Na tabli je napisanih 100 različnih celih števil.

Objavljeno 14.3.2018


5 (100%) 1 glas

Na tabli je napisanih 100 različnih stvari. naravna števila, in znano je, da je vsota teh števil 5120.

a) Ali lahko številko 230 zapišemo na tablo?

b) Ali je možno, da številka 14 ni napisana na tabli?

c) Katero najmanjše število večkratnikov števila 14 je zapisano na tabli?

Kako se odločiti? Po možnosti pod vsemi črkami.

matematika,

izobraževanje

odgovor

komentar

Med priljubljene

žalostno-ss

pred 2 minutama

A) Izračunajmo možnost, pri kateri bo vsota najmanjša. Seveda je to le vsota prvih sto števil, tj. 1+2+3…+100 . Lahko štejete z razvrščanjem ali pa uporabite formulo " zneski aritmetična progresija ".

Zdaj pa izračunajmo znesek. S100=((1+100)/2)*1-00=5050;

Nekako moramo poskusiti zamenjati katero koli številko v naši seriji 230 . Ugotovimo, kakšen znesek nam manjka od danega v pogoju: 5120-5050=70 , ja, in katera je bila največja številka v naši seriji? Prav, 100 . Izkazalo se je, da je največje število, s katerim lahko nadomestimo poljubno število iz naše serije 170 . Torej številke 230 zaporedoma ne more biti poti.

Ni odgovora;

b) Vzemimo, vse v isti vrsti, od 1 do 100, vendar odstranimo številko od tam 14 in ga poskusite zamenjati z drugim. Na primer, poskusimo vzeti najmanjše število po 100 , namreč 101 in naredite zamenjavo. Vsota prvih sto števil smo našli, kar pomeni, da za zamenjavo potrebujemo od tega odštejte 14 in dodajte novo vrednost 101: 5050-14+101=5137 -. Žal pogoj pravi, da je znesek enak 5120 tako, žal, številke 14 ne moremo izključiti iz našega seznama.

Odgovor: b) Ne;

V) Poišči vse večkratnike 14 iz naše serije od 1 do 100). Obstaja veliko načinov za iskanje več vrednosti, vendar v našem primeru število ni tako veliko, lahko jih razvrstimo ročno, niz dobimo z dodajanjem: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 . Skupaj 7 večkratnikov 14. Zdaj pa jih poskusimo nadomestiti z več velike vrednosti ne večkratniki 14, ker na ta trenutek, naša vsota je 5050. Zamenjajmo največji večkratnik z najmanjšim izmed neuporabljenih: 98 do 101;

Naša vsota postane: (101-98)+5050=5053- ;

Znesek: (102-84)+5053=5071-;

Še je prostor, nadaljujmo. Zamenjajmo 70 s 103;

Znesek: (103-70)+5071=5104-;

5104 , še vedno manj kot 5120, torej gremo naprej. Zamenjajmo 56 s 104;

Znesek: (104-56)+5104=5152-;

Dobili več kot je bilo potrebno, kar pomeni, da potrebujete

Na tabli je napisanih 100 različnih naravnih števil z vsoto 5120.

a) Ali je mogoče zapisati število 230?

b) Ali je mogoče brez številke 14?

c) Katero najmanjše število večkratnikov števila 14 je lahko na tabli?

rešitev.

a) Na tablo naj bo napisano število 230 in 99 drugih različnih naravnih števil. Najmanjša možna vsota števil na tabli je dosežena pod pogojem, da je vsota 99 različnih naravnih števil minimalna. To pa je možno, če je 99 različnih naravnih števil aritmetična progresija s prvim členom in razliko, vsota teh števil pa bo po formuli za vsoto aritmetične progresije:

Vsota vseh števil na tabli S bo enako:

Lahko vidimo, da je nastala vsota večja od 5120, kar pomeni, da je vsaka vsota 100 različnih naravnih števil, med katerimi je 230, večja od 5120, torej števila 230 ne more biti na tabli.

b) Naj na tabli ne piše številka 14. V tem primeru najmanjši možni znesek SŠtevilke na tabli bodo sestavljene iz dveh vsot aritmetičnih napredovanj: vsote prvih 13 členov napredovanja s prvim členom, razliko (to je niz 1,2,3,..13) in vsoto prvih 87 členov napredovanja s prvim členom, razlika (to je serija 15,16,17,..101). Poiščimo ta znesek:

Lahko vidimo, da je dobljena vsota večja od 5120, kar pomeni, da je vsaka vsota 100 različnih naravnih števil, med katerimi ni 14, večja od 5120, zato brez števila 14 na tabli ne gre.

c) Recimo, da so na tabli napisana vsa števila od 1 do 100. Potem se izkaže, da je nastala vrsta aritmetična progresija s prvim členom razliko. S formulo za vsoto aritmetične progresije poiščemo vsota vseh števil na tabli:

Dobljeni znesek ne izpolnjuje pogoja problema. Zdaj, da bi povečali vsoto vseh števil, zapisanih na tabli, na tisto, navedeno v pogoju, poskusimo zamenjati števila, ki so večkratniki 14, z drugimi števili, ki sledijo stotici: 70 bo zamenjano s 110, 84 za 104, 98 pa za 108. Dobljena vsota S bo enako:

Z nadaljnjo zamenjavo števil, ki so večkratniki 14, s števili, večjimi od 100, se bo vsota povečala in ne bo ustrezala pogoju problema. Torej je najmanjše število večkratnikov 14 4.

Navedimo še eno rešitev dela c).

Navedimo primer, ko so na tabli napisana štiri števila, ki so večkratniki števila 14 (14, 28, 42, 56):

1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.

Dokažimo, da ne morejo obstajati tri števila, ki so večkratniki 14. Za odstranitev največjega števila števil, ki so večkratniki 14, morajo biti razlike med novimi in starimi številkami minimalne. To pomeni, da je treba zamenjati največje številke, večkratnike 14, z najmanjšimi možnimi številkami, večjimi od sto. Naj bo število števil, ki so večkratniki 14, 3. Potem je najmanjša vsota števil, zapisanih na tabli:

Dobljena vsota je večja od 5120. Z nadaljnjo zamenjavo števil, ki so večkratniki 14, s števili, večjimi od 100, se bo vsota povečala, kar pomeni, da na tabli ne more biti manj kot štiri števila, ki so večkratniki 14.

A) ne b) ne c) 4.

Video tečaj "Get an A" vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljanje izpita pri matematiki za 60-65 točk. Popolnoma vse naloge 1-13 profila USE v matematiki. Primeren tudi za opravljanje osnovne USE iz matematike. Če želite opraviti izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela izpita iz matematike (prvih 12 nalog) in naloge 13 (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s sto točkami niti humanist.

Vsa potrebna teorija. Hitri načini rešitve, pasti in skrivnosti izpita. Analizirane so vse relevantne naloge 1. dela iz nalog Banke FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam USE-2018.

Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.

Na stotine izpitnih nalog. Besedilni problemi in teorija verjetnosti. Preprosti algoritmi za reševanje problemov, ki si jih je lahko zapomniti. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog USE. Stereometrija. Zvit triki za reševanje, koristne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija iz nič - do naloge 13. Razumevanje namesto nabijanja. Vizualna razlaga zapleteni pojmi. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih nalog 2. dela izpita.

Vir naloge: Sklep 3754. Enotni državni izpit 2016. Matematika, I. V. Yashchenko. 30 variant tipičnih testnih nalog.

Naloga 19. Na tablo je bilo napisanih 20 naravnih števil (ne nujno različnih), od katerih vsako ne presega 40. Namesto nekaterih števil (morda enega) so bila na tabli zapisana števila, ki so bila za eno manjša od prvotnih. Števila, za katera se je nato izkazalo, da so enaka 0, so bila izbrisana s table.

a) Ali je mogoče, da se je aritmetična sredina števil na tabli povečala?

b) Aritmetična sredina prvotno zapisanih števil je bila 27. Ali je lahko aritmetična sredina števil, ki so ostala na tabli, 34?

c) Aritmetična sredina prvotno zapisanih števil je bila 27. Poiščite največjo možno sredino aritmetične sredine števil, ki so ostala na tabli.

rešitev.

A) Da, mogoče, na primer, če vzamete 19 števil, ki so enaka 10, in je 20. enako 1, potem ko 20. število zmanjšate za 1, postane 0 in povprečna vrednost ni več 20 števil, ampak 19, potem imamo:

Začetna povprečna vrednost: ;

Povprečna vrednost po spremembi: .

Kot lahko vidite, je druga povprečna vrednost postala večja od prvotne.

b) Predpostavimo, da morate za izpolnitev tega pogoja vzeti enice, nato številke in eno številko, skupaj 20 številk. Njihova aritmetična sredina bo

,

in po brisanju bi morale dobiti enote

,

to pomeni, da imamo sistem enačb:

Če odštejemo drugo enačbo od prve enačbe, dobimo:

Tako morate za izpolnitev pogoja tega odstavka vzeti delno število števil, kar v okviru te naloge ni mogoče.

odgovor:št.

V)Če želite dobiti največje povprečje preostalih števil na tabli, morate najprej zapisati niz števil, sestavljen iz največje število enot (ki bodo nato izbrisane s plošče), preostala števila pa naj bodo največja. Ta pogoj zapišemo v obrazec

,

kje je število enot; - 20. številka (izbrana je tako, da zagotavlja povprečje 27). Zato imamo:

Iz dobljenega izraza je razvidno, da je najmanjša vrednost, pri kateri dobimo največjo vrednost. Tako imamo zaporedje števil, katerih vsota je enaka

 

Morda bi bilo koristno prebrati: