Wie jede natürliche Zahl erhalten wird. Ganze Zahlen

„Quadratische Funktion“ – Eigenschaften: – Intervalle der Monotonie für a > 0 für a< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Квадратичные функции используются уже много лет.

„Leistungsfunktion Grad 9“ – Wir kennen uns mit Funktionen aus. Power-Funktion. U. 0. Lehrerin der 9. Klasse Ladoshkina I.A. Y = x2, y = x4, y = x6, y = x8, ... Der Indikator ist eine gerade natürliche Zahl (2n). Y = x. Parabel. Kubische Parabel. Die Funktion y=x2n ist gerade, weil (–x)2n = x2n.

„Quadratische Funktion der Klasse 8“ – 1) Konstruieren Sie die Spitze der Parabel. -1. Zeichnen Sie die Funktion. 2) Konstruieren Sie die Symmetrieachse x=-1. j. Algebra Klasse 8 Lehrer 496 Schule Bovina TV Konstruktion eines Graphen einer quadratischen Funktion. X. -7. Konstruktionsplan.

„Graph der Funktion Y X“ – Der Graph der Funktion y=x2 + n ist eine Parabel mit einem Scheitelpunkt im Punkt (0; n). Der Graph der Funktion y=(x - m)2 ist eine Parabel mit einem Scheitelpunkt im Punkt (m; 0). Klicken Sie hier, um die Grafiken anzuzeigen. Bei Klick wird die Seite angezeigt. Daraus folgt, dass der Graph der Funktion y=(x - m)2 + n eine Parabel mit einem Scheitelpunkt im Punkt (m; n) ist.

„Natürlicher Logarithmus“ – 0,1. „Logarithmische Darts“. 0,04. 121. Natürliche Logarithmen. 7.4.

„Quadratische Funktion und ihr Graph“ – Autor: Ilya Granov. Problemlösung: Entscheidung. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-gehört. 4. Ist der Graph der Funktion y=4x Punkt: A(0,5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0,1:0,4)? Wenn a=1, nimmt die Formel y=ax die Form an.

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Die Mathematik entstand etwa im 6. Jahrhundert v. Chr. aus der allgemeinen Philosophie. h., und von diesem Moment an begann ihr Siegeszug um die Welt. Jede Entwicklungsstufe brachte etwas Neues mit sich – das elementare Zählen entwickelte sich weiter, verwandelte sich in Differential- und Integralrechnung, Jahrhunderte veränderten sich, Formeln wurden immer verwirrender und es kam der Moment, in dem „die komplexeste Mathematik begann – alle Zahlen daraus verschwanden“. Aber was war die Grundlage?

Der Anfang der Zeit

Ganze Zahlen erschien zusammen mit den ersten mathematischen Operationen. Einmal eine Wirbelsäule, zwei Stacheln, drei Stacheln ... Sie entstanden dank indischer Wissenschaftler, die die erste Position herleiteten

Das Wort „Positionalität“ bedeutet, dass die Position jeder Ziffer in einer Zahl streng definiert ist und ihrer Kategorie entspricht. Zum Beispiel sind die Zahlen 784 und 487 die gleichen Zahlen, aber die Zahlen sind nicht gleichwertig, da die erste 7 Hunderter umfasst, während die zweite nur 4 umfasst. Die Araber übernahmen die Innovation der Inder, die die Zahlen in die Form brachten das wissen wir jetzt.

In der Antike wurden Zahlen angegeben mystische Bedeutung Pythagoras glaubte, dass die Zahl zusammen mit den Grundelementen Feuer, Wasser, Erde und Luft der Erschaffung der Welt zugrunde liegt. Wenn wir alles nur von der mathematischen Seite betrachten, was ist dann eine natürliche Zahl? Der Körper der natürlichen Zahlen wird als N bezeichnet und ist eine unendliche Reihe von Zahlen, die ganzzahlig und positiv sind: 1, 2, 3, … + ∞. Null ist ausgeschlossen. Es wird hauptsächlich zum Zählen von Artikeln und zum Anzeigen der Reihenfolge verwendet.

Was ist in der Mathematik? Peanos Axiome

Der Körper N ist der Basiskörper, auf dem die Elementarmathematik basiert. Im Laufe der Zeit haben sich die Felder der ganzen Zahlen, rationalen,

Die Arbeit des italienischen Mathematikers Giuseppe Peano ermöglichte die weitere Strukturierung der Arithmetik, erreichte ihre Formalität und ebnete den Weg für weitere Schlussfolgerungen, die über das Feld N hinausgingen.

Was eine natürliche Zahl ist, wurde früher herausgefunden einfache Sprache, die mathematische Definition basierend auf Peanos Axiomen wird im Folgenden betrachtet.

Eins gilt als natürliche Zahl.
Die Zahl, die auf eine natürliche Zahl folgt, ist eine natürliche Zahl.
Es gibt keine natürliche Zahl vor eins.
Wenn die Zahl b sowohl auf die Zahl c als auch auf die Zahl d folgt, dann ist c=d.
Das Axiom der Induktion, das wiederum zeigt, was eine natürliche Zahl ist: Wenn eine Aussage, die von einem Parameter abhängt, für die Zahl 1 wahr ist, dann nehmen wir an, dass sie auch für die Zahl n aus dem Körper der natürlichen Zahlen N gilt. Dann die Aussage gilt auch für n =1 aus dem Körper der natürlichen Zahlen N.

Grundlegende Operationen für das Gebiet der natürlichen Zahlen

Da das Feld N das erste für mathematische Berechnungen wurde, beziehen sich sowohl die Definitionsbereiche als auch die Wertebereiche einer Reihe von Operationen unten darauf. Sie sind geschlossen und nicht. Der Hauptunterschied besteht darin, dass geschlossene Operationen garantiert ein Ergebnis innerhalb der Menge N hinterlassen, unabhängig von den beteiligten Zahlen. Es reicht aus, dass sie natürlich sind. Das Ergebnis der verbleibenden numerischen Wechselwirkungen ist nicht mehr so eindeutig und hängt direkt davon ab, um welche Art von Zahlen es sich im Ausdruck handelt, da es der Hauptdefinition widersprechen kann. Also geschlossene Operationen:

Addition - x + y = z, wobei x, y, z im Feld N enthalten sind;
Multiplikation - x * y = z, wobei x, y, z im N-Feld enthalten sind;
Potenzierung - x y , wobei x, y im N-Feld enthalten sind.

Die verbleibenden Operationen, deren Ergebnis im Kontext der Definition „Was ist eine natürliche Zahl“ möglicherweise nicht existiert, sind die folgenden:

Eigenschaften von Zahlen, die zum Körper N gehören

Alle weiteren mathematischen Überlegungen basieren auf den folgenden Eigenschaften, den trivialsten, aber nicht weniger wichtigen.

Die kommutative Eigenschaft der Addition ist x + y = y + x, wobei die Zahlen x, y im Feld N enthalten sind. Oder das bekannte „Die Summe ändert sich nicht durch eine Änderung der Positionen der Terme.“
Die kommutative Eigenschaft der Multiplikation ist x * y = y * x, wobei die Zahlen x, y im Feld N enthalten sind.
Die assoziative Eigenschaft der Addition ist (x + y) + z = x + (y + z), wobei x, y, z im Feld N enthalten sind.
Die assoziative Eigenschaft der Multiplikation ist (x * y) * z = x * (y * z), wobei die Zahlen x, y, z im Feld N enthalten sind.
Verteilungseigenschaft - x (y + z) = x * y + x * z, wobei die Zahlen x, y, z im Feld N enthalten sind.

Pythagoräischer Tisch

Einer der ersten Schritte zur Kenntnis der gesamten Struktur der Grundmathematik durch Schüler, nachdem sie selbst verstanden haben, welche Zahlen als natürlich bezeichnet werden, ist die pythagoräische Tafel. Es kann nicht nur aus wissenschaftlicher Sicht betrachtet werden, sondern auch als wertvolles wissenschaftliches Denkmal.

Dieses Einmaleins hat im Laufe der Zeit eine Reihe von Änderungen erfahren: Die Null wurde daraus entfernt, und die Zahlen von 1 bis 10 bezeichnen sich selbst, ohne Berücksichtigung der Ordnungen (Hunderter, Tausender ...). Es handelt sich um eine Tabelle, in der die Überschriften von Zeilen und Spalten Zahlen sind und der Inhalt der Zellen ihrer Schnittmenge ihrem Produkt entspricht.

In der Lehrpraxis der letzten Jahrzehnte bestand die Notwendigkeit, die pythagoräische Tafel „der Reihe nach“ auswendig zu lernen, das heißt, das Auswendiglernen stand an erster Stelle. Eine Multiplikation mit 1 wurde ausgeschlossen, da das Ergebnis 1 oder größer war. Mittlerweile erkennt man in der Tabelle mit bloßem Auge ein Muster: Das Zahlenprodukt wächst um einen Schritt, der dem Zeilentitel entspricht. Somit zeigt uns der zweite Faktor, wie oft wir den ersten einnehmen müssen, um das gewünschte Produkt zu erhalten. Dieses System ist viel praktischer als das im Mittelalter praktizierte: Obwohl die Menschen verstanden, was eine natürliche Zahl ist und wie trivial sie ist, gelang es ihnen, ihr alltägliches Zählen mithilfe eines Systems zu erschweren, das auf Zweierpotenzen basiert.

Teilmenge als Wiege der Mathematik

An dieser Moment das Feld der natürlichen Zahlen N wird nur als eine der Teilmengen komplexer Zahlen betrachtet, was sie jedoch nicht weniger wertvoll in der Wissenschaft macht. Die natürliche Zahl ist das Erste, was ein Kind lernt, indem es sich selbst und sich selbst studiert die Umwelt. Ein Finger, zwei Finger ... Dank ihm entsteht ein Mensch logisches Denken sowie die Fähigkeit, die Ursache zu bestimmen und auf die Wirkung zu schließen, was den Weg für große Entdeckungen ebnet.

Die einfachste Zahl ist natürliche Zahl. Sie werden verwendet in Alltagsleben zum Zählen Gegenstände, d.h. um deren Anzahl und Reihenfolge zu berechnen.

Was ist eine natürliche Zahl: natürliche Zahlen Benennen Sie die Zahlen, die dafür verwendet werden Zählen von Artikeln oder zum Angeben der Seriennummer eines beliebigen Artikels aus allen homogenen Artikeln Artikel.

Ganze Zahlensind Zahlen, die bei eins beginnen. Sie entstehen beim Zählen auf natürliche Weise.Zum Beispiel 1,2,3,4,5... -erste natürliche Zahlen.

kleinste natürliche Zahl- eins. Es gibt keine größte natürliche Zahl. Beim Zählen der Zahl Null wird nicht verwendet, daher ist Null eine natürliche Zahl.

natürliche Zahlenreihe ist die Folge aller natürlichen Zahlen. Schreiben Sie natürliche Zahlen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Bei natürlichen Zahlen ist jede Zahl um eins größer als die vorherige.

Wie viele Zahlen enthält die natürliche Reihe? Die natürliche Reihe ist unendlich, es gibt keine größte natürliche Zahl.

Dezimal, da 10 Einheiten einer beliebigen Kategorie eine Einheit höchster Ordnung bilden. positionell so wie der Wert einer Ziffer von ihrer Position in der Zahl abhängt, d. h. aus der Kategorie, in der es aufgezeichnet wurde.

Klassen natürlicher Zahlen.

Jede natürliche Zahl kann mit 10 arabischen Ziffern geschrieben werden:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Um natürliche Zahlen zu lesen, werden sie von rechts beginnend in Gruppen zu je 3 Ziffern unterteilt. 3 zuerst Die Zahlen auf der rechten Seite sind die Einheitenklasse, die nächsten 3 sind die Tausenderklasse, dann die Millionen-, Milliarden- und Milliardenklasseusw. Jede Ziffer der Klasse wird als ihre bezeichnetEntladung.

Vergleich natürlicher Zahlen.

Von den 2 natürlichen Zahlen ist die Zahl, die früher in der Zählung aufgerufen wird, kleiner. Zum Beispiel, Nummer 7 weniger 11 (so geschrieben:7 < 11 ). Wenn eine Nummer mehr als eine Sekunde, es ist so geschrieben:386 > 99 .

Tabelle der Ziffern und Zahlenklassen.


Einheit 1. Klasse	1. Einheitsziffer 2. Platz zehn 3. Rang Hunderter
2. Klasse Tausend	1. Ziffer der Tausendereinheit 2. Ziffer Zehntausender 3. Rang Hunderttausende
Millionen der 3. Klasse	1. Ziffer Einheiten Million 2. Ziffer Zehnmillionen 3. Ziffer Hunderter Millionen
Milliarden der 4. Klasse	1. Ziffer Einheiten Milliarde 2. Ziffer Dutzende Milliarden 3. Ziffer Hunderter Milliarden

Zahlen ab der 5. Klasse beziehen sich auf große Zahlen. Einheiten der 5. Klasse - Billionen, 6 Klasse – Billiarden, 7. Klasse – Trillionen, 8. Klasse – Sextillionen, 9. Klasse – eptillionen.

Grundlegende Eigenschaften natürlicher Zahlen.

Kommutativität der Addition . a + b = b + a
Kommutativität der Multiplikation. ab=ba
Assoziativität der Addition. (a + b) + c = a + (b + c)
Assoziativität der Multiplikation.
Distributivität der Multiplikation bezüglich der Addition:

Aktionen auf natürliche Zahlen.

4. Die Division natürlicher Zahlen ist eine zur Multiplikation umgekehrte Operation.

Wenn b ∙ c \u003d a, Das

Divisionsformeln:

ein: 1 = ein

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Numerische Ausdrücke und numerische Gleichheiten.

Eine Notation, bei der Zahlen durch Aktionszeichen verbunden sind, ist numerischer Ausdruck.

Zum Beispiel 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Einträge, bei denen das Gleichheitszeichen zwei numerische Ausdrücke verkettet numerische Gleichheiten. Gleichheit hat eine linke und eine rechte Seite.

Die Reihenfolge, in der arithmetische Operationen ausgeführt werden.

Addition und Subtraktion von Zahlen sind Operationen ersten Grades, während Multiplikation und Division Operationen zweiten Grades sind.

Wenn ein numerischer Ausdruck aus Aktionen nur eines Grades besteht, werden diese nacheinander ausgeführt von links nach rechts.

Wenn Ausdrücke nur aus Aktionen ersten und zweiten Grades bestehen, werden die Aktionen zuerst ausgeführt zweiten Grades und dann - Handlungen ersten Grades.

Wenn der Ausdruck Klammern enthält, werden zuerst die Aktionen in den Klammern ausgeführt.

Zum Beispiel 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

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