Care este ipotenuza dreptunghiului. Cum se găsesc laturile unui triunghi dreptunghic? Fundamentele geometriei

La început, ne amintim că un triunghi este un poliedru care are 3 unghiuri. Cum se află ipotenuza unui triunghi dreptunghic dacă se cunosc alte dimensiuni ale triunghiului?

Instruire

  1. Lungimile picioarelor sunt cunoscute. ÎN acest caz, ipotenuza poate fi calculată folosind teorema lui Pitagora. Această teoremă sună astfel: suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. De aici rezultă că, pentru a calcula lungimea ipotenuzei, este necesar să pătrați pe rând valoarea fiecărui catete. Apoi adăugați numerele rezultate și luați rădăcina pătrată din rezultatul total.
  2. Cum să găsiți ipotenuza în triunghiul KFB dacă se cunosc catetul (VC) și unghiul adiacent acestuia? Notăm unghiul cunoscut cu α. Una dintre proprietățile unui triunghi dreptunghic este următoarea: raportul dintre lungimea catetei unui triunghi dreptunghic și lungimea ipotenuzei este egal cu cosinusul unghiului dintre ipotenuză și acest catet. Aceasta poate fi scrisă astfel: FB=BK*cos(α).
  3. Se cunoaște un alt picior (KF) și același unghi α, acum va fi opus. Ipotenuza poate fi găsită și prin aplicarea acelorași proprietăți ale unui triunghi dreptunghic. Aici obținem, raportul dintre lungimea catetei unui triunghi dreptunghic și lungimea ipotenuzei acestuia este egal cu sinusul unghiului opus catetei. Notăm: FB=KF*sin(α).
  4. Cum să găsiți ipotenuza unui triunghi dacă în jurul lui este descris un cerc, pentru care este cunoscută raza lui. Din proprietățile unui cerc care este circumscris unui triunghi dreptunghic, se știe că un astfel de cerc are un centru care coincide cu punctul ipotenuzei, care îl împarte la jumătate. Cu alte cuvinte, raza este egală cu jumătate din ipotenuză. Și asta înseamnă că două raze alcătuiesc ipotenuza: FB=2*R.

Cunoscând proprietățile unui triunghi dreptunghic și teorema lui Pitagora, este foarte ușor de calculat lungimea ipotenuzei. Dacă vă este încă dificil să vă amintiți toate proprietățile, atunci învățați doar formule gata făcute în care este foarte ușor să le înlocuiți valori cunoscute pentru a calcula lungimea ipotenuzei.

Tradus din greacă, ipotenuza înseamnă „întins”. Pentru o înțelegere corectă, imaginați-vă o sfoară de arc care leagă cele două capete ale unui baston flexibil. Și aici în triunghi dreptunghic, cea mai lungă latură, este ipotenuza, care se află opusă unghi drept. Acționează ca un conector al celorlalte două părți, numite picioare. Pentru a afla cât de lung este acest „șir”, trebuie să aveți lungimile picioarelor, sau valoarea a două unghiuri ascuțite. Combinând aceste date, puteți calcula valoarea dorită folosind formule.

Cum se află ipotenuza după catete

Cel mai simplu mod de a calcula dacă cunoașteți valoarea a două catete (să notăm unul A, al doilea B). Însuși Pitagora și teorema sa celebră în întreaga lume vin în ajutor. Ea ne spune că dacă punem la pătrat lungimea catetelor și adunăm valorile calculate, atunci ca rezultat vom afla valoarea pătratului lungimii ipotenuzei. Din cele de mai sus, concluzionăm: pentru a găsi valoarea ipotenuzei, este necesar să extragem rădăcina pătrată a sumei totale a pătratelor catetelor C \u003d √ (A² + B²). Exemplu: cateta A \u003d 10 cm, cateta B \u003d 20 cm. Ipotenuza este de 22,36 cm. Calculul este următorul: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √203√203.

Cum se află ipotenuza printr-un unghi

Este puțin mai dificil să calculezi lungimea ipotenuzei printr-un unghi dat. Dacă cunoașteți dimensiunea unuia dintre cele două catete (să notăm A) și dimensiunea unghiului (să notăm α) care se află în fața lui, atunci dimensiunea ipotenuzei se găsește folosind trigonometrie și în special sinusul. Tot ce trebuie să faceți este să împărțiți valoarea piciorului cunoscut la sinusul unghiului. C=A/sin(α). Exemplu: lungimea piciorului este A = 30 cm, unghiul opus este de 45 °, ipotenuza va fi de 42,25 cm.Calculul este următorul: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

O altă modalitate este de a găsi dimensiunea ipotenuzei folosind cosinusul. Se folosește dacă cunoașteți dimensiunea piciorului (să notăm B) și unghiul ascuțit (să notăm α) care îi este adiacent. Tot ce trebuie să faceți este să împărțiți valoarea piciorului la sinusul unghiului. С=В/cos(α). Exemplu: lungimea catetei este B = 30 cm, unghiul opus este de 45 °, ipotenuza va fi de 42,25 cm.Calculul este urmatorul: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Cum se află ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel

Orice student care se respectă știe că un triunghi este isoscel, cu condiția ca două din cele trei laturi să fie egale între ele. Aceste laturi se numesc laterale, iar cea care ramane este baza. Dacă unul dintre unghiuri este de 90 °, atunci aveți un triunghi dreptunghic isoscel.

Găsirea ipotenuzei într-un astfel de triunghi este simplă, deoarece are câteva proprietăți care vă vor ajuta. Unghiurile adiacente bazei au aceeași valoare, suma totală a unghiurilor este de 180°. Aceasta înseamnă că unghiul drept se află opus bazei, ceea ce înseamnă că baza este ipotenuza, catetele sunt laturile.

Luați în considerare un exemplu: piciorul A \u003d 2 cm, ceea ce înseamnă că celălalt picior are 2 cm. Astfel, rescriem teorema lui Pitagora: C² \u003d 2 * A². Înlocuind datele în formulă, obținem valoarea ipotenuzei egală cu 2,83 cm.Concluzie: dacă o latură a unui triunghi dreptunghic isoscel are 2 cm, atunci baza lui va fi de 2,83 cm.

Un triunghi se numește triunghi dreptunghic dacă unul dintre unghiurile sale este de 90º. Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză, iar celelalte două sunt catetele.

Pentru a găsi unghiul într-un triunghi dreptunghic, se folosesc câteva proprietăți ale triunghiurilor dreptunghiulare, și anume: faptul că suma unghiurilor ascuțite este de 90º, precum și faptul că opus catetei, a cărui lungime este jumătate din ipotenuză, se află o unghi egal cu 30º.

Navigare rapidă în articole

Triunghi isoscel

Una dintre proprietățile unui triunghi isoscel este că două dintre unghiurile sale sunt egale. Pentru a calcula valorile unghiurilor unui triunghi isoscel dreptunghic, trebuie să știți că:

  • Un unghi drept este de 90º.
  • Valorile unghiurilor ascuțite sunt determinate de formula: (180º-90º)/2=45º, adică. unghiurile α și β sunt de 45º.

Dacă valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite este cunoscută, al doilea poate fi găsit prin formula: β=180º-90º-α, sau α=180º-90º-β. Cel mai adesea, acest raport este utilizat dacă unul dintre unghiuri este de 60º sau 30º.

Concepte cheie

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180º. Deoarece un unghi este drept, celelalte două vor fi ascuțite. Pentru a le găsi, trebuie să știți că:


alte metode

Valorile unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic pot fi calculate cunoscând valoarea medianei - o linie trasată de la vârf la partea opusă a triunghiului, iar înălțimea - o linie dreaptă, care este o perpendiculară căzută. de la unghiul drept la ipotenuză. Fie s mediana trasată de la unghiul drept până la mijlocul ipotenuzei, h este înălțimea. În acest caz, rezultă că:


  • sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
  • cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
  • sinα=h/b; sinβ=h/a.

Două părți

Dacă lungimea ipotenuzei și a unuia dintre catete sau două laturi sunt cunoscute într-un triunghi dreptunghic, identitățile trigonometrice sunt utilizate pentru a găsi valorile unghiurilor ascuțite:

  • α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
  • α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
  • α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).
Distribuie acest articol cu prietenii de pe rețelele sociale retele:

Instruire

Dacă trebuie să calculați ipotenuza folosind teorema lui Pitagora, utilizați următorul algoritm: - Determinați în triunghi ce laturi sunt catetele și care sunt ipotenuza. Cele două laturi care formează un unghi de nouăzeci de grade sunt catetele, a treia latură rămasă a triunghiului este ipotenuza. (vezi figura) - Ridicați la a doua putere fiecare catenă a acestui triunghi, adică înmulțiți valoarea lor de la sine. Exemplul 1. Să fie necesar să se calculeze ipotenuza dacă un catet dintr-un triunghi are 12 cm și celălalt are 5 cm. În primul rând, pătratele catetelor sunt: ​​12 * 12 = 144 cm și 5 * 5 = 25 cm. - Apoi, determinați suma picioarelor pătratelor. Un anumit număr este un pătrat ipotenuză, așa că trebuie să scapi de a doua putere a numărului pentru a găsi lungime această parte a triunghiului. Pentru a face acest lucru, extrageți de sub rădăcina pătrată valoarea sumei pătratelor picioarelor. Exemplul 1. 144+25=169. Rădăcina pătrată a lui 169 va fi 13. Prin urmare, lungimea acestuia ipotenuză egal cu 13 cm.

Un alt mod de a calcula lungimea ipotenuză se află în terminologia sinusului și cosinusului unghiurilor dintr-un triunghi. Prin definiție: sinusul unghiului alfa este raportul dintre catetul opus și ipotenuză. Adică, privind figură, păcat a \u003d CB / AB. Prin urmare, ipotenuza AB \u003d CB / sin a. Exemplul 2. Fie unghiul a de 30 de grade, iar catetul opus acestuia de 4 cm. Trebuie să găsiți ipotenuza. Soluție: AB \u003d 4 cm / sin 30 \u003d 4 cm / 0,5 \u003d 8 cm. Răspuns: lungime ipotenuză egal cu 8 cm.

Un mod similar de a găsi ipotenuză din definiția cosinusului unui unghi. Cosinusul unui unghi este raportul catetei adiacente acestuia și ipotenuză. Adică cos a \u003d AC / AB, deci AB \u003d AC / cos a. Exemplul 3. În triunghiul ABC, AB este ipotenuza, unghiul BAC este de 60 de grade, cateta AC este de 2 cm. Aflați AB.
Rezolvare: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0,5 \u003d 4 cm. Răspuns: ipotenuza are 4 cm lungime.

Sfat 2: Cum să găsiți lungimea ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic

Ipotenuza este numită cea mai lungă dintre laturile unui triunghi dreptunghic, așa că nu este surprinzător că acest cuvânt este tradus din greacă ca „întins”. Această latură se află întotdeauna opusă unghiului de 90°, iar laturile care formează acest unghi se numesc picioare. Cunoscând lungimile acestor laturi și mărimea unghiurilor ascuțite în diferite combinații ale acestor valori, se poate calcula și lungimea ipotenuzei.

Instruire

Dacă se cunosc lungimile ambelor catete ale triunghiului (A și B), atunci folosiți, poate, cel mai faimos postulat matematic de pe planeta noastră, teorema lui Pitagora, pentru a afla lungimea ipotenuzei (C). Se spune că pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimii catetelor, din care rezultă că ar trebui să calculați rădăcina pătrată a sumei pătratelor lungimii celor două laturi cunoscute: C \u003d √ (A² + B²). De exemplu, dacă lungimea unui picior este de 15 centimetri, iar celălalt este de 10 centimetri, atunci lungimea ipotenuzei va fi de aproximativ 18,0277564 centimetri, deoarece √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈71864. .

Dacă se cunoaște lungimea doar unui catete (A) dintr-un triunghi dreptunghic, precum și valoarea unghiului opus acestuia (α), atunci lungimea ipotenuzei (C) poate fi determinată folosind una dintre funcții trigonometrice- sinusuri. Pentru a face acest lucru, împărțiți lungimea laturii cunoscute la sinusul unghiului cunoscut: C=A/sin(α). De exemplu, dacă lungimea unuia dintre catete este de 15 centimetri, iar unghiul la vârful opus al triunghiului este de 30 °, atunci lungimea ipotenuzei va fi de 30 de centimetri, deoarece 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.

Geometria nu este o știință ușoară. Poate fi util pentru amândoi curiculumul scolar, precum și în viata reala. Cunoașterea multor formule și teoreme va simplifica calculele geometrice. Una dintre cele mai simple forme din geometrie este triunghiul. Una dintre varietățile de triunghiuri, echilaterale, are propriile sale caracteristici.

Caracteristicile unui triunghi echilateral

Prin definiție, un triunghi este un poliedru care are trei unghiuri și trei laturi. Aceasta este o figură bidimensională plată, proprietățile sale sunt studiate în liceu. După tipul de unghi, se disting triunghiuri unghiulare ascuțite, unghiulare obtuz și dreptunghiulare. Un triunghi dreptunghic este figură geometrică unde unul dintre unghiuri este de 90º. Un astfel de triunghi are două catete (creează un unghi drept) și o ipotenuză (este opus unghiului drept). În funcție de ce cantități sunt cunoscute, sunt trei moduri simple Calculați ipotenuza unui triunghi dreptunghic.

Prima modalitate este de a găsi ipotenuza unui triunghi dreptunghic. teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora este cea mai veche modalitate de a calcula oricare dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Sună așa: „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor”. Astfel, pentru a calcula ipotenuza, trebuie să deducem rădăcina pătrată a sumei celor două catete la pătrat. Pentru claritate, sunt date formule și o diagramă.


A doua cale. Calculul ipotenuzei folosind 2 valori cunoscute: catetul și unghiul adiacent

Una dintre proprietățile unui triunghi dreptunghic spune că raportul dintre lungimea catetei și lungimea ipotenuzei este echivalent cu cosinusul unghiului dintre acest catet și ipotenuză. Să numim unghiului cunoscut nouă α. Acum, datorită definiției binecunoscute, putem formula cu ușurință o formulă de calcul a ipotenuzei: Hipotenuză = catet/cos(α)


A treia cale. Calcularea ipotenuzei folosind 2 valori cunoscute: catetul și unghiul opus

Dacă se cunoaște unghiul opus, este posibil să se utilizeze din nou proprietățile unui triunghi dreptunghic. Raportul dintre lungimea catetei și ipotenuza este echivalent cu sinusul unghiului opus. Hai să sunăm din nou unghi celebru A. Acum, pentru calcule, aplicăm o formulă ușor diferită:
Hipotenuză = catenă/sin (α)


Exemple care să vă ajute să înțelegeți formulele

Pentru o înțelegere mai profundă a fiecăreia dintre formule, ar trebui să luați în considerare exemple ilustrative. Deci, să presupunem că este dat un triunghi dreptunghic, unde există astfel de date:

  • Picior - 8 cm.
  • Unghiul adiacent cosα1 este 0,8.
  • Unghiul opus sinα2 este 0,8.

Conform teoremei lui Pitagora: ipotenuză \u003d rădăcină pătrată de (36 + 64) \u003d 10 cm.
După dimensiunea piciorului și unghiul inclus: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
După dimensiunea piciorului și unghiul opus: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.

După ce ați înțeles formula, puteți calcula cu ușurință ipotenuza cu orice date.


Video: Teorema lui Pitagora



 

Ar putea fi util să citiți: