Kaj so naravna števila in ničla. Cela števila

Cela števila je eden najstarejših matematičnih konceptov.

V daljni preteklosti ljudje niso poznali števil in ko so morali prešteti predmete (živali, ribe ipd.), so to počeli drugače kot mi zdaj.

Število predmetov so primerjali z deli telesa, na primer s prsti na roki, in rekli: "Imam toliko orehov, kolikor je prstov na roki."

Sčasoma so ljudje spoznali, da ima pet orehov, pet koz in pet zajcev skupno lastnost - njihovo število je pet.

Ne pozabite!

Cela števila so števila, ki se začnejo z 1, pridobljena pri štetju predmetov.

1, 2, 3, 4, 5…

najmanjše naravno število — 1 .

največje naravno število ne obstaja.

Pri štetju se številka nič ne uporablja. Zato se nič ne šteje za naravno število.

Ljudje so se naučili pisati številke veliko kasneje kot šteti. Najprej so začeli predstavljati enoto z eno palico, nato z dvema palicama - številka 2, s tremi - številka 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Nato so se pojavili posebni znaki za označevanje številk - predhodniki sodobnih številk. Številke, s katerimi pišemo številke, izvirajo iz Indije pred približno 1500 leti. Arabci so jih prinesli v Evropo, tako se imenujejo arabske številke.

Skupaj je deset števk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Te števke lahko uporabimo za zapis poljubnega naravnega števila.

Ne pozabite!

naravna serija je zaporedje vseh naravnih števil:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

V naravnem nizu je vsako število večje od prejšnjega za 1.

Naravni niz je neskončen, v njem ni največjega naravnega števila.

Sistem štetja, ki ga uporabljamo, se imenuje decimalno pozicijsko.

Decimalno, ker 10 enot vsake števke tvori 1 enoto najpomembnejše števke. Pozicijski zato, ker je vrednost števke odvisna od njenega mesta v zapisu števila, torej od števke, v kateri je zapisana.

Pomembno!

Razredi, ki sledijo milijardi, so poimenovani po latinskih imenih števil. Vsaka naslednja enota vsebuje tisoč prejšnjih.

  • 1.000 milijard = 1.000.000.000.000 = 1 bilijon (»tri« je latinsko za »tri«)
  • 1.000 trilijonov = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilijon (»quadra« je latinsko za »štiri«)
  • 1.000 kvadrilijonov = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilijon (»quinta« je latinsko za »pet«)

Vendar pa so fiziki našli število, ki presega število vseh atomov ( najmanjši delci snov) po vsem vesolju.

Ta številka ima posebno ime - googol. Googol je številka, ki ima 100 ničel.

"Kvadratna funkcija" - Lastnosti: -Intervali monotonosti za a > 0 za a< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Močnostna funkcija 9. razred" - Seznanjeni smo s funkcijami. Funkcija moči. U. 0. Učiteljica 9. razreda Ladoshkina I.A. Y \u003d x2, y \u003d x4, y \u003d x6, y \u003d x8, ... Indikator je sodo naravno število (2n). Y = x. Parabola. Kubična parabola. Funkcija y=x2n je soda, ker (–x)2n = x2n.

"Kvadratna funkcija razreda 8" - 1) Konstruirajte vrh parabole. -1. Narišite funkcijo. 2) Konstruirajte simetrijsko os x=-1. l. Algebra 8. razred Učiteljica 496 šola Bovina TV Konstrukcija grafa kvadratne funkcije. x. -7. Gradbeni načrt.

"Graf funkcije Y X" - Graf funkcije y=x2 + n je parabola z vrhom v točki (0; n). Graf funkcije y=(x - m)2 je parabola z vrhom v točki (m; 0). Kliknite za ogled grafov. Stran se prikaže ob kliku. Iz navedenega sledi, da je graf funkcije y=(x - m)2 + n parabola z vrhom v točki (m; n).

"Naravni logaritem" - 0,1. "Logaritemski pikado". 0,04. 121. Naravni logaritmi. 7.4.

"Kvadratna funkcija in njen graf" - Avtor: Ilya Granov. Reševanje problema: Odločitev y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-pripada. 4. Ali je graf funkcije y=4x točka: A(0,5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0,1:0,4)? Ko je a=1, ima formula y=ax obliko.

V temi je skupaj 25 predstavitev

Obstajata dva pristopa k definiciji naravnih števil:

  • štetje (številčenje) predmeti ( prvi, drugo, tretji, četrti, peti…);
  • naravna števila – števila, ki nastanejo, ko oznaka količine predmeti ( 0 predmetov, 1 element, 2 predmeta, 3 predmeti, 4 artikli, 5 predmetov…).

V prvem primeru se vrsta naravnih števil začne od ena, v drugem - od nič. Za večino matematikov ni enotnega mnenja o tem, ali je prednost prvemu ali drugemu pristopu (to je, ali je treba nič obravnavati kot naravno število ali ne). Velika večina ruskih virov je tradicionalno sprejela prvi pristop. Drugi pristop se na primer uporablja v delih Nicolas Bourbaki, kjer so naravna števila definirana kot moč končne množice.

Temeljno dejstvo je, da ti aksiomi v bistvu enolično določajo naravna števila (kategoričnost sistema Peanovih aksiomov). Dokaže se namreč (glej in tudi kratek dokaz), da če (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) in (N ~, 1 ~, S ~) (\displaystyle ((\tilda (\mathbb (N))),(\tilda (1)),(\tilda (S)))) sta dva modela za sistem Peanovih aksiomov, potem morata biti izomorfen, to pomeni, da obstaja invertibilna preslikava ( bijekcija) f: N → N ~ (\displaystyle f\dvopičje \mathbb (N) \to (\tilda (\mathbb (N) ))) tako da f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilda (1))) in f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilda (S))(f(x))) za vse x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Zato je dovolj, da določimo kot kateri koli določen model množice naravnih števil.

Ničla kot naravno število

Včasih, zlasti v tuji in prevodni literaturi, prvi in ​​tretji Peanov aksiom zamenjata ena z nič. V tem primeru se nič šteje za naravno število. Ko je definirana v smislu razredov enakovrednih množic, je nič naravno število po definiciji. Bilo bi nenaravno, če bi ga posebej zavrgli. Poleg tega bi to bistveno otežilo nadaljnjo gradnjo in uporabo teorije, saj v večini konstrukcij ničla, tako kot prazna množica, ni nekaj izoliranega. Druga prednost obravnavanja ničle kot naravnega števila je ta N (\displaystyle \mathbb (N) ) obrazci monoid.

V ruski literaturi je nič običajno izključena iz števila naravnih števil ( 0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), množico naravnih števil z ničlo pa označimo kot N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)). Če je v definiciji naravnih števil vključena ničla, potem množico naravnih števil zapišemo kot N (\displaystyle \mathbb (N) ), in brez ničle - kot N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*)).

V mednarodni matematični literaturi je glede na navedeno in v izogib nejasnostim niz ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\pike \)) običajno imenujemo množica pozitivnih celih števil in označujemo Z + (\displaystyle \mathbb (Z) _(+)). Kup ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\pike \)) pogosto imenujemo množica nenegativnih celih števil in označujemo Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\geqslant 0)).

Tako so uvedena tudi naravna števila, ki temeljijo na konceptu množice, po dveh pravilih:

Tako podana števila imenujemo vrstni red.

Opišimo prvih nekaj vrstnih števil in njim pripadajoča naravna števila:

Vrednost množice naravnih števil

Vrednost neskončnega niza je označena s pojmom " kardinalnost niza”, ki je posplošitev števila elementov končne množice na neskončne množice. Po velikosti (tj. moči) je množica naravnih števil večja od katere koli končne množice, a manjša od katerega koli intervala, na primer intervala (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Množica naravnih števil ima enako kardinalnost kot množica racionalna števila. Množica enake kardinalnosti kot množica naravnih števil se imenuje štetni niz. Tako nabor članov katerega koli zaporedjašteven. Hkrati obstaja zaporedje, v katerem se vsako naravno število pojavi neskončno velikokrat, saj je množica naravnih števil lahko predstavljena kot štetna zveza nesekajoče se števne množice (npr. N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \meje _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\desno))).

Operacije z naravnimi števili

TO zaprte operacije(operacije, ki ne dajejo rezultata iz množice naravnih števil) na naravnih številih vključujejo naslednje aritmetične operacije:

Dodatno sta obravnavani še dve operaciji (s formalnega vidika nista operaciji nad naravnimi števili, saj nista definirani za vse pari številk (včasih obstajajo, včasih ne)):

Upoštevati je treba, da sta operaciji seštevanja in množenja temeljni. Še posebej, prstan cela števila določeno natančno prek binarne operacije seštevanje in množenje.

Osnovne lastnosti

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).
  • Komutativnost množenja:
a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a). (a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).
  • Asociativnost množenja:
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)). ( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

Algebrska struktura

Seštevanje spremeni množico naravnih števil v polskupina z enoto vlogo enote igra 0 . Množenje pretvori tudi množico naravnih števil v polskupino z enoto, medtem ko element identitete je 1 . Z uporabo zaprtja glede na operacije seštevanja-odštevanja in množenja-deljenja dobimo skupine celih števil Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) in racionalna pozitivna števila Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) oz.

Teoretične definicije množic

Definicijo naravnih števil uporabljamo kot ekvivalenčni razredi končne množice. Če označimo ekvivalenčni razred množice A, ustvarjene s bijekcijami, s pomočjo oglati oklepaji: [A] so osnovne aritmetične operacije definirane na naslednji način:

Lahko se pokaže, da so nastale operacije na razredih uvedene pravilno, to pomeni, da niso odvisne od izbire elementov razreda in sovpadajo z induktivnimi definicijami.

Poglej tudi

Opombe

Literatura

  • Vygodsky M. Ya. Priročnik za osnovno matematiko. - M.: Nauka, 1978.
    • Ponovna izdaja: M.: AST, 2006,

Matematika se je pojavila iz splošne filozofije okoli šestega stoletja pr. e., in od tega trenutka se je začel njen zmagoviti pohod po svetu. Vsaka razvojna stopnja je prinesla nekaj novega - elementarno štetje se je razvilo, preoblikovalo v diferencialni in integralni račun, stoletja so se spreminjala, formule so postajale vse bolj zapletene in prišel je trenutek, ko se je "začela najbolj zapletena matematika - iz nje so izginila vsa števila." Toda kaj je bila osnova?

Začetek časa

Naravna števila so se pojavila skupaj s prvimi matematičnimi operacijami. Enkrat hrbtenica, dve hrbtenici, tri hrbtenice ... Pojavili so se zahvaljujoč indijskim znanstvenikom, ki so izpeljali prvo položajno

Beseda "pozicionalnost" pomeni, da je lokacija vsake števke v številu strogo določena in ustreza njeni kategoriji. Na primer, števili 784 in 487 sta enaki števili, vendar števili nista enakovredni, saj prvo vključuje 7 stotic, drugo pa samo 4. Arabci so povzeli inovacijo Indijcev, ki so števila pripeljali do oblike ki jih poznamo Zdaj.

V starih časih so dajali številke mistični pomen, je Pitagora verjel, da je število osnova za nastanek sveta skupaj z osnovnimi elementi - ognjem, vodo, zemljo, zrakom. Če vse obravnavamo samo z matematične strani, kaj je potem naravno število? Polje naravnih števil označujemo z N in je neskončen niz celih in pozitivnih števil: 1, 2, 3, … + ∞. Nič je izključena. Uporablja se predvsem za štetje predmetov in označevanje vrstnega reda.

Kaj je v matematiki? Peanovi aksiomi

Polje N je osnovno polje, na katerem sloni elementarna matematika. Sčasoma so polja celih števil, racionalna,

Delo italijanskega matematika Giuseppeja Peana je omogočilo nadaljnje strukturiranje aritmetike, doseglo njeno formalnost in utrlo pot nadaljnjim zaključkom, ki so presegli področje N.

Kaj je naravno število, smo ugotovili že prej navaden jezik, bo v nadaljevanju obravnavana matematična definicija, ki temelji na Peanovih aksiomih.

  • Ena velja za naravno število.
  • Število, ki sledi naravnemu številu, je naravno število.
  • Pred ena ni naravnega števila.
  • Če število b sledi številu c in številu d, potem je c=d.
  • Aksiom indukcije, ki posledično pokaže, kaj je naravno število: če neka trditev, ki je odvisna od parametra, velja za število 1, potem predpostavimo, da velja tudi za število n iz polja naravnih števil N. Potem trditev velja tudi za n =1 iz polja naravnih števil N.

Osnovne operacije za polje naravnih števil

Ker je polje N postalo prvo za matematične izračune, se nanj nanašajo tako domene definicije kot obsegi vrednosti številnih operacij spodaj. So zaprti in ne. Glavna razlika je v tem, da zaprte operacije zajamčeno pustijo rezultat znotraj nabora N, ne glede na to, za katera števila gre. Dovolj je, da so naravne. Rezultat preostalih številskih interakcij ni več tako nedvoumen in je neposredno odvisen od tega, kakšna števila so vključena v izraz, saj je lahko v nasprotju z glavno definicijo. Torej, zaprte operacije:

  • seštevanje - x + y = z, kjer so x, y, z vključeni v polje N;
  • množenje - x * y = z, kjer so x, y, z vključeni v polje N;
  • potenciranje - x y , kjer sta x, y vključena v polje N.

Preostale operacije, katerih rezultat morda ne obstaja v kontekstu definicije "kaj je naravno število", so naslednje:


Lastnosti števil, ki pripadajo polju N

Vse nadaljnje matematično razmišljanje bo temeljilo na naslednjih lastnostih, najbolj trivialnih, a nič manj pomembnih.

  • Komutativna lastnost seštevanja je x + y = y + x, kjer sta števili x, y vključeni v polje N. Ali dobro znano "vsota se ne spremeni zaradi spremembe mest členov."
  • Komutativna lastnost množenja je x * y = y * x, kjer sta števili x, y vključeni v polje N.
  • Asociativna lastnost seštevanja je (x + y) + z = x + (y + z), kjer so x, y, z vključeni v polje N.
  • Asociativna lastnost množenja je (x * y) * z = x * (y * z), kjer so števila x, y, z vključena v polje N.
  • porazdelitvena lastnost - x (y + z) = x * y + x * z, kjer so števila x, y, z vključena v polje N.

Pitagorejska tabela

Eden od prvih korakov v poznavanju celotne strukture elementarne matematike s strani šolarjev, potem ko so sami razumeli, katera števila se imenujejo naravna, je Pitagorejska tabela. Lahko ga štejemo ne samo z vidika znanosti, ampak tudi kot dragocen znanstveni spomenik.

Ta tabela množenja je skozi čas doživela številne spremembe: iz nje so odstranili ničlo, številke od 1 do 10 pa označujejo same sebe, ne da bi upoštevale vrstni red (stotine, tisočice ...). Je tabela, v kateri so naslovi vrstic in stolpcev številke, vsebina celic njihovega presečišča pa je enaka njihovemu produktu.

V praksi poučevanja v zadnjih desetletjih se je pojavila potreba po pomnjenju Pitagorejske tabele »po vrsti«, torej pomnjenje je šlo najprej. Množenje z 1 je bilo izključeno, ker je bil rezultat 1 ali več. Medtem lahko v tabeli s prostim očesom vidite vzorec: produkt številk raste za en korak, kar je enako naslovu vrstice. Tako nam drugi faktor pokaže, kolikokrat moramo vzeti prvega, da dobimo želeni izdelek. Ta sistem je veliko bolj priročen od tistega, ki so ga uporabljali v srednjem veku: ljudje so kljub razumevanju, kaj je naravno število in kako nepomembno je, uspeli zakomplicirati vsakodnevno štetje s sistemom, ki temelji na potencah dvojke.

Podmnožica kot zibelka matematike

Vklopljeno ta trenutek polje naravnih števil N obravnavamo le kot eno od podmnožic kompleksnih števil, vendar zaradi tega niso manj vredni v znanosti. Naravno število je prva stvar, ki se jo otrok nauči s preučevanjem sebe in svet. En prst, dva prsta ... Zahvaljujoč njemu se človek oblikuje logično razmišljanje, kot tudi sposobnost ugotavljanja vzroka in sklepanja o posledici, kar utira pot velikim odkritjem.

 

Morda bi bilo koristno prebrati: