3 und 6 sind relativ Primzahlen. Definition von teilerfremden zahlen

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Diese Arbeit soll die Erläuterung begleiten neues Thema. Der Lehrer wählt die praktischen und Hausaufgaben nach eigenem Ermessen aus.

Ausrüstung: Computer, Beamer, Leinwand.

Fortschritt der Erklärung

Folie 1. Größter gemeinsamer Teiler.

Mündliche Arbeit.

1. Berechnen:

A)
0,7
* 10
: 2
- 0,3
: 0,4
_________
?
B)
5
: 10
* 0,2
+ 2
: 0,7
_______
?

Antworten: a) 8; b) 3.

2. Widerlegen Sie die Aussage: Die Zahl „2“ ist der gemeinsame Teiler aller Zahlen.“

Offensichtlich sind ungerade Zahlen nicht durch 2 teilbar.

3. Wie heißen Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind?

4. Nennen Sie eine Zahl, die ein Teiler einer beliebigen Zahl ist.

Schriftlich.

1. Zerlege die Zahl 2376 in Primfaktoren.

2. Finde alle gemeinsamen Teiler von 18 und 60.

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 18 und 60?

Versuchen Sie zu formulieren, welche Zahl als größter gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen bezeichnet wird

Regel. Die größte natürliche Zahl, die ohne Rest teilbar ist, heißt größter gemeinsamer Teiler.

Sie schreiben: ggT (18; 60) = 6.

Bitte sagen Sie mir, ist die in Betracht gezogene Methode zum Auffinden des GCD bequem?

Die Zahlen können zu groß sein und es ist schwierig für sie, alle Teiler aufzulisten.

Versuchen wir, einen anderen Weg zu finden, um GCD zu finden.

Zerlegen wir die Zahlen 18 und 60 in Primfaktoren:

18 =

Nennen Sie Beispiele für Teiler der Zahl 18.

Zahlen: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Nennen Sie Beispiele für Teiler der Zahl 60.

Zahlen: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; dreißig; 60.

Nennen Sie Beispiele für gemeinsame Teiler von 18 und 60.

Zahlen: 1; 2; 3; 6.

Wie findet man den größten gemeinsamen Teiler von 18 und 60?

Algorithmus.

1. Zerlegen Sie diese Zahlen in Primfaktoren.

2. Vergleichen Sie die Multiplikatoren der Zahlen und streichen Sie die anderen durch.

3. Berechnen Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.

Folie 4. Gegenseitig Primzahlen.

Übung. Finden Sie den ggT der Zahlen 24 und 35.

Regel. Natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist.

Das ist interessant!

Teiler der Zahl 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
Teiler von 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; dreißig; 60.
ggT (18;60) = 6.
Teiler von 6: 1; 2; 3; 6.
Beachten Sie, dass die Zahlen 1; 2; 3; 6 sind gemeinsame Teiler von 18 und 60.
Zum Beispiel ist ggT (108; 196) = 4. Wir können also sofort sagen, dass die gemeinsamen Teiler der Zahlen 108 und 196 die Teiler der Zahl 4 sind, also 1; 2; 4.

Jeder Teiler der ggT-Zahl (a;b) ist ein gemeinsamer Teiler der Zahlen a und b, und umgekehrt ist jeder ihrer gemeinsamen Teiler ein Teiler der ggT-Zahl (a;b).

Was sind teilerfremde Zahlen?

Definition von teilerfremden zahlen

Definition von teilerfremden Zahlen:

Teilerzahlen sind ganze Zahlen, die außer Eins keinen gemeinsamen Teiler haben.

Beispiele für teilerfremde zahlen

Coprime-Beispiel:

2 und 3 haben keine anderen gemeinsamen Teiler außer Eins.

Ein weiteres Beispiel für relativ Primzahlen:

3 und 7 haben keine anderen gemeinsamen Teiler außer Eins.

Ein weiteres Beispiel für teilerfremde Zahlen:

11 und 13 haben keine anderen gemeinsamen Teiler außer Eins.

Jetzt können wir die Frage beantworten, was teilerfremde Zahlen bedeuten.

Was bedeutet teilerfremde Zahl?

Dies sind ganze Zahlen, die außer Eins keinen gemeinsamen Teiler haben.

Zwei teilerfremde Zahlen

Jedes dieser Paare sind zwei relativ Primzahlen.

11 und 15
15 und 16
16 und 23

Gemeinsame Teiler von teilerfremden Zahlen

Die gemeinsamen Teiler von teilerfremden Zahlen sind nur eins, wie aus der Definition von teilerfremden Zahlen folgt.

Größter gemeinsamer Teiler von Koprime-Zahlen

Der größte gemeinsame Teiler von teilerfremden Zahlen ist eins, wie aus der Definition von teilerfremden Zahlen hervorgeht.

Sind die Zahlen teilerfremd?

Sind die Zahlen 3 und 13 teilerfremd? Ja, weil sie außer einem keinen gemeinsamen Teiler haben.

Sind die Zahlen 3 und 12 teilerfremd? Nein, weil sie gemeinsame Teiler 1 und 3 haben. Und nach der Definition von teilerfremden Zahlen sollte nur eins ein gemeinsamer Teiler sein.

Sind die Zahlen 3 und 108 teilerfremd? Nein, weil sie gemeinsame Teiler 1 und 3 haben. Und nach der Definition von teilerfremden Zahlen sollte nur eins ein gemeinsamer Teiler sein.

Sind die Zahlen 108 und 5 teilerfremd? Ja, weil sie außer einem keinen gemeinsamen Teiler haben.

Mathematiklehrbücher sind manchmal schwer zu lesen. Die trockene und klare Sprache der Autoren ist nicht immer leicht zu verstehen. Ja, und die Themen dort sind immer miteinander verbunden, fließen ineinander. Um ein Thema zu meistern, muss man eine Reihe von vorherigen aufgreifen und manchmal das gesamte Lehrbuch durchblättern. Schwierig? Ja. Und gehen wir das Risiko ein, diese Schwierigkeiten zu umgehen und versuchen, einen nicht standardmäßigen Zugang zum Thema zu finden. Machen wir eine Art Ausflug ins Land der Zahlen. Wir belassen es aber bei der Definition, denn die Regeln der Mathematik lassen sich nicht aufheben. Koprimzahlen sind also natürliche Zahlen mit einem gemeinsamen Teiler gleich eins. Das ist klar? Ganz.

Nehmen wir für ein anschaulicheres Beispiel die Zahlen 6 und 13. Beide sind durch eins teilbar (gegenseitig teilerfremd). Die Zahlen 12 und 14 können dies jedoch nicht sein, da sie nicht nur durch 1, sondern auch durch 2 teilbar sind. Die folgenden Zahlen - 21 und 47 - passen ebenfalls nicht in die Kategorie der "Primzahlen": Sie können nicht nur geteilt werden um 1, sondern auch um 7.

Teilerzahlen werden wie folgt bezeichnet: ( A, y) = 1.

Noch einfacher kann man sagen: Der gemeinsame Teiler (größter) ist hier gleich eins.
Warum brauchen wir solches Wissen? Grund genug.

In einigen Verschlüsselungssystemen gegenseitig enthalten. Wer mit Hill-Chiffren oder mit dem Caesar-Substitutionssystem arbeitet, weiß, dass man ohne dieses Wissen nicht weiterkommt. Wenn Sie von Generatoren gehört haben, werden Sie es kaum wagen zu leugnen: Auch dort werden teilerfremde Zahlen verwendet.

Lassen Sie uns nun darüber sprechen, wie Sie so einfache erhalten, wie Sie verstehen, können sie nur zwei Teiler haben: Sie sind durch sich selbst und durch eins teilbar. Sagen wir, 11, 7, 5, 3 sind Primzahlen, aber 9 ist es nicht, weil diese Zahl bereits durch 9, 3 und 1 teilbar ist.

Und wenn A eine Primzahl ist, und bei- aus dem Satz (1, 2, ... A- 1), dann ist es garantiert ( A, bei) = 1, oder teilerfremde Zahlen — A Und bei.

Dies ist vielmehr nicht einmal eine Erklärung, sondern eine Wiederholung oder Zusammenfassung des eben Gesagten.

Das Erhalten von Primzahlen ist möglich, aber für beeindruckende Zahlen (z. B. Milliarden) ist diese Methode zu langwierig, aber im Gegensatz zu Superformeln, die manchmal Fehler machen, zuverlässiger.

Kann durch Auswahl arbeiten bei > A. Dazu wird y so gewählt, dass die Zahl an A teilte nicht. Dazu wird eine Primzahl mit einer natürlichen Zahl multipliziert und ein Wert addiert (oder umgekehrt subtrahiert) (z. B. R), was weniger ist A:

y= R ein + k

Wenn zum Beispiel A = 71, R= 3, q=10, dann jeweils bei hier ist es 713. Eine andere Auswahl ist möglich, mit Grad.

Zusammengesetzte Zahlen sind im Gegensatz zu teilerfremden Zahlen durch sich selbst, durch 1 und durch andere Zahlen (auch ohne Rest) teilbar.

Mit anderen Worten, (bis auf einen) werden in zusammengesetzte und einfache unterteilt.

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die keine nicht-trivialen Teiler haben (außer der Zahl selbst und der Einheit). Ihre Rolle ist besonders wichtig in der heutigen, modernen, sich schnell entwickelnden Kryptographie, dank derer die früher als äußerst abstrakte Disziplin geltende Kryptographie so gefragt geworden ist: Datenschutzalgorithmen werden ständig verbessert.

Die größte Primzahl fand der Augenarzt Martin Nowak, der zusammen mit anderen Enthusiasten am GIMPS-Projekt (Distribution Computing) teilnahm, von denen es etwa 15.000 gab, und es dauerte sechs, um sie zu berechnen für lange Jahre. Zweieinhalb Dutzend Computer in Novaks Augenklinik waren beteiligt. Das Ergebnis titanischer Arbeit und Ausdauer war die Zahl 225964951-1, geschrieben mit 7816230 Dezimalstellen. Übrigens der Rekord eine große Anzahl wurde sechs Monate vor dieser Entdeckung geliefert. Und es gab eine halbe Million weniger Schilder.

Für ein Genie, das eine Zahl nennen will, wo die Dauer ist Dezimalschreibweise die Zehn-Millionen-Grenze "überspringen", besteht die Chance, nicht nur weltweiten Ruhm, sondern auch 100.000 Dollar zu ergattern. Übrigens erhielt Nayan Khairatwal einen kleineren Betrag (50.000 US-Dollar) für die Zahl, die die Millionengrenze überschritt.

Die Informationen in diesem Artikel behandeln das Thema " relativ Primzahlen". Zunächst wird die Definition von zwei teilerfremden Zahlen gegeben, sowie die Definition von drei oder mehr teilerfremden Zahlen. Es folgen Beispiele für teilerfremde Zahlen und wie man beweist, dass die angegebenen Zahlen teilerfremd sind. Weiterhin werden die wichtigsten Eigenschaften von teilerfremden Zahlen aufgelistet und bewiesen. Abschließend werden paarweise Primzahlen erwähnt, da sie eng mit teilerfremden Zahlen verwandt sind.

Seitennavigation.

Oft gibt es Aufgaben, bei denen man beweisen muss, dass die gegebenen ganzen Zahlen teilerfremd sind. Der Beweis reduziert sich auf die Berechnung des Maximums gemeinsamer Teiler gegebenen Zahlen und Überprüfung des ggT auf Gleichheit mit eins. Es ist auch nützlich, vor der Berechnung des ggT einen Blick in die Primzahlentabelle zu werfen: Plötzlich sind die ursprünglichen ganzen Zahlen Primzahlen, und wir wissen, dass der größte gemeinsame Teiler von Primzahlen gleich eins ist. Betrachten wir eine Beispiellösung.

Beispiel.

Beweisen Sie, dass die Zahlen 84 und 275 teilerfremd sind.

Lösung.

Offensichtlich sind diese Zahlen keine Primzahlen, daher können wir nicht sofort über die gegenseitige Einfachheit der Zahlen 84 und 275 sprechen und müssen den ggT berechnen. Verwenden Sie den euklidischen Algorithmus, um ggT zu finden: 275=84 3+23 , 84=23 3+15 , 23=15 1+8 , 15=8 1+7 , 8=7 1+1 , 7=7 1 , also ggT (84, 275)=1 . Dies beweist, dass die Zahlen 84 und 275 teilerfremd sind.

Die Definition von teilerfremden Zahlen kann auf drei oder mehr Zahlen erweitert werden.

Definition.

Ganzzahlen a 1 , a 2 , …, a k , k>2 heißen teilerfremd wenn der größte gemeinsame Teiler dieser Zahlen gleich eins ist.

Aus der obigen Definition folgt, dass, wenn eine bestimmte Menge von ganzen Zahlen einen anderen positiven gemeinsamen Teiler als eins hat, diese ganzen Zahlen nicht teilerfremd sind.

Lassen Sie uns Beispiele geben. Die drei ganzen Zahlen -99 , 17 und -27 sind teilerfremd. Jede Sammlung von Primzahlen bildet einen Satz von relativ Primzahlen, zum Beispiel sind 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 und 677 relativ Primzahlen. Und die vier Zahlen 12 , −9 , 900 und −72 sind keine teilerfremden Zahlen, weil sie einen positiven gemeinsamen Teiler 3 haben, der von 1 verschieden ist. Auch die Zahlen 17, 85 und 187 sind nicht teilerfremd, da jede von ihnen durch 17 teilbar ist.

Es ist normalerweise alles andere als offensichtlich, dass einige Zahlen teilerfremd sind, und diese Tatsache muss bewiesen werden. Um herauszufinden, ob diese Zahlen teilerfremd sind, müssen Sie den größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen finden und basierend auf der Definition von teilerfremden Zahlen eine Schlussfolgerung ziehen.

Beispiel.

Sind die Zahlen 331, 463 und 733 teilerfremd?

Lösung.

Wenn wir uns die Primzahlentabelle ansehen, stellen wir fest, dass jede der Zahlen 331, 463 und 733 eine Primzahl ist. Daher haben sie einen einzigen positiven gemeinsamen Teiler, eins. Somit sind die drei Zahlen 331, 463 und 733 relativ Primzahlen.

Antworten:

Ja.

Beispiel.

Beweisen Sie, dass die Zahlen −14 , 105 , −2 107 und −91 nicht teilerfremd sind.

Lösung.

Um zu beweisen, dass diese Zahlen keine teilerfremden Zahlen sind, können Sie ihren ggT finden und sicherstellen, dass er nicht gleich eins ist. Also machen wir's.

Da die Teiler negativer ganzer Zahlen dieselben sind wie die Teiler der entsprechenden Zahlen, dann ggT(−14, 105, 2107, −91)= gcd(14, 105, 2 107, 91) . Wenn wir uns dem Material des Artikels zuwenden und den größten gemeinsamen Teiler von drei oder mehr Zahlen finden, finden wir heraus, dass ggT (14, 105, 2 107, 91) = 7. Daher ist der größte gemeinsame Teiler der ursprünglichen Zahlen sieben, also sind diese Zahlen nicht teilerfremd.

Eigenschaften von teilerfremden Zahlen

Koprimzahlen haben eine Reihe von Eigenschaften. Betrachten Sie die wichtigsten Coprime-Eigenschaften.

Die Zahlen, die man erhält, wenn man die ganzen Zahlen a und b durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert, sind teilerfremd, d. h. a:ggT(a, b) und b:ggT(a, b) sind teilerfremd.

Wir haben diese Eigenschaft bewiesen, als wir die Eigenschaften von GCD analysiert haben.

Die betrachtete Eigenschaft von teilerfremden Zahlen erlaubt es, Paare von teilerfremden Zahlen zu finden. Dazu reicht es aus, zwei beliebige ganze Zahlen zu nehmen und sie durch den größten gemeinsamen Teiler zu teilen, die resultierenden Zahlen sind teilerfremd.

Damit die ganzen Zahlen a und b teilerfremd sind, ist es notwendig und ausreichend, dass es solche ganzen Zahlen u 0 und v 0 gibt, dass a·u 0 + b·v 0 = 1 ist.

Beweisen wir zunächst die Notwendigkeit.

Die Zahlen a und b seien Teilerfremde. Dann ist per Definition der teilerfremden Zahlen ggT(a, b)=1 . Und aus den Eigenschaften von ggT wissen wir, dass für die ganzen Zahlen a und b die Bezout-Beziehung a u 0 +b v 0 = ggT(a, b) gilt. Daher ist a·u 0 + b·v 0 = 1 .

Es bleibt die Hinlänglichkeit zu beweisen.

Die Gleichheit a·u 0 + b·v 0 =1 sei wahr. Da ggT(a, b) sowohl a als auch b teilt, muss ggT(a, b) aufgrund der Teilbarkeitseigenschaften die Summe a u 0 + b v 0 und damit die Einheit teilen. Und das ist nur möglich, wenn ggT(a, b)=1 . Also sind a und b teilerfremde Zahlen.

Die nächste Eigenschaft teilerfremder Zahlen ist folgende: Wenn die Zahlen a und b teilerfremd sind und das Produkt a c durch b teilbar ist, dann ist c durch b teilbar.

Da a und b teilerfremd sind, haben wir aus der vorherigen Eigenschaft die Gleichheit a u 0 + b v 0 =1 . Wenn wir beide Seiten dieser Gleichheit mit c multiplizieren, haben wir a·c·u 0 +b·c·v 0 =c . Der erste Term der Summe a c u 0 +b c v 0 ist durch b teilbar, da a c bedingt durch b teilbar ist, ist der zweite Term dieser Summe ebenfalls durch b teilbar, da einer der Faktoren gleich b ist, also die ganze Summe ist durch b teilbar. Und da die Summe a·c·u 0 + b·c·v 0 gleich c ist, ist c auch durch b teilbar.

Wenn die Zahlen a und b teilerfremd sind, dann ist ggT(a c, b)=ggT(c, b) .

Zeigen wir erstens, dass ggT(a c, b) ggT(c, b) teilt, und zweitens, dass ggT(c, b) ggT(a c, b) teilt, dies beweist die Gleichheit ggT(a c, b) = ggT(c, b) .

ggT(a c, b) teilt sowohl a c als auch b , und da ggT(a c, b) b teilt, teilt es auch b c . Das heißt, ggT(a c, b) teilt sowohl a c als auch b c , daher teilt es aufgrund der Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers auch ggT(a c, b c) , was aufgrund der Eigenschaften von ggT c c ggT(a) ist , b)=c . Somit teilt ggT(a c, b) sowohl b als auch c , also teilt auch ggT(c, b).

Andererseits teilt ggT(c, b) sowohl c als auch b , und da es c teilt, teilt es auch a c . Also teilt ggT(c, b) sowohl a c als auch b , also teilt ggT(a c, b) auch.

Wir haben also gezeigt, dass ggT(a c, b) und ggT(c, b) sich gegenseitig teilen, was bedeutet, dass sie gleich sind.

Wenn jede der Zahlen a 1 , a 2 , …, a k teilerfremd ist mit jeder der Zahlen b 1 , b 2 , …, b m (wobei k und m einige sind ganze Zahlen), dann sind die Produkte a 1 a 2 ... a k und b 1 b 2 ... b m teilerfremde Zahlen, insbesondere wenn a 1 =a 2 =...=a k =a und b 1 =b 2 = …=b m =b , dann sind a k und b m teilerfremde Zahlen.

Die vorherige Eigenschaft von teilerfremden Zahlen ermöglicht es uns, eine Reihe von Gleichheiten der Form zu schreiben ggT(a 1 a 2 ... a k , b m)= ggT(a 2 ... a k , b m)=…= ggT(a k , b m)=1, wobei der letzte Übergang möglich ist, da a k und b m nach Annahme teilerfremde Zahlen sind. So, ggT(a 1 a 2 ... a k , b m)=1.

Wenn wir nun a 1 ·a 2 ·…·a k =A bezeichnen, haben wir
ggT(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)= ggT(b 1 b 2 ... b m , A)=
= ggT(b 2 ... b m , A)=... = ggT(b m , A)=1
(der letzte Übergang ist aufgrund der letzten Gleichheit aus dem vorherigen Absatz gültig). Also haben wir Gleichberechtigung ggT(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)=1, was beweist, dass die Produkte a 1 ·a 2 ·…·a k und b 1 ·b 2 ·…·b m teilerfremde Zahlen sind.

Damit ist die Übersicht über die Haupteigenschaften von teilerfremden Zahlen abgeschlossen.

Paarweise Primzahlen - Definitionen und Beispiele

In Bezug auf teilerfremde Zahlen ist angegeben Definition paarweiser Primzahlen.

Definition.

Ganze Zahlen a 1 , a 2 , …, a k , von denen jede mit allen anderen teilerfremd ist, nennt man Paarweise Primzahlen.

Lassen Sie uns ein Beispiel für paarweise Primzahlen geben. Die Zahlen 14, 9, 17 und -25 sind paarweise Primzahlen, da die Zahlenpaare 14 und 9, 14 und 17, 14 und -25, 9 und 17, 9 und -25, 17 und -25 teilerfremde Zahlen sind. Hier bemerken wir, dass paarweise Primzahlen immer teilerfremd sind.

Andererseits sind relativ Primzahlen nicht immer paarweise Primzahlen, was durch das folgende Beispiel bestätigt wird. Die Zahlen 8, 16, 5 und 15 sind keine teilerfremden Zahlen, da die Zahlen 8 und 16 keine teilerfremden Zahlen sind. Die Zahlen 8, 16, 5 und 15 sind jedoch teilerfremd. Also sind 8, 16, 5 und 15 relativ Primzahlen, aber keine paarweisen Primzahlen.

Es ist notwendig, die Menge einer bestimmten Anzahl von Primzahlen hervorzuheben. Diese Zahlen sind immer sowohl teilerfremd als auch paarweise teilerfremd. Zum Beispiel sind 71 , 443 , 857 , 991 sowohl paarweise Primzahlen als auch teilerfremde Zahlen.

Es ist auch klar, wann wir redenüber zwei ganze Zahlen, dann stimmen für sie die Konzepte "paarweise Primzahl" und "teilerfremd" überein.

Referenzliste.

Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
Winogradov I. M. Grundlagen der Zahlentheorie.
Michelowitsch Sh.Kh. Zahlentheorie.
Kulikov L. Ya. ua Sammlung von Problemen der Algebra und Zahlentheorie: Lernprogramm für Studierende der Physik und Mathematik. Spezialgebiete pädagogischer Institute.

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