Wie berechnet man den quadratischen Mittelwert. Berechnung der Standardabweichung in Microsoft Excel

Streuung ist das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen jedes Merkmalswerts vom Gesamtmittelwert. Die Varianz wird allgemein als mittleres Quadrat der Abweichungen bezeichnet. Je nach Ausgangsdaten kann die Varianz aus dem arithmetischen Mittel einfach oder gewichtet berechnet werden:

Für nicht gruppierte Daten σ 2 =,

Für die Variationsreihe σ 2 =
.

quadratischer Mittelwert Abweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:

Für nicht gruppierte Daten σ =
,

Für die Variationsreihe σ =
.

Die Standardabweichung ist ein verallgemeinerndes Merkmal der absoluten Größen der Variation eines Merkmals im Aggregat. Es wird in denselben Einheiten wie das Vorzeichen ausgedrückt (in Metern, Tonnen, Prozent, Hektar usw.).

Der Berechnung der Standardabweichung geht die Berechnung der Varianz voraus.

Bestimmung von Varianz und Standardabweichung aus Einzelwerten

Berechnungsverfahren:

    aus den Kennwerten wird der arithmetische Mittelwert gebildet

;


Aufgabe 3. Bestimmen Sie am Beispiel zweier Teams (Aufgabe 1) die Varianz und die Standardabweichung der Arbeitsproduktivität.

Lösungsmethode:

Bestimmung von Varianz und Standardabweichung in diskreten und Intervallverteilungsreihen

Berechnungsverfahren:

Aufgabe 4. Berechnen Sie die Varianz und Standardabweichung aus den Stichprobendaten. Machen Sie eine Schlussfolgerung.

Produkte hergestellt von 1 Arbeiter, Stk. (x Optionen)

Anzahl der Arbeiter

Lösungsmethode:

Wenn die Anfangsdaten in Form einer Intervallreihe der Verteilung dargestellt werden, muss zunächst der diskrete Wert des Attributs bestimmt und dann die gleiche Methode wie oben beschrieben angewendet werden.

Aufgabe 5. Berechnen Sie die Varianz und Standardabweichung für die Intervallreihe nach der Verteilung der besäten Fläche des Betriebs nach Weizenertrag:

Weizenertrag, Zentner/ha

Aussaatfläche, ha

Lösungsmethode:

Berechnung der Varianz in vereinfachter Form.

Die Verwendung der obigen Formel zur Berechnung der Varianz ist nicht immer bequem, obwohl sie das Wesen des Indikators gut widerspiegelt. Daher ist es notwendig, eine andere Formel für eine vereinfachte Berechnungsmethode zu kennen, die sich aus dem oben Gesagten ergibt:

,

Wo - der Durchschnittswert der Optionsquadrate;

ist das Quadrat des arithmetischen Mittels.

Berechnungsverfahren (wenn Daten nicht gruppiert sind):

Aufgabe 6. Daten zur Arbeitsproduktivität sind verfügbar. Berechnen Sie die Varianz auf vereinfachte Weise.

Arbeiternummer

Produktion pro Schicht, Stk.

Lösungsmethode:

Berechnungsverfahren (wenn Daten gruppiert sind):

Aufgabe 7. Es liegen Daten zur Verteilung der landwirtschaftlichen Betriebe nach der Verfügbarkeit von Anlagevermögen vor. Berechnen Sie die Varianz auf vereinfachte Weise.

Unternehmensgruppen durch das Vorhandensein von Anlagevermögen, Millionen Rubel

Anzahl der Unternehmen

Lösungstechnik.

Mathematischer Erwartungswert und Varianz

Lassen Sie uns eine Zufallsvariable messen N Mal messen wir zum Beispiel zehn Mal die Windgeschwindigkeit und wollen den Mittelwert finden. Wie hängt der Mittelwert mit der Verteilungsfunktion zusammen?

Wir werden die Würfel viele Male würfeln. Die Anzahl der Punkte, die bei jedem Wurf auf den Würfel fallen, ist eine Zufallsvariable und kann beliebige natürliche Werte von 1 bis 6 annehmen. N es tendiert zu einer ganz bestimmten Zahl – der mathematischen Erwartung Mx. In diesem Fall Mx = 3,5.

Wie kam es zu diesem Wert? Einlassen N Tests fielen einmal 1 Punkt, einmal - 2 Punkte und so weiter. Dann N→ ∞ die Anzahl der Ergebnisse, bei denen ein Punkt gefallen ist, ähnlich von hier

Modell 4.5. Würfel

Nehmen wir nun an, dass wir das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen kennen X, das heißt, wir wissen, dass die Zufallsvariable X Werte annehmen kann X 1 , X 2 , ..., x k mit Wahrscheinlichkeiten P 1 , P 2 , ..., p k.

Erwarteter Wert Mx zufällige Variable X gleich:

Antworten. 2,8.

Die mathematische Erwartung ist nicht immer eine vernünftige Schätzung einer Zufallsvariablen. Um den Durchschnittslohn zu schätzen, ist es daher sinnvoller, das Konzept des Medians zu verwenden, dh einen solchen Wert, dass die Anzahl der Personen, die weniger als das Mediangehalt und mehr erhalten, gleich ist.

Median eine Zufallsvariable heißt Zahl X 1/2 davon P (X < X 1/2) = 1/2.

Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit P 1, dass die Zufallsvariable X wird weniger sein X 1/2 und die Wahrscheinlichkeit P 2, dass eine Zufallsvariable X wird größer sein X 1/2 sind gleich und gleich 1/2. Der Median ist nicht für alle Verteilungen eindeutig bestimmt.

Zurück zur Zufallsvariablen X, die die Werte annehmen kann X 1 , X 2 , ..., x k mit Wahrscheinlichkeiten P 1 , P 2 , ..., p k.

Streuung zufällige Variable X ist der Mittelwert der quadrierten Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung:

Beispiel 2

Berechnen Sie unter den Bedingungen des vorherigen Beispiels die Varianz und die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X.

Antworten. 0,16, 0,4.

Modell 4.6. Zielschießen

Beispiel 3

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der gewürfelten Punkte beim ersten Wurf, den Median, die mathematische Erwartung, die Varianz und die Standardabweichung.

Das Löschen eines Gesichts ist gleich wahrscheinlich, daher sieht die Verteilung wie folgt aus:

Standardabweichung Es ist zu erkennen, dass die Abweichung des Wertes vom Mittelwert sehr groß ist.

Eigenschaften der mathematischen Erwartung:

  • Der mathematische Erwartungswert der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungswerte:

Beispiel 4

Finden Sie die mathematische Erwartung der Summe und des Produkts der mit zwei Würfeln gewürfelten Punkte.

In Beispiel 3 haben wir das für einen Würfel gefunden M (X) = 3,5. Also für zwei Würfel

Dispersionseigenschaften:

  • Die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Varianzen:

Dx + j = Dx + Dy.

Lassen Sie für N Würfel rollt j Punkte. Dann

Dieses Ergebnis gilt nicht nur für Würfelwürfe. In vielen Fällen bestimmt es die Genauigkeit der Messung der mathematischen Erwartung empirisch. Dies ist mit zunehmender Anzahl der Messungen ersichtlich N die Streuung der Werte um den Mittelwert, also die Standardabweichung, nimmt proportional ab

Die Varianz einer Zufallsvariablen hängt mit dem mathematischen Erwartungswert des Quadrats dieser Zufallsvariablen durch die folgende Beziehung zusammen:

Finden wir die mathematischen Erwartungen beider Teile dieser Gleichheit. A-Priorat,

Die mathematische Erwartung der rechten Seite der Gleichheit ist gemäß der Eigenschaft mathematischer Erwartungen gleich

Standardabweichung

Standardabweichung gleich der Quadratwurzel der Varianz:
Bei der Bestimmung der Standardabweichung für ein ausreichend großes Volumen der untersuchten Population (n> 30) werden die folgenden Formeln verwendet:

Primäre deskriptive Statistiken sind die einfachsten Merkmale, mit denen die psychologischen Daten beschrieben werden können, die bei Hodge-Tests von Probanden gewonnen wurden.

Zu den am häufigsten verwendeten deskriptiven Statistiken in Hausarbeiten und Diplomen in Psychologie gehören:

  • mittlere Bedeutung;
  • Standardabweichung.

Mittlere Bedeutung

Das einfachste mathematische Verfahren, das ein Student-Psychologe beherrschen muss, wenn er ein Diplom schreibt, ist die Berechnung des Durchschnittswerts.

Der Durchschnittswert oder das arithmetische Mittel ist die Zahl, die sich als Summe mehrerer Indikatoren ergibt, die sich aus der Anzahl dieser Indikatoren ergibt. Als Ergebnis von Tests wurden beispielsweise Angstindikatoren in einer Gruppe von 10 Personen erhalten. Um den durchschnittlichen Angstwert für die Gruppe zu erhalten, müssen Sie die Indikatoren aller Themen addieren und dann die resultierende Summe durch 10 teilen.

Der Durchschnittswert charakterisiert die Gruppe als Ganzes. Wenn Sie den Durchschnitt kennen, können Sie die Leistung jedes Fachs im Verhältnis zu den anderen bewerten. Beispielsweise könnte die im obigen Beispiel gemessene Angst zwischen 1 und 5 Punkten liegen. Lassen Sie die durchschnittliche Angst für die Gruppe 3,5 Punkte betragen. Dann kann das Testergebnis von 4 Punkten als relativ hoch und 2 Punkte als relativ niedrig angesehen werden.

Der Mittelwert bezieht sich auf Indikatoren der zentralen Tendenz und spiegelt die Schwere des Indikators in der Gruppe wider. Die Standardabweichung spiegelt den Grad der Variabilität des Merkmals in der Gruppe wider, aber wir werden vorher darüber sprechen.

Der Durchschnittswert eines beliebigen Indikators charakterisiert die Gruppe als Ganzes und ermöglicht den Vergleich mit anderen Gruppen. Beispielsweise wurde eine Diagnose des Empathieniveaus in einer Gruppe von Männern und Frauen durchgeführt. So finden Sie heraus, ob das Geschlecht die Fähigkeit zur Empathie beeinflusst. Eine Möglichkeit besteht darin, das durchschnittliche Niveau dieses Indikators in Gruppen von Männern und Frauen zu ermitteln. Beispielsweise beträgt das durchschnittliche Empathieniveau in der Gruppe der Frauen 23,5 Punkte und in der Gruppe der Männer 17,7 Punkte. Wie Sie sehen können, haben Frauen im Durchschnitt eine höhere Empathie als Männer.

Wichtig ist, dass der Durchschnittswert nicht nur eine Zahl ist, sondern – statistisch – durch ein spezielles Verfahren gewonnen wird. Daher ist es unmöglich, Durchschnittswerte wie gewöhnliche Zahlen zu vergleichen. Um Durchschnittswerte zu vergleichen, werden zusätzliche Verfahren verwendet - die Berechnung statistischer Kriterien. Zum Beispiel, Mann-Whitney-U-Test oder Student's t-Test .

Der Mittelwert ist nicht die einzige Statistik, die den Schweregrad einer Variablen in einer Gruppe widerspiegelt. Eine ähnliche Funktion erfüllen der Modus und der Median. Sie werden jedoch selten in Psychologiediplomen verwendet.

Die Durchschnittswerte der Schwere der psychologischen Indikatoren im Studium oder Diplom in Psychologie werden in Form von Tabellen und Diagrammen dargestellt. In den Tabellen ist der Durchschnitt mit dem Buchstaben „M“ gekennzeichnet.

Standardabweichung

Wenn das arithmetische Mittel die Schwere des Indikators in der Gruppe widerspiegelt, dann zeigt die Standardabweichung (Standardabweichung) seine Datenstreuung oder Variabilität. Je größer die Standardabweichung, desto größer die Streuung der Indikatoren in der Probandengruppe.

Zum Beispiel wurde eine Gruppe von Jungen mit einer Methode getestet, um den Grad der Egozentrik zu identifizieren, deren Indikatoren von 1 bis 10 variieren. Die Berechnung des Durchschnitts ergab М = 6,5 und die Standardabweichung σ = 3 (die Standardabweichung wird mit dem Buchstaben "Sigma" bezeichnet). Diese Daten erlauben uns zu sagen, dass die überwiegende Mehrheit der Indikatoren für den Egozentrismus von Jungen in den Bereich von 3,5 bis 9,5 fällt (mittlere Plus/Minus-Standardabweichung - M ± σ).

Wenn beim Testen einer Gruppe von Mädchen der Mittelwert M = 5 und die Standardabweichung σ = 1 ist, dann haben die meisten Probanden dieser Gruppe einen Egozentrismus im Bereich von 4 bis 6 (5 ± 1).

Wenn man solche Daten in einem Diplom in Psychologie analysiert, kann man darauf hinweisen, dass der durchschnittliche Grad an Egozentrik bei Jungen höher ist als bei Mädchen. Gleichzeitig ist die Streuung der Egozentrismus-Indikatoren bei Jungen auch größer als bei Mädchen, das heißt, in der Gruppe der Jungen gibt es Probanden mit im Vergleich zum Durchschnitt sehr niedrigen und sehr hohen Indikatoren. Bei Mädchen sind die Indikatoren im Vergleich zum Durchschnitt weniger „gestreut“.

Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung

Die Formel zur Berechnung des Durchschnitts ist sehr einfach und dieser Parameter kann manuell berechnet werden.

Berechnungsbeispiel für den Durchschnitt

Die Tabelle zeigt die Indikatoren, die durch den Test zur Diagnose des Grades der Einsamkeit bei 64 Probanden erhalten wurden.

Spanisch Nr.

Ebene der Einsamkeit

Finden Sie den durchschnittlichen Grad an Einsamkeit in der Gruppe heraus.

M=(13+14+ 5+ 11+ 17+ 9+ 18+ 6+ 9+ 15+ 14+ 7+ 9+ 8+ 13+ 12+ 14+ 19+ 15+ 11+ 15+ 6+ 8+ 8 + 8+ 5+ 20+ 5+ 9+ 7+ 7+ 11+ 15+ 7+ 7+ 9+ 8+ 11+ 17+ 10+ 18+ 15+ 14+ 15+ 4+8+15+17+14 +4+8+18+14+14+9+1+7+11+4+14+11+6+17) / 64=10,92

Wie Sie sehen können, ist die manuelle Berechnung des Durchschnitts bei vielen Probanden eine mühsame Aufgabe.

Ein noch zeitaufwändigerer Prozess ist die Berechnung der Standardabweichung. Ich werde Sie nicht mit Formeln langweilen, ich werde nur sagen, dass die Berechnung dieses Indikators darauf hinausläuft, die Quadrate der Differenz der Indikatoren mit dem Durchschnittswert zu summieren. Dann wird dieser Betrag durch die Anzahl der Indikatoren geteilt und die Quadratwurzel aus der resultierenden Zahl gezogen. Solche Berechnungen manuell durchzuführen ist mühsam und nicht notwendig.

Am häufigsten können Berechnungen des Mittelwerts und der Standardabweichung in Statistikprogrammen durchgeführt werden. STATISTICA, SPSS und Tabellenkalkulationen Ausgezeichnet el.

Ich hoffe, dieser Artikel wird Ihnen helfen, selbst eine Psychologiearbeit zu schreiben. Wenn Sie Hilfe benötigen, wenden Sie sich bitte an (alle Arten von Arbeiten in der Psychologie; statistische Berechnungen).

Standardabweichung(Synonyme: Standardabweichung, Standardabweichung, Standardabweichung; verwandte Begriffe: Standardabweichung, Standardverbreitung) -V Theorie der Wahrscheinlichkeiten Und Statistiken der häufigste Indikator für die Streuung von Werten Zufallswert bezüglich ihr mathematische Erwartung. Mit begrenzten Arrays von Wertbeispielen anstelle der mathematischen Erwartung, arithmetische Mittel Sammlung von Proben.

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    Die Standardabweichung wird gemessen in Einheiten Messung die zufälligste Variable und wird in der Berechnung verwendet Standart Fehler arithmetisches Mittel, beim Bauen Vertrauensintervalle, mit Statistik Überprüfung von Hypothesen, beim Messen lineare Beziehung zwischen Zufallsvariablen. Definiert als Quadratwurzel aus Streuung Zufalls Wert.

    Standardabweichung:

    s = n n - - 1 σ 2 = 1 n - - 1 ∑ ich = 1 n (x ich - x ¯) 2 ; (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right)^(2)));)
    • Hinweis: Sehr oft gibt es Abweichungen in den Namen von RMS (Standardabweichung) und SRT (Standardabweichung) mit ihren Formeln. Beispielsweise wird im Modul numPy der Programmiersprache Python die Funktion std() als „Standardabweichung“ beschrieben, während die Formel die Standardabweichung widerspiegelt (geteilt durch die Wurzel der Stichprobe). In Excel ist die STDEV()-Funktion anders (Dividieren durch die Quadratwurzel von n-1).

    Standardabweichung(Schätzung der Standardabweichung einer Zufallsvariablen X in Bezug auf seine mathematische Erwartung basierend auf unvoreingenommene Schätzung seine Streuung) s (\displaystyle s):

    σ = 1 n ∑ ich = 1 n (x ich - x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right) ^(2))).)

    Wo σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)) - Streuung ; x ich (\ displaystyle x_ (i)) - ich-tes Probenelement; n (\displaystyle n)- Stichprobengröße; - arithmetische Mittel Proben:

    x ¯ = 1 n ∑ ich = 1 n x ich = 1 n (x 1 + … + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ldots+x_(n)).)

    Es ist zu beachten, dass beide Schätzungen verzerrt sind. Allgemein unvoreingenommene Schätzung unmöglich zu bauen. Eine Schätzung auf der Grundlage einer unverzerrten Varianzschätzung ist jedoch möglich reich.

    Gemäß GOST R 8.736-2011 wird die Standardabweichung nach der zweiten Formel dieses Abschnitts berechnet. Bitte überprüfen Sie Ihre Ergebnisse.

    Drei-Sigma-Regel

    Drei-Sigma-Regel (3 σ (\displaystyle 3\sigma)) - fast alle Werte normal verteilt Zufallsvariable liegen im Intervall (x ¯ − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \right)). Genauer gesagt - etwa mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9973 Wert normal verteilt Zufallsvariable liegt im angegebenen Intervall (sofern der Wert x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) wahr und nicht als Ergebnis der Verarbeitung der Probe erhalten).

    Wenn der wahre Wert x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) unbekannt, dann sollten Sie verwenden σ (\displaystyle\sigma), A S. Somit wird die Drei-Sigma-Regel in die Drei-Regel umgewandelt S .

    Interpretation des Werts der Standardabweichung

    Ein größerer Wert der Standardabweichung zeigt eine größere Streuung der Werte in der präsentierten Menge mit dem Mittelwert der Menge an; ein jeweils kleinerer Wert zeigt an, dass die Werte in der Menge um den Mittelwert herum gruppiert sind.

    Zum Beispiel haben wir drei Zahlensätze: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) und (6, 6, 8, 8). Alle drei Sätze haben Mittelwerte von 7 und Standardabweichungen von 7, 5 bzw. 1. Der letzte Satz hat eine kleine Standardabweichung, weil die Werte im Satz um den Mittelwert gruppiert sind; der erste Satz hat den größten Wert der Standardabweichung – die Werte innerhalb des Satzes weichen stark vom Mittelwert ab.

    Allgemein kann die Standardabweichung als Unsicherheitsmaß angesehen werden. In der Physik wird beispielsweise die Standardabweichung zur Bestimmung verwendet Fehler eine Reihe aufeinanderfolgender Messungen einer bestimmten Größe. Dieser Wert ist sehr wichtig, um die Plausibilität des untersuchten Phänomens im Vergleich zu dem von der Theorie vorhergesagten Wert zu bestimmen: Wenn der Mittelwert der Messungen stark von den von der Theorie vorhergesagten Werten abweicht (große Standardabweichung), dann Die erhaltenen Werte oder die Methode, sie zu erhalten, sollten erneut überprüft werden. identifiziert mit Risiko Portfolio.

    Klima

    Angenommen, es gibt zwei Städte mit der gleichen durchschnittlichen Tageshöchsttemperatur, aber eine liegt an der Küste und die andere in der Ebene. Es ist bekannt, dass Küstenstädte viele verschiedene Tageshöchsttemperaturen haben, die niedriger sind als Städte im Landesinneren. Daher wird die Standardabweichung der maximalen Tagestemperaturen in der Küstenstadt geringer sein als in der zweiten Stadt, obwohl sie den gleichen Durchschnittswert dieses Werts haben, was in der Praxis bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die maximale Lufttemperatur von Jeder einzelne Tag des Jahres wird stärker vom Durchschnittswert abweichen, höher für eine Stadt innerhalb des Kontinents.

    Sport

    Nehmen wir an, dass es mehrere Fußballmannschaften gibt, die nach einigen Parametern, zB Anzahl der erzielten und kassierten Tore, Torchancen usw., eingestuft werden. Es ist sehr wahrscheinlich, dass die beste Mannschaft in dieser Gruppe die besten Werte hat in mehr Parametern. Je kleiner die Standardabweichung des Teams für jeden der dargestellten Parameter ist, desto vorhersehbarer ist das Ergebnis des Teams, solche Teams sind ausgeglichen. Andererseits hat ein Team mit einer großen Standardabweichung Schwierigkeiten, das Ergebnis vorherzusagen, was wiederum durch ein Ungleichgewicht erklärt wird, beispielsweise eine starke Verteidigung, aber ein schwacher Angriff.

    Die Verwendung der Standardabweichung der Parameter der Mannschaft ermöglicht es, das Ergebnis des Spiels zwischen zwei Mannschaften bis zu einem gewissen Grad vorherzusagen, die Stärken und Schwächen der Mannschaften und damit die gewählten Kampfmethoden zu bewerten.

     

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