Bevosita belgilangan funktsiyaning hosilasi. Yashirin funksiya hosilasi Yopiq funksiya hosilasining qiymatini toping

$ F(x,y(x)) = 0 $ umumiy ko'rinishda aniq yoziladigan y(x) funksiyani ko'rib chiqamiz. Yashirin funktsiyaning hosilasi ikki usulda topiladi:

Tenglamaning ikkala tomonini farqlash orqali
Tayyor formuladan foydalanib $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Qanday topish mumkin?

1-usul

Funktsiyani aniq ko'rsatishning hojati yo'q. Siz darhol $ x $ ga nisbatan tenglamaning chap va o'ng tomonlarini farqlashni boshlashingiz kerak. Shuni ta'kidlash joizki, $ y" $ hosilasi kompleks funktsiyani differentsiallash qoidasiga ko'ra hisoblanadi. Masalan, $ (y^2)"_x = 2yy" $. Hosilni topgandan so'ng, uni ifodalash kerak. Olingan tenglamadan $ y" $ va chap tomonga $ y" $ qo'ying.

2-usul

Numerator va maxrajda $ F(x,y(x)) = 0 $ yashirin funksiyasining qisman hosilalarini ishlatadigan formuladan foydalanishingiz mumkin. Numeratorni topish uchun $ x $ ga nisbatan hosila oling, maxraj uchun esa $ y $ ga nisbatan hosila oling.

Yopiq funktsiyaning ikkinchi hosilasini aniq funktsiyaning birinchi hosilasini qayta-qayta farqlash orqali topish mumkin.

Yechimlarga misollar

Bevosita belgilangan funksiyaning hosilasini hisoblash yechimlarining amaliy misollarini ko‘rib chiqamiz.

1-misol
$ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $ noaniq funksiyaning hosilasini toping.
Yechim
Keling, №1 usuldan foydalanamiz. Ya'ni, biz tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ajratamiz: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ Farqlashda funksiyalar mahsulotining hosilasi formulasidan foydalanishni unutmang: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. Biz batafsil yechimni taqdim etamiz. Hisoblash jarayonini ko'rishingiz va ma'lumot olishingiz mumkin bo'ladi. Bu sizga o'qituvchingizdan o'z vaqtida baho olishingizga yordam beradi!
Javob
$$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$

2-misol
Funktsiya bilvosita berilgan, hosilasini toping $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $
Yechim
2-sonli usuldan foydalanamiz. $ F(x,y) = 0 $ funksiyaning qisman hosilalarini topish $ y $ doimiy bo'lsin va $ x $ ga nisbatan farqlansin: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ Endi biz $ x $ ni doimiy deb hisoblaymiz va $ y $ ga nisbatan farqlaymiz: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ Endi formulaga $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ o'rniga qo'yamiz va quyidagilarni olamiz: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$
Javob
$$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

Bilvosita ko'rsatilgan funktsiyaning hosilasi uchun formula. Ushbu formulani qo'llashning isboti va misollari. Birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli hosilalarni hisoblash misollari.

Tarkib

Birinchi tartib hosilasi

Funktsiya tenglama yordamida aniq belgilansin
(1) .
Va bu tenglama qandaydir qiymat uchun yagona yechimga ega bo'lsin. Funktsiya , va nuqtasida differentsiallanuvchi funktsiya bo'lsin
.
Keyin, bu qiymatda hosila mavjud bo'lib, u formula bilan aniqlanadi:
(2) .

Isbot

Buni isbotlash uchun funktsiyani o'zgaruvchining kompleks funktsiyasi sifatida ko'rib chiqing:
.
Kompleks funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz va tenglamaning chap va o'ng tomonidagi o'zgaruvchiga nisbatan hosilani topamiz.
(3) :
.
Doimiyning hosilasi nolga teng bo'lgani uchun va , u holda
(4) ;
.

Formula isbotlangan.

Yuqori tartibli hosilalar

(4) tenglamani turli belgilar yordamida qayta yozamiz:
(4) .
Bir vaqtning o'zida va o'zgaruvchining murakkab funktsiyalari:
;
.
Bog'liqlik (1) tenglama bilan aniqlanadi:
(1) .

O'zgaruvchiga nisbatan hosilani (4) tenglamaning chap va o'ng tomonlaridan topamiz.
Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasiga ko'ra, bizda:
;
.
Mahsulot hosilasi formulasiga ko'ra:

.
Hosil yig'indisi formulasidan foydalanish:

.

(4) tenglamaning o'ng tomonining hosilasi nolga teng bo'lgani uchun
(5) .
Bu yerda hosilani almashtirib, ikkinchi tartibli hosila qiymatini yashirin shaklda olamiz.

(5) tenglamani xuddi shunday tarzda differensial qilib, uchinchi tartibli hosilani o'z ichiga olgan tenglamani olamiz:
.
Bu erda birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarning topilgan qiymatlarini almashtirib, uchinchi tartibli hosilaning qiymatini topamiz.

Farqlanishni davom ettirib, istalgan tartibning hosilasini topish mumkin.

Misollar

1-misol

Tenglama bilan bilvosita berilgan funksiyaning birinchi tartibli hosilasini toping:
(P1) .

2-formula bo'yicha yechim

(2) formuladan foydalanib hosilani topamiz:
(2) .

Keling, barcha o'zgaruvchilarni chap tomonga o'tkazamiz, shunda tenglama shaklni oladi.
.
Bu yerdan.

ga nisbatan hosilani doimiy hisoblab topamiz.
;
;
;
.

O'zgaruvchan konstantani hisobga olgan holda o'zgaruvchiga nisbatan hosilani topamiz.
;
;
;
.

Formula (2) yordamida biz quyidagilarni topamiz:
.

Agar dastlabki tenglama (A.1) ga ko'ra ekanligini qayd qilsak, natijani soddalashtirishimiz mumkin. Keling, almashtiramiz:
.
Numerator va maxrajni quyidagicha ko'paytiring:
.

Ikkinchi usul yechim

Keling, ushbu misolni ikkinchi usulda hal qilaylik. Buning uchun asl tenglamaning (A1) chap va o'ng tomonlari o'zgaruvchisiga nisbatan hosilani topamiz.

Biz murojaat qilamiz:
.
Biz hosila kasr formulasini qo'llaymiz:
;
.
Murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz:
.
Dastlabki tenglamani (A1) farqlaylik.
(P1) ;
;
.
Biz shartlarni ko'paytiramiz va guruhlaymiz.
;
.

(A1) tenglamadan) almashtiramiz:
.
Quyidagiga ko'paytiring:
.

2-misol

Tenglama yordamida aniq berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini toping:
(A2.1) .

Asl tenglamani o'zgaruvchiga nisbatan farqlaymiz, chunki u quyidagi funktsiyadir:
;
.
Kompleks funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.
.

Dastlabki tenglamani (A2.1) farqlaylik:
;
.
Dastlabki tenglamadan (A2.1) kelib chiqadiki, . Keling, almashtiramiz:
.
Qavslarni oching va a'zolarni guruhlang:
;
(A2.2) .
Birinchi tartib hosilasini topamiz:
(A2.3) .

Ikkinchi tartibli hosilani topish uchun (A2.2) tenglamani ajratamiz.
;
;
;
.
Birinchi tartibli hosila (A2.3) uchun ifodani almashtiramiz:
.
Quyidagiga ko'paytiring:

;
.
Bu yerdan ikkinchi tartibli hosilani topamiz.

3-misol

Tenglama yordamida aniq berilgan funksiyaning uchinchi tartibli hosilasini toping:
(A3.1) .

Asl tenglamani o'zgaruvchiga nisbatan differensiallashtiramiz, uni funksiyasi deb hisoblaymiz.
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

(A3.2) tenglamani o'zgaruvchiga nisbatan farqlaylik.
;
;
;
;
;
(A3.3) .

(A3.3) tenglamani farqlaylik.
;
;
;
;
;
(A3.4) .

(A3.2), (A3.3) va (A3.4) tenglamalardan hosilalarning qiymatlarini topamiz.
;
;
.

Yoki qisqacha - yashirin funktsiyaning hosilasi. Yashirin funktsiya nima? Darslarim amaliy bo'lgani uchun men ta'rif va teoremalardan qochishga harakat qilaman, ammo bu erda buni qilish maqsadga muvofiq bo'ladi. Har holda funktsiya nima?

Yagona o'zgaruvchi funksiya - mustaqil o'zgaruvchining har bir qiymati uchun funktsiyaning bitta va faqat bitta qiymati mavjudligini bildiruvchi qoida.

O'zgaruvchi chaqiriladi mustaqil o'zgaruvchi yoki dalil.
O'zgaruvchi chaqiriladi qaram o'zgaruvchi yoki funktsiyasi.

Taxminan aytganda, bu holda "Y" harfi funktsiyadir.

Hozirgacha biz belgilangan funktsiyalarni ko'rib chiqdik aniq shakl. Bu nima degani? Keling, aniq misollar yordamida brifing o'tkazamiz.

Funktsiyani ko'rib chiqing

Ko'ryapmizki, chap tomonda bizda yolg'iz "Y" (funktsiya), o'ngda esa - faqat "X". Ya'ni, funktsiya aniq mustaqil oʻzgaruvchi orqali ifodalanadi.

Keling, boshqa funktsiyani ko'rib chiqaylik:

Bu erda o'zgaruvchilar aralashtiriladi. Bundan tashqari hech qanday tarzda mumkin emas“Y”ni faqat “X” orqali ifodalang. Bu usullar nima? Belgini o'zgartirgan holda atamalarni qismdan qismga o'tkazish, ularni qavs ichidan chiqarish, nisbat qoidasiga ko'ra ko'rsatkichlarni tashlash va hokazo. Tenglikni qayta yozing va "y" ni aniq ifodalashga harakat qiling: . Siz tenglamani soatlab burishingiz va aylantirishingiz mumkin, ammo muvaffaqiyatga erisha olmaysiz.

Sizni tanishtiraman: - misol yashirin funksiya.

Matematik tahlil jarayonida yashirin funksiya mavjudligi isbotlangan mavjud(ammo, har doim ham emas), u grafikga ega (xuddi "oddiy" funktsiya kabi). Yashirin funktsiya aynan bir xil mavjud birinchi hosila, ikkinchi hosila va boshqalar. Ular aytganidek, jinsiy ozchiliklarning barcha huquqlari hurmat qilinadi.

Va bu darsda biz bilvosita aniqlangan funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganamiz. Bu unchalik qiyin emas! Barcha farqlash qoidalari va elementar funktsiyalarning hosilalari jadvali o'z kuchida qoladi. Farqi bir o'ziga xos daqiqada, biz hozir ko'rib chiqamiz.

Ha, va men sizga xushxabarni aytaman - quyida muhokama qilingan vazifalar uchta yo'l oldida toshsiz juda qattiq va aniq algoritmga muvofiq amalga oshiriladi.

1-misol

1) Birinchi bosqichda biz ikkala qismga zarbalarni biriktiramiz:

2) Biz hosilaning chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz (darsning birinchi ikkita qoidasi). hosilani qanday topish mumkin? Yechimlarga misollar):

3) To'g'ridan-to'g'ri farqlash.
Qanday qilib farqlash to'liq aniq. Qon tomirlari ostida "o'yinlar" bo'lgan joyda nima qilish kerak?

Faqat sharmandalik darajasiga qadar funktsiyaning hosilasi uning hosilasiga teng: .

Qanday qilib farqlash kerak

Mana bizda murakkab funktsiya. Nega? Sinus ostida faqat bitta "Y" harfi borga o'xshaydi. Ammo haqiqat shundaki, faqat bitta "y" harfi bor - O'ZI FUNKSIYA(dars boshida ta'rifga qarang). Shunday qilib, sinus tashqi funktsiya bo'lib, ichki funktsiyadir. Murakkab funktsiyani farqlash uchun biz qoidadan foydalanamiz:

Biz mahsulotni odatiy qoidaga ko'ra farqlaymiz:

E'tibor bering - bu ham murakkab funktsiyadir, har qanday "qo'ng'iroq va hushtak bilan o'yin" murakkab vazifadir:

Yechimning o'zi shunday ko'rinishi kerak:

Qavslar bo'lsa, ularni kengaytiring:

4) Chap tomonda biz "Y" harfini o'z ichiga olgan atamalarni to'playmiz. Qolgan hamma narsani o'ng tomonga o'tkazing:

5) Chap tomonda biz qavs ichidan hosilani chiqaramiz:

6) Va mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz bu qavslarni o'ng tomonning maxrajiga tushiramiz:

hosilasi topildi. Tayyor.

Shunisi qiziqki, har qanday funktsiyani bilvosita qayta yozish mumkin. Masalan, funktsiyani quyidagicha qayta yozish mumkin: . Va hozirgina muhokama qilingan algoritmdan foydalanib, uni farqlang. Darhaqiqat, "yomon funktsiya" va "yoshiq funktsiya" iboralari bir semantik nuanceda farqlanadi. "Yashirin shaklda ko'rsatilgan funktsiya" iborasi yanada umumiy va to'g'ri - bu funktsiya yashirin shaklda ko'rsatilgan, ammo bu erda siz "o'yin" ni ifodalashingiz va funktsiyani aniq ifodalashingiz mumkin. "Yopiq funktsiya" iborasi "o'yin" ni ifodalash mumkin bo'lmaganda "klassik" yashirin funktsiyani anglatadi.

Ikkinchi yechim

Diqqat! Agar siz qisman hosilalarni ishonchli tarzda topishni bilsangizgina ikkinchi usul bilan tanishishingiz mumkin. Matematik tahlilni o'rganayotgan yangi boshlanuvchilar va yangi boshlanuvchilar, iltimos, ushbu nuqtani o'qimang va o'tkazib yubormang, aks holda sizning boshingiz butunlay chalkash bo'ladi.

Ikkinchi usul yordamida yashirin funksiyaning hosilasini topamiz.

Biz barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz:

Va ikkita o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqing:

Keyin hosilamizni formuladan foydalanib topish mumkin

Keling, qisman hosilalarni topamiz:

Shunday qilib:

Ikkinchi yechim tekshirishni amalga oshirishga imkon beradi. Ammo ularga topshiriqning yakuniy variantini yozish tavsiya etilmaydi, chunki qisman hosilalar keyinroq o'zlashtiriladi va "Bir o'zgaruvchan funktsiyaning hosilasi" mavzusini o'rganayotgan talaba qisman hosilalarni hali bilmasligi kerak.

Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

2-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Ikkala qismga ham chiziqlar qo'shing:

Biz chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz:

hosilalarni topish:

Barcha qavslarni ochish:

Biz barcha shartlarni chap tomonga, qolganlarini o'ng tomonga siljitamiz:

Chap tomonda biz uni qavslardan chiqaramiz:

Yakuniy javob:

3-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn.

Farqlashdan keyin kasrlar paydo bo'lishi odatiy hol emas. Bunday hollarda siz fraksiyalardan xalos bo'lishingiz kerak. Keling, yana ikkita misolni ko'rib chiqaylik: har bir qismning har bir atamasi

5-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Bitta narsa shundaki, kasrdan xalos bo'lishdan oldin, birinchi navbatda fraksiyaning uch qavatli tuzilishidan xalos bo'lishingiz kerak. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bevosita belgilangan funktsiyaning hosilasi.
Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi

Ushbu maqolada biz yuqori matematika bo'yicha testlarda tez-tez uchraydigan yana ikkita odatiy vazifani ko'rib chiqamiz. Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun siz hech bo'lmaganda o'rta darajada hosilalarni topa olishingiz kerak. Siz ikkita asosiy darsda noldan hosilalarni topishni o'rganishingiz mumkin va Murakkab funktsiyaning hosilasi. Agar farqlash qobiliyatingiz yaxshi bo'lsa, keling.

Bevosita belgilangan funktsiyaning hosilasi

Yoki qisqasi, yashirin funksiyaning hosilasi. Yashirin funktsiya nima? Keling, birinchi navbatda bitta o'zgaruvchining funktsiyasining ta'rifini eslaylik:

Bitta o'zgaruvchining funktsiyasi mustaqil o'zgaruvchining har bir qiymati funksiyaning bitta va faqat bitta qiymatiga mos keladigan qoidadir.

O'zgaruvchi chaqiriladi mustaqil o'zgaruvchi yoki dalil.
O'zgaruvchi chaqiriladi qaram o'zgaruvchi yoki funktsiyasi .

Hozirgacha biz belgilangan funktsiyalarni ko'rib chiqdik aniq shakl. Bu nima degani? Keling, aniq misollar yordamida brifing o'tkazamiz.

Funktsiyani ko'rib chiqing

Ko'ryapmizki, chap tomonda bizda yolg'iz "o'yinchi" bor, o'ngda - faqat "X". Ya'ni, funktsiya aniq mustaqil oʻzgaruvchi orqali ifodalanadi.

Keling, boshqa funktsiyani ko'rib chiqaylik:

Sizni tanishtiraman: – misol yashirin funksiya.

Ha, va men sizga xushxabarni aytaman - quyida muhokama qilingan vazifalar uchta yo'l oldida toshsiz juda qattiq va aniq algoritmga muvofiq amalga oshiriladi.

1-misol

1) Birinchi bosqichda biz ikkala qismga zarbalarni biriktiramiz:

2) Biz hosilaning chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz (darsning birinchi ikkita qoidasi). hosilani qanday topish mumkin? Yechimlarga misollar):

3) To'g'ridan-to'g'ri farqlash.
Qanday qilib farqlash to'liq aniq. Qon tomirlari ostida "o'yinlar" bo'lgan joyda nima qilish kerak?

- shunchaki sharmandalik darajasiga qadar, funktsiyaning hosilasi uning hosilasiga teng: .

Qanday qilib farqlash kerak
Mana bizda murakkab funktsiya. Nega? Sinus ostida faqat bitta "Y" harfi borga o'xshaydi. Ammo haqiqat shundaki, faqat bitta "y" harfi bor - O'ZI FUNKSIYA(dars boshida ta'rifga qarang). Shunday qilib, sinus tashqi funktsiya bo'lib, ichki funktsiyadir. Murakkab funktsiyani farqlash uchun qoidadan foydalanamiz :

Biz mahsulotni odatiy qoidaga ko'ra farqlaymiz :

E'tibor bering, bu ham murakkab funktsiyadir, har qanday "qo'ng'iroq va hushtak bilan o'yin" murakkab vazifadir:

Yechimning o'zi shunday ko'rinishi kerak:

Qavslar bo'lsa, ularni kengaytiring:

4) Chap tomonda biz "Y" harfini o'z ichiga olgan atamalarni to'playmiz. Qolgan hamma narsani o'ng tomonga o'tkazing:

5) Chap tomonda biz qavs ichidan hosilani chiqaramiz:

6) Va mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz bu qavslarni o'ng tomonning maxrajiga tushiramiz:

hosilasi topildi. Tayyor.

Shunisi qiziqki, har qanday funktsiyani bilvosita qayta yozish mumkin. Masalan, funktsiya quyidagicha qayta yozish mumkin: . Va hozirgina muhokama qilingan algoritmdan foydalanib, uni farqlang. Darhaqiqat, "yomon funktsiya" va "yoshiq funktsiya" iboralari bir semantik nuanceda farqlanadi. "Bevosita belgilangan funktsiya" iborasi umumiyroq va to'g'ri, - bu funktsiya bilvosita ko'rsatilgan, ammo bu erda siz "o'yin" ni ifodalashingiz va funktsiyani aniq ko'rsatishingiz mumkin. "Yopiq funktsiya" so'zlari ko'pincha "o'yin" ni ifodalab bo'lmaydigan "klassik" yashirin funktsiyani anglatadi.

Shuni ham ta'kidlash kerakki, "yomon tenglama" bir vaqtning o'zida ikki yoki undan ko'p funktsiyani aniq belgilashi mumkin, masalan, aylana tenglamasi yarim doiralarni aniqlaydigan funktsiyalarni aniq belgilaydi atamalar va nuanslar o'rtasida alohida farq qilmaydi, bu faqat umumiy rivojlanish uchun ma'lumot edi.

Ikkinchi yechim

Diqqat! Agar siz qanday qilib ishonchli tarzda topishni bilsangiz, ikkinchi usul bilan tanishishingiz mumkin qisman hosilalari. Iltimos, hisobni yangi boshlanuvchilar va qo'g'irchoqlar o'qimang va bu nuqtani o'tkazib yubormang, aks holda sizning boshingiz butunlay chalkash bo'ladi.

Ikkinchi usul yordamida yashirin funksiyaning hosilasini topamiz.

Biz barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz:

Va ikkita o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqing:

Keyin hosilamizni formuladan foydalanib topish mumkin
Keling, qisman hosilalarni topamiz:

Shunday qilib:

Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

2-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Ikkala qismga ham chiziqlar qo'shing:

Biz chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz:

hosilalarni topish:

Barcha qavslarni ochish:

Biz barcha shartlarni chap tomonga, qolganlarini o'ng tomonga siljitamiz:

Yakuniy javob:

3-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn.

Farqlashdan keyin kasrlar paydo bo'lishi odatiy hol emas. Bunday hollarda siz fraksiyalardan xalos bo'lishingiz kerak. Keling, yana ikkita misolni ko'rib chiqaylik.

4-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Biz ikkala qismni chiziqlar ostiga qo'yamiz va chiziqlilik qoidasidan foydalanamiz:

Murakkab funktsiyani differensiallash qoidasi yordamida farqlang va ko'rsatkichlarni farqlash qoidasi :

Qavslarni kengaytirish:

Endi biz kasrdan xalos bo'lishimiz kerak. Buni keyinroq qilish mumkin, lekin buni darhol qilish yanada oqilona. Kasrning maxraji tarkibida . Ko'paytiring kuni . Batafsil, u quyidagicha ko'rinadi:

Ba'zida differentsiatsiyadan keyin 2-3 fraktsiya paydo bo'ladi. Agar bizda boshqa kasr bo'lsa, masalan, operatsiyani takrorlash kerak bo'ladi - ko'paytiring har bir qismning har bir muddati yoqilgan

Chap tomonda biz uni qavslardan chiqaramiz:

Yakuniy javob:

5-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi

Keling, ta'kidlamaylik, bu paragrafda hamma narsa juda oddiy. Siz parametrik aniqlangan funktsiyaning umumiy formulasini yozishingiz mumkin, lekin buni aniq qilish uchun men darhol aniq bir misol yozaman. Parametrik shaklda funksiya ikkita tenglama bilan beriladi: . Ko'pincha tenglamalar jingalak qavslar ostida emas, balki ketma-ket yoziladi: , .

O'zgaruvchiga parametr deyiladi va "minus cheksizlik" dan "ortiqcha cheksizlik" ga qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Masalan, qiymatni ko'rib chiqing va uni ikkala tenglamaga almashtiring: . Yoki insoniy so'z bilan aytganda: "agar x to'rtga teng bo'lsa, u holda y birga teng." Koordinata tekisligida nuqtani belgilashingiz mumkin va bu nuqta parametr qiymatiga mos keladi. Xuddi shunday, siz "te" parametrining istalgan qiymati uchun nuqta topishingiz mumkin. "Oddiy" funktsiyaga kelsak, parametrik aniqlangan funktsiyaning amerikalik hindulari uchun barcha huquqlar ham hurmat qilinadi: siz grafik yaratishingiz, lotinlarni topishingiz va hokazo. Aytgancha, parametrik aniqlangan funktsiyaning grafigini chizishingiz kerak bo'lsa, siz mening dasturimdan foydalanishingiz mumkin.

Eng oddiy hollarda funksiyani aniq ifodalash mumkin. Parametrni ifodalaymiz: – birinchi tenglamadan va uni ikkinchi tenglamaga almashtiramiz: . Natijada oddiy kub funksiyasi paydo bo'ladi.

Keyinchalik "og'ir" holatlarda bu hiyla ishlamaydi. Ammo bu muhim emas, chunki parametrik funktsiyaning hosilasini topish uchun formula mavjud:

Biz "te o'zgaruvchisiga nisbatan o'yin" ning hosilasini topamiz:

Barcha farqlash qoidalari va hosilalar jadvali, tabiiyki, harf uchun amal qiladi, shuning uchun, hosilalarni topish jarayonida yangilik yo'q. Jadvaldagi barcha "X" larni "Te" harfi bilan almashtiring.

Te o‘zgaruvchisiga nisbatan “x” ning hosilasini topamiz:

Endi topilgan hosilalarni formulamizga almashtirish qoladi:

Tayyor. Hosil, funksiyaning o'zi kabi, parametrga ham bog'liq.

Belgilanishga kelsak, uni formulada yozish o'rniga, uni pastki belgisiz yozish mumkin, chunki bu "X ga nisbatan" "odatiy" hosiladir. Ammo adabiyotda har doim variant bor, shuning uchun men standartdan chetga chiqmayman.

6-misol

Biz formuladan foydalanamiz

Ushbu holatda:

Shunday qilib:

Parametrik funktsiyaning hosilasini topishning o'ziga xos xususiyati shundaki har bir qadamda natijani iloji boricha soddalashtirish foydalidir. Shunday qilib, ko'rib chiqilgan misolda, men uni topganimda, ildiz ostidagi qavslarni ochdim (garchi men buni qilmagan bo'lsam ham). Formulaga almashtirilganda, ko'p narsalar yaxshi qisqarishi uchun yaxshi imkoniyat bor. Garchi, shubhasiz, noqulay javoblar bilan misollar mavjud.

7-misol

Parametrik belgilangan funksiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Maqolada Losmalar bilan eng oddiy tipik muammolar biz funksiyaning ikkinchi hosilasini topishimiz kerak bo'lgan misollarni ko'rib chiqdik. Parametrli aniqlangan funksiya uchun ikkinchi hosilani ham topishingiz mumkin va u quyidagi formula yordamida topiladi: . Ko'rinib turibdiki, ikkinchi hosilani topish uchun birinchi hosilani topish kerak.

8-misol

Parametrik berilgan funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalarini toping

Birinchidan, birinchi hosilani topamiz.
Biz formuladan foydalanamiz

Ushbu holatda:

Z= f(x; y) funksiya Z ga nisbatan yechilmagan F(x,y,z)=0 tenglama bilan berilgan bo‘lsa, to‘g‘ridan-to‘g‘ri deyiladi. To'g'ridan-to'g'ri berilgan Z funksiyaning qisman hosilalari topilsin. Buning uchun tenglamaga Z o‘rniga f(x;y) funksiyani qo‘yib, F(x,y, f(x,y))=0 o‘xshashlikni olamiz. X va y ga nisbatan nolga teng bo‘lgan funksiyaning qisman hosilalari ham nolga teng.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (doimiy deb hisoblanadi)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (x doimiy deb hisoblanadi)

Qayerda
Va

Misol: Tenglama bilan berilgan Z funksiyaning qisman hosilalarini toping
.

Bu yerda F(x,y,z)=
;
;
;
. Yuqorida keltirilgan formulalar bo'yicha bizda:

Yo'nalishli hosila

M (x,y) nuqtaning ma'lum qo'shnisida Z= f(x; y) ikkita o'zgaruvchili funktsiya berilgan bo'lsin. Birlik vektor tomonidan aniqlangan ba'zi yo'nalishlarni ko'rib chiqing
, Qayerda
(rasmga qarang).

Ushbu yo'nalishda M nuqta orqali o'tadigan to'g'ri chiziqda M 1 nuqtani olamiz (
) shuning uchun uzunlik
segmentMM 1 ga teng
. f(M) funksiyaning ortishi munosabat bilan aniqlanadi, bunda
munosabatlar bilan bog‘langan. Nisbat chegarasi da
funksiyaning hosilasi deb ataladi
nuqtada
tomon va tayinlanadi .

Agar Z funksiya nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa
, keyin uchun munosabatlarni hisobga olgan holda bu nuqtada uning ortishi
quyidagi shaklda yozilishi mumkin.

ikkala qismni bo'lish

va chegaraga o'tish
Z= f(x; y) funksiyaning hosilasi uchun quyidagi yo‘nalishdagi formulani olamiz:

Gradient

Uch o'zgaruvchidan iborat funktsiyani ko'rib chiqing
bir nuqtada farqlanadi
.

Bu funksiyaning gradienti
M nuqtada koordinatalari mos ravishda qisman hosilalarga teng vektor
ayni paytda. Gradientni ko'rsatish uchun belgidan foydalaning
.
=
.

.Gradiyent funksiyaning berilgan nuqtadagi eng tez o‘sish yo‘nalishini ko‘rsatadi.

Birlik vektoridan beri koordinatalariga ega (
), keyin uchta o'zgaruvchili funktsiya holati uchun yo'nalish hosilasi ko'rinishda yoziladi, ya'ni. vektorlarning skalyar mahsuloti formulasiga ega Va
. Oxirgi formulani quyidagicha qayta yozamiz:

, Qayerda - vektor orasidagi burchak Va
. Chunki
, shundan kelib chiqadiki, funktsiyaning yo'nalishdagi hosilasi at maksimal qiymatni oladi =0, ya'ni. vektorlarning yo'nalishi bo'lganda Va
mos kelish. Qayerda
Ya'ni, aslida, funktsiyaning gradienti ushbu funktsiyaning nuqtadagi maksimal o'sish tezligining yo'nalishi va kattaligini tavsiflaydi.

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumi

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning maks, min, ekstremum tushunchalari bitta o'zgaruvchili funktsiyaning mos keladigan tushunchalariga o'xshashdir. Z= f(x; y) funksiya qandaydir D va hokazo sohada aniqlansin. M
ushbu hududga tegishli. M nuqta
nuqtaning shunday d-qo'shnisi bo'lsa, Z= f(x; y) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi.
, bu qo'shnilikdan har bir nuqta uchun tengsizlik
. Min nuqtasi xuddi shunday tarzda aniqlanadi, faqat tengsizlik belgisi o'zgaradi
. Funksiyaning max(min) nuqtadagi qiymati maksimal (minimal) deyiladi. Funksiyaning maksimal va minimumi ekstrema deyiladi.

Ekstremum uchun zarur va etarli shartlar

Teorema:(Ekstremum uchun zarur shartlar). Agar M nuqtasida
Z= f(x; y) differensiallanuvchi funksiya ekstremumga ega bo‘lsa, bu nuqtada uning qisman hosilalari nolga teng:
,
.

Isbot: X yoki y o'zgaruvchilardan birini aniqlab, biz Z = f(x; y) ni bitta o'zgaruvchining funktsiyasiga aylantiramiz, buning ekstremumi uchun yuqoridagi shartlar bajarilishi kerak. Geometrik tengliklar
Va
degani, Z= f(x; y) funksiyaning ekstremum nuqtasida f(x,y)=Z funksiyani ifodalovchi sirtga teguvchi tekislik OXY tekisligiga parallel, chunki tangens tekisligining tenglamasi Z = Z 0. Z = f (x; y) funktsiyaning birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng bo'lgan nuqta, ya'ni.
,
, funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi. Funktsiya qisman hosilalardan kamida bittasi mavjud bo'lmagan nuqtalarda ekstremumga ega bo'lishi mumkin. Masalan,Z=|-
| O(0,0) nuqtada max ga ega, lekin bu nuqtada hosilalari yo'q.

Statsionar nuqtalar va kamida bitta qisman hosila mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi tanqidiy nuqtalar. Kritik nuqtalarda funktsiya ekstremumga ega bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Qisman hosilalarning nolga tengligi ekstremum mavjudligi uchun zaruriy, ammo yetarli shart emas. Masalan, Z=xy bo'lganda O(0,0) nuqta kritik hisoblanadi. Biroq Z=xy funksiyada ekstremum mavjud emas. (Chunki I va III choraklarda Z>0, II va IV choraklarda esa Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorema: (Ekstrema uchun etarli shart). Statsionar nuqtada bo'lsin
va ma'lum bir qo'shnilikda f(x; y) funktsiyasi 2-tartibga qadar uzluksiz qisman hosilalarga ega. Keling, nuqtada hisoblaylik
qiymatlar
,
Va
. belgilaylik