O grămadă de avioane în spațiu. Creion de linii, ecuația unui creion de linii

În acest articol vom oferi o definiție a unui creion de avioane, vom obține o ecuație pentru un creion de avioane în raport cu un sistem de coordonate dreptunghiular dat și vom analiza în detaliu soluțiile la problemele caracteristice legate de conceptul de creion de avioane.

Navigare în pagină.

Pachetul de avioane – definiție.

Din axiomele geometriei rezultă că în spațiul tridimensional un singur plan trece printr-o dreaptă și un punct care nu se află pe ea. Și din această afirmație rezultă că există infinit de planuri care conțin o linie dreaptă predeterminată. Să justificăm asta.

Să ni se dea o linie dreaptă a. Să luăm un punct M 1 care nu se află pe dreapta a. Apoi prin dreapta a și punctul M 1 putem desena un plan și numai unul. Să o notăm. Acum să luăm un punct M 2 care nu se află în plan. Există un singur plan care trece prin dreapta a și punctul M2. Dacă luăm un punct M3 care nu se află nici în plan, nici în plan, atunci putem construi un plan care trece prin dreapta a și punctul M3. Evident, acest proces de construire a planurilor care trec printr-o linie dată a poate fi continuat la infinit.

Așa ajungem la definiția unui pachet de avioane.

Definiție.

O grămadă de avioane este mulțimea tuturor planurilor din spațiul tridimensional care trec printr-o dreaptă dată.

Linia dreaptă pe care o conțin toate planurile unui mănunchi se numește centrul acestui mănunchi de planuri. Astfel, expresia „un mănunchi de plane cu centrul a” este valabilă.

Un anumit pachet de planuri poate fi definit fie prin indicarea centrului său, fie prin specificarea oricăror două planuri ale acestui pachet, care este în esență același lucru. Pe de altă parte, oricare două plane care se intersectează definesc un anumit pachet de planuri.

Ecuația unui grup de avioane - rezolvarea problemelor.

În scopuri practice, nu este atât de mult mănunchiul de planuri din imaginea sa geometrică care prezintă interes, cât .

Să răspundem imediat la întrebarea logică: „Care este ecuația unui mănunchi de avioane”?

Pentru a face acest lucru, vom presupune că Oxyz este introdus în spațiul tridimensional și se specifică un mănunchi de planuri prin specificarea a două planuri și din acesta. Fie planul să corespundă ecuației generale a planului formei , iar planul formei . Deci, ecuația unui mănunchi de planuri este o ecuație care specifică ecuațiile tuturor planurilor acestui pachet.

Apare următoarea întrebare logică: „Care este forma ecuației unui mănunchi de plane în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz”?

Forma ecuației unui creion de plane este dată de următoarea teoremă.

Teorema.

Un plan aparține unui creion de plane definite de două plane care se intersectează și , dat de ecuațiile și, respectiv, dacă și numai dacă ecuația sa generală are forma , unde și sunt numere reale arbitrare care simultan nu sunt egale cu zero (acestea din urmă condiția este echivalentă cu inegalitatea).

Dovada.

Pentru a dovedi suficientă, trebuie să arătați:

Să rescriem ecuația sub forma . Ecuația rezultată este o ecuație plană generală dacă expresiile și nu sunt egale cu zero în același timp.

Să demonstrăm că ele într-adevăr nu dispar simultan prin contradicție. Să ne prefacem că. Atunci, dacă , atunci , dacă , atunci . Egalitățile rezultate înseamnă că vectorii și sunt legate de relații sau (dacă este necesar, vezi articolul), prin urmare, și . Deoarece este vectorul normal al planului, - vector normal al planului, iar vectorii și sunt coliniari, apoi planele și sunt paralele sau coincid (vezi articolul despre condiția paralelismului a două plane). Dar acest lucru nu poate fi, deoarece planurile definesc un mănunchi de planuri și, prin urmare, se intersectează.

Deci ecuația este într-adevăr o ecuație generală a planului. Să arătăm că planul definit de această ecuație trece prin linia de intersecție a planelor și .

Dacă acesta este într-adevăr cazul, atunci sistemul de ecuații de formă are un număr infinit de soluții. (Dacă sistemul de ecuații scris are o soluție unică, atunci planurile din care este compus sistemul au un singur punct comun, prin urmare, planul intersectează dreapta definită de planurile care se intersectează și. Dacă sistemul de ecuații scris nu are soluții , atunci nu există niciun punct care să aparțină simultan tuturor celor trei planuri, prin urmare, planul este paralel cu dreapta definită de planurile care se intersectează și ).

Deoarece prima ecuație a sistemului scris de ecuații este o combinație liniară a celei de-a doua și a treia ecuații, este redundantă și poate fi exclusă din sistem fără consecințe (am vorbit despre asta în articol). Adică, sistemul original de ecuații este echivalent cu un sistem de ecuații de forma . Și acest sistem are un număr infinit de soluții, deoarece planurile au infinit de puncte comune datorită faptului că se intersectează.

Suficiența a fost dovedită.

Să trecem la dovada necesității.

Pentru a demonstra necesitatea, este necesar să se arate că, oricare ar fi planul predeterminat care trece prin linia de intersecție a planurilor și , este determinat de ecuația pentru anumite valori ale parametrilor și .

Luați un avion care trece prin punct iar prin linia de intersecție a planelor și (M 0 nu se află pe linia de intersecție a acestor plane). Să arătăm că este întotdeauna posibil să se aleagă astfel de valori ale parametrilor și pentru care coordonatele punctului M 0 vor satisface ecuația, adică egalitatea va fi adevărată. Aceasta va dovedi suficiența.

Să substituim coordonatele punctului M 0 în ecuația: . Deoarece planele și nu trec simultan prin punctul M 0 (altfel aceste planuri ar coincide), atunci cel puțin una dintre expresii sau diferit de zero. Dacă , atunci ecuația poate fi rezolvată în raport cu parametrul ca și, dând parametrului o valoare arbitrară diferită de zero, calculăm . Dacă , atunci dând parametrului o valoare arbitrară diferită de zero, calculăm .

Teorema este complet demonstrată.

Deci, se pare că. Definește toate planurile fasciculului. Dacă luăm o pereche de valori și înlocuiți-le în ecuația unui grup de planuri, apoi obținem ecuația generală a unui plan din acest grup.

Deoarece în ecuația unui mănunchi de plane parametrii și nu sunt egali cu zero în același timp, se poate scrie sub forma , dacă , și sub forma , dacă .

Cu toate acestea, aceste ecuații nu sunt echivalente cu ecuația unui grup de planuri de formă, deoarece pentru orice valoare ecuația unui plan de formă nu poate fi obținută din ecuație, iar din ecuație pentru orice valoare, ecuația unui plan de formă nu poate fi obținută.

Să trecem la rezolvarea exemplelor.

Exemplu.

Scrieți ecuația unui creion de plane, care în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz este definit de două plane care se intersectează Și .

Soluţie.

Ecuația plană dată în segmente este echivalentă cu ecuația plană generală de forma . Acum putem nota ecuația necesară pentru o grămadă de avioane: .

Răspuns:

Exemplu.

Planul aparține mănunchiului de planuri cu centru , ?

Soluţie.

Dacă un plan aparține unui fascicul, atunci linia dreaptă, care este centrul fasciculului, se află în acest plan. Astfel, puteți lua două puncte diferite pe o linie și puteți verifica dacă se află în plan. Dacă da, atunci avionul aparține pachetului specificat de avioane; dacă nu, atunci nu aparține.

Ecuațiile parametrice ale unei linii în spațiu facilitează determinarea coordonatelor punctelor aflate pe ea. Să luăm două valori ale parametrilor (de exemplu și ) și să calculăm coordonatele a două puncte M 1 și M 2 ale dreptei:

Un creion propriu de avioane este ansamblul tuturor planurilor care trec printr-o linie.

Un creion nepotrivit de avioane este un set de avioane care sunt toate paralele între ele.

Teorema 1. Pentru ca cele trei plane definite de ecuaţiile generale

raportat la sistemul general de coordonate carteziene, aparțin aceluiași creion, propriu sau impropriu, este necesar și suficient ca rangul matricei

era egal cu doi sau cu unu.

Dovada de necesitate. Fie trei planuri (1) să aparțină unui mănunchi. Se cere să se demonstreze că

Să presupunem mai întâi că cele trei planuri date aparțin propriului lor pachet. Atunci sistemul (1) are un număr infinit de soluții (deoarece, după definiția unui creion propriu-zis: trei planuri aparțin creionului dacă trec printr-o linie dreaptă); aceasta va fi dacă și numai dacă, deoarece dacă, atunci sistemul (1) fie are o soluție unică, fie este inconsecvent, în funcție de faptul dacă determinantul, compus din coeficienți pentru necunoscute, este diferit de zero sau egal cu zero.

Dacă trei planuri date aparțin unui creion nepotrivit, atunci rangul matricei este

este egal cu 1, ceea ce înseamnă rangul matricei M egal fie cu doi, fie cu unul.

Dovada de suficiență. Dat: Este necesar să se demonstreze că trei avioane date aparțin unui pachet.

Dacă, atunci și. Lasa. Atunci sistemul (1) este consecvent, are un număr infinit de soluții, iar între aceste plane se numără și unele care se intersectează (deoarece dacă nu ar exista unele care se intersectează, atunci toate ar fi paralele și rangul matricei ar fi egal cu 1) , prin urmare cele trei planuri date aparțin pachetului propriu.

Dacă; , atunci toate planurile sunt coliniare (două dintre ele sunt cu siguranță paralele, iar al treilea poate coincide cu unul dintre planele paralele).

Dacă, atunci și, și toate planurile coincid.

Teorema 2. Să fie date două plane diferite într-un sistem general de coordonate carteziene și ecuațiile generale: ; .

Pentru al treilea plan, definit și de ecuația generală

relativ la același sistem de coordonate, a aparținut creionului definit de planuri și, este necesar și suficient ca partea stângă a ecuației planului să fie o combinație liniară a laturilor din stânga ecuațiilor planelor. și.

Dovada de necesitate. Având în vedere: planul aparține mănunchiului de planuri definit de planuri și. Este necesar să se demonstreze că există numere și astfel încât identitatea este valabilă pentru toate valorile X, la, z:

De fapt, dacă trei avioane aparțin unui pachet, atunci unde

Primele două rânduri ale acestei matrice sunt liniar independente (deoarece planurile și sunt diferite), iar din moment ce al treilea rând este o combinație liniară a primelor două, i.e. există numere și așa încât

Înmulțirea ambelor părți ale primei egalități cu X, ambele părți ale celui de-al doilea on la, ambele părți ale a treia pe z iar adunând egalitățile rezultate și egalitatea termen cu termen, obținem identitatea care se dovedește.

Dovada de suficiență. Lasă identitatea

valabil pentru toate valorile X, laȘi z. Se cere să se dovedească că avionul aparține creionului definit de avioane și.

Din această identitate decurg următoarele relații:

deci al treilea rând al matricei M există o combinație liniară a primelor două și, prin urmare. etc.

Ecuația în care și nu sunt egale cu zero în același timp se numește ecuația unui creion de plane, definită de două plane diferite și ale cărei ecuații în sistemul general de coordonate carteziene sunt următoarele:

După cum sa dovedit, ecuația oricărui plan al unui fascicul este definită de diferite planuri și poate fi scrisă sub formă.

În schimb, dacă o ecuație în care cel puțin unul dintre numere și nu este egal cu zero este o ecuație de gradul întâi, atunci este o ecuație a unui plan aparținând creionului definit de planurile și. Într-adevăr, al treilea rând al matricei M, compus din coeficienții ecuațiilor și are forma

acestea. este o combinație liniară a celorlalte două, prin urmare.

Dacă planele și se intersectează și și nu sunt egale cu zero în același timp, atunci toți coeficienții pentru X, la, zîn ecuaţie nu poate fi egal cu zero, deoarece dacă relaţiile au avut loc

atunci planurile ar fi coliniare contrar presupunerii.

Dar dacă planurile sunt paralele, atunci există numere și, dintre care cel puțin unul nu este egal cu zero și astfel încât în ecuație toți coeficienții pentru X, laȘi z sunt egale cu zero. Dar atunci va fi un pachet nepotrivit și, la fel ca în cazul unui pachet de linii drepte, aici trebuie să fii foarte atent.

În primul rând vom spune că avionul

există o combinație liniară de planuri

dacă ecuația (1) este o combinație liniară a ecuațiilor (2) și (3), adică dacă există astfel de și , atunci identitatea este valabilă

Din identitatea (4) rezultă că orice punct care satisface ambele ecuații (2) și (3) satisface și ecuația (1) - orice punct aparținând ambelor plane (2) și (3) aparține și planului (1) . Cu alte cuvinte:

Un plan care este o combinație liniară a două plane date care se intersectează (2) și (3) trece prin linia de intersecție a acestor plane. Să demonstrăm că, invers, fiecare plan (1) care trece prin dreapta de intersecție d a două plane date (2) și (3) este o combinație obișnuită a acestor plane.

Fără pierderea generalității, putem presupune că planul (1) nu coincide cu niciunul dintre planurile (2) și (3). Dovada este exact aceeași ca și în cazul dreptelor (Capitolul V, § 5).

Planul care trece prin linia d va fi complet definit dacă indicăm un punct al acestuia (Fig. 122) care nu se află pe linia d.

Să luăm un astfel de punct pe planul nostru (1) și să scriem o ecuație cu două necunoscute și:

Deoarece, prin presupunere, punctul nu se află pe linia d, atunci cel puțin unul dintre parantezele din partea stângă a ecuației (5) este diferit de zero; din această ecuaţie (5) relaţia

Să avem acum câteva numere care satisfac proporția (6). Atunci egalitatea (5) este de asemenea satisfăcută, adică punctul se află pe plan

Dar acest plan, fiind o combinație liniară de planuri (2) și (3), trece prin dreapta d și conține un punct aparținând planului ( - ceea ce înseamnă că planul (1) coincide cu planul (7) și este un liniar. combinație de planuri (2) și (3).Afirmația a fost dovedită.

Deci, pentru ca planul (1) să treacă prin linia dreaptă de intersecție a două plane (2) și (3), este necesar și suficient ca ecuația (1) să fie o combinație liniară a ecuațiilor (2) și (3). ).

Fie acum planele (2) și (3) paralele. Exact la fel ca în § 5 din capitolul V, suntem convinși că orice plan care este o combinație liniară de planuri (2) și (3) va fi paralel cu acestea și că, invers, orice plan paralel cu doi (paralel fiecăruia). alte) plane (2) și (3), este combinația lor liniară.

Să numim mulțimea tuturor planurilor care trec printr-o linie dată d; un creion propriu-zis de plane cu o axă; să numim un creion impropriu de plane mulțimea tuturor planurilor paralele (în sensul larg al cuvântului) cu un singur plan. În cele din urmă, să numim mulțimea tuturor planurilor care sunt combinații liniare a două plane și , o varietate unidimensională de planuri generate de cele două elemente ale sale și . Am demonstrat că orice creion de plane (corespunzător sau impropriu) este o varietate unidimensională generată de oricare dintre două elemente ale sale.

În schimb, fiecare varietate unidimensională de plane (generată de două plane și 62) este un mănunchi de plane - propriu dacă planurile și 62 se intersectează, impropriu dacă sunt paralele.

În Capitolul XXIII al acestor Prelegeri vom construi spațiu proiectiv prin completarea spațiului obișnuit cu puncte infinit îndepărtate (improprie) în așa fel încât colecția acestor puncte infinit îndepărtate să formeze un plan infinit (impropriu) îndepărtat;

Toate liniile aflate în acest plan vor fi, de asemenea, numite infinit îndepărtate sau improprii. Fiecare plan „propriu” (adică obișnuit) al spațiului se intersectează cu un plan impropriu de-a lungul unei linii necorespunzătoare - de-a lungul singurei linii necorespunzătoare a unui plan propriu dat. Se dovedește că două plane proprii sunt paralele dacă și numai dacă se intersectează de-a lungul dreptei lor (comune) la infinit. Astfel, în spațiul proiectiv, distincția dintre creioanele proprii și improprii de planuri dispare: un creion impropriu este un creion de planuri a cărui axă este una dintre liniile improprie ale spațiului proiectiv.

Prelegeri de algebră și geometrie. Semestrul 1.

Cursul 14. Ecuațiile unui creion de linii pe un plan, un creion de avioane și o grămadă de avioane.

Capitolul 14. Ecuațiile unui creion de linii pe un plan, un creion de avioane și o grămadă de avioane.

clauza 1. Ecuația unui creion de linii pe un plan.

Definiție. Un creion de linii pe un plan este mulțimea tuturor liniilor unui plan dat care au un punct comun, care se numește centrul creionului.

În Fig. 1 punct
– centrul fasciculului.

Teorema. Lăsa

– două linii drepte în planul de coordonate Oxy care se intersectează într-un punct
. Apoi ecuația

Unde
– numere reale arbitrare care nu sunt egale cu zero în același timp, există o ecuație a unui creion de linii cu centrul creionului în punctul
.

Dovada.

Fie L o linie dreaptă arbitrară a acestui fascicul cu centrul fasciculului în punct
Și este vectorul său normal. Atunci ecuația vectorială a dreptei L are forma:

, (2)

Unde – vectorul rază al unui punct
, – vector raza curentă, adică vector rază a punctului curent
.

Din moment ce drept Și
prin presupunerea teoremei se intersectează, atunci vectorii lor normali nu sunt coliniari și, prin urmare, formează o bază.

Apoi vectorul poate fi extins pe această bază:

Unde
– coeficienții acestei expansiuni nu sunt egali cu zero în același timp, deoarece prin definiție un vector normal
. Înlocuind în (2) obținem sau

Dar
Și
– ecuații vectoriale ale dreptelor Și
, adică ,

Înlocuind în (3), obținem egalitatea (1).

Astfel, am demonstrat că ecuația oricărei linii dintr-un creion dat are forma (1).

În schimb, dovedim că pentru orice
, care simultan nu sunt egale cu zero, ecuația (1) este ecuația unei linii drepte dintr-un creion dat.

Într-adevăr, pe de o parte, pentru orice
, care simultan nu sunt egale cu zero, ecuația (1) este ecuația generală a dreptei

Pe de altă parte, lăsăm ecuația (1)
sunt numere reale arbitrare care nu sunt egale cu zero în același timp și fie
– coordonatele centrului fasciculului. Deoarece
Și
, atunci coordonatele centrului fasciculului satisfac ecuațiile dreptelor Și
:

Apoi, înlocuind coordonatele punctului
în ecuația (1), obținem

Acestea. ecuația (1) este ecuația unei drepte care trece printr-un punct
, ceea ce înseamnă că linia aparține acestui pachet etc.

Teorema a fost demonstrată.

Cometariu. Dacă în (1)

. Dacă
, atunci ecuația (1) este ecuația dreptei . Prin urmare, dacă ecuația (1) este împărțită la
, apoi obținem ecuația oricărei linii din creionul dat, cu excepția liniei
:

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte arbitrare care trece printr-un punct dat
.

Soluţie. Linia dreaptă necesară este o linie dreaptă a unui mănunchi de linii drepte cu centrul mănunchiului în punctul
. Evident, următoarele două linii aparțin acestui pachet:

Și

Sau
,
. Atunci ecuația oricărei linii a acestui creion are forma

Dacă înlocuim literele grecești din această ecuație cu cele latine, obținem

– ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat
. În special, când
, obținem ecuația unui creion de linii drepte cu centrul creionului la origine:
.

Împărțirea ecuației (5) la
, obținem ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular care trece printr-un punct dat
:

, (6)

și atunci când
, obținem ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular care trece prin originea coordonatelor:

Cu alte cuvinte, ecuația
, Unde
, este ecuația unui creion de linii cu centrul creionului la origine.

clauza 2. Ecuația unui grup de avioane.

Definiție. Un mănunchi de planuri este mulțimea tuturor planurilor care au un punct comun, care se numește centrul mănunchiului.

Teorema. Lăsa , ,

– trei avioane în PDSC Oxyz, având un singur punct comun
. Atunci ecuația , (7)

Unde
– numere reale arbitrare care nu sunt egale cu zero în același timp, există o ecuație pentru o grămadă de plane cu centrul mănunchiului în punctul
.

Demonstrarea repetă practic demonstrația teoremei anterioare despre ecuația unui creion de linii.

Exemplu. Găsiți ecuația unui mănunchi de plane cu centrul fasciculului într-un punct
.

Soluţie. Este evident că următoarele trei plane se intersectează într-un singur punct
:

,
,
.

Apoi ecuația

Unde
și în același timp nu egal cu zero, există ecuația necesară.

În special, dacă
, apoi ecuația

(9)

este ecuația unui mănunchi de plane cu centrul fasciculului la origine.

clauza 3. Ecuația unui grup de avioane.

Definiție. Un mănunchi de planuri este mulțimea tuturor planurilor care se intersectează de-a lungul aceleiași drepte, numită axa mănunchiului.

Teorema. Lăsa

sunt două plane care se intersectează de-a lungul dreptei L. Apoi ecuația

Unde
– numere reale arbitrare care nu sunt egale cu zero în același timp, este ecuația unui fascicul de plane cu axa fasciculului L.

Demonstrarea este similară cu demonstrarea teoremei privind ecuația unui creion de linii și este lăsată la latitudinea cititorului.

Exemplu. Găsiți ecuația unui creion de plane a cărui axă este axa x.

Soluţie. Evident, planurile de coordonate

Și
se intersectează de-a lungul axei Ox.

Atunci ecuația (10) în acest caz ia forma

. Înlocuind literele grecești cu cele latine, obținem

, (11)

Unde
– numere reale arbitrare care nu sunt egale cu zero în același timp. Ecuația (11) este ecuația dorită pentru un fascicul de plane cu axa fasciculului Ox.

La fel, Ec.

, (12)

este ecuația unui mănunchi de plane cu axa fasciculului Oy și ecuația

(13)

este ecuația unui fascicul de plane cu axa fasciculului Oz.

clauza 4. Probleme de bază pe linii și plane.

Problema 1. Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte date
Și
.

Am rezolvat deja această problemă, vezi prelegerea 11, paragraful 4, sarcina 1:

Problema 2. Aflați unghiul dintre două drepte

Și
.

Această problemă a fost rezolvată în cursul 11, paragraful 4:

Unghiul necesar este egal fie cu unghiul dintre vectorii lor de direcție

sau
.

Problema 3. Aflați ecuația generală a planului dacă sunt cunoscute coordonatele vectorului său normal
și coordonatele punctului
, culcat pe un avion dat.

Soluţie. O soluție la această problemă este dată în paragraful 2, formula (8).

Aceeași ecuație poate fi obținută în alt mod. Ecuația generală a planului este

Unde
sunt coordonatele vectorului său normal. Rămâne să găsim coeficientul D. În acest scop, să substituim coordonatele punctului în ecuație
: , Unde .

Inlocuind in ecuatie obtinem:

– ecuația necesară a planului.

Problema 4. Aflați ecuația unui plan care trece prin trei puncte date
,
Și
.

După cum am văzut în problema 3, pentru a compune ecuația generală a unui plan este suficient să cunoaștem coordonatele vectorului său normal. și coordonatele oricărui punct situat pe un plan dat.

Ca vector normal al planului, putem lua produsul vectorial al vectorului
a vector
, iar ca punct întins pe avion putem lua punctul
. Primim

Ecuația plană necesară poate fi obținută sub altă formă. Ecuația plană în formă vectorială este

Problema 5. Aflați unghiul dintre două plane.

Soluţie. Din geometrie știm că unghiul diedru dintre două plane se măsoară prin unghiul liniar (vezi Fig. 12).

Este ușor de observat că unghiul liniar , măsurarea unghiului diedric dintre două plane este egală cu unghiul
între vectorii normali ai acestor plane sau este egal cu
. Aici se folosește semnul egalității unghiurilor cu laturile reciproc perpendiculare.

sau
.

Astfel, problema calculării unghiului dintre planuri se reduce la problema calculării unghiului dintre vectori.

Problema 6. Aflați distanța de la un punct dat
la un avion dat

Soluţie. Să alegem un punct arbitrar
, culcat pe un avion dat. Rețineți că dacă
, atunci originea coordonatelor se află pe plan și poate fi luată ca punct
. Dacă
, atunci ca atare punct putem lua punctul de intersecție al planului cu una dintre axele de coordonate. Deoarece un plan nu poate fi paralel cu toate cele trei axe de coordonate, cel puțin o axă de coordonate intersectează acest plan.

Să, de exemplu,
– punctul de intersecție a planului cu axa de coordonate Ox. Aici
, Dacă
.

Deci, să punctăm
ales într-un fel sau altul, apoi distanța
dintr-un punct dat
la un avion dat egal cu modulul proiecției vectorului
la vectorul normal al planului :

Deoarece , această formulă poate fi scrisă sub forma

. (14)

Definiție. Să fie date o ecuație de plan general arbitrară și un punct arbitrar din spațiu
. Număr

se numește discrepanță de puncte
raportat la avion .

Folosind conceptul introdus de rezidual, formula pentru distanța de la un punct la un plan poate fi scrisă astfel:

Definiție. Magnitudinea

(15)

numită abatere punctuală
din avion .

Din ultima definiție rezultă că distanța de la un punct
randul de sus egal cu modulul abaterii punctului
din avion :

Din formula (21) este clar că abaterea și discrepanța au același semn.

Cometariu. Formulele (14) – (16) pot fi scrise sub altă formă. Să aducem această ecuație a planului la forma normală:

si minus in rest.

Acum, formula (14) pentru distanța de la un punct la un plan ia forma:

– abatere punctuală
din avion .

Problema 7. Aflați distanța de la un punct dat
la această linie
.

Soluţie. Problema este rezolvată similar cu cea anterioară.

. Deoarece
, Acea

Conceptele de discrepanță a unui punct față de o dreaptă și de abatere a unui punct de la o dreaptă sunt introduse în mod similar.

Definiție. Să fie dată o ecuație generală arbitrară a unei linii
și un punct arbitrar pe plan
. Număr

se numește discrepanță de puncte
raportat la dreapta L.

Definiție. Magnitudinea

numită abatere punctuală
din avion .

Dacă aducem ecuația unei linii drepte la forma normală:

, iar semnul plus este luat în cazul în care
și minus, în caz contrar, atunci formula pentru distanța de la un punct la o linie are forma:

– abatere punctuală
din linia dreaptă L.

Problema 8. Aflați distanța dintre două plane paralele.

Soluţie. 1a metoda. Găsiți un punct arbitrar pe un plan și găsiți distanța de la el la al doilea plan, adică reduceți această problemă la problema 6.

a 2-a metoda. Să aducem ambele ecuații ale planelor paralele la forma normală:

Unde
Și
– vectori normali ai planelor Și
respectiv,
,
– distante de la origine la avioane Și
respectiv.

Deoarece vectori normali Și sunt direcționate de la originea coordonatelor către plan, atunci sunt posibile 2 cazuri:

A)
. Figura următoare prezintă schematic două plane paralele Și
iar vectorii lor normali unitari reprezentați grafic de la originea O.

Aici,
,
– distante de la origine la planurile corespunzatoare. Deoarece nu se știe care plan este mai aproape de originea coordonatelor, distanța dintre avioane

b)
. Deoarece vectori normali Și sunt direcționate de la originea coordonatelor către plane și sunt opuse, atunci originea coordonatelor este între planuri, vezi figura următoare.

Aici, ca și în cazul precedent,
,
– distante de la origine la planurile corespunzatoare. Rezultă că distanța dintre avioane

Problema 9. Aflați distanța dintre două drepte paralele.

Ar putea fi util să citiți: