Mayatnikga qanday kuchlar tasir qiladi?Chizma chizing. Sarkacning sirlari

Matematik mayatnik suspenziyaga biriktirilgan va tortishish (yoki boshqa kuch) sohasida joylashgan vaznsiz va cho'zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqtani chaqiring.

Matematik mayatnikning inertial sanoq sistemasidagi tebranishlarini o‘rganamiz, unga nisbatan uning osilish nuqtasi tinch yoki to‘g‘ri chiziq bo‘ylab bir tekis harakatlanadi. Biz havo qarshiligi kuchini (ideal matematik mayatnik) e'tiborsiz qoldiramiz. Dastlab mayatnik C muvozanat holatida tinch holatda bo'ladi. Bunda unga ta'sir qiluvchi og'irlik kuchi \(\vec F\) va ipning elastik kuchi \(\vec F_(ynp)\) o'zaro bog'liqdir. kompensatsiya qilingan.

Mayatnikni muvozanat holatidan olib tashlaymiz (masalan, A holatiga og'ish orqali) va uni boshlang'ich tezliksiz qo'yib yuboramiz (13.11-rasm). Bunda \(\vec F\) va \(\vec F_(ynp)\) kuchlari bir-birini muvozanatlashtirmaydi. Og'irlikning tangensial komponenti \(\vec F_\tau\), mayatnikga ta'sir qilib, unga tangensial tezlanishni beradi \(\vec a_\tau\) (matematik mayatnik traektoriyasiga tangens bo'ylab yo'naltirilgan umumiy tezlanishning komponenti). ) va mayatnik mutlaq qiymatda ortib borayotgan tezlik bilan muvozanat holatiga o'ta boshlaydi. Shunday qilib, tortishishning tangensial komponenti \(\vec F_\tau\) tiklovchi kuchdir. Og'irlik kuchining normal komponenti \(\vec F_n\) elastik kuchga qarshi ip bo'ylab yo'naltiriladi \(\vec F_(ynp)\). \(\vec F_n\) va \(\vec F_(ynp)\) kuchlarining natijasi mayatnikga normal tezlanish \(~a_n\) beradi, bu esa tezlik vektorining yo‘nalishini o‘zgartiradi va mayatnik harakatlanadi. yoy bo'ylab A B C D.

Mayatnik C muvozanat holatiga qanchalik yaqin kelsa, tangensial komponentning \(~F_\tau = F \sin \alfa\) qiymati shunchalik kichik bo'ladi. Muvozanat holatida u nolga teng bo'lib, tezlik maksimal qiymatiga etadi va mayatnik yuqoriga yoy bo'ylab ko'tarilib, inersiya bilan yanada harakat qiladi. Bunday holda, komponent \(\vec F_\tau\) tezlikka qarshi yo'naltiriladi. Burilish burchagi a ortishi bilan kuch moduli \(\vec F_\tau\) ortadi va tezlik moduli pasayadi va D nuqtada mayatnik tezligi nolga teng bo'ladi. Mayatnik bir zum to'xtaydi va keyin muvozanat holatiga teskari yo'nalishda harakatlana boshlaydi. Uni yana inertsiya bilan bosib o'tib, mayatnik harakatini sekinlashtirib, A nuqtasiga etadi (ishqalanish yo'q), ya'ni. to'liq chayqalishni yakunlaydi. Shundan so'ng, mayatnik harakati allaqachon tasvirlangan ketma-ketlikda takrorlanadi.

Matematik mayatnikning erkin tebranishlarini tavsiflovchi tenglamani olamiz.

Mayatnik ma'lum vaqt momentida B nuqtada bo'lsin. Uning bu momentdagi muvozanat holatidan S siljishi SV yoyi uzunligiga teng (ya'ni S = |SV|). Osma ipning uzunligini belgilaymiz l, va mayatnikning massasi m.

13.11-rasmdan ko'rinib turibdiki, \(~F_\tau = F \sin \alpha\), bu erda \(\alpha =\frac(S)(l).\) Kichik burchaklarda \(~(\alpha)<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Ushbu formulada minus belgisi qo'yiladi, chunki tortishishning tangensial komponenti muvozanat holatiga yo'naltiriladi va siljish muvozanat holatidan hisoblanadi.

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Bu tenglamaning vektor kattaliklarini matematik mayatnik traektoriyasiga tangens yo'nalishiga proyeksiya qilaylik.

\(~F_\tau = ma_\tau.\)

Ushbu tenglamalardan biz olamiz

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - matematik mayatnik harakatining dinamik tenglamasi. Matematik mayatnikning tangensial tezlanishi uning siljishiga proporsional bo'lib, muvozanat holatiga yo'naltirilgan. Bu tenglamani \ shaklida yozish mumkin. Uni garmonik tebranishlar tenglamasi bilan taqqoslab \(~a_x + \omega^2x = 0\) (13.3-§ ga qarang) matematik mayatnik garmonik tebranishlarni bajaradi, degan xulosaga kelishimiz mumkin. Va mayatnikning ko'rib chiqilgan tebranishlari faqat ichki kuchlar ta'sirida sodir bo'lganligi sababli, bu mayatnikning erkin tebranishlari edi. Demak, kichik og'ishlarga ega bo'lgan matematik mayatnikning erkin tebranishlari garmonikdir.

\(\frac(g)(l) = \omega^2.\) ni belgilaymiz. Bu yerdan \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) mayatnikning siklik chastotasi.

Mayatnikning tebranish davri \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) ga teng.

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Bu ifoda deyiladi Gyuygens formulasi. U matematik mayatnikning erkin tebranish davrini aniqlaydi. Formuladan kelib chiqadiki, muvozanat holatidan kichik og'ish burchaklarida matematik mayatnikning tebranish davri: 1) uning massasi va tebranishlar amplitudasiga bog'liq emas; 2) mayatnik uzunligining kvadrat ildiziga proporsional va tortishish tezlanishining kvadrat ildiziga teskari proportsional. Bu G. Galiley tomonidan kashf etilgan matematik mayatnikning kichik tebranishlarining eksperimental qonunlariga mos keladi.

Biz shuni ta'kidlaymizki, agar ikkita shart bir vaqtning o'zida bajarilsa, ushbu formuladan davrni hisoblash uchun foydalanish mumkin: 1) mayatnik tebranishlari kichik bo'lishi kerak; 2) mayatnikning osma nuqtasi tinch holatda bo'lishi yoki o'zi joylashgan inersial sanoq sistemasiga nisbatan to'g'ri chiziq bo'ylab bir tekis harakatlanishi kerak.

Agar matematik mayatnikning osma nuqtasi \(\vec a\) tezlanish bilan harakatlansa, u holda ipning taranglik kuchi o'zgaradi, bu esa tiklovchi kuchning, demak, tebranishlar chastotasi va davrining o'zgarishiga olib keladi. Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, bu holda mayatnikning tebranish davri formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin.

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

Bu erda \(~g"\) - inertial bo'lmagan sanoq sistemasidagi mayatnikning "samarali" tezlanishi. U tortishish tezlanishi \(\vec g\) va teskari vektorning geometrik yig'indisiga teng. vektor \(\vec a\), ya'ni uni formula yordamida hisoblash mumkin

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Adabiyot

Aksenovich L. A. O'rta maktabda fizika: nazariya. Vazifalar. Testlar: Darslik. umumiy ta'lim muassasalari uchun nafaqa. atrof-muhit, ta'lim / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - B. 374-376.

lekin ishonmang hol. Ushbu maqolalarning barchasini diqqat bilan o'qing. Shunda u porlayotgan Quyosh kabi tiniq bo'ladi.

Hamma odamlarning qo'li va miyasi sirli kuchga ega bo'lmagani kabi, mayatnik ham hamma odamlarning qo'lida sirli bo'la olmaydi. Bu kuch orttirilgan emas, balki inson bilan birga tug'iladi. Bir oilada biri boy, ikkinchisi kambag'al tug'iladi. Hech kimning tabiiy boylarni kambag'al qilishga qodir yoki aksincha. Endi men sizga aytmoqchi bo'lgan narsani tushundingiz. Agar tushunmasangiz, o'zingizni ayblang, siz shunday tug'ilgansiz.

Mayatnik nima? U nimadan yasalgan? Mayatnik - ipga biriktirilgan har qanday erkin harakatlanuvchi jism. Usta qo‘lida oddiy qamish ham bulbuldek sayraydi. Shuningdek, iste'dodli biomaster qo'lida mayatnik insonning mavjudligi va mavjudligi sohasida ajoyib ta'sir ko'rsatadi.

Siz bilan mayatnik olib yurish har doim ham sodir bo'lmaydi. Shunday qilib, men bir oiladan yo'qolgan uzukni topishim kerak edi, lekin menda mayatnik yo'q edi. Atrofga qaradim, ko‘zimga vino po‘stlog‘i tushdi. Taxminan mantarning o'rtasidan men pichoq bilan kichik bir kesma qildim va ipni biriktirdim. Sarkaç tayyor.
Men undan so'radim: "Men bilan halol ishlaysizmi?" U quvnoq javob bergandek, soat yo'nalishi bo'yicha qattiq aylanardi. Unga aqliy ravishda ayting: "Keling, yo'qolgan uzukni topamiz." Mayatnik kelishuv belgisi sifatida yana harakatlandi. Hovlini aylanib yura boshladim.

Chunki kelin barmog‘ida uzuk yo‘qligini payqab, hali uyga kirmaganini aytdi. Shuningdek, u anchadan beri zargarning oldiga borishni orzu qilganini, chunki barmoqlari ingichkalashib, uzuk tushib keta boshlaganini aytdi. To'satdan, mening qo'llarimda, mayatnik bir oz harakat qildi, bir oz orqaga burilib, mayatnik jim bo'lib qoldi. Men oldinga siljidim, lekin mayatnik yana harakatlandi. U yurdi, yana jim qoldi, hayratda qoldim. Chapda mayatnik jim, oldinga esa jim. O'ngga hech qaerga bormang. U yerda kichik ariq oqib o‘tadi. To'satdan men tushundim va mayatnikni to'g'ridan-to'g'ri suv ustida ushlab oldim. Mayatnik soat yo'nalishi bo'yicha intensiv aylana boshladi. Kelinimga qo‘ng‘iroq qilib, uzukning joyini ko‘rsatdim.
U ko‘zlarida quvonch bilan ariqni varaqlay boshladi va tezda uzukni topdi. Ma’lum bo‘lishicha, u ariqda qo‘lini yuvayotgan ekan, o‘shanda uzuk tushib ketgan, biroq sezmagan. Barcha yig'ilganlar vino po'stlog'ining ishiga qoyil qolishdi.

Hamma odamlar ham folbin yoki folbin bo‘lib tug‘ilmaydi. Hamma folbinlar ham, folbinlar ham muvaffaqiyatga erisha olmaydi. Bir nechta bashoratchilar kichikroq xatolar bilan ishlaydi, lekin ko'pchilik lo'lilar kabi aldaydi. Mayatnik ham shunday. Qobiliyatsiz odamda uni behuda narsa deb biladi, garchi u tilladan bo‘lsa ham, ma’nosi yo‘q. Haqiqiy usta qo'lida oddiy tosh yoki yong'oqning bir qismi mo''jizalar yaratadi.
Kechagidek eslayman. Bir yig‘inda ko‘ylagimni yechib, bir muddat tashqariga chiqdim. Qaytib kelganimda, yuragimda nimadir noto'g'ri ekanligini his qildim. Mexanik tarzda cho'ntagini titkilay boshladi. Ma'lum bo'lishicha, kimdir mening kumush mayatnikimni olib ketgan. Men jim qoldim va nima bo'lganini hech kimga aytmadim.
Ko'p kunlar o'tdi va bir kuni mayatnikim yo'qolgan yig'ilishda biz bilan birga o'tirganlardan biri uyimga keldi. U chuqur kechirim so‘radi va mayatnikni menga uzatdi. Ma’lum bo‘lishicha, u butun kuch mening mayatnikimda, deb o‘ylagan va bu mayatnik ham xuddi menikidek o‘ziga xizmat qiladi, deb o‘ylagan ekan.
U xatosini anglagach, vijdoni uni uzoq vaqt qiynab, nihoyat mayatnikni egasiga qaytarishga qaror qildi. Men uning kechirimini qabul qildim va uni choy bilan davoladim va hatto tashxis qo'ydim. Men undan mayatnik bilan ko'p kasalliklarni topdim va unga tegishli dori-darmonlarni tayyorladim.
Ba'zi odamlar shifo va fol ochish uchun tabiiy sovg'aga ega. Bu iste'dod yillar davomida chiqmaydi. Ba'zan tasodifan ular mutaxassisga duch kelishadi va u unga hayotdagi taqdir yo'lini ko'rsatadi.
Yaqinda o'rta yoshli ayol tashxis qo'yish uchun keldi. Uning kasal ekanligini tashqi ko'rinishidan bilib bo'lmaydi. U oyoq-qo'llarining yuqori isishidan shikoyat qildi, kaftlari va oyoqlaridan doimo issiqlik chiqib turardi va u tez-tez boshining toj sohasida yovvoyi portlash og'rig'ini his qildi. Birinchi marta yurak urishi bilan tashxis qo'ygandan so'ng, qon tomir tonusining oshishini payqab, men qon bosimini yarim avtomatik qurilma bilan o'lchashni boshladim. Oxir oqibat, qiymatlar sistolik va diastolik darajadan tashqariga chiqdi. Ular 135 dan 241 gacha ko'rsatdilar va yurak urishi bunday gipertenziya uchun normadan past bo'lib chiqdi: daqiqada 62 zarba. Ro‘paramda shunday qon bosimi bor ayol xotirjam o‘tirdi. Go'yo qon tomir holatimdan hech qanday noqulaylik his qilmasdan. Essential (noaniq) gipertoniya uni tushkunlikka solmadi.

Men uning yurak urishi va puls diagnostikasi paytida ham hech qanday noto'g'ri narsani sezmadim. Men unga kamroq tez-tez uchraydigan asosiy (noaniq sabab) gipertoniya tashxisini qo'ydim. Agar oddiy shifokor uning qon bosimini o'lchaganida edi, u darhol tez yordam chaqirib, uni zambilga qo'ygan bo'lardi. U hatto uning harakatlanishiga ham ruxsat bermasdi. Gap shundaki, qon bosimi bunday ko'tarilgan odam gipertonik inqirozga duchor bo'lgan hisoblanadi. Undan keyin miya qon tomirlari yoki yurak xuruji kuzatilishi mumkin.
Uning so'zlariga ko'ra, muntazam ravishda antihipertenziv dorilar uning his-tuyg'ularini shunchalik yomonlashtiradiki, hatto ko'ngil aynishiga olib keladi. O'g'lining talabiga binoan u mayatnik ishlatishni o'rgandi, boshi qattiq og'risa, mayatnikdan aspirin yoki pentalgin ichish yoki ichmaslikni so'raydi. Kamdan-kam hollarda mayatnik roziligi bilan tol bargidan yoki to‘rt yil avval Muhiddin tabib tavsiya qilgan behi bargidan qaynatma oladi. Agar uning boshi qattiq og'risa, u aspirin ichadi, o'ta og'ir holatlarda u pentalgin oladi. Shifokorlar va gipertoniya bilan og'rigan bemorning qo'shnilari uning o'z-o'zidan davolanishiga kulishadi.
Men mayatnikdan foydalanib, u bosh og'rig'i va yuqori qon bosimi uchun qabul qiladigan barcha dori-darmonlarni tekshirdim. Ularning barchasi samarali bo'lib chiqdi.Men ham mayatnikdan so'radim. "Agar u o'zining issiqligi bilan odamlarni davolay boshlasa, uning sog'lig'i yaxshilanadimi?", mayatnik darhol soat yo'nalishi bo'yicha kuchli burilib, ijobiy ma'noda. Shuning uchun men uning davolanishini o'zim uchun buyurdim, chunki u asosiy gipertenziyadan xalos bo'lish uchun u boshqa odamlarning kasalliklarini davolashi, ularga qo'l yoki oyoq qo'yishi kerak. Endi men tez-tez bemorlarni unga murojaat qilaman va u ularni muvaffaqiyatli davolaydi ruhiy o'tish. U qo'lining issiqligini belgacha bo'lgan kasalliklarga, bel ostidagi kasalliklarga yo'naltiradi, bemorning ustida yotgan holatda, muammoli sohada mos ravishda o'ng yoki chap oyoqni ushlab turadi.
U ham, bemorlar ham natijalardan mamnun. Ikki yildirki, u na aspirin, na pentalgin ichdi, mayatnik ba'zan unga kichik bosh og'rig'i uchun tol yoki behi barglaridan bir qaynatma ichishga imkon beradi.
Kimga uning yordami kerak, menga yozing, u sizga arzimagan haq evaziga yordam beradi. Men unga hatto uzoq masofalardagi odamlarga kontaktsiz munosabatda bo'lishni ham o'rgatganman.
Mayatnik bilan chinakam ishlayotgan odam u bilan sinxron aloqada bo'lishi va hozirda mayatnikning harakatlari qaysi tomonga yo'naltirilganligini oldindan bilishi va his qilishi kerak. Miyasining energetik kuchi bilan mayatnik ipini ushlab turgan odam unga ushbu ob'ektdagi keyingi harakatlarda spekulyativ emas, balki ongsiz ravishda yordam berishi va mayatnikning harakatiga tomoshabin sifatida befarq qaramasligi kerak.
Mayatnik Mesopotamiya, Ossuriya, Urartu, Hindiston, Xitoy, Yaponiya, qadimgi Rim, Misr, Gretsiya, Osiyo, Afrika, Amerika, Yevropa, Sharq va dunyoning ko'plab mamlakatlaridagi deyarli barcha mashhur odamlar tomonidan ishlatilgan va hozir ham qo'llaniladi.
Ko'pgina nufuzli xalqaro institutlar, fanning turli sohalaridagi taniqli arboblar mayatnikning insoniyatning atrofdagi tabiat bilan simbiotik va uyg'un holda yashashi foydasiga harakati va maqsadini hali etarli darajada baholamaganligi sababli. Insoniyat hali ham zamonaviy tabiatshunoslik darajasida Umumjahon Oddiy koinot haqidagi soxta ilmiy qarashlardan butunlay voz kechmagan. Din, ezoterizm va tabiatshunoslik o'rtasidagi bilim chizig'ini xiralashtirish bosqichi mavjud. Tabiiyki, tabiatshunoslik hech qanday yon qarashlarsiz barcha fundamental fanlarning asosiga aylanishi kerak.
Axborot fani bilan bir qatorda mayatnik fani ham odamlar hayotida munosib o'rin egallashiga umid bor. Zero, bir paytlar ko‘p millatli mamlakatimiz rahbarlari kibernetikani soxta fan deb e’lon qilib, uni nafaqat o‘rganishga, balki ta’lim muassasalarida o‘rganishga ham yo‘l qo‘ymagan edi.
Shunday qilib, endi, zamonaviy ilm-fanning eng yuqori pog'onasida, ular mayatnik g'oyasiga xuddi qoloq sanoat kabi qarashadi. Informatika fanining yagona bo'limi ostida mayatnik, dumg'aza va ramkani tizimlashtirish va kompyuter dasturi modulini yaratish kerak.
Ushbu modul yordamida har kim yo'qolgan narsalarni topishi, ob'ektlarning joylashishini aniqlashi va nihoyat, odamlar, hayvonlar, qushlar, hasharotlar va umuman olganda, tabiatga tashxis qo'yishi mumkin.
Buning uchun siz L. G. Puchkoning ko'p o'lchovli tibbiyot va psixik Gellerning ishi haqidagi g'oyalarini, shuningdek, bolgar tabibi Kanaliyevning g'oyalarini va yordami bilan ajoyib natijalarga erishgan boshqa ko'plab odamlarning ishlarini o'rganishingiz kerak. mayatnik.

Matematik mayatnik suspenziyaga biriktirilgan va tortishish (yoki boshqa kuch) sohasida joylashgan vaznsiz va cho'zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqtani chaqiring.

Matematik mayatnikning inertial sanoq sistemasidagi tebranishlarini o‘rganamiz, unga nisbatan uning osilish nuqtasi tinch yoki to‘g‘ri chiziq bo‘ylab bir tekis harakatlanadi. Biz havo qarshiligi kuchini (ideal matematik mayatnik) e'tiborsiz qoldiramiz. Dastlab mayatnik C muvozanat holatida tinch holatda bo'ladi. Bunda tortishish kuchi va unga ta'sir etuvchi ipning elastik kuchi F?ynp o'zaro kompensatsiyalanadi.

Mayatnikni muvozanat holatidan olib tashlaymiz (masalan, A holatiga og'ish orqali) va uni boshlang'ich tezliksiz qo'yib yuboramiz (1-rasm). Bunday holda, kuchlar bir-birini muvozanatlashtirmaydi. Mayatnikga ta'sir etuvchi tortishishning tangensial komponenti unga tangensial tezlanishni beradi a?? (matematik mayatnikning traektoriyasiga tangens bo'ylab yo'naltirilgan umumiy tezlanishning komponenti) va mayatnik ortib borayotgan tezlik bilan muvozanat holatiga qarab harakatlana boshlaydi. Shunday qilib, tortishishning tangensial komponenti tiklovchi kuchdir. Gravitatsiyaning normal komponenti elastik kuchga qarshi ip bo'ylab yo'naltiriladi. Kuchlarning natijasi mayatnikga normal tezlanishni beradi, bu tezlik vektorining yo'nalishini o'zgartiradi va mayatnik ABCD yoyi bo'ylab harakatlanadi.

Mayatnik C muvozanat holatiga qanchalik yaqin kelsa, tangensial komponentning qiymati shunchalik kichik bo'ladi. Muvozanat holatida u nolga teng bo'lib, tezlik maksimal qiymatiga etadi va mayatnik yuqoriga yoy bo'ylab ko'tarilib, inersiya bilan yanada harakat qiladi. Bunday holda, komponent tezlikka qarshi yo'naltiriladi. Burilish burchagi a ortishi bilan kuchning kattaligi ortadi va tezlikning kattaligi pasayadi va D nuqtada mayatnik tezligi nolga teng bo'ladi. Mayatnik bir zum to'xtaydi va keyin muvozanat holatiga teskari yo'nalishda harakatlana boshlaydi. Uni yana inertsiya bilan bosib o'tib, mayatnik harakatini sekinlashtirib, A nuqtasiga etadi (ishqalanish yo'q), ya'ni. to'liq chayqalishni yakunlaydi. Shundan so'ng, mayatnik harakati allaqachon tasvirlangan ketma-ketlikda takrorlanadi.

Matematik mayatnikning erkin tebranishlarini tavsiflovchi tenglamani olamiz.

Mayatnik ma'lum vaqt momentida B nuqtada bo'lsin. Uning bu momentdagi muvozanat holatidan S siljishi SV yoyi uzunligiga teng (ya'ni S = |SV|). Osma ipning uzunligini l, mayatnikning massasini m deb belgilaymiz.

1-rasmdan ko'rinib turibdiki, qaerda. Kichik burchaklarda () mayatnik demakdir, shuning uchun

Ushbu formulada minus belgisi qo'yiladi, chunki tortishishning tangensial komponenti muvozanat holatiga yo'naltiriladi va siljish muvozanat holatidan hisoblanadi.

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra. Keling, ushbu tenglamaning vektor kattaliklarini matematik mayatnikning traektoriyasiga teginish yo'nalishiga proyeksiya qilaylik.

Ushbu tenglamalardan biz olamiz

Matematik mayatnik harakatining dinamik tenglamasi. Matematik mayatnikning tangensial tezlanishi uning siljishiga proporsional bo'lib, muvozanat holatiga yo'naltirilgan. Bu tenglamani quyidagicha yozish mumkin

Uni garmonik tebranish tenglamasi bilan solishtirish , matematik mayatnik garmonik tebranishlarni amalga oshiradi, degan xulosaga kelishimiz mumkin. Va mayatnikning ko'rib chiqilgan tebranishlari faqat ichki kuchlar ta'sirida sodir bo'lganligi sababli, bu mayatnikning erkin tebranishlari edi. Binobarin, kichik og'ishlarga ega bo'lgan matematik mayatnikning erkin tebranishlari garmonikdir.

belgilaylik

Mayatnik tebranishlarining siklik chastotasi.

Mayatnikning tebranish davri. Demak,

Bu ifoda Gyuygens formulasi deb ataladi. U matematik mayatnikning erkin tebranish davrini aniqlaydi. Formuladan kelib chiqadiki, muvozanat holatidan kichik og'ish burchaklarida matematik mayatnikning tebranish davri:

  1. uning massasi va tebranish amplitudasiga bog'liq emas;
  2. mayatnik uzunligining kvadrat ildiziga proportsional va tortishish tezlanishining kvadrat ildiziga teskari proportsionaldir.

Bu G. Galiley tomonidan kashf etilgan matematik mayatnikning kichik tebranishlarining eksperimental qonunlariga mos keladi.

Agar ikkita shart bir vaqtning o'zida bajarilsa, ushbu formuladan davrni hisoblash uchun foydalanish mumkinligini ta'kidlaymiz:

  1. mayatnikning tebranishlari kichik bo'lishi kerak;
  2. mayatnikning osma nuqtasi tinch holatda bo'lishi yoki u joylashgan inertial sanoq sistemasiga nisbatan to'g'ri chiziq bo'ylab bir tekis harakatlanishi kerak.

Agar matematik mayatnikning osma nuqtasi tezlanish bilan harakat qilsa, u holda ipning taranglik kuchi o'zgaradi, bu esa tiklovchi kuchning o'zgarishiga olib keladi va buning natijasida tebranishlar chastotasi va davri. Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, bu holda mayatnikning tebranish davri formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin.

inertial bo'lmagan sanoq sistemasidagi mayatnikning "samarali" tezlanishi qayerda. Bu erkin tushish tezlashuvining geometrik yig'indisiga va vektorga qarama-qarshi vektorga teng, ya'ni. formuladan foydalanib hisoblash mumkin

Bir xil tortishish maydonida cho'zilmaydigan vaznsiz ipga (uning massasi tananing og'irligiga nisbatan ahamiyatsiz) osilgan moddiy nuqtadan (tanadan) iborat bo'lgan mexanik tizim matematik mayatnik (boshqa nomi - osilator) deb ataladi. Ushbu qurilmaning boshqa turlari mavjud. Ip o'rniga vaznsiz novda ishlatilishi mumkin. Matematik mayatnik ko'plab qiziqarli hodisalarning mohiyatini aniq ochib berishi mumkin. Tebranish amplitudasi kichik bo'lsa, uning harakati garmonik deyiladi.

Mexanik tizimning umumiy ko'rinishi

Bu mayatnikning tebranish davri formulasi golland olimi Gyuygens (1629-1695) tomonidan olingan. I. Nyutonning bu zamondoshi bu mexanik tizimga juda qiziqdi. 1656 yilda u sarkaç mexanizmiga ega birinchi soatni yaratdi. Ular o'sha vaqtlar uchun vaqtni juda aniqlik bilan o'lchadilar. Bu ixtiro jismoniy tajribalar va amaliy faoliyatlarning rivojlanishida asosiy bosqich bo'ldi.

Agar mayatnik muvozanat holatida (vertikal osilgan) bo'lsa, u ipning kuchlanish kuchi bilan muvozanatlanadi. Uzatmas ip ustidagi tekis mayatnik - ulanish bilan ikki darajali erkinlikka ega tizim. Faqat bitta komponentni o'zgartirsangiz, uning barcha qismlarining xususiyatlari o'zgaradi. Shunday qilib, agar ip novda bilan almashtirilsa, unda bu mexanik tizim faqat 1 daraja erkinlikka ega bo'ladi. Matematik mayatnik qanday xususiyatlarga ega? Ushbu eng oddiy tizimda davriy buzilishlar ta'siri ostida tartibsizlik paydo bo'ladi. Agar to'xtatib turish nuqtasi harakatlanmasa, lekin tebransa, mayatnik yangi muvozanat holatiga ega bo'ladi. Yuqoriga va pastga tez tebranishlar bilan bu mexanik tizim barqaror "teskari" holatga ega bo'ladi. Uning ham o'z nomi bor. U Kapitsa mayatnik deb ataladi.

Mayatnikning xossalari

Matematik mayatnik juda qiziqarli xususiyatlarga ega. Ularning barchasi ma'lum fizik qonunlar bilan tasdiqlangan. Boshqa har qanday mayatnikning tebranish davri turli holatlarga, masalan, tananing o'lchami va shakliga, osilgan nuqta va og'irlik markazi orasidagi masofaga va bu nuqtaga nisbatan massa taqsimotiga bog'liq. Shuning uchun tananing osilgan vaqtini aniqlash juda qiyin ishdir. Matematik mayatnikning davrini hisoblash ancha oson, uning formulasi quyida keltirilgan. Shu kabi mexanik tizimlarni kuzatish natijasida quyidagi naqshlarni aniqlash mumkin:

Agar mayatnikning bir xil uzunligini saqlab, biz turli og'irliklarni to'xtatib qo'ysak, ularning massalari juda katta farq qilsa-da, ularning tebranish davri bir xil bo'ladi. Binobarin, bunday mayatnikning davri yukning massasiga bog'liq emas.

Agar tizimni ishga tushirayotganda mayatnik unchalik katta emas, balki turli burchaklarda burilsa, u bir xil davr bilan, lekin har xil amplitudalar bilan tebranishni boshlaydi. Muvozanat markazidan og'ishlar unchalik katta bo'lmasa, ularning shaklidagi tebranishlar garmoniklarga juda yaqin bo'ladi. Bunday mayatnikning davri hech qanday tarzda tebranish amplitudasiga bog'liq emas. Berilgan mexanik tizimning bu xususiyati izoxronizm deb ataladi (yunoncha "xronos" - vaqt, "isos" - teng).

Matematik mayatnikning davri

Bu ko'rsatkich davrni ifodalaydi Murakkab formulaga qaramasdan, jarayonning o'zi juda oddiy. Agar matematik mayatnik ipining uzunligi L bo'lsa va erkin tushish tezlanishi g bo'lsa, bu qiymat quyidagilarga teng bo'ladi:

Kichik tabiiy tebranishlar davri hech qanday tarzda mayatnikning massasiga va tebranishlar amplitudasiga bog'liq emas. Bunday holda, mayatnik ma'lum uzunlikdagi matematik sifatida harakat qiladi.

Matematik mayatnikning tebranishlari

Matematik mayatnik tebranadi, uni oddiy differentsial tenglama bilan tasvirlash mumkin:

x + ō2 sin x = 0,

bu erda x (t) noma'lum funktsiya (bu t momentida pastki muvozanat holatidan og'ish burchagi, radianlarda ifodalangan); ō - musbat konstanta bo'lib, u mayatnik parametrlaridan aniqlanadi (ō = √g/L, bu erda g - tortishish tezlanishi, L - matematik mayatnikning uzunligi (suspenziya).

Muvozanat holati yaqinidagi kichik tebranishlar uchun tenglama (garmonik tenglama) quyidagicha ko'rinadi:

x + ō2 sin x = 0

Mayatnikning tebranish harakatlari

Kichik tebranishlarni amalga oshiradigan matematik mayatnik sinusoid bo'ylab harakatlanadi. Ikkinchi tartibli differentsial tenglama bunday harakatning barcha talablari va parametrlariga javob beradi. Traektoriyani aniqlash uchun tezlik va koordinatani o'rnatish kerak, undan keyin mustaqil konstantalar aniqlanadi:

x = A sin (th 0 + ōt),

Bu erda th 0 - boshlang'ich faza, A - tebranish amplitudasi, ō - harakat tenglamasidan aniqlangan tsiklik chastota.

Matematik mayatnik (katta amplitudalar uchun formulalar)

Muhim amplituda bilan tebranuvchi bu mexanik tizim harakatning yanada murakkab qonunlariga bo'ysunadi. Bunday mayatnik uchun ular quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

sin x/2 = u * sn(ōt/u),

bu yerda sn Yakobi sinus, u uchun qaysi< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (e + ʼn2)/2ō2,

bu erda e = E/mL2 (mL2 - mayatnik energiyasi).

Chiziqsiz mayatnikning tebranish davri quyidagi formula yordamida aniqlanadi:

Bu yerda Ō = p/2 * ō/2K(u), K - elliptik integral, p. - 3,14.

Mayatnikning ajratuvchi bo'ylab harakatlanishi

Ajratish - bu ikki o'lchovli fazali fazoga ega bo'lgan dinamik tizimning traektoriyasi. Matematik mayatnik u bo'ylab davriy bo'lmagan holda harakat qiladi. Vaqtning cheksiz masofasida u eng yuqori pozitsiyasidan nol tezlik bilan yon tomonga tushadi, keyin asta-sekin unga ega bo'ladi. Oxir-oqibat u to'xtab, asl holatiga qaytadi.

Mayatnik tebranishlarining amplitudasi songa yaqinlashsa π , bu faza tekisligidagi harakatning ajratuvchiga yaqinlashayotganligini ko'rsatadi. Bunday holda, kichik harakatlantiruvchi davriy kuch ta'sirida, mexanik tizim xaotik xatti-harakatlarni namoyon qiladi.

Matematik mayatnik muvozanat holatidan ma'lum ph burchak bilan og'ishda og'irlikning tangensial kuchi Ft = -mg sin ph paydo bo'ladi. Minus belgisi bu tangensial komponent mayatnikning egilishiga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilganligini anglatadi. Mayatnikning radiusi L boʻlgan aylana yoy boʻylab siljishi x bilan belgilansa, uning burchak siljishi ph = x/L ga teng boʻladi. Proektsiyalar va kuch uchun mo'ljallangan ikkinchi qonun kerakli qiymatni beradi:

mg t = Ft = -mg sin x/L

Shu munosabatga asoslanib, bu mayatnik chiziqli bo'lmagan tizim ekanligi aniq, chunki uni muvozanat holatiga qaytarishga intiladigan kuch har doim x siljishiga emas, balki x/L ga proporsionaldir.

Matematik mayatnik kichik tebranishlarni amalga oshirgandagina garmonik osilator hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, u garmonik tebranishlarni amalga oshirishga qodir mexanik tizimga aylanadi. Bu yaqinlik amalda 15-20° burchaklar uchun amal qiladi. Katta amplitudali mayatnikning tebranishlari garmonik emas.

Mayatnikning kichik tebranishlari uchun Nyuton qonuni

Agar berilgan mexanik tizim kichik tebranishlarni amalga oshirsa, Nyutonning 2-qonuni quyidagicha ko'rinadi:

mg t = Ft = -m* g/L* x.

Shunga asoslanib, matematik mayatnik minus belgisi bilan uning siljishiga proportsional degan xulosaga kelishimiz mumkin. Bu tizim garmonik osilatorga aylanadigan holat. Ko'chirish va tezlanish o'rtasidagi mutanosiblik koeffitsientining moduli aylana chastotasining kvadratiga teng:

ō02 = g/L; ō0 = √ g/L.

Ushbu formula ushbu turdagi mayatnikning kichik tebranishlarining tabiiy chastotasini aks ettiradi. Shu asosda,

T = 2p/ ō0 = 2p√ g/L.

Energiyaning saqlanish qonuniga asoslangan hisoblar

Mayatnikning xossalarini energiyaning saqlanish qonuni yordamida ham tasvirlash mumkin. Shuni hisobga olish kerakki, tortishish maydonidagi mayatnik quyidagilarga teng:

E = mg∆h = mgL(1 - cos a) = mgL2sin2 a/2

Jami kinetik yoki maksimal potentsialga teng: Epmax = Ekmsx = E

Energiyaning saqlanish qonuni yozilgandan so'ng, tenglamaning o'ng va chap tomonlarining hosilasini oling:

Doimiy miqdorlarning hosilasi 0 ga teng bo'lganligi uchun (Ep + Ek)" = 0. Yig'indining hosilasi hosilalarning yig'indisiga teng:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* a,

shuning uchun:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m a) = 0.

Oxirgi formulaga asoslanib, biz topamiz: a = - g/L*x.

Matematik mayatnikning amaliy qo'llanilishi

Tezlanish kenglikka qarab o'zgaradi, chunki Yer qobig'ining zichligi butun sayyorada bir xil emas. Yuqori zichlikka ega jinslar paydo bo'lgan joylarda u biroz yuqoriroq bo'ladi. Matematik mayatnikning tezlanishi ko'pincha geologik qidiruv ishlarida qo'llaniladi. U turli xil minerallarni qidirish uchun ishlatiladi. Mayatnikning tebranishlar sonini hisoblash orqali siz Yer tubida ko'mir yoki rudani aniqlashingiz mumkin. Buning sababi, bunday qazilmalarning zichligi va massasi ostidagi bo'sh jinslardan kattaroqdir.

Matematik mayatnikdan Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarx, Arximed kabi taniqli olimlar foydalangan. Ularning ko'pchiligi bu mexanik tizim insonning taqdiri va hayotiga ta'sir qilishi mumkinligiga ishonishdi. Arximed o'z hisob-kitoblarida matematik mayatnikdan foydalangan. Hozirgi kunda ko'plab okkultistlar va ruhshunoslar ushbu mexanik tizimdan o'zlarining bashoratlarini bajarish yoki yo'qolgan odamlarni qidirish uchun foydalanadilar.

Mashhur fransuz astronomi va tabiatshunosi K. Flammarion ham o‘z tadqiqotida matematik mayatnikdan foydalangan. Uning ta'kidlashicha, uning yordami bilan u yangi sayyora kashf etilishi, Tunguska meteoritining paydo bo'lishi va boshqa muhim voqealarni bashorat qilishga muvaffaq bo'ldi. Ikkinchi jahon urushi davrida Germaniyada (Berlin) ixtisoslashtirilgan Sarkaç instituti faoliyat yuritgan. Hozirgi kunda Myunxen Parapsixologiya instituti shunga o'xshash tadqiqotlar bilan shug'ullanadi. Ushbu muassasa xodimlari mayatnik bilan ishlashlarini "radiesteziya" deb atashadi.

Shaklda ko'rsatilgan mayatniklar. 2, to'xtatib turish yoki tayanch nuqtasi atrofida tebranadigan turli shakl va o'lchamdagi kengaytirilgan jismlar. Bunday tizimlar fizik mayatniklar deb ataladi. Muvozanat holatida, tortishish markazi to'xtatib turish (yoki tayanch) nuqtasidan pastda vertikalda bo'lsa, tortishish kuchi tayanchning reaktsiyasi bilan muvozanatlanadi (deformatsiyalangan mayatnikning elastik kuchlari orqali). Muvozanat holatidan chetga chiqqanda, tortishish va elastik kuchlar har bir vaqtning har bir momentida mayatnikning burchak tezlanishini aniqlaydi, ya'ni uning harakati (tebranish) xususiyatini aniqlaydi. Endi biz tebranishlar dinamikasini matematik mayatnik deb ataladigan eng oddiy misol yordamida batafsilroq ko'rib chiqamiz, bu kichik og'irlik uzun ingichka ipga osilgan.

Matematik mayatnikda biz ipning massasini va og'irlikning deformatsiyasini e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin, ya'ni mayatnikning massasi og'irlikda va elastik kuchlar ipda to'plangan deb taxmin qilishimiz mumkin, bu esa cho'zilmaydi deb hisoblanadi. . Keling, mayatnik qandaydir tarzda muvozanat holatidan chiqarilgandan keyin qanday kuchlar ostida tebranishini ko'rib chiqamiz (surish, burilish).

Mayatnik muvozanat holatida bo'lganda, uning og'irligiga ta'sir qiluvchi va vertikal pastga yo'naltirilgan tortishish kuchi ipning taranglik kuchi bilan muvozanatlanadi. Burilish holatida (15-rasm) tortishish kuchi ip bo'ylab yo'naltirilgan kuchlanish kuchiga burchak ostida harakat qiladi. Keling, tortishish kuchini ikkita komponentga ajratamiz: ip yo'nalishi bo'yicha () va unga perpendikulyar (). Sarkaç tebranganda, ipning kuchlanish kuchi komponentdan bir oz oshadi - markazga qo'yuvchi kuch miqdori bo'yicha, bu yukni yoy bo'ylab harakatlanishiga majbur qiladi. Komponent har doim muvozanat holatiga yo'naltirilgan; u bu vaziyatni tiklashga intilayotganga o'xshaydi. Shuning uchun u ko'pincha qayta tiklash kuchi deb ataladi. Sarkac qancha ko'p burilsa, mutlaq qiymat shunchalik katta bo'ladi.

Guruch. 15. Mayatnik muvozanat holatidan chetga chiqqanda kuchni tiklash

Shunday qilib, mayatnik o'zining tebranishlari paytida muvozanat holatidan chetga chiqa boshlasa, deylik, o'ngga, uning harakatini qanchalik sekinlashtirsa, u shunchalik og'ib ketadi. Oxir-oqibat, bu kuch uni to'xtatadi va uni muvozanat holatiga qaytaradi. Biroq, bu pozitsiyaga yaqinlashganda, kuch kamroq va kamroq bo'ladi va muvozanat holatida o'zi nolga aylanadi. Shunday qilib, mayatnik muvozanat holatidan inersiya bilan o'tadi. U chapga og'a boshlaganda, og'ish ortib borayotgan, ammo endi o'ngga yo'naltirilgan kuch yana paydo bo'ladi. Chapga harakat yana sekinlashadi, keyin mayatnik bir lahzaga to'xtaydi, shundan so'ng o'ngga tezlashtirilgan harakat boshlanadi va hokazo.

Mayatnik tebranish paytida uning energiyasi bilan nima sodir bo'ladi?

Davr davomida ikki marta - chapga va o'ngga eng katta og'ishlarda - sarkaç to'xtaydi, ya'ni bu daqiqalarda tezlik nolga teng, ya'ni kinetik energiya nolga teng. Ammo aynan shu daqiqalarda mayatnikning og'irlik markazi eng katta balandlikka ko'tariladi va shuning uchun potentsial energiya eng katta bo'ladi. Aksincha, muvozanat holatidan o'tish momentlarida potentsial energiya eng past, tezlik va kinetik energiya esa eng katta qiymatlarga etadi.

Biz mayatnikning havoga ishqalanish kuchlarini va to'xtatib turish nuqtasidagi ishqalanishni e'tiborsiz qoldirish mumkinligini taxmin qilamiz. Keyin, energiyaning saqlanish qonuniga ko'ra, bu maksimal kinetik energiya muvozanat holatidagi potentsial energiyadan eng katta og'ish holatidagi potentsial energiyaning ortiqcha miqdoriga to'liq tengdir.

Shunday qilib, mayatnik tebranganda, kinetik energiyaning potentsial energiyaga davriy o'tishi va aksincha sodir bo'ladi va bu jarayonning davri mayatnikning tebranish davrining yarmiga teng. Biroq, mayatnikning umumiy energiyasi (potentsial va kinetik energiyalarning yig'indisi) doimo doimiydir. U potentsial energiya (dastlabki burilish) yoki kinetik energiya (dastlabki surish) shaklida bo'lishidan qat'i nazar, u ishga tushirilganda mayatnikga berilgan energiyaga teng.

Bu ishqalanish bo'lmagan har qanday tebranishlar yoki tebranish tizimidan energiyani olib tashlaydigan yoki unga energiya beradigan boshqa jarayonlar bilan bog'liq. Shuning uchun amplituda o'zgarishsiz qoladi va surishning dastlabki og'ishi yoki kuchi bilan belgilanadi.

Agar biz to'pni ipga osib qo'yish o'rniga, uni vertikal tekislikda sharsimon idishda yoki aylana bo'ylab egilgan truba ichida aylantirsak, biz tiklash kuchida bir xil o'zgarishlar va energiyaning bir xil uzatilishini olamiz. Bunday holda, ipning tarangligi rolini chashka yoki truba devorlarining bosimi egallaydi (biz yana to'pning devorlarga va havoga ishqalanishini e'tiborsiz qoldiramiz).



 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: