कोप्राइम नंबर - परिभाषा, उदाहरण और गुण।
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स्पष्टीकरण की प्रगति
स्लाइड 1. सबसे बड़ा सामान्य विभाजक।
मौखिक कार्य।
1. गणना करें:
ए) 0,7
* 10
: 2
- 0,3
: 0,4
_________
?बी) 5
: 10
* 0,2
+ 2
: 0,7
_______
?
उत्तर: ए) 8; ख) 3.
2. कथन का खंडन करें: संख्या "2" सभी संख्याओं का सामान्य विभाजक है।
जाहिर है, विषम संख्याएं 2 से विभाज्य नहीं हैं।
3. 2 की गुणज संख्याएँ क्या कहलाती हैं?
4. उस संख्या का नाम बताओ जो किसी भी संख्या का भाजक हो।
लेखन में।
1. संख्या 2376 को प्रमुख कारकों में विभाजित करें।
2. 18 और 60 के सभी उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।
18 और 60 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक क्या है?
यह सूत्रण करने का प्रयास करें कि किस संख्या को दो प्राकृत संख्याओं का महत्तम समापवर्तक कहा जाता है
नियम। वह बड़ी से बड़ी प्राकृत संख्या जिसे बिना शेषफल के विभाजित किया जा सके, महत्तम समापवर्तक कहलाती है।
वे लिखते हैं: GCD (18; 60) = 6।
कृपया मुझे बताएं, क्या GCD को खोजने का सुविचारित तरीका सुविधाजनक है?
संख्या बहुत बड़ी हो सकती है और उनके लिए सभी विभाजकों को सूचीबद्ध करना कठिन हो सकता है।
आइए GCD खोजने का दूसरा तरीका खोजने का प्रयास करें।
आइए संख्या 18 और 60 को प्रमुख कारकों में विघटित करें:
18 = 
संख्या 18 के भाजक के उदाहरण दीजिए।
नंबर: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
संख्या 60 के भाजक के उदाहरण दीजिए।
नंबर: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; तीस; 60.
उदाहरण दो सामान्य भाजकसंख्या 18 और 60।
नंबर: 1; 2; 3; 6.
आप 18 और 60 का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक कैसे खोज सकते हैं?
कलन विधि।
1. इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों में विघटित कीजिए।
2. संख्याओं के गुणकों की तुलना करें और भिन्नों को काट दें।
3. शेष कारकों के उत्पाद की गणना करें।
स्लाइड 4. परस्पर प्रमुख संख्या.
व्यायाम। संख्या 24 और 35 का GCD ज्ञात कीजिए।
नियम। प्राकृतिक संख्याओं को कोप्राइम कहा जाता है यदि उनका सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 1 है।
यह दिलचस्प है!
- संख्या 18 के विभाजक: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
- 60 के विभाजक: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; तीस; 60.
- जीसीडी (18;60) = 6।
- 6 के विभाजक: 1; 2; 3; 6.
- ध्यान दें कि संख्या 1; 2; 3; 6 18 और 60 के सामान्य विभाजक हैं।
- उदाहरण के लिए, GCD (108; 196) = 4. इसलिए, हम तुरंत कह सकते हैं कि संख्या 108 और 196 के सामान्य विभाजक संख्या 4 के विभाजक हैं, अर्थात 1; 2; 4.
जीसीडी संख्या (ए; बी) का प्रत्येक विभाजक संख्या ए और बी का एक सामान्य विभाजक है, और, इसके विपरीत, उनका प्रत्येक सामान्य विभाजक जीसीडी संख्या (ए; बी) का भाजक है।
इस लेख की जानकारी विषय को शामिल करती है " अपेक्षाकृत प्रमुख संख्याएँ"। सबसे पहले, दो सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा दी गई है, साथ ही साथ तीन या अधिक सहभाज्य संख्याओं की परिभाषा दी गई है। इसके बाद सहअभाज्य संख्याओं के उदाहरण दिए गए हैं और कैसे सिद्ध किया जाए कि दी गई संख्याएँ सहअभाज्य हैं। इसके अलावा, सहअभाज्य संख्याओं के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध और सिद्ध किया गया है। अंत में, जोड़ीदार अभाज्य संख्याओं का उल्लेख किया गया है, क्योंकि वे सहअभाज्य संख्याओं से निकटता से संबंधित हैं।
पेज नेविगेशन।
अक्सर ऐसे कार्य होते हैं जिनमें यह साबित करना आवश्यक होता है कि दिए गए पूर्णांक कोप्राइम हैं। सबूत दी गई संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना करने और इसकी समानता के लिए gcd की जाँच करने के लिए उबलता है। GCD की गणना करने से पहले अभाज्य संख्याओं की तालिका को देखना भी उपयोगी है: अचानक मूल पूर्णांक अभाज्य हैं, और हम जानते हैं कि अभाज्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक के बराबर है। आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें।
उदाहरण।
सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ 84 और 275 सहअभाज्य हैं।
समाधान।
जाहिर है, ये संख्याएं अभाज्य नहीं हैं, इसलिए हम तुरंत संख्या 84 और 275 की पारस्परिक सादगी के बारे में बात नहीं कर सकते हैं, और हमें जीसीडी की गणना करनी होगी। जीसीडी खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करें: 275=84 3+23 , 84=23 3+15 , 23=15 1+8 , 15=8 1+7 , 8=7 1+1 , 7=7 1 , इसलिए gcd (84, 275)=1 । इससे सिद्ध होता है कि संख्याएँ 84 और 275 सहअभाज्य हैं।
सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा को तीन या अधिक संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है।
परिभाषा।
पूर्णांक a 1 , a 2 , …, a k , k>2 कहलाते हैं सह अभाज्ययदि इन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक एक के बराबर है।
उपरोक्त परिभाषा से यह पता चलता है कि यदि पूर्णांकों के एक निश्चित सेट में एक के अलावा एक सकारात्मक सामान्य विभाजक है, तो ये पूर्णांक कोप्राइम नहीं हैं।
आइए उदाहरण देते हैं। तीन पूर्णांक -99, 17 और -27 कोप्राइम हैं। अभाज्य संख्याओं का कोई भी संग्रह अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं का एक समूह बनाता है, उदाहरण के लिए, 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 और 677 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं। और चार संख्याएँ 12 , −9 , 900 और −72 अपेक्षाकृत अभाज्य नहीं हैं क्योंकि उनके पास एक धनात्मक उभयनिष्ठ भाजक 3 है, जो 1 से भिन्न है। संख्या 17, 85 और 187 भी सहअभाज्य नहीं हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक 17 से विभाज्य है।
यह आम तौर पर स्पष्ट नहीं है कि कुछ संख्याएं कोप्राइम हैं, और इस तथ्य को साबित करना होगा। यह पता लगाने के लिए कि क्या ये संख्याएँ सहअभाज्य हैं, आपको इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजना होगा, और सहभाज्य संख्याओं की परिभाषा के आधार पर एक निष्कर्ष निकालना होगा।
उदाहरण।
क्या संख्याएँ 331, 463 और 733 अपेक्षाकृत प्रमुख हैं?
समाधान।
अभाज्य संख्या तालिका को देखने पर, हम पाते हैं कि प्रत्येक संख्या 331, 463 और 733 अभाज्य है। इसलिए, उनके पास एक सकारात्मक सामान्य विभाजक है, एक। इस प्रकार, तीन संख्याएँ 331, 463 और 733 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं।
उत्तर:
हाँ।
उदाहरण।
सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ −14 , 105 , −2 107 और −91 सहअभाज्य नहीं हैं।
समाधान।
यह साबित करने के लिए कि ये संख्याएँ सहअभाज्य नहीं हैं, आप उनकी gcd ज्ञात कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह एक के बराबर नहीं है। तो ये करते है।
चूँकि ऋणात्मक पूर्णांकों के विभाजक वही होते हैं जो संगत पूर्णांकों के भाजक होते हैं, तब जीसीडी(−14, 105, 2107, −91)=जीसीडी (14, 105, 2 107, 91)। लेख की सामग्री की ओर मुड़ते हुए, तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक ढूंढते हुए, हम पाते हैं कि GCD(14, 105, 2 107, 91) = 7। इसलिए, मूल संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक सात है, इसलिए ये संख्याएँ सहभाज्य नहीं हैं।
कोप्राइम संख्याओं के गुण
कोप्राइम संख्या में कई गुण होते हैं। मुख्य पर विचार करें कोप्राइम गुण.
पूर्णांकों a और b को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित करके प्राप्त संख्याएँ कोप्राइम हैं, अर्थात a:gcd(a, b) और b:gcd(a, b) कोप्राइम हैं।
जब हमने GCD के गुणों का विश्लेषण किया तो हमने इस गुण को सिद्ध किया।
कोप्राइम संख्याओं की मानी गई संपत्ति कोप्राइम संख्याओं के जोड़े खोजने की अनुमति देती है। ऐसा करने के लिए, किसी भी दो पूर्णांकों को लेना और उन्हें सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा विभाजित करना पर्याप्त है, परिणामी संख्याएँ कोप्राइम होंगी।
पूर्णांक a और b को अभाज्य होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि ऐसे पूर्णांक u 0 और v 0 मौजूद हैं कि a·u 0 +b·v 0 =1 ।
आइए पहले आवश्यकता को सिद्ध करें।
माना संख्याएँ a और b सहअभाज्य हैं। फिर सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा के अनुसार gcd(a, b)=1 । और gcd के गुणों से, हम जानते हैं कि पूर्णांक a और b के लिए Bezout संबंध a u 0 +b v 0 =gcd(a, b) सत्य है। इसलिए, a·u 0 +b·v 0 =1 ।
यह पर्याप्तता साबित करने के लिए बनी हुई है।
मान लें कि समानता a·u 0 +b·v 0 =1 सत्य है। चूँकि gcd(a, b) a और b दोनों को विभाजित करता है, तो gcd(a, b) को विभाज्यता गुणों के कारण a u 0 + b v 0 के योग को विभाजित करना चाहिए, और इसलिए इकाई। और यह तभी संभव है जब gcd(a, b)=1 । इसलिए, a और b सहअभाज्य संख्याएँ हैं।
सहअभाज्य संख्याओं का अगला गुण यह है: यदि संख्याएँ a और b सहअभाज्य हैं, और गुणनफल a c, b से विभाज्य है, तो c, b से विभाज्य है।
दरअसल, चूँकि a और b सहअभाज्य हैं, पिछली संपत्ति से हमारे पास a u 0 +b v 0 =1 समानता है। इस समानता के दोनों पक्षों को c से गुणा करने पर, हमें a·c·u 0 +b·c·v 0 =c मिलता है। राशि a c u 0 + b c v 0 का पहला पद b से विभाज्य है, चूँकि a c शर्त के अनुसार b से विभाज्य है, इस राशि का दूसरा पद भी b से विभाज्य है, क्योंकि कारकों में से एक b के बराबर है, इसलिए, पूरी राशि b से विभाज्य है। और चूँकि a·c·u 0 +b·c·v 0 का योग c के बराबर है, तो c भी b से विभाज्य है।
यदि संख्याएँ a और b अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, तो gcd(ac, b)=gcd(c, b) ।
सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि gcd(ac, b) gcd(c, b) को विभाजित करता है, और दूसरी बात, कि gcd(c, b) gcd(ac, b) को विभाजित करता है, यह समानता gcd(ac, b) को सिद्ध करेगा = जीसीडी (सी, बी)।
GCD(ac, b) a c और b दोनों को विभाजित करता है, और चूँकि gcd(ac, b) b को विभाजित करता है, यह b c को भी विभाजित करता है। अर्थात, gcd(ac, b) a c और b c दोनों को विभाजित करता है, इसलिए, महानतम उभयनिष्ठ भाजक के गुणों के कारण, यह gcd(ac, b c) को भी विभाजित करता है, जो gcd के गुणों के अनुसार, c c gcd(a) है , बी) = सी। इस प्रकार gcd(ac, b) b और c दोनों को विभाजित करता है, इसलिए gcd(c, b) भी विभाजित करता है।
दूसरी ओर, gcd(c, b) c और b दोनों को विभाजित करता है, और चूँकि यह c को विभाजित करता है, यह a c को भी विभाजित करता है। तो gcd(c, b) a c और b दोनों को विभाजित करता है, इसलिए gcd(ac, b) भी विभाजित करता है।
तो हमने दिखाया है कि gcd(ac, b) और gcd(c, b) परस्पर एक दूसरे को विभाजित करते हैं, जिसका अर्थ है कि वे समान हैं।
यदि प्रत्येक संख्या a 1 , a 2 , …, a k प्रत्येक संख्या b 1 , b 2 , …, b m (जहाँ k और m कुछ पूर्णांकों), तो गुणनफल a 1 a 2 ... a k और b 1 b 2 ... b m सहअभाज्य संख्याएँ हैं, विशेष रूप से, यदि a 1 =a 2 =...=a k =a और b 1 =b 2 = …=b m =b , तो a k और b m सहअभाज्य संख्याएँ हैं।
सहअभाज्य संख्याओं की पिछली संपत्ति हमें फॉर्म की समानता की एक श्रृंखला लिखने की अनुमति देती है GCD(a 1 a 2 ... a k , b m)= GCD(a 2 ... a k , b m)=…= GCD(a k , b m)=1, जहां अंतिम संक्रमण संभव है, क्योंकि a k और b m पूर्वधारणा के अनुसार सहअभाज्य संख्याएँ हैं। इसलिए, GCD(a 1 a 2 ... a k , b m)=1.
अब, a 1 ·a 2 ·...·a k =A को दर्शाते हुए, हमारे पास है
GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)= जीसीडी(बी 1 बी 2 ... बी एम , ए)=
=gcd(b 2 ... b m , A)=... =gcd(b m , A)=1
(अंतिम संक्रमण पिछले पैराग्राफ से अंतिम समानता के आधार पर मान्य है)। इसलिए हमें समानता मिली GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)=1, जो यह सिद्ध करता है कि गुणनफल a 1 ·a 2 ·...·a k और b 1 ·b 2 ·...·b m सहअभाज्य संख्याएँ हैं।
यह कोप्राइम संख्याओं के मुख्य गुणों की समीक्षा को समाप्त करता है।
जोड़ीदार अभाज्य संख्याएँ - परिभाषाएँ और उदाहरण
कोप्राइम संख्या के संदर्भ में दिया गया है जोड़ीदार प्राइम्स की परिभाषा.
परिभाषा।
पूर्णांक a 1 , a 2 , ..., a k , जिनमें से प्रत्येक अन्य सभी के साथ सहअभाज्य है, कहलाते हैं जोड़ीदार अभाज्य संख्याएँ.
आइए हम जोड़ीदार अभाज्य संख्याओं का उदाहरण दें। संख्या 14, 9, 17, और -25 जोड़ीदार प्रधान हैं, क्योंकि संख्या 14 और 9, 14 और 17, 14 और -25, 9 और 17, 9 और -25, 17 और -25 की जोड़ी कोप्राइम संख्याएं हैं। यहाँ हम ध्यान दें कि जोड़ीदार अभाज्य संख्याएँ हमेशा सहअभाज्य होती हैं।
दूसरी ओर, अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हमेशा जोड़ीदार अभाज्य नहीं होती हैं, इसकी पुष्टि निम्नलिखित उदाहरण से होती है। संख्या 8 , 16 , 5 और 15 जोड़ीदार अभाज्य नहीं हैं, क्योंकि संख्या 8 और 16 सहअभाज्य नहीं हैं। हालाँकि, संख्याएँ 8, 16, 5 और 15 कोप्राइम हैं। तो 8, 16, 5 और 15 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं, लेकिन जोड़ीदार अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।
एक निश्चित संख्या में अभाज्य संख्याओं के समुच्चय पर जोर देना आवश्यक है। ये संख्याएँ हमेशा सहअभाज्य और जोड़ीदार अभाज्य दोनों होती हैं। उदाहरण के लिए, 71 , 443 , 857 , 991 दोनों जोड़ीदार अभाज्य और सह अभाज्य संख्याएँ हैं।
यह भी स्पष्ट है कि कब हम बात कर रहे हैंदो पूर्णांकों के बारे में, फिर उनके लिए "जोड़ीदार अभाज्य" और "कोप्राइम" की अवधारणाएँ मेल खाती हैं।
ग्रंथ सूची।
- विलेनकिन एन.वाई. आदि गणित। ग्रेड 6: शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
- विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत के मूल तत्व।
- मिखेलोविच श.ख. संख्या सिद्धांत।
- कुलिकोव एल.वाई. और अन्य बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: ट्यूटोरियलभौतिकी और गणित के छात्रों के लिए। शैक्षणिक संस्थानों की विशेषता।
कोप्राइम नंबर क्या होते हैं?
कोप्राइम संख्या की परिभाषा
कोप्राइम संख्या की परिभाषा:
सह अभाज्य संख्याएँ पूर्णांक होती हैं जिनमें एक के अलावा कोई अन्य सामान्य भाजक नहीं होता है।
कोप्राइम संख्या उदाहरण
कोप्राइम उदाहरण:
2 और 3 में एक के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।
अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं का एक और उदाहरण:
3 और 7 में एक के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।
कोप्राइम संख्या का एक और उदाहरण:
11 और 13 में एक के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।
अब हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि कोप्राइम संख्याओं का क्या अर्थ है।
कोप्राइम संख्या का क्या अर्थ है?
ये पूर्णांक हैं जिनमें एक के अलावा कोई सामान्य विभाजक नहीं है।
दो कोप्राइम नंबर
इनमें से प्रत्येक युग्म दो अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं।
11 और 15
15 और 16
16 और 23
कोप्राइम संख्या के सामान्य विभाजक
कोप्राइम्स की सामान्य विभाजक केवल एक हैं, जैसा कि कोप्रिम्स की परिभाषा से निम्नानुसार है।
Coprime संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक
कोप्राइम्स का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक है, जो कि कोप्राइम्स की परिभाषा से निम्नानुसार है।
क्या संख्याएँ अपेक्षाकृत प्रमुख हैं?
क्या संख्याएँ 3 और 13 सहअभाज्य हैं? हाँ, क्योंकि उनमें एक को छोड़कर कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।
क्या संख्याएँ 3 और 12 सहअभाज्य हैं? नहीं, क्योंकि उनके पास सामान्य विभाजक 1 और 3 हैं। और सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा के अनुसार, केवल एक ही सामान्य भाजक होना चाहिए।
क्या संख्याएँ 3 और 108 सहअभाज्य हैं? नहीं, क्योंकि उनके पास सामान्य विभाजक 1 और 3 हैं। और सहअभाज्य संख्याओं की परिभाषा के अनुसार, केवल एक ही सामान्य भाजक होना चाहिए।
क्या संख्याएँ 108 और 5 सहअभाज्य हैं? हाँ, क्योंकि उनमें एक को छोड़कर कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।
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