Antiderivativlarni topishning uchta qoidasi. Matematika darsi xulosasi: “Antiderivativlarni topish qoidalari” Antiderivativni topish uchun 3 ta qoida tuzing.

Har bir matematik harakat uchun teskari harakat mavjud. Differensiallash harakati (funksiyalarning hosilalarini topish) uchun teskari harakat - integrasiya ham mavjud. Integrasiya orqali funksiya uning berilgan hosilasi yoki differentsialidan topiladi (qayta tiklanadi). Topilgan funksiya chaqiriladi antiderivativ.

Ta'rif. Differensial funksiya F(x) funktsiyaning antiderivativi deyiladi f(x) ma'lum bir oraliqda, agar hamma uchun X bu oraliqdan quyidagi tenglik amal qiladi: F′(x)=f (x).

Misollar. Funksiyalarga qarshi hosilalarni toping: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) (x²)′=2x boʻlgani uchun, taʼrifga koʻra, F (x)=x² funksiya f (x)=2x funksiyaning anti hosilasi boʻladi.

2) (sin3x)′=3cos3x. Agar f (x)=3cos3x va F (x)=sin3x ni belgilasak, u holda antiderivativning ta’rifi bo‘yicha quyidagilarga ega bo‘lamiz: F′(x)=f (x) va demak, F (x)=sin3x bo‘ladi. f ( x)=3cos3x uchun antiderivativ.

E'tibor bering (sin3x +5 )′= 3cos3x, va (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... umumiy shaklda biz yozishimiz mumkin: (sin3x +C)′= 3cos3x, Qayerda BILAN- ba'zi doimiy qiymat. Bu misollar har qanday differentsiallanuvchi funktsiya bitta hosilaga ega bo'lganda, differentsiallash harakatidan farqli o'laroq, integratsiya harakatining noaniqligini ko'rsatadi.

Ta'rif. Agar funktsiya F(x) funksiyaning antiderivatividir f(x) ma'lum bir oraliqda, bu funktsiyaning barcha antiderivativlari to'plami quyidagi shaklga ega:

F(x)+C, bu yerda C har qanday haqiqiy son.

Ko'rib chiqilayotgan intervaldagi f (x) funksiyaning barcha anti hosilalari F (x) + C to'plami noaniq integral deb ataladi va belgi bilan belgilanadi. ∫ (integral belgisi). Yozing: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Ifoda ∫f(x)dx o'qing: "x dan de x gacha integral ef."

f(x)dx- integral ifoda,

f(x)- integral funktsiya;

X integratsiya o'zgaruvchisidir.

F(x)- funksiyaning anti hosilasi f(x),

BILAN- ba'zi doimiy qiymat.

Endi ko'rib chiqilgan misollarni quyidagicha yozish mumkin:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

d belgisi nimani anglatadi?

d— differensial belgi - ikki tomonlama maqsadga ega: birinchidan, bu belgi integral o'zgaruvchidan integratsiyani ajratadi; ikkinchidan, bu belgidan keyin kelgan hamma narsa sukut bo'yicha farqlanadi va integrandga ko'paytiriladi.

Misollar. Integrallarni toping: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Differensial belgidan keyin d xarajatlar XX, A R

∫ 2xrdx=rx²+S. Misol bilan solishtiring 1).

Keling, tekshirib ko'raylik. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Differensial belgidan keyin d xarajatlar R. Bu integratsiya o'zgaruvchisi degan ma'noni anglatadi R, va multiplikator X qandaydir doimiy qiymat deb hisoblash kerak.

∫ 2hrdr=r²x+S. Misollar bilan solishtiring 1) Va 3).

Keling, tekshirib ko'raylik. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Antiderivativ funktsiya f(x) orasida (a; b) bu funksiya deyiladi F(x), bu tenglik har qanday kishi uchun amal qiladi X berilgan oraliqdan.

Agar doimiyning hosilasi ekanligini hisobga olsak BILAN nolga teng bo'lsa, tenglik to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, funktsiya f(x) ko'plab ibtidoiylarga ega F(x)+C, ixtiyoriy doimiy uchun BILAN, va bu antiderivativlar bir-biridan ixtiyoriy doimiy qiymat bilan farqlanadi.

Noaniq integralning ta'rifi.

Antiderivativ funktsiyalarning butun to'plami f(x) bu funksiyaning noaniq integrali deyiladi va belgilanadi .

ifoda deyiladi integral, A f(x) – integral funktsiyasi. Integrand funksiyaning differentsialini ifodalaydi f(x).

Noma'lum funktsiyaning differentsialini hisobga olgan holda topish harakati deyiladi noaniq integratsiya, chunki integratsiya natijasi bir nechta funktsiyadir F(x), va uning ibtidoiylari to'plami F(x)+C.

Noaniq integralning geometrik ma'nosi. Antiderivativ D(x) ning grafigi integral egri chiziq deyiladi. X0y koordinatalar sistemasida berilgan funksiyaning barcha anti hosilalari grafiklari C konstantasining qiymatiga bog’liq bo’lgan va bir-biridan 0y o’qi bo’ylab parallel siljish orqali olinadigan egri chiziqlar turkumini ifodalaydi. Yuqorida muhokama qilingan misol uchun bizda:

J 2 x^x = x2 + C.

Antiderivativlar oilasi (x + C) geometrik ravishda parabolalar to'plami bilan izohlanadi.

Agar antiderivativlar turkumidan birini topish kerak bo'lsa, u holda C konstantasini aniqlash imkonini beruvchi qo'shimcha shartlar o'rnatiladi. Odatda, bu maqsadda dastlabki shartlar o'rnatiladi: x = x0 argumenti bo'lganda, funktsiya D qiymatiga ega bo'ladi. (x0) = y0.

Misol. y = 2 x funksiyaning x0 = 1 da 3 qiymatini qabul qiladigan antihosilini topish kerak.

Kerakli antiderivativ: D(x) = x2 + 2.

Yechim. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Noaniq integralning asosiy xossalari

1. Noaniq integralning hosilasi integral funksiyaga teng:

2. Noaniq integralning differensiali integrasiya ifodasiga teng:

3. Muayyan funksiya differensialining noaniq integrali shu funksiyaning o‘zi va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng:

4. Integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:

5. Yig‘indining (farq) integrali integrallarning yig‘indisiga (farqiga) teng:

6. Mulk 4 va 5 xossalarning birikmasidir:

7. Noaniq integralning o'zgarmaslik xossasi:

Agar , Bu

8. Mulk:

Agar , Bu

Aslida, bu xususiyat o'zgaruvchan o'zgarish usuli yordamida integratsiyaning alohida holati bo'lib, keyingi bobda batafsilroq muhokama qilinadi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

3. Integratsiya usuli bunda berilgan integral integralni (yoki ifodani) bir xil o'zgartirishlar va noaniq integralning xossalarini qo'llash orqali bir yoki bir nechta jadval integrallariga keltiriladi, deyiladi. to'g'ridan-to'g'ri integratsiya. Ushbu integralni jadvalga keltirishda ko'pincha quyidagi differentsial o'zgarishlar qo'llaniladi (operatsiya " differentsial belgiga obuna bo'lish»):

Umuman, f’(u)du = d(f(u)). Bu (formula ko'pincha integrallarni hisoblashda qo'llaniladi.

Integralni toping

Yechim. Keling, integralning xossalaridan foydalanamiz va bu integralni bir nechta jadvalga keltiramiz.

4. Almashtirish usuli bilan integratsiya.

Usulning mohiyati shundan iboratki, biz yangi o'zgaruvchini kiritamiz, bu o'zgaruvchi orqali integratsiyani ifodalaymiz va natijada biz integralning jadvalli (yoki oddiyroq) ko'rinishiga kelamiz.

Ko'pincha trigonometrik funktsiyalar va funktsiyalarni radikallar bilan integratsiyalashganda almashtirish usuli yordamga keladi.

Misol.

Noaniq integralni toping .

Yechim.

Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz. ifoda qilaylik X orqali z:

Olingan ifodalarni asl integralga almashtiramiz:

Antiderivativlar jadvalidan bizda .

Asl o'zgaruvchiga qaytish qoladi X:

Javob:

Ushbu sahifada siz quyidagilarni topasiz:

1. Aslida, antiderivativlar jadvali - uni PDF formatida yuklab olish va chop etish mumkin;

2. Ushbu jadvaldan qanday foydalanish haqida video;

3. Turli darslik va testlardan antiderivativni hisoblashga oid bir qator misollar.

Videoning o'zida biz funktsiyalarning antiderivativlarini hisoblashingiz kerak bo'lgan ko'plab muammolarni tahlil qilamiz, ko'pincha juda murakkab, lekin eng muhimi, ular kuch funktsiyalari emas. Yuqorida taklif qilingan jadvalda jamlangan barcha funktsiyalar hosilalar kabi yoddan ma'lum bo'lishi kerak. Ularsiz integrallarni keyingi o'rganish va ularni amaliy masalalarni yechishda qo'llash mumkin emas.

Bugun biz primitivlarni o'rganishni davom ettiramiz va biroz murakkabroq mavzuga o'tamiz. Agar oxirgi marta biz faqat kuch funktsiyalarining antiderivativlarini va biroz murakkabroq tuzilmalarni ko'rib chiqsak, bugun biz trigonometriyani va yana ko'p narsalarni ko'rib chiqamiz.

Oxirgi darsda aytganimdek, antiderivativlar, lotinlardan farqli o'laroq, hech qachon standart qoidalardan foydalangan holda "to'g'ridan-to'g'ri" hal etilmaydi. Bundan tashqari, yomon xabar shundaki, lotindan farqli o'laroq, antiderivativ umuman ko'rib chiqilmasligi mumkin. Agar biz butunlay tasodifiy funktsiyani yozsak va uning hosilasini topishga harakat qilsak, unda juda katta ehtimollik bilan biz muvaffaqiyatga erishamiz, ammo bu holda antiderivativ deyarli hech qachon hisoblanmaydi. Ammo yaxshi yangilik bor: elementar funktsiyalar deb ataladigan juda katta funktsiyalar sinfi mavjud bo'lib, ularning antiderivativlarini hisoblash juda oson. Va boshqa barcha turdagi testlar, mustaqil testlar va imtihonlar bo'yicha berilgan murakkabroq tuzilmalar, aslida, qo'shish, ayirish va boshqa oddiy harakatlar orqali ushbu elementar funktsiyalardan iborat. Bunday funksiyalarning prototiplari uzoq vaqtdan beri hisoblab chiqilgan va maxsus jadvallarga tuzilgan. Aynan shu funktsiyalar va jadvallar bilan biz bugun ishlaymiz.

Ammo biz, har doimgidek, takrorlash bilan boshlaymiz: keling, antiderivativ nima ekanligini, nima uchun ularning cheksiz ko'pligini va ularning umumiy ko'rinishini qanday aniqlashni eslaylik. Buning uchun men ikkita oddiy muammoni oldim.

Oson misollarni yechish

№1 misol

$\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ va umuman $\text( )\!\!\pi\ mavjudligini darhol qayd qilaylik. !\!\ text( )$ funksiyaning kerakli antiderivativi trigonometriya bilan bog‘liqligiga darhol ishora qiladi. Va, albatta, agar jadvalga qarasak, $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ $\text(arctg)x$ dan boshqa narsa emasligini topamiz. Shunday qilib, keling, yozamiz:

Topish uchun siz quyidagilarni yozishingiz kerak:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Misol № 2

Bu erda biz trigonometrik funktsiyalar haqida ham gapiramiz. Agar biz jadvalga qarasak, haqiqatan ham shunday bo'ladi:

Biz barcha antiderivativlar to'plamidan ko'rsatilgan nuqtadan o'tuvchini topishimiz kerak:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Nihoyat yozamiz:

Bu juda oddiy. Bitta muammo shundaki, oddiy funktsiyalarning antiderivativlarini hisoblash uchun siz antiderivativlar jadvalini o'rganishingiz kerak. Biroq, siz uchun lotin jadvalini o'rganganingizdan so'ng, bu muammo bo'lmaydi deb o'ylayman.

Eksponensial funktsiyani o'z ichiga olgan masalalarni yechish

Boshlash uchun quyidagi formulalarni yozamiz:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x))))(\ln a)\]

Keling, bularning barchasi amalda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

№1 misol

Qavslar mazmunini ko'rib chiqsak, antiderivativlar jadvalida $((e)^(x))$ kvadratda bo'lishi uchun bunday ifoda yo'qligini ko'ramiz, shuning uchun bu kvadratni kengaytirish kerak. Buning uchun biz qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanamiz:

Keling, har bir atama uchun antiderivativni topamiz:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \o'ng))^(x))\to \frac(((\left(((e))^ (2)) \o'ng))^(x)))(\ln ((e)^(2))))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \o'ng))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \o'ng))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Keling, barcha atamalarni bitta iboraga yig'amiz va umumiy antiderivativni olamiz:

Misol № 2

Bu safar daraja kattaroq, shuning uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulasi juda murakkab bo'ladi. Shunday qilib, keling, qavslarni ochamiz:

Keling, ushbu konstruktsiyadan formulamizning antiderivativini olishga harakat qilaylik:

Ko'rib turganingizdek, eksponensial funktsiyaning antiderivativlarida murakkab yoki g'ayritabiiy narsa yo'q. Ularning barchasi jadvallar orqali hisoblanadi, ammo diqqatli talabalar $((e)^(2x))$ antiderivativi $((a) ga qaraganda oddiygina $((e)^(x))$ ga yaqinroq ekanligini payqashlari mumkin. )^(x ))$. Demak, $((e)^(x))$ antiderivativini bilib, $((e)^(2x))$ topishga imkon beradigan yana bir maxsus qoida bordir? Ha, bunday qoida mavjud. Bundan tashqari, bu antiderivativlar jadvali bilan ishlashning ajralmas qismidir. Endi biz uni misol tariqasida ishlagan iboralar yordamida tahlil qilamiz.

Antiderivativlar jadvali bilan ishlash qoidalari

Funktsiyamizni yana yozamiz:

Oldingi holatda, biz hal qilish uchun quyidagi formuladan foydalanganmiz:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x))))(\operatorname(lna))\]

Ammo endi buni biroz boshqacha qilaylik: $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ nimaga asoslanib eslaylik. Yuqorida aytganimdek, $((e)^(x))$ hosilasi $((e)^(x))$ dan boshqa narsa emas, shuning uchun uning antiderivativi bir xil $((e) ^ ga teng bo'ladi. (x))$. Ammo muammo shundaki, bizda $((e)^(2x))$ va $((e)^(-2x))$ bor. Endi $((e)^(2x))$ ning hosilasini topishga harakat qilaylik:

\[((\left(((e)^(2x)) \o'ng))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \o'ng))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Keling, konstruktsiyamizni qayta yozamiz:

\[((\left(((e)^(2x)) \o'ng))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \o'ng))^(\prime ))\]

Bu shuni anglatadiki, biz $((e)^(2x))$ antiderivativini topsak, biz quyidagilarni olamiz:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Ko'rib turganingizdek, biz avvalgidek natijaga erishdik, lekin $((a)^(x))$ topish uchun formuladan foydalanmadik. Endi bu ahmoqona tuyulishi mumkin: nega standart formula mavjud bo'lsa, hisob-kitoblarni murakkablashtirish kerak? Biroq, biroz murakkab iboralarda siz ushbu texnikaning juda samarali ekanligini topasiz, ya'ni. antiderivativlarni topish uchun hosilalardan foydalanish.

Qizdirish uchun shunga o'xshash tarzda $((e)^(2x))$ ning antiderivativini topamiz:

\[((\left(((e)^(-2x)) \o'ng))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \o'ng)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \o'ng))^(\prime ))\]

Hisoblashda bizning qurilishimiz quyidagicha yoziladi:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Biz aynan bir xil natijaga erishdik, ammo boshqa yo'ldan bordik. Aynan mana shu yo'l, hozir biz uchun biroz murakkabroq ko'rinadi, kelajakda yanada murakkab antiderivativlarni hisoblash va jadvallardan foydalanish uchun samaraliroq bo'ladi.

Eslatma! Bu juda muhim nuqta: lotinlar kabi antiderivativlarni turli yo'llar bilan hisoblash mumkin. Biroq, agar barcha hisob-kitoblar va hisob-kitoblar teng bo'lsa, unda javob bir xil bo'ladi. Biz buni hozirgina $((e)^(-2x))$ misolida ko'rdik - bir tomondan, biz ushbu antiderivativni "to'g'ridan-to'g'ri" hisoblab chiqdik, ta'rifdan foydalanib, uni transformatsiyalar yordamida hisobladik, boshqa tomondan, biz $ ((e)^(-2x))$ $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ sifatida ifodalanishi mumkinligini esladik va shundan keyingina foydalandik. $( (a)^(x))$ funksiyasi uchun antiderivativ. Biroq, barcha o'zgarishlardan so'ng, natija kutilganidek bir xil bo'ldi.

Va endi bularning barchasini tushunganimizdan so'ng, muhimroq narsaga o'tish vaqti keldi. Endi biz ikkita oddiy konstruktsiyani tahlil qilamiz, ammo ularni hal qilishda qo'llaniladigan texnika jadvaldagi qo'shni antiderivativlar o'rtasida oddiygina "yugurish" dan ko'ra kuchliroq va foydali vositadir.

Masala yechish: funksiyaning antihosilini topish

№1 misol

Numeratorlardagi miqdorni uchta alohida kasrga ajratamiz:

Bu juda tabiiy va tushunarli o'tish - ko'pchilik talabalar bu bilan bog'liq muammolarga duch kelmaydilar. Keling, ifodamizni quyidagicha qayta yozamiz:

Endi ushbu formulani eslaylik:

Bizning holatlarimizda biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu uch qavatli fraktsiyalardan xalos bo'lish uchun men quyidagilarni qilishni taklif qilaman:

Misol № 2

Oldingi kasrdan farqli o'laroq, maxraj ko'paytma emas, balki yig'indidir. Bunday holda, biz endi kasrimizni bir nechta oddiy kasrlar yig'indisiga ajrata olmaymiz, lekin biz qandaydir tarzda hisoblagichda maxraj bilan bir xil ifoda mavjudligiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Bunday holda, buni qilish juda oddiy:

Matematik tilda "nol qo'shish" deb ataladigan ushbu belgi kasrni yana ikki qismga bo'lishimizga imkon beradi:

Endi biz qidirayotgan narsani topamiz:

Hamma hisob-kitoblar shu. Oldingi muammoga qaraganda ancha murakkab bo'lishiga qaramay, hisob-kitoblar miqdori yanada kichikroq bo'lib chiqdi.

Yechimning nuanslari

Jadvalli antiderivativlar bilan ishlashning asosiy qiyinligi aynan shu erda yotadi, bu ayniqsa ikkinchi vazifada seziladi. Haqiqat shundaki, jadval orqali osongina hisoblab chiqiladigan ba'zi elementlarni tanlash uchun biz aniq nimani qidirayotganimizni bilishimiz kerak va antiderivativlarning butun hisobi aynan shu elementlarni izlashdan iborat.

Boshqacha qilib aytganda, antiderivativlar jadvalini yodlashning o'zi kifoya emas - siz hali mavjud bo'lmagan narsani ko'rishingiz kerak, lekin bu muammoning muallifi va tuzuvchisi nimani nazarda tutganini ko'rishingiz kerak. Shuning uchun ko'plab matematiklar, o'qituvchilar va professorlar doimiy ravishda: "Antiderivativlarni yoki integratsiyani qabul qilish nima - bu shunchaki vositami yoki haqiqiy san'atmi?" Aslida, mening shaxsiy fikrimcha, integratsiya umuman san'at emas - unda hech qanday yuksak narsa yo'q, bu shunchaki amaliyot va ko'proq amaliyot. Va mashq qilish uchun keling, yana uchta jiddiy misolni hal qilaylik.

Biz amaliyotda integratsiyaga o'rgatamiz

Vazifa № 1

Quyidagi formulalarni yozamiz:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\text(arctg)x\]

Keling, quyidagilarni yozamiz:

Muammo № 2

Keling, uni quyidagicha qayta yozamiz:

Jami antiderivativ quyidagilarga teng bo'ladi:

Vazifa № 3

Bu vazifaning qiyinligi shundaki, yuqoridagi oldingi funksiyalardan farqli o'laroq, $x$ o'zgaruvchisi umuman yo'q, ya'ni. hech bo'lmaganda quyida keltirilgan narsaga o'xshash narsalarni olish uchun nimani qo'shish yoki ayirish kerakligi bizga aniq emas. Biroq, aslida, bu ibora avvalgi iboralarning har qandayidan ham soddaroq hisoblanadi, chunki bu funktsiyani quyidagicha qayta yozish mumkin:

Endi siz so'rashingiz mumkin: nima uchun bu funktsiyalar teng? Keling, tekshiramiz:

Keling, yana bir bor yozamiz:

Keling, ifodamizni biroz o'zgartiraylik:

Va bularning barchasini o'quvchilarimga tushuntirganimda, deyarli har doim bir xil muammo tug'iladi: birinchi funktsiyada hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq, ikkinchisida siz buni omad yoki amaliyot bilan ham tushunishingiz mumkin, ammo siz qanday muqobil ongga egasiz uchinchi misolni hal qilish uchun kerakmi? Aslida, qo'rqmang. Oxirgi antiderivativni hisoblashda biz qo'llagan usul "funksiyani eng oddiyga parchalash" deb nomlanadi va bu juda jiddiy usul bo'lib, unga alohida video dars bag'ishlanadi.

Shu bilan birga, men o'rgangan narsamizga, ya'ni eksponensial funktsiyalarga qaytishni va ularning mazmuni bilan bog'liq muammolarni biroz murakkablashtirishni taklif qilaman.

Antiderivativ eksponensial funksiyalarni yechish uchun murakkabroq masalalar

Vazifa № 1

Quyidagilarga e'tibor qaratamiz:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \o'ng))^(x))=((10)^(x) )\]

Ushbu ifodaning antiderivativini topish uchun oddiygina standart formuladan foydalaning - $((a)^(x))\frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Bizning holatda, antiderivativ quyidagicha bo'ladi:

Albatta, biz hal qilgan dizayn bilan solishtirganda, bu oddiyroq ko'rinadi.

Muammo № 2

Shunga qaramay, bu funktsiyani osongina ikkita alohida atamaga - ikkita alohida kasrga bo'lish mumkinligini ko'rish oson. Keling, qayta yozamiz:

Yuqorida tavsiflangan formuladan foydalanib, ushbu atamalarning har birining antiderivativini topish qoladi:

Eksponensial funksiyalarning quvvat funksiyalariga nisbatan ancha murakkabligiga qaramay, hisob-kitoblar va hisob-kitoblarning umumiy hajmi ancha sodda bo‘lib chiqdi.

Albatta, bilimdon talabalar uchun biz hozir muhokama qilgan narsalarimiz (ayniqsa, avval tahlil qilganlarimiz fonida) elementar iboralardek tuyulishi mumkin. Biroq, bugungi videodars uchun ushbu ikkita muammoni tanlashda men sizga boshqa murakkab va murakkab texnikani aytib berishni o'z oldimga maqsad qilib qo'ymadim - men sizga ko'rsatmoqchi bo'lganim shuki, siz asl funktsiyalarni o'zgartirish uchun standart algebra usullaridan foydalanishdan qo'rqmasligingiz kerak. .

"Yashirin" texnikadan foydalanish

Xulosa qilib aytganda, men yana bir qiziqarli texnikani ko'rib chiqmoqchiman, bu, bir tomondan, bugungi kunda biz asosan muhokama qilgan narsalar doirasidan tashqariga chiqadi, lekin boshqa tomondan, bu, birinchi navbatda, umuman murakkab emas, ya'ni. Hatto boshlang'ich talabalar ham buni o'zlashtira oladilar, ikkinchidan, u ko'pincha barcha turdagi testlarda va mustaqil ishlarda uchraydi, ya'ni. uni bilish antiderivativlar jadvalini bilishdan tashqari juda foydali bo'ladi.

Vazifa № 1

Shubhasiz, bizda quvvat funktsiyasiga juda o'xshash narsa bor. Bu holatda nima qilishimiz kerak? Keling, o'ylab ko'raylik: $x-5$ $x$ dan unchalik farq qilmaydi - ular shunchaki $-5$ qo'shdilar. Keling, buni shunday yozamiz:

\[((x)^(4))\frac(((x)^(5)(5)\)

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \o'ng))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Keling, $((\left(x-5 \right))^(5))$ ning hosilasini topishga harakat qilaylik:

\[((\left(((\left(x-5 \o'ng))^(5)) \o'ng))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \o'ng)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \o'ng))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \o'ng))^(4))\]

Bu quyidagilarni nazarda tutadi:

\[((\left(x-5 \o'ng))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \o'ng))^(5)(5) \ o'ng))^(\prime ))\]

Jadvalda bunday qiymat yo'q, shuning uchun biz endi bu formulani o'zimiz quvvat funktsiyasi uchun standart antiderivativ formuladan foydalanib chiqardik. Javobni shunday yozamiz:

Muammo № 2

Birinchi yechimga qaragan ko'plab talabalar hamma narsani juda oddiy deb o'ylashlari mumkin: quvvat funktsiyasidagi $x$ ni chiziqli ifoda bilan almashtiring va hammasi joyiga tushadi. Afsuski, hamma narsa juda oddiy emas va endi buni ko'ramiz.

Birinchi ifodaga o'xshatib, biz quyidagilarni yozamiz:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\chap(4-3x \o'ng))^(10)) \o'ng))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \o'ng)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \o'ng))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\chap(4-3x \o'ng))^(9))\cdot \left(-3 \o'ng)=-30\cdot ((\chap(4-3x \o'ng)) ^(9))\]

Bizning lotinimizga qaytib, biz yozishimiz mumkin:

\[((\left(((\chap(4-3x \o'ng))^(10)) \o'ng))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \o'ng)) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \o'ng))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \o'ng)))^(10)(-30) \o'ng))^(\prime ))\]

Bu darhol quyidagicha:

Yechimning nuanslari

E'tibor bering: agar oxirgi marta hech narsa o'zgarmagan bo'lsa, ikkinchi holatda $-10$ o'rniga $-30$ paydo bo'ldi. $ -10 $ va $ -30 $ o'rtasidagi farq nima? Shubhasiz, $ -3 $ koeffitsienti bilan. Savol: qayerdan kelgan? Agar diqqat bilan qarasangiz, u murakkab funktsiyaning hosilasini hisoblash natijasida olinganligini ko'rishingiz mumkin - $x$ da turgan koeffitsient quyidagi antiderivativda paydo bo'ladi. Bu juda muhim qoida bo'lib, men dastlab bugungi video darsda umuman muhokama qilishni rejalashtirmagan edim, ammo busiz jadvalli antiderivativlarning taqdimoti to'liq bo'lmaydi.

Shunday qilib, keling, buni yana qilaylik. Bizning asosiy quvvat funksiyamiz bo'lsin:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Endi $x$ o'rniga $kx+b$ ifodasini almashtiramiz. Keyin nima bo'ladi? Biz quyidagilarni topishimiz kerak:

\[((\left(kx+b \o'ng))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \o'ng))^(n+1)))(\left(n+1) \right)\cdot k)\]

Buni nimaga asoslanib da'vo qilamiz? Juda oddiy. Yuqorida yozilgan konstruksiyaning hosilasini topamiz:

\[(((\left(\frac((\left(kx+b \o'ng)))^(n+1)))(\left(n+1 \o'ng)\cdot k) \o'ng))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \o'ng)\cdot k)\cdot \left(n+1 \o'ng)\cdot ((\left(kx+b \o'ng))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \o'ng))^(n))\]

Bu dastlab mavjud bo'lgan bir xil ifodadir. Shunday qilib, bu formula ham to'g'ri va u antiderivativlar jadvalini to'ldirish uchun ishlatilishi mumkin yoki butun jadvalni oddiygina eslab qolish yaxshiroqdir.

"Sir: texnika" dan xulosalar:

Biz hozirgina ko'rib chiqqan ikkala funktsiyani, aslida, darajalarni kengaytirish orqali jadvalda ko'rsatilgan antiderivativlarga qisqartirish mumkin, ammo agar biz to'rtinchi darajani ko'proq yoki kamroq tarzda engishimiz mumkin bo'lsa, men to'qqizinchi darajani jasoratli deb hisoblamayman. oshkor qilish.
Agar biz darajalarni kengaytiradigan bo'lsak, biz shunday hajmdagi hisob-kitoblarga ega bo'lamizki, oddiy ish bizni noto'g'ri ko'p vaqtni oladi.
Shuning uchun chiziqli iboralarni o'z ichiga olgan bunday masalalarni "bosh bilan" hal qilish kerak emas. Jadvaldagidan faqat ichida $kx+b$ iborasi mavjudligi bilan farq qiladigan antiderivativga duch kelganingizdan so'ng, darhol yuqorida yozilgan formulani eslang, uni antiderivativ jadvalingizga almashtiring, shunda hammasi yaxshi bo'ladi. tezroq va osonroq.

Tabiiyki, ushbu texnikaning murakkabligi va jiddiyligi tufayli biz kelajakdagi video darslarida ko'p marta ko'rib chiqamiz, ammo bu bugungi kun uchun. Umid qilamanki, bu dars antiderivativlar va integratsiyani tushunishni istagan talabalarga haqiqatan ham yordam beradi.

O'rta ta'lim muassasalarining 11-sinf o'quvchilari uchun algebra va tahlil tamoyillari fanidan dars konspekti

Mavzu bo'yicha: "Antiderivativlarni topish qoidalari"

Darsning maqsadi:

Tarbiyaviy: jadval qiymatlaridan foydalangan holda antiderivativlarni topish qoidalarini kiriting va muammolarni hal qilishda foydalaning.

Vazifalar:

integratsiya operatsiyasining ta'rifini kiritish;

talabalarni antiderivativlar jadvali bilan tanishtirish;

talabalarni integratsiya qoidalari bilan tanishtirish;

o‘quvchilarni masalalar yechishda antiderivativlar jadvali va integrasiya qoidalaridan foydalanishga o‘rgatish.

Rivojlanish: o'quvchilarning ma'lumotlarni tahlil qilish, taqqoslash va xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantirishga hissa qo'shish.

Tarbiyaviy: jamoaviy va mustaqil ishlash ko'nikmalarini shakllantirishga yordam berish, matematik yozuvlarni to'g'ri va malakali bajarish qobiliyatini rivojlantirish.

O'qitish usullari: induktiv-reproduktiv, deduktiv-reproduktiv

faol.

Dars turi: yangi bilimlarni o'zlashtirish.

ZUNga qo'yiladigan talablar:

Talabalar bilishi kerak:

- integratsiya operatsiyasining ta'rifi;

Antiderivativlar jadvali;

talabalar quyidagilarni bilishlari kerak:

Muammolarni yechishda antiderivativlar jadvalini qo'llang;

Antiderivativlarni topish kerak bo'lgan masalalarni yeching.

Uskunalar: kompyuter, ekran, multimedia proyektori, taqdimot.

Adabiyot:

1. A.G. Mordkovich va boshqalar “Algebra va tahlilning boshlanishi. 10-11-sinflar uchun muammoli kitob" M.: Mnemosyne, 2001.

2. Sh.A. Alimov “Algebra va analizning boshlanishi. 10-11 sinf. Darslik” M.: Ta’lim, 2004. – 384 b.

3. Matematika o`qitish metodikasi va texnologiyasi. M.: Bustard, 2005. – 416 b.

Darsning tuzilishi:

I. Tashkiliy vaqt (2 daqiqa)

II. Bilimlarni yangilash (7 min.)

III. Yangi materialni o'rganish (15 min.)

VI. O'rganilgan materialni mustahkamlash (17 min.)

V. Xulosa va D/Z (4 min.)

Darslar davomida

I . Tashkiliy vaqt

Talabalar bilan salomlashish, qatnashmaslik va xonaning darsga tayyorligini tekshirish.

II . Bilimlarni yangilash

Doskaga yozish (daftarga)

Sana.

Ajoyib ish

Antiderivativlarni topish qoidalari.

O'qituvchi: Bugungi dars mavzusi: “Antiderivativlarni topish qoidalari” (1-slayd). Ammo yangi mavzuni o'rganishga o'tishdan oldin, biz o'tgan materialni eslaylik.

Doskaga ikkita talaba chaqiriladi, har biriga individual topshiriq beriladi (agar talaba topshiriqni xatosiz bajarsa, u “5” ball oladi).

Vazifa kartalari

№ 1

y = 6x - 2x 3 .

f ( x )=3 x 2 +4 x –1 nuqtada x =3.

№ 2

2) funksiya hosilasining qiymatini topingf ( x )=5 x 2 +5 x – 5 nuqtada x =1.

Yechim

Karta № 1

1) Funksiyaning ortishi va kamayuvchi oraliqlarini topingy = 6x - 2x 3 .

; Bu aniq bo'lsin; X 1 Va X 2 statsionar nuqtalar;

2. Statsionar nuqtalar koordinata chizig'ini uchta intervalga ajratadi. Funktsiyaning hosilasi musbat bo'lgan oraliqlarda funktsiyaning o'zi ortadi, manfiy bo'lsa, u kamayadi.

- + -

da -1 1

Shuning uchun da da kamayadi X (- ;-1) (1; ) va bilan ortadiX (-1;1).

2) f ( x )=3 x 2 +4 x –1 ; ; .

Karta № 2

1) Funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping .

1. Statsionar nuqtalarni topamiz, buning uchun biz ushbu funktsiyaning hosilasini topamiz, keyin uni nolga tenglashtiramiz va hosil bo'lgan tenglamani yechamiz, uning ildizlari statsionar nuqtalar bo'ladi.

; , keyin, demak, , va .

2. Statsionar nuqtalar koordinata chizig‘ini to‘rt oraliqga ajratadi. Funktsiya hosilasi belgisini o'zgartiradigan nuqtalar ekstremum nuqtalardir.

+ - - +

da -3 0 3

vositalari - ekstremal nuqtalar va maksimal nuqta, va - minimal ball.

2) f ( x )=5 x 2 +5 x – 5; ; .

Doskaga chaqirilgan o‘quvchilar misollar yechishsa, qolgan sinf o‘quvchilariga nazariy savollar beriladi. So'roq jarayonida o'qituvchi o'quvchilar topshiriqni bajargan yoki bajarmaganligini nazorat qiladi.

O'qituvchi: Shunday qilib, keling, bir nechta savollarga javob beraylik. Keling, qanday funktsiyani antiderivativ deb atalishini eslaylik? (2-slayd)

Talaba: Funktsiya F ( x ) funktsiyaning antiderivativi deb ataladif ( x ) ba'zi bir intervalda, agar hamma uchunx bu bo'shliqdan .

(2-slayd).

O'qituvchi: To'g'ri. Funksiyaning hosilasini topish jarayoni nima deyiladi? (3-slayd)

Talaba: Differentsiatsiya.

Talaba javob berganidan keyin to‘g‘ri javob slaydda takrorlanadi (3-slayd).

O'qituvchi: Bu funktsiyani qanday ko'rsatish mumkinF ( x ) funksiyaning antiderivatividirf ( x ) ? (4-slayd).

Talaba: Funktsiyaning hosilasini topingF ( x ) .

Talaba javob berganidan keyin to‘g‘ri javob slaydda takrorlanadi (4-slayd).

O'qituvchi: Yaxshi. Keyin funksiya bor yoki yo'qligini aytingF ( x )=3 x 2 +11 x funktsiyaning antiderivativif ( x )=6x+10? (5-slayd)

Talaba: Yo'q, chunki funktsiyaning hosilasiF ( x )=3 x 2 +11 x ga teng 6x+11, lekin emas 6x+10 .

Talaba javob berganidan keyin to‘g‘ri javob slaydda takrorlanadi (5-slayd).

O'qituvchi: Muayyan funktsiya uchun qancha antiderivativlarni topish mumkin?f ( x ) ? Javobingizni asoslang. (6-slayd)

Talaba: Cheksiz ko'p, chunki Olingan funktsiyaga har doim konstanta qo'shamiz, u har qanday haqiqiy son bo'lishi mumkin.

Talaba javob berganidan keyin to‘g‘ri javob slaydda takrorlanadi (6-slayd).

O'qituvchi: To'g'ri. Endi doskada ishlaydigan o‘quvchilarning yechimlarini birgalikda tekshiramiz.

Talabalar o'qituvchi bilan birgalikda yechimni tekshiradilar.

III . Yangi materialni o'rganish

O'qituvchi: Berilgan funktsiya uchun antiderivativni topishning teskari amali integratsiya deb ataladi (lotincha so'zdan).birlashtirish - tiklash). Ayrim funksiyalar uchun antiderivativlar jadvalini hosilalar jadvali yordamida tuzish mumkin. Masalan, buni bilish, olamiz , shundan kelib chiqadiki, barcha antiderivativ funktsiyalar shaklida yoziladi, Qayerda C - ixtiyoriy doimiy.

Doskaga yozish (daftarga)

olamiz,

bundan kelib chiqadiki, barcha antiderivativ funktsiyalar shaklida yoziladi, Qayerda C - ixtiyoriy doimiy.

O'qituvchi: Darsliklaringizni 290-betga oching. Mana antiderivativlar jadvali. Shuningdek, u slaydda taqdim etiladi. (7-slayd)

O'qituvchi: Integrasiya qoidalarini farqlash qoidalari yordamida olish mumkin. Quyidagi integratsiya qoidalarini ko'rib chiqing: letF ( x ) Va G ( x ) – mos ravishda funksiyalarning antiderivativlarif ( x ) Va g ( x ) ma'lum bir intervalda. Keyin:

1) Funktsiya;

2) Funktsiya funksiyaning anti hosilasidir. (slayd 8)

Doskaga yozish (daftarga)

1) Funktsiya funksiyaning anti hosilasidir ;

2) Funktsiya funksiyaning anti hosilasidir .

VI . O'rganilgan materialni mustahkamlash

O'qituvchi: Keling, darsning amaliy qismiga o'tamiz. Funksiyaning antiderivativlaridan birini toping Kengashda qaror qabul qilamiz.

Talaba: Bu funksiyaning antiderivativini topish uchun integratsiya qoidasidan foydalanish kerak: funktsiya funksiyaning anti hosilasidir .

O'qituvchi: To'g'ri, berilgan funksiyaning antihosilini topish uchun yana nimani bilish kerak?

Talaba: Funksiyalar uchun antiderivativlar jadvalidan ham foydalanamiz, da p =2 va for funksiyasi;

2) Funktsiya funksiyaning anti hosilasidir .

O'qituvchi: Hammasi to'g'ri.

Uy vazifasi

55-§, No 988 (2, 4, 6), No 989 (2, 4, 6, 8), No 990 (2, 4, 6), No 991 (2, 4, 6, 8). . (9-slayd)

Belgilar qilish.

O'qituvchi: Dars tugadi. Siz ozod bo'lishingiz mumkin.

Ushbu dars integratsiyaga oid videolar seriyasining birinchisidir. Unda biz funktsiyaning antiderivativi nima ekanligini tahlil qilamiz, shuningdek, ushbu antiderivativlarni hisoblashning elementar usullarini o'rganamiz.

Aslida, bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q: hamma narsa siz allaqachon tanish bo'lishi kerak bo'lgan lotin tushunchasiga to'g'ri keladi :)

Darhol shuni ta'kidlaymanki, bu bizning yangi mavzuimizda birinchi dars bo'lganligi sababli, bugungi kunda hech qanday murakkab hisoblar va formulalar bo'lmaydi, lekin biz bugun o'rganadigan narsalar murakkab integrallar va maydonlarni hisoblashda ancha murakkab hisoblar va tuzilmalar uchun asos bo'ladi. .

Bundan tashqari, integratsiya va integrallarni o'rganishni boshlaganimizda, biz talaba hech bo'lmaganda hosila tushunchalari bilan tanish va ularni hisoblashda hech bo'lmaganda asosiy ko'nikmalarga ega ekanligini bilvosita taxmin qilamiz. Buni aniq tushunmasdan, integratsiyada hech narsa qilish mumkin emas.

Biroq, bu erda eng keng tarqalgan va makkor muammolardan biri yotadi. Gap shundaki, birinchi antiderivativlarini hisoblashni boshlaganlarida, ko'p talabalar ularni hosilalar bilan aralashtirib yuborishadi. Natijada, imtihonlar va mustaqil ish paytida ahmoqona va haqoratli xatolarga yo'l qo'yiladi.

Shuning uchun, endi men antiderivativning aniq ta'rifini bermayman. Buning evaziga men sizga oddiy aniq misol yordamida qanday hisoblanganligini ko'rishni taklif qilaman.

Antiderivativ nima va u qanday hisoblanadi?

Biz bu formulani bilamiz:

\[((\left(((x)^(n)) \o'ng))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ushbu lotin oddiy tarzda hisoblanadi:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \o'ng))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Olingan ifodani diqqat bilan ko'rib chiqamiz va $((x)^(2))$ ni ifodalaymiz:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \o'ng))^(\prime )))(3)\]

Ammo hosila ta'rifiga ko'ra biz buni shunday yozishimiz mumkin:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)(3) \o'ng))^(\prime ))\]

Va endi e'tibor bering: biz yozgan narsa antiderivativning ta'rifidir. Ammo uni to'g'ri yozish uchun siz quyidagilarni yozishingiz kerak:

Quyidagi ifodani xuddi shunday yozamiz:

Agar biz ushbu qoidani umumlashtirsak, quyidagi formulani olishimiz mumkin:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Endi biz aniq ta'rifni shakllantirishimiz mumkin.

Funktsiyaning anti hosilasi deb hosilasi asl funktsiyaga teng bo'lgan funktsiyaga aytiladi.

Antiderivativ funktsiya haqida savollar

Bu juda oddiy va tushunarli ta'rif bo'lib tuyuladi. Biroq, uni eshitgandan so'ng, diqqatli talaba darhol bir nechta savollarga ega bo'ladi:

Aytaylik, yaxshi, bu formula to'g'ri. Biroq, bu holda, $n=1$ bilan bizda muammolar bor: maxrajda "nol" paydo bo'ladi va biz "nol" ga bo'la olmaymiz.
Formula faqat darajalar bilan cheklangan. Antiderivativni, masalan, sinus, kosinus va boshqa trigonometriyani, shuningdek doimiylarni qanday hisoblash mumkin.
Ekzistensial savol: har doim antiderivativni topish mumkinmi? Ha bo'lsa, yig'indi, farq, mahsulot va hokazolarning antiderivativi haqida nima deyish mumkin?

Men oxirgi savolga darhol javob beraman. Afsuski, antiderivativ, lotindan farqli o'laroq, har doim ham hisobga olinmaydi. Har qanday boshlang'ich konstruktsiyadan biz shunga o'xshash qurilishga teng bo'lgan funktsiyani oladigan universal formula yo'q. Quvvatlar va doimiyliklarga kelsak, biz hozir bu haqda gaplashamiz.

Quvvat funksiyalari bilan bog'liq masalalarni yechish

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Ko'rib turganingizdek, $((x)^(-1))$ uchun bu formula ishlamaydi. Savol tug'iladi: keyin nima ishlaydi? Biz $((x)^(-1))$ hisoblay olmaymizmi? Albatta qila olamiz. Avval buni eslaylik:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Endi o‘ylab ko‘raylik: qaysi funksiyaning hosilasi $\frac(1)(x)$ ga teng. Shubhasiz, ushbu mavzuni ozgina o'rgangan har qanday talaba bu ifoda tabiiy logarifmaning hosilasiga teng ekanligini eslaydi:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Shunday qilib, biz quyidagilarni ishonch bilan yozishimiz mumkin:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\dan \ln x\]

Quvvat funksiyasining hosilasi kabi bu formulani bilishingiz kerak.

Shunday qilib, biz hozirgacha bilgan narsamiz:

Quvvat funksiyasi uchun - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
Doimiy uchun - $=const\to \cdot x$
Quvvat funksiyasining alohida holati $\frac(1)(x)\to \ln x$ dir

Va agar biz eng oddiy funktsiyalarni ko'paytirish va bo'lishni boshlasak, unda mahsulot yoki qismning antiderivativini qanday hisoblashimiz mumkin. Afsuski, mahsulot yoki qismning hosilasi bilan o'xshashliklar bu erda ishlamaydi. Standart formula yo'q. Ba'zi hollarda, murakkab maxsus formulalar mavjud - biz ular bilan kelajakdagi video darslarida tanishamiz.

Biroq, esda tuting: qism va mahsulotning hosilasini hisoblash uchun formulaga o'xshash umumiy formula yo'q.

Haqiqiy muammolarni hal qilish

Vazifa № 1

Keling, har bir quvvat funksiyasini alohida hisoblaylik:

\[((x)^(2))\frac(((x)^(3)))(3)\]

Bizning ifodamizga qaytsak, biz umumiy konstruktsiyani yozamiz:

Muammo № 2

Yuqorida aytib o'tganimdek, ishlarning prototiplari va tafsilotlari "nuqtagacha" hisobga olinmaydi. Biroq, bu erda siz quyidagilarni qilishingiz mumkin:

Biz kasrni ikkita kasr yig'indisiga ajratdik.

Keling, hisob-kitob qilaylik:

Yaxshi xabar shundaki, antiderivativlarni hisoblash formulalarini bilib, siz allaqachon murakkab tuzilmalarni hisoblashingiz mumkin. Biroq, keling, oldinga boramiz va bilimimizni biroz kengaytiramiz. Gap shundaki, bir qarashda $((x)^(n))$ ga hech qanday aloqasi bo‘lmagan ko‘plab konstruksiya va iboralar ratsional ko‘rsatkichli kuch sifatida ifodalanishi mumkin, xususan:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Bu usullarning barchasi birlashtirilishi mumkin va kerak. Quvvat ifodalari bo'lishi mumkin

ko'paytirish (daraja qo'shish);
bo'linish (darajalar ayiriladi);
doimiyga ko'paytirish;
va hokazo.

Ratsional darajali daraja ifodalarini yechish

№1 misol

Keling, har bir ildizni alohida hisoblaymiz:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac() 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Umuman olganda, bizning butun qurilishimiz quyidagicha yozilishi mumkin:

Misol № 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac) 1)(2))) \o'ng))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Shuning uchun biz olamiz:

\[\frac(1)(((x)^(3))))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1))))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Hammasini bitta iboraga yig'ib, biz yozishimiz mumkin:

Misol № 3

Boshlash uchun biz $\sqrt(x)$ ni allaqachon hisoblab chiqqanimizni ta'kidlaymiz:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Keling, qayta yozamiz:

Umid qilamanki, agar biz hozirgina o'rgangan narsamiz faqat antiderivativlarning eng oddiy hisob-kitoblari, eng elementar konstruktsiyalari, desam, hech kimni ajablantirmayman. Keling, biroz murakkabroq misollarni ko'rib chiqaylik, ularda jadvalli antiderivativlardan tashqari, maktab o'quv dasturini, ya'ni qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini ham eslab qolish kerak bo'ladi.

Murakkab misollarni yechish

Vazifa № 1

Kvadrat farq formulasini eslaylik:

\[((\left(a-b \o'ng))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Funktsiyamizni qayta yozamiz:

Endi biz bunday funktsiyaning prototipini topishimiz kerak:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Keling, hamma narsani umumiy dizaynga birlashtiramiz:

Muammo № 2

Bunday holda, biz farq kubini kengaytirishimiz kerak. Keling, eslaylik:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Ushbu faktni hisobga olgan holda, biz buni quyidagicha yozishimiz mumkin:

Funktsiyamizni biroz o'zgartiramiz:

Biz har doimgidek hisoblaymiz - har bir muddat uchun alohida:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\dan \ln x\]

Olingan konstruktsiyani yozamiz:

Vazifa № 3

Yuqori qismida yig'indining kvadrati bor, uni kengaytiramiz:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \o'ng))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Yakuniy yechimni yozamiz:

Endi diqqat! Xatolar va tushunmovchiliklarning sher ulushi bilan bog'liq bo'lgan juda muhim narsa. Gap shundaki, shu paytgacha antiderivativlarni hosilalar yordamida sanab, transformatsiyalar keltirar ekanmiz, biz doimiyning hosilasi nimaga teng ekanligi haqida o'ylamagan edik. Lekin doimiyning hosilasi "nol" ga teng. Bu quyidagi variantlarni yozishingiz mumkinligini anglatadi:

$((x)^(2))\frac(((x)^(3)(3)$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)(3)+1$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Buni tushunish juda muhim: agar funktsiyaning hosilasi doimo bir xil bo'lsa, u holda bir xil funktsiya cheksiz miqdordagi antiderivativlarga ega. Biz shunchaki antiderivativlarimizga har qanday doimiy raqamlarni qo'shishimiz va yangilarini olishimiz mumkin.

Biz hal qilgan masalalarni tushuntirishda “Antiderivativlarning umumiy shaklini yozing” deb yozilganligi bejiz emas. Bular. Ularning bittasi emas, balki butun bir ko'pligi allaqachon taxmin qilingan. Lekin, aslida, ular faqat oxirida doimiy $C $ farq qiladi. Shuning uchun, biz o'z vazifalarimizda bajarmagan narsalarni tuzatamiz.

Biz yana bir bor konstruktsiyalarimizni qayta yozamiz:

Bunday hollarda, siz $C$ doimiy ekanligini qo'shishingiz kerak - $C=const$.

Ikkinchi funktsiyamizda biz quyidagi qurilishni olamiz:

Va oxirgisi:

Va endi biz haqiqatan ham muammoning asl holatida bizdan talab qilinadigan narsani oldik.

Berilgan nuqta bilan antiderivativlarni topish masalalarini yechish

Endi biz konstantalar va antiderivativlarni yozishning o'ziga xos xususiyatlari haqida bilganimizdan so'ng, barcha antiderivativlar to'plamidan ma'lum bir nuqtadan o'tadigan bitta va faqat bittasini topish kerak bo'lganda, quyidagi turdagi masala paydo bo'lishi juda mantiqiy. Bu nima vazifa?

Gap shundaki, berilgan funktsiyaning barcha antiderivativlari faqat ma'lum bir songa vertikal siljish bilan farq qiladi. Va bu shuni anglatadiki, biz koordinata tekisligining qaysi nuqtasini olishimizdan qat'i nazar, bitta antiderivativ albatta o'tadi va bundan tashqari, faqat bitta.

Shunday qilib, biz hozir hal qiladigan masalalar quyidagicha shakllantiriladi: asl funktsiya formulasini bilgan holda, antiderivativni topibgina qolmay, balki berilgan nuqtadan o'tuvchini aniq tanlang, uning koordinatalari masalada beriladi. bayonot.

№1 misol

Birinchidan, har bir atamani oddiygina hisoblaymiz:

\[((x)^(4))\frac(((x)^(5)(5)\)

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Endi biz ushbu iboralarni konstruktsiyamizga almashtiramiz:

Bu funksiya $M\left(-1;4 \right)$ nuqtadan o'tishi kerak. Uning nuqtadan o'tishi nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar $x$ o'rniga biz hamma joyda $-1$ qo'ysak va $F\left(x \right)$ o'rniga - $-4$ qo'ysak, unda biz to'g'ri sonli tenglikni olishimiz kerak. Keling buni qilamiz:

Bizda $C$ tenglamasi borligini ko'ramiz, shuning uchun uni hal qilishga harakat qilaylik:

Keling, biz izlayotgan yechimni yozamiz:

Misol № 2

Avvalo, qisqartirilgan ko'paytirish formulasi yordamida farqning kvadratini aniqlash kerak:

\[((x)^(2))\frac(((x)^(3)))(3)\]

Asl qurilish quyidagicha yoziladi:

Endi $C$ topamiz: $M$ nuqtasining koordinatalarini almashtiramiz:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Biz $C$ ifodalaymiz:

Yakuniy ifodani ko'rsatish uchun qoladi:

Trigonometrik masalalarni yechish

Biz muhokama qilgan narsalarga yakuniy teginish sifatida men trigonometriyani o'z ichiga olgan yana ikkita murakkab muammolarni ko'rib chiqishni taklif qilaman. Ularda, xuddi shu tarzda, barcha funktsiyalar uchun antiderivativlarni topishingiz kerak bo'ladi, keyin ushbu to'plamdan koordinata tekisligidagi $M$ nuqtasidan o'tadigan yagonasini tanlang.

Oldinga qarab, shuni ta'kidlashni istardimki, biz endi trigonometrik funktsiyalarning antiderivativlarini topishda foydalanadigan usul, aslida, o'z-o'zini sinab ko'rishning universal usulidir.

Vazifa № 1

Keling, quyidagi formulani eslaylik:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Bunga asoslanib, biz yozishimiz mumkin:

$M$ nuqtaning koordinatalarini ifodamizga almashtiramiz:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda ifodani qayta yozamiz:

Muammo № 2

Bu biroz qiyinroq bo'ladi. Endi nima uchun ekanligini bilib olasiz.

Keling, ushbu formulani eslaylik:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

"Minus" dan xalos bo'lish uchun siz quyidagilarni qilishingiz kerak:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Mana bizning dizaynimiz

$M$ nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz:

Umuman olganda, biz yakuniy qurilishni yozamiz:

Bugun sizga aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi. Biz antiderivativ atamasini, ularni elementar funksiyalardan hisoblashni, shuningdek, koordinata tekisligining ma'lum bir nuqtasidan o'tuvchi antiderivativni qanday topishni o'rgandik.

Umid qilamanki, ushbu dars sizga ushbu murakkab mavzuni ozgina bo'lsa ham tushunishga yordam beradi. Har qanday holatda, noaniq va noaniq integrallar antiderivativlar bo'yicha tuziladi, shuning uchun ularni hisoblash mutlaqo kerak. Men uchun hammasi shu. Yana ko'rishguncha!

O'qish foydali bo'lishi mumkin: