نمونه های odz را پیدا کنید. در علم شروع کنید

در معادلات و نابرابری های شکل،،،، محل تلاقی حوزه های تعریف توابع و به ترتیب دامنه مقادیر قابل قبول (ODV) متغیر و همچنین ODV معادله یا نامساوی نامیده می شود.

هنگام حل معادلات (نابرابری ها) با یک متغیر، هنگامی که این سوال مطرح می شود که آیا ODZ را پیدا کنیم، اغلب می توان یک "بله" طبقه بندی شده و نه "نه" طبقه بندی شده را شنید. برخی می گویند: "ابتدا، شما باید ODZ را پیدا کنید، و سپس به حل معادله (نابرابری) ادامه دهید. "نیازی به اتلاف وقت در ODZ نیست، در طول حل ما به یک معادله معادل (نابرابری) یا یک سیستم معادل از معادلات و نابرابری ها یا فقط نابرابری ها خواهیم رفت. به هر حال، اگر این یک معادله باشد، می توان بررسی کرد.»

بنابراین آیا می توان ODZ را پیدا کرد؟

البته هیچ پاسخ واحدی برای این سوال وجود ندارد. یافتن معادله یا نابرابری ODZ عنصر اجباری راه حل نیست. در هر مثال خاص، این موضوع به صورت جداگانه حل می شود.

در برخی موارد، یافتن ODZ حل یک معادله یا نابرابری را ساده می کند (مثال 1-5)، و در برخی موارد حتی یک مرحله ضروری در حل است (مثال 1، 2، 4).

در موارد دیگر (مثال 6، 7)، ارزش دارد که از یافتن اولیه ODZ خودداری کنید، زیرا این راه حل را دست و پا گیرتر می کند.

مثال 1معادله را حل کنید.

مربع کردن دو طرف معادله ساده نمی کند، بلکه آن را پیچیده می کند و به شما اجازه نمی دهد از شر رادیکال ها خلاص شوید. باید به دنبال راه حل دیگری باشیم.

بیایید معادله ODZ را پیدا کنیم:

بنابراین، ODZ تنها حاوی یک مقدار است، و بنابراین، تنها عدد 4 می تواند به عنوان ریشه معادله اصلی باشد.با جایگزینی مستقیم، مطمئن می شویم که تنها ریشه معادله است.

مثال 2معادله را حل کنید.

وجود رادیکال های درجات مختلف در معادله - دوم، سوم و ششم - حل را دشوار می کند. بنابراین، اول از همه، معادله ODZ را پیدا می کنیم:

با جایگزینی مستقیم، مطمئن می شویم که ریشه معادله اصلی است.

مثال 3نابرابری را حل کنید.

البته این نابرابری را می توان با در نظر گرفتن موارد زیر حل کرد، اما یافتن ODZ بلافاصله این راه حل را ساده می کند.

ODZ:

با جایگزینی این مقدار واحد به نابرابری اصلی، یک نابرابری عددی نادرست دریافت می کنیم. بنابراین، نابرابری اصلی راه حلی ندارد.

پاسخ: راه حلی نیست.

مثال 4معادله را حل کنید.

بیایید معادله را به شکل بنویسیم.

معادله شکل معادل یک سیستم مختلط است آن ها

البته، پیدا کردن ODZ در اینجا اضافی است.

در مورد ما، ما یک سیستم معادل دریافت می کنیم آن ها

معادله معادل مجموعه است معادله ریشه عقلی ندارد اما ممکن است ریشه های غیرمنطقی داشته باشد که یافتن آن برای دانش آموزان مشکل ایجاد می کند. پس بیایید به دنبال راه حل دیگری باشیم.

بیایید به معادله اصلی برگردیم، آن را به شکل بنویسیم.

بیایید ODZ را پیدا کنیم:

برای سمت راست معادله و سمت چپ . بنابراین معادله اصلی در محدوده مقادیر قابل قبول متغیر است ایکسمعادل سیستم معادلات است که تنها یک راه حل دارد.

بنابراین، در این مثال، یافته ODZ بود که حل معادله اصلی را ممکن کرد.

مثال 5معادله را حل کنید.

از آنجایی که، و، پس هنگام حل معادله اصلی، باید از شر ماژول ها خلاص شوید (آنها را باز کنید).

بنابراین، ابتدا منطقی است که معادله ODZ را پیدا کنیم:

بنابراین، ODZ:

معادله اصلی را با استفاده از خواص لگاریتم ساده کنید.

از آنجایی که در محدوده مقادیر قابل قبول متغیر است ایکسو سپس ، و سپس یک معادله معادل به دست می آوریم:

با توجه به اینکه در ODZ به معادله معادل می رویم و آن را با تقسیم دو طرف بر 3 حل کنید.

پاسخ: - 4.75.

اظهار نظر.

اگر ODZ پیدا نشد، هنگام حل معادله، باید چهار حالت را در نظر گرفت: , , , . در هر یک از این فواصل ثبات عبارات زیر علامت ماژول، لازم است که ماژول ها را باز کرده و معادله حاصل را حل کنیم. همچنین یک بررسی انجام دهید. می بینیم که یافتن ODZ معادله اصلی حل آن را بسیار ساده می کند.

مثال 7نابرابری را حل کنید .

از آنجایی که متغیر ایکسوارد پایه لگاریتم می شود، سپس هنگام حل این نابرابری، باید دو مورد را در نظر گرفت: و. بنابراین، یافتن ODZ به طور جداگانه غیر عملی است.

بنابراین، ما نابرابری اصلی را در فرم نشان می دهیم و معادل ترکیب دو سیستم خواهد بود:

پاسخ: .

مشاور علمی:

1. مقدمه 3

2. پیشینه تاریخی 4

3. "مکان" ODZ هنگام حل معادلات و نابرابری های 5-6

4. ویژگی ها و خطرات ODZ 7

5. ODZ - تصمیم 8-9 وجود دارد

6. یافتن ODZ کار اضافی است. معادل سازی انتقال 10-14

7. ODZ در امتحان 15-16

8. نتیجه گیری 17

9. ادبیات 18

1. معرفی

مسئله:معادلات و نابرابری هایی که در آنها باید ODZ را بیابید در جریان ارائه سیستماتیک جبر جایی پیدا نکرده اند، احتمالاً به همین دلیل است که من و همسالانم اغلب هنگام حل چنین مثال هایی اشتباه می کنیم و زمان زیادی را برای حل آنها اختصاص می دهیم. ، در حالی که ODZ را فراموش کرده اید.

هدف:قادر به تجزیه و تحلیل وضعیت و نتیجه گیری منطقی صحیح در مثال هایی که لازم است ODD را در نظر بگیرید.

وظایف:

1. مطالعه مطالب نظری;

2. حل مجموعه ای از معادلات، نامساوی: الف) کسری گویا. ب) غیر منطقی؛ ج) لگاریتمی؛ د) حاوی توابع مثلثاتی معکوس.

3. مطالب آموخته شده را در موقعیتی که با استاندارد متفاوت است به کار ببرید.

4. ایجاد مقاله با موضوع "منطقه ارزش های قابل قبول: تئوری و عمل"

کار پروژه:من کار روی پروژه را با تکرار توابع شناخته شده برای من شروع کردم. دامنه بسیاری از آنها محدود است.

ODZ رخ می دهد:

1. هنگام حل معادلات و نابرابری های گویا کسری

2. هنگام حل معادلات و نابرابری های غیر منطقی

3. هنگام حل معادلات لگاریتمی و نامساوی

4. هنگام حل معادلات و نامساوی حاوی توابع مثلثاتی معکوس

با حل مثال‌های زیادی از منابع مختلف (راهنمای استفاده، کتاب‌های درسی، کتاب‌های مرجع)، حل مثال‌ها را بر اساس اصول زیر سیستم‌بندی کردم:

می توانید مثال را حل کنید و ODZ (متداول ترین راه) را در نظر بگیرید

حل مثال بدون در نظر گرفتن ODZ امکان پذیر است

تنها با در نظر گرفتن ODZ می توان تصمیم درستی گرفت.

روش های مورد استفاده در کار: 1) تجزیه و تحلیل؛ 2) تجزیه و تحلیل آماری؛ 3) کسر؛ 4) طبقه بندی؛ 5) پیش بینی

من تجزیه و تحلیل نتایج آزمون یکپارچه دولتی را در سال های گذشته مطالعه کردم. در نمونه هایی که DHS باید در نظر گرفته شود، اشتباهات زیادی صورت گرفت. این دوباره تاکید می کند ارتباطموضوع من.

2. طرح کلی تاریخی

مانند سایر مفاهیم ریاضیات، مفهوم تابع بلافاصله توسعه نیافته است، اما مسیر طولانی را طی کرده است. پی فرما در اثر «معرفی و مطالعه مکان‌های مسطح و جامد» (1636، چاپ 1679) می‌گوید: «هرگاه دو کمیت مجهول در معادله نهایی وجود داشته باشد، مکانی وجود دارد». در اصل، در اینجا ما در مورد وابستگی عملکردی و نمایش گرافیکی آن صحبت می کنیم ("مکان" برای فرما به معنای یک خط است). مطالعه خطوط با معادلات آنها در "هندسه" دکارت (1637) نیز نشان دهنده درک روشنی از وابستگی متقابل دو متغیر است. I. Barrow ("سخنرانی در مورد هندسه"، 1670) به شکل هندسی متقابل اعمال تمایز و ادغام را برقرار می کند (البته بدون استفاده از خود این اصطلاحات). این قبلاً گواه تسلط کاملاً واضح بر مفهوم عملکرد است. در شکل هندسی و مکانیکی نیز این مفهوم را در آی.نیوتن می یابیم. با این حال، اصطلاح "کارکرد" برای اولین بار تنها در سال 1692 توسط G. Leibniz ظاهر شد و علاوه بر این، کاملاً به معنای امروزی آن نیست. G. Leibniz بخش های مختلف مرتبط با یک منحنی (مثلاً ابسیساهای نقاط آن) را تابع می نامد. در اولین دوره چاپی "تحلیل بی نهایت کوچک برای دانش خطوط منحنی" توسط لوپیتال (1696)، از اصطلاح "تابع" استفاده نشده است.

اولین تعریف تابع به معنایی نزدیک به تعریف مدرن در I. Bernoulli (1718) یافت می شود: "یک تابع کمیتی است که از یک متغیر و یک ثابت تشکیل شده است." این تعریف کاملاً متمایز مبتنی بر ایده تعیین یک تابع با فرمول تحلیلی است. همین ایده در تعریف ال. اویلر در «مقدمه‌ای بر تحلیل بی‌نهایت» (1748) آمده است: «یک تابع کمیت متغیر عبارتی تحلیلی است که به نحوی از این کمیت و اعداد متغیر تشکیل شده است. یا مقادیر ثابت." با این حال، حتی L. Euler نیز با درک مدرن یک تابع، که مفهوم یک تابع را با هیچ یک از عبارات تحلیلی آن مرتبط نمی کند، بیگانه نیست. در «حساب دیفرانسیل» (1755) او می‌گوید: «وقتی برخی از کمیت‌ها به گونه‌ای به دیگری وابسته هستند که وقتی کمیت دوم تغییر می‌کند، خود دستخوش تغییر می‌شوند، پس اولی را توابع دومی می‌نامند».

از آغاز قرن نوزدهم، مفهوم تابع بیشتر و بیشتر بدون اشاره به نمایش تحلیلی آن تعریف شده است. در «رساله حساب دیفرانسیل و انتگرال» (1797-1802) اس. لاکروا می‌گوید: «هر کمیتی که مقدار آن به یک یا چند کمیت دیگر بستگی دارد تابعی از این کمیت‌ها نامیده می‌شود». در "نظریه تحلیلی گرما" توسط جی فوریه (1822) عبارتی وجود دارد: "تابع f(x)یک تابع کاملاً دلخواه را نشان می دهد، یعنی دنباله ای از مقادیر داده شده، مشمول یا غیر تابع یک قانون کلی و متناظر با همه مقادیر. ایکسبین 0 و مقداری وجود دارد ایکس". تعریف N. I. Lobachevsky به تعریف مدرن نزدیک است: «... مفهوم کلی تابع مستلزم آن است که تابعی از ایکسشماره ای که برای هر کدام داده شده را نام ببرید ایکسو همراه با ایکسبه تدریج تغییر می کند. مقدار یک تابع ممکن است یا با یک عبارت تحلیلی داده شود، یا با شرطی که ابزاری برای آزمایش همه اعداد و انتخاب یکی از آنها فراهم می کند، یا در نهایت، ممکن است وابستگی وجود داشته باشد و ناشناخته بماند. در همان جا کمی پایین‌تر گفته می‌شود: «دیدگاه وسیع نظریه وجود وابستگی را تنها به این معنا می‌پذیرد که اعداد یکی با دیگری در ارتباط به گونه‌ای درک می‌شوند که گویی با هم داده شده‌اند». بنابراین، تعریف مدرن یک تابع، فارغ از ارجاعات به کار تحلیلی، که معمولاً به پی دیریکله (1837) نسبت داده می شود، بارها و بارها قبل از او ارائه شد.

دامنه تعریف (مقادیر مجاز) تابع y مجموعه مقادیر متغیر مستقل x است که این تابع برای آن تعریف شده است، یعنی دامنه تغییر متغیر مستقل (آرگمون).

3. "مکان" ناحیه مقادیر مجاز هنگام حل معادلات و نابرابری ها

1. هنگام حل معادلات و نابرابری های گویا کسریمخرج نباید صفر باشد.

2. حل معادلات و نابرابری های غیر منطقی.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

در این مورد، نیازی به یافتن ODZ نیست: از معادله اول نتیجه می شود که مقادیر x به دست آمده نابرابری زیر را برآورده می کند: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif " width="107" height="27 src="> این سیستم است:

از آنجایی که معادله را به طور مساوی وارد کنید، پس به جای نابرابری، می توانید نابرابری را وارد کنید https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. حل معادلات لگاریتمی و نامساوی.

3.1. طرحی برای حل معادله لگاریتمی

اما برای بررسی تنها یک شرط ODZ کافی است.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. معادلات مثلثاتی فرممعادل سیستم هستند (به جای نابرابری، سیستم می تواند شامل نابرابری https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> معادل با معادله

4. ویژگی ها و خطر دامنه مقادیر مجاز

در درس ریاضیات، ما ملزم به یافتن ODZ در هر مثال هستیم. در عین حال، با توجه به ماهیت ریاضی موضوع، یافتن ODZ به هیچ وجه اجباری نیست، اغلب غیر ضروری، و گاهی اوقات غیر ممکن است - و همه اینها بدون هیچ آسیبی به راه حل مثال. از طرف دیگر، اغلب اتفاق می افتد که پس از حل یک مثال، دانش آموزان فراموش می کنند که ODZ را در نظر بگیرند، آن را به عنوان پاسخ نهایی یادداشت کنند، فقط برخی از شرایط را در نظر بگیرند. این شرایط به خوبی شناخته شده است، اما "جنگ" هر سال ادامه دارد و به نظر می رسد تا مدت ها ادامه خواهد داشت.

به عنوان مثال، نابرابری زیر را در نظر بگیرید:

در اینجا، ODZ جستجو می شود و نابرابری حل می شود. با این حال، هنگام حل این نابرابری، دانش آموزان مدرسه گاهی اوقات معتقدند که انجام آن بدون جستجوی ODZ کاملاً ممکن است، به طور دقیق تر، آنها می توانند بدون شرط انجام دهند.

در واقع، برای به دست آوردن پاسخ صحیح، لازم است هر دو نابرابری و .

و برای مثال، حل معادله اینجاست: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

که معادل کار با ODZ است. با این حال، در این مثال، چنین کاری اضافی است - کافی است انجام تنها دو مورد از این نابرابری ها و هر دو مورد را بررسی کنید.

اجازه دهید یادآوری کنم که هر معادله (نابرابری) را می توان به شکل کاهش داد. DPV به سادگی محدوده تابع در سمت چپ است. این واقعیت که این ناحیه باید قبلاً نظارت شود از تعریف ریشه به عنوان عددی از ناحیه تابع داده شده و در نتیجه از ODZ ناشی می شود. در اینجا یک مثال خنده دار در مورد این موضوع آورده شده است..gif" width="20" height="21 src="> دارای دامنه تعریف مجموعه ای از اعداد مثبت است (البته این یک توافق است - برای در نظر گرفتن تابع در ، اما منطقی است)، و سپس -1 نیست ریشه است.

5. محدوده مقادیر قابل قبول - یک راه حل وجود دارد

و در نهایت، در انبوه مثال ها، یافتن ODZ به شما امکان می دهد تا پاسخ را دریافت کنید بدون چیدمان های دست و پا گیر،و حتی به صورت شفاهی

1. OD3 یک مجموعه خالی است، به این معنی که مثال اصلی هیچ راه حلی ندارد.

1) 2) 3)

2. در ODZ یک یا چند عدد پیدا می شود و یک جایگزینی ساده به سرعت ریشه ها را مشخص می کند.

1) , x=3

2)در اینجا در ODZ فقط عدد 1 وجود دارد و پس از تعویض مشخص است که ریشه نیست.

3) دو عدد در ODZ وجود دارد: 2 و 3 و هر دو مناسب هستند.

4) > دو عدد 0 و 1 در ODZ وجود دارد و فقط 1 مناسب است.

DPV را می توان به طور موثر در ترکیب با تجزیه و تحلیل خود بیان استفاده کرد.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) از ODZ نتیجه می شود که از آنجا ..gif" width="143" height="24"> از ODZ داریم: . اما سپس و . از آنجا که، پس هیچ راه حلی وجود ندارد.

از ODZ داریم: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>، به این معنی که با حل آخرین نابرابری، x را بدست می آوریم.<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ: . از آن به بعد

از سوی دیگر، https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. معادله بازه [-1; 0).

چنین نابرابری هایی را برآورده می کند https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src ="> و هیچ راه حلی وجود ندارد. با عملکرد و https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">.ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> بیایید ODZ را پیدا کنیم:

حل عدد صحیح فقط برای x=3 و x=5 امکان پذیر است. با بررسی، متوجه می شویم که ریشه x \u003d 3 مناسب نیست، به این معنی که پاسخ این است: x \u003d 5.

6. یافتن محدوده مقادیر قابل قبول کار اضافی است. معادل سازی انتقال ها

می توان مثال هایی ارائه داد که در آن وضعیت حتی بدون یافتن ODZ روشن است.

1.

تساوی غیرممکن است، زیرا هنگام تفریق یک عبارت بزرگتر از یک عبارت کوچکتر، باید یک عدد منفی به دست آید.

2. .

مجموع دو تابع غیر منفی نمی تواند منفی باشد.

من همچنین مثال هایی می زنم که در آن یافتن ODZ دشوار است و گاهی اوقات به سادگی غیرممکن است.

و در نهایت، جستجوی ODZ اغلب فقط یک کار غیر ضروری است که بدون آن می توان کاملاً انجام داد، بنابراین درک آنچه در حال وقوع است را اثبات می کند. تعداد زیادی مثال در اینجا وجود دارد، بنابراین من فقط معمولی ترین آنها را انتخاب می کنم. در این مورد، تکنیک تصمیم گیری اصلی، تبدیل های معادل در انتقال از یک معادله (نابرابری، سیستم) به معادله دیگر است.

1.. ODZ مورد نیاز نیست، زیرا با یافتن مقادیر x که برای آنها x2=1 است، نمی توانیم x=0 را بدست آوریم.

2. . ODZ مورد نیاز نیست، زیرا ما متوجه می شویم که چه زمانی عبارت رادیکال برابر با یک عدد مثبت است.

3. . ODZ به دلایل مشابه در مثال قبلی مورد نیاز نیست.

4.

ODZ مورد نیاز نیست، زیرا عبارت ریشه برابر با مربع یک تابع است و بنابراین نمی تواند منفی باشد.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> فقط یک قید برای عبارت رادیکال برای حل کافی است، در واقع، از سیستم مختلط نوشته شده نتیجه می گیرد که عبارت رادیکال دیگر نیز غیر منفی است.

8. ODZ به دلایل مشابه در مثال قبلی مورد نیاز نیست.

9. DPV مورد نیاز نیست، زیرا برای اطمینان از مثبت بودن مورد سوم کافی است که دو عبارت از سه عبارت زیر علائم لگاریتم مثبت باشد.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ به همان دلایلی که در مثال قبلی وجود داشت مورد نیاز نیست.

با این حال، شایان ذکر است که هنگام حل با روش تبدیل‌های معادل، دانش ODZ (و ویژگی‌های توابع) کمک می‌کند.

در اینجا چند نمونه آورده شده است.

1. . OD3 که از آن مثبت بودن عبارت سمت راست است و می توان معادله ای معادل معادله داده شده را در این فرم نوشت https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif " width="112" height="27 "> ODZ:. اما پس از آن و هنگام حل این نابرابری، لازم نیست موردی را در نظر بگیریم که سمت راست کمتر از 0 باشد.

3. . از ODZ نتیجه می گیرد که، و بنابراین، زمانی که https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> انتقال به طور کلی به این صورت است :

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

دو حالت ممکن است: 0 >1.

بنابراین، نابرابری اصلی معادل مجموعه ای از سیستم های نابرابری زیر است:

سیستم اول هیچ راه حلی ندارد و از سیستم دوم می گیریم: x<-1 – решение неравенства.

درک شرایط هم ارزی مستلزم دانستن نکات ظریفی است. به عنوان مثال، چرا معادلات زیر معادل هستند:

یا

و در نهایت، شاید مهمترین. واقعیت این است که اگر برخی از تبدیلات خود معادله انجام شود، معادل سازی صحت پاسخ را تضمین می کند، اما برای تبدیل تنها در یکی از قسمت ها استفاده نمی شود. کاهش، استفاده از فرمول های مختلف در یکی از قسمت ها تحت قضایای هم ارزی قرار نمی گیرند. من قبلاً چند نمونه از این دست آورده ام. بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

1. چنین تصمیمی طبیعی است. در سمت چپ، با ویژگی تابع لگاریتمی، به عبارت ..gif" width="111" height="48"> برویم.

با حل این سیستم، نتیجه (-2 و 2) را می گیریم، اما جواب نمی دهد، زیرا عدد -2 در ODZ گنجانده نشده است. بنابراین برای نصب ODZ به چه چیزی نیاز داریم؟ البته که نه. اما از آنجایی که ما از خاصیت خاصی از تابع لگاریتمی در حل استفاده کردیم، باید از شرایطی که تحت آن برآورده شده است اطمینان حاصل کنیم. چنین شرطی مثبت بودن عبارات زیر علامت لگاریتم..gif" width="65" height="48"> است.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> اعداد از این طریق قابل تعویض هستند . چه کسی می خواهد چنین محاسبات خسته کننده ای انجام دهد؟.gif" width="12" height="23 src="> یک شرط اضافه کند، و بلافاصله مشخص می شود که فقط عدد این شرط را دارد https://pandia.ru/text/ 78/083/ images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) توسط 52 درصد از فروشندگان نشان داده شد. یکی از دلایل چنین عملکرد پایین این واقعیت است که بسیاری از فارغ التحصیلان ریشه های بدست آمده از معادله را پس از مربع کردن آن انتخاب نکرده اند.

3) به عنوان مثال، حل یکی از وظایف C1 را در نظر بگیرید: "همه مقادیر x را پیدا کنید که برای آنها نقاط نمودار تابع وجود دارد. در بالای نقاط متناظر نمودار تابع ". کار به حل یک نابرابری کسری حاوی یک عبارت لگاریتمی خلاصه می شود. ما روش هایی را برای حل چنین نامساوی هایی می دانیم. رایج ترین آنها روش فاصله است. با این حال، هنگام استفاده از در آن، دلالان اشتباهات مختلفی مرتکب می شوند. بیایید با استفاده از مثال نابرابری، رایج ترین اشتباهات را در نظر بگیریم:

ایکس< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие ایکس < 10.

8. نتیجه گیری

به طور خلاصه می توان گفت که هیچ روش جهانی برای حل معادلات و نابرابری ها وجود ندارد. هر بار، اگر می خواهید بفهمید چه کاری انجام می دهید، و به صورت مکانیکی عمل نکنید، یک معضل پیش می آید: کدام روش تصمیم گیری را انتخاب کنید، به ویژه، به دنبال ODZ باشید یا نه؟ من فکر می کنم که تجربه من به من کمک می کند تا این معضل را حل کنم. به محض اینکه نحوه استفاده صحیح از ODZ را یاد بگیرم از انجام اشتباهات خودداری خواهم کرد. اینکه آیا موفق می شوم، زمان یا بهتر است بگوییم امتحان، نشان خواهد داد.

9. ادبیات

و دیگران "جبر و آغاز تحلیل 10-11" کتاب مسئله و کتاب درسی، م.: "روشنگری"، 1381. "راهنمای ریاضیات ابتدایی." M .: "Nauka"، 1966. روزنامه "ریاضیات" شماره 46، روزنامه "ریاضیات" شماره روزنامه "ریاضیات" شماره "تاریخ ریاضیات در کلاس های VII-VIII مدرسه." M .: "Enlightenment"، 1982. و دیگران. "کامل ترین نسخه گزینه ها برای کارهای واقعی USE: 2009 / FIPI" - M .: "Astrel"، 2009. و دیگران. "USE. ریاضیات. مواد جهانی برای آماده سازی دانش آموزان / FIPI "- M.: "Intellect-Center"، 2009. و دیگران. "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل 10-11". M .: "Prosveshchenie"، 2007. "کارگاه آموزشی حل مسائل ریاضی مدرسه (کارگاه آموزشی جبر)". M .: آموزش و پرورش، 1976. "25000 درس ریاضیات." M .: "Prosveshchenie"، 1993. "آماده شدن برای المپیادها در ریاضیات." م.: "امتحان"، 1385. "دانشنامه برای کودکان "ریاضیات" جلد 11، م.: آوانتا +; 1381. مطالب سایت www. ***** www. *****

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

  • هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

  • اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
  • هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم به شما استفاده کنیم.
  • ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
  • اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

  • در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
  • در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

چگونه؟
نمونه های راه حل

اگر چیزی در جایی گم شده است، پس چیزی در جایی وجود دارد

ما به مطالعه بخش "توابع و گرافیک" ادامه می دهیم و ایستگاه بعدی سفر ما است. بحث فعال در مورد این مفهوم در مقاله مجموعه ها آغاز شد و در درس اول ادامه یافت نمودارهای تابع، جایی که من به توابع ابتدایی و به ویژه دامنه آنها نگاه کردم. بنابراین، من توصیه می کنم که آدمک ها با اصول مبحث شروع کنند، زیرا من دیگر به برخی از نکات اساسی نمی پردازم.

فرض بر این است که خواننده دامنه توابع زیر را می داند: خطی، درجه دوم، تابع مکعبی، چند جمله ای، توان، سینوس، کسینوس. آنها بر روی تعریف شده اند (مجموعه تمام اعداد واقعی). برای مماس ها، آرکسین ها، همینطور باشد، شما را می بخشم =) - نمودارهای نادرتر بلافاصله به خاطر نمی آیند.

به نظر می رسد حوزه تعریف چیز ساده ای است و یک سوال طبیعی مطرح می شود که مقاله درباره چه چیزی خواهد بود؟ در این درس، وظایف رایج برای یافتن دامنه یک تابع را در نظر خواهم گرفت. علاوه بر این، ما تکرار می کنیم نابرابری با یک متغیرمهارت های حلی که در سایر مسائل ریاضیات عالی مورد نیاز خواهد بود. به هر حال، مطالب تماماً مدرسه است، بنابراین نه تنها برای دانش آموزان، بلکه برای دانش آموزان نیز مفید خواهد بود. اطلاعات البته تظاهر به دایره المعارفی بودن ندارند، اما از سوی دیگر، در اینجا نمونه های دور از ذهنی «مرده» وجود ندارد، بلکه شاه بلوط برشته شده است که برگرفته از آثار عملی واقعی است.

بیایید با برش سریع موضوع شروع کنیم. به طور خلاصه در مورد چیز اصلی: ما در مورد تابعی از یک متغیر صحبت می کنیم. حوزه تعریف آن است مجموعه ای از مقادیر "x".، برای کدام وجود داشته باشدمعنی "بازی". یک مثال فرضی را در نظر بگیرید:

دامنه این تابع اتحادیه فواصل است:
(برای کسانی که فراموش کردند: - نماد اتحادیه). به عبارت دیگر، اگر هر مقدار «x» را از بازه، یا از، یا از، بگیریم، برای هر «x» مقدار «y» وجود خواهد داشت.

به طور کلی، جایی که دامنه تعریف است، یک نمودار از تابع وجود دارد. اما نیم فاصله و نقطه "ce" در ناحیه تعریف گنجانده نشده است و هیچ نموداری در آنجا وجود ندارد.

چگونه محدوده یک تابع را پیدا کنیم؟ بسیاری از مردم قافیه کودکان را به یاد می آورند: "سنگ، قیچی، کاغذ"، و در این مورد می توان آن را با خیال راحت ترجمه کرد: "ریشه، کسری و لگاریتم". بنابراین، اگر در مسیر زندگی خود با کسری، ریشه یا لگاریتمی مواجه شدید، باید فوراً بسیار بسیار محتاط باشید! مماس، کوتانژانت، آرکسین، آرکوزین بسیار کمتر رایج هستند و ما همچنین در مورد آنها صحبت خواهیم کرد. اما ابتدا طرح هایی از زندگی مورچه ها:

محدوده تابعی که شامل کسری است

فرض کنید تابعی حاوی کسری داده شده است. همانطور که می دانید، شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید: پس آن ها مقادیر x که مخرج را به صفر تبدیل می کنند در محدوده این تابع قرار نمی گیرند.

من در مورد ساده ترین توابع مانند و غیره، زیرا همه می توانند نکاتی را ببینند که در محدوده تعریف آنها گنجانده نشده است. کسرهای معنی دارتری را در نظر بگیرید:

مثال 1

محدوده یک تابع را پیدا کنید

راه حل: هیچ چیز خاصی در صورت وجود ندارد، اما مخرج باید غیر صفر باشد. بیایید آن را با صفر برابر کنیم و سعی کنیم نقاط "بد" را پیدا کنیم:

معادله حاصل دو ریشه دارد: . داده های ارزشی در محدوده عملکرد گنجانده نشده است. در واقع، تابع یا را جایگزین کنید و خواهید دید که مخرج به صفر می رسد.

پاسخ: دامنه:

مدخل به شرح زیر است: "حوزه تعریف همه اعداد واقعی به استثنای مجموعه ای متشکل از مقادیر است. ". یادآوری می کنم که نماد بک اسلش در ریاضیات نشان دهنده تفریق منطقی است و پرانتزهای فرفری نشان دهنده یک مجموعه است. پاسخ را می توان به طور معادل به صورت اتحاد سه بازه نوشت:

هر کی دوست داره

در نقاط عملکرد دوام می آورد استراحت های بی پایان، و خطوط مستقیم داده شده توسط معادلات هستند مجانب عمودیبرای نمودار این تابع با این حال، این یک موضوع کمی متفاوت است، و من به طور خاص روی این موضوع تمرکز نمی کنم.

مثال 2

محدوده یک تابع را پیدا کنید

این کار اساساً شفاهی است و بسیاری از شما تقریباً بلافاصله منطقه تعریف را پیدا خواهید کرد. در پایان درس پاسخ دهید.

آیا یک کسری همیشه "بد" خواهد بود؟ خیر به عنوان مثال، یک تابع در کل محور اعداد تعریف شده است. هر مقدار از "x" را بگیریم، مخرج به صفر نمی رسد، علاوه بر این، همیشه مثبت خواهد بود:. بنابراین، دامنه این تابع عبارت است از: .

همه توابع مانند تعریف شده و مداومبر .

وضعیت زمانی که مخرج سه جمله ای مربع را اشغال می کند کمی پیچیده تر است:

مثال 3

محدوده یک تابع را پیدا کنید

راه حل: بیایید سعی کنیم نقاطی که مخرج صفر می شود را پیدا کنیم. برای این ما تصمیم خواهیم گرفت معادله درجه دوم:

ممیز منفی شد، به این معنی که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد و تابع ما در کل محور اعداد تعریف شده است.

پاسخ: دامنه:

مثال 4

محدوده یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است. راه حل و پاسخ در پایان درس. من به شما توصیه می کنم با مشکلات ساده تنبلی نکنید، زیرا برای مثال های بعدی سوء تفاهم ها جمع می شود.

دامنه عملکرد با ریشه

تابع ریشه مربع فقط برای آن دسته از مقادیر "x" تعریف می شود که بیان رادیکال غیر منفی است: . اگر ریشه در مخرج قرار گیرد، آنگاه شرط به وضوح سفت می شود: . محاسبات مشابه برای هر ریشه ای از درجه زوج مثبت معتبر است: ، با این حال، ریشه در حال حاضر درجه 4 در است مطالعات عملکردیادم نمیاد

مثال 5

محدوده یک تابع را پیدا کنید

راه حل: بیان رادیکال باید غیر منفی باشد:

قبل از ادامه راه حل، اجازه دهید قوانین اساسی کار با نابرابری ها را که از دوران مدرسه شناخته شده است را به شما یادآوری کنم.

توجه ویژه ای دارم!ما اکنون نابرابری ها را در نظر می گیریم با یک متغیر- یعنی برای ما فقط وجود دارد یک بعدی در امتداد محور. لطفا اشتباه نگیرید نابرابری های دو متغیر، که در آن کل صفحه مختصات از نظر هندسی درگیر است. با این حال، اتفاقات خوشایندی نیز وجود دارد! بنابراین، برای نابرابری، تبدیل های زیر معادل هستند:

1) شرایط را می توان با تغییر (شرایط) آنها از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کرد. نشانه ها

2) هر دو طرف نابرابری را می توان در یک عدد مثبت ضرب کرد.

3) اگر هر دو قسمت نامساوی ضرب شوند منفیشماره، شما باید تغییر دهید نشانه خود نابرابری. به عنوان مثال، اگر "بیشتر" بود، "کمتر" می شود. اگر «کمتر یا مساوی» بود، «بزرگتر یا مساوی» می‌شود.

در نابرابری، "سه" را با تغییر علامت به سمت راست منتقل می کنیم (قانون شماره 1):

دو طرف نابرابری را در -1 ضرب کنید (قانون شماره 3):

دو طرف نابرابری را در (قانون شماره 2) ضرب کنید:

پاسخ: دامنه:

پاسخ را می توان در عبارت معادل نیز نوشت: "عملکرد در تعریف شده است".
از نظر هندسی، دامنه تعریف با سایه زدن فواصل مربوطه در محور x نشان داده می شود. در این مورد:

یک بار دیگر، معنای هندسی دامنه تعریف - نمودار تابع را به یاد می‌آورم فقط در ناحیه سایه دار وجود دارد و در وجود ندارد.

در بیشتر موارد، یک یافته صرفاً تحلیلی از دامنه تعریف مناسب است، اما زمانی که تابع بسیار اشتباه است، باید یک محور ترسیم کنید و یادداشت برداری کنید.

مثال 6

محدوده یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است.

هنگامی که یک دو جمله ای یا سه جمله ای مربعی در زیر جذر وجود دارد، وضعیت کمی پیچیده تر می شود و اکنون تکنیک حل را به طور مفصل تجزیه و تحلیل می کنیم:

مثال 7

محدوده یک تابع را پیدا کنید

راه حل: عبارت رادیکال باید کاملاً مثبت باشد، یعنی باید نابرابری را حل کنیم. در مرحله اول سعی می کنیم مثلث مربع را فاکتورسازی کنیم:

تمایز مثبت است، ما به دنبال ریشه ها هستیم:

پس سهمی محور x را در دو نقطه قطع می کند، به این معنی که بخشی از سهمی در زیر محور (نابرابری) و بخشی از سهمی بالای محور قرار دارد (نابرابری که ما نیاز داریم).

از آنجایی که ضریب، شاخه های سهمی به بالا نگاه می کنند. از مطالب فوق چنین استنباط می شود که در فواصل نابرابری برآورده می شود (شاخه های سهمی تا بی نهایت بالا می روند) و راس سهمی در فاصله زیر محور آبسیسا قرار دارد که با نابرابری مطابقت دارد:

! توجه داشته باشید: اگر توضیحات را کامل متوجه نشدید لطفا محور دوم و کل سهمی را رسم کنید! بهتر است به مقاله و دفترچه راهنما بازگردید فرمول های ریاضی مدرسه داغ.

لطفاً توجه داشته باشید که نقاط خود سوراخ شده اند (در راه حل گنجانده نشده است)، زیرا نابرابری ما شدید است.

پاسخ: دامنه:

به طور کلی، بسیاری از نابرابری ها (از جمله نابرابری در نظر گرفته شده) توسط جهانی حل می شوند روش فاصله، دوباره از برنامه درسی مدرسه شناخته شده است. اما در موارد مربع دو و سه ترم به نظر من تحلیل موقعیت سهمی نسبت به محور بسیار راحت تر و سریعتر است. و روش اصلی - روش فواصل، ما به طور مفصل در مقاله تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. تابع تهی می شود. فواصل ثابت.

مثال 8

محدوده یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است. نمونه به تفصیل در مورد منطق استدلال + راه دوم حل و تغییر مهم دیگر نابرابری اظهار نظر کرد، بدون اینکه بداند دانش آموز روی یک پا لنگ خواهد زد ...، ... هوم ... به هزینه پا، شاید او هیجان زده شد، بلکه - روی یک انگشت. شست.

آیا می توان یک تابع با جذر را روی کل خط اعداد تعریف کرد؟ قطعا. همه چهره های آشنا: . یا جمع مشابه با توان: . در واقع، برای هر مقدار از "x" و "ka": بنابراین، حتی بیشتر.

در اینجا یک مثال کمتر واضح آورده شده است: . در اینجا متمایز منفی است (پارابولا از محور x عبور نمی کند)، در حالی که شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند، از این رو دامنه تعریف: .

سوال برعکس است: آیا محدوده یک تابع می تواند باشد خالی? بله، و یک مثال ابتدایی بلافاصله خود را نشان می دهد ، که در آن عبارت رادیکال برای هر مقدار "x" منفی است و دامنه تعریف عبارت است از: (یک نماد مجموعه خالی). چنین تابعی اصلاً تعریف نشده است (البته نمودار هم توهمی است).

با ریشه های عجیب و غریب و غیره. همه چیز خیلی بهتر است - اینجا بیان ریشه نیز می تواند منفی باشد. به عنوان مثال، یک تابع در کل خط اعداد تعریف شده است. با این حال، تابع دارای یک نقطه واحد است که هنوز در دامنه تعریف گنجانده نشده است، زیرا مخرج آن به صفر تبدیل شده است. به همین دلیل برای عملکرد امتیاز حذف شده است.

دامنه تابع با لگاریتم

سومین تابع رایج لگاریتم است. به عنوان مثال، من یک لگاریتم طبیعی را ترسیم می کنم که در حدود 99 مثال از 100 نمونه وجود دارد. اگر تابع خاصی حاوی لگاریتم باشد، دامنه تعریف آن باید فقط شامل مقادیر x باشد که نابرابری را برآورده می کند. . اگر لگاریتم در مخرج باشد: پس علاوه بر اینشرط تحمیل می شود (زیرا ).

مثال 9

محدوده یک تابع را پیدا کنید

راه حل: مطابق با موارد فوق، سیستم را تنظیم و حل می کنیم:

راه حل گرافیکی برای آدمک ها:

پاسخ: دامنه:

من روی یک نکته فنی دیگر صحبت خواهم کرد - از این گذشته ، من مقیاس و هیچ تقسیم بندی در امتداد محور ندارم. این سوال مطرح می شود: چگونه می توان چنین نقاشی هایی را در یک دفترچه روی کاغذ شطرنجی انجام داد؟ آیا می توان فاصله بین نقاط در سلول ها را دقیقاً بر اساس مقیاس اندازه گیری کرد؟ البته مقیاس بندی آن متعارف تر و سخت گیرانه تر است، اما ترسیم شماتیکی که اساساً وضعیت را منعکس می کند نیز کاملاً قابل قبول است.

مثال 10

محدوده یک تابع را پیدا کنید

برای حل مشکل، می توانید از روش پاراگراف قبلی - برای تجزیه و تحلیل نحوه قرارگیری سهمی نسبت به محور x استفاده کنید. در پایان درس پاسخ دهید.

همانطور که می بینید، در قلمرو لگاریتم، همه چیز بسیار شبیه وضعیت یک جذر است: تابع (مثلثی مربع از مثال شماره 7) بر روی بازه ها و تابع تعریف می شود (دوجمله ای مربع از مثال شماره 6) در بازه . حتی شرم آور است که بگوییم توابع نوع در کل خط اعداد تعریف شده اند.

اطلاعات مفید : تابع type جالب است، در کل خط اعداد به جز نقطه تعریف شده است. با توجه به ویژگی لگاریتم، "دو" را می توان با یک عامل خارج از لگاریتم خارج کرد، اما برای اینکه تابع تغییر نکند، "x" باید در زیر علامت ماژول محصور شود: . در اینجا شما یک "کاربرد عملی" دیگر از ماژول =). این همان کاری است که در بیشتر موارد هنگام تخریب باید انجام دهید زوجمدرک، به عنوان مثال: . اگر مثلاً پایه مدرک مشخصاً مثبت باشد، دیگر نیازی به علامت ماژول نیست و کافی است با پرانتز کنار بیایید: .

برای اینکه خودمان را تکرار نکنیم، بیایید کار را پیچیده کنیم:

مثال 11

محدوده یک تابع را پیدا کنید

راه حل: در این تابع هم ریشه داریم و هم لگاریتم.

عبارت ریشه باید غیر منفی باشد: و عبارت زیر علامت لگاریتم باید کاملاً مثبت باشد: . بنابراین، حل سیستم ضروری است:

بسیاری از شما به خوبی می دانید یا به طور شهودی حدس می زنید که راه حل سیستم باید راضی کننده باشد به هروضعیت.

با بررسی موقعیت سهمی نسبت به محور، به این نتیجه می رسیم که بازه نابرابری را برآورده می کند (سایه آبی):

بدیهی است که نابرابری مربوط به نیمه بازه "قرمز" است.

از آنجایی که هر دو شرط باید رعایت شود همزمان، سپس راه حل سیستم تقاطع این فواصل است. "منافع مشترک" در نیم فاصله رعایت می شود.

پاسخ: دامنه:

نابرابری معمولی، همانطور که در مثال شماره 8 نشان داده شده است، حل تحلیلی دشوار نیست.

دامنه تعریف یافت شده برای "توابع مشابه"، به عنوان مثال، برای تغییر نخواهد کرد یا . همچنین می توانید برخی از توابع پیوسته را اضافه کنید، به عنوان مثال: یا مانند این: ، یا حتی مانند این: . همانطور که می گویند ریشه و لگاریتم چیزهای سرسختی هستند. تنها نکته این است که اگر یکی از توابع به مخرج "بازنشانی" شود، دامنه تعریف تغییر می کند (اگرچه در حالت کلی این همیشه درست نیست). خوب، در نظریه متان در مورد این لفظ ... اوه ... قضایایی وجود دارد.

مثال 12

محدوده یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است. استفاده از یک طرح کاملاً مناسب است، زیرا این تابع ساده ترین نیست.

چند مثال دیگر برای تقویت مطالب:

مثال 13

محدوده یک تابع را پیدا کنید

راه حل: نوشتن و حل سیستم:

همه اقدامات قبلاً در طول مقاله مرتب شده اند. فاصله مربوط به نامساوی را روی یک خط عددی رسم کنید و طبق شرط دوم دو نقطه را حذف کنید:

معلوم شد که ارزش کاملاً بی ربط است.

پاسخ: دامنه

جناس کوچک ریاضی در مورد نمونه سیزدهم:

مثال 14

محدوده یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است. چه کسی از دست داده، او در حال پرواز است ;-)

بخش پایانی درس به عملکردهای کمیاب تر، اما همچنین "کار" اختصاص دارد:

محدوده عملکرد
با مماس، کوتانژانت، آرکسین، آرکوزین

اگر تابعی شامل , از دامنه تعریف آن است مستثنی شده استنکته ها ، جایی که زمجموعه اعداد صحیح است. به طور خاص، همانطور که در مقاله ذکر شد نمودارها و خواص توابع ابتدایی، تابع دارای مقادیر زیر است:

یعنی دامنه تعریف مماس: .

ما زیاد نمی کشیم:

مثال 15

محدوده یک تابع را پیدا کنید

راه حل: در این صورت موارد زیر در محدوده تعریف لحاظ نخواهد شد:

بیایید "دو" سمت چپ را در مخرج سمت راست بیاندازیم:

در نتیجه :

پاسخ: دامنه: .

در اصل، پاسخ را می توان به عنوان اتحادی از تعداد نامتناهی فواصل نیز نوشت، اما ساخت و ساز بسیار دست و پا گیر می شود:

راه حل تحلیلی با آن مطابقت کامل دارد گرافیک تحول هندسی: اگر آرگومان تابع در 2 ضرب شود، نمودار آن دو بار به محور کوچک می شود. توجه کنید که چگونه دوره تابع نصف شده است، و نقاط شکستدو برابر افزایش یافت. تاکی کاردی.

داستان مشابه با کوتانژانت. اگر برخی از تابع ها شامل , آنگاه نقاط از دامنه تعریف آن حذف می شوند. به طور خاص، برای عملکرد، مقادیر زیر را با انفجار خودکار شلیک می کنیم:

به عبارت دیگر:

هر عبارتی که دارای یک متغیر باشد، در جایی که وجود دارد، محدوده ای از مقادیر معتبر خود را دارد. DHS باید همیشه در تصمیم گیری در نظر گرفته شود. اگر نه، ممکن است نتیجه نادرستی دریافت کنید.

این مقاله نحوه یافتن صحیح ODZ را نشان می دهد، از آن با مثال استفاده کنید. همچنین اهمیت تعیین ODZ را در تصمیم گیری در نظر خواهد گرفت.

Yandex.RTB R-A-339285-1

مقادیر متغیر معتبر و نامعتبر

این تعریف مربوط به مقادیر مجاز متغیر است. هنگام معرفی یک تعریف، ببینیم به چه نتیجه ای می رسد.

از کلاس 7 شروع به کار با اعداد و عبارات عددی می کنیم. تعاریف اولیه با متغیرها به مقدار عبارات با متغیرهای انتخاب شده می روند.

وقتی عباراتی با متغیرهای انتخاب شده وجود دارد، ممکن است برخی از آنها راضی نباشند. به عنوان مثال، عبارتی مانند 1: a، اگر a \u003d 0 باشد، معنی ندارد، زیرا تقسیم بر صفر غیرممکن است. یعنی عبارت باید دارای مقادیری باشد که در هر صورت مناسب باشد و جواب بدهد. به عبارت دیگر، آنها با متغیرهای موجود معنا پیدا می کنند.

تعریف 1

اگر عبارتی با متغیرها وجود داشته باشد، تنها در صورتی منطقی است که وقتی آنها جایگزین شوند، بتوان مقدار را محاسبه کرد.

تعریف 2

اگر عبارتی با متغیرها وجود داشته باشد، زمانی که با جایگزینی آنها، نمی توان مقدار را محاسبه کرد، معنی ندارد.

یعنی از این تعریف کامل به دست می آید

تعریف 3

متغیرهای معتبر موجود مقادیری هستند که عبارت برای آنها منطقی است. و اگر منطقی نباشد، باطل محسوب می شوند.

برای روشن شدن مطلب فوق: اگر بیش از یک متغیر وجود داشته باشد، ممکن است یک جفت مقدار مناسب وجود داشته باشد.

مثال 1

به عنوان مثال، عبارتی مانند 1 x - y + z را در نظر بگیرید که در آن سه متغیر وجود دارد. در غیر این صورت، می توانید آن را به صورت x = 0، y = 1، z = 2 بنویسید، در حالی که نماد دیگر (0، 1، 2) است. این مقادیر معتبر نامیده می شوند، به این معنی که می توانید مقدار عبارت را پیدا کنید. دریافت می کنیم که 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 . از اینجا می بینیم که (1، 1، 2) نامعتبر است. این جایگزینی باعث تقسیم بر صفر می شود، یعنی 1 1 - 2 + 1 = 1 0 .

ODZ چیست؟

محدوده مقادیر معتبر یک عنصر مهم در ارزیابی عبارات جبری است. بنابراین، توجه به این نکته در هنگام محاسبه ارزش دارد.

تعریف 4

منطقه ODZمجموعه ای از مقادیر مجاز برای عبارت داده شده است.

بیایید مثالی از یک عبارت بزنیم.

مثال 2

اگر عبارتی از شکل 5 z - 3 داشته باشیم، ODZ شکل (-∞، 3)∪ (3، + ∞) را دارد. این محدوده ای از مقادیر معتبر است که متغیر z را برای عبارت داده شده برآورده می کند.

اگر عباراتی از شکل z x - y وجود داشته باشد، واضح است که x ≠ y، z هر مقداری را می گیرد. این همان چیزی است که اصطلاح ODZ نامیده می شود. باید در نظر گرفته شود تا هنگام تعویض تقسیم بر صفر نشود.

دامنه مقادیر معتبر و دامنه تعریف به یک معنا هستند. فقط دومی از آنها برای عبارات استفاده می شود و مورد اول برای معادلات یا نامساوی استفاده می شود. با کمک DPV، بیان یا نابرابری معنا پیدا می کند. دامنه تعریف تابع با دامنه مقادیر مجاز متغیر x به عبارت f (x) منطبق است.

چگونه ODZ را پیدا کنیم؟ مثال ها، راه حل ها

برای پیدا کردن DPV به معنای یافتن تمام مقادیر معتبری است که با یک تابع یا نابرابری مشخص مطابقت دارند. اگر این شرایط رعایت نشود، می توان نتیجه نادرستی به دست آورد. برای یافتن ODZ، اغلب لازم است که در یک عبارت داده شده از طریق تبدیل ها عبور کنیم.

عباراتی وجود دارد که نمی توان آنها را ارزیابی کرد:

  • اگر تقسیم بر صفر وجود داشته باشد؛
  • استخراج ریشه یک عدد منفی؛
  • وجود یک نشانگر عدد صحیح منفی - فقط برای اعداد مثبت؛
  • محاسبه لگاریتم یک عدد منفی؛
  • دامنه تعریف مماس π 2 + π · k , k ∈ Z و کتانژانت π · k , k ∈ Z .
  • یافتن مقدار آرکسین و آرکوزین عددی با مقداری که به [-1 تعلق ندارد. 1 ] .

همه اینها حاکی از اهمیت داشتن DHS است.

مثال 3

عبارت ODZ x 3 + 2 x y − 4 را پیدا کنید .

راه حل

هر عددی را می توان مکعب کرد. این عبارت کسری ندارد، بنابراین x و y می توانند هر چیزی باشند. یعنی ODZ هر عددی است.

پاسخ: x و y هر مقداری هستند.

مثال 4

عبارت ODZ 1 3 - x + 1 0 را پیدا کنید.

راه حل

می توان دید که یک کسری وجود دارد که مخرج آن صفر است. این بدان معناست که برای هر مقدار x، تقسیم بر صفر خواهیم داشت. یعنی می توان نتیجه گرفت که این عبارت نامعین در نظر گرفته می شود، یعنی ODZ ندارد.

پاسخ: ∅ .

مثال 5

ODZ عبارت داده شده x + 2 · y + 3 - 5 · x را بیابید.

راه حل

وجود یک جذر نشان می دهد که این عبارت باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد. اگر منفی باشد معنایی ندارد. بنابراین، لازم است که یک نامعادله به شکل x + 2 · y + 3 ≥ 0 بنویسیم. یعنی این محدوده مورد نظر از مقادیر قابل قبول است.

پاسخ:مجموعه ای از x و y، که در آن x + 2 y + 3 ≥ 0.

مثال 6

بیان ODZ شکل 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) را تعیین کنید.

راه حل

با شرط، کسری داریم، پس مخرج آن نباید برابر با صفر باشد. دریافت می کنیم که x + 1 - 1 ≠ 0 . عبارت رادیکال همیشه زمانی معنا دارد که بزرگتر یا مساوی صفر باشد، یعنی x + 1 ≥ 0 . از آنجایی که لگاریتم دارد، بیان آن باید کاملاً مثبت باشد، یعنی x 2 + 3 > 0. پایه لگاریتم نیز باید مثبت و متفاوت از 1 باشد، سپس شرایط x + 8 > 0 و x + 8 ≠ 1 را اضافه می کنیم. از این نتیجه می شود که ODZ مورد نظر به شکل زیر در می آید:

x + 1 - 1 ≠ 0، x + 1 ≥ 0، x 2 + 3 > 0، x + 8 > 0، x + 8 ≠ 1

به عبارت دیگر، سیستم نابرابری با یک متغیر نامیده می شود. راه حل منجر به چنین رکوردی از ODZ [- 1, 0) ∪ (0، + ∞) خواهد شد.

پاسخ: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

چرا هنگام ایجاد تغییرات مهم است که LHS را در نظر بگیریم؟

برای تبدیل های یکسان، پیدا کردن ODZ مهم است. مواردی وجود دارد که وجود ODZ صورت نمی گیرد. برای درک اینکه آیا راه حل یک عبارت داده شده دارد یا خیر، باید ODZ متغیرهای عبارت اصلی و ODZ عبارت دریافتی را با هم مقایسه کنید.

تحولات هویتی:

  • ممکن است ODZ را تحت تاثیر قرار ندهد.
  • ممکن است منجر به گسترش یا اضافه شدن به DHS شود.
  • می تواند ODZ را محدود کند.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 7

اگر عبارتی به شکل x 2 + x + 3 · x داشته باشیم، ODZ آن در کل دامنه تعریف تعریف می شود. حتی با کاهش اصطلاحات مشابه و ساده شدن عبارت، ODZ تغییر نمی کند.

مثال 8

اگر عبارت x + 3 x − 3 x را مثال بزنیم، آنگاه همه چیز متفاوت است. ما یک عبارت کسری داریم. و می دانیم که تقسیم بر صفر مجاز نیست. سپس ODZ شکل (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) را دارد. مشاهده می شود که صفر راه حل نیست، بنابراین آن را با پرانتز اضافه می کنیم.

مثالی را با وجود یک عبارت رادیکال در نظر بگیرید.

مثال 9

اگر x - 1 · x - 3 وجود دارد، باید به ODZ توجه کنید، زیرا باید به صورت نابرابری (x - 1) · (x - 3) ≥ 0 نوشته شود. می توان با روش بازه حل کرد، سپس دریافتیم که ODZ به شکل (-∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) خواهد بود. پس از تبدیل x - 1 · x - 3 و اعمال ویژگی‌های ریشه‌ها، می‌توانیم ODZ را به صورت سیستمی از نابرابری‌ها به شکل x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 تکمیل و یادداشت کنیم. هنگام حل آن، به دست می آوریم که [ 3، + ∞) . بنابراین، ODZ به طور کامل به صورت زیر نوشته می شود: (- ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

از تغییراتی که DHS را محدود می کند باید اجتناب شود.

مثال 10

مثالی از عبارت x - 1 · x - 3 را در صورت x = - 1 در نظر بگیرید. هنگام تعویض، دریافت می کنیم که - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . اگر این عبارت تبدیل شود و به شکل x - 1 x - 3 آورده شود، پس هنگام محاسبه به این نتیجه می رسیم که 2 - 1 2 - 3 این عبارت معنی ندارد، زیرا عبارت رادیکال نباید منفی باشد.

تغییرات یکسان باید دنبال شود، که DHS را تغییر نخواهد داد.

اگر نمونه هایی وجود دارد که آن را گسترش می دهد، باید به DPV اضافه شود.

مثال 11

مثال کسری از شکل x x 3 + x را در نظر بگیرید. اگر x را کاهش دهیم، آن 1 x 2 + 1 را بدست می آوریم. سپس ODZ منبسط می شود و (-∞ 0) ∪ (0 , + ∞) می شود. علاوه بر این، هنگام محاسبه، ما در حال حاضر با دومین کسر ساده شده کار می کنیم.

در حضور لگاریتم، وضعیت کمی متفاوت است.

مثال 12

اگر عبارتی به شکل ln x + ln (x + 3) وجود داشته باشد، بر اساس ویژگی لگاریتم با ln (x (x (x + 3)) جایگزین می شود. این نشان می دهد که ODZ از (0، + ∞) به (-∞، - 3) ∪ (0، + ∞) . بنابراین، برای تعیین ODZ ln (x (x + 3)) باید محاسباتی را روی مجموعه‌های ODZ انجام داد، یعنی (0 , + ∞).

هنگام حل، همیشه باید به ساختار و شکل بیانی که شرط می دهد توجه کرد. اگر دامنه تعریف به درستی پیدا شود، نتیجه مثبت خواهد بود.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

 

شاید خواندن آن مفید باشد: