Kako izračunati povprečni kvadrat. Izračun standardnega odklona v programu Microsoft Excel

Razpršenost je aritmetična sredina kvadratnih odstopanj vsake vrednosti značilnosti od skupne sredine. Varianca se običajno imenuje srednji kvadrat odstopanj. Odvisno od začetnih podatkov se lahko varianca izračuna iz aritmetične sredine, enostavne ali utežene:

Za nezdružene podatke σ 2 =,

Za variacijsko vrsto je σ 2 =
.

efektivna vrednost odstopanje je kvadratni koren variance:

Za nezdružene podatke je σ =
,

Za variacijsko vrsto je σ =
.

Standardni odklon je posplošujoča značilnost absolutnih velikosti variacije lastnosti v agregatu. Izražen je v enakih enotah kot znak (v metrih, tonah, odstotkih, hektarjih itd.).

Pred izračunom standardnega odklona je izračun variance.

Določanje variance in standardnega odklona od posameznih vrednosti

Postopek izračuna:

    aritmetična sredina se izračuna na podlagi značilnih vrednosti

;


Naloga 3. Na primeru dveh timov (1. naloga) določite varianco in standardni odklon produktivnosti dela.

Metoda rešitve:

Določanje variance in standardnega odklona v diskretnih in intervalnih serijah porazdelitve

Postopek izračuna:

Naloga 4. Iz vzorčnih podatkov izračunajte varianco in standardni odklon. Naredi zaključek.

Izdelki, ki jih izdela 1 delavec, kos. (x možnosti)

Število delavcev

Metoda rešitve:

Če so začetni podatki predstavljeni v obliki intervalne serije porazdelitve, je treba najprej določiti diskretno vrednost atributa in nato uporabiti isto metodo, kot je opisano zgoraj.

Naloga 5. Izračunajte varianco in standardni odklon za intervalno serijo glede na porazdelitev posejane površine kmetije po pridelku pšenice:

Pridelek pšenice, centner / ha

Posejana površina, ha

Metoda rešitve:

Izračun variance na poenostavljen način.

Uporaba zgornje formule za izračun variance ni vedno priročna, čeprav dobro odraža bistvo indikatorja. Zato je treba poznati drugo formulo za poenostavljeno metodo izračuna, ki izhaja iz zgoraj navedenega:

,

Kje - povprečna vrednost kvadratov opcij;

je kvadrat aritmetične sredine.

Postopek izračuna (če podatki niso združeni):

Naloga 6. Podatki o produktivnosti delavcev so na voljo. Izračunajte varianco na poenostavljen način.

številka delavca

Proizvodnja na izmeno, kos.

Metoda rešitve:

Postopek izračuna (če so podatki združeni):

Naloga 7. Na voljo so podatki o porazdelitvi kmetijskih podjetij glede na razpoložljivost osnovnih sredstev. Izračunajte varianco na poenostavljen način.

Skupine podjetij glede na prisotnost osnovnih sredstev, milijonov rubljev

Število podjetij

Tehnika rešitve.

Matematično pričakovanje in varianca

Izmerimo naključno spremenljivko n krat, na primer desetkrat izmerimo hitrost vetra in želimo najti povprečno vrednost. Kako je srednja vrednost povezana s porazdelitveno funkcijo?

Kocke bomo metali velikokrat. Število točk, ki bo padlo na kocko med vsakim metom, je naključna spremenljivka in ima lahko poljubne naravne vrednosti od 1 do 6. n nagiba se k zelo specifičnemu številu – matematičnemu pričakovanju Mx. V tem primeru Mx = 3,5.

Kako je nastala ta vrednost? Spustiti noter n Testi so enkrat padli 1 točko, enkrat - 2 točki in tako naprej. Potem n→ ∞ število izidov, pri katerih je padla ena točka, Podobno Od tukaj

Model 4.5. Kocke

Predpostavimo zdaj, da poznamo porazdelitveni zakon naključne spremenljivke x, to pomeni, da vemo, da je naključna spremenljivka x lahko sprejme vrednosti x 1 , x 2 , ..., x k z verjetnostmi str 1 , str 2 , ..., p k.

Pričakovana vrednost Mx naključna spremenljivka x je enako:

Odgovori. 2,8.

Matematično pričakovanje ni vedno razumna ocena neke naključne spremenljivke. Torej je za oceno povprečne plače bolj smiselno uporabiti koncept mediane, to je takšne vrednosti, da je število ljudi, ki prejemajo manj od povprečne plače in več, enako.

mediana naključno spremenljivko imenujemo število x 1/2 tako, da str (x < x 1/2) = 1/2.

Z drugimi besedami, verjetnost str 1, da je naključna spremenljivka x bo manj x 1/2 in verjetnost str 2, da je naključna spremenljivka x bo večji x 1/2 sta enaki in enaki 1/2. Mediana ni enolično določena za vse porazdelitve.

Nazaj k naključni spremenljivki x, ki lahko sprejme vrednosti x 1 , x 2 , ..., x k z verjetnostmi str 1 , str 2 , ..., p k.

disperzija naključna spremenljivka x je srednja vrednost kvadrata odstopanja naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja:

Primer 2

Pod pogoji iz prejšnjega primera izračunajte varianco in standardni odklon naključne spremenljivke x.

Odgovori. 0,16, 0,4.

Model 4.6. streljanje v tarčo

Primer 3

Poiščite verjetnostno porazdelitev števila vrženih točk na kocki od prvega meta, mediane, matematičnega pričakovanja, variance in standardnega odklona.

Izpad katerega koli obraza je enako verjeten, zato bo porazdelitev videti takole:

Standardna deviacija Vidimo, da je odstopanje vrednosti od srednje vrednosti zelo veliko.

Lastnosti matematičnega pričakovanja:

  • Matematično pričakovanje vsote neodvisnih naključnih spremenljivk je enako vsoti njihovih matematičnih pričakovanj:

Primer 4

Poiščite matematično pričakovanje vsote in zmnožka točk, vrženih na dveh kockah.

V primeru 3 smo ugotovili, da za eno kocko M (x) = 3,5. Torej za dve kocki

Disperzijske lastnosti:

  • Varianca vsote neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti varianc:

Dx + l = Dx + Dy.

Naj za n kocke l točke. Potem

Ta rezultat ne velja le za mete kock. V mnogih primerih empirično določa natančnost merjenja matematičnega pričakovanja. Vidimo, da s povečanjem števila meritev nširjenje vrednosti okoli povprečja, to je standardni odklon, se sorazmerno zmanjša

Varianca naključne spremenljivke je povezana z matematičnim pričakovanjem kvadrata te naključne spremenljivke z naslednjim razmerjem:

Poiščimo matematična pričakovanja obeh delov te enačbe. A-priory,

Matematično pričakovanje desne strani enačbe je glede na lastnost matematičnih pričakovanj enako

Standardni odklon

standardni odklon je enak kvadratnemu korenu variance:
Pri določanju standardnega odklona za dovolj velik obseg proučevane populacije (n> 30) se uporabljajo naslednje formule:

Primarna deskriptivna statistika je najenostavnejša značilnost, s katero lahko opišemo psihološke podatke, pridobljene pri hodge testiranju preiskovancev.

Najpogosteje uporabljena deskriptivna statistika v seminarskih nalogah in diplomah iz psihologije vključuje:

  • Povprečna vrednost;
  • standardni odklon.

Povprečna vrednost

Najenostavnejši matematični postopek, ki ga mora študent psiholog obvladati pri pisanju diplome, je izračun povprečne vrednosti.

Povprečna vrednost ali aritmetična sredina je število, dobljeno kot vsota več kazalnikov, sestavljena iz števila teh kazalnikov. Na primer, kot rezultat testiranja so bili pridobljeni kazalci anksioznosti v skupini 10 ljudi. Če želite dobiti povprečno vrednost anksioznosti za skupino, morate sešteti kazalnike vseh subjektov in nato dobljeno vsoto deliti z 10.

Povprečna vrednost označuje skupino kot celoto. Če poznate povprečje, lahko ocenite uspešnost vsakega predmeta glede na ostale. Na primer, anksioznost, izmerjena v zgornjem primeru, je lahko od 1 do 5 točk. Naj bo povprečna anksioznost za skupino 3,5 točke. Potem se rezultat testa 4 točke lahko šteje za relativno visok, 2 točki pa za relativno nizek.

Srednja vrednost se nanaša na indikatorje osrednje težnje in odraža resnost indikatorja v skupini. Standardni odklon odraža stopnjo variabilnosti lastnosti v skupini, vendar bomo o tem govorili naprej.

Povprečna vrednost katerega koli kazalnika označuje skupino kot celoto in vam omogoča primerjavo z drugimi skupinami. Izvedena je bila na primer diagnoza stopnje empatije v skupini moških in žensk. Kako ugotoviti, ali spol vpliva na sposobnost empatije. Eden od načinov je ugotoviti povprečno raven tega kazalnika v skupinah moških in žensk. Na primer, v skupini žensk je povprečna stopnja empatije 23,5 točke, v skupini moških pa 17,7 točke. Kot lahko vidite, imajo ženske v povprečju večjo empatijo kot moški.

Pomembno je poudariti, da povprečna vrednost ni le številka, temveč - statistična - pridobljena s posebnim postopkom. Zato je nemogoče primerjati povprečne vrednosti kot navadne številke. Za primerjavo povprečnih vrednosti se uporabljajo dodatni postopki - izračun statističnih kriterijev. na primer Mann-Whitneyjev U test oz Študentov t-test .

Povprečna vrednost ni edina statistika, ki odraža resnost spremenljivke v skupini. Podobno funkcijo opravljata mod in mediana. Vendar se redko uporabljajo v psiholoških diplomah.

Povprečne vrednosti resnosti psiholoških kazalcev v tečaju ali diplomi iz psihologije so predstavljene v obliki tabel in diagramov. V tabelah je povprečje označeno s črko "M".

Standardni odklon

Če aritmetična sredina odraža resnost kazalnika v skupini, potem standardna deviacija (standardna deviacija) kaže njegovo širjenje podatkov ali variabilnost. Večja kot je standardna deviacija, večja je razpršenost kazalcev v skupini subjektov.

Na primer, skupino fantov smo testirali z metodo za ugotavljanje stopnje egocentrizma, katere kazalniki se gibljejo od 1 do 10. Izračun povprečja je pokazal M=6,5, standardni odklon pa σ=3 (standardni odklon je označen s črko "sigma"). Ti podatki nam omogočajo, da trdimo, da velika večina indikatorjev fantovskega egocentrizma sodi v razpon od 3,5 do 9,5 (povprečna plus/minus standardna deviacija - M ± σ).

Če je pri testiranju skupine deklet povprečna vrednost M=5, standardna deviacija pa σ=1, ima večina preiskovancev v tej skupini egocentrizem v razponu od 4 do 6 (5 ± 1).

Če analiziramo takšne podatke v diplomi iz psihologije, lahko ugotovimo, da je povprečna stopnja egocentrizma pri fantih višja kot pri deklicah. Hkrati je tudi razširjenost kazalnikov egocentrizma pri fantih večja kot pri deklicah, to pomeni, da so v skupini fantov subjekti z zelo nizkimi in zelo visokimi kazalniki glede na povprečje. Pri dekletih so kazalniki manj "razpršeni" glede na povprečje.

Izračun povprečja in standardnega odklona

Formula za izračun povprečja je zelo preprosta in ta parameter je mogoče izračunati ročno.

Primer izračuna povprečja

V tabeli so prikazani kazalniki, dobljeni s testom za ugotavljanje stopnje osamljenosti pri 64 osebah.

španska št.

Stopnja osamljenosti

Poiščite povprečno stopnjo doživljanja osamljenosti v skupini.

M=(13+14+ 5+ 11+ 17+ 9+ 18+ 6+ 9+ 15+ 14+ 7+ 9+ 8+ 13+ 12+ 14+ 19+ 15+ 11+ 15+ 6+ 8+ 8 + 8+ 5+ 20+ 5+ 9+ 7+ 7+ 11+ 15+ 7+ 7+ 9+ 8+ 11+ 17+ 10+ 18+ 15+ 14+ 15+ 4+8+15+17+14 +4+8+18+14+14+9+1+7+11+4+14+11+6+17) / 64=10,92

Kot lahko vidite, če je predmetov veliko, je ročni izračun povprečja težavna naloga.

Še bolj zamuden postopek je izračun standardne deviacije. Ne bom vas dolgočasil s formulami, rekel bom le, da se izračun tega kazalnika zmanjša na seštevanje kvadratov razlike kazalnikov s povprečno vrednostjo. Nato se ta znesek deli s številom indikatorjev in iz dobljenega števila se vzame kvadratni koren. Ročno izvajanje takšnih izračunov je težavno in ni potrebno.

Najpogosteje je mogoče izračunati povprečje in standardno deviacijo v statističnih programih. STATISTICA, SPSS in preglednice Odličen el.

Upam, da vam bo ta članek pomagal, da sami napišete psihološko nalogo. Če potrebujete pomoč, se obrnite (vse vrste dela v psihologiji; statistični izračuni).

standardni odklon(sinonimi: standardni odklon, standardni odklon, standardni odklon; povezani izrazi: standardni odklon, standardni namaz) - V teorija verjetnosti in statistika najpogostejši pokazatelj razpršenosti vrednosti naključna vrednost glede nje matematično pričakovanje. Z omejenimi nizi vzorcev vrednosti, namesto matematičnega pričakovanja, povprečje zbiranje vzorcev.

Enciklopedični YouTube

  • 1 / 5

    Standardni odklon se meri v merske enote najbolj naključna spremenljivka in se uporablja pri izračunu standardna napaka aritmetična sredina, pri gradnji intervali zaupanja, s statističnimi preverjanje hipotez, pri merjenju linearno razmerje med naključnimi spremenljivkami. Definirano kot Kvadratni koren od disperzija naključna vrednost.

    Standardni odklon:

    s = n n − 1 σ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ; (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\levo(x_(i)-(\bar (x))\desno)^(2)));)
    • Opomba: Zelo pogosto prihaja do neskladij v imenih RMS (standardni odklon) in SRT (standardni odklon) z njihovimi formulami. Na primer, v modulu numPy programskega jezika Python je funkcija std() opisana kot "standardni odklon", medtem ko formula odraža standardni odklon (deljeno s korenom vzorca). V Excelu je funkcija STDEV() drugačna (deljenje s kvadratnim korenom iz n-1).

    Standardni odklon(ocena standardnega odklona naključne spremenljivke x glede na njegovo matematično pričakovanje, ki temelji nepristranska ocena njegova disperzija) s (\displaystyle s):

    σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\levo(x_(i)-(\bar (x))\desno) ^(2))).)

    Kje σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)) - disperzija ; x i (\displaystyle x_(i)) - jaz-th vzorčni element; n (\displaystyle n)- Velikost vzorca; - povprečje vzorci:

    x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\pike +x_(n)).)

    Opozoriti je treba, da sta obe oceni pristranski. Na splošno nepristranska ocena nemogoče zgraditi. Vendar je ocena, ki temelji na nepristranski oceni variance premožni.

    V skladu z GOST R 8.736-2011 se standardni odklon izračuna po drugi formuli tega razdelka. Preverite svoje rezultate.

    pravilo treh sigm

    pravilo treh sigm (3 σ (\displaystyle 3\sigma )) - skoraj vse vrednosti normalno porazdeljena naključna spremenljivka leži v intervalu (x ¯ − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \desno)). Natančneje - približno z verjetnostjo 0,9973 vrednosti normalno porazdeljena naključna spremenljivka leži v podanem intervalu (pod pogojem, da vrednost x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) res in ni pridobljeno kot rezultat obdelave vzorca).

    Če je prava vrednost x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) neznano, potem morate uporabiti σ (\displaystyle \sigma ), A s. Tako se pravilo treh sigm spremeni v pravilo treh s .

    Interpretacija vrednosti standardnega odklona

    Večja vrednost standardnega odklona pomeni večji razpon vrednosti v predstavljenem nizu s povprečjem niza; manjša vrednost pomeni, da so vrednosti v nizu združene okoli povprečne vrednosti.

    Na primer, imamo tri nize številk: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) in (6, 6, 8, 8). Vsi trije nizi imajo povprečne vrednosti 7 in standardne odklone 7, 5 oziroma 1. Zadnji niz ima majhen standardni odklon, ker so vrednosti v nizu združene okoli povprečja; prvi niz ima največjo vrednost standardnega odklona - vrednosti znotraj niza močno odstopajo od povprečne vrednosti.

    V splošnem se lahko standardni odklon šteje za merilo negotovosti. Na primer, v fiziki se za določanje uporablja standardni odklon napake serija zaporednih meritev neke količine. Ta vrednost je zelo pomembna za določanje verjetnosti preučevanega pojava v primerjavi z vrednostjo, ki jo predvideva teorija: če se srednja vrednost meritev zelo razlikuje od vrednosti, ki jih predvideva teorija (velik standardni odklon), potem dobljene vrednosti ali način njihovega pridobivanja je treba ponovno preveriti. identificirali z tveganje portfelj.

    Podnebje

    Recimo, da obstajata dve mesti z enako povprečno najvišjo dnevno temperaturo, vendar se eno nahaja na obali, drugo pa na ravnini. Znano je, da imajo obalna mesta veliko različnih dnevnih najvišjih temperatur nižjih kot mesta v notranjosti. Zato bo standardni odklon najvišjih dnevnih temperatur v obalnem mestu manjši kot v drugem mestu, kljub temu, da imata enako povprečno vrednost te vrednosti, kar v praksi pomeni, da je verjetnost, da bo najvišja temperatura zraka oz. vsak dan v letu se bo močneje razlikovala od povprečne vrednosti, višja za mesto znotraj celine.

    Šport

    Predpostavimo, da obstaja več nogometnih moštev, ki so razvrščena po nekem nizu parametrov, na primer po številu doseženih in prejetih golov, priložnosti za zadetek itd. Najverjetneje bo najboljša ekipa v tej skupini imela najboljše vrednosti v več parametrih. Manjši kot je standardni odklon ekipe za vsakega od predstavljenih parametrov, bolj predvidljiv je rezultat ekipe, takšne ekipe so uravnotežene. Po drugi strani pa ekipa z velikim standardnim odklonom težko napove rezultat, kar je razloženo z neravnovesjem, na primer močna obramba, a šibek napad.

    Uporaba standardnega odklona parametrov ekipe vam omogoča, da do neke mere napoveste rezultat tekme med dvema ekipama, ocenite prednosti in slabosti ekip in s tem izbrane metode boja.



     

    Morda bi bilo koristno prebrati: