raportul cos. Triunghi dreptunghic. Teorie detaliată cu exemple

Instruire

Metoda 1. Folosind teorema lui Pitagora. Teorema spune: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Rezultă că oricare dintre laturile unui triunghi dreptunghic poate fi calculată cunoscând celelalte două laturi ale sale (Fig. 2)

Metoda 2. Rezultă din faptul că mediana trasă din unghi drept faţă de ipotenuză, formează între ele 3 triunghiuri asemănătoare (Fig. 3). În această figură, triunghiurile ABC, BCD și ACD sunt similare.



Ipotenuza este latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade. Pentru a-i calcula lungimea, este suficient să cunoaștem lungimea unuia dintre catete și valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite ale triunghiului.

Instruire

Cu un catete cunoscut și un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic, atunci dimensiunea ipotenuzei poate fi egală cu raportul catetei și cosinusul / sinusul acestui unghi, dacă acest unghi este opus / adiacent acestuia:

h = C1(sau C2)/sinα;

h = С1(sau С2)/cosα.

Exemplu: Având în vedere un triunghi dreptunghic ABC cu ipotenuza AB și unghiul drept C. Fie unghiul B de 60 de grade și unghiul A de 30 de grade. Lungimea catetei BC este de 8 cm. Aflați lungimea ipotenuzei AB. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza oricare dintre metodele sugerate mai sus:

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Ipotenuza este latura unui triunghi dreptunghic care este opus unghiului drept. Este cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic. O puteți calcula folosind teorema lui Pitagora sau folosind formulele funcțiilor trigonometrice.

Instruire

Catele se numesc laturile unui triunghi dreptunghic adiacent unui unghi drept. În figură, picioarele sunt desemnate ca AB și BC. Să fie date lungimile ambelor picioare. Să le notăm ca |AB| și |BC|. Pentru a afla lungimea ipotenuzei |AC|, folosim teorema lui Pitagora. Conform acestei teoreme, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei, adică. în notația desenului nostru |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Din formula obținem că lungimea ipotenuzei AC se găsește ca |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

Luați în considerare un exemplu. Fie lungimile picioarelor |AB| = 13, |BC| = 21. Prin teorema lui Pitagora, obținem că |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. de la numărul 610: |AC| = √610. Folosind tabelul de pătrate de numere întregi, aflăm că numărul 610 nu este un pătrat perfect al niciunui număr întreg. Pentru a obține valoarea finală a lungimii ipotenuzei, să încercăm să scoatem un pătrat complet de sub semnul rădăcinii. Pentru a face acest lucru, descompunem numărul 610 în factori. 610 = 2 * 5 * 61. Conform tabelului numere prime Vedem că 61 este un număr prim. Prin urmare, o reducere suplimentară a numărului √610 este imposibilă. Obținem răspunsul final |AC| = √610.
Dacă pătratul ipotenuzei ar fi, de exemplu, 675, atunci √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Dacă o astfel de turnare este posibilă, efectuați o verificare inversă - pătrați rezultatul și comparați cu valoarea inițială.

Anunțați-ne unul dintre picioare și unghiul adiacent acestuia. Pentru certitudine, să fie piciorul |AB| și unghiul α. Apoi putem folosi formula pentru funcția trigonometrică cosinus - cosinusul unghiului este egal cu raportul catetei adiacente la ipotenuză. Acestea. în notația noastră cos α = |AB| / |AC|. De aici obținem lungimea ipotenuzei |AC| = |AB| / cosα.
Dacă cunoaştem piciorul |BC| si unghiul α, atunci folosim formula de calcul a sinusului unghiului - sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus fata de ipotenuza: sin α = |BC| / |AC|. Obținem că lungimea ipotenuzei se găsește ca |AC| = |BC| / cosα.

Pentru claritate, luați în considerare un exemplu. Fie lungimea piciorului |AB| = 15. Iar unghiul α = 60°. Obținem |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Luați în considerare cum puteți verifica rezultatul folosind teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm lungimea celui de-al doilea segment |BC|. Folosind formula tangentei unghiului tg α = |BC| / |AC|, obținem |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. În continuare, aplicăm teorema lui Pitagora, obținem 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Verificarea este făcută.

Sfaturi utile

După calcularea ipotenuzei, verificați dacă valoarea rezultată satisface teorema lui Pitagora.

Surse:

  • Tabelul numerelor prime de la 1 la 10000

Picioarele numiți cele două laturi scurte ale unui triunghi dreptunghic care alcătuiesc vârful acestuia, a cărui valoare este 90 °. A treia latură a unui astfel de triunghi se numește ipotenuză. Toate aceste laturi și unghiuri ale triunghiului sunt interconectate prin anumite relații care vă permit să calculați lungimea piciorului dacă sunt cunoscuți mai mulți alți parametri.

Instruire

Utilizați teorema lui Pitagora pentru a calcula lungimea catetei (A) dacă cunoașteți lungimea celorlalte două laturi (B și C) ale unui triunghi dreptunghic. Această teoremă afirmă că suma lungimilor catetelor la pătrat este egală cu pătratul ipotenuzei. De aici rezultă că lungimea fiecărui catete este egală cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele lungimii ipotenuzei și al doilea catete: A=√(C²-B²).

Utilizați definiția funcției trigonometrice directe „sinus” pentru un unghi ascuțit, dacă cunoașteți valoarea unghiului (α) opus catetei calculate și lungimea ipotenuzei (C). Această definiție afirmă că sinusul acestui unghi cunoscut egal cu raportul dintre lungimea catetei dorite și lungimea ipotenuzei. Aceasta înseamnă că lungimea catetei dorite este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și sinusul unghiului cunoscut: A=C∗sin(α). Pentru aceleași valori cunoscute, puteți folosi definiția funcției cosecante și calculați lungimea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la cosecanta unghiului cunoscut A=C/cosec(α).

Utilizați definiția funcției trigonometrice cosinus direct dacă, pe lângă lungimea ipotenuzei (C), este cunoscută și valoarea unghiului ascuțit (β) adiacent catetei dorite. Cosinusul acestui unghi este definit ca raportul dintre lungimile catetei dorite și ale ipotenuzei, iar din aceasta putem concluziona că lungimea catetei este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și cosinusul cunoscutului. unghi: A=C∗cos(β). Puteți folosi definiția funcției secante și calcula valoarea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la secantei unghiului cunoscut A=C/sec(β).

Deduceți formula necesară dintr-o definiție similară pentru derivata funcției trigonometrice tangente, dacă, în plus față de valoarea unghiului ascuțit (α) situat opus catetului dorit (A), lungimea celui de-al doilea catet (B) este cunoscut. Tangenta unghiului opus catetei dorite este raportul dintre lungimea acestui picior și lungimea celui de-al doilea picior. Aceasta înseamnă că valoarea dorită va fi egală cu produsul dintre lungimea catetei cunoscute și tangentei unghiului cunoscut: A=B∗tg(α). Din aceleași cantități cunoscute, poate fi derivată o altă formulă folosind definiția funcției cotangente. În acest caz, pentru a calcula lungimea piciorului, va fi necesar să se găsească raportul dintre lungimea piciorului cunoscut și cotangentei unghiului cunoscut: A=B/ctg(α).

Videoclipuri asemănătoare

Cuvântul „katet” a venit în rusă din greacă. În traducere exactă, înseamnă un plumb, adică perpendicular pe suprafața pământului. În matematică, catetele sunt numite laturi care formează un unghi drept al unui triunghi dreptunghic. Latura opusă acestui unghi se numește ipotenuză. Termenul „picior” este folosit și în arhitectură și tehnologia de sudare.



Desenați un triunghi dreptunghic ACB. Etichetează-i catetele a și b și etichetează-i ipotenuza c. Toate laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic sunt legate prin anumite relații. Raportul catetului opus unuia dintre unghiurile ascuțite față de ipotenuză se numește sinusul acestui unghi. În acest triunghi sinCAB=a/c. Cosinusul este raportul la ipotenuza catetei adiacente, adică cosCAB=b/c. Relațiile inverse se numesc secante și cosecante.

Secanta acestui unghi se obține prin împărțirea ipotenuzei la catetul adiacent, adică secCAB=c/b. Rezultă reciproca cosinusului, adică poate fi exprimată prin formula secCAB=1/cosSAB.
Cosecanta este egală cu câtul împărțirii ipotenuzei la catetul opus și este reciproca sinusului. Poate fi calculat folosind formula cosecCAB=1/sinCAB

Ambele picioare sunt conectate prin tangentă și cotangentă. ÎN acest caz tangenta va fi raportul dintre latura a și latura b, adică catetul opus celui alăturat. Acest raport poate fi exprimat prin formula tgCAB=a/b. În consecință, raportul invers va fi cotangenta: ctgCAB=b/a.

Raportul dintre dimensiunile ipotenuzei și ambele picioare a fost determinat de matematicianul grec antic Pitagora. Teorema care poartă numele lui este încă folosită de oameni. Se spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, adică c2 \u003d a2 + b2. În consecință, fiecare catete va fi egal cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catete. Această formulă poate fi scrisă ca b=√(c2-a2).

Lungimea piciorului poate fi exprimată și prin relațiile pe care le cunoașteți. Conform teoremelor sinusurilor și cosinusurilor, catetul este egal cu produsul ipotenuzei și una dintre aceste funcții. Poate fi exprimat și în termeni de tangentă sau cotangentă. Piciorul a poate fi găsit, de exemplu, prin formula a \u003d b * tan CAB. Exact în același mod, în funcție de tangenta sau cotangenta dată, se determină al doilea picior.

În arhitectură se folosește și termenul „picior”. Se aplică unui capitel ionic și denotă un fir de plumb prin mijlocul spatelui său. Adică, în acest caz, acest termen denotă o perpendiculară pe o dreaptă dată.

În tehnologia de sudare, există conceptul de „sudură în filet de picior”. Ca și în alte cazuri, aceasta este distanța cea mai scurtă. Aici vorbim despre golul dintre una dintre piesele care urmează a fi sudate la marginea cusăturii situată pe suprafața celeilalte părți.

Videoclipuri asemănătoare

Surse:

  • ce este catetul și ipotenuza

Videoclipuri asemănătoare

Notă

Când se calculează laturile unui triunghi dreptunghic, cunoașterea caracteristicilor acestuia poate juca:
1) Dacă catetul unui unghi drept este opus unui unghi de 30 de grade, atunci este egal cu jumătate din ipotenuză;
2) Ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât oricare dintre catete;
3) Dacă un cerc este circumscris unui triunghi dreptunghic, atunci centrul său trebuie să se afle în mijlocul ipotenuzei.

Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice, precum și utilizarea lor în practică. Aceste caracteristici includ sinusurilor, cosinus, tangentă și cotangentă.

Sinusul este functie trigonometrica , raportul dintre mărimea catetei opuse și mărimea ipotenuzei.

Sinus în trigonometrie.

După cum am menționat mai sus, sinusul este direct legat de trigonometrie și funcții trigonometrice. Funcția sa este determinată de

  • ajuta la calcularea unghiului, cu condiția ca dimensiunile laturilor triunghiului să fie cunoscute;
  • ajută la calcularea mărimii laturii triunghiului, cu condiția ca unghiul să fie cunoscut.

Trebuie amintit că valoarea sinusului va fi întotdeauna aceeași pentru orice dimensiune a triunghiului, deoarece sinusul nu este o măsurătoare, ci un raport.

În consecință, pentru a nu calcula această valoare constantă pentru fiecare soluție a unei anumite probleme, au fost create tabele trigonometrice speciale. În ele, valorile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor au fost deja calculate și fixate. De obicei, aceste tabele sunt date pe fulgerul manualelor de algebră și geometrie. Ele pot fi găsite și pe Internet.

Sinus în geometrie.

Geometria necesită vizualizare, prin urmare, pentru a înțelege în practică, care este sinusul unui unghi, trebuie să desenați un triunghi cu unghi drept.

Să presupunem că laturile care formează un unghi drept sunt numite a, c, unghiul opus X.

De obicei, lungimea laturilor este indicată în sarcini. Sa spunem a=3, b=4. În acest caz, raportul de aspect va arăta ca ¾. Mai mult, dacă lungim laturile triunghiului adiacente unghiului ascuțit X, atunci laturile vor crește AȘi V, iar ipotenuza este a treia latură a unui triunghi dreptunghic care nu este la unghi drept față de bază. Acum, laturile triunghiului pot fi numite diferit, de exemplu: m, n, k.

Cu această modificare, legea trigonometriei a funcționat: lungimile laturilor triunghiului s-au schimbat, dar raportul lor nu.

Faptul că dacă schimbați lungimea laturilor unui triunghi de câte ori doriți și mențineți în același timp valoarea unghiului x, raportul dintre laturile acestuia va rămâne în continuare neschimbat, au observat oamenii de știință antici. În cazul nostru, lungimea laturilor se poate schimba astfel: a / b \u003d ¾, când laterala este prelungită A până la 6 cm, și V- până la 8 cm obținem: m/n = 6/8 = 3/4.

Raporturile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic în acest sens se numesc:

  • sinusul unghiului x este raportul catetului opus față de ipotenuză: sinx = a/c;
  • cosinusul unghiului x este raportul catetei adiacente la ipotenuza: cosx = w/s;
  • tangenta unghiului x este raportul dintre piciorul opus față de cel adiacent: tgx \u003d a / b;
  • cotangenta unghiului x este raportul dintre piciorul adiacent și cel opus: ctgx \u003d în / a.

Începem studiul nostru de trigonometrie cu un triunghi dreptunghic. Să definim care sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.

Amintește-ți asta unghi drept este un unghi egal cu . Cu alte cuvinte, jumătate din colțul desfășurat.

Colt ascutit- mai mic .

Unghi obtuz- mai mare . În legătură cu un astfel de unghi, „blunt” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)


Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat. Rețineți că latura opusă colțului este notă cu aceeași literă, doar mică. Deci, se notează latura situată opusă unghiului.

Un unghi este notat cu litera greacă corespunzătoare.

Ipotenuză Un triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.

Picioarele- laturi opuse colțurilor ascuțite.

Piciorul opus colțului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe o parte a colțului, se numește adiacent.

Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:

Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:

Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul opus și cel adiacent:

O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:

Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul adiacent și opusul (sau, echivalent, raportul dintre cosinus și sinus):

Acordați atenție rapoartelor de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, care sunt date mai jos. Ne vor fi de folos în rezolvarea problemelor.


Să demonstrăm unele dintre ele.

1. Suma unghiurilor oricărui triunghi este . Mijloace, suma a două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este .

2. Pe de o parte, ca raport dintre catetul opus și ipotenuză. Pe de altă parte, deoarece pentru unghi piciorul va fi adiacent.

Înțelegem asta . Cu alte cuvinte, .

3. Luați teorema lui Pitagora: . Să împărțim ambele părți la:

Avem identitate trigonometrică de bază:

Astfel, cunoscând sinusul unui unghi, putem găsi cosinusul acestuia și invers.

4. Împărțind ambele părți ale identității trigonometrice principale la , obținem:

Aceasta înseamnă că, dacă ni se oferă tangenta unui unghi ascuțit, atunci îi putem găsi imediat cosinusul.

De asemenea,

Bine, am dat definiții și formule scrise. Dar de ce avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?

Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este.

Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .

Se pare că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând două laturi dintr-un triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Deci, pentru unghiuri - raportul lor, pentru laturi - propriul lor. Dar ce să faci dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc un unghi (cu excepția unuia drept) și o latură, dar trebuie să găsești alte laturi?

Inițial, sinusul și cosinusul au apărut din cauza necesității de a calcula cantități în triunghiuri dreptunghiulare. S-a observat că, dacă nu se modifică valoarea gradului de măsură a unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic, atunci raportul de aspect, oricât de mult se schimbă aceste laturi în lungime, rămâne întotdeauna același.

Așa au fost introduse conceptele de sinus și cosinus. Sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză, iar cosinusul este raportul catetului adiacent și ipotenuză.

Teoreme ale cosinusurilor și sinusurilor

Dar cosinusurile și sinusurile pot fi folosite nu numai în triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a afla valoarea unui unghi obtuz sau ascuțit, latura oricărui triunghi, este suficient să aplicați teorema cosinusului și sinusului.

Teorema cosinusului este destul de simplă: „Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele”.

Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit micului: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse”. Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății cercului circumscris unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.

Derivate

O derivată este un instrument matematic care arată cât de repede se schimbă o funcție în raport cu o modificare a argumentului său. Derivatele sunt folosite în algebră, geometrie, economie și fizică, o serie de discipline tehnice.

Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabulare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata sinusului este cosinusul, iar derivata cosinusului este sinusul, dar cu semnul minus.

Aplicație în matematică

Mai ales des, sinusurile și cosinusurile sunt folosite în rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare și a problemelor legate de acestea.

Comoditatea sinusurilor și cosinusurilor se reflectă și în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost ușor de evaluat folosind teoremele cosinusului și sinusului, împărțind forme și obiecte complexe în triunghiuri „simple”. Inginerii și arhitecții, care se ocupă adesea de calculele raporturilor de aspect și ale măsurătorilor de grade, au petrecut mult timp și efort calculând cosinusurile și sinusurile unghiurilor care nu sunt de masă.

Apoi au venit în ajutor tabelele Bradis, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente de diferite unghiuri. ÎN ora sovietică unii profesori si-au obligat elevii sa memoreze paginile tabelelor Bradys.

Pe un triunghi dreptunghic, ca fiind cel mai simplu dintre poligoane, diverși experți și-au perfecționat cunoștințele în domeniul trigonometriei în acele vremuri când nimeni nu numea măcar această zonă a matematicii cu acest cuvânt. Prin urmare, astăzi nu este posibil să se indice autorul care a dezvăluit modele în raporturile lungimii laturilor și mărimile unghiurilor din această figură geometrică plată. Astfel de relații se numesc funcții trigonometrice și sunt împărțite în mai multe grupuri, dintre care principalele sunt considerate convențional funcții „directe”. Numai două funcții sunt alocate acestui grup, iar una dintre ele este sinus.

Instruire

Prin definiție, într-un triunghi dreptunghic unul dintre unghiuri este egal cu 90°, iar din cauza faptului că suma unghiurilor sale în geometria euclidiană trebuie să fie egală cu 180°, celelalte două unghiuri sunt acute (adică mai mici de 90°). ). Regularitățile raporturilor exact ale acestor unghiuri și lungimi laturilor descriu funcții trigonometrice.

Funcția, numită sinusul unui unghi ascuțit, determină raportul dintre lungimile a două laturi ale unui triunghi dreptunghic, dintre care una se află opusă acestui unghi ascuțit, iar cealaltă este adiacentă acestuia și se află opus unghiului drept. Deoarece latura opusă unghiului drept într-un astfel de triunghi se numește ipotenuză, iar celelalte două sunt catetele, definiția funcției sinusului poate fi formulată ca raport dintre lungimile catetului opus și ipotenuză.

Pe lângă o definiție atât de simplă a acestei funcții trigonometrice, astăzi există și altele mai complexe: printr-un cerc în coordonate carteziene, prin serii, prin soluții de ecuații diferențiale și funcționale. Această funcție este continuă, adică argumentele sale ("domeniul definițiilor") pot fi orice număr - de la infinit negativ la infinit pozitiv. Și valorile maxime și minime ale acestei funcții sunt limitate de intervalul de la -1 la +1 - acesta este „intervalul valorilor sale”. Sinusul își ia valoarea minimă la un unghi de 270°, ceea ce corespunde cu 3/2 din Pi, iar maximul se obține la 90° (½ din Pi). Valorile funcției devin zero la 0°, 180°, 360° etc. Din toate acestea rezultă că sinusul este o funcție periodică și perioada sa este egală cu 360 ° sau dublul numărului Pi.

Pentru calculele practice ale valorilor acestei funcții dintr-un argument dat, puteți utiliza un calculator - marea majoritate a acestora (inclusiv calculatorul software integrat în sistem de operare computerul dvs.) are opțiunea corespunzătoare.

Videoclipuri asemănătoare

Instruire

unghiîntr-un triunghi dreptunghic, trebuie să utilizați definiția cosinusului și să găsiți raportul catetei adiacente la ipotenuză:
ca? = a/c, unde a este lungimea catetei, c este lungimea ipotenuzei.

Dacă trebuie să găsiți cosinusul unghiîntr-un triunghi arbitrar, este necesar să se folosească teorema cosinusului:
dacă unghiul este ascuțit: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
dacă unghiul este obtuz: cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), unde a, b sunt lungimile laturilor adiacente colțului, c este lungimea laturii opuse colțului.

Dacă trebuie să găsiți cosinusul unghiîntr-o figură geometrică arbitrară, este necesar să se determine valoarea unghiîn grade sau radiani și cosinusul unghi găsiți după mărime folosind un calculator de inginerie, tabele Bradys sau orice altă aplicație matematică.

Cosinus este funcția trigonometrică de bază a unghiului. Capacitatea de a determina cosinusul este utilă în algebra vectorială atunci când se determină proiecțiile vectorilor pe diverse axe.

Instruire

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Există un triunghi cu laturile a, b, c egale cu 3, 4, 5 mm, respectiv.

Găsi cosinus unghiul cuprins între laturile mari.

Să notăm unghiul opus laturii a prin?, apoi, conform formulei derivate mai sus, avem:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Răspuns: 0,8.

Dacă triunghiul este un triunghi dreptunghic, atunci pentru a găsi cosinusși este suficient să cunoașteți lungimile oricăror două laturi ale unghiului ( cosinus unghiul drept este 0).

Să fie un triunghi dreptunghic cu laturile a, b, c, unde c este ipotenuza.

Luați în considerare toate opțiunile:

Aflați cos? dacă sunt cunoscute lungimile laturilor a și b (catetele triunghiului)

Să folosim suplimentar teorema lui Pitagora:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Pentru a verifica corectitudinea formulei rezultate, înlocuim valorile din Exemplul 1 în ea, adică.

După ce am făcut calcule elementare, obținem:

În mod similar, există cosinusîntr-un dreptunghiular triunghi in alte cazuri:

Cunoscuți a și c (ipotenuză și catetul opus), găsiți cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Înlocuind valorile a=3 și c=5 din primul exemplu, obținem:

b și c sunt cunoscute (ipotenuza și catetul adiacent).

Găsiți sos?

După ce am efectuat transformări similare (prezentate în exemplele 2 și 3), obținem că în acest caz cosinus V triunghi calculat folosind o formulă foarte simplă:

Simplitatea formulei derivate este explicată într-un mod elementar: de fapt, adiacent colțului? Catpul este o proiecție a ipotenuzei, deci lungimea sa este egală cu lungimea ipotenuzei înmulțită cu cos?.

Înlocuind valorile b=4 și c=5 din primul exemplu, obținem:

Deci toate formulele noastre sunt corecte.

Sfat 5: Cum să găsiți un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Direct carbonic triunghiul este probabil unul dintre cele mai cunoscute, din punct de vedere istoric, forme geometrice. „Pantalonii” pitagoreici nu pot concura decât cu „Eureka!” Arhimede.



Vei avea nevoie

  • - desenarea unui triunghi;
  • - rigla;
  • - raportor.

Instruire

Suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade. într-un dreptunghiular triunghi un unghi (dreapta) va fi întotdeauna de 90 de grade, iar restul sunt acute, adică. mai puțin de 90 de grade fiecare. Pentru a determina ce unghi într-un dreptunghi triunghi este drept, măsurați laturile triunghiului cu o riglă și determinați-l pe cel mai mare. Se numește ipotenuză (AB) și este opus unghiului drept (C). Cele două laturi rămase formează un unghi drept și se numesc picioare (AC, BC).

Odată ce ați determinat ce unghi este ascuțit, puteți fie măsura unghiul cu un raportor, fie îl puteți calcula folosind formule matematice.

Pentru a determina valoarea unghiului folosind un raportor, aliniați partea superioară a acestuia (să-l notăm cu litera A) cu un semn special pe riglă din centrul raportorului, piciorul AC trebuie să coincidă cu marginea superioară. Marcați pe partea semicirculară a raportorului punctul prin care trece ipotenuza AB. Valoarea în acest punct corespunde valorii unghiului în grade. Dacă 2 valori sunt indicate pe raportor, atunci pentru un unghi acut trebuie să alegeți unul mai mic, pentru unul contondent - unul mai mare.

Găsiți valoarea rezultată în tabelele de referință Bradis și determinați ce unghi corespunde unghiului primit valoare numerică. Bunicile noastre au folosit această metodă.

În zilele noastre, este suficient să luați un calculator cu funcția de a calcula formule trigonometrice. De exemplu, calculatorul Windows încorporat. Lansați aplicația „Calculator”, în elementul de meniu „Vizualizare”, selectați elementul „Inginerie”. Calculați sinusul unghiului dorit, de exemplu, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Comutați calculatorul în modul funcție inversă făcând clic pe butonul INV de pe afișajul calculatorului, apoi faceți clic pe butonul pentru calcularea funcției arcsinus (marcat ca sin la primul grad minus pe afișaj). În fereastra de calcul va apărea următoarea inscripție: asind (0,5) = 30. Adică unghiul dorit este de 30 de grade.

Surse:

  • Tabelele Bradis (sinusuri, cosinusuri)

Teorema cosinusului în matematică este folosită cel mai des atunci când este necesar să se găsească a treia latură printr-un unghi și două laturi. Cu toate acestea, uneori, starea problemei este stabilită invers: este necesar să se găsească unghiul pentru trei laturi date.



Instruire

Imaginează-ți că ți se oferă un triunghi cu lungimi cunoscute a două laturi și valoarea unui unghi. Toate unghiurile acestui triunghi nu sunt egale între ele, iar laturile sale sunt, de asemenea, diferite ca mărime. Unghiul γ se află opus laturii triunghiului, denumit AB, care este baza acestei figuri. Prin acest unghi, precum și prin laturile rămase AC și BC, puteți găsi acea latură a triunghiului, care este necunoscută, folosind teorema cosinusului, deducând formula de mai jos pe baza ei:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, unde a=BC, b=AB, c=AC
Teorema cosinusului este altfel numită teorema generalizată a lui Pitagora.

 

Ar putea fi util să citiți: