Методи інтегрування. Методи вирішення невизначених інтегралів

Лекція 12

1 . Безпосереднє інтегрування - Обчислення інтегралів за допомогою таблиці найпростіших інтегралів, правил інтегрування та властивостей невизначених інтегралів.

Приклад 1. +З .

Використана формула тригонометрії: .

Приклад2.

тут виконано очевидне перетворення підінтегрального вираження, і замість змінної інтегрування х прийнято вираз (a–bx), щодо цієї змінної виходить табличний інтеграл. Такий прийом іноді називають « загінкою » під знак диференціалу певного виразу.

Дійсно: .


2 . Метод заміни змінної . Метод підстановки .

Нехай y=f(x), x X . Введемо нову змінну t , поклавши x=(t) , t T, тоді y=f(x)=f((t)) ;dx=(t)dt і

Після інтегрування останнього виразу слід у результаті перейти до старої змінної.

Цей метод застосовується, коли підінтегральна функція є складною функцією.

приклад. Знайти інтеграл : .

Рішення.

1. Заміна змінної: х=t/4 , тоді dx=dt/4.

Підставивши х і dx у вихідний інтеграл, отримаємо:

= .

2. Підстановка: 4х = t тоді dx = dt/4 . Отримаємо ту саму відповідь.


3. Метод інтегрування « частинами» .

Нехай у проміжку Х задані дві безперервно диференційовані функції u(x) і v(x) .

Запишемо вираз для диференціала їхнього твору:

Проінтегруємо ліву та праву частини отриманого виразу:

звідси випливає формула інтегрування частинами:


Метод інтегрування частинами застосовують для цілого класу інтегралів, наприклад, коли підінтегральна функція містить:

1) будь-яку функцію, якої немає в таблиці найпростіших інтегралів:

або її твір на багаточлен P(x) :

, .

В цьому випадку за u приймають, відповідно, , і т. д., а за dv - Вираз P(x)dx ., так що одна з первісних v легко може бути визначено: ,

(Тут при інтегруванні довільну постійну слід опустити);


2) добуток багаточлена на тригонометричну функцію або на експоненту: .

В цьому випадку за u слід прийняти P(x) , а за dv – решту підінтегрального виразу: exdx, sin xdx, і т.д.

Операцію інтегрування частинами можна застосовувати багаторазово, що іноді дозволяє вирішити завдання.


Приклад 1. Знайти інтеграл .

Рішення.

Покладемо ln x = u , dx =dv (тут P(x) =1 ).

Тоді du = d(ln x) =, v = =x - Одна з первісних.

Використовуючи формулу інтегрування частинами ,

отримуємо:

=xln x – =x ln x – =x ln x – x +C = x(ln x – 1 ) +C .

Приклад 2.

Знайти інтеграл .

Рішення.

Нехай x =u (P(x) =x ), =DVD = , v =.

Використовуючи формулу інтегрування частинами, отримуємо:



=x sin x – = x sin x + cos x +C .

Приклад 3. Знайти інтеграл .

Рішення.

Покладемо x =u , e x dx =dv .

Тоді du =dx , v =ex .

=xe x–=xe x – e x= e x (x – 1) +З.


Приклад 4. Знайти інтеграл .

Рішення.

Покладемо x 2 =u , e х dx =dv .

Тоді du =2xdx , v =e x .

За формулою інтегрування частинами отримуємо:

=x 2 ∙e x –2 .

Застосуємо ще раз інтегрування частинами (див. приклад 3):

x 2 e x–2 = x 2 e x- 2 (xe x- e x)+C =

= e x (х 2–2x+2) +C .


4.Метод невизначених коефіцієнтів

Застосовується для інтегрування раціональних функцій

де і – багаточлени, і ступінь чисельника менший за ступінь знаменника (правильний дріб), неправильний дріб можна шляхом поділу багаточлена на багаточлен звести до суми деякого багаточлена та правильного дробу.


За теоремою з алгебри, кожен багаточлен ступеня n зі старшим коефіцієнтом, рівним одиниці, що має дійсне різне коріння x 1 ,x 2 , ..., x n , можна уявити так:

Q(x )=(x – x 1 )(x – x 2 )(x – x n ).

Тоді правильний дріб можна розкласти на найпростіші дроби та записати:

де A 1 ,A 2 , ...,A n - Деякі числа (невизначені коефіцієнти).


Привівши праву частину виразу до спільного знаменника і прирівнявши потім коефіцієнти при однакових ступенях х у чисельнику лівої та правої частини, отримаємо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів A 1,A 2, ...,A n .

Після цього інтегрування раціональної функції зводиться до знаходження n інтегралів виду:


приклад. Знайти інтеграл .

Рішення. Підінтегральна функція є правильним дробом, розкладемо його на найпростіші дроби.

Знаменник має речові, різне коріння: x 1= 0 ,x 2 =2 ,x 3= –2 . Отже , x3–4x= x(x-2)(x+2 ) ,

Складні інтеграли

Ця стаття завершує тему невизначених інтегралів і до неї включені інтеграли, які я вважаю досить складними. Урок створений на неодноразові прохання відвідувачів, які висловлювали побажання, щоб на сайті були розібрані і складніші приклади.

Передбачається, що читач цього тексту добре підготовлений та вміє застосовувати основні прийоми інтегрування. Чайникам і людям, які не дуже впевнено розуміються на інтегралах, слід звернутися до першого уроку – Невизначений інтеграл. Приклади рішеньде можна освоїти тему практично з нуля. Більш досвідчені студенти можуть ознайомитися з прийомами та методами інтегрування, які ще не зустрічалися в моїх статтях.

Які інтеграли буде розглянуто?

Спочатку ми розглянемо інтеграли з корінням, для вирішення яких послідовно використовується заміна змінноїі інтегрування частинами. Тобто, в одному прикладі комбінуються одразу два прийоми. І навіть більше.

Потім ми познайомимося з цікавим та оригінальним методом зведення інтеграла до себе. Цим способом вирішується не так вже й мало інтегралів.

Третім номером програми підуть інтеграли від складних дробів, які пролетіли повз касу в попередніх статтях.

По-четверте, буде розібрано додаткові інтеграли від тригонометричних функцій. Зокрема, існують методи, які дозволяють уникнути трудомісткої універсальної тригонометричної підстановки.

(2) У підінтегральній функції почленно ділимо чисельник на знаменник.

(3) Використовуємо властивість лінійності невизначеного інтегралу. В останньому інтегралі відразу підводимо функцію під знак диференціалу.

(4) Беремо інтеграли, що залишилися. Зверніть увагу, що в логарифмі можна використовувати дужки, а не модуль, оскільки .

(5) Проводимо зворотну заміну, висловивши із прямої заміни «те»:

Студенти-мазохісти можуть продиференціювати відповідь і отримати вихідну підінтегральну функцію, як тільки це зробив я. Ні-ні, я в правильному сенсі виконав перевірку =)

Як бачите, в ході рішення довелося використовувати навіть більше двох прийомів рішення, таким чином, для розправи з подібними інтегралами потрібні впевнені навички інтегрування та не найменший досвід.

На практиці, звичайно, частіше зустрічається квадратний корінь, ось три приклади для самостійного вирішення:

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 3

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 4

Знайти невизначений інтеграл

Ці приклади однотипні, тому повне рішення наприкінці статті буде лише для Прикладу 2, у Прикладах 3-4 – одні відповіді. Яку заміну застосовувати на початку рішень, гадаю, очевидно. Чому я підібрав однотипні приклади? Часто зустрічаються у своєму амплуа. Найчастіше, мабуть, тільки щось на зразок .

Не завжди, коли під арктангенсом, синусом, косинусом, експонентою та інших. функціями перебуває корінь з лінійної функції, доводиться застосовувати відразу кілька методів. У ряді випадків вдається "легко відбутися", тобто відразу після заміни виходить простий інтеграл, який елементарно береться. Найлегшим із запропонованих вище завдань є Приклад 4, у ньому після заміни виходить відносно нескладний інтеграл.

Методом зведення інтеграла до себе

Дотепний та красивий метод. Негайно розглянемо класику жанру:

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл

Під коренем знаходиться квадратний двочлен, і при спробі проінтегрувати цей приклад чайник може страждати годинами. Такий інтеграл береться частинами і зводиться до себе. У принципі, не складно. Якщо знаєш як.

Позначимо аналізований інтеграл латинською літерою і почнемо рішення:

Інтегруємо частинами:

(1) Готуємо підінтегральну функцію для почленного поділу.

(2) Почленно ділимо підінтегральну функцію. Можливо, не всім зрозуміло, розпишу докладніше:

(3) Використовуємо властивість лінійності невизначеного інтегралу.

(4) Беремо останній інтеграл («довгий» логарифм).

Тепер дивимося на початок рішення:

І наприкінці:

Що сталося? Внаслідок наших маніпуляцій інтеграл звівся до самого себе!

Прирівнюємо початок і кінець:

Переносимо до лівої частини зі зміною знака:

А двійку зносимо у праву частину. В результаті:

Константу, строго кажучи, треба було додати раніше, але приписав її наприкінці. Настійно рекомендую прочитати, у чому тут строгість:

Примітка: Суворіше заключний етап рішення виглядає так:

Таким чином:

Константу можна перепозначити через . Чому можна перепозначити? Тому що все одно приймає будь-якізначення, і в цьому сенсі між константами немає жодної різниці.
В результаті:

Подібний трюк з перепозначенням константи широко використовується в диференціальних рівняннях. І там я буду суворий. А тут така вільність допускається мною тільки для того, щоб не плутати вас зайвими речами та акцентувати увагу саме на методі інтегрування.

Приклад 6

Знайти невизначений інтеграл

Ще один типовий інтеграл для самостійного вирішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. Різниця з відповіддю попереднього прикладу буде!

Якщо під квадратним коренем знаходиться квадратний тричлен, то рішення у будь-якому випадку зводиться до двох розібраних прикладів.

Наприклад, розглянемо інтеграл . Все, що потрібно зробити – попередньо виділити повний квадрат:
.
Далі проводиться лінійна заміна, яка обходиться «без жодних наслідків»:
, у результаті виходить інтеграл . Щось знайоме, правда?

Або такий приклад із квадратним двочленом:
Виділяємо повний квадрат:
І, після лінійної заміни, отримуємо інтеграл, який також вирішується за вже розглянутим алгоритмом.

Розглянемо ще два типові приклади на прийом відомості інтеграла до самого себе:
- Інтеграл від експоненти, помноженої на синус;
- Інтеграл від експоненти, помноженої на косинус.

У перерахованих інтегралах частинами доведеться інтегрувати вже двічі:

Приклад 7

Знайти невизначений інтеграл

Підінтегральна функція – експонента, помножена на синус.

Двічі інтегруємо частинами і зводимо інтеграл до себе:


В результаті дворазового інтегрування частинами інтеграл звівся до самого себе. Прирівнюємо початок та закінчення рішення:

Переносимо в ліву частину зі зміною знака та виражаємо наш інтеграл:

Готово. Принагідно бажано зачесати праву частину, тобто. винести експоненту за дужки, а в дужках розташувати синус із косинусом у «красивому» порядку.

Тепер повернемося до початку прикладу, а точніше – до інтегрування частинами:

За ми окреслили експоненту. Виникає питання, чи саме експоненту завжди потрібно позначати за ? Не обов'язково. Насправді у розглянутому інтегралі принципово без різниці, Що позначати за , можна було піти іншим шляхом:

Чому таке можливе? Тому що експонента перетворюється сама на себе (і при диференціюванні, і при інтегруванні), синус з косінусом взаємно перетворюються один на одного (знов-таки – і при диференціюванні, і при інтегруванні).

Тобто, можна позначити і тригонометричну функцію. Але у розглянутому прикладі це менш раціонально, оскільки з'являться дроби. За бажання можете спробувати вирішити цей приклад другим способом, відповіді обов'язково повинні збігтися.

Приклад 8

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. Перед тим як вирішувати, подумайте, що вигідніше в даному випадку позначити за експоненту, тригонометричну функцію? Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

І, звичайно, не забувайте, що більшість відповідей цього уроку досить легко перевірити диференціюванням!

Приклади були розглянуті не найскладніші. Насправді частіше зустрічаються інтеграли, де константа є у показнику експоненти й у аргументі тригонометричної функції, например: . Поплутатися в подібному інтегралі доведеться багатьом, часто плутаюсь і я сам. Справа в тому, що у вирішенні велика ймовірність появи дробів, і дуже просто що-небудь через неуважність втратити. Крім того, велика ймовірність помилки у знаках, зверніть увагу, що у показнику експоненти є знак «мінус», і це вносить додаткову трудність.

На завершальному етапі часто виходить приблизно таке:

Навіть наприкінці рішення слід бути дуже уважним і грамотно розібратися з дробами:

Інтегрування складних дробів

Потроху підбираємось до екватора уроку і починаємо розглядати інтеграли від дробів. Знову ж таки, не всі вони суперскладні, просто з тих чи інших причин приклади були трохи «не в тему» ​​в інших статтях.

Продовжуємо тему коріння

Приклад 9

Знайти невизначений інтеграл

У знаменнику під коренем знаходиться квадратний тричлен плюс за межами кореня доважок у вигляді ікса. Інтеграл такого виду вирішується за допомогою стандартної заміни.

Вирішуємо:

Заміна тут проста:

Дивимося на життя після заміни:

(1) Після підстановки приводимо до спільного знаменника доданки під коренем.
(2) Виносимо з-під кореня.
(3) Чисельник і знаменник скорочуємо на . Заодно під коренем я переставив доданки у зручному порядку. При певному досвіді кроки (1) (2) можна пропускати, виконуючи прокоментовані дії усно.
(4) Отриманий інтеграл, як ви пам'ятаєте з уроку Інтегрування деяких дробіввирішується методом виділення повного квадрата. Виділяємо повний квадрат.
(5) Інтегруванням отримуємо пересічний «довгий» логарифм.
(6) Проводимо зворотну заміну. Якщо спочатку , то назад: .
(7) Заключна дія спрямована на зачіску результату: під коренем знову наводимо доданки до спільного знаменника і виносимо з-під кореня.

Приклад 10

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. Тут до самотнього «ікса» додано константу, і заміна майже така сама:

Єдине, що потрібно додатково зробити – висловити «ікс» із заміни, що проводиться:

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Іноді в такому інтегралі під коренем може бути квадратний двочлен, це не змінює спосіб вирішення, воно буде навіть простіше. Відчуйте різницю:

Приклад 11

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 12

Знайти невизначений інтеграл

Короткі рішення та відповіді наприкінці уроку. Слід зазначити, що приклад 11 є в точності біноміальним інтегралом, метод вирішення якого розглядався на уроці Інтеграли від ірраціональних функцій.

Інтеграл від нерозкладного багаточлена 2-го ступеня

(багаточлен у знаменнику)

Більш рідкісний, проте, що зустрічає у практичних прикладах вид інтеграла.

Приклад 13

Знайти невизначений інтеграл

Але повернемося, наприклад, зі щасливим номером 13 (чесне слово, не підгадав). Цей інтеграл теж із розряду тих, з якими можна неабияк промучитися, якщо не знаєш, як вирішувати.

Рішення починається зі штучного перетворення:

Як почленно розділити чисельник на знаменник, гадаю, вже всі розуміють.

Отриманий інтеграл береться частинами:

Для інтеграла виду ( – натуральне число) виведено рекурентнаформула зниження ступеня:
, де - Інтеграл ступенем нижче.

Переконаємося у справедливості цієї формули для вирішеного інтеграла.
В даному випадку: , , використовуємо формулу:

Як бачите, відповіді збігаються.

Приклад 14

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення. У зразку рішення двічі послідовно використана вищезгадана формула.

Якщо під ступенем знаходиться нерозкладний на множникиквадратний тричлен, то рішення зводиться до двочлена шляхом виділення повного квадрата, наприклад:

Що робити, якщо додатково в чисельнику є багаточлен? У цьому випадку використовується метод невизначених коефіцієнтів і підінтегральна функція розкладається у суму дробів. Але у моїй практиці такого прикладу не зустрічалося жодного разутому я пропустив цей випадок у статті Інтеграли від дробово-раціональної функції, пропущу і зараз. Якщо такий інтеграл таки зустрінеться, дивіться підручник – там просто. Не вважаю за доцільне включати матеріал (навіть нескладний), ймовірність зустрічі з яким прагне до нуля.

Інтегрування складних тригонометричних функцій

Прикметник «складний» більшість прикладів знову носить багато в чому умовний характер. Почнемо з тангенсів та котангенсів у високих ступенях. З погляду використовуваних методів вирішення тангенс і котангенс – майже одне й теж, тому я більше говоритиму про тангенс, маючи на увазі, що продемонстрований прийом рішення інтеграла справедливий і для котангенсу теж.

На вищезгаданому уроці ми розглядали універсальну тригонометричну підстановкуна вирішення певного виду інтегралів від тригонометричних функцій. Недолік універсальної тригонометричної підстановки у тому, що з її застосуванні часто виникають громіздкі інтеграли з важкими обчисленнями. І у ряді випадків універсальної тригонометричної підстановки можна уникнути!

Розглянемо ще один канонічний приклад, інтеграл від одиниці, поділеної на синус:

Приклад 17

Знайти невизначений інтеграл

Тут можна використовувати універсальну тригонометричну підстановку та отримати відповідь, але існує більш раціональний шлях. Я наведу повне рішення з коментами до кожного кроку:

(1) Використовуємо тригонометричну формулу синуса подвійного кута.
(2) Проводимо штучне перетворення: У знаменнику ділимо та множимо на .
(3) За відомою формулою у знаменнику перетворюємо дріб на тангенс.
(4) Підводимо функцію під знак диференціала.
(5) Беремо інтеграл.

Пара простих прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 18

Знайти невизначений інтеграл

Вказівка: Найпершою дією слід використовувати формулу приведення та акуратно провести аналогічні попередньому прикладу дії.

Приклад 19

Знайти невизначений інтеграл

Ну, це дуже простий приклад.

Повні рішення та відповіді наприкінці уроку.

Думаю, тепер ні в кого не виникне проблем із інтегралами:
і т.п.

У чому полягає ідея методу? Ідея полягає в тому, щоб за допомогою перетворень, тригонометричних формул організувати в підінтегральній функції тільки тангенси та похідну тангенсу. Тобто йдеться про заміну: . У Прикладах 17-19 ми фактично й застосовували цю заміну, але інтеграли були настільки прості, що справа обійшлася еквівалентною дією – підведенням функції під знак диференціалу.

Аналогічні міркування, як я вже говорив, можна провести для котангенсу.

Існує і формальна передумова для застосування вищезазначеної заміни:

Сума ступенів косинуса та синуса – ціле негативне ЧЕТНЕ число, наприклад:

для інтеграла – ціле негативне ЧЕТНЕ число.

! Примітка Якщо підінтегральна функція містить ТІЛЬКИ синус або ТІЛЬКИ косинус, то інтеграл береться і при негативному непарному ступені (найпростіші випадки – у Прикладах №№17, 18).

Розглянемо пару більш змістовних завдань цього правила:

Приклад 20

Знайти невизначений інтеграл

Сума ступенів синуса та косинуса: 2 – 6 = –4 – ціле негативне ЧЕТНЕ число, отже, інтеграл можна звести до тангенсів та його похідної:

(1) Перетворимо знаменник.
(2) За відомою формулою отримуємо .
(3) Перетворимо знаменник.
(4) Використовуємо формулу .
(5) Підбиваємо функцію під знак диференціала.
(6) Проводимо заміну. Досвідченіші студенти заміну можуть і не проводити, але все-таки краще замінити тангенс однією літерою – менше ризик заплутатися.

Приклад 21

Знайти невизначений інтеграл

Це приклад самостійного рішення.

Тримайтеся, починаються чемпіонські раунди =)

Найчастіше в підінтегральній функції знаходиться «солянка»:

Приклад 22

Знайти невизначений інтеграл

У цьому інтегралі спочатку є тангенс, що відразу наштовхує на вже знайому думку:

Штучне перетворення на самому початку та інші кроки залишу без коментарів, оскільки про все вже говорилося вище.

Пара творчих прикладів для самостійного вирішення:

Приклад 23

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 24

Знайти невизначений інтеграл

Так, у них, звичайно, можна знизити ступеня синуса, косинуса, використовувати універсальну тригонометричну підстановку, але рішення буде набагато ефективнішим і коротшим, якщо його провести через тангенси. Повне рішення та відповіді наприкінці уроку

Функція F(x), що диференціюється в даному проміжку X, називається первісної функції f(x), або інтегралом від f(x), якщо для кожного x ∈X справедлива рівність:

F "(x) = f(x). (8.1)

Знаходження всіх первісних для цієї функції називається її інтегрування. Невизначеним інтегралом функції f(x) на даному проміжку Х називається безліч всіх первісних функцій для функції f(x); позначення -

Якщо F(x) - якась первоподібна для функції f(x), то ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

де С-довільна постійна.

Таблиця інтегралів

Безпосередньо з визначення отримуємо основні властивості невизначеного інтегралу та список табличних інтегралів:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Список табличних інтегралів

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Заміна змінної

Для інтегрування багатьох функцій застосовують метод заміни змінної або підстановки,що дозволяє приводити інтеграли до табличної форми.

Якщо функція f(z) неперервна на [α,β], функція z =g(x) має безперервну похідну і α ≤ g(x) ≤ β, то

∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

причому після інтегрування у правій частині слід зробити підстановку z = g (x).

Для доказу достатньо записати вихідний інтеграл у вигляді:

∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Наприклад:

Метод інтегрування частинами

Нехай u = f(x) та v = g(x) - функції, що мають безперервні . Тоді, за творами,

d(uv))= udv + vdu або udv = d(uv) - vdu.

Для вираження d(uv) первісної, очевидно, буде uv, тому має місце формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ця формула виражає правило інтегрування частинами. Воно наводить інтегрування виразу udv=uv"dx до інтегрування виразу vdu=vu"dx.

Нехай, наприклад, потрібно знайти ∫xcosx dx. Покладемо u = x, dv = cosxdx, отже du=dx, v=sinx. Тоді

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило інтегрування частинами має більш обмежену сферу застосування, ніж заміна змінної. Але є цілі класи інтегралів, наприклад,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax та інші, які обчислюються саме за допомогою інтегрування частинами.

Визначений інтеграл

Поняття певного інтеграла вводиться в такий спосіб. Нехай на відрізку визначено функцію f(x). Розіб'ємо відрізок [a, b] на nчастин точками a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Сума виду f(ξ i)Δ x i називається інтегральною сумою, а її межа при λ = maxΔx i → 0, якщо вона існує і кінцева, називається певним інтеграломфункції f(x) від aдо bі позначається:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функція f(x) у разі називається інтегрованої на відрізку, числа a та b носять назву нижньої та верхньої межі інтегралу.

Для певного інтеграла справедливі такі характеристики:

4), (k = const, k R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Остання властивість називається теорема про середнє значення.

Нехай f(x) безперервна на . Тоді на цьому відрізку існує невизначений інтеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

і має місце формула Ньютона-Лейбніца, що пов'язує певний інтеграл з невизначеним:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрична інтерпретація: певний інтеграл є площею криволінійної трапеції, обмеженою зверху кривою y=f(x), прямими x = a і x = b і відрізком осі Ox.

Невласні інтеграли

Інтеграли з нескінченними межами та інтеграли від розривних (необмежених) функцій називаються невласними. Невласні інтеграли I роду -це інтеграли на нескінченному проміжку, що визначаються таким чином:

(8.7)

Якщо ця межа існує і кінцева, то називається схожим невласним інтегралом від f(x)на інтервалі [а,+ ∞), а функцію f(x) називають інтегрованої на нескінченному проміжку[а + ∞). Інакше про інтеграл кажуть, що він не існує або розходиться.

Аналогічно визначаються невласні інтеграли на інтервалах (-∞,b] та (-∞, + ∞):

Визначимо поняття інтеграла від необмеженої функції. Якщо f(x) безперервна для всіх значень xвідрізка , крім точки з, в якій f(x) має нескінченний розрив, то невласним інтегралом II роду від f(x) в межах від a до bназивається сума:

якщо ці межі є і кінцеві. Позначення:

Приклади обчислення інтегралів

Приклад 3.30.Обчислити ∫dx/(x+2).

Рішення.Позначимо t = x+2, тоді dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln | x +2 | + C.

Приклад 3.31. Знайти ∫ tgxdx.

Рішення.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Нехай t = cosx, тоді tgxdx = - dt / t = - ln | t | + C = -ln|cosx|+C.

приклад3.32 . Знайти ∫dx/sinx

Рішення.

приклад3.33. Знайти.

Рішення. = .

приклад3.34 . Знайти ∫arctgxdx.

Рішення. Інтегруємо частинами. Позначимо u=arctgx, dv=dx. Тоді du = dx/(x 2 +1), v=x, звідки ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так як
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

приклад3.35 . Обчислити ∫lnxdx.

Рішення.Застосовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тоді ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

приклад3.36 . Обчислити ∫e x sinxdx.

Рішення.Позначимо u = e x , dv = sinxdx, тоді du = e x dx, v = sinxdx = - cosx → e x sinxdx = - e cosx + ∫ e x cosxdx. Інтеграл ∫e x cosxdx також інтегруємо вроздріб: u = e x , dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Маємо:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Отримали співвідношення ∫e x sinxdx = – e x cosx + e x sinx – ∫ e x sinxdx, звідки 2∫e x sinx dx = – e x cosx + e x sinx + С.

приклад 3.37. Обчислити J = ∫cos(lnx)dx/x.

Рішення.Оскільки dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Замінюючи lnx через t, приходимо до табличного інтеграла J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.

приклад 3.38 . Обчислити J =.

Рішення.Враховуючи, що = d(lnx), робимо підстановку lnx = t. Тоді J = .

приклад 3.39 . Обчислити інтеграл J = .

Рішення.Маємо: . Тому =
=
=. вводиться так sqrt(tan(x/2)).

А якщо у вікні результату натиснете Show steps у правому верхньому кутку, то отримаєте докладне рішення.

Для обчислення даного інтеграла ми повинні, якщо це можливо, користуючись тими чи іншими способами, привести його до табличного інтеграла і таким чином знайти результат, який шукає. У нашому курсі ми розглянемо лише деякі, що найчастіше зустрічаються прийоми інтегрування і вкажемо їх застосування до найпростіших прикладів.

Найбільш важливими методами інтегрування є:
1) метод безпосереднього інтегрування (метод розкладання),
2) метод підстановки (метод запровадження нової змінної),
3) метод інтегрування частинами.

I. Метод безпосереднього інтегрування

Завдання знаходження невизначених інтегралів від багатьох функцій вирішується шляхом зведення їх до одного з табличних інтегралів.

∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=

Приклад 3. ∫sin 2 xdx

Оскільки sin 2 x=(1-cos2x), то
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C

Приклад 4. ∫sinxcos3xdx

Оскільки sinxcos3x=(sin4x-sin2x), маємо
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C

Приклад 5. Знайти невизначений інтеграл: ∫cos(7x-3)dx

∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C

Приклад 6.

ІІ. Метод підстановки (інтегрування заміною змінної)

Якщо функція x=φ(t) має безперервну похідну, то в даному невизначеному інтегралі ∫f(x)dx завжди можна перейти до нової змінної t за формулою

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Потім знайти інтеграл з правої частини та повернутися до вихідної змінної. При цьому інтеграл, що стоїть у правій частині даної рівності, може виявитися простіше інтеграла, що стоїть у лівій частині цієї рівності, або навіть табличним. Такий спосіб знаходження інтеграла називається методом заміни змінної.

Приклад 7. ∫x√x-5dx

Щоб позбавитися кореня, вважаємо √x-5=t. Звідси x=t 2 +5 і, отже, dx=2tdt. Виробляючи підстановку, послідовно маємо:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

Приклад 8.

Оскільки , то маємо

Приклад 9.

Приклад 10. ∫e -x 3 x 2 dx

Скористаємося підстановкою -x3 = t. Тоді маємо -3x 2 dx=dt і ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C

Приклад 11.

Застосуємо підстановку 1+sinx=t тоді cosxdx=dt і

ІІІ. Метод інтегрування частинами

Метод інтегрування частинами заснований на наступній формулі:

∫udv=uv-∫vdu

де u (x), v (x) - безперервно диференційовані функції. Формула називається формулою інтегрування частинами. Ця формула показує, що інтеграл ∫udv призводить до інтегралу ∫vdu, який може виявитися більш простим, ніж вихідний або навіть табличним.

Приклад 12. Знайти невизначений інтеграл ∫xe -2x dx

Безпосереднє інтегрування

Основні формули інтегрування

1. С – константа 1*.
2. , n ≠ -1
3. +С
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання таблиці найпростіших інтегралів та основних властивостей невизначених інтегралів називається безпосереднім інтегруванням.

приклад 1.

приклад 2.

приклад 3.

Це найпоширеніший метод інтегрування складної функції, що полягає у перетворенні інтеграла за допомогою переходу до іншої змінної інтегрування.

Якщо інтеграл важко привести до табличного з допомогою елементарних перетворень, то цьому випадку користуються методом підстановки. Сутність цього методу полягає в тому, що шляхом введення нової змінної вдається звести цей інтеграл до нового інтеграла, який порівняно легко береться безпосередньо.

Для інтегрування методом підстановки використовують схему розв'язання:

2) визначити диференціал від обох частин заміни;

3) весь підінтегральний вираз висловити через нову змінну (після чого має вийти табличний інтеграл);

4) визначити отриманий табличний інтеграл;

5) виконати зворотну заміну.

Знайдіть інтеграли:

Приклад 1 . Підстановка:cosx=t,-sinxdx = dt,

Рішення:

приклад 2.∫e -x3 x 2 dx Підстановка:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Рішення:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

приклад 3.Підстановка: 1+sinx=t, cosxdx=dt,

Рішення: .

РОЗДІЛ 1.5. Певний інтеграл, методи обчислення.

п.1 Поняття певного інтегралу

Завдання.Знайти збільшення функції, первинної для функції f(x), під час переходу аргументу xвід значення aдо значення b.

Рішення. Припустимо, що інтегруванням знайдено: ∫ (x)dx = F(x)+C.

Тоді F(x)+C 1, де З 1- будь-яке дане число, буде однією з першорядних функцій для цієї функції f(x). Знайдемо її при переході аргументу від значення aдо значення b. Отримаємо:

x = b - x = a = F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

Як бачимо, у вираженні збільшення первинної функції F(x)+C 1відсутня постійна величина C 1. А тому що під C 1малося на увазі будь-яке дане число, то отриманий результат призводить до наступного висновку: під час переходу аргументу x від значення x=aдо значення x=bвсі функції F(x)+C, первісні для цієї функції f(x), мають одне і те ж збільшення, рівне F(b)-F(a).



Це збільшення прийнято називати певним інтеграломі позначати символом: і читається: інтеграл від адо bвід функції f(x) по dх або, коротше, інтеграл від адо bвід f(х) dх.

Число аназивається нижньою межеюінтегрування, число b - верхнім; відрізок а ≤ x ≤ b – відрізком інтегрування.Передбачається, що підінтегральна функція f(x)безперервна при всіх значеннях x, що задовольняють умовам: axb

Визначення. Збільшення первинних функцій F(x)+Cпід час переходу аргументу xвід значення x=aдо значення x=b, що дорівнює різниці F(b)-F(a)називається певним інтегралом і позначається символом: так, що якщо ∫ (x)dx = F(x)+C, то = F(b)-F(a) -це рівність називається формулою Ньютона – Лейбніца.

п.2 Основні властивості певного інтегралу

Всі властивості сформульовані в реченні, що функції, що розглядаються, інтегруються у відповідних проміжках.

п. 3 Безпосереднє обчислення певного інтегралу

Для обчислення певного інтеграла, коли можна знайти відповідний невизначений інтеграл, служить формула Ньютона Лейбніца

тобто. певний інтеграл дорівнює різниці значень будь-якої первісної функції при верхньому та нижньому межах інтегрування.

З цієї формули видно порядок обчислення певного інтегралу:

1) визначити невизначений інтеграл від цієї функції;

2) в отриману первинну підставити замість аргументу спочатку верхню, потім нижню межу інтеграла;

3) від результату підстановки верхньої межі відняти результат підстановки нижньої межі.

Приклад 1:Обчислити інтеграл:

Приклад 2:Обчислити інтеграл:

п.4 Обчислення певного інтеграла методом підстановки

Обчислення певного інтеграла методом підстановки полягає у наступному:

1) частину підінтегральної функції замінити на нову змінну;

2) знайти нові межі певного інтегралу;

3) визначити диференціал від обох частин заміни;

4) весь підінтегральний вираз висловити через нову змінну (після чого має вийти табличний інтеграл); 5) обчислити отриманий певний інтеграл.

Приклад 1:Обчислити інтеграл:

Підстановка: 1+cosx=t,-sinxdx = dt,

РОЗДІЛ 1.6. Геометричний зміст певного інтегралу.

Площа криволінійної трапеції:

Відомо, що певний інтеграл на відрізку є площею криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f(x).

Площа фігури, обмеженою деякими лініями може бути знайдена за допомогою певних інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.

Нехай на відрізку [а; b] задана безперервна функція у = ƒ(х) ≥ 0. Знайдемо площу цієї трапеції.

Площа фігури, обмеженою віссю 0 x, двома вертикальними прямими x = a, x = bі графіком функції у = (х) (малюнок), визначається за формулою:

У цьому полягає геометричне значення певного інтеграла.

Приклад 1: Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = х 2. +2, у = 0, х = -2, х = 1.

Рішення: Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння у = 0 задає вісь Ох).

Відповідь: S = 9 од. 2

Приклад 2: Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = - е х, х = 1 і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення.
Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю Ох, то її площу можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

РОЗДІЛ 1.7. Застосування певного інтегралу

п.1 Обчислення об'єму тіла обертання

Якщо криволінійна трапеція прилягає до осі Оx, а прямі у=a, у=b та графік функції у= F(x) (Рис.1), тоді обсяг тіла обертання визначається за формулою, що містить інтеграл.

Об'єм тіла обертання дорівнює:

Приклад:

Знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнею обертання лінії навколо осі Ох за 0≤ х ≤4.

Рішення: V

од 3 . Відповідь: од 3 .

РОЗДІЛ 3.1. Звичайні диференціальні рівняння

п.1 Поняття про диференціальне рівняння

Визначення. Диференціальним рівняннямназивається рівняння, що містить функцію від сукупності змінних та їх похідних.

Загальний вигляд такого рівняння = 0, де F - відома функція своїх аргументів, задана у фіксованій області; х - незалежна змінна (змінна, за якою диференціюється); у - залежна змінна (та, від якої беруться похідні і та, яку треба визначити); - похідна залежною змінною у незалежної змінної х.

п.2 Основні поняття диференціального рівняння

ПорядкомДиференціального рівняння називається порядок старшої похідної, що входить до нього.

Наприклад:

Рівняння другого порядку - рівняння першого порядку.

Будь-яка функція, що зв'язує змінні та звертає диференціальне рівняння у правильну рівність, називається рішеннямдиференціального рівняння.

Загальним рішеннямДиференціального рівняння першого порядку називається функція від і довільної постійної З, що обертає це рівняння в тотожність по .

Загальне рішення, записане в неявному вигляді = 0, називається загальним інтегралом.

Приватним рішеннямРівняння = 0 називається рішення, отримане із загального рішення при фіксованому значенні - фіксоване число.

Завдання знаходження приватного рішення диференціального рівняння n-го порядку (n = 1,2,3, ...), що задовольняє початковим умовам виду

називається завданням Коші.

п.3 Диференціальні рівняння першого порядку з змінними, що розділяються.

Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з змінними, що розділяються, якщо його можна представити у вигляді можна переписати у вигляді . Якщо. Інтегруємо: .

Щоб розв'язати рівняння такого виду треба:

1. Розділити змінні;

2. Інтегруючи рівняння з розділеними змінними, визначити загальне рішення даного рівняння;

3. Знайти приватне рішення, що відповідає початковим умовам (якщо вони задані).

приклад 1.Вирішити рівняння . Знайти часткове рішення, що задовольняє умові y=4 при x=-2.

Рішення:Це рівняння з розділеними змінними. Інтегруючи, знаходимо загальне рішення рівняння: . Для отримання більш простого формою загального рішення постійне доданок у правій частині представимо як C/2. Маємо або – загальне рішення. Підставивши загальне рішення значення y=4 і x=-2, отримаємо 16=4+З, звідки З=12.

Отже, приватне рішення рівняння, що задовольняє цю умову, має вигляд

приклад 2.Знайдіть приватне рішення рівняння, якщо при .

Рішення:, , , , , загальне рішення.

Підставляємо значення х і у приватне рішення: , , приватне рішення.

приклад 3.Знайдіть загальне рішення рівняння . Рішення: ,, , - загальне рішення.

п.4 Диференціальні рівняння порядку вище за перший

Рівняння виду чи вирішується дворазовим інтегруванням: , , звідки . Проінтегрувавши цю функцію, отримаємо нову функцію f(x), яку позначимо через F(x). Таким чином, ; . Інтегруємо ще раз: або у = Ф (х). Отримали загальне рішення рівняння, що містить дві довільні постійні та .

приклад 1.Вирішити рівняння .

Рішення:, , ,

приклад 2.Вирішити рівняння . Рішення: , , .

РОЗДІЛ 3.2. Числовий ряд, його члени

Визначення 1.Числовим поручназивається вираз виду ++…++…, (1)

де , , …, , … - числа, що належать до певної певної числової системи.

Так, можна говорити про дійсні ряди, для яких R,про комплексні ряди, для яких C, i= 1, 2, …, n, … = =.

Розділ 3.3. Основи теорії ймовірностей та математичної статистики



 

Можливо, буде корисно почитати: