Чому дорівнює гіпотенуза прямокутника? Як знайти сторони прямокутного трикутника? Основи геометрії

На самому початку нагадаємо, що трикутник - це багатогранник, у якого є 3 кути. Як визначити гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відомі інші величини трикутника?

Інструкція

  1. Відомі довжини катетів. У даному випадку, гіпотенузу можна обчислити, застосовуючи теорему Піфагора Ця теорема звучить так: сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. З цього слід, щоб розрахувати довжину гіпотенузи, необхідно звести у квадрат по черзі величину кожного катета. Після чого отримані цифри скласти, а із загального результату вже витягти квадратний корінь.
  2. Як знаходити гіпотенузу в трикутнику KFB, якщо відомий катет (ВК) і кут, що прилягає до нього? Відомий кут позначимо? Одне з властивостей прямокутного трикутника свідчить наступне, відношення довжини катета прямокутного трикутника до довжини гіпотенузи дорівнює косинус кута, розташованого між гіпотенузою і цим катетом. Записати це можна так: FB=BK*cos(α).
  3. Відомий інший катет (KF) і цей же кут α, Тепер уже він буде протилежним. Гіпотенуза також можна знайти, якщо застосувати ті самі властивості прямокутного трикутника. Тут ми отримаємо, відношення довжини катета прямокутного трикутника до довжини його гіпотенузи дорівнює синусу кута, що протилежить катету. Записуємо: FB = KF * sin (α).
  4. Як знайти гіпотенузу трикутника, якщо біля нього описано коло, в якому відомий її радіус. З властивостей кола, яка описана навколо прямокутного трикутника, відомо, що у такого кола центр збігається з точкою гіпотенузи, яка розділяє його навпіл. Іншими словами – радіус дорівнює половині гіпотенузи. А це означає, що два радіуси складають гіпотенузу: FB = 2 * R.

Знаючи властивості прямокутного трикутника та теорему Піфагора, дуже просто обчислити довжину гіпотенузи. Якщо вам все ж таки складно запам'ятати всі властивості, тоді просто вивчіть готові формули, в які дуже просто підставити відомі значення, щоб розрахувати довжину гіпотенузи

У перекладі з грецької мови, гіпотенуза - означає «натягнутий». Для правильного розуміння уявіть собі тятиву цибулі, яка з'єднує два кінці гнучкої палиці. Ось також і в прямокутному трикутникуНайбільшою за довжиною стороною є гіпотенуза, яка лежить проти прямого кута. Вона виступає з'єднувачем двох інших сторін, іменованих катетами. Щоб дізнатися, яка ж довжина цієї «тітьови», необхідно мати значення довжин катетів, або величину двох гострих кутів. Комбінуючи ці дані, можна вирахувати за допомогою формул потрібне значення.

Як знайти гіпотенузу з катетів

Найпростіший спосіб розрахунку, якщо ви знаєте величину двох катетів (позначимо один А, другий). На допомогу приходить сам Піфагор та його всесвітньо відома теорема. Вона розповідає нам, що й звести довжину катетів у квадрат і скласти пораховані значення, то результаті ми дізнаємося значення довжини гіпотенузи зведене в квадрат. З наведеного вище зробимо висновок: для знаходження величини гіпотенузи необхідно витягти квадратний корінь із загальної суми квадратів катетів С=√(А²+В²). Приклад: катет А=10 см, катет В=20 см. Гіпотенуза при цьому дорівнює 22,36 см. Розрахунок відбувається так: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.

Як знайти гіпотенузу через кут

Дещо складніше розрахувати довжину гіпотенузи через заданий кут. Якщо ви знаєте розмір одного з двох катетів (позначимо А) та величину кута (позначимо α), що лежить навпроти нього, то розмір гіпотенузи знаходиться за допомогою тригонометрії, а конкретно – синуса. Все, що потрібно зробити, це розділити значення відомого катета на синус кута. З=А/sin(?). Приклад: довжина катета А=30 див, кут навпроти нього 45°, гіпотенуза у своїй буде 42,25 див. Розрахунок відбувається так: 30/sin(45°)=30/0,71=42,25.

Ще один спосіб – знайти розмір гіпотенузи через косинус. Він застосовується якщо вам відомий розмір катета (позначимо В) та гострого кута (позначимо α), що прилягає до нього. Все, що потрібно зробити, це розділити значення катета на синус кута. С=В/cos(?). Приклад: довжина катета = 30 см, кут навпроти нього 45 °, гіпотенуза при цьому буде 42,25 см. Розрахунок відбувається так: 30 / cos (45 °) = 30/0,71 = 42,25.

Як знайти гіпотенузу рівнобедреного прямокутного трикутника

Кожен, хто шанує себе школяр знає, що трикутник рівнобедрений, за умови, що дві з трьох сторін рівні між собою. Ці сторони називаються бічними, а що залишається - основою. Якщо ж один із кутів дорівнює 90°, то перед вами рівнобедрений прямокутний трикутник.

Щоб знайти гіпотенузу в такому трикутнику, просто, адже він має кілька властивостей, які допоможуть. Вугілля, що прилягає до основи, однакове за значенням, загальна сума значень кутів дорівнює 180°. Це означає, що прямий кут лежить навпроти основи, значить основа – гіпотенуза, катетами є бічні сторони.

Розглянемо приклад: катет А = 2 см, отже, і інший катет дорівнює 2 см. Таким чином перезапишемо теорему Піфагора: С2 = 2 * А². Підставивши дані у формулу отримаємо значення величини гіпотенузи рівним 2,83 см. Висновок: якщо одна сторона рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 2 см, то основа у нього дорівнює 2,83 см.

Прямокутним називається трикутник, один із кутів якого дорівнює 90º. Сторона, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою, а дві інші – катетами.

Щоб знайти кут у прямокутному трикутнику, використовуються деякі властивості прямокутних трикутників, а саме: те, що сума гострих кутів дорівнює 90º, а також те, що навпроти катета, довжина якого вдвічі менша за гіпотенузу, лежить кут, що дорівнює 30º.

Швидка навігація за статтею

Рівнобедрений трикутник

Одна з властивостей рівнобедреного трикутника – два його кути рівні. Для обчислення значень кутів прямокутного рівнобедреного трикутника потрібно знати, що:

  • Прямий кут дорівнює 90 º.
  • Значення гострих кутів визначаються за такою формулою: (180º-90º)/2=45º, тобто. кути α і β дорівнюють 45º.

Якщо відома величина одного з гострих кутів, другий можна знайти за формулою: β=180º-90º-α, або α=180º-90º-β. Найчастіше це співвідношення використовується, якщо один із кутів дорівнює 60º або 30º.

Ключові поняття

Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 º. Так як один кут прямий, двоє, що залишилися, будуть гострими. Для їх знаходження необхідно знати, що:


Інші способи

Величини гострих кутів прямокутного трикутника можна обчислити, знаючи значення медіани - лінії, проведеної з вершини до протилежної стороні трикутника, і висоти - прямий, що є перпендикуляром, опущений з прямого кута на гіпотенузу. Нехай s – медіана, проведена із прямого кута до середини гіпотенузи, h – висота. У такому разі виходить, що:


  • sin = b/(2*s); sin β =a/(2*s).
  • cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
  • sin = h/b; sin β = h/a.

Дві сторони

Якщо у прямокутному трикутнику відомі довжини гіпотенузи та одного з катетів, або дві сторони, для знаходження значень гострих кутів використовуються тригонометричні тотожності:

  • α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
  • α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
  • α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).
Поділіться цією статтеюіз друзями в соц. мережах:

Інструкція

Якщо необхідно розрахувати гіпотенузу за теоремою Піфагора, скористайтеся наступним алгоритмом: - Визначте у трикутнику, які сторони є катетами, а яка – гіпотенузою. Дві сторони, що утворюють кут дев'яносто градусів і є катети, третя сторона трикутника, що залишилася, - гіпотенуза. (див рисунок)- Зведіть на другий ступінь кожен катет даного трикутника, тобто помножте їх значення на себе. Приклад 1. Нехай треба обчислити гіпотенузу, якщо один катет у трикутнику – 12 см, а інший – 5 см. По-перше, квадрати катетів дорівнюють: 12*12=144 см та 5*5 = 25 см. – Далі визначте суму квадратів катетів. Певна кількість є квадратом гіпотенузи, значить потрібно позбутися другого ступеня числа, щоб знайти довжинуцієї сторони трикутника. Для цього витягніть із-під квадратного кореня значення суми квадратів катетів. Приклад 1. 144 25 = 169. Корінь квадратний з 169 буде 13. Отже, довжина даної гіпотенузидорівнює 13 см.

Інший спосіб обчислення довжини гіпотенузиполягає в термінології синуса та косинуса кутів у трикутнику. За визначенням: синус кута альфа - це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Тобто, дивлячись на малюнок, sin a = CВ/АВ. Звідси, гіпотенуза АВ = СВ / sin a. Приклад 2. Нехай кут дорівнює 30 градусам, а протилежний йому катет - 4 см. Потрібно знайти гіпотенузу. Рішення: АВ = 4 см/sin 30 = 4 см / 0,5 = 8 см. Відповідь: довжина гіпотенузидорівнює 8 см.

Аналогічний спосіб знаходження гіпотенузиіз визначення косинуса кута. Косинус кута - ставлення катета, що прилягає до нього і гіпотенузи. Тобто cos а = АС/АВ, звідси АВ = АС/cos а. Приклад 3. У трикутнику АВС, АВ – гіпотенуза, кут ВАС дорівнює 60 градусам, катет АС – 2 см. Знайти АВ.
Рішення: АВ = АС/cos 60 = 2/0,5 = 4 см. Відповідь: гіпотенуза становить 4 см завдовжки.

Порада 2: Як знайти довжину гіпотенузи у прямокутному трикутнику

Гіпотенузою називають найдовшу зі сторін прямокутному трикутнику, тому не дивно, що з грецької мови це слово перекладається як «натягнута». Ця сторона завжди лежить навпроти кута 90°, а сторони, що утворюють цей кут називають катетами. Знаючи довжини цих сторін та величини гострих кутів у різних комбінаціях цих значень можна обчислити і довжину гіпотенузи.

Інструкція

Якщо відомі довжини обох катетів трикутника (А і В), то використовуйте для знаходження довжини гіпотенузи (С) найвідоміший на нашій планеті математичний постулат - теорему Піфагора. Він свідчить, що квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів, з чого випливає, що вам слід обчислити квадратний корінь із суми зведених у квадрат довжин двох відомих сторін: С=√(А²+В²). Наприклад, якщо довжина одного катета дорівнює 15 сантиметрів, а іншого - 10 сантиметрів, то довжина гіпотенузи становитиме приблизно 18,0277564 сантиметри, тому що √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,027

Якщо відома довжина тільки одного з катетів (А) у прямокутному трикутнику, а також величина кута, що лежить навпроти нього (α), то довжину гіпотенузи (С) можна визначити за допомогою однієї з тригонометричних функцій- Синуса. Для цього розділіть довжину відомої сторони на синус відомого кута: С=А/sin(α). Наприклад, якщо довжина одного з катетів дорівнює 15 сантиметрів, а величина кута в протилежній йому вершині трикутника становить 30°, то довжина гіпотенузи дорівнюватиме 30 сантиметрів, оскільки 15/sin(30°)=15/0,5=30.

Геометрія – наука не проста. Вона може стати в нагоді як для шкільної програми, так і в реального життя. Знання багатьох формул і теорем спростить геометричні обчислення. Одна з найбільш простих фігуру геометрії – це трикутник. Один із різновидів трикутників, рівносторонній, має свої особливості.

Особливості рівностороннього трикутника

Згідно з визначенням, трикутник — це багатогранник, який має три кути та три сторони. Це плоска двовимірна фігура, її властивості вивчаються в середній школі. За типом кута розрізняють гострокутні, тупокутні та прямокутні трикутники. Прямокутний трикутник - така геометрична фігура, де один із кутів дорівнює 90º. Такий трикутник має два катети (вони створюють прямий кут), і одну гіпотенузу (вона знаходиться навпроти прямого кута). Залежно від того, які величини відомі, існує три простих способуобчислити гіпотенузу прямокутного трикутника.

Перший спосіб знайти гіпотенузу прямокутного трикутника. теорема Піфагора

Теорема Піфагора - найдавніший спосіб обчислити будь-яку зі сторін прямокутного трикутника. Звучить вона так: «У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів». Таким чином, щоб обчислити гіпотенузу, слід вивести квадратний корінь із суми двох катетів у квадраті. Для наочності наведені формули та схема.


Другий спосіб. Обчислення гіпотенузи за допомогою 2-х відомих величин: катета та прилеглого кута

Одна з властивостей прямокутного трикутника свідчить, що відношення довжини катета до довжини гіпотенузи, рівносильне косинусу кута між етичним катетом і гіпотенузою. Назвемо відомий нам кут α. Тепер завдяки відомому визначенню можна легко сформулювати формулу для обчислення гіпотенузи: Гіпотенуза = катет/cos(α)


Третій спосіб. Обчислення гіпотенузи за допомогою 2х відомих величин: катета та протилежного кута

Якщо відомий протилежний кут, можна знову скористатися властивостями прямокутного трикутника. Відношення довжини катета та гіпотенузи рівносильне синусу протилежного кута. Знову назвемо відомий кутα. Тепер для обчислень застосуємо трохи іншу формулу:
Гіпотенуза = катет/sin (α)


Приклади, які допоможуть розібратися з формулами

Для глибшого розуміння кожної з формул слід розглянути наочні приклади. Отже, припустимо, дано прямокутний трикутник, де є такі дані:

  • Катет - 8 см.
  • Прилеглий кут cosα1 - 0.8.
  • Протилежний кут sinα2 - 0.8.

По теоремі Піфагора: Гіпотенуза = корінь квадратний (36 +64) = 10 см.
За величиною катета та прилеглого кута: 8/0.8 = 10 см.
За величиною катета та протилежного кута: 8/0.8 = 10 см.

Розібравшись у формулі, можна легко обчислити гіпотенузу з будь-якими даними.


Відео: Теорема Піфагора



 

Можливо, буде корисно почитати: