних геометричних фактів та деякий досвід у вирішенні геометричних завдань.

Теоретична частина.

Описане коло багатокутника- Коло, що містить всі вершини багатокутника. Центром є точка (прийнято позначати O) перетину серединних перпендикулярів до сторін багатокутника.

Властивості.

Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить у точці перетину серединних перпендикулярів до його сторін. Як наслідок: якщо поряд з n-кутником описано коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола).
Навколо будь-якого правильного багатокутникаможна описати коло.

Для трикутника.

Коло називається описаним біля трикутника, якщо вона проходить через усі його вершини.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, до того ж тільки одну. Її центром буде точка перетину серединних перпендикулярів.

У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупокутного - поза трикутником, У прямокутного - на середині гіпотенузи.

Радіус описаного кола може бути знайдений за формулами:

Де:
a, b, c- Сторони трикутника,
α - Кут, що лежить проти сторони a,
S- Площа трикутника.


Довести:

т.о - точка перетину серединних перпендикулярів до сторін ABC

Доказ:

  1. ΔAОC - рівнобедрений, т.к. ОА = ОС (як радіуси)
  2. ΔAОC - рівнобедрений, перпендикуляр OD - медіана та висота, тобто. т.про лежить на серединному перпендикулярі до сторони АС
  3. Аналогічно доводиться, що лежить на серединних перпендикулярах до сторін АВ і ВС

Що й потрібно було довести.

Зауваження.

Пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, часто називають серединним перпендикуляром. У зв'язку з цим іноді говорять, що центр кола, описаного біля трикутника, лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

Предмети > Математика > Математика 7 клас

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

  • Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

  • Збірна нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчих подіях.
  • Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
  • Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
  • Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

  • Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
  • У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

У цій частині ми обговоримо коло, описане навколо (часто кажуть «біля») трикутника. Насамперед дамо визначення.

1. Існування та центр описаного кола

Тут виникає запитання: а чи для будь-якого трикутника існує таке коло? Ось виявляється, що так, для кожного. Більше того, ми зараз сформулюємо теорему, яка ще й відповідає на питання, де ж знаходиться центр описаного кола.

Дивись, ось так:

Давай наберемося мужності та доведемо цю теорему. Якщо ти вже читав тему « » розбирався в тому, чому ж три бісектриси перетинаються в одній точці, то тобі буде легше, але і якщо не читав - не переживай: зараз у всьому розберемося.

Доказ проводитимемо, використовуючи поняття геометричного місця точок (ГМТ).

Ну от, наприклад, чи є безліч м'ячів – геометричним місцем круглих предметів? Ні, звичайно, тому що бувають круглі кавуни. А чи є безліч людей, «геометричним місцем», які вміють говорити? Теж ні, бо є немовлята, які не вміють говорити. У житті взагалі складно знайти приклад справжнього геометричного місця точок. У геометрії простіше. Ось, наприклад, саме те, що нам потрібно:

Тут безліч - це серединний перпендикуляр, а властивість "" - це "бути рівновіддаленою (точкою) від кінців відрізка".

Перевіримо? Отже, потрібно впевнитись у двох речах:

З'єднаємо з і с. Тоді лінія є медіаною та висотою ст. Значить, рівнобедрений, переконалися, що будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, однаково віддалена від точок і.

Візьмемо – середину і з'єднаємо в. Вийшла медіана. Але – рівнобедрений за умовою не лише медіана, а й висота, тобто – серединний перпендикуляр. Значить, точка – точно лежить на серединному перпендикулярі.

Все! Повністю перевірили той факт, що серединний перпендикуляр до відрізка є геометричним місцем точок, що рівно віддалені від кінців відрізка.

Це все добре, але чи не забули ми про описане коло? Зовсім ні, ми якраз підготували собі «плацдарм для нападу».

Розглянемо трикутник. Проведемо два серединні перпендикуляри і, скажімо, до відрізків і. Вони перетнуться в якійсь точці, яку ми назвемо.

А тепер, увага!

Крапка лежить на серединному перпендикулярі;
точка лежить на серединному перпендикулярі.
Отже, в.

Звідси випливає відразу кілька речей:

По-перше, точка повинна лежати третьому серединному перпендикулярі, до відрізку.

Тобто серединний перпендикуляр теж повинен пройти через точку, і всі три серединні перпендикуляри перетнулися в одній точці.

По-друге: якщо ми проведемо коло з центром у точці і радіусом, то це коло також пройде і через точку, і через точку, тобто буде описаним колом. Отже, вже є, що перетин трьох перпендикулярів – центр описаного кола для будь-якого трикутника.

І останнє: про єдиність. Зрозуміло (майже), що точку можна отримати єдиним чином, тому й коло – єдине. Ну, а "майже" - залишимо на твоє роздуми. Ось і довели теорему. Можна кричати "Ура!".

А якщо в задачі стоїть питання «знайдіть радіус описаного кола»? Або навпаки, радіус дано, а потрібно знайти щось інше? Чи є формула, що зв'язує радіус описаного кола з іншими елементами трикутника?



 

Можливо, буде корисно почитати: