Asosiy elementar funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari. Funktsiya ur funksiyasining grafigini o'rganish

Keling, tekislikda to'rtburchaklar koordinatalar tizimini tanlaymiz va argumentning qiymatlarini abscissa o'qida chizamiz. X, va ordinatada - funktsiyaning qiymatlari y = f(x).

Funktsiya grafigi y = f(x) abtsissalari funksiyani aniqlash sohasiga tegishli boʻlgan barcha nuqtalar toʻplami va ordinatalari funksiyaning mos qiymatlariga teng.

Boshqacha aytganda, y = f (x) funksiyaning grafigi tekislikning barcha nuqtalari, koordinatalari to'plamidir. X, da munosabatni qanoatlantiradi y = f(x).

Shaklda. 45 va 46 funksiyalarning grafiklarini ko'rsatadi y = 2x + 1 Va y = x 2 - 2x.

To'g'rirog'i, funktsiya grafigi (aniq matematik ta'rifi yuqorida berilgan) va chizilgan egri chiziq o'rtasidagi farqni ajratib ko'rsatish kerak, bu har doim grafikning ko'proq yoki kamroq aniq eskizini beradi (va hatto, qoida tariqasida, butun grafik emas, balki faqat uning tekislikning oxirgi qismlarida joylashgan qismi). Keyinchalik, biz odatda "grafik eskiz" emas, balki "grafik" deb aytamiz.

Grafikdan foydalanib, siz nuqtadagi funktsiyaning qiymatini topishingiz mumkin. Ya'ni, agar nuqta x = a funksiyani aniqlash sohasiga tegishli y = f(x), keyin raqamni topish uchun f(a)(ya'ni nuqtadagi funktsiya qiymatlari x = a) buni qilishingiz kerak. Bu abscissa nuqtasi orqali kerak x = a ordinata o'qiga parallel to'g'ri chiziq chizish; bu chiziq funksiya grafigini kesib o'tadi y = f(x) bir nuqtada; bu nuqtaning ordinatasi, grafikning ta'rifi tufayli, teng bo'ladi f(a)(47-rasm).

Masalan, funksiya uchun f(x) = x 2 - 2x grafik yordamida (46-rasm) f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 va hokazolarni topamiz.

Funktsiya grafigi funktsiyaning xatti-harakati va xususiyatlarini aniq ko'rsatadi. Masalan, rasmni ko'rib chiqishdan. 46 funktsiya ekanligi aniq y = x 2 - 2x qachon ijobiy qiymatlarni oladi X< 0 va da x > 2, salbiy - 0 da< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x da qabul qiladi x = 1.

Funksiya grafigini tuzish uchun f(x) tekislikning barcha nuqtalarini, koordinatalarini topishingiz kerak X,da Bu tenglamani qanoatlantiradi y = f(x). Aksariyat hollarda buni qilish mumkin emas, chunki bunday nuqtalarning cheksiz soni mavjud. Shuning uchun funktsiyaning grafigi taxminan tasvirlangan - katta yoki kamroq aniqlik bilan. Eng oddiy - bir nechta nuqtalardan foydalangan holda grafik chizish usuli. Bu dalil ekanligidan iborat X chekli sonli qiymatlarni bering - aytaylik, x 1, x 2, x 3,..., x k va tanlangan funktsiya qiymatlarini o'z ichiga olgan jadval yarating.

Jadval quyidagicha ko'rinadi:

Bunday jadvalni tuzib, biz funktsiya grafigida bir nechta fikrlarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin y = f(x). Keyin, bu nuqtalarni silliq chiziq bilan bog'lab, biz funktsiya grafigining taxminiy ko'rinishini olamiz y = f(x).

Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ko'p nuqtali chizma usuli juda ishonchsizdir. Aslida, grafikning mo'ljallangan nuqtalar orasidagi harakati va olingan ekstremal nuqtalar orasidagi segmentdan tashqaridagi harakati noma'lumligicha qolmoqda.

1-misol. Funksiya grafigini tuzish uchun y = f(x) kimdir argument va funktsiya qiymatlari jadvalini tuzdi:

Tegishli besh nuqta rasmda ko'rsatilgan. 48.

Bu nuqtalarning joylashuviga asoslanib, u funktsiya grafigi to'g'ri chiziqdir, degan xulosaga keldi (48-rasmda nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan). Ushbu xulosani ishonchli deb hisoblash mumkinmi? Agar ushbu xulosani tasdiqlovchi qo'shimcha fikrlar bo'lmasa, uni ishonchli deb hisoblash qiyin. ishonchli.

Fikrimizni asoslash uchun funktsiyani ko'rib chiqing

Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, ushbu funktsiyaning -2, -1, 0, 1, 2 nuqtalardagi qiymatlari yuqoridagi jadvalda aniq tasvirlangan. Biroq, bu funksiyaning grafigi umuman to'g'ri chiziq emas (u 49-rasmda ko'rsatilgan). Yana bir misol funksiya bo'lishi mumkin y = x + l + sinpx; uning ma'nolari ham yuqoridagi jadvalda tasvirlangan.

Ushbu misollar shuni ko'rsatadiki, uning "sof" shaklida bir nechta nuqtalardan foydalangan holda grafik chizish usuli ishonchsizdir. Shuning uchun, berilgan funktsiyaning grafigini chizish uchun odatda quyidagicha davom etadi. Birinchidan, biz ushbu funktsiyaning xususiyatlarini o'rganamiz, uning yordamida biz grafikning eskizini qurishimiz mumkin. Keyin, funktsiyaning qiymatlarini bir nechta nuqtalarda hisoblash orqali (ularni tanlash funktsiyaning belgilangan xususiyatlariga bog'liq), grafikning tegishli nuqtalari topiladi. Va nihoyat, ushbu funktsiyaning xususiyatlaridan foydalangan holda tuzilgan nuqtalar orqali egri chiziq chiziladi.

Grafik eskizini topishda foydalaniladigan funksiyalarning ayrim (eng oddiy va eng ko‘p qo‘llaniladigan) xossalarini keyinroq ko‘rib chiqamiz, ammo endi grafiklarni qurishda tez-tez ishlatiladigan usullarni ko‘rib chiqamiz.

y = |f(x)| funksiya grafigi.

Ko'pincha funktsiyani chizish kerak bo'ladi y = |f(x)|, qayerda f(x) - berilgan funksiya. Bu qanday amalga oshirilganligini eslatib o'tamiz. Raqamning mutlaq qiymatini aniqlash orqali biz yozishimiz mumkin

Bu funktsiyaning grafigini bildiradi y =|f(x)| grafik, funksiyadan olish mumkin y = f(x) quyidagicha: funksiya grafigidagi barcha nuqtalar y = f(x), ordinatalari manfiy bo'lmagan, o'zgarishsiz qoldirilishi kerak; Keyinchalik, funksiya grafigining nuqtalari o'rniga y = f(x) manfiy koordinatalarga ega bo'lgan holda, funktsiya grafigida tegishli nuqtalarni qurish kerak y = -f(x)(ya'ni funksiya grafigining bir qismi
y = f(x), u o'q ostida joylashgan X, o'qga nisbatan nosimmetrik tarzda aks ettirilishi kerak X).

2-misol. Funksiyaning grafigini tuzing y = |x|.

Funktsiyaning grafigini olaylik y = x(50-rasm, a) va ushbu grafikning bir qismi da X< 0 (eksa ostida yotish X) o'qga nisbatan simmetrik tarzda aks ettirilgan X. Natijada biz funktsiyaning grafigini olamiz y = |x|(50-rasm, b).

3-misol. Funksiyaning grafigini tuzing y = |x 2 - 2x|.

Birinchidan, funksiyani chizamiz y = x 2 - 2x. Bu funksiyaning grafigi parabola bo'lib, shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, parabola cho'qqisi koordinatalariga (1; -1) ega, uning grafigi x o'qini 0 va 2 nuqtalarda kesib o'tadi. (0) oraliqda; 2) funktsiya manfiy qiymatlarni oladi, shuning uchun grafikning bu qismi abscissa o'qiga nisbatan nosimmetrik tarzda aks etadi. 51-rasmda funksiyaning grafigi ko'rsatilgan y = |x 2 -2x|, funksiya grafigiga asoslanadi y = x 2 - 2x

y = f(x) + g(x) funksiya grafigi

Funktsiya grafigini qurish masalasini ko'rib chiqing y = f(x) + g(x). funktsiya grafiklari berilgan bo'lsa y = f(x) Va y = g(x).

E'tibor bering, funktsiyaning aniqlanish sohasi y = |f(x) + g(x)| y = f(x) va y = g(x) funktsiyalari aniqlangan x ning barcha qiymatlari to'plami, ya'ni bu ta'rif sohasi ta'rif sohalari, f(x) funktsiyalari kesishishidir. va g(x).

Ballarga ruxsat bering (x 0, y 1) Va (x 0, y 2) mos ravishda funksiyalar grafiklariga tegishli y = f(x) Va y = g(x), ya'ni y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). U holda (x0;. y1 + y2) nuqta funksiya grafigiga tegishli y = f(x) + g(x)(uchun f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. va funksiya grafigidagi istalgan nuqta y = f(x) + g(x) shu tarzda olish mumkin. Shuning uchun funksiyaning grafigi y = f(x) + g(x) funksiya grafiklaridan olish mumkin y = f(x). Va y = g(x) har bir nuqtani almashtirish ( x n, y 1) funksiya grafikasi y = f(x) nuqta (x n, y 1 + y 2), Qayerda y 2 = g (x n), ya'ni har bir nuqtani siljitish orqali ( x n, y 1) funksiya grafigi y = f(x) eksa bo'ylab da miqdori bo'yicha y 1 = g (x n). Bunday holda, faqat shunday fikrlar hisobga olinadi X n, buning uchun ikkala funksiya ham aniqlanadi y = f(x) Va y = g(x).

Funktsiyani chizishning bu usuli y = f(x) + g(x) funksiyalar grafiklarini qo‘shish deyiladi y = f(x) Va y = g(x)

4-misol. Rasmda funktsiyaning grafigi grafiklarni qo'shish usuli yordamida tuzilgan
y = x + sinx.

Funksiya grafigini tuzishda y = x + sinx shunday deb o'yladik f(x) = x, A g(x) = sinx. Funksiya grafigini chizish uchun abstsissalar -1,5p, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2 bo'lgan nuqtalarni tanlaymiz. f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Tanlangan nuqtalarda hisoblab chiqamiz va natijalarni jadvalga joylaymiz.

Ushbu o'quv materiali faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va keng doiradagi mavzularga tegishli. Maqolada asosiy elementar funktsiyalarning grafiklari haqida umumiy ma'lumot berilgan va eng muhim masala ko'rib chiqiladi - grafikni qanday qilib to'g'ri va TEZ qurish kerak. Asosiy elementar funksiyalarning grafiklarini bilmasdan oliy matematikani o'rganish jarayonida bu qiyin bo'ladi, shuning uchun parabola, giperbola, sinus, kosinus va boshqalarning grafiklari qanday ko'rinishini eslab qolish va ba'zilarini eslab qolish juda muhimdir. funksiyalarning ma'nolari. Shuningdek, biz asosiy funktsiyalarning ba'zi xususiyatlari haqida gapiramiz.

Men materiallarning to'liqligi va ilmiy puxtaligiga da'vo qilmayman, birinchi navbatda, amaliyotga e'tibor beriladi har bir qadamda, oliy matematikaning istalgan mavzusida tom ma'noda duch keladi. Dummies uchun jadvallar? Shunday deyish mumkin.

O'quvchilarning ko'plab so'rovlari tufayli bosiladigan tarkib jadvali:

Bundan tashqari, mavzu bo'yicha ultra qisqacha konspekt mavjud
- OLTI sahifani o'rganish orqali 16 turdagi jadvallarni o'zlashtiring!

Jiddiy, olti, hatto men hayron bo'ldim. Ushbu xulosa yaxshilangan grafiklarni o'z ichiga oladi va nominal to'lov evaziga mavjud demo versiyasini ko'rish mumkin; Grafiklar doimo qo'lda bo'lishi uchun faylni chop etish qulay. Loyihani qo'llab-quvvatlaganingiz uchun tashakkur!

Va darhol boshlaylik:

Koordinata o'qlarini qanday qilib to'g'ri qurish mumkin?

Amalda, testlar deyarli har doim o'quvchilar tomonidan alohida daftarlarda, kvadrat shaklida to'ldirilgan. Nega sizga katakli belgilar kerak? Axir, ish, qoida tariqasida, A4 varaqlarida bajarilishi mumkin. Va qafas faqat chizmalarning yuqori sifatli va aniq dizayni uchun kerak.

Funktsiya grafigining har qanday chizmasi koordinata o'qlaridan boshlanadi.

Chizmalar ikki o'lchovli yoki uch o'lchovli bo'lishi mumkin.

Keling, birinchi navbatda ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqaylik Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi:

1) Koordinata o'qlarini chizish. Eksa deyiladi x o'qi , va o'qi y o'qi . Biz har doim ularni chizishga harakat qilamiz toza va egri emas. O'qlar ham Papa Karloning soqoliga o'xshamasligi kerak.

2) Biz o'qlarni "X" va "Y" katta harflari bilan imzolaymiz. Boltalarni belgilashni unutmang.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating: nol va ikkita birlikni chizish. Chizma chizishda eng qulay va tez-tez ishlatiladigan masshtab: 1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan) - iloji bo'lsa, unga yopishib oling. Biroq, vaqti-vaqti bilan chizilgan daftar varag'iga mos kelmasligi sodir bo'ladi - keyin biz o'lchovni kamaytiramiz: 1 birlik = 1 katak (o'ngda chizilgan). Bu kamdan-kam uchraydi, lekin chizilgan o'lchovni yanada qisqartirish (yoki oshirish) kerak bo'ladi.

…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … ni “pulemyot” o'rnatishga HAQIQAT YO'Q. Chunki koordinata tekisligi Dekartning yodgorligi emas, talaba esa kaptar emas. qo'yamiz nol Va eksa bo'ylab ikkita birlik. Ba'zan o'rniga birliklarda boshqa qiymatlarni "belgilash" qulay, masalan, abscissa o'qida "ikki" va ordinatalar o'qida "uch" - va bu tizim (0, 2 va 3) koordinatalar panjarasini ham noyob tarzda aniqlaydi.

Chizmani qurishdan oldin chizmaning taxminiy o'lchamlarini taxmin qilish yaxshiroqdir. Shunday qilib, masalan, agar vazifa cho'qqilari bilan uchburchak chizishni talab qilsa , , , unda 1 birlik = 2 katakning mashhur shkalasi ishlamasligi aniq. Nega? Keling, bir nuqtaga qaraylik - bu erda siz o'n besh santimetr pastga o'lchashingiz kerak bo'ladi va aniqki, chizma daftar varag'iga sig'maydi (yoki deyarli sig'maydi). Shuning uchun biz darhol kichikroq o'lchovni tanlaymiz: 1 birlik = 1 hujayra.

Aytgancha, taxminan santimetr va daftar hujayralari. 30 ta daftar xujayrasi 15 santimetrdan iborat ekanligi rostmi? O'yin-kulgi uchun daftaringizdagi 15 santimetrni chizg'ich bilan o'lchang. SSSRda bu to'g'ri bo'lgan bo'lishi mumkin ... Qizig'i shundaki, agar siz xuddi shu santimetrlarni gorizontal va vertikal ravishda o'lchasangiz, natijalar (hujayralarda) boshqacha bo'ladi! Qat'iy aytganda, zamonaviy daftarlar katak emas, balki to'rtburchaklar. Bu bema'ni tuyulishi mumkin, ammo bunday vaziyatlarda, masalan, kompas bilan doira chizish juda noqulay. Rostini aytsam, shunday paytlarda siz mahalliy avtomobilsozlik, qulagan samolyotlar yoki portlovchi elektr stantsiyalari haqida gapirmasa ham, ishlab chiqarishdagi xakerlik uchun lagerlarga yuborilgan o'rtoq Stalinning to'g'riligi haqida o'ylay boshlaysiz.

Sifat haqida gapirganda yoki ish yuritish bo'yicha qisqacha tavsiya. Bugungi kunda sotuvga qo'yilgan daftarlarning aksariyati, hech bo'lmaganda, butunlay axlatdir. Ular nafaqat jel qalamlardan, balki sharikli qalamlardan ham namlanadi! Ular qog'ozga pul tejashadi. Sinovlarni yakunlash uchun men Arxangelsk pulpa va qog'oz fabrikasidan (18 varaq, kvadrat) yoki "Pyaterochka" daftarlaridan foydalanishni maslahat beraman, garchi u qimmatroq bo'lsa. Jel qalamini tanlash tavsiya etiladi, hatto eng arzon xitoy jeli ham qog'ozni bo'yab qo'yadigan yoki yirtib tashlaydigan sharikli qalamga qaraganda ancha yaxshi. Men eslay oladigan yagona "raqobatbardosh" sharikli qalam - Erich Krause. U aniq, chiroyli va izchil yozadi - to'liq yadro bilan yoki deyarli bo'sh.

Qo'shimcha: To'rtburchaklar koordinata tizimini analitik geometriya ko'zlari bilan ko'rish maqolada yoritilgan. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari, koordinata choraklari haqida batafsil ma'lumotni darsning ikkinchi xatboshida topish mumkin Chiziqli tengsizliklar.

3D sumkasi

Bu erda deyarli bir xil.

1) Koordinata o'qlarini chizish. Standart: eksa qo'llaniladi – yuqoriga yo‘naltirilgan, eksa – o‘ngga, o‘q – pastga qarab chapga yo‘naltirilgan qat'iy 45 daraja burchak ostida.

2) O'qlarni belgilang.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating. Eksa bo'ylab masshtab boshqa o'qlar bo'ylab shkaladan ikki marta kichikdir. Shuni ham yodda tutingki, o'ng chizmada men eksa bo'ylab nostandart "chechak" ishlatganman (bu imkoniyat yuqorida aytib o'tilgan). Mening fikrimcha, bu aniqroq, tezroq va estetik jihatdan yoqimli - mikroskop ostida hujayraning o'rtasini izlash va koordinatalarning kelib chiqishiga yaqin bo'lgan birlikni "haykal" qilishning hojati yo'q.

3D chizmani yaratishda yana o'lchovga ustunlik bering
1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan).

Bu qoidalarning barchasi nima uchun? Qoidalar buzish uchun yaratilgan. Men hozir shunday qilaman. Gap shundaki, maqolaning keyingi chizmalari men tomonidan Excelda tuziladi va koordinata o'qlari to'g'ri dizayn nuqtai nazaridan noto'g'ri ko'rinadi. Men barcha grafiklarni qo'lda chizishim mumkin edi, lekin ularni chizish juda qo'rqinchli, chunki Excel ularni aniqroq chizishni istamaydi.

Elementar funksiyalarning grafiklari va asosiy xossalari

Chiziqli funktsiya tenglama bilan berilgan. Chiziqli funksiyalar grafigi bevosita. To'g'ri chiziqni qurish uchun ikkita nuqtani bilish kifoya.

1-misol

Funksiya grafigini tuzing. Keling, ikkita nuqtani topamiz. Nuqtalardan biri sifatida nolni tanlash foydalidir.

Agar , keyin

Yana bir nuqtani olaylik, masalan, 1.

Agar , keyin

Vazifalarni bajarishda nuqtalarning koordinatalari odatda jadvalda umumlashtiriladi:

Va qiymatlarning o'zi og'zaki yoki qoralama, kalkulyatorda hisoblanadi.

Ikki nuqta topildi, keling, chizamiz:

Chizma tayyorlashda biz har doim grafikaga imzo chekamiz.

Chiziqli funktsiyaning maxsus holatlarini eslash foydali bo'ladi:

Imzolarni qanday qo'yganimga e'tibor bering, imzolar chizmani o'rganishda nomuvofiqlikka yo'l qo'ymasligi kerak. Bunday holda, chiziqlarning kesishish nuqtasi yonida yoki grafiklar orasidagi pastki o'ngda imzo qo'yish juda istalmagan.

1) () ko'rinishdagi chiziqli funksiya to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik deyiladi. Masalan, . To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik grafigi har doim koordinatali nuqtadan o'tadi. Shunday qilib, to'g'ri chiziqni qurish soddalashtirilgan - faqat bitta nuqtani topish kifoya.

2) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni belgilaydi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan berilgan. Funktsiyaning grafigi darhol, hech qanday nuqta topilmagan holda chiziladi. Ya'ni, yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "x ning har qanday qiymati uchun y har doim -4 ga teng."

3) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni belgilaydi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan berilgan. Funktsiyaning grafigi ham darhol chiziladi. Yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "x har doim, y ning har qanday qiymati uchun 1 ga teng."

Ba'zilar so'rashadi, nega 6-sinfni eslaysiz?! Bu shunday, balki shundaydir, lekin ko'p yillik amaliyot davomida men yoki kabi grafik yaratish vazifasidan hayratda qolgan o'nlab talabalarni uchratdim.

To'g'ri chiziqni qurish - chizmalarni tuzishda eng keng tarqalgan harakatdir.

To'g'ri chiziq analitik geometriya kursida batafsil muhokama qilinadi va qiziquvchilar maqolaga murojaat qilishlari mumkin. Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Kvadrat, kub funksiya grafigi, ko‘phadning grafigi

Parabola. Kvadrat funksiya grafigi () parabolani ifodalaydi. Mashhur ishni ko'rib chiqing:

Funktsiyaning ba'zi xususiyatlarini eslaylik.

Demak, tenglamamizning yechimi: – aynan shu nuqtada parabolaning uchi joylashgan. Nima uchun bu shunday bo'lganligini hosila haqidagi nazariy maqolada va funktsiyaning ekstremallari bo'yicha darsda topish mumkin. Shu bilan birga, mos keladigan "Y" qiymatini hisoblaymiz:

Shunday qilib, cho'qqi nuqtada

Endi biz parabolaning simmetriyasini qo'pol ravishda ishlatib, boshqa nuqtalarni topamiz. Funktsiyani ta'kidlash kerak – hatto emas, ammo, shunga qaramay, hech kim parabolaning simmetriyasini bekor qilmadi.

Qolgan nuqtalarni qanday tartibda topish, menimcha, yakuniy jadvaldan aniq bo'ladi:

Ushbu qurilish algoritmini majoziy ma'noda "shuttle" yoki Anfisa Chexova bilan "oldinga va orqaga" tamoyili deb atash mumkin.

Keling, rasm chizamiz:

Ko'rib chiqilgan grafiklardan yana bir foydali xususiyat aqlga keladi:

Kvadrat funksiya uchun () quyidagilar to'g'ri:

Agar , u holda parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi.

Agar , u holda parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi.

Egri chiziq haqida chuqur bilimlarni Giperbola va parabola darsida olish mumkin.

Funktsiya tomonidan kub parabola berilgan. Mana maktabdan tanish rasm:

Funktsiyaning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz

Funksiya grafigi

U parabolaning shoxlaridan birini ifodalaydi. Keling, rasm chizamiz:

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bunday holda, eksa vertikal asimptota da giperbolaning grafigi uchun.

Agar chizmani tuzayotganda, grafikning asimptota bilan kesishishiga beparvolik bilan yo'l qo'ysangiz, bu YUQO'L xato bo'ladi.

Bundan tashqari, bir tomonlama chegaralar bizga giperbola ekanligini aytadi yuqoridan cheklanmagan Va pastdan cheklanmagan.

Funktsiyani cheksizlikda ko'rib chiqamiz: , ya'ni, agar biz o'q bo'ylab chapga (yoki o'ngga) abadiylikka harakat qilishni boshlasak, u holda "o'yinlar" tartibli qadamda bo'ladi. cheksiz yaqin nolga yaqinlashadi va shunga mos ravishda giperbolaning shoxlari cheksiz yaqin o'qiga yaqinlashing.

Shunday qilib, eksa gorizontal asimptota funktsiya grafigi uchun, agar "x" ortiqcha yoki minus cheksizlikka moyil bo'lsa.

Funktsiya shunday g'alati, va shuning uchun giperbola kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir. Bu haqiqat chizmadan yaqqol ko'rinib turibdi, qo'shimcha ravishda u analitik jihatdan osongina tekshiriladi: .

() ko'rinishdagi funktsiya grafigi giperbolaning ikkita tarmog'ini ifodalaydi.

Agar , u holda giperbola birinchi va uchinchi koordinata choraklarida joylashgan(yuqoridagi rasmga qarang).

Agar bo'lsa, giperbola ikkinchi va to'rtinchi koordinata choraklarida joylashgan.

Ko'rsatilgan giperbolaning yashash sxemasini grafiklarning geometrik o'zgarishlari nuqtai nazaridan tahlil qilish oson.

3-misol

Giperbolaning o'ng shoxini tuzing

Biz nuqtaviy qurilish usulidan foydalanamiz va qiymatlarni butunga bo'linadigan qilib tanlash foydalidir:

Keling, rasm chizamiz:

Giperbolaning chap novdasini qurish qiyin bo'lmaydi, bu erda funktsiyaning g'alatiligi yordam beradi; Taxminan aytganda, nuqtaviy qurilish jadvalida biz har bir raqamga minus qo'shamiz, tegishli nuqtalarni qo'yamiz va ikkinchi novdani chizamiz.

Ko'rib chiqilgan chiziq haqida batafsil geometrik ma'lumotni Giperbola va parabola maqolasida topish mumkin.

Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi

Ushbu bo'limda men darhol eksponensial funktsiyani ko'rib chiqaman, chunki oliy matematika muammolarida 95% hollarda eksponensial ko'rinadi.

Shuni eslatib o'tamanki, bu irratsional raqam: , bu grafikni qurishda talab qilinadi, men buni marosimsiz quraman. Uch ball etarli bo'lishi mumkin:

Funksiya grafigini hozircha yolg‘iz qoldiraylik, bu haqda keyinroq to‘xtalib o‘tamiz.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Funksiya grafiklari va boshqalar asosan bir xil ko'rinishga ega.

Aytishim kerakki, ikkinchi holat amalda kamroq uchraydi, lekin u sodir bo'ladi, shuning uchun men uni ushbu maqolaga kiritishni zarur deb bildim.

Logarifmik funksiya grafigi

Natural logarifmli funksiyani ko‘rib chiqaylik.
Keling, nuqtama-nuqta chizamiz:

Agar siz logarifm nima ekanligini unutgan bo'lsangiz, maktab darsliklariga murojaat qiling.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Domen:

Qiymatlar diapazoni: .

Funktsiya yuqoridan cheklanmagan: , asta-sekin bo'lsa-da, lekin logarifmning shoxchasi cheksizlikka ko'tariladi.
Keling, o'ngdagi nolga yaqin funktsiyaning harakatini ko'rib chiqaylik: . Shunday qilib, eksa vertikal asimptota funktsiya grafigi uchun "x" o'ngdan nolga intiladi.

Logarifmning odatiy qiymatini bilish va eslab qolish juda muhimdir: .

Asosan, logarifmning asosga grafigi bir xil ko'rinadi: , , (asosga o'nlik logarifm 10) va hokazo. Bundan tashqari, taglik qanchalik katta bo'lsa, grafik tekisroq bo'ladi.

Biz ishni ko'rib chiqmaymiz, men oxirgi marta bunday asos bilan grafik qurganimni eslay olmayman. Va logarifm oliy matematika muammolarida juda kam uchraydigan mehmon bo'lib tuyuladi.

Ushbu paragrafning oxirida yana bir faktni aytaman: Ko‘rsatkichli funksiya va logarifmik funksiya- bu ikkita o'zaro teskari funktsiya. Agar siz logarifm grafigiga diqqat bilan qarasangiz, bu bir xil ko'rsatkich ekanligini, u biroz boshqacha joylashganligini ko'rishingiz mumkin.

Trigonometrik funksiyalarning grafiklari

Trigonometrik azob maktabda qaerdan boshlanadi? To'g'ri. Sinusdan

Keling, funktsiyani chizamiz

Bu qator deyiladi sinusoid.

Eslatib o‘taman, “pi” irratsional son: , trigonometriyada esa ko‘zni qamashtiradi.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bu funksiya davriy davr bilan. Bu nima degani? Keling, segmentni ko'rib chiqaylik. Uning chap va o'ng tomonida grafikning aynan bir qismi cheksiz takrorlanadi.

Domen: , ya'ni "x" ning har qanday qiymati uchun sinus qiymati mavjud.

Qiymatlar diapazoni: . Funktsiya shunday cheklangan: , ya'ni barcha "o'yinlar" segmentda qat'iy o'tiradi.
Bu sodir bo'lmaydi: yoki, aniqrog'i, sodir bo'ladi, lekin bu tenglamalar yechimga ega emas.

Chiziqli funksiya y=kx+b ko'rinishdagi funktsiya bo'lib, bu erda x mustaqil o'zgaruvchi, k va b har qanday sonlardir.
Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir.

1. Funksiya grafigini tuzish uchun, bizga funksiya grafigiga tegishli ikkita nuqtaning koordinatalari kerak. Ularni topish uchun siz ikkita x qiymatni olishingiz, ularni funktsiya tenglamasiga almashtirishingiz va mos keladigan y qiymatlarini hisoblash uchun ishlatishingiz kerak.

Masalan, y= x+2 funksiya grafigini tuzish uchun x=0 va x=3 ni olish qulay, u holda bu nuqtalarning ordinatalari y=2 va y=3 ga teng bo'ladi. A(0;2) va B(3;3) nuqtalarini olamiz. Ularni bog‘laymiz va y= x+2 funksiya grafigini olamiz:

2. y=kx+b formulada k soni proporsionallik koeffitsienti deyiladi:
k>0 bo'lsa, y=kx+b funksiya ortadi
agar k
B koeffitsienti funktsiya grafigining OY o'qi bo'ylab siljishini ko'rsatadi:
agar b>0 bo'lsa, u holda y=kx+b funksiya grafigidan b birliklarni OY o'qi bo'ylab yuqoriga siljitish orqali y=kx funksiya grafigi olinadi.
agar b
Quyidagi rasmda y=2x+3 funksiyalarning grafiklari keltirilgan; y= ½ x+3; y=x+3

E'tibor bering, bu barcha funktsiyalarda koeffitsient k Noldan yuqori, va funktsiyalari ortib boradi. Bundan tashqari, k qiymati qanchalik katta bo'lsa, to'g'ri chiziqning OX o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagi shunchalik katta bo'ladi.

Barcha funktsiyalarda b=3 - va biz barcha grafiklar OY o'qini (0;3) nuqtada kesishganini ko'ramiz.

Endi y=-2x+3 funksiyalarning grafiklarini ko'rib chiqing; y=- ½ x+3; y=-x+3

Bu safar barcha funksiyalarda koeffitsient k noldan kam va funktsiyalari kamayib bormoqda. Koeffitsient b=3 va grafiklar, oldingi holatda bo'lgani kabi, OY o'qini (0;3) nuqtada kesishadi.

y=2x+3 funksiyalarning grafiklarini ko‘rib chiqamiz; y=2x; y=2x-3

Endi barcha funktsiya tenglamalarida k koeffitsientlari 2 ga teng. Va biz uchta parallel chiziq oldik.

Ammo b koeffitsientlari har xil va bu grafiklar OY o'qini turli nuqtalarda kesishadi:
y=2x+3 (b=3) funksiyaning grafigi OY o‘qini (0;3) nuqtada kesib o‘tadi.
y=2x (b=0) funksiyaning grafigi OY o'qini (0;0) nuqtada - koordinatali nuqtada kesib o'tadi.
y=2x-3 (b=-3) funksiya grafigi OY o‘qini (0;-3) nuqtada kesib o‘tadi.

Demak, k va b koeffitsientlarning belgilarini bilsak, u holda y=kx+b funksiya grafigi qanday ko‘rinishini darhol tasavvur qilishimiz mumkin.
Agar k 0

Agar k>0 va b>0, u holda y=kx+b funksiyaning grafigi quyidagicha ko'rinadi:

Agar k>0 va b, u holda y=kx+b funksiyaning grafigi quyidagicha ko'rinadi:

Agar k, u holda y=kx+b funksiyaning grafigi quyidagicha ko'rinadi:

Agar k=0, u holda y=kx+b funksiya y=b funksiyaga aylanadi va uning grafigi quyidagicha ko‘rinadi:

y=b funksiya grafigidagi barcha nuqtalarning ordinatalari b If ga teng b=0, u holda y=kx (to'g'ri proportsionallik) funksiyaning grafigi koordinata boshidan o'tadi:

3. x=a tenglama grafigini alohida qayd qilaylik. Bu tenglamaning grafigi OY o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq bo'lib, uning barcha nuqtalari x=a abscissaga ega.

Masalan, x=3 tenglamaning grafigi quyidagicha ko'rinadi:
Diqqat! x=a tenglamasi funksiya emas, shuning uchun argumentning bir qiymati funktsiyaning turli qiymatlariga mos keladi, bu funktsiya ta'rifiga mos kelmaydi.

4. Ikki chiziqning parallelligi sharti:

y=k 1 x+b 1 funksiyaning grafigi y=k 2 x+b 2 funksiya grafigiga parallel, agar k 1 =k 2 bo‘lsa.

5. Ikki toʻgʻri chiziqning perpendikulyar boʻlishi sharti:

y=k 1 x+b 1 funksiya grafigi k 1 *k 2 =-1 yoki k 1 =-1/k 2 bo‘lsa, y=k 2 x+b 2 funksiya grafigiga perpendikulyar.

6. y=kx+b funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari.

OY o'qi bilan. OY o'qiga tegishli har qanday nuqtaning abssissasi nolga teng. Demak, OY o'qi bilan kesishish nuqtasini topish uchun funksiya tenglamasida x o'rniga nolni qo'yish kerak. Biz y=b ni olamiz. Ya'ni, OY o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatalariga ega (0; b).

OX o'qi bilan: OX o'qiga tegishli har qanday nuqtaning ordinatasi nolga teng. Demak, OX o'qi bilan kesishish nuqtasini topish uchun funksiya tenglamasida y o'rniga nolni qo'yish kerak. Biz 0=kx+b ni olamiz. Demak, x=-b/k. Ya'ni, OX o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatalariga ega (-b/k;0):

Qurilish funktsiyasi

Sizning e'tiboringizga barcha huquqlar kompaniyaga tegishli bo'lgan onlayn funktsiyalar grafiklarini yaratish xizmatini taklif qilamiz Desmos. Funktsiyalarni kiritish uchun chap ustundan foydalaning. Siz qo'lda yoki oynaning pastki qismidagi virtual klaviatura yordamida kirishingiz mumkin. Grafik yordamida oynani kattalashtirish uchun siz chap ustunni ham, virtual klaviaturani ham yashirishingiz mumkin.

Onlayn diagrammaning afzalliklari

Kiritilgan funksiyalarni vizual ko'rsatish
Juda murakkab grafiklarni yaratish
Bevosita ko'rsatilgan grafiklarni qurish (masalan, ellips x^2/9+y^2/16=1)
Diagrammalarni saqlash va ularga havolani olish imkoniyati, bu Internetda hamma uchun mavjud bo'ladi
Masshtabni, chiziq rangini nazorat qilish
Konstantalardan foydalanib, nuqtalar bo'yicha grafiklarni chizish imkoniyati
Bir vaqtning o'zida bir nechta funktsiya grafiklarini chizish
Qutbli koordinatalarda chizish (r va th(\teta) dan foydalaning)

Biz bilan har xil murakkablikdagi jadvallarni onlayn yaratish oson. Qurilish darhol amalga oshiriladi. Xizmat funktsiyalarning kesishish nuqtalarini topish, muammolarni hal qilishda illyustratsiyalar sifatida ularni Word hujjatiga keyingi ko'chirish uchun grafiklarni tasvirlash va funksiya grafiklarining xatti-harakatlarini tahlil qilish uchun talab qilinadi. Ushbu veb-sayt sahifasida diagrammalar bilan ishlash uchun optimal brauzer bu Google Chrome. Boshqa brauzerlardan foydalanganda to'g'ri ishlash kafolatlanmaydi.

Maktab o'quvchilari oldida algebrani o'rganishning eng boshida funktsiya grafigini qurish vazifasi turibdi va ularni yildan-yilga qurishda davom etmoqda. Faqat ikkita nuqtani bilishingiz kerak bo'lgan chiziqli funktsiya grafigidan boshlab, allaqachon 6 nuqta, giperbola va sinus to'lqinni talab qiladigan parabolagacha. Har yili funktsiyalar tobora murakkablashib bormoqda va endi ularning grafiklarini shablon yordamida qurish mumkin emas, hosilalar va limitlar yordamida yanada murakkab tadqiqotlar o'tkazish kerak;

Keling, funktsiya grafigini qanday topish mumkinligini aniqlaylik? Buning uchun eng oddiy funksiyalardan boshlaylik, ularning grafiklari nuqtama-nuqta chiziladi, keyin esa murakkabroq funksiyalarni qurish rejasini ko‘rib chiqamiz.

Chiziqli funktsiyaning grafigini tuzish

Eng oddiy grafiklarni qurish uchun funksiya qiymatlari jadvalidan foydalaning. Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir. y=4x+5 funksiya grafigidagi nuqtalarni topishga harakat qilaylik.

Buning uchun x o'zgaruvchining ikkita ixtiyoriy qiymatini olamiz, ularni birma-bir funktsiyaga almashtiramiz, y o'zgaruvchining qiymatini topamiz va hamma narsani jadvalga kiritamiz.
x=0 qiymatini oling va uni x - 0 o'rniga funktsiyaga qo'ying. Biz olamiz: y=4*0+5, ya'ni y=5, bu qiymatni jadvalga 0 ostida yozing. Xuddi shunday, x= ni oling. 0, biz y=4*1+5 , y=9 ni olamiz.
Endi funksiya grafigini qurish uchun ushbu nuqtalarni koordinata tekisligida chizishingiz kerak. Keyin to'g'ri chiziq chizishingiz kerak.

Kvadrat funksiyaning grafigini tuzish

Kvadrat funksiya y=ax 2 +bx +c ko‘rinishdagi funksiya bo‘lib, bunda x o‘zgaruvchi, a,b,c sonlar (a 0 ga teng emas). Masalan: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.

Eng oddiy y=x 2 kvadrat funktsiyani qurish uchun odatda 5-7 ball olinadi. Keling, x o'zgaruvchisi uchun qiymatlarni olaylik: -2, -1, 0, 1, 2 va y ning qiymatlarini xuddi birinchi grafikni qurishdagi kabi topamiz.

Kvadrat funksiya grafigiga parabola deyiladi. Funktsiyalar grafiklarini tuzgandan so'ng, o'quvchilarga grafik bilan bog'liq yangi topshiriqlar beriladi.

1-misol: ordinatasi 9 bo'lsa, y=x 2 funksiyaning grafik nuqtasining abssissasini toping. Masalani yechish uchun funktsiyaga y o'rniga uning 9 qiymatini qo'yish kerak, 9=x 2 ni olamiz va yechamiz bu tenglama. x=3 va x=-3. Buni funktsiya grafigida ham ko'rish mumkin.

Funksiyani tadqiq qilish va uning grafigini tuzish

Murakkab funktsiyalarning grafiklarini tuzish uchun siz uni o'rganishga qaratilgan bir necha bosqichlarni bajarishingiz kerak. Buning uchun sizga kerak:

Funksiyaning aniqlanish sohasini toping. Ta'rif sohasi - bu x o'zgaruvchisi olishi mumkin bo'lgan barcha qiymatlar. Maxraj 0 ga aylanadigan yoki radikal ifoda manfiy bo'ladigan nuqtalarni ta'rif sohasidan chiqarib tashlash kerak.
Funktsiyaning juft yoki toq ekanligini o'rnating. Eslatib o'tamiz, juft funktsiya f(-x)=f(x) shartiga javob beradigan funktsiyadir. Uning grafigi Oyga nisbatan simmetrikdir. Agar funktsiya f(-x)=-f(x) shartiga javob bersa, toq bo'ladi. Bunday holda, grafik kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.
Koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarni toping. Ox o'qi bilan kesishgan nuqtaning abtsissasini topish uchun f(x) = 0 (ordinata 0 ga teng) tenglamani yechish kerak. Oy o'qi bilan kesishgan nuqtaning ordinatasini topish uchun funksiyada x o'zgaruvchisi o'rniga 0 ni qo'yish kerak (abtsissa 0).
Funktsiyaning asimptotalarini toping. Asiptota - bu to'g'ri chiziq bo'lib, grafik cheksiz yaqinlashadi, lekin hech qachon kesib o'tmaydi. Funktsiya grafigining asimptotalarini qanday topish mumkinligini aniqlaymiz.
- x=a to'g'ri chiziqning vertikal asimptotasi
- Gorizontal asimptota - to'g'ri chiziq y=a
- Qiya asimptota - y=kx+b ko'rinishdagi to'g'ri chiziq
Funksiyaning ekstremum nuqtalarini, funksiyaning ortish va kamayish oraliqlarini toping. Funksiyaning ekstremum nuqtalarini topamiz. Buning uchun birinchi hosilani topib, uni 0 ga tenglashtirish kerak.Mana shu nuqtalarda funktsiya ortishdan kamayishgacha oʻzgarishi mumkin. Har bir intervalda hosila belgisini aniqlaymiz. Agar hosila ijobiy bo'lsa, u holda funktsiya grafigi ortadi, agar u manfiy bo'lsa, u kamayadi;
Funksiya grafigining burilish nuqtalarini, yuqoriga va pastga qavariq oraliqlarini toping.

Burilish nuqtalarini topish endi har qachongidan ham osonroq. Siz shunchaki ikkinchi hosilani topishingiz kerak, keyin uni nolga tenglashtiring. Keyin har bir intervalda ikkinchi hosilaning belgisini topamiz. Agar u musbat bo'lsa, u holda funktsiya grafigi pastga qarab qavariq, manfiy bo'lsa, yuqoriga qarab qavariq bo'ladi.

O'qish foydali bo'lishi mumkin: