იპოვეთ ოდზის მაგალითები. დაიწყეთ მეცნიერებაში

ფორმის განტოლებებში და უტოლობებში, , , , ფუნქციების განსაზღვრის დომენების კვეთა და ეწოდება ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დომენი (ODV), აგრეთვე განტოლების ან უტოლობის ODV, შესაბამისად.

განტოლებების (უტოლობების) ამოხსნისას ერთი ცვლადით, როდესაც ჩნდება კითხვა, იპოვო თუ არა ODZ, ხშირად შეიძლება მოისმინოს კატეგორიული „დიახ“ და არანაკლებ კატეგორიული „არა“. ”პირველ რიგში, თქვენ უნდა იპოვოთ ODZ და შემდეგ გააგრძელოთ განტოლების (უტოლობა) ამოხსნა”, - ამბობენ ზოგიერთი. „ოდზ-ზე დროის დაკარგვა არ არის საჭირო, ამოხსნისას გადავალთ ეკვივალენტურ განტოლებაზე (უტოლობაზე) ან განტოლებათა და უტოლობათა ეკვივალენტურ სისტემაზე, ან მხოლოდ უტოლობაზე. ყოველივე ამის შემდეგ, თუ ეს არის განტოლება, მაშინ შემოწმება შეიძლება გაკეთდეს,” ამტკიცებენ სხვები.

ასე რომ, შესაძლებელია თუ არა ODZ-ის პოვნა?

რა თქმა უნდა, ამ კითხვაზე ერთი პასუხი არ არსებობს. ODZ განტოლების ან უტოლობის პოვნა არ არის ამოხსნის სავალდებულო ელემენტი. თითოეულ კონკრეტულ მაგალითში ეს საკითხი ინდივიდუალურად წყდება.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ODZ-ის პოვნა ამარტივებს განტოლების ან უტოლობის ამოხსნას (მაგალითები 1-5), ზოგიერთ შემთხვევაში კი ის აუცილებელი ნაბიჯია ამოხსნისას (მაგალითები 1, 2, 4).

სხვა შემთხვევებში (მაგალითები 6, 7), ღირს უარის თქმა ODZ-ის წინასწარ პოვნაზე, რადგან ეს გამოსავალს უფრო რთულს ხდის.

მაგალითი 1ამოხსენით განტოლება.

განტოლების ორივე მხარის კვადრატი არ გაამარტივებს, მაგრამ გაართულებს და არ მოგცემთ რადიკალების მოშორების საშუალებას. სხვა გამოსავალი უნდა ვეძებოთ.

ვიპოვოთ ODZ განტოლება:

ამრიგად, ODZ შეიცავს მხოლოდ ერთ მნიშვნელობას და, შესაბამისად, მხოლოდ რიცხვი 4 შეიძლება იყოს საწყისი განტოლების ფესვი.პირდაპირი ჩანაცვლებით ვრწმუნდებით, რომ ეს არის განტოლების ერთადერთი ფესვი.

მაგალითი 2ამოხსენით განტოლება.

სხვადასხვა ხარისხის რადიკალების განტოლებაში არსებობა - მეორე, მესამე და მეექვსე - ართულებს ამოხსნას. ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ ODZ განტოლებას:

პირდაპირი ჩანაცვლებით, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ეს არის საწყისი განტოლების ფესვი.

მაგალითი 3უტოლობის ამოხსნა.

რა თქმა უნდა, ეს უტოლობა შეიძლება გადაიჭრას შემთხვევების გათვალისწინებით: , , მაგრამ ODZ-ის პოვნა დაუყოვნებლივ ამარტივებს ამ ამოხსნას.

ODZ:

ამ ერთი მნიშვნელობის თავდაპირველ უტოლობაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ ცრუ რიცხვით უტოლობას. ამრიგად, თავდაპირველ უთანასწორობას გამოსავალი არ აქვს.

პასუხი: გამოსავალი არ არის.

მაგალითი 4ამოხსენით განტოლება.

მოდით დავწეროთ განტოლება ფორმით.

ფორმის განტოლება შერეული სისტემის ტოლფასია იმათ.

რა თქმა უნდა, ODZ-ის პოვნა აქ ზედმეტია.

ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ ვიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას იმათ.

განტოლება სიმრავლის ტოლფასია განტოლებას არ აქვს რაციონალური ფესვები, მაგრამ შეიძლება ჰქონდეს ირაციონალური ფესვები, რომელთა აღმოჩენაც სირთულეებს შეუქმნის მოსწავლეებს. ასე რომ, მოდი ვეძებოთ სხვა გამოსავალი.

დავუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას, ჩავწეროთ ფორმაში.

მოდი ვიპოვოთ ODZ:.

განტოლების მარჯვენა მხარისთვის და მარცხენა მხარისთვის . ამრიგად, ორიგინალური განტოლება ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონშია Xგანტოლებათა სისტემის ტოლფასია რომელსაც მხოლოდ ერთი გამოსავალი აქვს.

ამრიგად, ამ მაგალითში, ეს იყო ODZ-ის აღმოჩენა, რამაც შესაძლებელი გახადა თავდაპირველი განტოლების ამოხსნა.

მაგალითი 5ამოხსენით განტოლება.

ვინაიდან , და , მაშინ თავდაპირველი განტოლების ამოხსნისას საჭირო იქნება მოდულების მოშორება (გახსნა).

ამიტომ, ჯერ აზრი აქვს ODZ განტოლების პოვნას:

ასე რომ, ODZ:

გაამარტივეთ საწყისი განტოლება ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით.

ვინაიდან ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში Xდა მერე , და, მაშინ ვიღებთ ეკვივალენტურ განტოლებას:

იმის გათვალისწინებით, რომ ODZ-ში გადავდივართ ეკვივალენტურ განტოლებაზე და ამოხსენით ორივე მხარის 3-ზე გაყოფით.

პასუხი: - 4.75.

კომენტარი.

თუ ODZ ვერ მოიძებნა, მაშინ განტოლების ამოხსნისას საჭირო იქნებოდა ოთხი შემთხვევის გათვალისწინება: , , , . გამონათქვამების მუდმივობის თითოეულ ამ ინტერვალზე მოდულის ნიშნის ქვეშ, საჭირო იქნება მოდულების გახსნა და მიღებული განტოლების ამოხსნა. ასევე, გააკეთეთ შემოწმება. ჩვენ ვხედავთ, რომ საწყისი განტოლების ODZ-ის პოვნა მნიშვნელოვნად ამარტივებს მის ამოხსნას.

მაგალითი 7უტოლობის ამოხსნა .

ვინაიდან ცვლადი Xშედის ლოგარითმის საფუძველში, მაშინ ამ უტოლობის ამოხსნისას საჭირო იქნება ორი შემთხვევის გათვალისწინება: და . აქედან გამომდინარე, არაპრაქტიკულია ODZ-ის ცალკე პოვნა.

ამრიგად, ჩვენ წარმოვადგენთ თავდაპირველ უტოლობას ფორმაში და ეს იქნება ორი სისტემის კომბინაციის ტოლფასი:

პასუხი: .

სამეცნიერო მრჩეველი:

1. შესავალი 3

2. ისტორიული ფონი 4

3. ODZ-ის „ადგილი“ განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას 5-6.

4. ODZ 7-ის მახასიათებლები და საფრთხე

5. ოძ - არის გადაწყვეტილება 8-9

6. ODZ-ის პოვნა დამატებითი სამუშაოა. გადასვლების ეკვივალენტობა 10-14

7. ODZ გამოცდაში 15-16

8. დასკვნა 17

9. ლიტერატურა 18

1. შესავალი

პრობლემა:განტოლებებმა და უტოლობამ, რომლებშიც საჭიროა ODZ-ის პოვნა, ადგილი არ ჰქონია ალგებრის სისტემატური წარმოდგენის პროცესში, ალბათ ამიტომაცაა, რომ მე და ჩემი თანატოლები ხშირად ვუშვებთ შეცდომებს ასეთი მაგალითების ამოხსნისას, დიდ დროს ვუთმობთ მათ ამოხსნას. , ხოლო ODZ-ის დავიწყებას.

სამიზნე:შეძლოს სიტუაციის ანალიზი და ლოგიკურად სწორი დასკვნების გამოტანა მაგალითებში, სადაც აუცილებელია ODD-ის გათვალისწინება.

Დავალებები:

1. თეორიული მასალის შესწავლა;

2. ამოხსენით განტოლებათა სიმრავლე, უტოლობა: ა) წილადი რაციონალური; ბ) ირაციონალური; გ) ლოგარითმული; დ) შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი;

3. ნასწავლი მასალის გამოყენება სტანდარტისგან განსხვავებულ სიტუაციაში;

4. შეადგინეთ ნაშრომი თემაზე „მიღებული ღირებულებების რეგიონი: თეორია და პრაქტიკა“

პროექტზე მუშაობა:პროექტზე მუშაობა ჩემთვის ცნობილი ფუნქციების გამეორებით დავიწყე. ბევრი მათგანის ფარგლები შეზღუდულია.

ODZ ხდება:

1. წილადი რაციონალური განტოლებების და უტოლობების ამოხსნისას

2. ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას

3. ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას

4. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას

მრავალი მაგალითის ამოხსნის შემდეგ სხვადასხვა წყაროდან (გამოყენების სახელმძღვანელოები, სახელმძღვანელოები, საცნობარო წიგნები), მაგალითების გადაწყვეტის სისტემატიზაცია შევასრულე შემდეგი პრინციპების მიხედვით:

შეგიძლიათ ამოხსნათ მაგალითი და გაითვალისწინოთ ODZ (ყველაზე გავრცელებული გზა)

შესაძლებელია მაგალითის ამოხსნა ODZ-ის გათვალისწინების გარეშე

შესაძლებელია მხოლოდ, ODZ-ის გათვალისწინებით, სწორი გადაწყვეტილების მიღება.

სამუშაოში გამოყენებული მეთოდები: 1) ანალიზი; 2) სტატისტიკური ანალიზი; 3) გამოქვითვა; 4) კლასიფიკაცია; 5) პროგნოზირება.

შევისწავლე ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის შედეგების ანალიზი გასული წლების განმავლობაში. ბევრი შეცდომა იყო დაშვებული იმ მაგალითებში, რომლებშიც DHS უნდა იყოს გათვალისწინებული. ეს კიდევ ერთხელ ხაზს უსვამს შესაბამისობაჩემი თემა.

2. ისტორიული მონახაზი

მათემატიკის სხვა ცნებების მსგავსად, ფუნქციის ცნება მაშინვე არ განვითარდა, მაგრამ განვითარების გრძელი გზა გაიარა. პ.ფერმას ნაშრომში „ბრტყელი და მყარი ადგილების შესავალი და შესწავლა“ (1636, გამოქვეყნებულია 1679 წ.) ნათქვამია: „როდესაც საბოლოო განტოლებაში ორი უცნობი სიდიდეა, არის ადგილი“. არსებითად, აქ საუბარია ფუნქციურ დამოკიდებულებაზე და მის გრაფიკულ წარმოდგენაზე (ფერმატისთვის „ადგილი“ ნიშნავს ხაზს). წრფეების შესწავლა მათი განტოლებით რ.დეკარტის „გეომეტრიაში“ (1637) ასევე მიუთითებს ორი ცვლადის ურთიერთდამოკიდებულების მკაფიო გაგებაზე. I. Barrow („ლექციები გეომეტრიის შესახებ“, 1670 წ.) გეომეტრიული ფორმით ადგენს დიფერენციაციისა და ინტეგრაციის მოქმედებების ორმხრივ ურთიერთკავშირს (რა თქმა უნდა, თავად ამ ტერმინების გამოყენების გარეშე). ეს უკვე მოწმობს ფუნქციის ცნების სრულიად მკაფიო დაუფლებაზე. გეომეტრიული და მექანიკური ფორმით ამ ცნებას ვხვდებით ი.ნიუტონშიც. თუმცა, ტერმინი "ფუნქცია" პირველად მხოლოდ 1692 წელს გამოჩნდა გ.ლაიბნიცის მიერ და, უფრო მეტიც, არც ისე მისი თანამედროვე გაგებით. გ.ლაიბნიცი მრუდთან დაკავშირებულ სხვადასხვა სეგმენტებს (მაგალითად, მისი წერტილების აბსცისებს) ფუნქციას უწოდებს. ლოპიტალის პირველ დაბეჭდილ კურსში "Infinitely Small-ის ანალიზი მრუდი ხაზების ცოდნისთვის" (1696), ტერმინი "ფუნქცია" არ არის გამოყენებული.

ფუნქციის პირველი განმარტება თანამედროვესთან მიახლოებული მნიშვნელობით გვხვდება I. Bernoulli-ში (1718): „ფუნქცია არის სიდიდე, რომელიც შედგება ცვლადისა და მუდმივისაგან“. ეს არც თუ ისე მკაფიო განმარტება ემყარება ფუნქციის ანალიტიკური ფორმულით განსაზღვრის იდეას. იგივე აზრი ჩნდება ლ. ეილერის განმარტებაში, რომელიც მის მიერ არის მოცემული „Introduction to the analysis of infinite“ (1748): „ცვლადი სიდიდის ფუნქცია არის ანალიტიკური გამოხატულება, რომელიც შედგენილია გარკვეულწილად ამ ცვლადი სიდიდისა და რიცხვებისგან. ან მუდმივი რაოდენობით“. თუმცა, ლ. ეილერსაც კი არ არის უცხო ფუნქციის თანამედროვე გაგება, რომელიც არ აკავშირებს ფუნქციის ცნებას მის რომელიმე ანალიტიკურ გამონათქვამთან. თავის „დიფერენციალურ კალკულუსში“ (1755 წ.) ნათქვამია: „როდესაც ზოგიერთი სიდიდე სხვებზეა დამოკიდებული ისე, რომ როდესაც ეს უკანასკნელი იცვლება, ისინი თავად განიცდიან ცვლილებას, მაშინ პირველებს უწოდებენ ამ უკანასკნელის ფუნქციებს“.

მე-19 საუკუნის დასაწყისიდან ფუნქციის ცნება უფრო და უფრო ხშირად განისაზღვრა მისი ანალიტიკური წარმოდგენის ხსენების გარეშე. „ტრაქტატში დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების შესახებ“ (1797-1802) ს.ლაკრუა ამბობს: „ნებისმიერი სიდიდე, რომლის მნიშვნელობა დამოკიდებულია ერთ ან ბევრ სხვა სიდიდეზე, ამ უკანასკნელთა ფუნქცია ეწოდება“. ჯ.ფურიეს (1822) „სითბოს ანალიტიკურ თეორიაში“ არის ფრაზა: „ფუნქცია. f(x)აღნიშნავს სრულიად თვითნებურ ფუნქციას, ანუ მოცემული მნიშვნელობების თანმიმდევრობას, ექვემდებარება თუ არა ზოგად კანონს და შეესაბამება ყველა მნიშვნელობას. xშეიცავს 0-სა და გარკვეულ მნიშვნელობას შორის x". N.I. ლობაჩევსკის განმარტება ახლოსაა თანამედროვესთან: „...ფუნქციის ზოგადი კონცეფცია მოითხოვს, რომ ფუნქცია xდაასახელეთ ნომერი, რომელიც მოცემულია თითოეულზე xდა ერთად xთანდათან იცვლება. ფუნქციის მნიშვნელობა შეიძლება მიენიჭოს ან ანალიტიკური გამოსახულებით, ან პირობით, რომელიც უზრუნველყოფს ყველა რიცხვის შესამოწმებლად და ერთ-ერთის არჩევის საშუალებას, ან, საბოლოოდ, დამოკიდებულება შეიძლება არსებობდეს და დარჩეს უცნობი. იმავე ადგილას, ცოტა დაბლა, ნათქვამია: „თეორიის ფართო შეხედულება აღიარებს დამოკიდებულების არსებობას მხოლოდ იმ გაგებით, რომ რიცხვები ერთიმეორესთან დაკავშირებით გაგებულია ისე, თითქოს ერთად არის მოცემული“. ამრიგად, ფუნქციის თანამედროვე განმარტება, თავისუფალი ანალიტიკური ამოცანის მითითებისგან, რომელიც ჩვეულებრივ მიეკუთვნება პ.დირიხლეტს (1837), არაერთხელ იყო შემოთავაზებული მის წინაშე.

y ფუნქციის განსაზღვრის დომენი (დასაშვები მნიშვნელობები) არის x დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობების სიმრავლე, რომლისთვისაც ეს ფუნქციაა განსაზღვრული, ანუ დამოუკიდებელი ცვლადის (არგუმენტის) ცვლილების დომენი.

3. დასაშვები სიდიდეების რეგიონის „ადგილი“ განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

1. წილადი რაციონალური განტოლებების და უტოლობების ამოხსნისასმნიშვნელი არ უნდა იყოს ნული.

2. ირაციონალური განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

ამ შემთხვევაში, არ არის საჭირო ODZ-ის პოვნა: პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მიღებული x მნიშვნელობები აკმაყოფილებს შემდეგ უტოლობას: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif " width="107" height="27 src="> არის სისტემა:

ვინაიდან განტოლება და შეიყვანეთ თანაბრად, მაშინ უტოლობის ნაცვლად შეგიძლიათ ჩართოთ უტოლობა https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა.

3.1. ლოგარითმული განტოლების ამოხსნის სქემა

მაგრამ საკმარისია ODZ-ის მხოლოდ ერთი პირობის შემოწმება.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. ფორმის ტრიგონომეტრიული განტოლებებისისტემის ეკვივალენტურია (უტოლობის ნაცვლად, სისტემაში შეიძლება შეიცავდეს უტოლობა https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> ექვივალენტურია განტოლება

4. დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის მახასიათებლები და საფრთხე

მათემატიკის გაკვეთილებზე ჩვენ ვალდებულნი ვართ ვიპოვოთ ODZ თითოეულ მაგალითში. ამავდროულად, საკითხის მათემატიკური არსის მიხედვით, ODZ-ის პოვნა სულაც არ არის სავალდებულო, ხშირად არასაჭირო და ზოგჯერ შეუძლებელი - და ეს ყველაფერი მაგალითის ამოხსნის ყოველგვარი დაზიანების გარეშე. მეორე მხრივ, ხშირად ხდება, რომ მაგალითის ამოხსნის შემდეგ მოსწავლეებს ავიწყდებათ ODZ-ის გათვალისწინება, საბოლოო პასუხად ჩაწერა, მხოლოდ რამდენიმე პირობის გათვალისწინება. ეს გარემოება ცნობილია, მაგრამ „ომი“ ყოველწლიურად გრძელდება და, როგორც ჩანს, კიდევ დიდხანს გაგრძელდება.

განვიხილოთ, მაგალითად, შემდეგი უტოლობა:

აქ იძებნება ODZ და უთანასწორობა მოგვარებულია. თუმცა, ამ უთანასწორობის გადაჭრისას, სკოლის მოსწავლეებს ზოგჯერ სჯერათ, რომ სავსებით შესაძლებელია ODZ-ის ძიების გარეშე, უფრო სწორად, მათ შეუძლიათ გააკეთონ პირობის გარეშე.

მართლაც, სწორი პასუხის მისაღებად აუცილებელია გავითვალისწინოთ როგორც უტოლობა, ასევე .

და აი, მაგალითად, განტოლების ამონახსნი: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

რაც უდრის ODZ-თან მუშაობას. თუმცა, ამ მაგალითში, ასეთი სამუშაო ზედმეტია - საკმარისია შეამოწმოთ ამ უტოლობებიდან მხოლოდ ორი, და ნებისმიერი ორი.

შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი განტოლება (უტოლობა) შეიძლება ჩამოყვანილი იყოს ფორმამდე. DPV უბრალოდ არის ფუნქციის ფარგლები მარცხენა მხარეს. ის ფაქტი, რომ ეს ტერიტორია უნდა იყოს მონიტორინგი უკვე გამომდინარეობს ფესვის, როგორც რიცხვის განსაზღვრებიდან მოცემული ფუნქციის არედან, შესაბამისად, ODZ-დან. აი სასაცილო მაგალითი ამ თემაზე..gif" width="20" height="21 src="> აქვს დადებითი რიცხვების სიმრავლის განსაზღვრის დომენი (ეს, რა თქმა უნდა, შეთანხმებაა - განიხილოს ფუნქცია , , მაგრამ გონივრული), და შემდეგ -1 არ არის ფესვი.

5. მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი - არსებობს გამოსავალი

და ბოლოს, მაგალითების მასაში, ODZ-ის პოვნა საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ პასუხი უხერხული განლაგების გარეშე,და თუნდაც ზეპირად.

1. OD3 არის ცარიელი ნაკრები, რაც ნიშნავს, რომ თავდაპირველ მაგალითს არ აქვს გადაწყვეტილებები.

1) 2) 3)

2. Inოძ ნაპოვნია ერთი ან მეტი რიცხვი და მარტივი ჩანაცვლება სწრაფად განსაზღვრავს ფესვებს.

1) , x=3

2)აქ ODZ-ში არის მხოლოდ ნომერი 1 და ჩანაცვლების შემდეგ აშკარაა, რომ ეს არ არის ფესვი.

3) ODZ-ში არის ორი ნომერი: 2 და 3 და ორივე შესაფერისია.

4) > ODZ-ში არის ორი რიცხვი 0 და 1 და მხოლოდ 1 არის შესაფერისი.

DPV შეიძლება ეფექტურად იქნას გამოყენებული თავად გამოხატვის ანალიზთან ერთად.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) ODZ-დან გამომდინარეობს, რომ საიდანაც გვაქვს ..gif" width="143" height="24"> ODZ-დან გვაქვს: . მაგრამ შემდეგ და . მას შემდეგ, გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

ODZ-დან გვაქვს: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, რაც ნიშნავს. ბოლო უტოლობის ამოხსნით მივიღებთ x.<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ოძ: . Მას შემდეგ

მეორეს მხრივ, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ოძ:. განვიხილოთ განტოლება ინტერვალზე [-1; 0).

ის ასრულებს ასეთ უთანასწორობებს https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src ="> და არ არსებობს გამოსავალი. ფუნქციით და https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">.ODZ: x>2..gif" width="233" height = "45 src="> ვიპოვოთ ODZ:

მთელი რიცხვის ამოხსნა შესაძლებელია მხოლოდ x=3 და x=5. შემოწმებით აღმოვაჩენთ, რომ ფესვი x \u003d 3 არ ჯდება, რაც ნიშნავს, რომ პასუხი არის: x \u003d 5.

6. მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის პოვნა დამატებითი სამუშაოა. გადასვლების ეკვივალენტობა.

შეიძლება მოყვანილი იქნას მაგალითები, სადაც სიტუაცია ნათელია ODZ-ის პოვნის გარეშეც კი.

1.

ტოლობა შეუძლებელია, რადგან უფრო დიდი გამოსახულების გამოკლებისას პატარას, უარყოფითი რიცხვი უნდა მივიღოთ.

2. .

ორი არაუარყოფითი ფუნქციის ჯამი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

მე ასევე მოვიყვან მაგალითებს, სადაც ODZ-ის პოვნა რთულია და ზოგჯერ უბრალოდ შეუძლებელი.

და ბოლოს, ODZ-ის ძებნა ძალიან ხშირად უბრალოდ არასაჭირო სამუშაოა, რომლის გარეშეც შესანიშნავად შეიძლება გაკეთდეს, რითაც ადასტურებს იმის გაგებას, თუ რა ხდება. აქ უამრავი მაგალითია, ამიტომ მე ავირჩევ მხოლოდ ყველაზე ტიპურს. ამ შემთხვევაში გადაწყვეტილების მთავარი ტექნიკა არის ეკვივალენტური გარდაქმნები ერთი განტოლებიდან (უტოლობა, სისტემა) მეორეზე გადასვლაში.

1.. ODZ არ არის საჭირო, რადგან ვიპოვეთ x-ის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც x2=1, ჩვენ ვერ მივიღებთ x=0.

2. . ODZ არ არის საჭირო, რადგან ვხვდებით, როდის უდრის რადიკალური გამოხატულება დადებით რიცხვს.

3. . ODZ არ არის საჭირო იმავე მიზეზების გამო, როგორც წინა მაგალითში.

4.

ODZ არ არის საჭირო, რადგან ფესვის გამოხატულება უდრის ზოგიერთი ფუნქციის კვადრატს და, შესაბამისად, არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> ამოხსნისთვის საკმარისია რადიკალური გამოხატვის მხოლოდ ერთი შეზღუდვა. მართლაც, წერილობითი შერეული სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ სხვა რადიკალური გამოხატულება ასევე არაუარყოფითია.

8. ODZ არ არის საჭირო იმავე მიზეზების გამო, როგორც წინა მაგალითში.

9. DPV არ არის საჭირო, რადგან საკმარისია, რომ ლოგარითმის ნიშნების ქვეშ სამი გამოსახულებიდან ორი იყოს დადებითი, რათა უზრუნველყოს მესამე დადებითი.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ არ არის საჭირო იმავე მიზეზების გამო, როგორც წინა მაგალითში.

თუმცა, აღსანიშნავია, რომ ეკვივალენტური გარდაქმნების მეთოდით ამოხსნისას ODZ-ის (და ფუნქციების თვისებების) ცოდნა გვეხმარება.

Აი ზოგიერთი მაგალითი.

1. . OD3, საიდანაც მოყვება გამოთქმის დადებითობა მარჯვენა მხარეს და შესაძლებელია მოცემულის ექვივალენტური განტოლების დაწერა ამ ფორმით https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif " width="112" height="27 "> ODZ:. მაგრამ შემდეგ და ამ უტოლობის ამოხსნისას არ არის საჭირო იმ შემთხვევის გათვალისწინება, როცა მარჯვენა მხარე 0-ზე ნაკლებია.

3. . ODZ-დან გამომდინარეობს, რომ და, შესაბამისად, შემთხვევა, როდესაც https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> გადასვლები ზოგადად ასე გამოიყურება :

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

შესაძლებელია ორი შემთხვევა: 0 >1.

მაშასადამე, თავდაპირველი უტოლობა უდრის უტოლობათა სისტემების შემდეგი ნაკრების:

პირველ სისტემას არ აქვს ამონახსნები, მეორიდან კი ვიღებთ: x<-1 – решение неравенства.

ეკვივალენტობის პირობების გაგება მოითხოვს გარკვეული დახვეწილობის ცოდნას. მაგალითად, რატომ არის შემდეგი განტოლებები ეკვივალენტური:

ან

და ბოლოს, ალბათ ყველაზე მნიშვნელოვანი. ფაქტია, რომ ეკვივალენტობა იძლევა პასუხის სისწორის გარანტიას, თუ შესრულებულია განტოლების გარკვეული გარდაქმნები, მაგრამ არ გამოიყენება მხოლოდ ერთ ნაწილში გარდაქმნებისთვის. შემცირება, ერთ-ერთ ნაწილში სხვადასხვა ფორმულის გამოყენება არ ექვემდებარება ეკვივალენტურობის თეორემებს. მე უკვე მოვიყვანე მსგავსი მაგალითები. მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს.

1. ასეთი გადაწყვეტილება ბუნებრივია. მარცხენა მხარეს, ლოგარითმული ფუნქციის თვისებით, გადავიდეთ გამოთქმაზე ..gif" width="111" height="48">

ამ სისტემის ამოხსნით, მივიღებთ შედეგს (-2 და 2), რაც, თუმცა, არ არის პასუხი, რადგან რიცხვი -2 არ შედის ODZ-ში. რა გვჭირდება ODZ-ის დასაყენებლად? Რათქმაუნდა არა. მაგრამ რადგან გამოსავალში გამოვიყენეთ ლოგარითმული ფუნქციის გარკვეული თვისება, უნდა უზრუნველვყოთ ის პირობები, რომლებშიც ის სრულდება. ასეთი პირობაა გამოთქმების პოზიტიურობა ლოგარითმის ნიშნით..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> ნომრები ექვემდებარება ჩანაცვლებას ამ გზით . ვის უნდა ასეთი დამღლელი გამოთვლების გაკეთება?.gif" width="12" height="23 src="> დაამატე პირობა და მაშინვე ირკვევა, რომ მხოლოდ რიცხვი აკმაყოფილებს ამ პირობას https://pandia.ru/text/ 78/083/ images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) აჩვენა დილერების 52%-მა. ასეთი დაბალი შესრულების ერთ-ერთი მიზეზი არის ის, რომ ბევრმა კურსდამთავრებულმა არ შეარჩია განტოლებიდან მიღებული ფესვები მისი კვადრატის შემდეგ.

3) განვიხილოთ, მაგალითად, ერთ-ერთი ამოცანის ამოხსნა C1: „იპოვნეთ ყველა x მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის ფუნქციის გრაფიკის წერტილები. დევს ფუნქციის გრაფიკის შესაბამისი წერტილების ზემოთ ". ამოცანა მცირდება ლოგარითმული გამოსახულების შემცველი წილადი უტოლობის ამოხსნით. ჩვენ ვიცით ასეთი უტოლობების ამოხსნის მეთოდები. მათგან ყველაზე გავრცელებულია ინტერვალის მეთოდი. თუმცა, გამოყენებისას დილერები უშვებენ სხვადასხვა შეცდომებს. განვიხილოთ ყველაზე გავრცელებული შეცდომები უთანასწორობის მაგალითით:

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. დასკვნა

შეჯამებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ არ არსებობს განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის უნივერსალური მეთოდი. ყოველ ჯერზე, თუ გსურთ გაიგოთ რას აკეთებთ და არ იმოქმედოთ მექანიკურად, ჩნდება დილემა: გადაწყვეტილების რომელი მეთოდი აირჩიოთ, კერძოდ, მოძებნოთ ODZ თუ არა? ვფიქრობ, რომ ჩემი გამოცდილება დამეხმარება ამ დილემის გადაჭრაში. მე შევწყვეტ შეცდომებს, როგორც კი ვისწავლი ODZ-ის სწორად გამოყენებას. მივაღწევ თუ არა ამას, დრო გვიჩვენებს, უფრო სწორად გამოცდა.

9. ლიტერატურა

და სხვები "ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი 10-11" ამოცანების წიგნი და სახელმძღვანელო, მ .: "განმანათლებლობა", 2002. "დაწყებითი მათემატიკის სახელმძღვანელო". მ .: "ნაუკა", 1966. გაზეთი "მათემატიკა" No46, გაზეთი "მათემატიკა" No. გაზეთი "მათემატიკა" No. "მათემატიკის ისტორია სკოლაში VII-VIII კლასები." M .: "განმანათლებლობა", 1982. და სხვები. "USE-ის რეალური ამოცანების ვარიანტების ყველაზე სრულყოფილი გამოცემა: 2009 / FIPI" - M .: "Astrel", 2009. და სხვა. "USE. მათემატიკა. უნივერსალური მასალები სტუდენტების მოსამზადებლად / FIPI "- M .: "Intelect-center", 2009. და სხვა. "ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი 10-11". მ .: "Prosveshchenie", 2007. , "ვორკშოპი სასკოლო მათემატიკის ამოცანების ამოხსნის შესახებ (ვორკშოპი ალგებრაზე)". მ .: განათლება, 1976. "მათემატიკის 25000 გაკვეთილი." M .: "Prosveshchenie", 1993. "მზადება ოლიმპიადისთვის მათემატიკაში." მ.: "გამოცდა", 2006. "ენციკლოპედია ბავშვებისთვის "მათემატიკა"" ტომი 11, მ.: ავანტა +; 2002. საიტების მასალები www. ***** www. *****.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

  • საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

  • ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
  • დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
  • ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
  • თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

  • იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
  • რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არასანქცირებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

Როგორ ?
გადაწყვეტის მაგალითები

თუ სადმე რაღაც აკლია, სადღაც არის რაღაც

ჩვენ ვაგრძელებთ განყოფილების "ფუნქციები და გრაფიკა" შესწავლას და ჩვენი მოგზაურობის შემდეგი სადგურია. ამ კონცეფციის აქტიური განხილვა დაიწყო სტატიაში კომპლექტების შესახებ და გაგრძელდა პირველ გაკვეთილზე ფუნქციის გრაფიკები, სადაც მე გადავხედე ელემენტარულ ფუნქციებს და, კერძოდ, მათ ფარგლებს. ამიტომ, მე გირჩევთ, რომ დუმები თემის საფუძვლებით დაიწყონ, რადგან ზოგიერთ ძირითად პუნქტზე აღარ შევჩერდები.

ვარაუდობენ, რომ მკითხველმა იცის შემდეგი ფუნქციების დომენი: წრფივი, კვადრატული, კუბური ფუნქცია, პოლინომები, მაჩვენებლები, სინუსი, კოსინუსი. ისინი განსაზღვრულია (ყველა რეალური რიცხვის ნაკრები). ტანგენტებისთვის, რკალებისთვის, ასე იყოს, გაპატიებთ =) - იშვიათი გრაფიკები მაშინვე არ ახსოვს.

განმარტების სფერო, როგორც ჩანს, მარტივი რამ არის და ბუნებრივი კითხვა ჩნდება, რაზე იქნება სტატია? ამ გაკვეთილზე განვიხილავ საერთო ამოცანებს ფუნქციის დომენის მოსაძებნად. გარდა ამისა, ჩვენ გავიმეორებთ უტოლობა ერთი ცვლადით, ამოხსნის უნარები, რომლებიც საჭირო იქნება უმაღლესი მათემატიკის სხვა ამოცანებში. მასალა, სხვათა შორის, მთლიანად სასკოლოა, ამიტომ გამოადგება არა მარტო მოსწავლეებს, არამედ სტუდენტებსაც. ინფორმაცია, რა თქმა უნდა, არ არის ენციკლოპედიური პრეტენზია, მაგრამ მეორე მხრივ, აქ არის არა შორსწასული „მკვდარი“ მაგალითები, არამედ შემწვარი წაბლი, რომელიც აღებულია რეალური პრაქტიკული სამუშაოებიდან.

დავიწყოთ თემის ექსპრესიული ჭრილით. მოკლედ მთავარის შესახებ: საუბარია ერთი ცვლადის ფუნქციაზე. მისი განმარტების სფეროა "x" მნიშვნელობების ნაკრები, რისთვისაც არსებობს"თამაშების" მნიშვნელობა. განვიხილოთ ჰიპოთეტური მაგალითი:

ამ ფუნქციის დომენი არის ინტერვალების გაერთიანება:
(ვისაც დაავიწყდა: - კავშირის ხატი). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ავიღებთ "x"-ის ნებისმიერ მნიშვნელობას ინტერვალიდან, ან დან, ან დან, მაშინ თითოეული ასეთი "x" იქნება "y" მნიშვნელობა.

უხეშად რომ ვთქვათ, სადაც არის განმარტების დომენი, არის ფუნქციის გრაფიკი. მაგრამ ნახევარი ინტერვალი და "ce" წერტილი არ შედის განსაზღვრების არეალში და იქ არ არის გრაფიკი.

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის ფარგლები? ბევრს ახსოვს საბავშვო რითმა: „ქვა, მაკრატელი, ქაღალდი“ და ამ შემთხვევაში მისი უსაფრთხოდ პერიფრაზირება შესაძლებელია: „ძირი, წილადი და ლოგარითმი“. ამრიგად, თუ თქვენს ცხოვრების გზაზე წააწყდებით წილადს, ფესვს ან ლოგარითმს, მაშინვე უნდა იყოთ ძალიან, ძალიან ფრთხილად! ტანგენსი, კოტანგენსი, არქსინი, არკოზინი გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია და მათზეც ვისაუბრებთ. მაგრამ პირველი, ესკიზები ჭიანჭველების ცხოვრებიდან:

ფუნქციის ფარგლები, რომელიც შეიცავს წილადს

ვთქვათ მოცემულია ფუნქცია, რომელიც შეიცავს წილადს. როგორც მოგეხსენებათ, თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე: , ასე რომ, ისინი x მნიშვნელობები, რომლებიც აქცევს მნიშვნელს ნულზე, არ შედის ამ ფუნქციის ფარგლებში.

მე არ შევჩერდები უმარტივეს ფუნქციებზე, როგორიცაა და ასე შემდეგ, რადგან ყველას შეუძლია დაინახოს პუნქტები, რომლებიც არ შედის მათი განმარტების დომენში. განვიხილოთ უფრო მნიშვნელოვანი წილადები:

მაგალითი 1

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

გამოსავალი: მრიცხველში განსაკუთრებული არაფერია, მაგრამ მნიშვნელი არ უნდა იყოს ნულოვანი. მოდით გავათანაბროთ იგი ნულთან და ვცადოთ „ცუდი“ წერტილების პოვნა:

მიღებულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: . ღირებულების მონაცემები არ შედის ფუნქციის ფარგლებში. მართლაც, ჩაანაცვლეთ ან ჩაანაცვლეთ ფუნქციაში და ნახავთ, რომ მნიშვნელი მიდის ნულზე.

უპასუხე: დომენი:

ჩანაწერი შემდეგნაირად იკითხება: „განსაზღვრების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი, გარდა სიმრავლისა, რომელიც შედგება მნიშვნელობებისგან. ". შეგახსენებთ, რომ მათემატიკაში უკანა ხაზის ხატი აღნიშნავს ლოგიკურ გამოკლებას, ხოლო ხვეული ბრეკეტები - სიმრავლეს. პასუხი შეიძლება დაიწეროს ექვივალენტურად, როგორც სამი ინტერვალის გაერთიანება:

ვისაც მოეწონება.

წერტილებზე ფუნქცია უძლებს გაუთავებელი შესვენებები, და განტოლებებით მოცემული სწორი ხაზები არიან ვერტიკალური ასიმპტოტებიამ ფუნქციის გრაფიკისთვის. თუმცა, ეს ოდნავ განსხვავებული თემაა და შემდგომ ამაზე განსაკუთრებულ ყურადღებას არ გავამახვილებ.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

ამოცანა არსებითად ზეპირია და ბევრი თქვენგანი თითქმის მაშინვე იპოვის განმარტების არეალს. უპასუხეთ გაკვეთილის ბოლოს.

წილადი ყოველთვის "ცუდი" იქნება? არა. მაგალითად, ფუნქცია განისაზღვრება მთელი რიცხვის ღერძზე. როგორი მნიშვნელობაც არ უნდა ავიღოთ "x", მნიშვნელი არ გადაიქცევა ნულზე, უფრო მეტიც, ის ყოველთვის დადებითი იქნება:. ამრიგად, ამ ფუნქციის ფარგლებია: .

ყველა ფუნქცია მოსწონს განსაზღვრული და უწყვეტიზე .

ცოტა უფრო რთულია სიტუაცია, როდესაც მნიშვნელმა დაიკავა კვადრატული ტრინომი:

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

გამოსავალი: ვცადოთ ვიპოვოთ წერტილები, სადაც მნიშვნელი ნულამდე მიდის. ამისათვის ჩვენ გადავწყვეტთ კვადრატული განტოლება:

დისკრიმინანტი უარყოფითი აღმოჩნდა, რაც იმას ნიშნავს, რომ არ არსებობს რეალური ფესვები და ჩვენი ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვთა ღერძზე.

უპასუხე: დომენი:

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. გირჩევთ არ დაიზაროთ უბრალო პრობლემებთან დაკავშირებით, რადგან შემდგომი მაგალითებისთვის გაუგებრობები დაგროვდება.

ფუნქციის ფარგლები root-ით

კვადრატული ფესვის ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ "x"-ის იმ მნიშვნელობებისთვის, როდესაც რადიკალური გამოხატულება არანეგატიურია: . თუ ფესვი მდებარეობს მნიშვნელში, მაშინ პირობა აშკარად გამკაცრებულია: . მსგავსი გამოთვლები მოქმედებს დადებითი ლუწი ხარისხის ნებისმიერი ფესვისთვის: თუმცა ფესვი უკვე მე-4 ხარისხისაა ფუნქციის შესწავლაარ მახსოვს.

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

გამოსავალი: რადიკალური გამოხატულება უნდა იყოს არაუარყოფითი:

სანამ გადაწყვეტას გავაგრძელებ, ნება მომეცით შეგახსენოთ სკოლიდან ცნობილი უთანასწორობასთან მუშაობის ძირითადი წესები.

განსაკუთრებულ ყურადღებას ვაქცევ!ჩვენ ახლა განვიხილავთ უთანასწორობას ერთი ცვლადით- ანუ ჩვენთვის არის მხოლოდ ერთი განზომილება ღერძის გასწვრივ. გთხოვთ, არ აურიოთ ორი ცვლადის უტოლობა, სადაც მთელი საკოორდინატო სიბრტყე გეომეტრიულად არის ჩართული. თუმცა არის სასიამოვნო დამთხვევებიც! ასე რომ, უტოლობისთვის, შემდეგი გარდაქმნები ექვივალენტურია:

1) პირობები შეიძლება გადავიდეს ნაწილიდან ნაწილზე მათი (პირობების) შეცვლით ნიშნები.

2) უტოლობის ორივე მხარე შეიძლება გამრავლდეს დადებით რიცხვზე.

3) თუ უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლებულია უარყოფითინომერი, თქვენ უნდა შეცვალოთ თავად უთანასწორობის ნიშანი. მაგალითად, თუ იყო "მეტი", მაშინ ის გახდება "ნაკლები"; თუ ის იყო "ნაკლები ან ტოლი", მაშინ გახდება "დიდი ან ტოლი".

უტოლობაში „სამს“ ნიშნის ცვლილებით მარჯვენა მხარეს გადავიტანთ (წესი No1):

გაამრავლეთ უტოლობის ორივე მხარე –1-ზე (წესი #3):

გაამრავლეთ უტოლობის ორივე მხარე (წესი ნომერი 2):

უპასუხე: დომენი:

პასუხი ასევე შეიძლება დაიწეროს ეკვივალენტური ფრაზით: „ფუნქცია განსაზღვრულია at“.
გეომეტრიულად, განმარტების დომენი გამოსახულია x-ღერძზე შესაბამისი ინტერვალების დაჩრდილვით. Ამ შემთხვევაში:

კიდევ ერთხელ გავიხსენებ განმარტების დომენის გეომეტრიულ მნიშვნელობას - ფუნქციის გრაფიკს არსებობს მხოლოდ დაჩრდილულ ადგილას და არ არის .

უმეტეს შემთხვევაში, განმარტების დომენის წმინდა ანალიტიკური აღმოჩენა შესაფერისია, მაგრამ როდესაც ფუნქცია ძალიან დაბნეულია, უნდა დახაზოთ ღერძი და გააკეთოთ ჩანაწერები.

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი.

როდესაც კვადრატული ფესვის ქვეშ არის კვადრატული ბინომი ან ტრინომი, სიტუაცია ცოტათი რთულდება და ახლა ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ ამოხსნის ტექნიკას:

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

გამოსავალი: რადიკალური გამოთქმა უნდა იყოს მკაცრად პოზიტიური, ანუ ჩვენ უნდა გადავჭრათ უთანასწორობა. პირველ ეტაპზე, ჩვენ ვცდილობთ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზირებას:

დისკრიმინანტი დადებითია, ჩვენ ვეძებთ ფესვებს:

ასე რომ პარაბოლა კვეთს x-ღერძს ორ წერტილში, რაც ნიშნავს, რომ პარაბოლის ნაწილი მდებარეობს ღერძის ქვემოთ (უთანასწორობა), ხოლო პარაბოლის ნაწილი ღერძის ზემოთ (უტოლობა, რომელიც ჩვენ გვჭირდება).

რაც შეეხება კოეფიციენტს, პარაბოლის ტოტები მაღლა იხედება. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ უტოლობა დაკმაყოფილებულია ინტერვალებზე (პარაბოლის ტოტები ადიან უსასრულობამდე), ხოლო პარაბოლის წვერო მდებარეობს აბსცისის ღერძის ქვემოთ ინტერვალზე, რომელიც შეესაბამება უტოლობას:

! Შენიშვნა: თუ ბოლომდე არ გესმით განმარტებები, გთხოვთ დახაზოთ მეორე ღერძი და მთელი პარაბოლა! მიზანშეწონილია დაუბრუნდეთ სტატიას და სახელმძღვანელოს ცხელი სკოლის მათემატიკის ფორმულები.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ წერტილები თავად არის პუნქცია (არ შედის ხსნარში), რადგან ჩვენი უთანასწორობა მკაცრია.

უპასუხე: დომენი:

ზოგადად, ბევრი უტოლობა (მათ შორის განხილული) ხსნის უნივერსალურს ინტერვალის მეთოდი, ცნობილი ისევ სკოლის სასწავლო გეგმიდან. მაგრამ კვადრატის ორ- და სამ ტერმინის შემთხვევაში, ჩემი აზრით, ბევრად უფრო მოსახერხებელი და სწრაფია პარაბოლის მდებარეობის ანალიზი ღერძთან შედარებით. და მთავარი მეთოდი - ინტერვალების მეთოდი, ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ სტატიაში. ფუნქცია nulls. მუდმივი ინტერვალები.

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ნიმუშმა დაწვრილებით დააკომენტარა მსჯელობის ლოგიკა + ამოხსნის მეორე გზა და უტოლობის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ტრანსფორმაცია, იმის ცოდნის გარეშე, რომელ ფეხზე კოჭლდება სტუდენტი ..., ... ჰმ ... ხარჯზე. ფეხით, ალბათ აღელვდა, უფრო სწორად - ერთ თითზე. Ცერა თითი.

შეიძლება თუ არა კვადრატული ფესვის მქონე ფუნქცია განისაზღვროს მთელ რიცხვთა წრფეზე? Რა თქმა უნდა. ყველა ნაცნობი სახე: . ან მსგავსი ჯამი მაჩვენებლით: . მართლაც, "x" და "ka" ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის: მაშასადამე, მით უმეტეს.

აქ არის ნაკლებად აშკარა მაგალითი: . აქ დისკრიმინანტი უარყოფითია (პარაბოლა არ კვეთს x ღერძს), პარაბოლის ტოტები კი მიმართულია ზემოთ, აქედან გამომდინარე განმარტების დომენი: .

კითხვა საპირისპიროა: შეიძლება იყოს თუ არა ფუნქციის ფარგლები ცარიელი? დიახ, და პრიმიტიული მაგალითი მაშინვე თავს იჩენს , სადაც რადიკალური გამოხატულება უარყოფითია "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ხოლო განმარტების დომენი არის: (ცარიელი ნაკრების ხატულა). ასეთი ფუნქცია საერთოდ არ არის განსაზღვრული (რა თქმა უნდა, გრაფიკიც მოჩვენებითია).

უცნაური ფესვებით და ა.შ. ყველაფერი ბევრად უკეთესია - აქ ძირეული გამოხატულება ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი. მაგალითად, ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვთა ხაზზე. თუმცა, ფუნქციას აქვს ერთი წერტილი, რომელიც ჯერ კიდევ არ შედის განსაზღვრების დომენში, რადგან მნიშვნელი გადაკეთებულია ნულზე. ფუნქციის იგივე მიზეზით ქულები გამორიცხულია.

ფუნქციის დომენი ლოგარითმით

მესამე საერთო ფუნქცია არის ლოგარითმი. მაგალითად, მე დავხატავ ბუნებრივ ლოგარითმს, რომელიც გვხვდება დაახლოებით 99 მაგალითში 100-დან. თუ გარკვეული ფუნქცია შეიცავს ლოგარითმს, მაშინ მისი განმარტების დომენი უნდა შეიცავდეს მხოლოდ იმ x მნიშვნელობებს, რომლებიც აკმაყოფილებენ უთანასწორობას. . თუ ლოგარითმი არის მნიშვნელში: მაშინ დამატებითპირობა დაწესებულია (რადგან ).

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

გამოსავალი: ზემოაღნიშნულის შესაბამისად, ჩვენ ვადგენთ და ვხსნით სისტემას:

გრაფიკული გადაწყვეტა დუმებისთვის:

უპასუხე: დომენი:

მე კიდევ ერთ ტექნიკურ პუნქტზე ვისაუბრებ - ბოლოს და ბოლოს, მე არ მაქვს მასშტაბი და არ მაქვს განყოფილებები ღერძის გასწვრივ. ჩნდება კითხვა: როგორ გავაკეთო ასეთი ნახატები ბლოკნოტში ჭადრაკის ქაღალდზე? შესაძლებელია თუ არა უჯრედებში წერტილებს შორის მანძილის გაზომვა მკაცრად მასშტაბის მიხედვით? ეს უფრო კანონიკური და მკაცრია, რა თქმა უნდა, მასშტაბური, მაგრამ სქემატური ნახაზი, რომელიც ფუნდამენტურად ასახავს სიტუაციას, ასევე საკმაოდ მისაღებია.

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

პრობლემის გადასაჭრელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ წინა აბზაცის მეთოდი - გაანალიზოთ, თუ როგორ მდებარეობს პარაბოლა x-ღერძთან შედარებით. უპასუხეთ გაკვეთილის ბოლოს.

როგორც ხედავთ, ლოგარითმების სფეროში ყველაფერი ძალიან ჰგავს სიტუაციას კვადრატული ფესვით: ფუნქცია (მე-7 მაგალითიდან კვადრატული ტრინომი) განისაზღვრება ინტერვალებით და ფუნქცია (კვადრატული ბინომი მაგალითზე No6) ინტერვალზე . უხერხულია იმის თქმაც კი, რომ ტიპის ფუნქციები განისაზღვრება მთელ რიცხვთა ხაზზე.

სასარგებლო ინფორმაცია : ტიპის ფუნქცია საინტერესოა, ის განსაზღვრულია მთელ რიცხვით წრფეზე, წერტილის გარდა. ლოგარითმის თვისების მიხედვით, „ორი“ შეიძლება ამოღებულ იქნეს ლოგარითმის გარეთ მყოფი ფაქტორით, მაგრამ იმისათვის, რომ ფუნქცია არ შეიცვალოს, „x“ უნდა იყოს ჩასმული მოდულის ნიშნის ქვეშ: . აქ თქვენ გაქვთ მოდულის კიდევ ერთი "პრაქტიკული გამოყენება" =). ეს არის ის, რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ უმეტეს შემთხვევაში, როდესაც ანადგურებთ თუნდაცხარისხი, მაგალითად: . მაგალითად, თუ ხარისხის საფუძველი აშკარად დადებითია, მაშინ მოდულის ნიშანი არ არის საჭირო და საკმარისია ფრჩხილებით გავიაროთ: .

იმისათვის, რომ არ გავიმეოროთ თავი, გავართულოთ დავალება:

მაგალითი 11

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

გამოსავალი: ამ ფუნქციაში გვაქვს ფესვიც და ლოგარითმიც.

ძირეული გამოხატულება უნდა იყოს არაუარყოფითი: , ხოლო ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამოხატული უნდა იყოს მკაცრად დადებითი: . ამრიგად, აუცილებელია სისტემის გადაჭრა:

ბევრმა თქვენგანმა კარგად იცის ან ინტუიციურად გამოიცნობს, რომ სისტემის გადაწყვეტა უნდა დააკმაყოფილოს თითოეულმდგომარეობა.

პარაბოლის მდებარეობის შესწავლისას ღერძთან მიმართებაში მივდივართ დასკვნამდე, რომ ინტერვალი აკმაყოფილებს უთანასწორობას (ლურჯი დაჩრდილვა):

უტოლობა, ცხადია, შეესაბამება "წითელ" ნახევარ ინტერვალს.

ვინაიდან ორივე პირობა უნდა შესრულდეს ერთდროულად, მაშინ სისტემის ამოხსნა არის ამ ინტერვალების კვეთა. ნახევარ ინტერვალზე „საერთო ინტერესები“ შეინიშნება.

უპასუხე: დომენი:

ტიპიური უთანასწორობა, როგორც ნაჩვენებია მე-8 მაგალითში, არ არის რთული ამოსახსნელი ანალიტიკური გზით.

განმარტების ნაპოვნი დომენი არ შეიცვლება "მსგავსი ფუნქციებისთვის", მაგალითად, for ან . თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაამატოთ რამდენიმე უწყვეტი ფუნქცია, მაგალითად: , ან ასე: , ან თუნდაც ასე: . როგორც ამბობენ, ფესვი და ლოგარითმი ჯიუტია. ერთადერთი ის არის, რომ თუ რომელიმე ფუნქცია "გადატვირთულია" მნიშვნელზე, მაშინ შეიცვლება განმარტების დომენი (თუმცა ზოგად შემთხვევაში ეს ყოველთვის ასე არ არის). კარგად, მატანის თეორიაში ამ სიტყვიერი ... ოჰ ... არის თეორემები.

მაგალითი 12

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. გეგმის გამოყენება საკმაოდ მიზანშეწონილია, რადგან ფუნქცია არ არის ყველაზე მარტივი.

კიდევ რამდენიმე მაგალითი მასალის გასაძლიერებლად:

მაგალითი 13

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

გამოსავალი: სისტემის შედგენა და ამოხსნა:

ყველა ქმედება უკვე დალაგებულია სტატიის მსვლელობისას. დახაზეთ რიცხვით წრფეზე უტოლობის შესაბამისი ინტერვალი და მეორე პირობის მიხედვით გამორიცხეთ ორი წერტილი:

ღირებულება სრულიად შეუსაბამო აღმოჩნდა.

უპასუხე: დომენი

მცირე მათემატიკური სიტყვა მე-13 მაგალითის ვარიაციაზე:

მაგალითი 14

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ვინ გაუშვა, ის ფრენაშია ;-)

გაკვეთილის ბოლო ნაწილი ეძღვნება უფრო იშვიათ, მაგრამ ასევე "სამუშაო" ფუნქციებს:

ფუნქციის ფარგლები
ტანგენტებით, კოტანგენტებით, რკალებით, არკოსინებით

თუ რომელიმე ფუნქცია მოიცავს , მაშინ მისი განმარტების სფეროდან გამორიცხულიქულები , სად ზარის მთელი რიცხვების სიმრავლე. კერძოდ, როგორც სტატიაშია აღნიშნული ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები, ფუნქციას აქვს შემდეგი მნიშვნელობები:

ანუ ტანგენტის განსაზღვრის დომენი: .

ბევრს არ მოვკლავთ:

მაგალითი 15

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები

გამოსავალი: ამ შემთხვევაში, შემდეგი პუნქტები არ შედის განმარტების დომენში:

მოდით, მარცხენა მხარის "ორი" ჩავყაროთ მარჯვენა მხარის მნიშვნელში:

Როგორც შედეგი :

უპასუხე: დომენი: .

პრინციპში, პასუხი ასევე შეიძლება დაიწეროს, როგორც უსასრულო რაოდენობის ინტერვალების გაერთიანება, მაგრამ კონსტრუქცია აღმოჩნდება ძალიან რთული:

ანალიტიკური გადაწყვეტა სრულ თანხმობაშია გეომეტრიული ტრანსფორმაციის გრაფიკა: თუ ფუნქციის არგუმენტი გამრავლებულია 2-ზე, მაშინ მისი გრაფიკი ორჯერ შემცირდება ღერძამდე. დააკვირდით, როგორ განახევრდა ფუნქციის პერიოდი და შესვენების წერტილებიორჯერ გაიზარდა. ტაქიკარდია.

მსგავსი ამბავი კოტანგენტთან დაკავშირებით. თუ რომელიმე ფუნქცია შეიცავს , მაშინ წერტილები გამოირიცხება მისი განმარტების დომენიდან. კერძოდ, ფუნქციისთვის, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მნიშვნელობებს ავტომატური აფეთქებით:

Სხვა სიტყვებით:

ცვლადის მქონე ნებისმიერ გამოხატულებას აქვს თავისი მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი, სადაც ის არსებობს. DHS ყოველთვის უნდა იყოს გათვალისწინებული გადაწყვეტილებაში. თუ არა, შეიძლება მიიღოთ არასწორი შედეგი.

ეს სტატია გაჩვენებთ, თუ როგორ სწორად იპოვოთ ODZ, გამოიყენეთ იგი მაგალითებით. იგი ასევე განიხილავს გადაწყვეტილებაში ODZ-ის დაზუსტების მნიშვნელობას.

Yandex.RTB R-A-339285-1

სწორი და არასწორი ცვლადის მნიშვნელობები

ეს განმარტება დაკავშირებულია ცვლადის დაშვებულ მნიშვნელობებთან. დეფინიციის შემოღებისას ვნახოთ რა შედეგს მოიტანს იგი.

მე-7 კლასიდან ვიწყებთ მუშაობას რიცხვებთან და რიცხვით გამოსახულებებთან. საწყისი განმარტებები ცვლადებით გადადის გამონათქვამების მნიშვნელობაზე შერჩეული ცვლადებით.

როდესაც არის გამონათქვამები შერჩეული ცვლადებით, ზოგიერთი მათგანი შეიძლება არ დააკმაყოფილოს. მაგალითად, გამონათქვამი, როგორიცაა 1: a, თუ \u003d 0, მაშინ აზრი არ აქვს, რადგან შეუძლებელია ნულზე გაყოფა. ანუ გამონათქვამს უნდა ჰქონდეს ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც ნებისმიერ შემთხვევაში მოერგება და პასუხს გასცემს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათ აქვთ აზრი ხელმისაწვდომი ცვლადებით.

განმარტება 1

თუ არსებობს გამონათქვამი ცვლადებით, მაშინ აზრი აქვს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი ჩანაცვლებისას შესაძლებელია მნიშვნელობის გამოთვლა.

განმარტება 2

თუ არსებობს გამონათქვამი ცვლადებით, მაშინ აზრი არ აქვს, როდესაც მათი ჩანაცვლებით მნიშვნელობის გამოთვლა შეუძლებელია.

ანუ აქედან გამომდინარეობს სრული განმარტება

განმარტება 3

არსებული მოქმედი ცვლადები არის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც გამოხატულებას აზრი აქვს. და თუ აზრი არ აქვს, მაშინ ისინი ბათილად ითვლება.

ზემოაღნიშნულის გასარკვევად: თუ არის ერთზე მეტი ცვლადი, მაშინ შეიძლება არსებობდეს შესაფერისი მნიშვნელობების წყვილი.

მაგალითი 1

მაგალითად, განიხილეთ ისეთი გამოხატულება, როგორიცაა 1 x - y + z , სადაც სამი ცვლადია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაწეროთ როგორც x = 0 , y = 1 , z = 2 , ხოლო სხვა აღნიშვნა არის (0 , 1 , 2) . ამ მნიშვნელობებს უწოდებენ ვალიდურს, რაც ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა. მივიღებთ, რომ 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. აქედან ჩვენ ვხედავთ, რომ (1, 1, 2) არასწორია. ჩანაცვლების შედეგად გაყოფა ნულზე, ანუ 1 1 - 2 + 1 = 1 0 .

რა არის ODZ?

მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი მნიშვნელოვანი ელემენტია ალგებრული გამონათქვამების შეფასებისას. ამიტომ, გაანგარიშებისას ყურადღება უნდა მიაქციოთ ამას.

განმარტება 4

ოძ-ის ტერიტორიაარის მოცემული გამოხატვისთვის დაშვებული მნიშვნელობების ნაკრები.

ავიღოთ გამოთქმის მაგალითი.

მაგალითი 2

თუ გვაქვს 5 z - 3 ფორმის გამოხატულება, მაშინ ODZ-ს აქვს ფორმა (− ∞ , 3) ​​∪ (3 , + ∞) . ეს არის სწორი მნიშვნელობების დიაპაზონი, რომელიც აკმაყოფილებს z ცვლადს მოცემული გამოხატულებისთვის.

თუ არსებობს z x-y ფორმის გამონათქვამები, მაშინ ცხადია, რომ x ≠ y, z იღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას. ეს არის ის, რასაც უწოდებენ ODZ გამოხატულებას. გასათვალისწინებელია, რომ ჩანაცვლებისას არ მივიღოთ გაყოფა ნულზე.

მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონს და განმარტების სფეროს იგივე მნიშვნელობა აქვს. მათგან მხოლოდ მეორე გამოიყენება გამონათქვამებისთვის, ხოლო პირველი გამოიყენება განტოლებისთვის ან უტოლობებისთვის. DPV-ის დახმარებით გამოხატვას ან უთანასწორობას აზრი აქვს. ფუნქციის განსაზღვრის დომენი ემთხვევა x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დომენს f (x) გამოსახულებაში.

როგორ მოვძებნოთ ODZ? მაგალითები, გადაწყვეტილებები

DPV-ის პოვნა ნიშნავს ყველა მოქმედი მნიშვნელობის პოვნას, რომელიც შეესაბამება მოცემულ ფუნქციას ან უტოლობას. თუ ეს პირობები არ დაკმაყოფილდება, შეიძლება არასწორი შედეგის მიღება. ODZ-ის საპოვნელად ხშირად საჭიროა ტრანსფორმაციების გავლა მოცემულ გამოხატულებაში.

არის გამონათქვამები, სადაც მათი შეფასება შეუძლებელია:

  • თუ არის გაყოფა ნულზე;
  • უარყოფითი რიცხვის ფესვის ამოღება;
  • უარყოფითი მთელი რიცხვის ინდიკატორის არსებობა - მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის;
  • უარყოფითი რიცხვის ლოგარითმის გამოთვლა;
  • π 2 + π · k , k ∈ Z და π · k , k ∈ Z ტანგენსის განსაზღვრის დომენი;
  • რიცხვის არქსინისა და არკოზინის მნიშვნელობის პოვნა მნიშვნელობით, რომელიც არ ეკუთვნის [-1; 1 ] .

ეს ყველაფერი მეტყველებს DHS-ის არსებობის მნიშვნელობაზე.

მაგალითი 3

იპოვეთ ODZ გამოხატულება x 3 + 2 x y − 4 .

გამოსავალი

ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს კუბური. ამ გამოსახულებას არ აქვს წილადი, ამიტომ x და y შეიძლება იყოს ნებისმიერი. ანუ ODZ არის ნებისმიერი რიცხვი.

პასუხი: x და y არის ნებისმიერი მნიშვნელობა.

მაგალითი 4

იპოვეთ ODZ გამოხატულება 1 3 - x + 1 0 .

გამოსავალი

ჩანს, რომ არის ერთი წილადი, სადაც მნიშვნელი არის ნული. ეს ნიშნავს, რომ x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მივიღებთ გაყოფას ნულზე. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს გამონათქვამი ითვლება განუსაზღვრელად, ანუ მას არ აქვს ODZ.

პასუხი: ∅ .

მაგალითი 5

იპოვეთ მოცემული გამოხატვის ODZ x + 2 · y + 3 - 5 · x.

გამოსავალი

კვადრატული ფესვის არსებობა მიუთითებს იმაზე, რომ ეს გამოხატულება უნდა იყოს ნულის მეტი ან ტოლი. თუ ის უარყოფითია, მას აზრი არ აქვს. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია ჩამოვწეროთ x + 2 · y + 3 ≥ 0 ფორმის უტოლობა. ანუ, ეს არის მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი.

პასუხი: x და y სიმრავლე, სადაც x + 2 y + 3 ≥ 0.

მაგალითი 6

განსაზღვრეთ ფორმის ODZ გამოხატულება 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

გამოსავალი

პირობით გვაქვს წილადი, ამიტომ მისი მნიშვნელი ნულის ტოლი არ უნდა იყოს. მივიღებთ, რომ x + 1 - 1 ≠ 0 . რადიკალური გამოხატულება ყოველთვის აქვს აზრი, როცა მეტია ან ტოლია ნულის, ანუ x + 1 ≥ 0 . ვინაიდან მას აქვს ლოგარითმი, მისი გამოხატულება უნდა იყოს მკაცრად დადებითი, ანუ x 2 + 3 > 0. ლოგარითმის ფუძე ასევე დადებითი და განსხვავებული უნდა იყოს 1-ისგან, შემდეგ ვამატებთ პირობებს x + 8 > 0 და x + 8 ≠ 1 . აქედან გამომდინარეობს, რომ სასურველი ODZ მიიღებს ფორმას:

x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მას უწოდებენ უტოლობათა სისტემას ერთი ცვლადით. ამოხსნა მიგვიყვანს ODZ-ის ასეთ ჩანაწერამდე [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) .

პასუხი: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

რატომ არის მნიშვნელოვანი ცვლილებების შეტანისას LHS-ის გათვალისწინება?

იდენტური გარდაქმნებისთვის მნიშვნელოვანია ODZ-ის პოვნა. არის შემთხვევები, როდესაც ODZ-ის არსებობა არ ხდება. იმის გასაგებად, აქვს თუ არა ამოხსნას მოცემული გამოხატულება, თქვენ უნდა შეადაროთ ორიგინალური გამოხატვის ცვლადების ODZ და მიღებული გამოხატვის ODZ.

იდენტობის გარდაქმნები:

  • შეიძლება არ იმოქმედოს ODZ-ზე;
  • შეიძლება გამოიწვიოს DHS-ის გაფართოება ან დამატება;
  • შეუძლია ODZ-ის შევიწროება.

მოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი 7

თუ გვაქვს x 2 + x + 3 · x ფორმის გამოხატულება, მაშინ მისი ODZ განისაზღვრება განსაზღვრების მთელ დომენზე. მსგავსი ტერმინების შემცირებით და გამოხატვის გამარტივებითაც კი, ODZ არ იცვლება.

მაგალითი 8

თუ ავიღებთ x + 3 x − 3 x გამოხატვის მაგალითს, მაშინ ყველაფერი განსხვავებულია. გვაქვს წილადური გამოხატულება. ჩვენ ვიცით, რომ ნულზე გაყოფა დაუშვებელია. მაშინ ODZ-ს აქვს ფორმა (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . ჩანს, რომ ნული გამოსავალი არ არის, ამიტომ ვამატებთ მას ფრჩხილებით.

განვიხილოთ მაგალითი რადიკალური გამოხატვის არსებობით.

მაგალითი 9

თუ არის x - 1 · x - 3 , მაშინ ყურადღება უნდა მიაქციოთ ODZ-ს, რადგან ის უნდა დაიწეროს როგორც უტოლობა (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 . შესაძლებელია ამოხსნა ინტერვალის მეთოდით, მაშინ მივიღებთ, რომ ODZ მიიღებს ფორმას (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . x - 1 · x - 3-ის გარდაქმნისა და ფესვების თვისებების გამოყენების შემდეგ, მივიღებთ, რომ ODZ შეიძლება შევსებული და ჩაიწეროს x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 , უტოლობების სისტემის სახით. მისი ამოხსნისას ვიღებთ, რომ [3, + ∞) . აქედან გამომდინარე, ODZ სრულად იწერება შემდეგნაირად: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

თავიდან უნდა იქნას აცილებული ცვლილებები, რომლებიც ავიწროებს DHS-ს.

მაგალითი 10

განვიხილოთ x - 1 · x - 3 გამოხატვის მაგალითი, როდესაც x = - 1. ჩანაცვლებისას მივიღებთ, რომ - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . თუ ეს გამონათქვამი გარდაიქმნება და მიიღება x - 1 x - 3 ფორმაში, მაშინ გამოთვლისას მივიღებთ, რომ 2 - 1 2 - 3 გამოსახულებას აზრი არ აქვს, რადგან რადიკალური გამოხატულება არ უნდა იყოს უარყოფითი.

უნდა მოხდეს იდენტური გარდაქმნები, რაც არ შეცვლის DHS-ს.

თუ არსებობს მაგალითები, რომლებიც აფართოებენ მას, მაშინ ის უნდა დაემატოს DPV-ს.

მაგალითი 11

განვიხილოთ x x 3 + x ფორმის წილადის მაგალითი. თუ x-ით შევამცირებთ, მაშინ მივიღებთ 1 x 2 + 1-ს. შემდეგ ODZ ფართოვდება და ხდება (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . უფრო მეტიც, გაანგარიშებისას ჩვენ უკვე ვმუშაობთ მეორე გამარტივებულ წილადთან.

ლოგარითმების არსებობისას სიტუაცია ოდნავ განსხვავებულია.

მაგალითი 12

თუ არსებობს ln x + ln (x + 3) ფორმის გამოხატულება, იგი იცვლება ln-ით (x (x + 3)) ლოგარითმის თვისებიდან გამომდინარე. ეს აჩვენებს, რომ ODZ (0 , + ∞)-დან (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞)-მდე. ამიტომ, ODZ ln (x (x + 3)) დასადგენად აუცილებელია გამოთვლების ჩატარება ODZ-ზე, ანუ (0 , + ∞) სიმრავლეებზე.

ამოხსნისას ყოველთვის საჭიროა ყურადღების მიქცევა პირობით მოცემული გამოხატვის სტრუქტურასა და ფორმაზე. თუ განსაზღვრების დომენი სწორად იქნა ნაპოვნი, შედეგი დადებითი იქნება.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: