Правильні багатокутники довкола нас у житті людини. Правильні багатогранники в науці та повсякденному житті

Жива природа.

Правильні багатогранники - це "найвигідніші" постаті. І природа цим широко користується. Кристали деяких знайомих нам речовин мають форму правильних багатогранників. Так, кубпередає формукристалів кухонної солі NaCl, монокристал алюмінієво-калієвих галунів мають форму октаедра, кристал сірчистого колчедану FeS – додекаедра, сурм'янистий сірчанокислий натрій – тетраедра, бір – ікосаедра. Правильні багатогранники визначають форму кристалічних ґрат багатьох хімічних речовин.

Наразі вже доведено, що процес формування людського зародка з яйцеклітини здійснюється шляхом її поділу за «бінарним» законом, тобто спочатку яйцеклітина перетворюється на дві клітини. Потім на стадії чотирьох клітин зародок набуває форми тетраедру, а на стадії восьми клітин він набуває форми двох зчеплених тетраедрів (зоряний тетраедр або куб), (Додаток №1, рис.3). З двох кубів на стадії шістнадцяти клітин формується сфера, а зі сфери на певному етапі поділу утворюється тор з 512 клітин. Планта Земля та її магнітне поле теж є тор.

Квазікристали Дана Шехтмана.

12 листопада 1984 р. у невеликій статті, опублікованій в авторитетному журналі « Physical Review Letters» ізраїльським фізиком Даном Шехтманом, було пред'явлено експериментальний доказ існування металевого сплаву з винятковими властивостями. При дослідженні методами електронної дифракції цей сплав виявив ознаки кристала. Його дифракційна картина складена з яскравих і регулярно розташованих точок, як у кристала. Однак ця картина характеризується наявністю "ікосаедричної" або "пентангональної" симетрії, суворо забороненої в кристалі з геометричних міркувань. Такі незвичайні сплави було названо квазікристалами.Менш ніж за рік було відкрито багато інших сплавів такого типу. Їх було так багато, що квазікристалічний стан виявився набагато поширенішим, ніж це можна було б уявити.

Що ж таке квазікристал? Які його властивості та як його можна описати? Як згадувалося вище, згідно основного закону кристалографіїна структуру кристала накладаються суворі обмеження. Згідно з класичними уявленнями, кристал складається з єдиного осередку, який повинен щільно (грань до грані) «встеляти» всю площину без будь-яких обмежень.

Як відомо, щільне заповнення площини може бути здійснено за допомогою трикутників, квадратіві шестикутників. За допомогою п'ятикутників (пентагонів) таке заповнення неможливе.

Такі були канони традиційної кристалографії, які існували до відкриття незвичайного сплаву алюмінію та марганцю, названого квазікристалом. Такий сплав утворюється при надшвидкому охолодженні розплаву зі швидкістю 106 на секунду. При цьому при дифракційному дослідженні такого сплаву на екрані впорядкована картина, характерна для симетрії ікосаедра, що володіє відомими забороненими осями симетрії 5-го порядку.

Декілька наукових груп у всьому світі протягом кількох наступних років вивчили цей незвичайний сплав за допомогою електронної мікроскопії високої роздільної здатності. Всі вони підтвердили ідеальну однорідність речовини, в якій симетрія 5-го порядку зберігалася в макроскопічних областях з розмірами, близькими до атомів (кілька десятків нанометрів).

Відповідно до сучасних поглядів розроблено наступну модель отримання кристалічної структури квазікристалу. В основі цієї моделі лежить поняття "базового елемента". Відповідно до цієї моделі, внутрішній ікосаедр з атомів алюмінію оточений зовнішнім ікосаедром з атомів марганцю. Ікосаедри пов'язані октаедрами з атомів марганцю. У «базовому елементі» є 42 атоми алюмінію та 12 атомів марганцю. У процесі затвердіння відбувається швидке формування «базових елементів», які швидко з'єднуються між собою октаедричними жорсткими «містками». Нагадаємо, що гранями ікосаедра є рівносторонні трикутники. Щоб утворився октаедричний місток з марганцю, необхідно, щоб два таких трикутники (по одному в кожну комірку) наблизилися досить близько один до одного і вишикувалися паралельно. В результаті такого фізичного процесу і утворюється квазікристалічна структура з «ікосаедричною» симетрією.

В останні десятиліття було відкрито багато типів квазікристалічних сплавів. Крім тих, що мають «ікосаедричну» симетрію (5-го порядку), існують також сплави з декагональною симетрією (10-го порядку) і додекагональною симетрією (12-го порядку). Фізичні властивості квазікристалів почали досліджувати лише нещодавно.

Як зазначається у згаданій вище статті Гратіа, «механічна міцність квазікристалічних сплавів різко зростає; відсутність періодичності призводить до уповільнення поширення дислокацій порівняно із звичайними металами… Ця властивість має велике прикладне значення: застосування ікосаедричної фази дозволить отримати легкі та дуже міцні сплави впровадженням дрібних частинокквазікристалів в алюмінієву матрицю».

Тетраедр у природі.

1. Фосфор

Понад триста років тому, коли гамбурзький алхімік Геннінг Бранд відкрив новий елемент- фосфор. Подібно до інших алхіміків, Бранд намагався відшукати еліксир життя або філософський камінь, за допомогою яких старі молодшають, хворі одужують, а неблагородні метали перетворюються на золото. У ході одного з дослідів він випаровував сечу, змішав залишок з вугіллям, піском і продовжив випаровування. Незабаром у реторті утворилася речовина, що світилася у темряві. Кристали білого фосфору утворені молекулами Р4. Така молекула має вигляд тетраедра.

2. Фосфорнувата кислота Н 3 РВ 2 .

Її молекула має форму тетраедра з атомом фосфору в центрі, у вершинах тетраедра знаходяться два атоми водню, атом кисню та гідроксогрупа.

3. Метан.

Кристалічні грати метанумає форму тетраедра. Метан горить безбарвним полум'ям. З повітрям утворює вибухонебезпечні суміші. Використовується як паливо.

4. Вода.

Молекула води є маленьким дипольом, що містить позитивний і негативний заряди на полюсах. Так як маса і заряд ядра кисню більше ніж у ядер водню, то електронна хмара стягується у бік ядра. При цьому ядра водню "оголюються". Таким чином, електронна хмара має неоднорідну густину. У ядер водню є дефіцит електронної щільності, але в протилежному боці молекули, біля ядра кисню, спостерігається надлишок електронної щільності. Саме така структура визначає полярність молекули води. Якщо з'єднати прямими лініями епіцентри позитивних та негативних зарядів вийде об'ємна геометрична фігура – правильний тетраедр.

5. Аміак.

Кожна молекула аміаку має поділену пару електронів у атома азоту. Орбіталі атомів азоту, що містять не поділені пари електронів, перекриваються з sp 3 -гібридними орбіталями цинку(II), утворюючи комплексний тетраедричний катіон тетрааммінцинку(II) 2+ .

6. Алмаз

Елементарний осередок кристала алмазу є тетраедр, у центрі та чотирьох вершинах якого розташовані атоми вуглецю. Атоми, розташовані у вершинах тетраедра, утворюють центр нового тетраедра і таким чином також оточені кожен ще чотирма атомами і т.д. Всі атоми вуглецю в кристалічній решітці розташовані на однаковій відстані (154 пм) один від одного.

Куб (гексаедр) у природі.

З курсу фізики відомо, що речовини можуть існувати у трьох агрегатних станах: твердому, рідкому, газоподібному. Вони утворюють кристалічні ґрати.

Кристалічні грати речовин - це впорядковане розташування частинок (атомів, молекул, іонів) у певних точках простору. Точки розміщення частинок називають вузлами кристалічних ґрат.

Залежно від типу частинок, розташованих у вузлах кристалічних ґрат, і характеру зв'язку між ними розрізняють 4 типи кристалічних ґрат: іонні, атомні, молекулярні, металеві.

ІОННІ

Іонними називають кристалічні грати, у вузлах яких є іони. Їх утворюють речовини з іонним зв'язком. Іонні кристалічні грати мають солі, деякі оксиди та гідроксиди металів. Розглянемо будову кристала кухонної солі, у вузлах якого знаходяться іони хлору та натрію. Зв'язки між іонами в кристалі дуже міцні та стійкі. Тому речовини з іонною решіткою мають високу твердість і міцність, тугоплавки і нелеткі.

Форму куба мають кристалічні грати багатьох металів (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au та інші).

МОЛЕКУЛЯРНІ

Молекулярними називають кристалічні грати, у вузлах яких розташовані молекули. Хімічні зв'язки в них ковалентні як полярні, так і неполярні. Зв'язки у молекулах міцні, але між молекулами зв'язку не міцні. Нижче представлені кристалічні грати I 2. Речовини з МКР мають малу твердість, плавляться за низької температури, леткі, за звичайних умов перебувають у газоподібному чи рідкому стані. багатогранник симетрія тетраедр

Ікосаедр у природі.

Фулерени - дивовижні поліциклічні структури сферичної форми, що складаються з атомів вуглецю, пов'язаних у шести - та п'ятичленові цикли. Це нова модифікація вуглецю, на яку, на відміну трьох раніше відомих модифікацій (алмазу, графіту і карбину), характерна не полімерна, а молекулярна структура, тобто. молекули фулеренів дискретні.

Свою назву ці речовини отримали на ім'я американського інженера та архітектора Річарда Букмінстера Фуллера, котрий конструював напівсферичні архітектурні споруди, Що складаються з шести-і п'ятикутників.

Вперше фулерени C 60 і C 70 були синтезовані в 1985 Х. Крото і Р. Смоллі з графіту під дією потужного лазерного пучка. Отримати C 60 -фулерен у кількостях, достатніх для досліджень, вдалося в 1990 Д. Хаффману і В. Кретчмеру, які провели випаровування графіту за допомогою електричної дуги в атмосфері гелію. У 1992 р. були виявлені природні фулерени у вуглецевому мінералі. шугніть(свою назву цей мінерал отримав від назви селища Шуньга у Карелії) та інших докембрійських породах.

Молекули фулеренів можуть містити від 20 до 540 вуглецевих атомів, що розташовані на сферичній поверхні. Найбільш стійка і краще вивчена з цих сполук - C 60 -фулерен (60 атомів вуглецю) складається з 20 шестичленних і 12 п'ятичленних циклів. Вуглецевий скелет молекули C 60 -фулерену являє собою усічений ікосаедр.

У природі зустрічаються об'єкти, що мають симетрію 5-го порядку. Відомі, наприклад, віруси, що містять кластери у формі ікосаедра.

Будова аденовірусів також має форму ікосаедра. Аденовіруси (від грецького aden - залізо і віруси), сімейство ДНК-вірусів, що викликають у людини і тварин аденовірусні хвороби.

Вірус гепатиту В – збудник гепатиту В, основний представник сімейства гепадновірусів. Це сімейство включає також гепатотропні віруси гепатиту бабаків, ховрахів, качок та білок. Вірус ГВ є ДНК-містким. Він є частинкою діаметром 42-47 нм, складається з ядра - нуклеоїда, що має форму ікосаедрадіаметром 28 нм, всередині якого знаходяться ДНК, кінцевий білок та фермент ДНК-полімераза.

Мова проекту:

На початку минулого століття великий французький архітектор Корбюзьє якось вигукнув: «Все довкола геометрія!». Сьогодні вже на початку 21-го століття ми можемо повторити цей вигук із ще більшим подивом. Справді, подивіться довкола – всюди геометрія! Геометричні знання та вміння, геометрична культура та розвиток є сьогодні професійно значущими для багатьох сучасних спеціальностей, для дизайнерів та конструкторів, для робітників та науковців. Важливо, що геометрія є феноменом загальнолюдської культури. Людина не може по-справжньому розвинутися культурно і духовно, якщо вона не вивчала в школі геометрію; геометрія виникла як з практичних, а й із духовних потреб людини.

Геометрія- Це цілий світ, який оточує нас із самого народження. Адже все, що ми бачимо навколо, так чи інакше стосується геометрії, ніщо не вислизає від неї уважного погляду. Геометрія допомагає людині йти світом з широко відкритими очима, вчить уважно дивитися навколо і бачити красу звичайних речей, дивитися і думати, думати і робити висновки.

I.Правильні багатокутники

Геометрія - найдавніша наука і перші розрахунки проводили понад тисячу років тому. Стародавні люди складали на стінах печер орнаменти із трикутників, ромбів, кіл. Правильні багатокутники з давнину вважалися символом краси та досконалості. Згодом людина навчилася використовувати властивості постатей у практичному житті. Геометрія у побуті. Стіни, підлога та стеля є прямокутниками. Багато речей нагадують квадрат, ромб, трапецію.

З усіх багатокутників з заданим числомсторін найбільш приємний для ока правильний багатокутник, у якого рівні всі сторони і всі кути. Одним з таких багатокутників є квадрат або іншими словами, квадрат - це правильний чотирикутник.

Дати визначення квадрату можна декількома способами: квадрат - це прямокутник, у якого всі сторони рівні і квадрат - це ромб, у якого всі кути прямі.

Зі шкільного курсу геометрії відомо: у квадрата всі сторони рівні, всі кути прямі,

діагоналі рівні, взаємно перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і ділять кути квадрата навпіл.

У квадрата є низка цікавих властивостей. Так, наприклад, якщо необхідно забором даної довжини обгородити чотирикутну ділянку найбільшої площі, слід вибрати цю ділянку у вигляді квадрата.

Квадрат має симетрію, яка надає йому простоти і відомої досконалості форми: квадрат служить еталоном при вимірі площ усіх фігур.

1. Магічні квадрати

Магічні квадрати використовують силу чисел та літер івриту, з якими вони пов'язані, щоб залучити до талісману планетарну силу.

Агріппа звернув увагу на те, що давні вважали числа ключем до розуміння всесвіту. Кожне число мало для них значення і кожен математичний приклад вважався святим. Планетарні сили мали числа, які приписувалися каббалістичному дереву життя. У Марса це п'ятірка; у Венери сімка; у Сатурна трійка; у Місяця дев'ятка; у Юпітера четвірка. Магічні квадрати це грати чисел, при додаванні яких і по горизонталі, і по вертикалі, і по діагоналі виходить однакове число.

1. Танграм

Танграм - це відома усьому світу гра, створена на основі стародавніх китайських головоломок. За легендою, 4 тисячі років тому в одного чоловіка випала з рук керамічна плитката розбилася на 7 частин. Схвильований, він посохом спробував її зібрати. Але із знову складених частин щоразу отримував нові цікаві зображення. Це заняття незабаром виявилося настільки захоплюючим, головоломним, що складений квадрат із семи геометричних фігур назвали Дошкою Мудрості. Якщо розрізати квадрат, то вийде популярна китайська головоломка ТАНГРАМ, яку у Китаї називають чи тао ту, тобто. розумова головоломка із семи частин. Назва "танграм" виникла в Європі найімовірніше від слова "тань", що означає "китаєць" та кореня "грама". У нас вона зараз поширена під назвою "Піфагор".

1. Зірчасті багатокутники

Крім звичайних правильних багатокутників, існують ще й зірчасті.

Термін «зірковий» має загальний корінь зі словом «зірка», і це вказує на його походження.

Зірчастий п'ятикутник називається пентаграмою. Піфагорійці обрали п'ятикутну зірку як талісман, вона вважалася символом здоров'я і служила розпізнавальним знаком.

Існує легенда про те, що один із піфагорійців хворим потрапив у будинок до незнайомих людей. Вони намагалися виходити, але хвороба не відступала. Не маючи коштів заплатити за лікування та догляд, хворий перед смертю попросив господаря будинку намалювати біля входу п'ятикутну зірку, пояснивши, що цим знаком знайдуться люди, які винагородять його. І насправді, через деякий час один із подорожуючих піфагорійців помітив зірку і почав розпитувати господаря будинку про те, як вона з'явилася біля входу. Після розповіді господаря гість щедро нагородив його.

Пентаграма була добре відома у Стародавньому Єгипті. Але безпосередньо як емблема здоров'я вона була прийнята лише у Стародавній Греції. Саме морська п'ятикутна зірка підказала нам золоту пропорцію. Це співвідношення згодом назвали "золотим перетином". Там, де воно є, відчувається краса і гармонія. Добре складена людина, статуя, чудовий Парфенон, створений в Афінах, теж підпорядковані законам золотого перетину. Так, все життя людське потребує ритму та гармонії.

II. Багатокутники у природі

1. Бджолині стільники

Правильні багатокутники зустрічаються у природі. Один із прикладів – бджолині стільники, які є багатокутником, покритим правильними шестикутниками. Звичайно, геометрію вони не вивчали, але природа наділила їх талантом будувати собі будинки у формі геометричних фігур. На цих шестикутниках бджоли вирощують із воску осередку. У них бджоли і відкладають мед, а потім знову покривають суцільним прямокутником з воску.

Чому бджоли вибрали саме шестикутник?

Для відповіді це питання потрібно порівняти периметри різних багатокутників, мають однакову площу. Нехай дані правильний трикутник, квадрат і правильний шестикутник. Який із цих багатокутників має найменший периметр?

Нехай S-площа кожної з названих фігур, сторона а n-відповідного правильного n-кутника.

Для порівняння периметрів запишемо їх співвідношення: Р3: Р4: Р6 = 1: 0,877: 0,816

Ми бачимо, що із трьох правильних багатокутників з однаковою площею найменший периметр має правильний шестикутник. Отже, мудрі бджоли, економлять віск і час для побудови сотень.

У цьому математичні секрети бджіл не закінчуються. Цікаво й надалі дослідити будову бджолиних сот. Розважливі бджоли заповнюють простір так, що не залишається просвітів, заощаджуючи при цьому 2% воску. Як не погодитися з думкою Бджоли з казки «Тисяча і одна ніч»: «Мій будинок побудований за законами найсуворішої архітектури. Сам Евклід міг би повчитися, пізнаючи геометрію моїх стільників». Так за допомогою геометрії ми торкнулися таємниці математичних шедеврів із воску, ще раз переконавшись у всебічній ефективності математики.

Отже, бджоли, не знаючи математики, правильно «визначили», що правильний шестикутник має найменший периметр серед постатей рівної площі.

Будуючи стільники, бджоли інстинктивно намагаються зробити їх якомога більш місткими, витративши при цьому якнайменше воску. Шестикутна форма є найбільш економічною та ефективною фігурою для будівництва сотів.

Об'єм осередку - близько 0,28 см3. При будівництві стільників бджоли використовують магнітне поле землі як орієнтир. Осередки сотів бувають трутневі, медові та розплодні. Відрізняються розміром та глибиною. Медові – глибші, трутневі – ширші.

1. Сніжинка.

Сніжинка - одне з найпрекрасніших створінь природи.

Природна шестикутна симетрія виникає через властивості молекули води, яка має гексагональну кристалічну решітку, яка утримується водневими зв'язками, і це дозволяє їй мати в умовах холодної атмосфери структурну форму з мінімальною потенційною енергією.

Краса та різноманітність геометричних форм сніжинок донині вважається унікальним природним явищем.

Особливо математиків вразила знайдена в середині сніжинки «крихітна біла точка, точно це був слід ніжки циркуля, яким користувалися, щоб окреслити її коло». Великий астроном Йоган Кеплер у своєму трактаті "Новорічний дар. Про шестикутні сніжинки" пояснив форму кристалів волею Божою. Японський учений Накая Укітіро називав сніг "листом з небес, написаним таємними ієрогліфами". Він першим створив класифікацію сніжинок. На ім'я Накая названий єдиний у світі музей сніжинок, розташований на острові Хоккайдо.

То чому ж сніжинки шестикутні?

Хімія:У кристалічній структурі льоду кожна молекула води бере участь у 4 водневих зв'язках, спрямованих до вершин тетраедра під строго певними кутами, рівними 109°28" (при цьому в структурах льоду I, Ic, VII і VIII цей тетраедр правильний). атом кисню, в двох вершинах - по атому водню, електрони яких задіяні в освіті ковалентного зв'язку з киснем.

Головна особливість, що визначає форму кристала - це зв'язок між молекулами води, подібна до з'єднання ланок у ланцюгу. Крім того, через різне співвідношення тепла і вологи кристали, які в принципі повинні бути однаковими, набувають різної форми. Зіштовхуючись своєму шляху з переохолодженими дрібними крапельками, сніжинка спрощується формою, зберігаючи у своїй симетрію.

ІІІ. Багатокутники навколо нас

1. Паркет

Ящірки, зображені голландським художником М. Ешером, утворюють, як стверджують математики, «паркет». Кожна ящірка щільно прилягає до своїх сусідів без найменших проміжків, як плашки паркетної підлоги.

Регулярне розбиття площини, що називається "мозаїкою" - це набір замкнутих фігур, якими можна замостити площину без перетинів фігур та щілин між ними. Зазвичай як фігуру для складання мозаїки математики використовують прості багатокутники, наприклад, квадрати, трикутники, шестикутники, восьмикутники або комбінації цих фігур.

Гарні паркети з правильних багатокутників: трикутників, квадратів, п'ятикутників, шестикутників, восьмикутників. Наприклад, кола не можуть утворити паркет.

Паркетна підлога в усі часи вважалася символом престижу та гарного смаку. Застосування для виробництва елітного паркету цінних порід дерева та використання різних геометричних візерунків надають приміщенню вишуканості та респектабельності.

Сама історія художнього паркету дуже давня - вона датується приблизно 12 століттям. Саме тоді у вельможних та знатних особняках, палацах, замках та родових маєтках стали з'являтися нові на той час віяння – вензелі та геральдичні відмінності на підлозі холів, залів та вестибюлів, як знак особливої приналежності до сильним світуцього. Перший художній паркет викладався досить примітивно, з погляду сучасності - із звичайних дерев'яних шматочків, які підходять за кольором. Сьогодні доступне формування складних орнаментів та мозаїчних поєднань. Це досягається завдяки лазерному та механічному різанню високої точності.

2. Тесселяції

Тесселяції, відомі також як покриття площини плитками (tiling), є колекціями фігур, які покривають всю математичну площину, поєднуючись один з одним без накладень та прогалин. Правильні тесселяції складаються з фігур у вигляді правильних багатокутників, при суміщенні яких усі кути мають однакову форму. Існує всього три багатокутники, придатні для використання у правильних тесселяціях. Це правильний трикутник, квадрат і правильний шестикутник. Напівправильними тесселяціями називають такі тесселяції, в яких використані правильні багатокутники двох або трьох типів і всі вершини однакові. Існує всього 8 напівправильних тесселяцій. Разом три правильні тесселяції та вісім напівправильних звуться Архімедових. Тесселяції, в яких окремі плитки є пізнаваними фігурами, є однією з основних тем творчості Ешера. У його записниках міститься понад 130 варіантів тесселяцій. Він використав їх у величезній кількості своїх картин, серед яких "День і ніч" (1938), серія картин "Межа кола" I-IV, та знамениті "Метаморфози" I-III (1937-1968). Приклади нижче – картини сучасних авторів Холістера Девіда (Hollister David) та Роберта Фатауера (Robert Fathauer).

3. Шматкове шиття з багатокутників

Якщо зі смугами, квадратами та трикутниками можна впоратися без особливої підготовки та без навичок за допомогою швейної машинки, то багатокутники зажадають від нас багато терпіння та майстерності. Дуже багато майстринь клаптевого шиття воліють багатокутники збирати вручну. Життя кожної людини – це своєрідне клаптикове полотно, де яскраві та чарівні миті чергуються із сірими та чорними днями.

Існує притча про клаптикове шиття. «Одна жінка прийшла до мудреця і каже: "Учителю, все в мене є: і чоловік, і діти, і дім - повна чаша, але почала я думати: навіщо все це? І життя моє розвалилося, все не в радість!" Вислухав її мудрець, задумався і порадив спробувати пошити своє життя. Пішла жінка від мудреця у сумніві, але спробувала. Взяла голку, нитки і пришила клаптик своїх сумнівів до клаптика блакитного неба, яке бачила у вікні своєї кімнати. Засміявся її маленький онук, і вона пришила шматочок сміху до свого полотна. Так і пішло. Заспіває птах - і ще один клаптик додається, скривдять до сліз - ще один.

Зі клаптевого полотна виходили ковдри, подушки, серветки, сумочки. І всі, до кого вони потрапляли, відчували, як шматочки тепла поселялися в їхній душі, і їм уже ніколи не було самотньо, і ніколи життя не здавалося їм порожнім і марним».

Кожна майстриня хіба що творить полотно свого життя. У цьому можна переконатись на роботах Горшкової Лариси Миколаївни.

Вона захоплено трудиться створенням ковдр, ковдр, килимків, черпаючи натхнення в кожній своїй роботі.

4. Орнамент, вишивка та в'язання.

1). Орнамент

Орнамент - одне із найдавніших видів образотворчої діяльності, який у минулому ніс у собі символічний магічний сенс, якусь знаковість. Орнамент був майже виключно геометричним, що складається із строгих форм кола, півкола, спіралі, квадрата, ромба, трикутника та їх різних комбінацій. Стародавня людина наділяла певними знаками свої уявлення про будову світу. При цьому орнаментисту відкритий широкий простір при виборі мотивів для його композиції. Їх доставляють йому удосталь два джерела - геометрія та природа.

Наприклад, коло – сонце, квадрат – земля.

2). Вишивка

Вишивка є одним із основних видів чуваського народного орнаментального мистецтва. Сучасна чуваська вишивка, її орнаментика, техніка, гамма кольорів генетично пов'язані з художньою культурою чуваського народу в минулому.

Мистецтво вишивання має багатовікову історію. З покоління в покоління відпрацьовувалися та покращувалися візерунки та колірні рішення, створювалися зразки вишивок із характерними національними рисами. Вишивки народів нашої країни вирізняються великою своєрідністю, багатством технічних прийомів, колірними рішеннями.

Кожен народ залежно від місцевих умов, особливостей побуту, звичаїв та природи створював свої прийоми вишивки, мотиви візерунків, їхню композиційну побудову. У російській вишивці, наприклад, велику рольграє геометричний орнамент та геометричні форми рослин та тварин: ромби, мотиви жіночої фігури, птахи, а також барсу з піднятою лапою.

У формі ромба зображалося сонце, птах символізував прихід весни тощо.

Великий інтерес є вишивки народів Поволжя: марійців, мордви і чувашів. Вишивки цих народів мають багато спільних рис. Відмінності становлять мотиви візерунків та його технічне виконання.

Візерунки вишивок, складені з геометричних форм і сильно геометричних мотивів.

Цим дослідженням я довела, що геометрія дуже важлива для людей, що без неї не обійтися. Її треба вивчати. Її треба застосовувати. Геометрія – це частина нашого життя.

Предмети:

Урок з геометрії у 9 класі на тему «Правильний багатокутник»

Розробила

вчитель математики

МБОУ ЗОШ №5

Нижегородської обл.

Гущина Т.Л.

Тип уроку: комбінований.

Ціль: формування у учнів поняття правильний багатокутник

Завдання:

Формування в учнів поняття правильний багатокутник, його застосування, знання формули для обчислення кута правильного багатокутника;

Розвиток уваги, пам'яті, мови, уяви, пізнавального інтересу до теми;

Виховання активності, спостережливості, допитливості, творчого ставлення до навчальної праці.

Час проведення: 40 хвилин.

Обладнання та матеріали до уроку:

презентація, мультимедійний проектор, комп'ютер, екран, опорний аркуш для заповнення (додаток 1), моделі багатокутників та правильних багатогранників, малюнки на аркушах (додаток 2) або дошці.

Структура уроку:

Мотиваційно-орієнтовна частина:

1.1. Організаційний момент(1 хвилина).

1.2. «Аукціон «5» на тему «Многокутник» (5 хвилин).

1.3. Заповнення 1 частини таблиці (3 хвилини)

Операційно-пізнавальна частина:

2.1. Вивчення нового матеріалу (10 хв.).

2.2. Фізкультхвилинка (1 хвилина).

2.3. Домашнє завдання(2 хвилини).

2.4. Закріплення дослідженого матеріалу (10 хвилин).

2.5. «П'ятихвилинка» (історичний матеріал) (5 хвилин).

Рефлексивно-оцінна частина:

3.1. Рефлексія (2 хвилини).

3.2. Націлювання на подальшу навчальну діяльність (1 хвилина).

Форми роботи учнів: фронтальна, індивідуальна.

Номер уроку у темі: 1

Етап уроку	№ п/п	Діяльність учня

Організаційний момент.	Здрастуйте хлопці! Сьогодні ми з вами починаємо вивчати новий розділ«Довжина кола та площа кола». Ці теми ми починали вивчати ще у 6 класі. (Повідомляються підсумки контрольної роботи)
Підготовка до сприйняття нової теми. Аукціон «5»	Сьогоднішній урок ми присвятимо багатокутникам. Проведемо «аукціон п'ятірки». Хто вас сформулює якнайбільше визначень та тверджень на тему «Багатокутники», той і отримає оцінку «5». Усі визначення супроводжуємо їх показом на моделях.	Можливі відповіді: визначення багатокутника, вершин, сторін, периметра, сусідніх вершин, n-кутника, діагоналі, внутрішньої та зовнішньої області, опуклого багатокутника, сума кутів багатокутника тощо.

№ п/п	Етап уроку	Діяльність вчителя	Діяльність учня
1. Мотиваційно-орієнтовна частина.
	Заповнення таблиці (Додаток 1).	Кожен із вас на столі роздрукований аркуш. Зараз ви олівцем заповните його першу частину, до біса. А потім ми разом перевіримо, як ви це зробили.	Заповнюють.
	Перевірка заповнення	Додаткові питання: Які види трикутників ви знаєте? На які групи можна поділити всі чотирикутники? Які 4-кутники відносяться до паралелограм? Види трапецій. Чому дорівнює сума кутів трикутника? чотирикутника?	Відповідають.

№ п/п	Етап уроку	Діяльність вчителя	Діяльність учня

	Вивчення нового матеріалу.	А тепер уважно подивіться на багатокутники, що зображені під межею. Що їх поєднує? Спробуйте визначити визначення правильного багатокутника. А тепер знайдемо це визначення у підручнику та повторимо його 3 рази. Заповніть, будь ласка, на аркуші всі перепустки до слова «Зауваження». А тепер ви легко відгадаєте мою загадку: Він опуклий багатокутник, Усі сторони його рівні, І всі кути рівновеликі, Чиї дані вам тут дано? Подивіться моделі та скажіть, чи є цей багатокутник правильним? Показую моделі.	Випуклі. Мають рівні боки. Мають рівні кути. Формулюють. Повторюють. Заповнюють лист. Відгадують. Відповідають.
	Етап уроку	Діяльність вчителя	Діяльність учня
2. Операційно-пізнавальна частина.
	Вивчення нового матеріалу.	А тепер назвіть номери креслень, де зображені правильні багатокутники. (Додаток 2) Визначте, чи правильне формулювання: Багатокутник називається правильним, якщо його сторони рівні. Багатокутник називається правильним, якщо всі його кути дорівнюють. Як визначити периметр правильного багатокутника? Як визначити величину кута правильного багатокутника? Заповніть перепустки в аркуші.	Називають. Ні. (ромб) Ні. (прямокутник) Заповнюють.
	Фізкультхвилинка.	Як і в кожної установи, у нас хвилинна перерва: Дружно встав дев'ятий клас-це «раз», Повернулася голова – це «2», І очима покрути – це «3», Свої плечі розгорнули на «4», Пальці треба нам розім'яти – це «5», Всім хлопцям треба сісти – це “6”.	Виконують вправи.
	Етап уроку	Діяльність вчителя	Діяльність учня
2. Операційно-пізнавальна частина.
	Домашнє завдання	П.105 стор. 94-96 № 1081 (г, д), № 1083 (б, г) Повторити стор. 174-176
	Закріплення вивченого матеріалу	Запишіть, будь ласка, число, класну роботу, тему уроку. Що ж ми сьогодні впізнали нового? А зараз вирішуємо все разом № 1081 (а, б), під буквою «в» самостійно та № 1083 (а, в) всі разом.	Коротко повторюємо.
	«П'ятихвилинка» (історичний матеріал)	Сьогодні я розповім вам коротко про те, де знаходять застосування правильні багатокутники. А на наступних уроках ви по групах докладніше зупиніться на кожному питанні. 1. У 10-11 класах ми розглядатимемо правильні багатогранники. Подивіться на аркуш, скільки їх? Показую моделі та презентацію. (слайди 5, 6)
	Етап уроку	Діяльність вчителя	Діяльність учня
2. Операційно-пізнавальна частина.
		2. З правильних багатокутників можна становити 12 видів різних паркетів. (Слайд 7) 3. У природі вид правильних шестикутників мають стільники. Подумайте вдома, чому бджоли не використовують трикутники чи квадрати? (Слайд 8) Зверніть увагу, що сніжинка має форму правильного шестикутника. Як це відбувається? (слайд 9) Багато найпростіших морських організмів мають форми правильних багатокутників. (слайд 10) 4. Чому такі красиві правильні мгогокутники? Та просто вони мають симетрію. (слайд 11) Ось з цих питань я чекатиму на виступи гуртів.

короткий зміст інших презентацій

«Кількість 9 клас» - 2. Рівняння кола. Завдання. О (хо, уо) – центр кола, А (х; у) – точка кола. Нехай d – відстань від центру кола до заданої точки площини, R – радіус кола. №1 Заповнити таблицю за такими даними: 9 клас. № 2 Вивести рівняння кола з центром у точці М (-3; 4), що проходить через початок координат.

«Середня лінія трапеції» - MN =? AB. D. Визначення середньої лінії трапеції. Продовжіть пропозицію: A. У трикутнику можна побудувати середні лінії. Середня лінія трапеції. Теорема про середню лінію трапеції. MN – середня лінія трапеції ABCD. Середня лінія трикутника має властивість … MN || AB.

«Симетрія щодо прямої» - Пряма а – вісь симетрії. http://www.potolok-spb.ru/art/images/butterfly/butterfly14.jpg. http://www.idance.ru/articles/20/767p_sy4.jpg. Які букви мають вісь симетрії? Насправді обличчя людини є ідеально симетричним. http://www.indostan.ru/indiya/foto-video/2774/3844_9_o.jpg. Кут. Рівнобедрений трикутник. Промінь. Побудувати відрізок А1В1 симетричний відрізок АВ щодо прямої. Скільки осей симетрії має кожна фігура?

«Дивовижні квадрати» - 1. Кросворд. Основні форми. 3. Трохи історії про орігамі. Човен. Квіти: Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні. Показати наскільки дивовижна така проста фігураяк квадрат. Завдання зі сірниками. Вирізання у квадраті. Розмір фігурки залежить від величини квадрата, а далі - справа техніки та смаку. Човнова станція. Тюлень. Дивовижний квадрат. 4. Конверт.

«Відображення площини він» - Відображення площини він. С1. Рух. Осьова симетрія. В1. . А1. Центральна симетрія. С. А. В.

"Правильні багатокутники" - Мета уроку: 1. 2. 5. Геометрія - 9 клас. Хід уроку: Робота за картками. Конкурс "Заповни таблицю". Завдання по готовому кресленню. 3. Підсумок уроку. "Правильні багатокутники". Математичний диктант. 6. Узагальнюючий урок

Районна науково-практична конференція

Секція Математика

DIV_ADBLOCK155">

Етапи дослідницької роботи:

· Вибір цікавої теми дослідження,

· Обговорення плану дослідження та проміжних результатів,

· Робота з різними інформаційними джерелами;

· Проміжні консультації з учителем,

· публічний виступпоказ презентаційного матеріалу.

Використовувана апаратура:Цифрова камера, мультимедійне обладнання.

Гіпотеза:

Багатокутники створюють красу серед людини.

Тема дослідження

Властивості багатокутників у побуті, житті, природі.

Примітка:Усі виконані роботи містять як інформаційний, а й науковий матеріал. Кожен розділ має комп'ютерну презентацію, яка ілюструє кожен напрямок дослідження.

Експериментальна база. Успішному проведенню дослідницької роботи сприяло заняття у гуртку «Геометрія навколо нас» та уроки геометрії, географії, фізики.

Короткий літературний огляд:Багатокутниками познайомилися під час уроків геометрії. Додатково дізнались із книги «Цікава геометрія», журналу «Математика в школі», газети «Математика», енциклопедичного словника юного математика під редакцією. Деякі дані взяла з журналу "Читаємо, вчимося, граємо". Багато відомостей отримано з Інтернету.

Особистий внесок:Для того, щоб пов'язати властивості багатокутників із життям, почали розмовляти учнями та вчителями, у яких бабусі, дідусі чи інші родичі займалися різьбленням, вишиванням, в'язанням, клаптиковим гаптуванням і т. д. Від них ми отримували цінні інформації.

Багатокутники

Ми вирішили дослідити такі геометричні фігури, які трапляються навколо нас. Зацікавившись проблемою, ми склала план роботи. Вирішили вивчити: використання багатокутників у практичної діяльностілюдини. Щоб відповісти на поставлені запитання, ми мали: подумати самостійно, запитати в іншої людини, звернутися до книг, провести спостереження. У книгах ми шукали відповіді на запитання. – Які багатокутники ми вивчили? Провели спостереження, щоби відповісти на запитання. – Де я можу це побачити? На уроці було проведено позакласний західз математики "Парад чотирикутників", на якому дізналися про властивості чотирикутників.

Геометрія в архітектурі. У сучасній архітектурі сміливо використовуються різні геометричні форми. Багато житлові будинкиприкрашаються колонами. Геометричні фігури різної форми можна побачити у будівництві соборів та конструкціях мостів.

Геометрія у природі. У самій природі багато чудових геометричних форм. Надзвичайно красиві та різноманітні багатокутники, створені природою.

I.Правильні багатокутники

З усіх багатокутників із заданим числом сторін найбільш приємний для ока правильний багатокутник, у якого всі сторони рівні і всі кути. Одним із таких багатокутників є квадрат або іншими словами, квадрат – це правильний чотирикутник.

Зі шкільного курсу геометрії відомо: у квадрата всі сторони рівні, всі кути прямі,

діагоналі рівні, взаємно перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і ділять кути квадрата навпіл.

У книзі «Дивовижний квадрат» і докладно викладено докази деяких властивостей квадрата, наведено приклад «досконалого квадрата» та вирішення одного завдання на розрізання квадрата арабським математиком Х століття Абулом Вефою.

У книзі І. Лемана «Увлекательная математика» зібрано кілька десятків завдань, серед яких є такі, вік яких обчислюється тисячоліттями. Для повного уявлення про побудову за допомогою перегинання квадратного квадрата аркуша паперу використано книгу «Застосуй математику». Тут можна перерахувати ряд головоломок із квадрата: магічні квадрати, танграм, пентаміно, тетраміно, поліміно, стомахіон, орігамі. Хочу розповісти про деякі з них.

1. Магічні квадрати

Священні, чарівні, загадкові, таємничі, досконалі… Як тільки їх не називали. - ”Я не знаю нічого прекраснішого в арифметиці, ніж ці числа, звані деякими планетними, а іншими - магічними” - писав про них відомий французький математик, один із творців теорії чисел П'єр де Ферма. Приваблюють природною красою, наповнені внутрішньою гармонією, доступні, але як і раніше незбагненні, приховують за простотою безліч таємниць.

Знайомтеся: магічні квадрати – дивовижні представники уявного світу чисел.

Магічні квадрати виникли в давнину в Китаї. Ймовірно, найстарішим з магічних квадратів, що дійшли до нас, є таблиця Ло Шу (бл. 2200 до н. е.). Вона має розмір 3x3 та заповнена натуральними числамивід 1 до 9

2. Танграм

Танграм - це відома усьому світу гра, створена на основі стародавніх китайських головоломок. За легендою, 4 тисячі років тому в одного чоловіка випала з рук керамічна плитка та розбилася на 7 частин. Схвильований, він посохом спробував її зібрати. Але із знову складених частин щоразу отримував нові цікаві зображення. Це заняття незабаром виявилося настільки захоплюючим, головоломним, що складений квадрат із семи геометричних фігур назвали Дошкою Мудрості. Якщо розрізати квадрат, то вийде популярна китайська головоломка ТАНГРАМ, яку в Китаї називають "чи тао ту", тобто розумова головоломка із семи частин. Назва "танграм" виникла в Європі найімовірніше від слова "тань", що означає "китаєць" та кореня "грама". У нас вона зараз поширена під назвою "Піфагор"

3. Зірчасті багатокутники

Крім звичайних правильних багатокутників, існують ще й зірчасті.

Термін «зірковий» має загальний корінь зі словом «зірка», і це вказує на його походження.

4. Зірчасті багатогранники

Багато форм зоряних багатогранників нагадує сама природа. Сніжинки – це зірчасті багатогранники. Відомо кілька тисяч різних типівсніжинок. Але Луї Пуансо через 200 років вдалося відкрити два інші зірчасті багатогранники. Тому тепер зоряні багатогранники називають тілами Кеплера – Пуансо. За допомогою зоряних багатогранників у нудну архітектуру наших міст вриваються небачені космічні форми. Незвичайний багатогранник "Зірка" доктора мистецтвознавчих наук надихнув архітектора на створення проекту Національної бібліотеки в Дамаску.

У великого Йоганна Кеплера відома книга “Гармонія світу”, а у творі “Про шестикутні сніжинки” він писав: “Побудова п'ятикутника неможлива без пропорції, яку сучасні математики називають “божественною”. Він відкрив перші два правильні зірчасті багатогранники.

Зірчасті багатогранники дуже декоративні, що дозволяє широко застосовувати їх у ювелірній промисловості під час виготовлення різноманітних прикрас. Застосовуються вони у архітектурі.

Висновок:Правильних багатогранників зухвало мало, але цей дуже скромний за чисельністю загін зумів пробратися в глибини різних наук.

Зоряний багатогранник – чудове красиве геометричне тіло, споглядання якого дає естетичну насолоду.

Стародавні люди бачили красу на стінах печер в орнаментах із трикутників, ромбів, кіл. Правильні багатокутники з давнину вважалися символом краси та досконалості.

Зірчастий п'ятикутник - пентаграма вважалася символом здоров'я і була розпізнавальним знаком піфагорійців.

ІІ.Багатокутники у природі

1. Бджолині стільники

Чому бджоли вибрали саме шестикутник?

Нехай S – площа кожної з названих фігур, сторона а n – відповідного правильного n-кутника.

Для порівняння периметрів запишемо їх співвідношення: Р3: Р4: Р6 = 1: 0,877: 0,816

У нашому селі живе бджоляр Микола Михайлович Кузнєцов. Він з раннього дитинствазаймається бджолами. Він пояснив, що строячи стільники, бджоли інстинктивно намагаються зробити їх якомога більш місткими, витративши при цьому якнайменше воску. Шестикутна форма є найбільш економічною та ефективною фігурою для будівництва сотів.

2. Сніжинка.

Сніжинка - одне з найпрекрасніших створінь природи.

Краса та різноманітність геометричних форм сніжинок донині вважається унікальним природним явищем.

Особливо математиків вразила знайдена в середині сніжинки «крихітна біла точка, наче це був слід ніжки циркуля, яким користувалися, щоб окреслити її коло». Великий астроном Йоган Кеплер у своєму трактаті "Новорічний дар. Про шестикутні сніжинки" пояснив форму кристалів волею Божою. Японський учений Накая Укітіро називав сніг "листом з небес, написаним таємними ієрогліфами". Він першим створив класифікацію сніжинок. На ім'я Накая названий єдиний у світі музей сніжинок, розташований на острові Хоккайдо.

То чому ж сніжинки шестикутні?

Геометрія:Формоутворююче початок обирало правильний шестикутник над силу необхідності, обумовленої властивостями речовини і простору, лише через властивої йому властивості суцільно, без жодного зазору покривати площину і бути найближчою до кола з усіх постатей, які мають тим самим властивістю.

Вчитель фізики – Н

При температурах нижче 0оС водяна пара відразу переходить у твердий стан і замість крапель утворюються крижані кристали. Основний кристал води має у площині форму правильного шестикутника. На вершинах такого шестикутника потім осідають нові кристали, на них - нові, і так виходять ті різноманітні форми зірочок - сніжинок, які добре нам знайомі.

Вчитель математики

З усіх правильних геометричних фігур лише трикутники, квадрати та шестикутники можуть заповнити площину, не залишаючи порожнеч, причому правильний шестикутник покриває найбільшу площу. Взимку у нас снігу багато. Тому природа вибрала шестикутні сніжинки, щоб займати менше місця.

Вчитель хімії –

Шестикутна форма сніжинок пояснюється молекулярною будовою води, а на питання, чому сніжинки плоскі, поки відповіді так і не знайдено.

Красу сніжинок висловлює E. Євтушенко у своєму вірші.

Від сніжинки до льоду
Він ліг на землю і на дахи,
Усіх білизною вразив.
І був справді він пишний,
І був дійсно красивий.

.
ІІІ. Багатокутники навколо нас

"Мистецтво орнаменту містить у неявному вигляді найдавнішу частину відомої нам вищої математики"

Герман Вейль.

1. Паркет

Сама історія художнього паркету дуже давня - вона датується приблизно 12 століттям. Саме тоді у вельможних і знатних особняках, палацах, замках та родових маєтках стали з'являтися нові на той час віяння - вензелі та геральдичні відмінності на підлозі холів, залів та вестибюлів, як знак особливої приналежності до сильних світу цього. Перший художній паркет викладався досить примітивно, з погляду сучасності - із звичайних дерев'яних шматочків, які підходять за кольором. Сьогодні доступне формування складних орнаментів та мозаїчних поєднань. Це досягається завдяки лазерному та механічному різанню високої точності.

На початку ХІХ століття замість вишуканих ліній малюнка паркету з'явилися прості лінії, чисті контури і правильні геометричні форми, а композиційному побудові - строга симетрія.

Всі устремління в декоративному мистецтві скеровуються на відображення героїки та своєрідно осмисленої класичної давнини. Паркет набув суворої геометричності: то суцільні шашки, то кола, то квадрати або багатокутники з членуванням їх вузькими смугами у різних напрямках. У тогочасних газетах можна було зустріти оголошення, в яких пропонувалося вибрати паркет саме такого малюнка.

Характерним паркетом російської класики ХІХ століття є паркет, виконаний у проекті архітектора Воронихина у будинку Строганових на Невському проспекті. Весь паркет складається з великих щитів з косо поставленими квадратами, що точно повторюються, на перехресті яких скромно дано чотирипелюсткові розетки, злегка промальовані графем.

Найбільш типовими паркетами початку XIXстоліття є паркети архітектора К. Россі. Майже всі малюнки в них відрізняються великою лаконічністю, повторністю, геометризмом і чітким членуванням прямо або косо поставленими рейками, що об'єднували паркет апартаменту.

Архітектор Стасов вибирав паркети, які складалися із простих форм квадратів та багатокутників. У всіх проектах Стасова відчувається така ж суворість, як і в Россі, але необхідність виконання відновлювальної роботи, яка випала його частку після пожежі палацу, робить його різнобічнішим і ширшим.

Так само, як у Россі, паркет Стасова Блакитною вітальнею Катерининського палацу будувався з простих квадратів, об'єднаних горизонтальними, вертикальними або діагональними рейками, що утворюють великі клітини, що ділять кожен квадрат на два трикутники.

Геометризм спостерігається також у паркетах бібліотеки Марії Федорівни, де лише різноманітність кольору паркету – рожеве дерево, амарант, червоне дерево, палісандр та ін. – вносить деяке пожвавлення.

Переважаючий колір паркету становить червоне дерево, на якому сторони прямокутників та квадратів дано грушевим деревом, обрамленим тонким шаром чорного дерева, що надає ще більшої чіткості та лінійності всьому малюнку. По клену на всьому паркеті рясно дається графі у вигляді стрічок, дубового листя, розеток та іонітів.

У всіх цих паркетах немає головного центрального малюнка, всі вони складаються з мотивів геометричної форми, що повторюються. Аналогічний паркет зберігся у колишньому будинку Юсупова у Санкт-Петербурзі.

Архітектори Стасов та Брюллов відновлювали апартаменти. Зимовий палацпісля пожежі 1837 року. Паркети Зимового Стасов створював в урочисто-монументальному та офіційному стилі російської класики 30-х років ХІХ століття. Кольори паркету також вибиралися виключно класичні.

У виборі паркету, коли треба було поєднувати паркет з малюнком плафона, Стасов залишається, вірний своїм композиційним принципам. Так, наприклад, паркет галереї 1812 відрізняється сухою і урочистою величністю, яка досягалася повторністю простих геометричних форм, обрамлених фризом.

2. Тесселяції

Тесселяції, відомі також як покриття площини плитками (tiling), є колекціями фігур, які покривають всю математичну площину, поєднуючись один з одним без накладень та прогалин. Правильні тесселяції складаються з фігур у вигляді правильних багатокутників, при суміщенні яких усі кути мають однакову форму. Існує всього три багатокутники, придатні для використання у правильних тесселяціях. Це правильний трикутник, квадрат і правильний шестикутник. Напівправильними тесселяціями називають такі тесселяції, в яких використані правильні багатокутники двох або трьох типів і всі вершини однакові. Існує всього 8 напівправильних тесселяцій. Разом три правильні тесселяції та вісім напівправильних звуться Архімедових. Тесселяції, в яких окремі плитки є пізнаваними фігурами, є однією з основних тем творчості Ешера. У його записниках міститься понад 130 варіантів тесселяцій. Він використав їх у величезній кількості своїх картин, серед яких "День і ніч" (1938), серія картин "Межа кола" I-IV, і знамениті "Метаморфози" I-III (). Приклади нижче – картини сучасних авторів Холістера Девіда (Hollister David) та Роберта Фатауера (Robert Fathauer).

3. Шматкове шиття з багатокутників

Якщо зі смугами, квадратами та трикутниками можна впоратися без особливої підготовки та без навичок за допомогою швейної машинки, то багатокутники вимагатимуть від нас багато терпіння та майстерності. Дуже багато майстринь клаптевого шиття воліють багатокутники збирати вручну. Життя кожної людини – це своєрідне клаптикове полотно, де яскраві та чарівні миті чергуються із сірими та чорними днями.

Кожна майстриня хіба що творить полотно свого життя. У цьому вся можна переконатися на роботах.

Вона захоплено трудиться створенням ковдр, ковдр, килимків, черпаючи натхнення в кожній своїй роботі.

4. Орнамент, вишивка та в'язання.

1). Орнамент

Наприклад, коло – сонце, квадрат – земля.

2). Вишивка

Кожен народ залежно від місцевих умов, особливостей побуту, звичаїв та природи створював свої прийоми вишивки, мотиви візерунків, їхню композиційну побудову. У російській вишивці, наприклад, велику роль відіграє геометричний орнамент і геометричні форми рослин та тварин: ромби, мотиви жіночої фігури, птахи, а також барсу з піднятою лапою.

У формі ромба зображалося сонце, птах символізував прихід весни тощо.

Візерунки вишивок, складені з геометричних форм і сильно геометричних мотивів.

Стара чуваська вишивка надзвичайно різноманітна. Різні види її застосовувалися при виготовленні одягу, зокрема полотняної сорочки. На сорочці багато прикрашалося вишивкою груди, поділ, рукави, спина. І тому, я вважаю, що чуваську національну вишивку слід почати з опису жіночої сорочки, як найбільш барвисто і багато прикрашеної орнаментом. На плечах і рукавах цього типу сорочки розташована вишивка геометричного, стилізованого рослинного, а іноді тваринного орнаменту. Плечова вишивка за своїм характером відрізняється від нарукавної, і вона є ніби продовженням плечової. На одній із старовинних сорочок вишивка разом із нашивками тасьми, спускаючись із плечей, йде вниз і закінчується на грудях гострим кутом. Нашивки розташовуються у вигляді ромбів, трикутників, квадратів. Усередині цих геометричних фігур - вишивка дрібна, сітчаста, а по зовнішньому краю вишиті великі гачкоподібні та зіркоподібні фігури. Такі вишивки збереглися у будинку Миколаєвих. Вишивала їх, моя родичка.

Ще один вид жіночого рукоділля – в'язання гачком. З давніх-давен жінки в'язали багато і невпинно. Цей вид рукоділля не менш захоплюючий, ніж вишивання. Ось одна із робіт Тамари Федорівни. Вона ж поділилася з нами своїми спогадами про те, як кожну дівчинку в селі вчили вишивати хрестиком канвою і гладдю, в'язати прошви. За кількістю вив'язаних прошв, за речами, прикрашеними вишивкою, мереживом, судили про дівчину як про наречену і майбутню господиню. Візерунки прошв були різні, вони передавалися з покоління в покоління, їх придумували самі майстрині. Повторюється в орнаменті прошви квітковий мотив, геометричні фігури, щільні стовпчики, застелені та незастелені грати. Тамара Федорівна у свої 89 років займається в'язанням гачком. Ось її рукоділля. В'яже вона для дітей, родичів, сусідів. Приймає навіть замовлення.

Висновок:Знаючи про багатокутники та їх види, можна створити дуже гарні предмети прикраси. І все це краса оточує нас.

Потреба прикрашати предмети побуту виникла в людей давно.

5. Геометричне різьблення

Так склалося, що Русь – країна лісів. І такий благодатний матеріал, як деревина завжди був під рукою. За допомогою сокири, ножа та деяких інших допоміжних інструментів людина забезпечувала себе всім необхідним для: життя: зводила житло та господарські будівлі, мости та вітряки, фортечні стіни та вежі, церкви, виготовляла верстати та знаряддя праці, кораблі та човни, сани та вози , меблі, посуд, дитячі іграшки та багато іншого.

У свята та години дозвілля веселив і душу залихватські награші на дерев'яних музичних інструментах: балалайках» сопілці, скрипці, гудках.

З дерева робили навіть хитромудрі та надійні замки для дверей. Один із таких замків зберігається у Державному історичному музеї у Москві. Виготовив його майстер-древоділ ще у XVIII столітті, любовно прикрасивши тригранно-виїмчастим різьбленням! (Це одна з назв геометричної різьблення,)

Геометричне різьблення - один із найдавніших видів різьблення по дереву, при якому зображувані фігури мають геометричну форму в різних комбінаціях. Геометричне різьблення складається з цілого ряду елементів, що утворюють різні орнаментальні композиції. Квадрати, трикутники, трапеції, ромби та прямокутники – це арсенал геометричних елементів, які дають можливість створювати оригінальні композиції з багатою гроюсвітлотіней.

Цю красу я могла бачити змалку. Мій дідусь, Михайло Якович Яковлєв, працював учителем технології у Ковалинській школі. За розповідями мами, він вів гуртки з різьблення. Сам займався цим. У доньок Михайла Яковича збереглися його роботи. Скринька – подарунок найстаршій онучці в день 16-річчя. Коробка для гри в «Нарді» – старшому онукові. Є столи, дзеркала, фоторамки.

Кожен виріб майстер намагався внести частинку краси. Насамперед, велика увага приділялася формі та пропорціям. Для кожного виробу деревина підбиралася з урахуванням її фізичних та механічних властивостей. Якщо красива текстура дерева сама по собі могла прикрасити вироби, її намагалися виявити і підкреслити.

IV. Приклади з життя

Хочу навести ще кілька прикладів застосування знань багатокутників у нашому житті.

1/При проведенні тренінгів: Багатокутники малюють люди досить вимогливі до себе та інших, які досягають у житті успіху не тільки завдяки протекції, а й своїм силам. Коли багатокутники мають п'ять, шість і більше кутів і пов'язані з прикрасами, то можна говорити, що їх малювала емоційна людина, яка іноді приймає інтуїтивні рішення.

2/Значення ворожіння на каві:

Якщо чотирикутника немає, це погана прикметапопереджає про майбутні біди.

Правильний чотирикутник - найкращий знак. Ваше життя пройде щасливо, і ви будете матеріально забезпечені, є прибутки.

Підсумуйте вашу роботу по аркушу контролю та виставте собі підсумкову позначку.

Чотирьохкутник - це простір на долоні між лінією голови та лінією серця. Його називають також стіл руки. Якщо середина чотирикутника широка з боку великого пальця і ще ширша з боку згинання долоні, це вказує на дуже хорошу організацію та додавання, на правдивість, вірність і взагалі щасливе життя.

3/ Хіромантія - ворожіння по руці

Фігура чотирикутника (вона має й іншу назву – «стіл руки») укладена між лініями серця, розуму, долі та Меркурія (печінки). Що стосується слабкої виразності чи повної відсутності останньої її функція виконується лінією Аполлона.

Чотирьохкутник, який має великий розмір, правильну форму, чіткі межі та розширення у напрямку пагорба Юпітера, свідчить про міцне здоров'я та хорошому характері. Такі люди готові пожертвувати собою заради інших, відкриті, нелицемірні, за що їх поважають оточуючі.

Якщо чотирикутник широкий, життя людини буде наповнено різними радісними подіями, матиме багато друзів. Занадто скромні розміри чотирикутника або кривизна сторін з усією очевидністю заявляють, що його людина - інфантильний, нерішучий, егоїстичний, його чуттєвість нерозвинена.

Велика кількість дрібних ліній у рамках чотирикутника – свідчення обмеженості розуму. Якщо всередині фігури видно хрест, що має форму «х», це говорить про ексцентричний характер досліджуваного і є поганим знаком. Хрест, що має правильну форму, повідомляє про те, що він схильний захоплюватися містицизмом.

1. Дивовижний багатокутник

Окрім теорії ци, принципів інь і ян та Дао, у навчанні фен-шуй існує ще одна фундаментальна концепція: «священний восьмикутник», що має назву ба-гуа. У перекладі з китайської це слово означає «тулуб дракона». Керуючись принципами ба-гуа, можна спланувати обстановку приміщення для того, щоб у ньому створювалася атмосфера, що сприяє максимальному душевному комфорту та матеріальному благополуччю. У Стародавньому Китаї вважалося, що восьмикутник – символ статку та щастя.

Характеристика секторів ба-гуа.

Кар'єра – північ

Колір сектора – чорний. Елементом, що сприяє гармонізації, є вода. Сектор пов'язаний безпосередньо з родом нашої діяльності, місцем роботи, реалізацією робочого потенціалу, професіоналізмом та заробітком. Успіх чи невдача у цьому плані безпосередньо залежить від благополуччя у районі даного сектора.

Знання – північний схід

Колір сектора – синій. Елемент - Земля, але впливає досить слабко. Сектор пов'язаний з розумом, здатністю до мислення, духовністю, прагненням до самовдосконалення, вмінням засвоювати отриману інформацію, пам'яттю та життєвим досвідом.

Сім'я – схід

Колір сектора – зелений. Елемент, що сприяє гармонізації - Дерево. Напрямок пов'язаний із сім'єю у найширшому розумінні цього слова. Маються на увазі не тільки ваші домочадці, але й усі родичі, включаючи далеких.

Багатство – південний схід

Колір сектора – фіолетовий. Елемент – Дерево – впливає слабко. Напрямок пов'язаний з нашим фінансовим станом, він символізує собою благополуччя та процвітання, матеріальний достаток та достаток абсолютно у всіх галузях.

Слава – південь

Колір – червоний. Елемент, що дає цій сфері активізуватися, - Вогонь. Цей сектор символізує вашу популярність та репутацію, думка про вас близьких та знайомих.

Шлюб – південний захід

Колір сектора – рожевий. Елемент – Земля. Сектор пов'язаний з коханою людиною, що символізує ваші відносини з ним. Якщо на даний момент у вашому житті такої людини немає, даний сектор є порожнечею, що очікує заповнення. Стан напряму підкаже вам, які шанси на швидку реалізацію потенціалу у сфері особистих відносин.

Діти – захід

Колір сектора – білий. Елемент – метал, але впливає слабко. Символізує собою вашу здатність до відтворення у будь-якій сфері як у фізичній, так і духовній. Мова може йти про дітей, творче самовираження, реалізацію різних планів, результат яких порадує вас і оточуючих і служитиме вашою візитною карткою надалі. Крім того, сектор пов'язаний з вашим умінням спілкуватися, відображає вашу здатність залучати до себе людей.

Корисні люди – північний захід

Колір сектора – сірий. Елемент – Метал. Напрямок символізує людей, на яких ви можете покластися у важких ситуаціях, показує наявність у вашому житті тих, хто здатний прийти на допомогу, надати підтримку, стати корисним для вас у тій чи іншій сфері. Крім того, сектор пов'язаний з подорожами та чоловічою половиною вашого сімейства.

Здоров'я – центр

Колір сектора – жовтий. Конкретного елемента немає, пов'язані з усіма елементами загалом, від кожного бере необхідну частку енергії. Область символізує ваше душевне та духовне здоров'я, зв'язок та гармонію всіх життєвих аспектів.

2. Число пі та правильні багатокутники.

14 березня цього року ось уже вдвадцяте відзначатиметься День пі - неформальне свято математиків, присвячене цьому дивному і загадковому числу. «Батьком» свята став Ларрі Шоу (Larry Shaw), який звернув увагу на те, що цей день (3.14 в американській системі запису дат) припадає на день народження Ейнштейна. І, напевно, це найкращий момент для того, щоб нагадати тим, хто далекий від математики, про чудові та дивні властивості цієї математичної константи.

Інтерес до значення числа π, що виражає відношення довжини кола до діаметра, з'явився ще в незапам'ятні часи. Відома формула довжини кола L = 2 π R одночасно є визначенням числа π. У давнину вважалося, що π = 3. Наприклад, про це згадується в Біблії. В епоху еллінізму вважалося, що, і цим значенням користувалися і Леонардо да Вінчі, і Галілео Галілей. Проте обидва наближення дуже грубі. Геометричний малюнок, що зображує коло, описане біля правильного шестикутника і вписане в квадрат, відразу дає найпростіші оцінки для π: 3< π < 4. Использование буквы π для обозначения этого числа было впервые предложено Уильямом Джонсом (William Jones, 1675–1749) в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια

Висновок:Ми відповіли на запитання: "Навіщо вивчати математику?" Тому, що у глибині душі у кожного з нас живе таємна надія пізнати себе, свій внутрішній світ, удосконалювати себе. Математика дає таку можливість – через творчість, через цілісне уявлення про світ. Восьмикутник – символ статку та щастя.

V. Правильні багатокутники в архітектурі

Велике зацікавлення форм правильних багатогранників виявляли також скульптори, архітектори, художники.

На уроках геометрії ми довідалися визначення, ознаки, властивості різних багатокутників.

Прочитавши літературу з історії архітектури, ми дійшли такого висновку, що світ довкола нас – це світ форм, він дуже різноманітний та дивовижний. Ми побачили, що будинки мають найрізноманітнішу форму.

Нас оточують предмети побуту різного виду. Вивчивши цю тему, ми справді побачили, що багатокутники оточують нас усюди. У Росії її будівлі дуже гарної архітектури як історичні, і сучасні, у кожному з яких можна знайти різні види багатокутників.

1. Архітектура міста Москви та інших міст світу.

Який гарний Московський Кремль. Чудові його вежі! Скільки цікавих геометричних фігур покладено в їхню основу! Наприклад, Набатна вежа. На високому паралелепіпеді стоїть менший паралелепіпед, з отворами для вікон, а ще вище споруджена чотирикутна усічена піраміда. На ній розташовані чотири арки, увінчані восьмикутною пірамідою. Геометричні фігури різної форми можна дізнатися і в інших чудових спорудах, зведених російськими архітекторами. собор Василя Блаженного)

Виразний контраст трикутника та прямокутника на фасаді привертає увагу відвідувачів музею Гронінгена (Голландія) (рис.9) Кругла, прямокутна, квадратна – всі ці форми чудово вживаються у будівлі Музею сучасного мистецтва в Сан-Франциско (США). Будівля Центру сучасного мистецтва імені Жоржа Помпіду в Парижі – поєднання гігантського прозорого паралелепіпеда з ажурною металевою арматурою.

2. Архітектура міста Чебоксари

Столиця Чуваської Республіки- місто Чебоксари (чув. Шупашкар), розташоване на правому березі Волги, має багатовікову історію. У письмових джерелахЧебоксари як поселення згадуються з 1469 - тоді російські воїни зупинилися тут на своєму шляху в Казанське ханство. Цей рік прийнято вважати часом заснування міста, але вже зараз історики наполягають на перегляді цієї дати – знайдені під час останніх археологічних розкопок матеріали вказують, що Чебоксари започатковані ще у 13 столітті переселенцями із болгарського міста Сувар.

Місто повсюдно славилося і своїм дзвоном – чебоксарські дзвони були відомі і в Росії, і в Європі.

Розвиток торгівлі, поширення православ'я та масове хрещення чуваського народу привели і до архітектурного розквіту міста – місто рясніло церквами та храмами, у кожному з яких видно різні багатокутники.

Чебоксари – дуже гарне місто. У столиці Чувашії напрочуд переплелася новизна сучасного мегаполісу та старовини, де виражений геометризм.. Виражено це насамперед в архітектурі міста. Причому дуже гармонійне переплетення сприймається як єдиний ансамбль і лише доповнює одне одного.

3. Архітектура села Ковалі

Красу та геометризм ви можете побачити і в нашому селі. Ось школа, яку збудували 1924 року, пам'ятник воїнам – солдатам.

Висновок:

Без геометрії не було б нічого, адже всі будинки, які оточують нас – це геометричні фігури.

Висновок

Провівши дослідження, ми дійшли висновку, що дійсно, знаючи про багатокутники та їхні види, можна створити дуже гарні предмети прикраси, збудувати різноманітні та унікальні будівлі. І все це краса навколишня нас.

Людські уявлення про гарне формуються під впливом того, що людина бачить у живій природі. У різних своїх творах, дуже далеких один від одного, вона може використовувати ті самі принципи. І ми можемо сказати, що багатокутники творять красу в мистецтві, архітектурі, природі, в оточенні людини.

Краса – усюди. Існує вона і в науці, і особливо в її перлині - математики. Пам'ятайте, що наука на чолі з математикою відкриє нам казкові скарби краси.

Список використаної литературы.

1. Моделі багатогранників. Пров. з англ. . М., «Світ», 1974

2. Математичні новели. Пров. з англ. . М., "Світ", 1974.

3. М. Введення у геометрію. М., Наука, 1966.

4. Математичний калейдоскоп. Пров. з польської. М., Наука, 1981.

5. Ерганжиева геометрія: Навчальний посібник для 5-6 кл. -

Смоленськ: Русич, 1995.

6. , Орлова з дерева. М.: Мистецтво

Можливо, буде корисно почитати: