Was ist im Begriff der Zahl enthalten? Größtes gemeinsames Vielfaches und kleinster gemeinsamer Teiler

In diesem Artikel beginnen wir mit der Erkundung Rationale Zahlen. Hier geben wir Definitionen Rationale Zahlen Wir geben die notwendigen Erklärungen und geben Beispiele für rationale Zahlen. Danach konzentrieren wir uns darauf, wie wir feststellen können, ob eine bestimmte Zahl rational ist oder nicht.

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Definition und Beispiele rationaler Zahlen

In diesem Abschnitt geben wir mehrere Definitionen rationaler Zahlen. Trotz unterschiedlicher Formulierungen haben alle diese Definitionen die gleiche Bedeutung: Rationale Zahlen vereinen ganze Zahlen und Brüche, so wie ganze Zahlen natürliche Zahlen, ihre Gegensätze und die Zahl Null vereinen. Mit anderen Worten: Rationale Zahlen verallgemeinern ganze und gebrochene Zahlen.

Lass uns beginnen mit Definitionen rationaler Zahlen, was am natürlichsten wahrgenommen wird.

Aus der angegebenen Definition folgt, dass eine rationale Zahl ist:

Jede natürliche Zahl n. Tatsächlich können Sie jede natürliche Zahl als gewöhnlichen Bruch darstellen, zum Beispiel 3=3/1.
Jede ganze Zahl, insbesondere die Zahl Null. Tatsächlich kann jede ganze Zahl positiv geschrieben werden gemeinsamer Bruch, entweder als negativer Bruch oder als Null. Beispiel: 26=26/1, .
Jeder gemeinsame Bruch (positiv oder negativ). Dies wird direkt durch die gegebene Definition rationaler Zahlen bestätigt.
Jede gemischte Zahl. Eigentlich kann man es sich immer vorstellen gemischte Zahl als unechter Bruch. Zum Beispiel, und.
Jeder endliche Dezimalbruch oder unendliche periodische Bruch. Dies liegt daran, dass die angegebenen Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Zum Beispiel , und 0,(3)=1/3.

Es ist auch klar, dass jede unendliche nichtperiodische Dezimal KEINE rationale Zahl, da sie nicht als Bruch dargestellt werden kann.

Jetzt können wir ganz einfach geben Beispiele für rationale Zahlen. Die Zahlen 4, 903, 100.321 sind rationale Zahlen, weil sie natürliche Zahlen sind. Die ganzen Zahlen 58, −72, 0, −833,333,333 sind ebenfalls Beispiele für rationale Zahlen. Auch die gewöhnlichen Brüche 4/9 und 99/3 sind Beispiele für rationale Zahlen. Auch rationale Zahlen sind Zahlen.

Aus den obigen Beispielen wird deutlich, dass es sowohl positive als auch negative rationale Zahlen gibt und die rationale Zahl Null weder positiv noch negativ ist.

Die obige Definition rationaler Zahlen kann prägnanter formuliert werden.

Definition.

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als Bruch z/n geschrieben werden können, wobei z eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist.

Lassen Sie uns beweisen, dass diese Definition rationaler Zahlen der vorherigen Definition entspricht. Wir wissen, dass wir die Gerade eines Bruchs als Teilungszeichen betrachten können. Aus den Eigenschaften der Division ganzer Zahlen und den Regeln zur Division ganzer Zahlen folgt dann die Gültigkeit der folgenden Gleichheiten und. Das ist also der Beweis.

Lassen Sie uns Beispiele für rationale Zahlen geben, die auf basieren diese Definition. Die Zahlen −5, 0, 3 und sind rationale Zahlen, da sie als Brüche mit einem ganzzahligen Zähler und einem natürlichen Nenner der Form bzw. geschrieben werden können.

Die Definition rationaler Zahlen kann in der folgenden Formulierung gegeben werden.

Definition.

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch geschrieben werden können.

Diese Definition entspricht auch der ersten Definition, da jeder gewöhnliche Bruch einem endlichen oder periodischen Dezimalbruch entspricht und umgekehrt und jede ganze Zahl einem Dezimalbruch mit Nullen nach dem Dezimalpunkt zugeordnet werden kann.

Beispielsweise sind die Zahlen 5, 0, −13 Beispiele für rationale Zahlen, da sie als die folgenden Dezimalbrüche geschrieben werden können: 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 und −7, (18).

Beenden wir die Theorie zu diesem Punkt mit den folgenden Aussagen:

ganze Zahlen und Brüche (positiv und negativ) bilden die Menge der rationalen Zahlen;
jede rationale Zahl kann als Bruch mit einem ganzzahligen Zähler und einem natürlichen Nenner dargestellt werden, und jeder dieser Brüche stellt eine bestimmte rationale Zahl dar;
Jede rationale Zahl kann als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden, und jeder dieser Brüche stellt eine rationale Zahl dar.

Ist diese Zahl rational?

Im vorherigen Absatz haben wir herausgefunden, dass jede natürliche Zahl, jede ganze Zahl, jeder gewöhnliche Bruch, jede gemischte Zahl, jeder endliche Dezimalbruch sowie jeder periodische Dezimalbruch eine rationale Zahl ist. Dieses Wissen ermöglicht es uns, rationale Zahlen aus einer Menge geschriebener Zahlen zu „erkennen“.

Was aber, wenn die Zahl in der Form some oder as usw. angegeben wird, wie lässt sich dann die Frage beantworten, ob diese Zahl rational ist? In vielen Fällen ist die Antwort sehr schwierig. Lassen Sie uns einige Denkrichtungen aufzeigen.

Wenn eine Zahl als numerischer Ausdruck angegeben wird, der nur rationale Zahlen und Rechenzeichen (+, −, · und:) enthält, dann ist der Wert dieses Ausdrucks eine rationale Zahl. Dies folgt aus der Definition von Operationen mit rationalen Zahlen. Nachdem wir beispielsweise alle Operationen im Ausdruck ausgeführt haben, erhalten wir die rationale Zahl 18.

Manchmal lässt sich nach Vereinfachung und Komplexität der Ausdrücke feststellen, ob eine gegebene Zahl rational ist.

Gehen wir weiter. Die Zahl 2 ist eine rationale Zahl, da jede natürliche Zahl rational ist. Was ist mit der Nummer? Ist es rational? Es stellt sich heraus, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt, sondern um eine irrationale Zahl (der Beweis dieser Tatsache durch Widerspruch wird im Algebra-Lehrbuch für die 8. Klasse gegeben, das unten in der Literaturliste aufgeführt ist). Es wurde auch bewiesen, dass die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl nur dann eine rationale Zahl ist, wenn unter der Wurzel eine Zahl liegt, die das perfekte Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Zum Beispiel sind und rationale Zahlen, da 81 = 9 2 und 1 024 = 32 2, und die Zahlen und sind nicht rational, da die Zahlen 7 und 199 keine perfekten Quadrate sind natürliche Zahlen.

Ist die Zahl rational oder nicht? IN in diesem Fall Es ist leicht zu erkennen, dass diese Zahl daher rational ist. Ist die Zahl rational? Es wurde bewiesen, dass die k-te Wurzel einer ganzen Zahl nur dann eine rationale Zahl ist, wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen die k-te Potenz einer ganzen Zahl ist. Daher handelt es sich nicht um eine rationale Zahl, da es keine ganze Zahl gibt, deren fünfte Potenz 121 ist.

Mit der Widerspruchsmethode lässt sich beweisen, dass die Logarithmen einiger Zahlen aus irgendeinem Grund keine rationalen Zahlen sind. Lassen Sie uns zum Beispiel beweisen, dass - keine rationale Zahl ist.

Nehmen wir das Gegenteil an, das heißt, es handelt sich um eine rationale Zahl, die als gewöhnlicher Bruch m/n geschrieben werden kann. Dann geben wir die folgenden Gleichheiten an: . Die letzte Gleichheit ist unmöglich, da sie auf der linken Seite vorhanden ist ungerade Zahl 5 n, und auf der rechten Seite ist die gerade Zahl 2 m. Daher ist unsere Annahme falsch und somit keine rationale Zahl.

Abschließend ist besonders hervorzuheben, dass man bei der Bestimmung der Rationalität oder Irrationalität von Zahlen keine plötzlichen Schlussfolgerungen ziehen sollte.

Beispielsweise sollte man nicht sofort behaupten, dass das Produkt der irrationalen Zahlen π und e eine irrationale Zahl sei; das ist „scheinbar offensichtlich“, aber nicht bewiesen. Dies wirft die Frage auf: „Warum sollte ein Produkt eine rationale Zahl sein?“ Und warum nicht, denn Sie können ein Beispiel für irrationale Zahlen nennen, deren Produkt eine rationale Zahl ergibt: .

Es ist auch unbekannt, ob Zahlen und viele andere Zahlen rational sind oder nicht. Beispielsweise gibt es irrationale Zahlen, deren irrationale Potenz eine rationale Zahl ist. Zur Veranschaulichung stellen wir einen Grad der Form dar, die Basis dieses Grades und der Exponent sind keine rationalen Zahlen, sondern , und 3 ist eine rationale Zahl.

Referenzliste.

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Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Die moderne Symbiose von Physik und Mathematik führt auch zu einem radikalen Umdenken der Grundkonzepte der Mathematik, von denen dieses Konzept die grundlegendste Bedeutung hat.

Was ist im Begriff der Zahl enthalten?

Die Zahl ist das Hauptfach des physikalischen Wissens. Nummer des Physikstudiums. Die Physik untersucht die Auswirkungen, die sich aus der Existenz der Zahl ergeben. Zahl ist die Existenzform der Zeit in der Natur. Die Zahl ist ein reales Objekt der Physik. Eine Zahl ist eine Welle und ein Teilchen zugleich. Eine Zahl ist ein reales Objekt, ein Zeitelement, ein Ding, ein Zeitobjekt, das aus der Sicht des Forschers sowohl eine Welle als auch ein Teilchen ist. Zahl ist also ein Objekt, das Schwingungs- und Wellenprozesse ausführt. Die Zahl strahlt.

Die Existenzform einer Zahl ist Schwingung – harmonische Schwingungen, mechanische harmonische Schwingungen, freie harmonische Schwingungen in einem elektrischen Schwingkreis, gedämpft und erzwungene Schwingungen.

Der Begriff der Zahl. Die Quantenphysik ist dem wahren, aber nicht offensichtlichen Ziel der modernen Physik näher gekommen als jeder andere Zweig der Physik – der Zahl. Der eigentliche Gegenstand der Physik ist die Zahl.

Der Raum besteht aus Zahlen. Eine reelle Unendlichkeit einer Zahlenreihe (abzählbare Unendlichkeit) ist der Raum an sich.

Eine reelle Unendlichkeit einer Zahlenreihe ist ein „Körper“. Die unendliche Zahlenreihe ist die Konsistenz der „Natur“, sie ist der Prozess der Zeit als Gegenstand aller Umsetzung. Die universelle und konkrete Zahl ist die Realität, die in der klassischen Mechanik unter dem Namen „Körper“ verborgen ist. Es gibt nur eine Zahl. Die inneren Beziehungen der Zahlenreihen bilden den transparenten Raum der Physik.

V. I. Shilov

„Geschwindigkeit“, „Beschleunigung“, „Impuls“, „Trägheit“, „Energie“, „thermische Bewegung“, „Arbeit“, „Schwankung“, „elektrisches Feld“, „ elektrische Ladung„“, „elektrischer Strom“, „Dielektrikum“, „Halbleiter“, „Plasma“, „Magnetfeld“, „Atom“, „Induktion“, „elektrischer Strom“, „Schwingungen“, „Wellen“, „Wärmestrahlung“ , „Photon“, „Radioaktivität“, „grundlegende Wechselwirkungen von Elementarteilchen“ – und all dies wird anhand der Zahl gemessen.

Daher ist die Zahl der ursprüngliche Gegenstand der Physik und deckt sich mit dem Wesen der Mathematik. Alle physikalischen Experimente sind Experimente „innerhalb“ einer Zahlenreihe, Experimente mit bestimmten Zahlen, Experimente im Bereich der Wechselwirkung von Zahlen, Experimente, die auf der realen Unendlichkeit einer, aber real existierenden Zahlenreihe basieren.

Der eigentliche Unterschied in den Zahlentypen ist die tatsächliche physikalische Realität der physikalischen Prozesse, die in den Zweigen der modernen Physik dargestellt werden. Der Unterschied in den Arten von Zahlen ist eine echte Form des Unterschieds in physikalischen Wechselwirkungen und Arten physikalischer Materie.

Zahlenarten spiegeln die gesamte Vielfalt physikalischer Prozesse wider und sind die untersuchte Form dieser Vielfalt. Also:

Die Teilbarkeit einer Zahl ist das spezifische physikalische Wesen eines physikalischen Vorgangs.

Die unteilbare Primzahl ist das letzte wahre Objekt der Physik.

Die einfachste Zahl ist natürliche Zahl. Sie werden verwendet in Alltagsleben zum Zählen Objekte, d.h. um deren Anzahl und Reihenfolge zu berechnen.

Was ist eine natürliche Zahl: natürliche Zahlen Benennen Sie die Zahlen, die Sie gewohnt sind Zählen von Artikeln oder zum Angeben der Seriennummer eines beliebigen Artikels aus allen homogenen Artikeln Artikel.

Ganze Zahlen- Das sind Zahlen, die bei eins beginnen. Sie entstehen beim Zählen auf natürliche Weise.Zum Beispiel 1,2,3,4,5... -erste natürliche Zahlen.

Kleinste natürliche Zahl- eins. Es gibt keine größte natürliche Zahl. Beim Zählen der Zahl Null wird nicht verwendet, daher ist Null eine natürliche Zahl.

Natürliche Zahlenreihe ist die Folge aller natürlichen Zahlen. Natürliche Zahlen schreiben:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

In der natürlichen Reihe ist jede Zahl um eins größer als die vorherige.

Wie viele Zahlen gibt es in der natürlichen Reihe? Die natürliche Reihe ist unendlich; die größte natürliche Zahl existiert nicht.

Dezimal, da 10 Einheiten einer beliebigen Ziffer 1 Einheit der höchsten Ziffer bilden. Positionsmäßig schon wie die Bedeutung einer Ziffer von ihrem Platz in der Zahl abhängt, d.h. aus der Kategorie, in der es geschrieben steht.

Klassen natürlicher Zahlen.

Jede natürliche Zahl kann mit 10 arabischen Ziffern geschrieben werden:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Um natürliche Zahlen zu lesen, werden sie von rechts beginnend in Gruppen zu je 3 Ziffern unterteilt. 3 zuerst Die Zahlen auf der rechten Seite sind die Einheitenklasse, die nächsten 3 sind die Tausenderklasse, dann die Millionen-, Milliarden- und Milliardenklasseusw. Jede der Klassenziffern wird als ihre bezeichnetEntladung.

Vergleich natürlicher Zahlen.

Von 2 natürlichen Zahlen ist die kleinere die Zahl, die beim Zählen früher aufgerufen wird. Zum Beispiel, Nummer 7 weniger 11 (so geschrieben:7 < 11 ). Wenn eine Nummer mehr als die Sekunde, es ist so geschrieben:386 > 99 .

Tabelle der Ziffern und Zahlenklassen.


Einheit 1. Klasse	1. Ziffer der Einheit 2. Ziffer Zehner 3. Platz Hunderter
2. Klasse Tausend	1. Ziffer der Tausendereinheit 2. Ziffer Zehntausender 3. Kategorie Hunderttausende
Millionen 3. Klasse	1. Ziffer der Millioneneinheit 2. Kategorie zig Millionen 3. Kategorie Hunderte Millionen
Milliarden der 4. Klasse	1. Ziffer der Milliardeneinheit 2. Kategorie zig Milliarden 3. Kategorie Hunderte Milliarden

Zahlen ab der 5. Klasse und höher beziehen sich auf große Zahlen. Einheiten der 5. Klasse sind Billionen, 6 Klasse – Billiarden, 7. Klasse – Trillionen, 8. Klasse – Sextillionen, 9. Klasse – eptillionen.

Grundlegende Eigenschaften natürlicher Zahlen.

Kommutativität der Addition . a + b = b + a
Kommutativität der Multiplikation. ab = ba
Assoziativität der Addition. (a + b) + c = a + (b + c)
Assoziativität der Multiplikation.
Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition:

Operationen mit natürlichen Zahlen.

4. Die Division natürlicher Zahlen ist die Umkehroperation der Multiplikation.

Wenn b ∙ c = a, Das

Formeln zur Division:

ein: 1 = ein

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Numerische Ausdrücke und numerische Gleichheiten.

Eine Notation, bei der Zahlen durch Aktionszeichen verbunden sind, ist numerischer Ausdruck.

Zum Beispiel 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Datensätze, bei denen zwei numerische Ausdrücke mit einem Gleichheitszeichen kombiniert werden, sind numerische Gleichheiten. Gleichheit hat eine linke und eine rechte Seite.

Die Reihenfolge der Ausführung arithmetischer Operationen.

Das Addieren und Subtrahieren von Zahlen sind Operationen ersten Grades, während Multiplikation und Division Operationen zweiten Grades sind.

Wann numerischer Ausdruck besteht aus Aktionen nur eines Grades, sie werden nacheinander ausgeführt von links nach rechts.

Wenn Ausdrücke nur aus Aktionen ersten und zweiten Grades bestehen, werden die Aktionen zuerst ausgeführt zweiten Grades und dann - Handlungen ersten Grades.

Wenn ein Ausdruck Klammern enthält, werden zuerst die Aktionen in den Klammern ausgeführt.

Zum Beispiel 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Um Ihr Leben VIEL einfacher zu machen, wenn Sie etwas berechnen müssen, um beim Einheitlichen Staatsexamen oder beim Einheitlichen Staatsexamen wertvolle Zeit zu gewinnen, um weniger dumme Fehler zu machen – lesen Sie diesen Abschnitt!

Folgendes werden Sie lernen:

wie man schneller, einfacher und genauer zähltNummerngruppierungbeim Addieren und Subtrahieren,
wie man mit schnell und fehlerfrei multipliziert und dividiert Regeln der Multiplikation und Zeichen der Teilbarkeit,
wie man Berechnungen deutlich beschleunigen kann kleinstes gemeinsames Vielfaches(NOK) und größter gemeinsamer Teiler(NICKEN).

Die Beherrschung der in diesem Abschnitt beschriebenen Techniken kann den Ausschlag in die eine oder andere Richtung geben ... Ganz gleich, ob Sie an Ihrer Traumuniversität aufgenommen werden oder nicht, Sie oder Ihre Eltern müssen viel Geld für die Ausbildung bezahlen oder Sie werden sich mit einem begrenzten Budget einschreiben .

Lass uns gleich eintauchen... (Lass uns gehen!)

P.S. LETZTER WERTVOLLER HINWEIS...

Wichtiger Hinweis!Wenn Sie Gobbledygook anstelle von Formeln sehen, leeren Sie Ihren Cache. Drücken Sie dazu STRG+F5 (unter Windows) oder Befehl+R (auf Mac).

Ein Haufen ganze Zahlen besteht aus 3 Teilen:

ganze Zahlen(wir werden sie weiter unten genauer betrachten);
Zahlen, die den natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind(Alles wird sich ergeben, sobald Sie wissen, was natürliche Zahlen sind);
null - " " (Wo wären wir ohne ihn?)

Buchstabe Z.

Ganze Zahlen

„Gott hat die natürlichen Zahlen geschaffen, alles andere ist das Werk von Menschenhand“ (c) deutscher Mathematiker Kronecker.

Natürliche Zahlen sind Zahlen, die wir zum Zählen von Gegenständen verwenden, und darauf basiert ihre Entstehungsgeschichte – die Notwendigkeit, Pfeile, Häute usw. zu zählen.

1, 2, 3, 4... n

Buchstabe N.

Dementsprechend umfasst diese Definition nicht (kann man nicht etwas zählen, was nicht da ist?) und noch mehr: nicht negative Werte(Gibt es einen Apfel?).

Außerdem sind alle Bruchzahlen nicht enthalten (wir können auch nicht sagen „Ich habe einen Laptop“ oder „Ich habe Autos verkauft“)

Beliebig natürliche Zahl kann mit 10 Ziffern geschrieben werden:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

14 ist also keine Zahl. Das ist die Nummer. Aus welchen Zahlen besteht es? Das ist richtig, von Zahlen und...

Zusatz. Gruppieren Sie beim Hinzufügen, um schneller zu zählen und weniger Fehler zu machen

Was können Sie Interessantes zu diesem Verfahren sagen? Natürlich werden Sie jetzt antworten: „Der Wert der Summe ändert sich durch die Neuanordnung der Begriffe nicht.“ Es scheint, dass dies eine primitive Regel ist, die aus der ersten Klasse bekannt ist, jedoch beim Lösen großer Beispiele sofort vergessen!

Vergiss ihn nicht -Gruppierung verwenden, um Ihnen den Auszählungsprozess zu erleichtern und die Fehlerwahrscheinlichkeit zu verringern, da Sie keinen Taschenrechner für das Einheitliche Staatsexamen haben.

Sehen Sie selbst, welcher Ausdruck sich leichter zusammensetzen lässt?

4 + 5 + 3 + 6
4 + 6 + 5 + 3

Natürlich das Zweite! Obwohl das Ergebnis das gleiche ist. Aber! Wenn Sie die zweite Methode in Betracht ziehen, haben Sie weniger Chancen, Fehler zu machen, und erledigen alles schneller!

In deinem Kopf denkst du also so:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Subtraktion. Gruppieren Sie beim Subtrahieren, um schneller zu zählen und weniger Fehler zu machen

Beim Subtrahieren können wir die zu subtrahierenden Zahlen auch gruppieren, zum Beispiel:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Was passiert, wenn sich im Beispiel Subtraktion und Addition abwechseln? Man kann auch gruppieren, man antwortet, und das ist richtig. Vergessen Sie bitte nicht die Zeichen vor den Zahlen, zum Beispiel: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Denken Sie daran: Falsch platzierte Schilder führen zu einem falschen Ergebnis.

Multiplikation. Wie man sich im Kopf multipliziert

Offensichtlich ändert sich auch der Wert des Produkts nicht, wenn die Orte der Faktoren geändert werden:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Ich werde Ihnen nicht sagen: „Verwenden Sie dies beim Lösen von Beispielen“ (Sie haben den Hinweis selbst verstanden, oder?), sondern ich werde Ihnen sagen, wie Sie schnell einige Zahlen im Kopf multiplizieren können. Schauen Sie sich also die Tabelle genau an:

Und noch etwas mehr zur Multiplikation. Natürlich erinnern Sie sich an zwei besondere Anlässe...Kannst du erraten, was ich meine? Hier geht es dazu:

Oh ja, schauen wir es uns noch einmal an Zeichen der Teilbarkeit. Insgesamt gibt es 7 Regeln, die auf Teilbarkeitskriterien basieren, von denen Sie die ersten 3 bereits kennen!

Aber der Rest ist überhaupt nicht schwer zu merken.

7 Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen, die Ihnen helfen, schnell im Kopf zu zählen!

Natürlich kennen Sie die ersten drei Regeln.
Die vierte und fünfte Zahl kann man sich leicht merken – wenn man durch dividiert, prüft man, ob die Summe der Ziffern, aus denen die Zahl besteht, durch diese teilbar ist.
Bei der Division durch schauen wir uns die letzten beiden Ziffern einer Zahl an – ist die Zahl, durch die sie teilbar sind?
Beim Teilen durch muss eine Zahl gleichzeitig durch und durch teilbar sein. Das ist die ganze Weisheit.

Denken Sie jetzt: „Warum brauche ich das alles?“

Zunächst findet das Einheitliche Staatsexamen statt ohne Taschenrechner und diese Regeln helfen Ihnen bei der Navigation durch die Beispiele.

Und zweitens haben Sie von den Problemen gehört GCD Und NOC? Kommt Ihnen dieses Akronym bekannt vor? Beginnen wir mit dem Erinnern und Verstehen.

Größter gemeinsamer Teiler (GCD) – wird zum Reduzieren von Brüchen und für schnelle Berechnungen benötigt

Nehmen wir an, Sie haben zwei Zahlen: und. Wofür größte Zahl Sind beide Zahlen teilbar? Sie werden ohne zu zögern antworten, denn Sie wissen:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Was sind die gemeinsamen Zahlen in der Erweiterung? Das ist richtig, 2 * 2 = 4. Das war Ihre Antwort. Wenn Sie dieses einfache Beispiel im Hinterkopf behalten, werden Sie den Algorithmus zum Finden nicht vergessen GCD. Versuchen Sie, es in Ihrem Kopf zu „bauen“. Passiert?

Um eine GCD zu finden, müssen Sie:

Teilen Sie Zahlen in Primfaktoren auf (Zahlen, die durch nichts anderes als sich selbst oder beispielsweise durch 3, 7, 11, 13 usw. geteilt werden können).
Multiplizieren Sie sie.

Verstehen Sie, warum wir Zeichen der Teilbarkeit brauchten? Damit Sie sich die Zahl ansehen und ohne Rest mit der Division beginnen können.

Lassen Sie uns zum Beispiel den GCD der Zahlen 290 und 485 ermitteln

Erste Nummer - .

Wenn man es betrachtet, erkennt man sofort, dass es durch teilbar ist. Schreiben wir es auf:

Es ist unmöglich, es in etwas anderes aufzuteilen, aber Sie können es – und wir erhalten:

290 = 29 * 5 * 2

Nehmen wir eine andere Zahl – 485.

Nach den Teilbarkeitskriterien muss es durch ohne Rest teilbar sein, da es mit endet. Teilen:

Lassen Sie uns die ursprüngliche Zahl analysieren.

Es kann nicht durch geteilt werden (die letzte Ziffer ist ungerade),
- ist nicht teilbar durch, was bedeutet, dass die Zahl auch nicht teilbar ist durch,
durch und durch ist auch nicht teilbar (die Summe der in einer Zahl enthaltenen Ziffern ist nicht durch und durch teilbar)
ist auch nicht durch teilbar, da es nicht durch und teilbar ist,
ist auch nicht durch teilbar, da es nicht durch und teilbar ist.
lässt sich nicht vollständig aufteilen

Das bedeutet, dass die Zahl nur in und zerlegt werden kann.

Jetzt lasst uns finden GCD diese Zahlen. Welche Nummer ist das? Rechts, .

Sollen wir üben?

Aufgabe Nr. 1. Finden Sie den gcd der Nummern 6240 und 6800

1) Ich dividiere sofort durch, da beide Zahlen zu 100 % teilbar sind durch:

Aufgabe Nr. 2. Finden Sie den gcd der Nummern 345 und 324

Ich kann hier nicht schnell mindestens einen gemeinsamen Teiler finden, also zerlege ich ihn einfach in Primfaktoren (so klein wie möglich):

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) – spart Zeit und hilft, Probleme auf nicht standardmäßige Weise zu lösen

Nehmen wir an, Sie haben zwei Zahlen – und. Was ist die kleinste Zahl, durch die geteilt werden kann? ohne jede Spur(also vollständig)? Schwer vorstellbar? Hier ist ein visueller Hinweis für Sie:

Erinnern Sie sich, wofür der Buchstabe steht? Genau, genau ganze Zahlen. Was ist also die kleinste Zahl, die anstelle von x passt? :

In diesem Fall.

Davon einfaches Beispiel Es folgen mehrere Regeln.

Regeln zum schnellen Auffinden von NOCs

Regel 1: Wenn eine von zwei natürlichen Zahlen durch eine andere Zahl teilbar ist, dann ist die größere der beiden Zahlen ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Finden Sie die folgenden Zahlen:

NOC (7;21)
NOC (6;12)
NOC (5;15)
NOC (3;33)

Natürlich haben Sie diese Aufgabe problemlos gemeistert und die Antworten erhalten - , und.

Bitte beachten Sie, dass es sich in der Regel um ZWEI Zahlen handelt; wenn es mehr Zahlen gibt, funktioniert die Regel nicht.

Beispielsweise ist LCM (7;14;21) nicht gleich 21, da es nicht durch teilbar ist.

Regel 2. Wenn zwei (oder mehr als zwei) Zahlen teilerfremd sind, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache gleich ihrem Produkt.

Finden NOC die folgenden Zahlen:

NOC (1;3;7)
NOC (3;7;11)
NOC (2;3;7)
NOC (3;5;2)

Hast du gezählt? Hier sind die Antworten - , ; .

Wie Sie verstehen, ist es nicht immer möglich, dasselbe x so einfach zu ermitteln. Für etwas komplexere Zahlen gibt es daher den folgenden Algorithmus:

Sollen wir üben?

Finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache – LCM (345; 234)

Finden Sie selbst das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM).

Welche Antworten haben Sie bekommen?

Folgendes habe ich bekommen:

Wie viel Zeit haben Sie mit der Suche verbracht? NOC? Meine Zeit beträgt 2 Minuten, ich weiß es wirklich ein Trick Ich empfehle Ihnen, es sofort zu öffnen!

Wenn Sie sehr aufmerksam sind, dann haben Sie das wahrscheinlich bemerkt gegebene Zahlen wir haben schon nachgeschaut GCD und Sie könnten die Faktorisierung dieser Zahlen aus diesem Beispiel übernehmen und so Ihre Aufgabe vereinfachen, aber das ist noch nicht alles.

Schauen Sie sich das Bild an, vielleicht kommen Ihnen noch andere Gedanken:

Und was? Ich gebe Ihnen einen Tipp: Versuchen Sie es mit Multiplikation NOC Und GCD untereinander und notieren Sie alle Faktoren, die bei der Multiplikation auftauchen. Hast du es geschafft? Sie sollten eine Kette wie diese erhalten:

Schauen Sie sich das genauer an: Vergleichen Sie die Multiplikatoren mit der Art und Weise, wie sie ausgelegt sind.

Welche Schlussfolgerung können Sie daraus ziehen? Rechts! Wenn wir die Werte multiplizieren NOC Und GCD untereinander, dann erhalten wir das Produkt dieser Zahlen.

Dementsprechend haben sie Zahlen und Bedeutung GCD(oder NOC), wir können finden NOC(oder GCD) nach diesem Schema:

1. Finden Sie das Produkt der Zahlen:

2. Teilen Sie das resultierende Produkt durch unseres GCD (6240; 6800) = 80:

Das ist alles.

Schreiben wir die Regel in allgemeiner Form:

Versuchen, zu finden GCD, wenn bekannt ist, dass:

Hast du es geschafft? .

Negative Zahlen sind „falsche Zahlen“ und ihre Anerkennung durch die Menschheit.

Wie Sie bereits verstehen, handelt es sich dabei um Zahlen, die den natürlichen entgegengesetzt sind, nämlich:

Negative Zahlen können addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden – genau wie bei natürlichen Zahlen. Es scheint, was ist das Besondere an ihnen? Tatsache ist jedoch, dass negative Zahlen bis ins 19. Jahrhundert ihren rechtmäßigen Platz in der Mathematik „gewonnen“ haben (bis zu diesem Zeitpunkt gab es große Kontroversen darüber, ob sie existieren oder nicht).

Die negative Zahl selbst entstand durch eine Operation mit natürlichen Zahlen wie „Subtraktion“. Subtrahieren Sie davon, erhalten Sie eine negative Zahl. Deshalb wird die Menge der negativen Zahlen oft als „Erweiterung der Menge“ bezeichnet natürliche Zahlen».

Negative Zahlen wurden von den Menschen lange Zeit nicht erkannt. So das alte Ägypten, Babylon und Antikes Griechenland- Die Koryphäen ihrer Zeit erkannten negative Zahlen nicht und im Falle der Bildung negativer Wurzeln in einer Gleichung (z. B. wie bei uns) wurden die Wurzeln als unmöglich verworfen.

Negative Zahlen erlangten ihre Existenzberechtigung zunächst in China und dann im 7. Jahrhundert in Indien. Was ist Ihrer Meinung nach der Grund für diese Anerkennung? Richtig, negative Zahlen deuten auf Schulden hin (ansonsten auf Engpässe). Es wurde angenommen, dass negative Zahlen ein vorübergehender Wert sind, der sich dadurch in einen positiven Wert ändert (d. h. das Geld wird trotzdem an den Kreditgeber zurückerstattet). Allerdings betrachtete bereits der indische Mathematiker Brahmagupta negative Zahlen gleichberechtigt mit positiven.

In Europa wurde die Nützlichkeit negativer Zahlen sowie die Tatsache, dass sie Schulden bezeichnen können, erst viel später, vielleicht ein Jahrtausend, entdeckt. Die erste Erwähnung erfolgte 1202 im „Buch des Abakus“ von Leonard von Pisa (ich muss gleich sagen, dass der Autor des Buches nichts mit dem Schiefen Turm von Pisa zu tun hat, aber die Fibonacci-Zahlen sind sein Werk (Der Spitzname von Leonardo von Pisa ist Fibonacci)). Darüber hinaus kamen die Europäer zu dem Schluss, dass negative Zahlen nicht nur Schulden, sondern auch einen Mangel an irgendetwas bedeuten können, obwohl dies nicht allen klar war.

Im 17. Jahrhundert glaubte Pascal das. Wie hat er das Ihrer Meinung nach begründet? Es stimmt: „Nichts kann weniger sein als NICHTS.“ Ein Echo dieser Zeit bleibt die Tatsache, dass eine negative Zahl und die Subtraktionsoperation mit demselben Symbol bezeichnet werden – dem Minus „-“. Und die Wahrheit: . Ist die Zahl „ “ positiv, wovon subtrahiert wird, oder negativ, wozu summiert wird? … Etwas aus der Serie „Was kommt zuerst: das Huhn oder das Ei?“ Das ist so eine eigenartige mathematische Philosophie.

Mit dem Aufkommen der analytischen Geometrie, also mit der Einführung eines Begriffs wie der Zahlenachse durch Mathematiker, sicherten sich negative Zahlen ihre Daseinsberechtigung.

Von diesem Moment an entstand die Gleichberechtigung. Allerdings gab es noch mehr Fragen als Antworten, zum Beispiel:

Anteil

Dieses Verhältnis wird „Arnauds Paradoxon“ genannt. Denken Sie darüber nach, was ist daran zweifelhaft?

Lasst uns gemeinsam darüber streiten, dass „“ mehr als „“ ist, oder? Der Logik zufolge müsste also die linke Seite des Verhältnisses größer sein als die rechte, aber sie sind gleich ... Das ist das Paradoxon.

Infolgedessen stimmten die Mathematiker darin überein, dass Karl Gauß (ja, ja, das ist derselbe, der die Summe (oder) Zahlen berechnet hat) 1831 damit Schluss machte – er sagte, dass negative Zahlen die gleichen Rechte haben wie positive Einsen, und die Tatsache, dass sie nicht für alle Dinge gelten, bedeutet nichts, da Brüche auch nicht für viele Dinge gelten (es kommt nicht vor, dass ein Bagger ein Loch gräbt, man kann keine Kinokarte kaufen usw .).

Die Mathematiker beruhigten sich erst im 19. Jahrhundert, als William Hamilton und Hermann Grassmann die Theorie der negativen Zahlen entwickelten.

Sie sind so umstritten, diese negativen Zahlen.

Die Entstehung der „Leere“ oder die Biografie der Null.

In der Mathematik handelt es sich um eine besondere Zahl. Auf den ersten Blick ist das nichts: Addieren oder Subtrahieren – es ändert sich nichts, aber Sie müssen es nur rechts zu „ “ addieren, und die resultierende Zahl ist um ein Vielfaches größer als die ursprüngliche. Indem wir mit Null multiplizieren, machen wir alles zu nichts, aber durch „nichts“ dividieren, das heißt, wir können es nicht. Mit einem Wort, die magische Zahl)

Die Geschichte von Zero ist lang und kompliziert. Eine Spur von Null wurde in den Schriften der Chinesen im 2. Jahrtausend n. Chr. gefunden. und noch früher bei den Mayas. Die erste Verwendung des Nullsymbols in seiner heutigen Form wurde bei griechischen Astronomen beobachtet.

Es gibt viele Versionen, warum diese Bezeichnung „nichts“ gewählt wurde. Einige Historiker neigen dazu zu glauben, dass es sich hierbei um ein Omikron handelt, d.h. Der erste Buchstabe des griechischen Wortes für nichts ist Ouden. Einer anderen Version zufolge erweckte das Wort „Obol“ (eine fast wertlose Münze) das Symbol der Null zum Leben.

Null (oder null) als mathematisches Symbol taucht erstmals bei den Indianern auf (beachten Sie, dass sich dort negative Zahlen zu „entwickeln“ begannen). Der erste zuverlässige Beweis für die Aufzeichnung der Null stammt aus dem Jahr 876, und dort ist „ “ ein Bestandteil der Zahl.

Auch Null kam erst spät nach Europa – erst im Jahr 1600, und stieß genau wie negative Zahlen auf Widerstand (was kann man schon machen, so sind sie doch, Europäer).

„Null wurde oft gehasst, lange gefürchtet oder sogar verboten“, schreibt der amerikanische Mathematiker Charles Safe. So der türkische Sultan Abdul Hamid II. Ende des 19. Jahrhunderts. befahl seinen Zensoren, die Formel für Wasser H2O aus allen Chemielehrbüchern zu streichen, indem er den Buchstaben „O“ für Null verwendete und nicht wollte, dass seine Initialen durch die Nähe zur verachteten Null in Misskredit gebracht würden.“

Im Internet findet man den Satz: „Null ist die mächtigste Kraft im Universum, er kann alles!“ Null schafft Ordnung in der Mathematik, bringt aber auch Chaos mit sich.“ Absolut richtiger Punkt :)

Zusammenfassung des Abschnitts und grundlegende Formeln

Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus 3 Teilen:

natürliche Zahlen (wir werden sie weiter unten genauer betrachten);
den natürlichen Zahlen entgegengesetzte Zahlen;
null - " "

Die Menge der ganzen Zahlen wird bezeichnet Buchstabe Z.

1. Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen sind Zahlen, mit denen wir Objekte zählen.

Bezeichnet wird die Menge der natürlichen Zahlen Buchstabe N.

Bei Operationen mit ganzen Zahlen benötigen Sie die Fähigkeit, GCD und LCM zu finden.

Größter gemeinsamer Teiler (GCD)

Um eine GCD zu finden, müssen Sie:

Zerlegen Sie Zahlen in Primfaktoren (Zahlen, die durch nichts anderes als sich selbst oder beispielsweise durch usw. geteilt werden können).
Schreiben Sie die Faktoren auf, die Teil beider Zahlen sind.
Multiplizieren Sie sie.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)

Um das NOC zu finden, benötigen Sie:

Teilen Sie Zahlen in Primfaktoren auf (Sie wissen bereits sehr gut, wie das geht).
Notieren Sie die Faktoren, die in der Entwicklung einer der Zahlen enthalten sind (es ist besser, die längste Kette zu verwenden).
Fügen Sie dazu die fehlenden Faktoren aus den Erweiterungen der verbleibenden Zahlen hinzu.
Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.

2. Negative Zahlen

Dies sind Zahlen, die den natürlichen entgegengesetzt sind, das heißt:

Jetzt möchte ich dich hören...

Ich hoffe, Sie haben die äußerst nützlichen „Tricks“ in diesem Abschnitt geschätzt und verstanden, wie sie Ihnen bei der Prüfung helfen werden.

Und was noch wichtiger ist – im Leben. Ich rede nicht darüber, aber glauben Sie mir, das hier ist wahr. Die Fähigkeit, schnell und fehlerfrei zu zählen, rettet Sie in vielen Lebenssituationen.

Jetzt bist du dran!

Schreiben Sie: Werden Sie in Berechnungen Gruppierungsmethoden, Teilbarkeitstests, GCD und LCM verwenden?

Vielleicht haben Sie sie schon einmal verwendet? Wo und wie?

Vielleicht haben Sie Fragen. Oder Vorschläge.

Schreiben Sie in die Kommentare, wie Ihnen der Artikel gefällt.

Und viel Glück bei deinen Prüfungen!

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für Erfolg Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für die Zulassung zum College mit kleinem Budget und vor allem lebenslang.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die diese nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben schöner wird? Weiß nicht...

Aber denken Sie selbst...

Was braucht es, um beim Einheitlichen Staatsexamen sicher besser zu sein als andere und letztendlich ... glücklicher zu sein?

Gewinnen Sie Ihre Hand, indem Sie Probleme zu diesem Thema lösen.

Während der Prüfung werden Sie nicht nach Theorie gefragt.

Du wirst brauchen Probleme gegen die Zeit lösen.

Und wenn Sie sie nicht (VIEL!) gelöst haben, machen Sie mit Sicherheit irgendwo einen dummen Fehler oder haben einfach keine Zeit.

Es ist wie im Sport – man muss es viele Male wiederholen, um sicher zu gewinnen.

Finden Sie die Sammlung, wo immer Sie wollen, unbedingt mit Lösungen, detaillierter Analyse und entscheide, entscheide, entscheide!

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Abschließend...

Wenn Ihnen unsere Aufgaben nicht gefallen, finden Sie andere. Hören Sie einfach nicht bei der Theorie auf.

„Verstanden“ und „Ich kann lösen“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.

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