1 lineares algebraisches Gleichungssystem. System linearer algebraischer Gleichungen

Das Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen (SLAE) ist zweifellos das wichtigste Thema des Kurses Lineare Algebra. Eine Vielzahl von Problemen aus allen Bereichen der Mathematik werden auf die Lösung linearer Gleichungssysteme reduziert. Diese Faktoren erklären den Grund für die Erstellung dieses Artikels. Das Material des Artikels ist so ausgewählt und strukturiert, dass Sie mit seiner Hilfe können

• Wählen Sie die optimale Methode zur Lösung Ihres Systems linearer algebraischer Gleichungen,
• Studieren Sie die Theorie der gewählten Methode,
• Lösen Sie Ihr lineares Gleichungssystem, nachdem Sie die Lösungen typischer Beispiele und Probleme ausführlich betrachtet haben.

Kurze Beschreibung des Materials des Artikels.

Zuerst geben wir alle notwendigen Definitionen, Konzepte und führen einige Notationen ein.

Als nächstes betrachten wir Methoden zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die eine eindeutige Lösung haben. Konzentrieren wir uns erstens auf das Cramer-Verfahren, zweitens zeigen wir das Matrixverfahren zur Lösung solcher Gleichungssysteme und drittens analysieren wir das Gauß-Verfahren (das Verfahren der sukzessiven Eliminierung unbekannter Variablen). Um die Theorie zu festigen, werden wir auf jeden Fall mehrere SLAEs auf verschiedene Arten lösen.

Danach wenden wir uns dem Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form zu, bei denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt oder die Hauptmatrix des Systems entartet ist. Wir formulieren das Kronecker-Capelli-Theorem, mit dem wir die Kompatibilität von SLAEs feststellen können. Analysieren wir die Lösung von Systemen (im Falle ihrer Kompatibilität) unter Verwendung des Konzepts des Basisminor einer Matrix. Wir werden auch das Gauß-Verfahren betrachten und die Lösungen der Beispiele ausführlich beschreiben.

Achten Sie darauf, sich mit der Struktur der allgemeinen Lösung homogener und inhomogener Systeme linearer algebraischer Gleichungen zu befassen. Lassen Sie uns das Konzept eines fundamentalen Lösungssystems angeben und zeigen, wie die allgemeine Lösung der SLAE unter Verwendung der Vektoren des fundamentalen Lösungssystems geschrieben wird. Schauen wir uns zum besseren Verständnis einige Beispiele an.

Abschließend betrachten wir auf lineare reduzierte Gleichungssysteme sowie verschiedene Probleme, bei deren Lösung SLAEs entstehen.

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Definitionen, Begriffe, Bezeichnungen.

Wir betrachten Systeme von p linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen (p kann gleich n sein) der Form

Unbekannte Variablen, - Koeffizienten (einige reelle oder komplexe Zahlen), - freie Glieder (ebenfalls reelle oder komplexe Zahlen).

Diese Form von SLAE heißt Koordinate.

IN Matrixform Dieses Gleichungssystem hat die Form
Wo - die Hauptmatrix des Systems, - die Matrix-Spalte der unbekannten Variablen, - die Matrix-Spalte der freien Mitglieder.

Fügen wir der Matrix A als (n + 1)-te Spalte die Matrix-Spalte der freien Terme hinzu, dann erhalten wir die sog erweiterte Matrix Systeme linearer Gleichungen. Normalerweise wird die erweiterte Matrix mit dem Buchstaben T bezeichnet, und die Spalte der freien Elemente ist durch eine vertikale Linie von den übrigen Spalten getrennt, dh

Durch Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen eine Menge von Werten unbekannter Variablen genannt , die alle Gleichungen des Systems in Identitäten umwandelt. Die Matrixgleichung für die gegebenen Werte der unbekannten Variablen wird auch zu einer Identität.

Hat ein Gleichungssystem mindestens eine Lösung, so heißt es gemeinsam.

Hat das Gleichungssystem keine Lösungen, so heißt es unvereinbar.

Wenn eine SLAE eine eindeutige Lösung hat, wird sie aufgerufen bestimmt; wenn es mehr als eine Lösung gibt, dann - unsicher.

Wenn die freien Terme aller Gleichungen des Systems gleich Null sind , dann wird das System aufgerufen homogen, sonst - heterogen.

Lösung elementarer Systeme linearer algebraischer Gleichungen.

Wenn die Anzahl der Systemgleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante ihrer Hauptmatrix ungleich Null ist, nennen wir solche SLAEs elementar. Solche Gleichungssysteme haben eine eindeutige Lösung, und im Falle eines homogenen Systems sind alle unbekannten Variablen gleich Null.

Wir haben angefangen, solche SLAE in der High School zu studieren. Beim Lösen nahmen wir eine Gleichung, drückten eine unbekannte Variable durch andere aus und setzten sie in die verbleibenden Gleichungen ein, dann nahmen wir die nächste Gleichung, drückten die nächste unbekannte Variable aus und setzten sie in andere Gleichungen ein und so weiter. Oder sie verwendeten die Additionsmethode, das heißt, sie fügten zwei oder mehr Gleichungen hinzu, um einige unbekannte Variablen zu eliminieren. Wir werden auf diese Verfahren nicht im Detail eingehen, da sie im Wesentlichen Modifikationen des Gauß-Verfahrens sind.

Die wichtigsten Methoden zur Lösung elementarer linearer Gleichungssysteme sind die Cramer-Methode, die Matrix-Methode und die Gauß-Methode. Sortieren wir sie aus.

Lösen linearer Gleichungssysteme nach Cramers Methode.

Lassen Sie uns ein System linearer algebraischer Gleichungen lösen

in der die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist und die Determinante der Hauptmatrix des Systems von Null verschieden ist, also .

Sei die Determinante der Hauptmatrix des Systems und sind Determinanten von Matrizen, die aus A durch Ersetzen gewonnen werden 1., 2., …, n Spalte bzw. zur Spalte der freien Mitglieder:

Bei einer solchen Notation werden die unbekannten Variablen nach den Formeln des Cramer-Verfahrens wie berechnet . Auf diese Weise wird die Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen durch das Cramer-Verfahren gefunden.

Beispiel.

Cramer-Methode .

Lösung.

Die Hauptmatrix des Systems hat die Form . Berechnen Sie seine Determinante (falls erforderlich, siehe Artikel):

Da die Determinante der Hauptmatrix des Systems nicht Null ist, hat das System eine eindeutige Lösung, die durch das Cramer-Verfahren gefunden werden kann.

Stellen Sie die notwendigen Determinanten zusammen und berechnen Sie sie (Die Determinante erhält man, indem man die erste Spalte in Matrix A durch eine Spalte mit freien Mitgliedern ersetzt, die Determinante - indem man die zweite Spalte durch eine Spalte mit freien Mitgliedern ersetzt, - indem man die dritte Spalte von Matrix A durch eine Spalte mit freien Mitgliedern ersetzt ):

Unbekannte Variablen mit Formeln finden :

Antworten:

Der Hauptnachteil des Cramer-Verfahrens (wenn es als Nachteil bezeichnet werden kann) ist die Komplexität der Berechnung der Determinanten, wenn die Anzahl der Systemgleichungen mehr als drei beträgt.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit der Matrixmethode (unter Verwendung der inversen Matrix).

Das System linearer algebraischer Gleichungen sei in Matrixform gegeben, wobei die Matrix A die Dimension n mal n hat und ihre Determinante ungleich Null ist.

Da , dann ist die Matrix A invertierbar, das heißt, es gibt eine inverse Matrix . Wenn wir beide Teile der Gleichheit mit links multiplizieren, erhalten wir eine Formel zum Auffinden der Spaltenmatrix der unbekannten Variablen. Wir haben also die Lösung des Systems linearer algebraischer Gleichungen durch die Matrixmethode erhalten.

Beispiel.

Lineares Gleichungssystem lösen Matrix-Methode.

Lösung.

Schreiben wir das Gleichungssystem in Matrixform um:

Als

dann kann die SLAE mit der Matrixmethode gelöst werden. Unter Verwendung der inversen Matrix kann die Lösung für dieses System gefunden werden als .

Lassen Sie uns eine inverse Matrix erstellen, indem wir eine Matrix aus algebraischen Komplementen der Elemente der Matrix A verwenden (siehe ggf. den Artikel):

Es bleibt zu berechnen - die Matrix der unbekannten Variablen durch Multiplikation der inversen Matrix auf der Matrix-Spalte der freien Mitglieder (ggf. siehe Artikel):

Antworten:

oder in einer anderen Schreibweise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Das Hauptproblem beim Auffinden von Lösungen für Systeme linearer algebraischer Gleichungen durch die Matrixmethode ist die Komplexität des Auffindens der inversen Matrix, insbesondere für quadratische Matrizen mit einer höheren Ordnung als der dritten.

Lösen linearer Gleichungssysteme nach der Gauß-Methode.

Angenommen, wir müssen eine Lösung für ein System von n linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen finden
die Determinante der Hauptmatrix davon von Null verschieden ist.

Die Essenz der Gauß-Methode besteht im sukzessiven Ausschluss unbekannter Variablen: zuerst wird x 1 aus allen Gleichungen des Systems ausgeschlossen, beginnend mit der zweiten, dann wird x 2 aus allen Gleichungen ausgeschlossen, beginnend mit der dritten, und so weiter, bis nur noch die unbekannte Variable x n bleibt in der letzten Gleichung. Ein solcher Prozess der Transformation der Gleichungen des Systems zur sukzessiven Eliminierung unbekannter Variablen wird als bezeichnet direkte Gauss-Methode. Nach Beendigung des Vorwärtslaufs des Gaußschen Verfahrens wird x n aus der letzten Gleichung ermittelt, x n-1 aus der vorletzten Gleichung mit diesem Wert berechnet usw. x 1 aus der ersten Gleichung ermittelt. Der Prozess der Berechnung unbekannter Variablen beim Übergang von der letzten Gleichung des Systems zur ersten wird aufgerufen Reverse-Gauß-Methode.

Lassen Sie uns kurz den Algorithmus zum Eliminieren unbekannter Variablen beschreiben.

Wir nehmen das an, da wir dies immer erreichen können, indem wir die Gleichungen des Systems umstellen. Wir schließen die unbekannte Variable x 1 aus allen Gleichungen des Systems aus, beginnend mit der zweiten. Dazu addieren Sie die erste Gleichung multipliziert mit zur zweiten Gleichung des Systems, addieren die erste multipliziert mit zur dritten Gleichung und so weiter, addieren die erste multipliziert mit zur n-ten Gleichung. Das Gleichungssystem nimmt nach solchen Transformationen die Form an

wo ein .

Wir würden zu dem gleichen Ergebnis kommen, wenn wir x 1 durch andere unbekannte Variablen in der ersten Gleichung des Systems ausdrücken und den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen einsetzen würden. Damit ist die Variable x 1 ab der zweiten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes gehen wir ähnlich vor, aber nur mit einem Teil des resultierenden Systems, der in der Abbildung markiert ist

Dazu addieren Sie die zweite multipliziert mit zur dritten Gleichung des Systems, addieren die zweite multipliziert mit zur vierten Gleichung und so weiter, addieren die zweite multipliziert mit zur n-ten Gleichung. Das Gleichungssystem nimmt nach solchen Transformationen die Form an

wo ein . Damit ist die Variable x 2 ab der dritten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes fahren wir mit der Eliminierung des Unbekannten x 3 fort, während wir ähnlich mit dem in der Abbildung markierten Teil des Systems verfahren

Wir setzen also den direkten Weg der Gauß-Methode fort, bis das System die Form annimmt

Von diesem Moment an beginnen wir mit dem umgekehrten Verlauf der Gauß-Methode: Wir berechnen x n aus der letzten Gleichung als , mit dem erhaltenen Wert x n finden wir x n-1 aus der vorletzten Gleichung und so weiter, wir finden x 1 aus der ersten Gleichung.

Beispiel.

Lineares Gleichungssystem lösen Gaußsche Methode.

Lösung.

Lassen Sie uns die unbekannte Variable x 1 aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems ausschließen. Dazu addieren wir zu beiden Teilen der zweiten und dritten Gleichung die entsprechenden Teile der ersten Gleichung, multipliziert mit bzw. mit:

Jetzt schließen wir x 2 aus der dritten Gleichung aus, indem wir zu seinem linken und rechten Teil den linken und rechten Teil der zweiten Gleichung addieren, multipliziert mit:

Damit ist der Vorwärtsgang der Gauß-Methode abgeschlossen, wir beginnen mit dem Rückwärtsgang.

Aus der letzten Gleichung des resultierenden Gleichungssystems finden wir x 3:

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir .

Aus der ersten Gleichung finden wir die verbleibende unbekannte Variable und vervollständigen damit den umgekehrten Verlauf der Gauß-Methode.

Antworten:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

Im allgemeinen Fall stimmt die Anzahl der Gleichungen des Systems p nicht mit der Anzahl der Unbekannten n überein:

Solche SLAEs können keine Lösungen, eine einzige Lösung oder unendlich viele Lösungen haben. Diese Aussage gilt auch für Gleichungssysteme, deren Hauptmatrix quadratisch und entartet ist.

Satz von Kronecker-Capelli.

Bevor eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem gefunden wird, muss dessen Kompatibilität festgestellt werden. Die Antwort auf die Frage, wann SLAE kompatibel ist, und wann es inkompatibel ist, gibt Satz von Kronecker-Capelli:
damit ein System von p Gleichungen mit n Unbekannten (p kann gleich n sein) konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der Hauptmatrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, d. h. Rang( A)=Rang(T) .

Betrachten wir als Beispiel die Anwendung des Kronecker-Cappelli-Theorems zur Bestimmung der Kompatibilität eines linearen Gleichungssystems.

Beispiel.

Finden Sie heraus, ob das lineare Gleichungssystem gilt Lösungen.

Lösung.

. Wenden wir die Methode der Begrenzung von Minderjährigen an. Moll zweiter Ordnung von Null verschieden. Gehen wir die umgebenden Minderjährigen dritter Ordnung durch:

Da alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null sind, ist der Rang der Hauptmatrix zwei.

Im Gegenzug der Rang der erweiterten Matrix gleich drei ist, da der Moll dritter Ordnung ist

von Null verschieden.

Auf diese Weise, Rang(A) , daher können wir nach dem Kronecker-Capelli-Theorem schließen, dass das ursprüngliche lineare Gleichungssystem inkonsistent ist.

Antworten:

Es gibt kein Lösungssystem.

Wir haben also gelernt, die Inkonsistenz des Systems mit dem Kronecker-Capelli-Theorem festzustellen.

Aber wie findet man die Lösung des SLAE, wenn dessen Kompatibilität festgestellt wird?

Dazu benötigen wir den Begriff der Basis Minor einer Matrix und den Satz über den Rang einer Matrix.

Der Minor höchster Ordnung der Matrix A, außer Null, wird aufgerufen Basic.

Aus der Definition der Basis Minor folgt, dass ihre Ordnung gleich dem Rang der Matrix ist. Für eine von Null verschiedene Matrix A kann es mehrere Basis-Minoren geben, es gibt immer eine Basis-Minor.

Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix .

Alle Minoren dritter Ordnung dieser Matrix sind gleich Null, da die Elemente der dritten Zeile dieser Matrix die Summe der entsprechenden Elemente der ersten und zweiten Zeile sind.

Die folgenden Minderjährigen zweiter Ordnung sind basisch, da sie von Null verschieden sind

Minderjährige sind nicht basisch, da sie gleich Null sind.

Matrix-Rangsatz.

Wenn der Rang einer Matrix der Ordnung p mal n gleich r ist, dann werden alle Elemente der Zeilen (und Spalten) der Matrix, die nicht den gewählten Basisminor bilden, linear durch die entsprechenden Elemente der Zeilen (und Spalten) ausgedrückt ), die die Basis Minor bilden.

Was liefert uns der Matrix-Rang-Satz?

Wenn wir nach dem Kronecker-Capelli-Theorem die Kompatibilität des Systems festgestellt haben, wählen wir einen beliebigen grundlegenden Minor der Hauptmatrix des Systems (seine Ordnung ist gleich r) und schließen alle Gleichungen aus dem System aus, die dies nicht tun bilden das gewählte Basis-Moll. Die so erhaltene SLAE wird der ursprünglichen äquivalent sein, da die verworfenen Gleichungen immer noch redundant sind (nach dem Matrix-Rang-Theorem sind sie eine Linearkombination der verbleibenden Gleichungen).

Als Ergebnis sind nach dem Verwerfen der überschüssigen Gleichungen des Systems zwei Fälle möglich.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden System gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist, dann ist es eindeutig und die einzige Lösung kann durch das Cramer-Verfahren, das Matrix-Verfahren oder das Gauß-Verfahren gefunden werden.

Beispiel.

.

Lösung.

Rang der Hauptmatrix des Systems gleich zwei ist, da der Moll zweiter Ordnung ist von Null verschieden. Erweiterter Matrixrang ebenfalls gleich zwei ist, da der einzige Moll dritter Ordnung gleich null ist

und der oben betrachtete Moll zweiter Ordnung von Null verschieden ist. Basierend auf dem Satz von Kronecker-Capelli kann man die Kompatibilität des ursprünglichen linearen Gleichungssystems behaupten, da Rank(A)=Rank(T)=2 .

Als Basis Minor nehmen wir . Es wird durch die Koeffizienten der ersten und zweiten Gleichung gebildet:


Die dritte Gleichung des Systems ist nicht an der Bildung des Basisminors beteiligt, daher schließen wir sie basierend auf dem Matrix-Rang-Theorem aus dem System aus:


Damit haben wir ein elementares System linearer algebraischer Gleichungen erhalten. Lösen wir es nach Cramers Methode:


Antworten:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r in der resultierenden SLAE kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen n , dann lassen wir die Terme, die den grundlegenden Minor bilden, in den linken Teilen der Gleichungen und übertragen die restlichen Terme in die rechten Teile der Gleichungen des Systems mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Die auf den linken Seiten der Gleichungen verbleibenden unbekannten Variablen (es gibt r davon) werden aufgerufen hauptsächlich.

Unbekannte Variablen (es gibt n - r davon), die auf der rechten Seite gelandet sind, werden aufgerufen frei.

Nun nehmen wir an, dass die freien Unbekannten beliebige Werte annehmen können, während die r Hauptunbekannten auf eindeutige Weise durch die freien Unbekannten ausgedrückt werden. Ihr Ausdruck kann gefunden werden, indem das resultierende SLAE durch das Cramer-Verfahren, das Matrix-Verfahren oder das Gauß-Verfahren gelöst wird.

Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel.

Lösen Sie das System linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Finde den Rang der Hauptmatrix des Systems nach der Methode der angrenzenden Minderjährigen. Nehmen wir a 1 1 = 1 als einen von Null verschiedenen Minor erster Ordnung. Beginnen wir mit der Suche nach einem Moll zweiter Ordnung ungleich Null, der dieses Moll umgibt:


Wir haben also ein von Null verschiedenes Moll zweiter Ordnung gefunden. Beginnen wir mit der Suche nach einem von Null verschiedenen angrenzenden Moll dritter Ordnung:


Somit ist der Rang der Hauptmatrix drei. Der Rang der erweiterten Matrix ist ebenfalls gleich drei, das heißt, das System ist konsistent.

Der gefundene von null verschiedene Moll dritter Ordnung wird als der grundlegende genommen.

Zur Verdeutlichung zeigen wir die Elemente, die die Basis Moll bilden:


Wir lassen die am Basismoll beteiligten Terme auf der linken Seite der Gleichungen des Systems und übertragen den Rest mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten:


Wir geben freien Unbekannten x 2 und x 5 beliebige Werte, das heißt, wir nehmen , wo sind beliebige Zahlen. In diesem Fall nimmt die SLAE die Form an


Wir lösen das erhaltene elementare System linearer algebraischer Gleichungen nach der Cramer-Methode:


Somit, .

Vergessen Sie in der Antwort nicht, freie Unbekannte anzugeben.

Antworten:

Wo sind beliebige Zahlen.

Zusammenfassen.

Um ein System linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form zu lösen, finden wir zuerst seine Kompatibilität unter Verwendung des Satzes von Kronecker-Capelli heraus. Wenn der Rang der Hauptmatrix nicht gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, schließen wir daraus, dass das System inkonsistent ist.

Wenn der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, wählen wir den Basis-Minor und verwerfen die Gleichungen des Systems, die nicht an der Bildung des gewählten Basis-Minors beteiligt sind.

Wenn die Ordnung der Basisminor gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist, dann hat die SLAE eine eindeutige Lösung, die mit jedem uns bekannten Verfahren gefunden werden kann.

Ist die Ordnung der Basisminor kleiner als die Anzahl der Unbekannten, dann belassen wir die Terme mit den Hauptunbekannten auf der linken Seite der Gleichungen des Systems, übertragen die restlichen Terme auf die rechten Seiten und weisen beliebige Werte zu zu den freien unbekannten Variablen. Aus dem resultierenden linearen Gleichungssystem finden wir die wichtigsten unbekannten Variablen durch das Cramer-Verfahren, das Matrix-Verfahren oder das Gauß-Verfahren.

Gauß-Verfahren zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

Mit dem Gauß-Verfahren kann man beliebige Systeme linearer algebraischer Gleichungen ohne deren vorherige Untersuchung auf Kompatibilität lösen. Der Prozess der sukzessiven Eliminierung unbekannter Variablen ermöglicht es, sowohl auf die Kompatibilität als auch auf die Inkonsistenz der SLAE zu schließen und, falls eine Lösung existiert, diese zu finden.

Vom Standpunkt der Berechnungsarbeit ist das Gaußsche Verfahren vorzuziehen.

Siehe die detaillierte Beschreibung und die analysierten Beispiele im Artikel Gauß-Methode zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

Erfassung der allgemeinen Lösung homogener und inhomogener linearer algebraischer Systeme mit den Vektoren des Fundamentallösungssystems.

In diesem Abschnitt konzentrieren wir uns auf gemeinsame homogene und inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen, die unendlich viele Lösungen haben.

Beschäftigen wir uns zunächst mit homogenen Systemen.

Grundlegendes Entscheidungssystem Ein homogenes System von p linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen ist ein Satz von (n – r) linear unabhängigen Lösungen dieses Systems, wobei r die Ordnung der Basisminorität der Hauptmatrix des Systems ist.

Wenn wir linear unabhängige Lösungen einer homogenen SLAE als X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , … bezeichnen, sind X (n-r) Matrizenspalten der Dimension n nach 1 ) , dann wird die allgemeine Lösung dieses homogenen Systems als Linearkombination von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems mit beliebigen konstanten Koeffizienten С 1 , С 2 , …, С (n-r), dh dargestellt.

Was bedeutet der Begriff allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen (oroslau)?

Die Bedeutung ist einfach: Die Formel gibt alle möglichen Lösungen für das ursprüngliche SLAE an, mit anderen Worten, indem sie einen beliebigen Satz von Werten beliebiger Konstanten C 1 , C 2 , ..., C (n-r) gemäß der Formel we nimmt erhält eine der Lösungen der ursprünglichen homogenen SLAE.

Wenn wir also ein fundamentales System von Lösungen finden, dann können wir alle Lösungen dieser homogenen SLAE als setzen.

Lassen Sie uns den Prozess der Konstruktion eines grundlegenden Lösungssystems für eine homogene SLAE zeigen.

Wir wählen den Basis-Minor des ursprünglichen linearen Gleichungssystems, schließen alle anderen Gleichungen aus dem System aus und übertragen auf die rechte Seite der Gleichungen des Systems mit entgegengesetzten Vorzeichen alle Terme, die freie Unbekannte enthalten. Geben wir den freien Unbekannten die Werte 1,0,0,…,0 und berechnen die Hauptunbekannten, indem wir das resultierende elementare lineare Gleichungssystem auf beliebige Weise lösen, beispielsweise nach dem Cramer-Verfahren. Somit wird X (1) erhalten - die erste Lösung des Fundamentalsystems. Geben wir den freien Unbekannten die Werte 0,1,0,0,…,0 und berechnen die Hauptunbekannten, dann erhalten wir X (2) . Usw. Geben wir den freien Unbekannten die Werte 0,0,…,0,1 und berechnen die Hauptunbekannten, dann erhalten wir X(n-r) . Auf diese Weise wird das grundlegende Lösungssystem der homogenen SLAE konstruiert und seine allgemeine Lösung kann in der Form geschrieben werden.

Für inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen wird die allgemeine Lösung als dargestellt

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel.

Finden Sie das fundamentale Lösungssystem und die allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Der Rang der Hauptmatrix homogener linearer Gleichungssysteme ist immer gleich dem Rang der erweiterten Matrix. Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix durch die Methode des Einsäumens von Minoren finden. Als von Null verschiedenen Minor erster Ordnung nehmen wir das Element a 1 1 = 9 der Hauptmatrix des Systems. Finden Sie den angrenzenden Moll zweiter Ordnung ungleich Null:

Es wird ein von Null verschiedener Minor zweiter Ordnung gefunden. Lassen Sie uns die angrenzenden Nebenwerte dritter Ordnung auf der Suche nach einem Nicht-Null-Wert durchgehen:

Alle angrenzenden Minoren dritter Ordnung sind gleich Null, daher ist der Rang der Haupt- und erweiterten Matrix zwei. Nehmen wir das grundlegende Moll. Der Klarheit halber notieren wir die Elemente des Systems, die es bilden:

Die dritte Gleichung des ursprünglichen SLAE ist nicht an der Bildung des grundlegenden Minors beteiligt, daher kann sie ausgeschlossen werden:

Wir lassen die Terme mit den Hauptunbekannten auf den rechten Seiten der Gleichungen und übertragen die Terme mit freien Unbekannten auf die rechten Seiten:

Konstruieren wir ein fundamentales Lösungssystem für das ursprüngliche homogene System linearer Gleichungen. Das grundlegende Lösungssystem dieses SLAE besteht aus zwei Lösungen, da das ursprüngliche SLAE vier unbekannte Variablen enthält und die Ordnung seines grundlegenden Minors zwei ist. Um X (1) zu finden, geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, dann finden wir die Hauptunbekannten aus dem Gleichungssystem
.

Lösen wir es nach Cramers Methode:

Auf diese Weise, .

Jetzt bauen wir X (2) . Dazu geben wir den freien Unbekannten die Werte x 2 \u003d 0, x 4 \u003d 1, dann finden wir die Hauptunbekannten aus dem linearen Gleichungssystem
.

Wenden wir wieder Cramers Methode an:

Wir bekommen .

Wir haben also zwei Vektoren des fundamentalen Lösungssystems und , jetzt können wir die allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen aufschreiben:

, wobei C 1 und C 2 beliebige Zahlen sind., sind gleich Null. Wir nehmen auch die kleinere als Basis, schließen die dritte Gleichung aus dem System aus und übertragen die Terme mit freien Unbekannten auf die rechte Seite der Systemgleichungen:

Um zu finden, geben wir den freien Unbekannten die Werte x 2 \u003d 0 und x 4 \u003d 0, dann nimmt das Gleichungssystem die Form an , aus der wir mit der Cramer-Methode die wichtigsten unbekannten Variablen finden:

Wir haben , somit,

wobei C 1 und C 2 beliebige Zahlen sind.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Lösungen eines unbestimmten homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen erzeugen linearer Raum

Lösung.

Die kanonische Gleichung eines Ellipsoids in einem rechteckigen kartesischen Koordinatensystem hat die Form . Unsere Aufgabe ist es, die Parameter a, b und c zu bestimmen. Da das Ellipsoid durch die Punkte A, B und C verläuft, sollte es sich beim Einsetzen ihrer Koordinaten in die kanonische Gleichung des Ellipsoids in eine Identität verwandeln. Wir erhalten also ein System aus drei Gleichungen:

Bezeichnen , dann wird das System zu einem System linearer algebraischer Gleichungen .

Berechnen wir die Determinante der Hauptmatrix des Systems:

Da es nicht Null ist, können wir die Lösung nach Cramers Methode finden:
). Offensichtlich sind x = 0 und x = 1 die Nullstellen dieses Polynoms. Quotient aus Division An Ist . Wir haben also eine Zerlegung und der ursprüngliche Ausdruck nimmt die Form an .

Wenden wir die Methode der unbestimmten Koeffizienten an.

Durch Gleichsetzen der entsprechenden Koeffizienten der Zähler erhalten wir ein System linearer algebraischer Gleichungen . Seine Lösung liefert uns die gewünschten unbestimmten Koeffizienten A, B, C und D.

Wir lösen das System mit der Gauß-Methode:

Im umgekehrten Verlauf des Gauß-Verfahrens finden wir D = 0, C = -2, B = 1, A = 1 .

Wir bekommen

Antworten:

.

Gleichungssysteme werden in der Wirtschaftsbranche häufig zur mathematischen Modellierung verschiedener Prozesse verwendet. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen der Produktionssteuerung und -planung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur auf dem Gebiet der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie verwendet, wenn es um die Lösung von Problemen zur Bestimmung der Populationsgröße geht.

Ein lineares Gleichungssystem ist ein Begriff für zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, für die alle Gleichungen wahre Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineare Gleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Das Lösen der Gleichung durch Auftragen ihres Graphen sieht aus wie eine gerade Linie, deren alle Punkte die Lösung des Polynoms sind.

Arten von Systemen linearer Gleichungen

Die einfachsten sind Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Lösen Sie ein Gleichungssystem - es bedeutet, solche Werte (x, y) zu finden, für die das System eine echte Gleichheit wird, oder festzustellen, dass es keine geeigneten Werte von x und y gibt.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Punktkoordinaten, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn die Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder es keine Lösung gibt, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System nicht homogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei sein, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Angesichts von Systemen gehen Schulkinder davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, aber dem ist nicht so. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es kann beliebig viele davon geben.

Einfache und komplexe Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen

Es gibt keinen allgemeinen analytischen Weg, um solche Systeme zu lösen, alle Methoden basieren auf numerischen Lösungen. Der Schulkurs Mathematik beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution sowie das Graphik- und Matrizenverfahren, die Lösung nach dem Gauß-Verfahren.

Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache ist nicht, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Anwendung einer bestimmten Methode zu verstehen.

Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme der 7. Klasse des allgemeinbildenden Schulprogramms ist recht einfach und wird ausführlich erklärt. In jedem mathematischen Lehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Methode von Gauß und Cramer wird in den ersten Kursen der Hochschulen näher untersucht.

Lösung von Systemen nach der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine einzelne Variablenform reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir ein Beispiel für ein System linearer Gleichungen der 7. Klasse nach der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die 2. Gleichung des Systems eingesetzt wurde, half dabei, eine Variable Y in der 2. Gleichung zu erhalten . Die Lösung dieses Beispiels bereitet keine Schwierigkeiten und erlaubt Ihnen, den Y-Wert zu erhalten.Der letzte Schritt besteht darin, die erhaltenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und der Ausdruck der Variablen in Bezug auf die zweite Unbekannte wird für weitere Berechnungen zu umständlich sein. Bei mehr als 3 Unbekannten im System ist die Substitutionslösung ebenfalls unpraktisch.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach einer Lösung für Systeme nach der Additionsmethode werden Term-für-Term-Additionen und Multiplikationen von Gleichungen mit verschiedenen Zahlen durchgeführt. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung mit einer Variablen.

Anwendungen dieser Methode erfordern Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode mit der Anzahl der Variablen 3 oder mehr zu lösen. Die algebraische Addition ist nützlich, wenn die Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsaktionsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation muss einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsverfahren durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System eine Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen finden muss, die Anzahl der Unbekannten sollte auch nicht mehr als zwei betragen.

Das Verfahren wird verwendet, um eine der Gleichungen zu vereinfachen, indem eine neue Variable eingeführt wird. Die neue Gleichung wird bezüglich der eingegebenen Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird verwendet, um die ursprüngliche Variable zu bestimmen.

Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass es durch Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf ein quadratisches Standardtrinom zu reduzieren. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante finden.

Es ist notwendig, den Wert der Diskriminante mit der bekannten Formel zu finden: D = b2 - 4*a*c, wobei D die gesuchte Diskriminante ist, b, a, c die Multiplikatoren des Polynoms sind. Im gegebenen Beispiel ist a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann gibt es nur eine Lösung: x= -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Eine visuelle Methode zum Lösen von Systemen

Geeignet für Systeme mit 3 Gleichungen. Das Verfahren besteht darin, Graphen jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse aufzuzeichnen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.

Die grafische Methode hat eine Reihe von Nuancen. Betrachten Sie einige Beispiele für die visuelle Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden in der Grafik markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Im folgenden Beispiel soll eine grafische Lösung für das lineare Gleichungssystem gefunden werden: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer ganzen Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, aber wenn sie konstruiert sind, wird es offensichtlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte daran erinnert werden, dass es nicht immer möglich ist zu sagen, ob das System eine Lösung hat oder nicht, es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Matrix und seine Sorten

Matrizen werden verwendet, um ein lineares Gleichungssystem kurz niederzuschreiben. Eine Matrix ist eine spezielle Art von Tabelle, die mit Zahlen gefüllt ist. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrix-Vektor ist eine einspaltige Matrix mit unendlich vielen Zeilen. Eine Matrix mit Einheiten entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird als Identität bezeichnet.

Eine inverse Matrix ist eine solche Matrix, bei deren Multiplikation die ursprüngliche zu einer Einheit wird, eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische.

Regeln zur Transformation eines Gleichungssystems in eine Matrix

Bei Gleichungssystemen werden die Koeffizienten und freien Glieder der Gleichungen als Zahlen der Matrix geschrieben, eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn sich also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterscheidet, muss anstelle der fehlenden Unbekannten Null eingegeben werden.

Die Spalten der Matrix müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, die Koeffizienten der Unbekannten y – nur in die zweite.

Beim Multiplizieren einer Matrix werden alle Matrixelemente nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Finden der inversen Matrix ist ganz einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 die inverse Matrix und |K| ist - Matrixdeterminante. |K| nicht gleich Null sein muss, dann hat das System eine Lösung.

Für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix lässt sich die Determinante leicht berechnen, es müssen nur die Elemente diagonal miteinander multipliziert werden. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ein 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich daran erinnern, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element nehmen müssen, damit sich die Spalten- und Zeilennummern der Elemente im Produkt nicht wiederholen.

Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Matrixmethode

Das Matrixverfahren zur Lösungsfindung ermöglicht es, umständliche Eingaben beim Lösen von Systemen mit vielen Variablen und Gleichungen zu reduzieren.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor x n sind die Variablen und b n sind die freien Terme.

Lösung von Systemen nach der Gauß-Methode

In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess, eine Lösung für Systeme zu finden, wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um die Variablen von Systemen mit einer großen Anzahl linearer Gleichungen zu finden.

Die Gaußsche Methode ist Substitutions- und algebraischen Additionslösungen sehr ähnlich, aber systematischer. Im Schulkurs wird die Gaußsche Lösung für 3er- und 4er-Gleichungssysteme verwendet. Der Zweck des Verfahrens besteht darin, das System in die Form eines umgekehrten Trapezes zu bringen. Durch algebraische Transformationen und Substitutionen wird der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems gefunden. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten und 3 und 4 - mit 3 bzw. 4 Variablen.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf das sequentielle Einsetzen bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

In Schulbüchern für die 7. Klasse wird ein Beispiel für eine Gaußsche Lösung wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten, 3 x 3 - 2 x 4 = 11 und 3 x 3 + 2 x 4 = 7. Die Lösung einer der Gleichungen ermöglicht es Ihnen, eine der Variablen x n herauszufinden.

Satz 5, der im Text erwähnt wird, besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch dem ursprünglichen äquivalent sein wird.

Die Gaußsche Methode ist für Mittelschüler schwer verständlich, aber eine der interessantesten Möglichkeiten, den Einfallsreichtum von Kindern im Aufbaustudiengang im Mathematik- und Physikunterricht zu entwickeln.

Zur Erleichterung der Aufzeichnung von Berechnungen ist es üblich, Folgendes zu tun:

Gleichungskoeffizienten und freie Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten Seite. Römische Ziffern bezeichnen die Anzahl der Gleichungen im System.

Zuerst schreiben sie die Matrix auf, mit der sie arbeiten, dann alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem "Pfeil" -Zeichen geschrieben und führt die erforderlichen algebraischen Operationen fort, bis das Ergebnis erreicht ist.

Als Ergebnis sollte eine Matrix erhalten werden, in der eine der Diagonalen 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, dh die Matrix wird auf eine einzige Form reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, mit den Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung zu rechnen.

Diese Notation ist weniger umständlich und lässt Sie nicht durch die Auflistung zahlreicher Unbekannter abgelenkt werden.

Die freie Anwendung jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und ein gewisses Maß an Erfahrung. Nicht alle Methoden werden angewendet. Einige Wege, Lösungen zu finden, sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Aktivität vorzuziehen, während andere zum Zweck des Lernens existieren.

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